Eurocode 2. Application aux ponts-routes en béton. Guide méthodologique.
Auteur moral
France. Service d'études techniques des routes et autoroutes
Auteur secondaire
Résumé
Ce guide méthodologique aborde la mise en application des prescriptions de l'Eurocode 2 aux ponts en béton. Destiné aux projeteurs, il présente les principes de justification de l'Eurocode 2 et met l'accent sur les différences et les nouveautés par rapport à la pratique française. Riche de nombreux exemples, il ambitionne de servir efficacement la profession des constructeurs de ponts en béton et tout particulièrement les bureaux d'études et les maîtres d'oeuvre. Il contribuera certainement, dans son domaine, à faciliter le passage des règlements de calculs actuels aux eurocodes.
Descripteur Urbamet
béton armé
; matériau de construction
; pont
; ouvrage d'art
; BTP (secteur)
Descripteur écoplanete
Thème
Infrastructures - Ouvrages d'art
Texte intégral
Sétra
service d'Études techniques des routes et autoroutes
juillet 2008
Guide méthodologique
Eurocode 2
Application aux ponts-routes en béton
Guide méthodologique
Eurocode 2
Application aux ponts-routes en béton
collection les outils
Document édité par le Sétra dans la collection "les outils". Cette collection regroupe les guides, logiciels, supports pédagogiques, catalogues, données documentaires et annuaires.
Ont participé à la réalisation de ce guide :
Groupe de rédaction : Sébastien BRISARD, Sétra Ngoc-Vu BUI, Sétra Pascal CHARLES, Sétra Jean-Marie DARRIEUMERLOU, CETE du Sud-Ouest Denis DAVI, CETE Méditerranée Fernando DIAS, Sétra Daniel GUILLOT, CETE de l'Ouest Florent IMBERTY, Sétra Jean-Michel LACOMBE, Sétra Pierre MARCHAND, Sétra Pierre PAILLUSSEAU, CETE du Sud-Ouest Florence PERO, Sétra Benoît POULIN, Sétra
Groupe de relecture : Gaël BONDONET, Sétra Emmanuel BOUCHON, Sétra Guillaume CHAUVEL, Sétra Daniel DE-MATTEIS, Sétra Jean GUAL, Sétra Gilles LACOSTE, Sétra Daniel LE FAUCHEUR, Sétra Pierre PEYRAC, DREIF Michel PRAT, Sétra
Groupe de dessin : Philippe JULLIEN, Sétra Guillaume PERRIN, Sétra Alain RECURT, Sétra
Groupe de coordination et d'animation : Ngoc-Vu BUI assisté de : Florence PERO Florent IMBERTY Illustrations couverture : Sétra (G. Forquet) et DDE 49 (subdivision Ouvrages d'Art du SGI)
O= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
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Chapitre 1 - Présentation de l'Eurocode 2 .......................................................................................................11
1- Introduction ............................................................................................................................................. 12 2- Principe de numérotation ........................................................................................................................ 13
Chapitre 2 - Bases de conception et de justification ......................................................................................15
1- Exigences de base ................................................................................................................................... 16 2- Principe de justification........................................................................................................................... 16 3- Méthode de justification.......................................................................................................................... 17
3.1 - Justification aux ELU ..................................................................................................................................... 17 3.2 - Justification aux ELS...................................................................................................................................... 17
4- Actions et combinaisons d'actions.......................................................................................................... 18
4.1 - Actions............................................................................................................................................................ 18 4.1.1 - Définitions et notations des principales actions...................................................................................... 18 4.1.2 - Coefficients pour les ponts routiers ..................................................................................................... 20 4.2 - Combinaisons d'actions pour les ELU de résistance ...................................................................................... 21 4.2.1 - Combinaisons fondamentales pour les situations de projet durables et transitoires .............................. 21 4.2.2 - Combinaisons fondamentales pour les situations de projet accidentelles et sismiques .......................... 21 4.2.3 - Combinaison de vérification à la fatigue ................................................................................................ 22 4.3 - Combinaisons d'actions pour les ELS ............................................................................................................ 23 4.3.1 - Combinaison caractéristique .................................................................................................................. 23 4.3.2 - Combinaison fréquente............................................................................................................................ 23 4.3.3 - Combinaison quasi-permanente.............................................................................................................. 23
5- Justification en phases de construction ................................................................................................... 24
5.1 - Généralités ...................................................................................................................................................... 24 5.2 - Combinaisons particulières pour les phases de construction .......................................................................... 24 5.2.1 - Vérification de la résistance structurale ................................................................................................. 24 5.2.2 - Vérification d'équilibre statique.............................................................................................................. 25 5.2.3 - Vérification aux ELS ............................................................................................................................... 25
6- Analyse structurale.................................................................................................................................. 25
6.1 - Imperfections géométriques............................................................................................................................ 26 6.2 - Modélisation de la géométrie des structures................................................................................................... 27 6.2.1 - Largeur participante ............................................................................................................................... 28 6.2.2 - Sections brutes......................................................................................................................................... 28 6.2.3 - Portée utile .............................................................................................................................................. 28 6.3 - Modélisation du comportement des structures ............................................................................................... 28 6.3.1 - Diagrammes contraintes-déformations pour un comportement élastique............................................... 28 6.3.2 - Diagrammes contraintes-déformations pour un comportement non linéaire.......................................... 28 6.4 - Types d'analyse............................................................................................................................................... 31 6.4.1 - Analyse élastique-linéaire ....................................................................................................................... 31 6.4.2 - Analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée ............................................................................ 32 6.4.3 - Analyse plastique..................................................................................................................................... 32 6.4.4 - Analyse non-linéaire ............................................................................................................................... 32 6.4.5 - Analyses au premier ordre et au second ordre........................................................................................ 33
Chapitre 3 - Données principales pour les projets..........................................................................................35
1- Données propres à l'Eurocode 2 .............................................................................................................. 36
1.1 - Classes d'exposition........................................................................................................................................ 36 1.2 - Enrobage......................................................................................................................................................... 39 1.2.1 - Détermination des enrobages minimum et nominal ................................................................................ 40 1.2.2 - Exemple d'application ............................................................................................................................. 42
2- Données relatives aux actions ................................................................................................................. 43
P= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.1 - Classe de trafic................................................................................................................................................ 43 2.2 - Transports exceptionnels ................................................................................................................................ 43 2.2.1 - Généralités .............................................................................................................................................. 43 2.2.2 - Véhicules spéciaux pris en compte .......................................................................................................... 44 2.2.3 - Prise en compte des véhicules spéciaux dans les combinaisons d'actions .............................................. 44 2.3 - Gradient thermique ......................................................................................................................................... 45 2.3.1 - Définition de l'action thermique.............................................................................................................. 45 2.3.2 - Signe du gradient thermique ................................................................................................................... 46 2.3.3 - Action thermique : action de courte durée .............................................................................................. 46 2.3.4 - Prise en compte dans la combinaison quasi-permanente de charges ..................................................... 46 2.3.5 - Calcul des sollicitations dues aux charges thermiques ........................................................................... 46
3- Données diverses..................................................................................................................................... 48
3.1 - Définition des sections et coefficients d'équivalence...................................................................................... 48 3.1.1 - Section brute / nette................................................................................................................................. 48 3.1.2 - Section fissurée ou non fissurée .............................................................................................................. 48 3.1.3 - Section homogène / homogène réduite .................................................................................................... 48 3.1.4 - Sections pour le calcul des contraintes aux ELS ..................................................................................... 49 3.2 - Durée d'utilisation de projet............................................................................................................................ 50 3.3 - Hygrométrie ambiante moyenne..................................................................................................................... 50 3.4 - Autres données ............................................................................................................................................... 50
4- Critères de dimensionnement .................................................................................................................. 51
Chapitre 4 - Déformations différées du béton : retrait et fluage.....................................................................53
1- Retrait...................................................................................................................................................... 54 2- Fluage...................................................................................................................................................... 54
2.1 - Prise en compte du fluage par une méthode approchée .................................................................................. 55 2.1.1 - En analyse linéaire.................................................................................................................................. 55 2.1.2 - En analyse non-linéaire........................................................................................................................... 56 2.2 - Prise en compte du fluage par une "méthode scientifique"............................................................................. 57
3- Eléments pour le calcul des valeurs de retrait et de fluage ..................................................................... 57
3.1 - Rayon moyen.................................................................................................................................................. 57 3.2 - Présence d'armatures....................................................................................................................................... 58
Chapitre 5 - La précontrainte ............................................................................................................................59
1- Agrément technique européen des procédés de précontrainte .............................................................. 60
1.1 - Informations figurant dans l'ATE ................................................................................................................... 60 1.2 - Informations utiles pour l'application de l'Eurocode 2 .................................................................................. 61 1.2.1 - Forces de mise en tension ....................................................................................................................... 61 1.2.2 - Coefficients de frottement k et .............................................................................................................. 61 1.2.3 - Rentrée d'ancrage.................................................................................................................................... 61 1.2.4 - Résistance du béton et transfert de charge.............................................................................................. 61 1.2.5 - Contraintes géométriques........................................................................................................................ 61
2- Force de précontrainte............................................................................................................................. 61
2.1 - Force de précontrainte maximale.................................................................................................................... 61 2.2 - Force de précontrainte initiale ........................................................................................................................ 62 2.3 - Force de précontrainte probable ..................................................................................................................... 62
3- Pertes de précontrainte ............................................................................................................................ 62
3.1 - Pertes instantanées.......................................................................................................................................... 62 3.2 - Pertes différées ............................................................................................................................................... 63
4- Valeurs représentatives de la précontrainte............................................................................................. 63
4.1 - Prise en compte de la précontrainte aux ELU................................................................................................. 63 4.2 - Prise en compte de la précontrainte aux ELS ................................................................................................. 64 4.3 - En construction ............................................................................................................................................... 64
5- Adhérence de la précontrainte................................................................................................................. 64
Q= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 6 - Justification aux ELU ....................................................................................................................67
1- Justification vis-à-vis de la flexion......................................................................................................... 68
1.1 - Lois de comportement des matériaux pour les vérifications des sections...................................................... 68 1.1.1 - Béton ....................................................................................................................................................... 69 1.1.2 - Aciers passifs........................................................................................................................................... 70 1.1.3 - Aciers de précontrainte ........................................................................................................................... 71 1.2 - Calcul des sections.......................................................................................................................................... 72 1.3 - Conclusion ...................................................................................................................................................... 72
2- Justification vis-à-vis du tranchant.......................................................................................................... 73
2.1 - Effort tranchant de calcul................................................................................................................................ 73 2.1.1 - Définition de l'effort de tranchant à prendre en compte ......................................................................... 73 2.1.2 - Largeur d'âme de calcul bw..................................................................................................................... 73 2.1.3 - Principe de la vérification....................................................................................................................... 74 2.2 - Vérification des sections courantes................................................................................................................. 74 2.2.1 - Eléments pour lesquels aucune armature d'effort tranchant n'est requise.............................................. 75 2.2.2 - Eléments pour lesquels des armatures d'effort tranchant sont requises.................................................. 76 2.2.3 - Effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales..................................................... 80 2.3 - Résistance à l'effort tranchant près des appuis ............................................................................................... 81 2.3.1 - Cas courant ............................................................................................................................................. 81 2.3.2 - Réduction des charges concentrées près des appuis ............................................................................... 82 2.3.3 - Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis ....................................................................... 83
3- Justification vis-à-vis de la torsion.......................................................................................................... 84
3.1 - Principe........................................................................................................................................................... 84 3.1.1 - Calcul des flux de cisaillement de torsion dans une section creuse ou pleine......................................... 85 3.1.2 - Cumul tranchant / torsion ....................................................................................................................... 86 3.2 - Vérification de la résistance à la torsion combinée au tranchant .................................................................... 86 3.2.1 - Résistance des bielles .............................................................................................................................. 86 3.2.2 - Armatures transversales.......................................................................................................................... 88 3.2.3 - Armatures longitudinales ........................................................................................................................ 88 3.2.4 - Cas particulier des sections rectangulaires peu sollicitées..................................................................... 89
4- Justification vis-à-vis du poinçonnement................................................................................................ 90
4.1 - Principe........................................................................................................................................................... 90 4.1.1 - Contour de contrôle de référence............................................................................................................ 90 4.1.2 - Calcul du cisaillement sur le contour de référence ................................................................................. 90 4.1.3 - Calcul du cisaillement résistant vRd,c du béton seul................................................................................. 91 4.2 - Application numérique ................................................................................................................................... 92
5- Justification à la fatigue .......................................................................................................................... 92
5.1 - Principe et éléments de la justification ........................................................................................................... 93 5.1.1 - Modèles de charge de fatigue.................................................................................................................. 93 5.1.2 - Combinaison d'actions - Etat de référence.............................................................................................. 94 5.1.3 - Calculs des contraintes ........................................................................................................................... 95 5.2 - Méthodes de vérification ................................................................................................................................ 96
6- Justification vis-à-vis de la rupture fragile .............................................................................................. 96
6.1 - Principe et exigences de base.......................................................................................................................... 96 6.2 - Vérification selon la méthode (a).................................................................................................................... 97 6.3 - Vérification selon la méthode (b) ................................................................................................................... 99
7- Analyse non-linéaire et au second ordre - stabilité de forme d'une pile................................................ 103
7.1 - Généralités sur l'analyse non-linéaire et au second ordre..............................................................................103 7.2 - Méthode générale d'analyse non-linéaire et au second ordre de l'Eurocode 2 partie 1-1..............................103 7.2.1 - Principe ..................................................................................................................................................103 7.2.2 - Matériaux ...............................................................................................................................................104 7.3 - Méthode générale d'analyse non-linéaire de l'Eurocode 2 partie 2...............................................................106 7.3.1 - Lois de comportement des matériaux .....................................................................................................106 7.3.2 - Principe et format de sécurité ................................................................................................................108 7.3.3 - Application pratique de la méthode .......................................................................................................109 7.4 - Synthèse et comparaison des différentes méthodes .......................................................................................111
R= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 7 - Justification aux ELS ..................................................................................................................113
1- Limitation des contraintes ..................................................................................................................... 114
1.1 - Contrainte de compression dans le béton.......................................................................................................114 1.1.1 - En service ...............................................................................................................................................114 1.1.2 - En construction ......................................................................................................................................114 1.2 - Contrainte de traction dans les armatures ......................................................................................................115 1.2.1 - Cas des armatures de béton armé ..........................................................................................................115 1.2.2 - Cas de la précontrainte non adhérente ..................................................................................................115 1.2.3 - Cas de la précontrainte adhérente .........................................................................................................115
2- Maîtrise de la fissuration ....................................................................................................................... 116
2.1 - Principe..........................................................................................................................................................116 2.2 Limites d'ouverture de fissure ..........................................................................................................................116 2.3 - Méthodes de calcul des ouvertures de fissure................................................................................................117 2.3.1 - Approche selon l'Eurocode 2..................................................................................................................117 2.3.2 - Approche retenue dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 .....................................................117 2.4 - Ferraillage minimal de fissuration .................................................................................................................118 2.4.1 - Principe et application à des sections rectangulaires ............................................................................118 2.4.2 - Généralisation à des sections quelconques ............................................................................................119 2.5 - Maîtrise de la fissuration provoquée par cisaillement....................................................................................119 2.5.1 - Principe ..................................................................................................................................................120 2.5.2 - Critère de non-fissuration ......................................................................................................................120
3- Règles de dimensionnement de la précontrainte ................................................................................... 121
3.1 - Cas des ouvrages coulés en place ..................................................................................................................121 3.2 - Cas des voussoirs préfabriqués ......................................................................................................................122 3.3 - Règles en phases de construction...................................................................................................................122
Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures ................................................................123
1- Distance libre entre armatures de béton armé ....................................................................................... 124 2- Diamètre admissible des mandrins de cintrage pour les barres pliées .................................................. 125
2.1 - Généralités .....................................................................................................................................................125 2.2 - Critère de non-endommagement des armatures.............................................................................................126 2.3 - Critère de non-rupture du béton.....................................................................................................................126
3- Ancrage des armatures longitudinales................................................................................................... 129
3.1 - Définitions .....................................................................................................................................................129 3.2 - Principe..........................................................................................................................................................129 3.3 - Détermination de la longueur d'ancrage de référence "requise" ....................................................................130 3.3.1 - Contrainte ultime d'adhérence ...............................................................................................................130 3.3.2 - Longueur d'ancrage de référence "requise"...........................................................................................132 3.4 - Longueur d'ancrage de calcul ........................................................................................................................132 3.5 - Cas particulier................................................................................................................................................134
4- Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales ......................................... 135 5- Recouvrement ....................................................................................................................................... 135
5.1 - Généralités .....................................................................................................................................................135 5.2 - Longueur de recouvrement l0 .........................................................................................................................135 5.3 - Espacements longitudinaux des recouvrements.............................................................................................137 5.4 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues .................................................139 5.5 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres comprimées ..........................................140
6- Barres de gros diamètre......................................................................................................................... 141 7- Paquets de barres................................................................................................................................... 141
7.1 - Généralités .....................................................................................................................................................141 7.2 - Diamètre équivalent du paquet ......................................................................................................................141 7.3 - Distance libre entre paquets de barres ...........................................................................................................142 7.4 - Ancrage des paquets de barres.......................................................................................................................142 7.5 - Recouvrement des paquets de barres .............................................................................................................144
S= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 9 - Dispositions constructives relatives aux éléments..................................................................145
1- Ferraillage minimal de flexion .............................................................................................................. 146 2- Ferraillage de peau ................................................................................................................................ 146 3- Ferraillage d'effort tranchant ................................................................................................................. 147
3.1 - Section minimale d'armatures de tranchant ...................................................................................................147 3.1.1 - Cas des poutres ......................................................................................................................................147 3.1.2 - Cas des dalles.........................................................................................................................................147 3.2 - Dispositions pour les armatures de tranchant ................................................................................................148
4- Ferraillage de torsion............................................................................................................................. 149
Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières ............................................................................151
1- Effort tranchant ..................................................................................................................................... 152
1.1 - Effet Résal .....................................................................................................................................................152 1.2 - Cisaillement entre l'âme et les membrures des sections en T ........................................................................154 1.2.1 - Ferraillage minimal des membrures ......................................................................................................154 1.2.2 - Efforts sollicitants ..................................................................................................................................154 1.2.3 - Vérification de la résistance...................................................................................................................155 1.2.4 - Cumul avec la flexion locale ..................................................................................................................155 1.3 - Cisaillement dans les surfaces de reprise.......................................................................................................156 1.4 - Eléments en flexion composée, non fissurés à l'ELU de résistance et ne nécessitant pas d'armatures de tranchant.................................................................................................................................157 1.5 - Eléments précontraints à une seule travée ne nécessitant pas d'armatures de tranchant ................................158 1.6 - Cas particuliers permettant une augmentation de la résistance des bielles béton ..........................................159 1.6.1 - Armatures d'effort tranchant sollicitées à moins de 80% de fyk ..............................................................159 1.6.2 - Armatures de précontrainte droites et niveau de précontrainte élevé....................................................159
2- Méthode bielles et tirants pour zone de discontinuité ........................................................................... 159
2.1 - Principe..........................................................................................................................................................160 2.2 - Dimensionnement des bielles, des tirants et des noeuds.................................................................................160 2.2.1 - Résistance des bielles .............................................................................................................................160 2.2.2 - Résistance des tirants .............................................................................................................................161 2.2.3 - Résistance des noeuds .............................................................................................................................162
3- Diffusion de la précontrainte................................................................................................................. 163
3.1 - Règles proposées par l'Eurocode 2 ................................................................................................................163 3.1.1 - Force de précontrainte...........................................................................................................................163 3.1.2 - Méthode de calcul ..................................................................................................................................164 3.1.3 - Règles particulières................................................................................................................................164 3.2 - Application des règles de l'Eurocode 2 au cas simple d'un seul ancrage .......................................................164 3.2.1 - Données..................................................................................................................................................164 3.2.2 - Choix d'un modèle bielles-tirants...........................................................................................................165 3.2.3 - Vérification des noeuds ...........................................................................................................................165 3.2.4 - Vérification des bielles ...........................................................................................................................166 3.2.5 - Dimensionnement du ferraillage ............................................................................................................167 3.2.6 - Conclusions sur les règles de l'Eurocode 2............................................................................................168 3.3 - Méthode du guide Sétra "Diffusion des efforts concentrés" ..........................................................................168
4- Calculs de plaques................................................................................................................................. 169
4.1 - Calcul des sollicitations .................................................................................................................................169 4.1.1 - Méthode d'analyse..................................................................................................................................169 4.1.2 - Valeur de calcul retenue pour le dimensionnement ...............................................................................169 4.1.3 - Cumul des sollicitations .........................................................................................................................169 4.2 - Problématique générale du calcul des plaques en béton ................................................................................170 4.3 - Règles forfaitaires de cumul de ferraillages...................................................................................................171 4.3.1 - Cumul aciers d'effort tranchant / torsion / aciers de diffusion...............................................................171 4.3.2 - Cumul flexion / cisaillements transversaux ............................................................................................172 4.3.3 - Cumul flexion / cisaillements dans le plan de la plaque ........................................................................172 4.4 - Méthode générale de vérification d'une plaque .............................................................................................173 4.4.1 - Principe général de la vérification.........................................................................................................174
T= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.4.2 - Vérification du feuillet intermédiaire .....................................................................................................174 4.4.3 - Modèle de membrane .............................................................................................................................175 4.4.4 - Décomposition des efforts sur les membranes .......................................................................................176 4.4.5 - Résumé ...................................................................................................................................................177 4.5 - Conclusion .....................................................................................................................................................177
5- Fondations ............................................................................................................................................. 177
Annexes
Annexe I Annexe II Annexe III Annexe IV Annexe V Annexe VI AnnexeVII Annexe VIII
.................................................................................................................................................179
Les ouvrages utilisés pour les applications numériques...................................................... 180 Imperfections géométriques ................................................................................................ 184 Justification Tranchant / Torsion Applications numériques............................................. 187 Justification à la fatigue....................................................................................................... 200 Justification vis-à-vis de la rupture fragile .......................................................................... 226 Vérification de la stabilité de forme Méthodes simplifiées et exemple de deux piles...... 232 Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS......................................................... 260 Bibliographie ....................................................................................................................... 272
U= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
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Les eurocodes sont finalement arrivés au bout de longues et laborieuses années de gestation. Sans apporter un grand bouleversement, ils impliquent tout de même un important effort de familiarisation, d'apprentissage, puis d'appropriation de la part de la communauté technique, pour entrer dans les moeurs et devenir des outils d'un emploi quotidien. Ce dernier bout de chemin n'est pas sans difficultés et sans importance. Au contraire, il est même décisif pour pouvoir légitimement couronner de succès un programme aussi ambitieux. Sans aucun doute bien des préparatifs sont prévus et seront mis en oeuvre pour cette ultime étape. Le Sétra, pour sa part, entend y contribuer pleinement et se doit de mettre à la disposition de la communauté technique un ensemble de guides, ciblés sur les ponts. Ils accompagneront les projeteurs dans cette délicate période du passage d'anciennes règles aux nouvelles. C'est de ce besoin que naît le présent guide "Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton". Le guide commence par les chapitres 1 à 3 qui traitent des généralités et des bases pour le dimensionnement et la vérification des projets. Il se poursuit par quelques thèmes typiques du matériau béton : retrait et fluage dans le chapitre 4 et précontrainte dans le chapitre 5. Les justifications à effectuer aux états limites ultimes sont traitées ensuite au chapitre 6 où on y trouve dans le détail, tous les sujets classiques comme les vérifications vis-à-vis de la flexion, de l'effort tranchant, de la torsion, du poinçonnement et de la fatigue. Ils sont suivis d'un nouveau sujet : la vérification vis-à-vis de la rupture fragile. Les justifications à effectuer aux états limites de service sont traitées au chapitre 7, où des développements nouveaux concernent la maîtrise de la fissuration. Les dispositions constructives font l'objet des chapitres 8 et 9 ; le premier est relatif aux armatures et le deuxième aux éléments de structure. Le dernier chapitre 10 regroupe des méthodes et justifications spécifiques : vérifications vis-à-vis du tranchant pour des cas particuliers, méthode des bielles et tirants pour zones de discontinuité, étude de la diffusion de la précontrainte, "méthode sandwich" pour le calcul des plaques et plus particulièrement le cumul flexion-cisaillement. Les fondations, traitées de manière très partielle par l'Eurocode 2, doivent faire l'objet de rappels de références utiles aux projeteurs. Le guide se termine enfin, par de nombreuses et diverses annexes. En effet, il se veut complet sans pouvoir tout traiter; et pour éviter d'égarer le lecteur dans une somme excessive d'informations, le parti a été pris de faire des renvois fréquents à des annexes pour y mettre, notamment, des informations moins essentielles et des développements détaillés d'exemples d'application. Le guide s'est donné comme premier objectif de présenter d'une manière détaillée les prescriptions ayant un caractère nouveau par rapport aux pratiques antérieures. A ce stade de la mise en oeuvre des eurocodes, cette mise en valeur vise surtout à faciliter leur compréhension et leur utilisation. Les nombreuses pages du guide qui leur sont consacrées sont là pour donner un maximum d'explications. Il est cependant vrai que pour certaines prescriptions, il est encore trop tôt pour pouvoir bien cerner leur domaine d'utilisation, pour estimer leur importance et pour bien évaluer les conséquences de leur application. Un deuxième objectif consiste à essayer de permettre au projeteur de se retrouver dans ce nouvel ensemble volumineux et éclaté de règles multiples et diverses. D'où l'existence de nombreux renvois, non seulement à l'intérieur de l'Eurocode 2, mais aussi à d'autres eurocodes, quand cela est nécessaire et utile. Pour terminer, le caractère austère d'un tel ouvrage est inévitable. Il est de plus, accentué par le très grand nombre et la diversité des sujets abordés. Aussi, un effort particulier a été fourni pour rechercher la simplicité dans les raisonnements ou encore la logique dans l'enchaînement des sujets, dans le but d'offrir une relative commodité de lecture. Le guide aura rempli sa mission si, demain, les projeteurs le trouvent assez facile d'accès, pratique et utile pour ressentir le besoin de l'ouvrir de façon fréquente. Cela ne doit pas, cependant, les dispenser de se référer à l'Eurocode 2.
V= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
NM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 1 Présentation de l'Eurocode 2
1 - Introduction
Les eurocodes constituent un ensemble de normes élaborées au niveau européen avec comme ambition de contribuer à l'uniformisation des règles techniques de conception et de calcul des structures. Ils participent ainsi à l'harmonisation générale visée à l'échelle de l'Europe et contribuent à l'élimination des diverses entraves qui peuvent exister à la libre circulation des produits et des prestations de services. Après une longue période de gestation ayant d'abord conduit à la parution de normes européennes expérimentales (XP ENV ou ENV), les eurocodes actuels (EN) sont le résultat de la transformation sur une période relativement courte de cet ensemble de textes expérimentaux. Ils ont alors nettement gagné en cohérence et bénéficié d'une remise à jour proche des derniers développements techniques et scientifiques. L'Eurocode 2 "EN 1992 Calcul des structures en béton" (désigné parfois par EC2 dans la suite) traite tout particulièrement de la conception et du calcul des structures en béton. Le béton peut être armé ou non, précontraint, léger ou de densité normale. Des règles spécifiques pour le béton préfabriqué sont également prévues. L'Eurocode 2 comporte actuellement quatre parties :
· · · ·
Partie 1-1 : Règles générales et règles pour bâtiments Partie 1-2 : Calcul du comportement au feu Partie 2 : Ponts en béton Partie 3 : Silos et réservoirs
Les parties 2 et 3 présentent les règles particulières propres à chaque type de structure traité. Le traitement complet d'une structure nécessite de se référer à d'autres eurocodes ou parties d'eurocodes, notamment l'Eurocode 0 "Bases de calculs" pour les principes, les exigences de base et les combinaisons d'actions, les diverses parties de l'Eurocode 1 pour les actions, l'Eurocode 7 pour le calcul géotechnique et l'Eurocode 8 pour le calcul sismique. Le présent guide se limite à faciliter l'utilisation de l'Eurocode 2 appliqué à la conception et au calcul des ponts-routes en béton. Le présent guide s'appuie sur des textes publiés, et d'autres en cours de rédaction lors de sa parution. En particulier, les valeurs de paramètres qui sont reprises d'annexes nationales en préparation à la date de publication du présent guide, sont susceptibles de modifications ultérieures. Ces cas seront signalés et il convient sans exception de se référer aux documents publiés. L'harmonisation totale des règles ne pouvant être atteinte dans la pratique qu'au terme d'une certaine période d'utilisation, il est prévu au stade initial que les eurocodes proposent des options ou des paramètres dont les choix incombent aux différentes autorités nationales. Ces choix peuvent donner lieu à des valeurs différentes de celles recommandées par les textes européens. Ils font alors l'objet, pour chaque Eurocode quand cela est nécessaire, d'une annexe nationale où leurs valeurs sont précisées ; le présent guide se basera sur les choix français en les signalant et en les expliquant le cas échéant.
NO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2 - Principe de numérotation
Il est utile de présenter en préambule les principes de numérotation des clauses de la partie ponts de l'Eurocode 2, et notamment les articulations avec la partie générale. Les principes adoptés sont les suivants :
· ·
en début de chaque section, l'Eurocode 2 partie 2 contient la liste des clauses de la partie 1-1 qui sont applicables pour les ponts ; sont ensuite reprises dans la section, uniquement les clauses qui sont nouvelles ou qui ont remplacé des clauses de la partie 1-1 par suite de modifications ; Parfois, c'est seulement la note d'une clause qui a été modifiée dans l'Eurocode 2 partie 2 (par exemple une valeur recommandée). Même dans ce cas, la clause correspondante de l'Eurocode 2 partie 1-1 est considérée comme modifiée et est entièrement reprise dans l'Eurocode 2 partie 2.
· ·
lorsqu'une clause de l'Eurocode 2 partie 2 est nouvelle, son numéro est obtenu en ajoutant 101 au numéro de la dernière clause de l'Eurocode 2 partie 1-1 du chapitre correspondant ; lorsqu'une clause de l'Eurocode 2 partie 2 remplace une clause de l'Eurocode 2 partie 1-1 (clause modifiée), son numéro est obtenu en ajoutant 100 au numéro de la clause qu'elle remplace.
Exemples : La clause 3.1.6(101)P de l'Eurocode 2 partie 2 remplace la clause 3.1.6(1)P de l'Eurocode 2 partie 1-1 (le texte est identique, mais la valeur recommandée est différente pour cc). La clause 5.8.4(105) de l'Eurocode 2 partie 2 est une nouvelle clause qui vient après la clause 5.8.4(4) de l'Eurocode 2 partie 1-1. La section 113 de l'Eurocode 2 partie 2 est une nouvelle section qui vient après la section 12.
Le fonctionnement de l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 est basé sur les principes suivants, rappelés dans l'avant-propos de l'annexe nationale :
· ·
les clauses citées sont celles de la norme NF EN 1992-2 : 2005 ; lorsque la NF EN 1992-2 rend applicable une clause de la NF EN 1992-1-1, cette clause est applicable avec la clause de l'annexe nationale de la NF EN 1992-1-1 correspondante.
NP= Chapitre 1 - Présentation de l'Eurocode 2
NQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 2 Bases de conception et de justification
1 - Exigences de base
Les exigences de base des eurocodes pour la conception et le dimensionnement d'un projet sont définies dans l'Eurocode 0 [EC0 2.1]. Les principales reprennent celles déjà existant dans les règlements antérieurs : elles visent à assurer à toute structure des niveaux adéquats de résistance, d'aptitude au service et de durabilité [EC0 2.1(2)P]. Toutefois, l'exigence vis-à-vis de la durabilité est formulée de manière plus explicite et requiert la spécification d'une durée d'utilisation de projet qui, pour les ponts, est prise généralement égale à 100 ans [Chapitre 3-3.2] ; il est tenu compte des conditions d'environnement propres à chaque projet, par l'intermédiaire de classes d'exposition [Chapitre 3-1.1], préalablement définies en fonction de la nature des risques de corrosion et d'attaques ; il est aussi supposé qu'une maintenance normale et adaptée soit effectuée. Les eurocodes supposent également que la conception, puis la construction des ouvrages, soient réalisées par des personnels qualifiés et expérimentés et que la surveillance et la maîtrise de la qualité soient effectives. Les exigences concernant l'exécution et la mise en oeuvre doivent aussi être satisfaites. En ce qui concerne les ouvrages en béton, ces exigences sont traitées dans la norme EN 13670.
2 - Principe de justification
Le principe de justification basé sur le calcul aux états-limites [EC0 3], associée à la méthode des coefficients partiels (sous-entendus de sécurité) [EC0 6], maintenant bien familier des projeteurs, est conservé et appliqué. Les états limites sont classés en deux catégories :
·
les états limites ultimes [Chapitre 6] qui concernent la sécurité des personnes et de la structure, correspondent à la limite d'équilibre statique, la limite de résistance ou la limite de stabilité de forme. A cela s'ajoute l'état limite de fatigue, un état limite de résistance atteint dans des conditions particulières avec des niveaux de charge de service ; les états-limites de service [Chapitre 7] qui concernent le fonctionnement de la structure, sa durabilité, le confort des usagers et l'aspect des constructions, sont définis par diverses limitations appropriées telles que : - la limitation de la traction du béton ou sa non-décompression, - la limitation de la traction dans les armatures passives pour éviter leur plastification ou leur déformation inélastique, - la limitation de la largeur d'ouverture des fissures pour la maîtrise de la fissuration.
·
Les coefficients partiels sont utilisés pour définir les valeurs de calculs des variables de base (actions [EC0 6.3.1], effets des actions [EC0 6.3.2], propriétés des matériaux [EC0 6.3.3], données géométriques [EC0 6.3.4] et résistances [EC0 6.3.5]), et couvrir en partie les nombreuses incertitudes qui existent, afin de donner à la structure, avec une approximation raisonnable, la marge de sécurité souhaitée. En général ils interviennent comme majorants des actions et comme minorants des résistances. Les coefficients partiels propres à l'Eurocode 2 sont donnés en [EC2-1-1 2.4.2.1] pour le retrait, en [EC2-1-1 2.4.2.2] pour la précontrainte, en [EC2-1-1 2.4.2.3] pour les charges de fatigue et en [EC2-1-1 2.4.2.4] pour les matériaux. Les valeurs des coefficients partiels adoptées par l'Eurocode 2 et celles données dans les annexes de l'EC0 sont considérées comme conduisant à des structures de la classe de fiabilité RC2 [EC2-1-1 2.1.2(2)], [EC0 Anx.C Tab.C.2]. A titre indicatif, pour les ponts, une conception et un dimensionnement conformes aux différents eurocodes correspondent à un indice cible de fiabilité de l'ordre de 3,8 pour les ELU de résistance et pour une durée de référence de 100 ans.
NS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3 - Méthode de justification
La méthode de justification, d'une manière générale, consiste d'abord à effectuer l'analyse structurale [Chapitre 2-6] pour déterminer les sollicitations mais aussi d'autres grandeurs caractéristiques comme les contraintes, les déformations, etc. Ceci s'effectue avec l'introduction dans les modèles de calcul de la structure des actions et/ou combinaisons d'actions [Chapitre 2-4] définies pour l'état limite étudié et le phénomène dont on souhaite étudier l'influence. On compare ensuite les résultats obtenus à partir de cette analyse à des valeurs qui caractérisent l'atteinte de l'état limite associé au phénomène étudié.
3.1 - Justification aux ELU
Aux ELU de résistance par exemple, la justification est souvent faite en montrant que les valeurs de calcul des sollicitations (encore appelées effets des actions, E dans les eurocodes) restent inférieures aux valeurs de calcul des résistances. Ceci se traduit par la vérification de l'équation symbolique [EC0 6.4.2(3)P] :
Ed R d Les valeurs de calcul des sollicitations Ed, sont obtenues après majoration des actions par les divers F. Les valeurs de calcul des résistances Rd, sont obtenues après minoration par les divers M des propriétés des matériaux entrant dans la détermination de leur résistance [Chapitre 2-2].
Il faut noter que le guide utilise la forme simplifiée de ces coefficients partiels, celle qui englobe les coefficients partiels tenant compte des incertitudes de modèles; dans la pratique et dans la majorité des cas les valeurs numériques données apparaissent sous cette forme.
3.2 - Justification aux ELS
Aux ELS, en général, l'aptitude au service est démontrée en vérifiant que les valeurs des effets des actions sélectionnées (E) ne dépassent pas la valeur limite du critère (C) qui caractérise l'état limite considéré. Ceci se traduit par la vérification de l'équation symbolique dans laquelle interviennent les valeurs de calcul [EC0 6.5.1(1)P] : E d Cd
Les valeurs des coefficients partiels à utiliser aux ELS sont prises égales à 1 pour les actions, comme pour les matériaux [EC0 Anx.A2 A2.4.1(1)], [EC0 6.5.4(1)].
NT= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
4 - Actions et combinaisons d'actions
A la date de rédaction de ce guide, les annexes nationales suivantes sont parues : NF P06-100-2 NF P06-111-2 NF EN 1991-1-2/NA NF EN 1991-1-3/NA Bases de calcul des structures Actions générales Poids volumiques, poids propres Actions sur les structures exposées au feu Actions générales charges de neige juin 2004 juin 2004 février 2007 mai 2007
4.1 - Actions
Les actions sont les charges appliquées (forces et couples) ou les déformations imposées à une construction. La classification la plus courante est rappelée dans le tableau ci-dessous :
Actions permanentes Poids propre Précontrainte Poids, poussées, pressions des terres ou d'eau Déplacements différentiels d'appuis Actions variables Charges d'exploitation Charges en cours de construction Neige, vent, température Actions accidentelles Chocs de véhicules ou de bateaux Explosions Séismes* Chute d'équipage mobile ou de voussoir préfabriqué
On peut noter que les déplacements d'appuis et les effets de la température sont aussi considérés comme des actions indirectes ou des déformations imposées.
Le retrait et le fluage peuvent être considérés comme des actions indirectes mais sont traités à part comme provenant de propriétés du béton. *Certaines actions comme la neige et le séisme peuvent être considérées comme des actions accidentelles (symbole Ad) et/ou variables selon le site du projet. En France, pour les ponts routiers, le séisme est une action uniquement accidentelle (symbole AEd). Il fait l'objet de règles de justifications spécifiques développées dans l'Eurocode 8.
4.1.1 - Définitions et notations des principales actions
4.1.1.a) Actions permanentes
G symbolise en fait les charges permanentes caractéristiques minimales Gk,inf et maximales Gk,sup. Il inclut également les effets éventuels des tassements Gset et se décompose en :
Action de poids propre : Le poids propre de la structure peut être représenté par une valeur caractéristique unique et être calculé sur la base des dimensions nominales et des masses unitaires moyennes [EC0 4.1.2(5)]. Le poids volumique du béton normalement armé ou précontraint est pris égal à 25kN/m3 [EC1-1-1 Anx.A Tab.A1]. L'annexe nationale de l'Eurocode 1 propose une pondération de 3% sur le poids propre des structures minces précontraintes (les ponts ne sont généralement pas concernés par cette clause).
NU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Action des superstructures : L'Eurocode 1 partie 1-1 : Actions générales - Poids volumiques, poids propres, charges d'exploitation des bâtiments, indique également les dispositions complémentaires particulières aux ponts [EC1-1-1 5.2.3].
Les valeurs caractéristiques inférieure et supérieure du poids de l'étanchéité et du revêtement de chaussée sont obtenues en prenant un écart de ± 20%, si la valeur nominale tient compte d'un revêtement postérieur à la construction et de + 40% et 20% dans le cas contraire [EC1-1-1 5.2.3(3)]. Le poids volumique de l'asphalte coulé et du béton bitumineux est compris entre 24 et 25kN/m3 [EC1-1-1 Anx.A Tab.A6]. Les valeurs caractéristiques du poids propre des câbles, tuyaux et gaines techniques sont évaluées en tenant compte d'un écart de ±20% par rapport à la valeur nominale [EC1-1-1 5.2.3(4)]. Les valeurs caractéristiques du poids propre des autres équipements (garde-corps, barrières, bordures...) sont évaluées en prenant en compte leurs valeurs nominales, sauf indication contraire au projet [EC1-1-1 5.2.3(5)]. P La précontrainte est une action permanente dont P est le symbole générique, pouvant représenter la précontrainte en valeur probable ou en valeurs caractéristiques [Chapitre 5 -4].
4.1.1.b) Principales actions variables
Elles sont définies dans les différentes parties de l'Eurocode 1 : TS qfk gri Fw T charge routière de type tandem et UDL charge routière de type répartie uniforme, ces deux charges forment le modèle de charge principal LM1 [EC1-2 4.3.2] charge uniforme de trottoir [EC1-2 5.3.2.1] groupe de charge i, cette notion permet de définir clairement les combinaisons des différents modèles de charge à prévoir en vue de leur application simultanée sur les structures [EC1-2 4.5] action du vent. On distingue F*w l'action du vent en présence de trafic et Fwk l'action du vent sans trafic [EC1-1-4] action de la température. Cette action mérite un traitement particulier [Chapitre 3 -2.3]
QSn,k action de la neige [EC1-1-3].
NV= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
4.1.2 - Coefficients pour les ponts routiers
Les actions (F) interviennent en général dans les combinaisons, soit par leurs valeurs caractéristiques [EC0 4.1.2], soit par d'autres valeurs représentatives [EC0 4.1.3] qui en sont déduites après affectation de coefficients appropriés :
· · ·
0 pour une valeur de combinaison 1 pour une valeur fréquente 2 pour une valeur quasi-permanente
Les coefficients 0 , 1 et 2 pour les ponts routiers sont donnés par le tableau A2.1 de l'annexe A2 de l'Eurocode 0 [EC0 Anx.A2 Tab.A2.1] et rappelées dans le tableau suivant :
action gr1a symbole TS UDL Trottoir + piste cyclable charges de trafic gr1b essieu unique gr2 force horizontale gr3 charge piétonne gr4 foule gr5 véhicules spéciaux forces de vent situation durable (en service) situation transitoire (exécution)
* Fw
0
0,75 0,40 0,40 0 0 0 0 0 0,6 0,8 1,0 0,6 0,8 1,0
1
0,75 0,40 0,40 0,75 0 0 0,75 0 0,2 0,6 -
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0 1,0
Fwk
température neige charges de construction
Tk QSn,k pendant l'exécution Qc
Note : les valeurs de ce tableau sont sujettes à modification dans l'annexe nationale de l'annexe A2 de l'Eurocode 0.
Les valeurs de calcul des actions [EC0 6.3.1] s'obtiennent par l'intermédiaire de coefficients partiels F et sont combinées entre elles en fonction des situations de projet à examiner qui sont principalement de trois sortes [EC0 3.2] :
· · ·
situation de projet durable, (principalement, l'ouvrage à sa mise en service et en fin de durée d'utilisation), situation de projet transitoire (par exemple, l'ouvrage en cours d'exécution ou de réparation), situation de projet accidentelle (principalement l'ouvrage soumis à un choc, à un séisme).
Ce sont les annexes A de l'Eurocode 0 "Bases de calculs" qui définissent les règles et les méthodes adoptées pour l'établissement de ces combinaisons d'actions. Pour les ponts, c'est l'annexe A2 ; les autres types d'ouvrages ont leur propre annexe comme l'annexe A1 pour les bâtiments, etc. Le présent guide se contente de rappeler la définition des principales combinaisons les plus utilisées pour les ponts.
OM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.2 - Combinaisons d'actions pour les ELU de résistance
4.2.1 - Combinaisons fondamentales pour les situations de projet durables et transitoires
L'Eurocode 0, pour les situations de projet durable et transitoire [EC0 6.4.3.2], permet de choisir entre l'expression de base
j1
G, jG k, j
+ P P + Q ,1Q k ,1 +
i >1
Q ,i 0 , i Q k , i
et les expressions alternatives
G , j G k , j + P P + Q ,1Q k ,1 + Q ,i 0 , i Q k , i j1 i 1 Q ,i 0 , i Q k , i j G , j G k , j + P P + Q ,1Q k ,1 + i >1 j1 Les charges permanentes Gk et les charges variables Qk sont prises en valeurs caractéristiques, alors que la précontrainte est prise en valeur probable pour les vérifications aux ELU [EC2-1-1 5.10.8(1)]. Pour l'application aux ponts routiers et ferroviaires et aux passerelles et pour la vérification des éléments structuraux (STR) non soumis à des actions géotechniques, l'annexe nationale demande d'utiliser uniquement l'expression de base (6.10) qui, traduite en fonction des actions, des coefficients partiels et des coefficients classiques, prend les principales formes suivantes [EC0 Anx.A2 Tab.A2.4(B)] :
* 1,35 (TS + UDL + q fk ) + 1,50 Min (Fw ; 0,6 Fwk ) 1,35 gri i =1b , 2,3, 4,5 + 1,00 G k , j,inf ) + P P + 1,5 Tk + 1,35 (0,75 TS + 0,4 UDL + 0,4 q fk ) 1,5 F wk 1,5 Q Sn , k
(1,35 G
j1
k , j,sup
Les expressions alternatives [EC0 Expr.(6.10a)], [EC0 Expr.(6.10b)] ne doivent donc pas être utilisées pour les ponts et passerelles. Le coefficient partiel relatif à la précontrainte P vaut P,fav = 1 si la précontrainte a un effet favorable, et P,unfav = 1,2 si elle a des effets défavorables pour la vérification des effets locaux [EC2-1-1 2.4.2.2]. Lors de la vérification de l'état limite de stabilité en présence d'une précontrainte extérieure, si la précontrainte peut être défavorable il faut retenir P,unfav = 1,3 (sauf s'il y a des déviateurs en nombre suffisant sur la longueur de flambement, précise l'annexe nationale).
4.2.2 - Combinaisons fondamentales pour les situations de projet accidentelles et sismiques
4.2.2.a) Situation accidentelle
La combinaison de charges en situation accidentelle aux ELU est donnée par [EC0 6.4.3.3] :
G
j1
k, j
+ P + A d + ( 1,1 ou 2,1 ) Q k ,1 +
i >1
2 ,i
Q k ,i
ou
G k , j,sup + G k , j,inf j1
(
) + P + A
d
+ 0,6 Tk + Q c
ON= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
Mais d'une façon générale la définition précise des combinaisons comme des actions à considérer est à trouver dans l'Eurocode 1 partie 1-6 [EC1-1-6 4.12], [EC1-1-6 4.13] et son annexe nationale ou dans les documents de marché des projets particuliers. Une situation accidentelle particulière aux ponts construits par encorbellements successifs est souvent envisagée et peut se produire en cours de construction lors de la chute d'un voussoir ou d'un équipage mobile [EC2-2 113.2(103)], [EC2-2 113.2(104)]. La combinaison d'actions particulière correspondante est à chercher dans l'annexe nationale à l'Eurocode 1 partie 1-6 ou dans le guide sur les ponts construits par encorbellements successifs.
4.2.2.b) Situation sismique
La combinaison de charges en situation sismique aux ELU est donnée par [EC0 6.4.3.4] :
G
j1
k, j
+ P + A Ed +
i 1
2 , i Q k ,i
La combinaison n'est rappelée que de manière formelle et pour mémoire car son utilisation tout comme les méthodes d'analyse associées sont particulières et propres à l'Eurocode 8 et le projeteur est vivement invité à s'y référer.
4.2.3 - Combinaison de vérification à la fatigue
La combinaison qui permet les calculs des étendues de contrainte s'écrit [EC2-1-1 6.8.3] : C0 + Qfat et se décompose ainsi en : - une combinaison de base C0 des charges non-cycliques, présentée dans l'Eurocode 2 comme similaire à la combinaison fréquente utilisée aux ELS réversibles et pouvant s'exprimer sous la forme [EC2-1-1 6.8.3(2)P] : C0 =
G
j1
k, j
+ P + 1,1 Q k ,1 +
i >1
2 ,i
Q k ,i
Si les charges cycliques, qui peuvent être la charge de trafic ou celle du vent sont exclues de cette combinaison, il ne reste plus dans cette combinaison comme action variable non-cyclique que l'action thermique en valeur fréquente. C'est donc l'état moyen de l'ouvrage en service, sous charges permanentes et variation fréquente de température, qui sert d'état de référence pour déterminer les variations de contrainte données par la charge cyclique de fatigue.
- la charge cyclique de fatigue Qfat qui peut être l'action du trafic ou l'action du vent. Sauf cas particuliers (structures sensibles à l'action du vent), la charge cyclique de fatigue Qfat correspond au passage des camions et est représentée par des modèles de charge de fatigue [Chapitre 6 -5]. Quant à la précontrainte, conformément au [EC2-1-1 5.10.9], elle intervient dans la combinaison de vérification par ses valeurs caractéristiques.
Ceci se justifie dans ce cas par le processus de vérification qui utilise des calculs de contrainte de type ELS et constitue une exception à la règle générale édictée pour toute vérification de type ELU.
OO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.3 - Combinaisons d'actions pour les ELS
Aux ELS la précontrainte est à prendre en compte avec ses valeurs caractéristiques [EC2-1-1 5.10.9]. Les charges permanentes Gk,j incluent les tassements Gset ainsi que les effets du retrait et du fluage.
4.3.1 - Combinaison caractéristique
[EC0 6.5.3.a)]
G
j1
k, j
+ P + Q k ,1 +
i >1
0 ,i
Q k ,i
De la même façon, exprimée avec les paramètres classiques, elle peut prendre les formes suivantes :
* (TS + UDL + q fk ) + Min (Fw ; 0,6 Fwk ) gri i =1a , 2,3, 4,5 + 0,6 Tk gr1b + G k , j,inf ) + Pk + Tk + (0,75 TS + 0,4 UDL + 0,4 q fk ) Fwk Q Sn ,k
(G
j1
k , j,sup
4.3.2 - Combinaison fréquente
[EC0 6.5.3.b)]
G
j1
k, j
+ P + 1,1 Q k ,1 +
i >1
2 ,i
Q k ,i
ou sous forme plus pratique : (0,75 TS + 0,4 UDL + q fk ) + 0,50 Tk ) 0,75 gr 4 + 0,5 Tk 0,75 gr1b + G k , j,inf ) + Pk + 0,6 Tk 0,2 Fwk 0,5 Q Sn ,k
(G
j1
k , j,sup
4.3.3 - Combinaison quasi-permanente
[EC0 6.5.3.c)]
G
j1
k, j
+P+
i 1
2 ,i
Q k ,i
ou sous forme plus explicite et plus pratique : G k , j,sup + G k , j,inf j1
(
) + P
k
+ 0,5 Tk
OP= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
5 - Justification en phases de construction
5.1 - Généralités
Les justifications à effectuer en phases de construction ne sont pas présentées de manière explicite dans l'Eurocode 2 partie 1-1. En revanche, l'Eurocode 2 partie 2 y consacre une section particulière, la section 113. Il convient de vérifier les ELS et ELU en construction dès lors que :
· · ·
des efforts, autres que ceux appliqués sur la structure finie, sont appliqués, le schéma statique est modifié entre les phases de construction et la phase en service et que ceci provoque une redistribution des efforts, les phases de construction ont une influence sur la stabilité ou sur la géométrie ou sur les efforts dans la structure finie.
Les justifications en phases de construction se distinguent essentiellement des justifications en phases d'exploitation, d'une part par la nature et/ou l'intensité des charges qui entrent en jeu et d'autre part, par le type de construction considéré. Les quelques règles particulières sont notamment :
· ·
les charges spécifiques à prendre en compte sont une série de charges de chantier adaptées au mode de construction de l'ouvrage [EC1-1-6 4.11] ; la simultanéité des charges doit être adaptée à la situation de chantier du projet [EC0 Anx.A2 A2.2.1(8)]. En particulier, la combinaison des charges de neige et de vent avec les charges de chantier est à définir pour chaque projet ;
Le cumul des charges de personnel et des charges climatiques (neige, vent) n'est pas à effectuer.
·
il faut noter la demande de prendre en compte un vent différentiel vertical (qui peut être ascendant ou descendant) et horizontal, pour des ouvrages non-exceptionnels, notamment dans ces vérifications en cours de construction [EC2-2 113.2(102)] ;
Une valeur de 200 N/m2 est recommandée par l'Eurocode 2 mais l'annexe nationale renvoie vers les Eurocodes 1 partie 1-4 et partie 1-6 et leurs annexes nationales respectives.
· ·
l'Eurocode 2-2 rappelle, sans donner de détails, qu'il convient, pour les ponts poussés, de prendre en compte les déformations imposées [EC2-2 113.2(105)] ; le type de construction peut aussi amener à considérer des situations accidentelles, c'est par exemple le cas lors de la réalisation d'un fléau de pont construit par encorbellements où il est demandé de tenir compte de la chute d'un équipage mobile (cas de la construction d'un tablier coulé en place) ou d'un voussoir (cas d'un tablier à voussoirs préfabriqués) ; enfin, on distingue aussi les vérifications de la résistance de la structure et les vérifications de l'équilibre statique et la situation de projet à considérer est une situation transitoire avec ses M particuliers [EC2-1-1 2.4.2.4].
·
5.2 - Combinaisons particulières pour les phases de construction
5.2.1 - Vérification de la résistance structurale
La combinaison fondamentale aux ELU est donnée par les annexes nationales de l'Eurocode 0 annexe A2 et de l'Eurocode 1 partie 1-6 [EC0 Anx.A2/AN], [EC1-1-6/AN].
OQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
5.2.2 - Vérification d'équilibre statique
De la même façon la combinaison fondamentale aux ELU est donnée par les annexes nationales de l'Eurocode 0 annexe A2 et de l'Eurocode 1 partie 1-6 [EC0/AN Anx.A2], [EC1-1-6/AN]. En particulier, il est nécessaire de vérifier la stabilité des fléaux des ouvrages construits par encorbellements successifs. Dans ce cas, les vérifications des cales d'appui et des câbles de clouage sont similaires à celles décrites dans le guide du Sétra sur les ponts construits par encorbellements, avec les combinaisons données par l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 1-6 [EC1-1-6/AN].
5.2.3 - Vérification aux ELS
L'Eurocode 2 partie 2 demande que les mêmes vérifications aux ELS soient faites pour les phases d'exécution mais précise que certains critères d'aptitude au service peuvent ne pas être appliqués ou appliqués avec des conditions moins sévères, pour autant que la durabilité et l'aspect de la structure finie ne soit pas affectés. Les critères suivants sont cités : · limite de déformation [EC2-2 113.3.2(102)],
· ·
limite de traction du béton à vérifier sous combinaison quasi-permanente [EC2-2 113.3.2(103)], maîtrise de la fissuration à assurer sous combinaison quasi-permanente [EC2-2 113.3.2(104)].
Il est clair que les critères d'aptitude au service doivent être adaptés pour les phases de construction. Il est nécessaire d'en faire de même pour les règles de dimensionnement de la précontrainte qui ont été rajoutées pour compléter les premières. Les détails de ces règles adaptées sont présentés en [Chapitre 7 -3].
6 - Analyse structurale
L'analyse structurale, traitée dans la Section 5 de l'Eurocode 2, a pour principal objet de déterminer la distribution des sollicitations, des contraintes, des déformations et déplacements de la structure [EC2-1-1 5.1.1(1)P]. A cet effet, il est nécessaire de faire une modélisation de la géométrie de la structure, mais aussi une modélisation de son comportement par le biais d'hypothèses sur le comportement des matériaux et sur les liaisons avec le milieu extérieur.
L'Eurocode 2 précise que dans la plupart des cas courants l'analyse structurale servira principalement à déterminer la distribution des sollicitations, des déformations et déplacements de la structure. C'est cette définition plus restrictive qui sera adoptée dans la suite du présent guide pour la distinguer de la justification des sections.
En outre, quand ils ont une influence significative, l'interaction sol-structure [EC2-1-1 5.1.2] (dans le cas des fondations profondes par exemple) et les effets du second ordre [EC2-1-1 5.1.4] (dans le cas des structures sensibles aux déformations) doivent être pris en compte. L'analyse structurale doit être complétée par des analyses locales pour la vérification de points particuliers. C'est le cas par exemple des vérifications des zones d'about ou des vérifications des zones d'application de forces concentrées (une application à l'ancrage d'une force de précontrainte est donnée en [Chapitre 10 -3]). En tout état de cause, l'analyse structurale doit tenir compte des imperfections géométriques [EC2-1-1 5.2] qui comprennent les écarts par rapport à la géométrie théorique de la structure et les écarts dans la position des charges. Ces imperfections géométriques ne sont à prendre en compte qu'aux ELU.
Il est précisé que les écarts dans les dimensions des sections sont en principe déjà pris en compte dans les coefficients partiels relatifs aux matériaux. On peut aussi noter que des indications pour quantifier les imperfections géométriques sont fournies pour les éléments soumis à un effort normal et aux éléments verticaux de structures soumises à des charges verticales. Ce sont effectivement les éléments ou structures les plus sensibles vis-à-vis de ces effets.
OR= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
6.1 - Imperfections géométriques
On ne trouve pas de règle de portée générale dans la partie 1-1 de l'Eurocode 2, qui se contente de donner des règles valables essentiellement pour les bâtiments et relatives aux éléments soumis à une compression axiale ou à des charges verticales. Les imperfections sont ainsi représentées par une inclinaison i [EC2-1-1 5.2(5)]. Pour les éléments de pont soumis aux mêmes conditions décrites ci-dessus, la partie 2 de l'Eurocode 2 modifie cette valeur et donne : i = 0 × h [EC2-2 5.2(105)],
0 = 1 200 avec 2 1 h = L
valeur de base coefficient de réduction avec L longueur de l' élément en mètre
A partir de l'inclinaison les effets des imperfections peuvent être pris en compte par l'intermédiaire d'une excentricité égale à : ei = i L0 2 [EC2-1-1 5.2(5)]
pour l'application aux piles de pont, L0 est la longueur de flambement. Les exemples suivants donnent une illustration de cette règle, et montrent que l'excentricité à prendre en compte n'est pas forcément égale à l'inclinaison multipliée par la hauteur :
ei ei ei
H L0 = 0,7H L0 = 2H
H
L0 = H
Pile encastrée à la base et libre en tête
Pile simplement appuyée en tête et encastrée à sa base
Pile encastrée en tête (sur tablier, mais libre de se déplacer ) et à sa base
(2 H) ei = i × = i × H 2
L0 = 2 H
L 0 = 0,7 H (0,7 H ) ei = i × = 0,35 i × H 2
L0 = H ei = i ×
H = 0,5 i × H 2
Fig./Tab.6.(1) Imperfection géométrique : cas d'une pile
OS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Pour une pile parfaitement bi-encastrée, la longueur de flambement est H
2
et donc la valeur de l'excentricité à
appliquer est e i = i ×
H
2 = 0,25 × H . i 2
Pour les ponts en arc, la partie 2 de l'EC2 ajoute la règle supplémentaire suivante : "Il convient d'établir la forme des imperfections dans les plans horizontal et vertical à partir de la déformée du 1er mode de flambement horizontal et vertical respectivement. Chaque déformée modale peut être représentée L où L est la "demi-longueur d'onde" par un profil sinusoïdal dont l'amplitude est égale à a = i 2 [EC2-2 5.2(106)]. La longueur d'onde du mode de flambement d'un arc correspond à la période de la sinusoïde représentant la déformée modale. Dans le cas d'un arc bi-articulé et pour le premier mode de flambement, cette longueur est égale à la longueur développée de l'arc. La demi-longueur d'onde correspond en général à la longueur de flambement, et donc l'amplitude "a" à prendre en compte correspond à l'excentricité équivalente donnée dans le cas général.
Arc bi-articulé à ses extrémités :
Arc bi-encastré à ses extrémités :
L L ei = i 0 = i 2 4
ei = i
L0 L = i 2 2
Fig./Tab.6.(2) Imperfection géométrique : cas d'un arc
Comme le fait la partie 1-1 de l'Eurocode 3, il est possible de généraliser la règle e i = i
L0 à tout type de 2 structure. La difficulté principale consiste, pour une structure complexe, à déterminer la valeur de la longueur de flambement, afin d'en déduire le défaut initial.
6.2 - Modélisation de la géométrie des structures
La géométrie est habituellement modélisée [EC2-1-1 5.3] en considérant la structure comme constituée d'éléments linéaires, d'éléments plans et occasionnellement de coques ou, dans un langage plus familier des projeteurs, de poutres, de dalles, de plaques ou de coques....
Dans certains cas particuliers, il peut être intéressant pour le projeteur de se baser sur quelques critères simples donnés pour les bâtiments [EC2-1-1 5.3.1(3) à (7)] pour pouvoir considérer un élément volumique comme une dalle ou une poutre. La notion de poutre-voile y est aussi explicitée.
OT= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
6.2.1 - Largeur participante
Un calcul de la largeur participante de la table de compression d'une poutre en T ou en L est à faire. La clause [EC2-1-1 5.3.2.1] donne une illustration détaillée de la largeur participante de la table de compression pour une poutre en T à plusieurs travées continues. Cette largeur varie selon qu'on se trouve en travée ou sur un appui intermédiaire. Mais, dans les cas où une grande précision n'est pas requise et pour une analyse structurale, une largeur constante peut être adoptée et prise égale à la valeur utilisée en travée. On peut reprendre cette définition pour une travée indépendante ou pour la membrure inférieure d'une poutre de type caisson.
Cette largeur participante intervient dans les dimensions des sections adoptées pour l'analyse structurale, mais aussi pour le calcul des contraintes.
6.2.2 - Sections brutes
Les sections de béton résultant des plans de coffrage servent à la détermination des sections brutes qui, généralement, peuvent être utilisées dans les analyses structurales et pour la détermination des sollicitations de poids propre.
6.2.3 - Portée utile
Des règles pour la détermination de la portée utile leff, pour différentes conditions d'appuis des éléments de bâtiments, sont données en [EC2-1-1 5.3.2.2]. Ces règles s'avèrent être intéressantes pour des éléments de ponts et sont rendues applicables par l'Eurocode 2 partie 2.
6.3 - Modélisation du comportement des structures
Les deux grandes familles de modèle de comportement utilisées pour l'analyse structurale le comportement linéaire ou le comportement non-linéaire sont issues notamment de la prise en compte des diagrammes "contraintes-déformations" idéalisés ou réalistes des matériaux.
Ne sont présentés dans ce chapitre que les diagrammes contraintes-déformations des matériaux à utiliser pour les analyses structurale car l'Eurocode 2 fait une distinction entre ces diagrammes (par exemple [EC2-1-1 3.1.5] pour le béton) et ceux à utiliser pour la vérification des sections ([EC2-1-1 3.1.7] toujours pour le béton) qui seront présentés lors du traitement des calculs de sections [Chapitre 6 -1]. De même, les diagrammes spécifiques qui sont utilisés par des méthodes d'analyse particulières, trouveront naturellement leur place lors de la présentation de ces méthodes.
6.3.1 - Diagrammes contraintes-déformations pour un comportement élastique
L'hypothèse d'un comportement linéaire et élastique des matériaux acier et béton est supposée, ce qui correspond à une situation idéalisée permettant notamment l'utilisation de diagrammes contraintes-déformations linéaires. De plus, les sections des éléments sont supposées non-fissurées et l'analyse structurale est conduite en utilisant les valeurs des modules de déformation Es pour les armatures passives, Ep pour les armatures de précontrainte et Ecm pour le béton.
6.3.2 - Diagrammes contraintes-déformations pour un comportement non linéaire
L'hypothèse d'un comportement non-linéaire mais élastique des matériaux acier et béton est supposée, ce qui est plus proche de leur comportement réel quand les contraintes deviennent élevées. De plus le béton fissuré
OU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
n'est pas pris en compte et l'analyse structurale est menée avec les diagrammes contraintes-déformations donnés ci-après :
6.3.2.a) Diagramme contraintes-déformations du béton
c
fcm
tan = 1,05×Ecm
c1
2 k c - c c = f cm c1 c1 1 + (k - 2 ) c c1
où c variable de déformation relative en compression du béton
cu1
c
Fig./Tab.6.(3) Diagramme contraintes-déformations du béton
k=
1,05 E cm c1 f cm
c1 (0 00 ) = min 0,7 (f ck + 8)
(
0 ,31
; 2,8
)
déformation relative au pic de contrainte
pour pour f ck < 50 MPa f ck 50 MPa
3,5 4 cu1 (0 00 ) = 98 - (f ck + 8) 2,8 + 27 100 f cm = f ck + 8 f +8 E cm = 22000 ck 10
déformation relative ultime
résistance moyenne en compression du béton à 28 jours
0,3
valeur moyenne du module d'élasticité sécant du béton
OV= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
6.3.2.b) Diagramme contraintes-déformations des aciers de précontrainte
p
fpk fp0,1k
fpk fp0,1k
p
p
0,1%
uk
p
fp0,1k / Ep
uk
Fig./Tab.6.(4) Diagrammes contraintes-déformations des aciers de précontrainte
Le diagramme de gauche comporte une partie linéaire de pente Ep jusqu'à 0,9 fp0,1k suivie d'une courbe ayant pour équation :
p = + 100 - 0,9 f p 0,1k Ep
5
Le diagramme de droite est bâti avec les coordonnées limites des deux branches (, ) : - une branche élastique - une branche supérieure inclinée avec, f p 0,1k E p ; f p 0,1k
(
uk ; f pk
)
selon l'EN10138 ou l'ATE approprié, uk allongement sous charge maximale fpk est la résistance en traction fp0,1k est la limite d'élasticité conventionnelle à 0,1% et à défaut de valeur précise on peut prendre f p 0,1k f pk = 0,9 .
Pour ces deux diagrammes une valeur de Ep peut être prise égale à 195 GPa pour les torons [EC2-1-1 3.3.6(3)].
Les deux modèles de comportement linéaire et non-linéaire sont utilisés dans quatre types d'analyse structurale :
· · · ·
analyse élastique-linéaire, analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée, analyse plastique, analyse non-linéaire.
PM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6.3.2.c) Diagramme contraintes-déformations des aciers de béton armé Kfyk fyk
s
s
fyk / Es
uk
Fig./Tab.6.(5) Diagramme contraintes-déformations des aciers de béton armé
En l'absence de préconisation claire de l'Eurocode 2, le diagramme retenu a été défini en cohérence avec celui donné pour les aciers de précontrainte. Il est bâti avec les coordonnées limites des deux branches (, ) - une branche élastique - une branche supérieure inclinée avec fyk uk limite d'élasticité déformation relative et k selon la classe des armatures pour la classe B pour la classe C uk 5% uk 7,5% k 1,08 1,15 k < 1,35 f yk ; f yk E s
(
uk
; k f yk
)
et une valeur de Es qu'on peut prendre égale à 200 GPa [EC2-1-1 3.2.7 (4)].
Pour le choix des classes d'armatures à utiliser voir le chapitre 3 du présent guide.
6.4 - Types d'analyse
6.4.1 - Analyse élastique-linéaire
L'analyse élastique-linéaire [EC2-1-1 5.4] s'effectue avec le modèle élastique-linéaire et sert dans la vaste majorité des cas, à la fois pour les ELS et les ELU. Les hypothèses de base rappelées en [EC2-1-1 5.4(2)] supposent :
· · · ·
un comportement élastique des matériaux, des sections non-fissurées, des relations contraintes-déformations linéaires pour le béton comme pour les aciers, des valeurs moyennes du module d'élasticité Es , Ep et Ecm .
Le processus de justification aux ELU se poursuit généralement, une fois les sollicitations déterminées, par une vérification de la capacité résistante des sections, effectuée en utilisant les diagrammes contraintesdéformations réservés à cet usage [Chapitre 6 -1].
PN= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
La clause [EC2-1-1 5.4(2)] permet l'utilisation de rigidités réduites correspondant aux sections fissurées dans une analyse élastique-linéaire pour les effets des déformations thermiques, des tassements et du retrait aux ELU. Ceci permet le cas échéant de modérer les effets du gradient thermique lorsque cette action s'avère pénalisante [Chapitre 3 -2.3].
6.4.2 - Analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée
L'analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée [EC2-1-1 5.5] a comme point de départ une analyse élastique-linéaire mais elle est complétée d'une redistribution des efforts (en général atténuation des moments sur appuis et majoration en conséquence des moments en travée) respectant les conditions d'équilibre et s'il y a lieu, les conditions relatives à la capacité de rotation des sections. Destinée à être utilisée pour une justification aux ELU, elle se poursuit, une fois les sollicitations redistribuées, par une vérification de la capacité résistante des sections comme expliqué au paragraphe précédent. Pour les ponts, on n'a pas souvent recours à ce type d'analyse. S'il faut déterminer les sollicitations avec plus de précision incluant tous les aspects de la redistribution (par fluage, par fissuration ou par plastification) on a recours à l'analyse non-linéaire.
Dans la pratique, il arrive que la méthode soit utilisée pour justifier, en situation d'exploitation et aux ELU, les sections de clé d'ouvrages construits par encorbellements successifs. La redistribution se fait alors par le transfert d'une partie des moments de flexion vers les sections sur appuis intermédiaires qui ont été le plus souvent dimensionnées en phase de construction et qui disposent de ce fait d'une réserve de résistance.
6.4.3 - Analyse plastique
L'analyse plastique [EC2-1-1 5.6] est réservée aux seules justifications aux ELU et d'une utilisation peu fréquente en France pour les ponts. En pratique, cela se traduit presque uniquement par l'utilisation de la méthode des lignes de rupture (méthode cinématique de la théorie de la plasticité) pour la vérification des dalles.
On peut signaler que les justifications vis-à-vis de l'effort tranchant et de la torsion de l'Eurocode 2 sont aussi en partie basées sur la théorie de la plasticité et que la méthode bielles et tirants en est une application. Elles s'appuient plus sur l'aspect "modèle de résistance" de cette théorie.
6.4.4 - Analyse non-linéaire
Par convention, l'analyse non-linéaire d'une structure prend en compte le comportement non-linéaire des matériaux en s'appuyant sur des diagrammes de contraintes-déformations plus réalistes [EC2-1-1 5.7(1)]. Il est ainsi tenu compte d'une plus grande déformabilité du béton quand le niveau de compression auquel il est soumis devient élevé, tout comme de celle de l'acier au delà de sa limite d'élasticité conventionnelle. En outre le béton, lorsqu'il est tendu, est négligé dans les calculs. C'est donc la non-linéarité des matériaux qui est prise en compte. L'analyse non-linéaire :
· · ·
utilise les diagrammes contraintes-déformations non-linéaires, pour le béton comme pour les aciers de béton armé et de précontrainte qui sont présentés en [Chapitre 2-6.3.2], néglige la résistance du béton tendu, et peut être effectuée aux ELS ou aux ELU.
En principe, le processus complet de justification est similaire à celui utilisant l'analyse linéaire : par exemple, aux ELU, il commence par une analyse structurale non-linéaire [EC2-1-1 5.7, 5.8.6(1)P, 5.8.6(2)P, début de 5.8.6(3)] pour déterminer les sollicitations ultimes. Ceci est ensuite complété d'une vérification de la capacité de résistance. Dans cette deuxième étape, les diagrammes contraintes-déformations des matériaux utilisés sont
PO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
modifiés, notamment par incorporation des divers coefficients de sécurité pour les matériaux M. On retrouve, de la même façon, une dissociation entre l'analyse structurale proprement dite et la vérification des sections.
Deux méthodes générales d'analyse non-linéaire sont proposées dans l'Eurocode 2. La première assez classique, est donnée dans l'Eurocode 2 partie 1-1 . La deuxième, proposée pour les ponts dans l'Eurocode 2 partie 2, est plus innovante. Ces deux méthodes seront appliquées à la vérification de stabilité de piles de pont [Chapitre 6 -7]. On notera que l'Eurocode 8 développe aussi des méthodes d'analyse non-linéaire spécifiques.
6.4.5 - Analyses au premier ordre et au second ordre
Les analyses structurales peuvent aussi se classer selon qu'elles sont effectuées au premier ordre ou au second ordre. Dans une analyse au premier ordre, l'hypothèse de petits déplacements est valable et l'état d'équilibre de la structure est obtenu dans sa géométrie initiale. Dans une analyse au second ordre l'équilibre de la structure est vérifié dans sa géométrie déformée (c'est ce qu'on appelle non-linéarité géométrique et la prise en compte des effets additionnels des actions induits par les déformations de la structure). Les différents types d'analyse peuvent ainsi se combiner, couvrant une gamme allant de la plus simple, à savoir l'analyse linéaire au premier ordre, à la plus complexe et complète, l'analyse non-linéaire au second ordre (à la fois non-linéarité matériaux et non-linéarité géométrique). En général, la combinaison la plus simple qui donne l'analyse linéaire au premier ordre peut être utilisée dans la plupart des cas aux ELS, comme aux ELU. L'Eurocode 2 donne un critère pour négliger ou prendre en compte les effets du second ordre : ils peuvent être négligés s'ils représentent moins de 10% des effets du premier ordre correspondants [EC2-1-1 5.8.2(6)]. Cette règle générale se traduit en pratique par des critères simplifiés relatifs à l'élancement [EC2-1-1 5.8.3.1] pour identifier rapidement au préalable les éléments pour lesquels une analyse au second ordre n'est pas nécessaire; malheureusement ils ne sont applicables qu'à des éléments isolés.
Le seuil de 10% d'amplification des effets du premier ordre est conventionnel et sert de base au calibrage des règles simplifiées relatives à l'élancement.
Lorsque les effets du second ordre sont pris en compte, l'équilibre et la résistance doivent être vérifiés dans l'état déformé. Le modèle de comportement non-linéaire doit être utilisé pour l'analyse structurale [EC2-1-1 5.1.1(7)]. Les déformations doivent être calculées en tenant compte de la fissuration (dans le cas où la limite de traction fctm est dépassée, le béton tendu est négligé), des propriétés non-linéaires des matériaux et du fluage [EC2-1-1 5.8.2(2)P]. C'est par exemple le cas d'une étude de stabilité de forme, avec des justifications qui sont logiquement à faire aux ELU.
Il est nécessaire aussi de tenir compte des effets du second ordre aux ELS dans le cas d'éléments très déformables. Les vérifications à apporter concernent les critères classiques de limitation de contrainte, d'ouverture de fissures ou, le cas échéant, de déformations. A la différence avec des justifications aux ELU, l'analyse s'effectue sans considération des imperfections initiales et avec l'hypothèse de l'élasticité linéaire des matériaux. Le béton tendu est toujours négligé s'il est tendu à une contrainte de traction en valeur absolue supérieure à fctm.
PP= Chapitre 2 - Bases de conception et de justification
PQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 3 Données principales pour les projets
1 - Données propres à l'Eurocode 2
L'Eurocode 2 met l'accent sur la durabilité des structures en béton en lui consacrant toute sa quatrième section avec pour titre significatif, mais un peu réducteur, "Durabilité et enrobage des armatures". En effet, cette durabilité, qui s'entend du point de vue de la performance technique pour une durée d'utilisation donnée, est étroitement liée à divers autres aspects du projet comme la qualité du béton (traité par l'EN 206-1), les conditions d'environnement (qui sont les conditions physiques et chimiques auxquelles la structure est exposée) ou encore le programme de maintenance de l'ouvrage... L'Eurocode 2 veut contribuer encore plus nettement à l'objectif de durabilité, en établissant le lien entre les conditions d'environnement (au travers de la définition de classes d'exposition) et la protection des armatures (via des règles concernant l'enrobage). Il ne faut cependant pas oublier que la majeure partie des justifications aux ELS traitées au chapitre 7 du présent guide est aussi destinée à obtenir des projets durables, tout comme les principales dispositions constructives.
1.1 - Classes d'exposition
Les premiers éléments importants pour commencer un projet consistent à préciser les classes d'exposition pour les différentes parois en béton des éléments de la structure en fonction de leurs conditions d'environnement. Six familles de classes d'exposition sont proposées dans le tableau 4.1 [EC2-1-1 4.1], conformément à l'EN 206-1 (Voir tableau page suivante). La classe X0 ne pourrait correspondre qu'exceptionnellement à la situation des ponts. En effet, c'est le cas du béton supposé à l'abri à l'intérieur de constructions où le taux d'humidité de l'air est maintenu à un niveau très faible et où il y a peu de risque de corrosion des armatures. Les deux dernières classes (XF ou XA) qui caractérisent les risques supplémentaires et spécifiques liés aux conditions de gel et dégel (classes XF1 à XF4) ou d'attaques chimiques (classes XA1 à XA3) se juxtaposent aux autres classes quand ces risques existent, et ont pour effet de demander des mesures appropriées qui sont à prendre au niveau de la composition du béton [EN 206-1 Anx.F]. La détermination de l'enrobage se fait ainsi exclusivement à partir des classes restantes. On s'oriente donc, en général, vers l'une des trois familles de classes XC, XD ou XS, selon que les armatures du béton peuvent être soumises respectivement, aux risques de corrosion par carbonatation, par chlorures ou par chlorures de l'eau de mer. La classe finale d'exposition XCi, XDj ou XSk peut alors être déterminée en fonction de la dernière colonne du Tableau 4.1, en s'aidant des exemples qui y sont donnés à titre informatif. L'annexe nationale rend cette colonne normative et l'enrichit d'indications précieuses au travers d'une série de notes pour faciliter et mieux cibler les choix.
Au niveau des choix structuraux, il est associé à chaque classe d'environnement une classe indicative de résistance minimale qu'il faut assurer au béton [EC2-1-1 Anx.E Tab.E.1N]. L'attention est attirée sur le fait que le choix d'un béton de durabilité convenable pour sa propre protection et pour la protection des armatures, peut conduire à une résistance à la compression du béton supérieure à celle requise par le dimensionnement de la structure du point de vue de la résistance.
PS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Désignation de la classe
Description de l'environnement Béton non armé et sans pièces métalliques noyées : toutes expositions sauf en cas de gel/dégel, d'abrasion et d'attaque chimique Béton armé ou avec des pièces métalliques noyées : très sec
Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition
Aucun risque de corrosion ni d'attaque X0
Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est très faible Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est faible Béton submergé en permanence dans de l'eau Surfaces de béton soumises au contact à long terme de l'eau Un grand nombre de fondations Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est moyen ou élevé Béton extérieur abrité de la pluie Surfaces de béton soumises au contact de l'eau, mais n'entrant pas dans la classe d'exposition XC2 Surfaces de béton exposées à des chlorures transportés par voie aérienne Piscines Eléments en béton exposés à des eaux industrielles contenant des chlorures
Corrosion induite par carbonatation XC1 Sec ou humide en permanence
XC2 XC3
Humide, rarement sec Humidité modérée
XC4
Alternativement humide et sec
Corrosion induite par les chlorures XD1 XD2 Humidité modérée Humide, rarement sec
XD3
Alternativement humide et sec
Eléments de ponts exposés à des projections contenant des chlorures Chaussées Dalles de parcs de stationnement de véhicules
Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer XS1 XS2 XS3 Attaque gel/dégel XF1 XF2 XF3 XF4 Saturation modérée en eau, sans agent de déverglaçage Saturation modérée en eau, avec agents de déverglaçage Forte saturation en eau, sans agents de déverglaçage Forte saturation en eau, avec agents de déverglaçage ou eau de mer Surfaces verticales de béton exposées à la pluie et au gel Surfaces verticales de béton des ouvrages routiers exposés au gel et à l'air véhiculant des agents de déverglaçage Surfaces horizontales de béton exposées à la pluie et au gel Routes et tabliers de pont exposés aux agents de déverglaçage Surfaces de béton verticales directement exposées aux projections d'agents de déverglaçage et au gel Zones des structures marines soumises aux projections et exposées au gel Attaques chimiques XA1 XA2 XA3 Environnement à faible agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2 Environnement d'agressivité chimique modérée selon l'EN 206-1, Tableau 2 Environnement à forte agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2 Sols naturels et eau dans le sol Sols naturels et eau dans le sol Sols naturels et eau dans le sol Exposé à l'air véhiculant du sel marin, mais pas en contact direct avec l'eau de mer Immergé en permanence Zones de marnage, zones soumises à des projections ou à des embruns Structures sur ou à proximité d'une côte Eléments de structures marines Eléments de structures marines
Fig./Tab.1.(1) : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement, conformément à l'EN 206-1 [EC2-1-1 Tab.4.1]
PT= Chapitre 3 Données principales pour les projets
Les indications complémentaires intéressant explicitement les ponts et apportées par l'annexe nationale [EC2-1-1/AN] sont données dans des notes 3 et 6 du Tableau 4.1. Elles sont rappelées ci-dessous.
Note 3 : sont à classer en XC4 les parties aériennes des ouvrages d'art y compris les retours de ces parties par les cheminements et/ou rejaillissements de l'eau. Le classement en XC4 tient compte d'un environnement extérieur où même les parties abritées de la pluie sont susceptibles d'être soumises à des ruissellements ou projections d'eau, et où la teneur en gaz carbonique dans l'air environnant l'ouvrage est a priori plutôt élevée. Note 6 : en France, les classes d'exposition XF1, XF2, XF3 et XF4 sont indiquées dans la carte donnant les zones de gel [EN 206-1/AN NA4.1 Fig.NA.2 et Note]. Pour ces classes d'exposition XF, et sous réserve du respect des dispositions liées au béton (EN 206-1 et documents normatifs nationaux), l'enrobage sera déterminé par référence à une classe d'exposition XC ou XD, comme indiqué en [EC2-1-1 4.4.1.2(12)].
Les classes de référence à retenir, pour l'enrobage uniquement, sont les suivantes :
Type de salage (cf. Recommandations Gel 2003) Peu fréquent Classes d'exposition XF1 XC4 XF2 Sans objet XD1, XD3 pour éléments très exposés* Sans objet XF3 pour béton formulé sans entraîneur d'air XC4 avec entraîneur d'air XD1 Sans objet Sans objet XF4 Sans objet XD2, XD3 pour éléments très exposés* XD3
Fréquent Très fréquent
Sans objet Sans objet
* pour les ponts : corniches, longrines d'ancrage des dispositifs de retenue, solins des joints de dilatation
La correspondance établie par l'annexe nationale à partir des classes XF vers les classes XC ou XD ne s'impose que si la classe de référence obtenue est plus sévère que la classe XC ou XD concomitante. Dans le cas d'une classe XS concomitante avec une XF il n'y a pas de correspondance et c'est la classe XS d'origine du projet qui sert dans la détermination de l'enrobage. Exemple d'un pont en bord de mer La détermination des classes d'environnement se fait par paroi : · pour les parois extérieures : - XC4 corrosion induite par carbonatation, paroi soumise à un environnement alternativement humide et sec ; - XS1 corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer, paroi exposée à l'air véhiculant du sel marin, mais pas en contact direct avec l'eau de mer. L'exemple choisi est suffisamment éloigné du bord de mer immédiat pour ne pas être classé en XS3 [EC2-1-1/AN Tab.4.1 Note5]. · sous la chape d'étanchéité [EC2-2 4.2(105)] : - XC3 · pour les parois intérieures [EC2-2 4.2(104)] : - XC3 (on a choisi de ne pas classer l'intérieur du caisson en XS1, mais ceci est fonction du projet particulier).
Fig./Tab.1.(2) : Exemple d'un pont situé en bord de mer
PU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2 - Enrobage
Au premier abord, la détermination des valeurs d'enrobage à adopter pour les armatures paraît complexe. En effet il faut passer successivement par :
· ·
la détermination des classes d'exposition (utilisation du tableau 4.1 comme vu ci-dessus), la détermination de la classe structurale [EC2-1-1 4.4.1.2(5)],
La classe structurale est définie de manière conventionnelle pour la détermination de l'enrobage. Elle s'appuie sur la durée d'utilisation de projet qui est caractérisée par une catégorie définie en fonction des divers types de constructions [EC0 2.3 Tab.2.1], mais aussi sur d'autres facteurs comme par exemple la classe de résistance de béton. La classe structurale de référence recommandée est S4 correspond à une durée d'utilisation de projet de 50 ans et des classes de résistance de béton au moins égales à celles données en [EC2-1-1 Anx.E]. Elle est ensuite modulée en fonction de choix particuliers pour le projet (utilisation du tableau 4.3N modifié par l'annexe nationale en 4.3NF ci dessous).
Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Critère Durée d'utilisation de projet X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 / XA1 3) XD2 / XS2 / XA2 3) XD3 / XS3 / XA3 3)
Classe de résistance 1)
100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et moins : moins : moins : moins : moins : moins : moins : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C45/55 C30/37 C40/50 C30/37 C30/37 C35/45 C40/50 et et et et et et et < C70/85 : < C50/60 : < C60/75 : < C50/60 : < C55/67 : < C60/75 : < C60/75 : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C50/60 : C50/60 : minoration de 2 minoration de 2 Béton de classe C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C55/67 : minoration de 2 Béton de classe C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 C60/75 : C60/75 : C60/75 : C70/85 : minoration de 2 minoration de 2 minoration de 2 minoration de 2 Béton de classe C40/50 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1
Nature du liant
Enrobage compact 2)
1) Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici le rôle d'un indicateur de durabilité. Il peut être judicieux d'adopter, sur la base d'indicateurs de durabilité plus fondamentaux et des valeurs de seuil associées, une justification spécifique de la classe structurale adoptée, en se référant utilement au guide AFGC « Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages » ou à des documents normatifs reposant sur les mêmes principes. 2)
Ce critère ne s'applique que dans le cas des éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie, à savoir :
Face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées), coulés horizontalement sur coffrages industriels. Éléments préfabriqués industriellement : éléments extrudés ou filés, faces coffrées des éléments coulés dans des coffrages métalliques Sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l'accessibilité du fond de coffrage aux dispositifs de vibration.
3)
Pour les classes d'exposition XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d'une justification de la nature de l'agent agressif.
Fig./Tab.1.(3) : Modulations de la classe structurale recommandée, en vue de la détermination des enrobages minimaux cmin,dur dans les tableaux 4.4N et 4.5NF [EC2-1-1/AN Tab. 4.3NF]
· ·
la détermination de l'enrobage minimal, et enfin, la prise en compte des tolérances d'exécution [EC2-1-1 4.4.1.3] qui permet d'arriver à l'enrobage nominal, valeur finale à spécifier sur les plans.
PV= Chapitre 3 Données principales pour les projets
A l'usage, le projeteur découvre qu'il dispose avec l'Eurocode 2 de règles lui permettant d'orienter plus finement ses choix et que les efforts tendant vers une meilleure qualité sont récompensés en retour. Ceci peut s'avérer payant en économie de matière surtout dans des réalisations industrielles répétitives. D'un autre côté, l'adoption directe sans trop de finesse des valeurs proposées donnent à peu près les résultats des pratiques antérieures. Les exemples fournis par la suite en sont une bonne illustration.
1.2.1 - Détermination des enrobages minimum et nominal
L'enrobage minimum est défini comme étant la plus grande de trois valeurs cmin,b, cmin,dur et 10 mm. cmin = max { cmin,b ; cmin,dur ; 10 mm } Pour les ponts, dans la pratique, la valeur de 10 mm n'intervient pas et ce sont les deux valeurs cmin,b, valeur requise vis-à-vis de l'adhérence et cmin,dur, valeur requise vis-à-vis de la durabilité qui entrent en jeu.
1.2.1.a) Enrobage minimal vis-à-vis de l'adhérence
cmin,b est l'enrobage minimum nécessaire pour garantir une bonne transmission des forces d'adhérence. Il est défini par le tableau [EC2-1-1 4.4.1.2 Tab.4.2] et rappelé dans les deux tableaux suivants pour les aciers passifs et pour les armatures de précontrainte.
cmin,b pour les aciers passifs Plus gros granulat 32 mm Armatures individuelles Paquets * équivalent Plus gros granulat > 32 mm + 5 mm équivalent + 5 mm
* Pour la détermination du diamètre équivalent, dans le cas de paquet de barres, on se reportera au chapitre 8 du présent guide.
cmin,b pour les armatures de précontrainte Câbles dans gaine circulaire Câbles dans gaine plate Armatures pré-tendues min { ; 8 cm}, diamètre de la gaine max {a ; b/2}, (a,b) dimensions de la gaine et b>a max {2 ; diamètre du plus gros granulat} diamètre du toron, du fil lisse ou du fil cranté
Fig./Tab.1.(4) : Valeurs de cmin,b pour les aciers passifs et de précontrainte
QM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2.1.b) Enrobage minimal vis-à-vis de la durabilité
cmin,dur est l'enrobage minimum [EC2-1-1 4.4.1.2] nécessaire pour garantir la protection des armatures en acier contre la corrosion. Il est défini pour les armatures passives par le tableau non-modifié 4.4N de l'Eurocode 2 et pour les armatures de précontrainte par le tableau 4.5N de l'Eurocode 2 modifié par l'annexe nationale; les deux sont reproduits ci-dessous. cmin,dur dépend de la classe structurale " Sn " et des classes d'exposition des parois de la structure.
Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe Structurale S1 S2 S3 S4 S5 S6 Classe d'exposition selon Tableau 4.1 X0 10 10 10 10 15 20 XC1 10 10 10 15 20 25 XC2 / XC3 10 15 20 25 30 35 XC4 15 20 25 30 35 40 XD1 / XS1 20 25 30 35 40 45 XD2 / XS2 25 30 35 40 45 50 XD3 / XS3 30 35 40 45 50 55
Fig./Tab.1.(5) : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conformes à l'EN 10080 [EC2-1-1 Tab.4.4N] Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe Structurale S1 S3 S4 S5 S6 Sans objet S2 Classe d'exposition suivant le Tableau 4.1 X0 XC1 10 15 20 25 30 35 XC2/XC3 15 25 30 35 40 45 XC4 25 30 35 40 45 50 XD1/XS1 30 35 40 45 50 55 XD2/XS2 35 40 45 50 55 60 XD3/XS3 40 45 50 55 60 65
Fig./Tab.1.(6) : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de précontrainte [EC2-1-1/AN Tab.4.5NF]
La lecture de ces tableaux se fait de la manière suivante :
· ·
la classe structurale de référence recommandée S4 sert de point de départ ; elle correspond à une durée d'utilisation de projet de 50 ans et a servi comme base au calibrage des valeurs d'enrobage du tableau ; le tableau 4.3N de l'Eurocode 2 modifié par l'annexe nationale est ensuite utilisé pour effectuer les changements de classe structurale compte tenu des conditions particulières du projet : - sur-classement de 2 classes pour les structures dont la durée d'utilisation de projet escomptée doit être de 100 ans, - sous-classement d'une ou de 2 classes par prise en compte des performances de durabilité du béton par le biais de critères basés sur la classe de résistance du béton, la nature du liant ou la compacité de l'enrobage ; une fois la classe structurale finale obtenue, les valeurs de l'enrobage minimum cmin,dur à considérer se lisent directement dans les deux tableaux 4.4N ou 4.5NF présentés précédemment, en fonction des classes d'exposition attribuées au cas étudié.
·
L'application du tableau 4.4N ou 4.5NF, selon que l'on cherche l'enrobage pour les armatures de béton armé ou l'enrobage pour les armatures de précontrainte, conduit à une valeur cmin,dur qu'il convient de moduler, le cas échéant, en fonction d'autres aspects complémentaires. C'est le cas, quand une marge de sécurité supplémentaire est voulue ou lors de l'utilisation d'acier inoxydable ou en présence de protection
QN= Chapitre 3 Données principales pour les projets
supplémentaire [EC2-1-1 4.4.1.2(3) et (6) à (13)]. Mais, en général, il n'y a pas lieu de modifier cmin,dur [EC2-1-1/AN 4.4.1.2].
1.2.1.c) Enrobage nominal
Une fois cmin obtenu en prenant le maximum des valeurs requises vis-à-vis de l'adhérence cmin,b et vis-à-vis de la durabilité cmin,dur , on lui ajoute une marge appelée écart d'exécution cdev pour tenir compte des tolérances d'exécution [EC2-1-1 4.4.1] et pour obtenir l'enrobage nominal qui doit être spécifié sur les plans : cnom = cmin + cdev L'Eurocode 2 recommande une valeur courante de 10mm pour cdev . L'annexe nationale confirme cette valeur mais fixe des conditions particulières qui peuvent permettre une réduction de cette valeur. Par exemple : - si le système d'assurance qualité inclut une surveillance avec mesure de l'enrobage, la valeur peut baisser jusqu'à 5mm, 5mm < cdev < 10mm - si, dans le cas de préfabrication, il y a la garantie de mesures précises et la possibilité de rejet en cas de non-conformité, elle peut baisser jusqu'à zéro : 0mm < cdev < 10mm
1.2.2 - Exemple d'application
Exemple du pont en bord de mer Rappel des classes d'environnement obtenues précédemment : · Classes d'environnement pour les parois extérieures : - XC4 corrosion induite par carbonatation, paroi soumise à un environnement alternativement humide et sec - XS1 corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer, paroi exposée à l'air véhiculant du sel marin mais pas en contact direct avec l'eau de mer · Classes d'environnement pour les parois intérieures et sous la chape d'étanchéité : - XC3 selon [EC2-2 4.2(105)] · Classes structurales : Classe structurale de départ = S4 Modulation de cette classe +2 pour une durée d'utilisation de projet de 100 ans +0 ou -1 selon la classe de résistance du béton utilisée par rapport à la classe de résistance recommandée en fonction de la classe d'exposition +0 ou -1 selon la classe de résistance du béton qui doit être aussi à base de CEM I sans cendres volantes. -1 pour enrobage compact en sous-face de dalle D'où pour les parois extérieures en sous-face 4 + 2 (100 ans) 1 (béton C35/45 MPa pour XC4) 0 (CEM I mais résistance insuffisante) 1 (enrobage compact) S4 4 + 2 (100 ans) 0 (béton C35/45 MPa pour XS1) 0 (CEM I mais sans objet) 1 (enrobage compact) S5. C'est le classement en XS1 qui donne le résultat le plus sévère. (les parois d'âmes ne bénéficient pas de la réduction pour enrobage compact) Pour les parois intérieures autres que la sous-face de hourdis supérieur 4 + 2 (100 ans) 1 (béton C35/45 MPa pour XC3) 1 (CEM I et résistance suffisante) 0 (enrobage compact) S4
QO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Enrobage nominal pour les aciers passifs : Hypothèse d'un cas courant : le plus gros granulat est inférieur ou égal à 32 mm, et acier 25 parois extérieures en sous-face Classes d'environnement Classes structurales Enrobage min/adhérence cmin,b = acier [Fig./Tab.1.(4)] Enrobage min/durabilité cmin,dur [Fig./Tab.1.(5)] cmin = max {cmin,b ; cmin,dur} Tolérances d'exécution cdev (mesure des enrobages) Enrobage nominal cnom = cmin + cdev XC4 / XS1 S5 25 mm 40 mm 40 mm 5 mm 45 mm parois intérieures (sauf sous-face de hourdis supérieur) XC3 S4 25 mm 25 mm 25 mm 5 mm 30 mm
Dans la pratique, on essaiera de limiter le nombre de valeurs d'enrobage.
2
- Données relatives aux actions
A la date de publication du présent document, un guide méthodologique sur les actions sur les ponts est en cours de préparation au Sétra, il conviendra de s'y référer pour plus de détails.
2.1 - Classe de trafic
Il convient de définir la classe de trafic à adopter pour l'ouvrage selon les indications de l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2.
2.2 - Transports exceptionnels
2.2.1 - Généralités
Conformément à l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2, l'annexe A informative de cet Eurocode relative aux véhicules spéciaux n'est pas applicable. Elle est remplacée par :
· ·
la réglementation française sur les transports exceptionnels pour la définition de véhicules spéciaux "types", le "Guide pour la prise en compte des véhicules spéciaux sur les ponts routiers", joint en annexe à l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2 pour la définition des règles de calcul à retenir pour les véhicules spéciaux circulant seuls ou mêlés au trafic routier normal.
QP= Chapitre 3 Données principales pour les projets
2.2.2 - Véhicules spéciaux pris en compte
Le projet individuel peut éventuellement définir des véhicules spéciaux à prendre en compte et préciser leurs conditions de circulation. Pour les véhicules spéciaux civils, le projet peut : · soit viser des véhicules spéciaux "types" définis par la réglementation française sur les transports exceptionnels,
·
soit définir des véhicules spéciaux particuliers susceptibles d'emprunter l'ouvrage.
De même, le projet peut indiquer des véhicules spéciaux militaires à prendre en compte, par exemple, le convoi de porte-engins blindés Leclerc, les chars de 72 ou 110 tonnes, etc. Le projet précise les conditions de circulation de ces véhicules : · circulation à faible vitesse (inférieure ou égale à 5 km/h) ou à vitesse normale (de l'ordre de 70 km/h),
· · · · ·
véhicules spéciaux seuls sur l'ouvrage ou mêlés au trafic courant, nombre et espacement des véhicules spéciaux, circulation selon un axe imposé, circulation possible sur les bandes d'arrêt d'urgence ou sur les bandes dérasées (en l'absence d'indication le véhicule est supposé pouvoir circuler sur toute la largeur de la chaussée), fréquence de passage sur l'ouvrage.
Les valeurs caractéristiques des charges associées aux véhicules spéciaux sont les charges nominales de ces véhicules multipliées par 1,1.
2.2.3 - Prise en compte des véhicules spéciaux dans les combinaisons d'actions
Le groupe de charges correspondant aux véhicules spéciaux est appelé groupe 5 et noté gr5. "LM3" désignant la valeur caractéristique du véhicule spécial retenu au projet individuel, "LM3 freinage" désignant les forces de freinage correspondantes et désignant le coefficient de majoration dynamique du véhicule spécial, le groupe 5 est défini comme suit :
· ·
sans trafic routier concomitant : avec trafic routier concomitant :
groupe 5 = gr5 = Q LM3 × + Q "LM3 freinage" groupe 5 = gr5 = Q LM3 × + Q "LM3 freinage" + Q 0,4UDL + 0,75TS
Les combinaisons d'action à considérer pour les véhicules spéciaux sont les suivantes : ELU ELS ELS combinaison fondamentale pour situations de projet durable et transitoire combinaison caractéristique combinaison fréquente
(1,35 G
j1
kj,sup
+ 1,00 G kj,inf ) + P P + 1,35 gr5
(G
j1
kj,sup
+ G kj,inf ) + Pk + gr5 + 0,6Tk + G kj,inf ) + Pk + 1 gr5
(G
j1
kj,sup
(avec 1 = dépendant de la fréquence de passage des véhicules spéciaux susceptibles d'emprunter l'ouvrage [EC0/AN Anx.A2].
QQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.3 - Gradient thermique
Il ne s'agit pas ici d'effectuer une présentation complète de l'Eurocode 1 partie 1-5 consacré aux charges thermiques d'origine climatique, mais d'attirer l'attention du projeteur sur les principaux éléments qui distinguent ce texte des pratiques antérieures et de mettre en relief les règles particulières de prise en compte du gradient thermique propres à l'Eurocode 2.
A défaut d'informations plus précises, le coefficient de dilatation thermique du béton peut être pris égal à 10 ×10-6/°C [EC2-1-1 3.1.3(4)].
2.3.1 - Définition de l'action thermique
L'action thermique Tk donne lieu à une distribution de températures quelconque dans la section T(y), et peut se décomposer en trois composantes : · une composante de variation uniforme de température. Elle conduit à un allongement ou raccourcissement du tablier de l'ouvrage, et éventuellement un effort normal ; cette composante est notée TN ;
·
une composante dite de gradient thermique, qui correspond à une différence de température entre les fibres supérieure et inférieure du tablier. Elle conduit à une courbure du tablier, ainsi qu'éventuellement à un moment fléchissant ; cette composante est notée TM ;
En toute rigueur une composante de gradient linéaire transversal peut exister de manière concomitante avec la précédente ; elle n'est pas explicitée pour simplifier la présentation.
·
une composante dite équilibrée, et notée TE. C'est, le champ de température déduit par soustraction des deux champs précédents : TE (y ) = T(y ) - TN - TM × y h
où h désigne la hauteur de la section, et y est nul au droit de l'axe neutre. Cette composante équilibrée ne conduit à aucune sollicitation dans la structure (même hyperstatique) : seules des auto-contraintes sont créées ; elles ont pour expression (compression comptée positivement) : TE = E cm × T × TE . Par définition, la composante équilibrée TE n'est pas "linéaire" dans la section ; il en va donc de même des auto-contraintes qu'elle crée TE. La plupart des règles de vérification énoncées dans les eurocodes matériaux ne sont alors plus directement applicables. La première composante TN est prise en compte de manière classique et ne présente aucune difficulté particulière. Sa valeur est déterminée au moyen du tableau de l'annexe nationale relatif à la clause [EC1-1-5 6.1.3.2 (1)]. De plus, afin d'éviter au projeteur toute erreur de lecture, les courbes de la figure 6.1 sont remplacées par un tableau (strictement équivalent). En revanche, deux méthodes sont proposées pour la prise en compte des composantes TM et TE qui dépendent du type de structure, et de l'épaisseur du revêtement :
· ·
dans la méthode 1 [EC1-1-5 6.1.4.1], des valeurs forfaitaires de TM sont spécifiées dans l'Eurocode 1 partie 1-5 ; la composante équilibrée est quant à elle simplement ignorée et aucune valeur n'est fournie ; dans la méthode 2 [EC1-1-5 6.1.4.2], les valeurs des composantes TM et TE se déduisent par intégration à partir d'un profil de température T(y) variant dans la hauteur de la section et donné dans des tableaux. Cette seconde méthode est plus laborieuse, mais on obtient, dans la plupart des cas, une composante TM plus faible que celle imposée par la méthode 1.
Il est généralement admis de ne pas tenir compte explicitement de la composante équilibrée dans les calculs de section. Pour les ponts en béton ses effets sont couverts par un ferraillage de peau adapté.
QR= Chapitre 3 Données principales pour les projets
2.3.2 - Signe du gradient thermique
Le gradient thermique TM est conventionnellement compté positivement lorsque la fibre supérieure du tablier est plus chaude que la fibre inférieure du tablier. Ce cas (qui correspond à un échauffement direct par les rayons solaires, en journée) est le seul considéré dans les pratiques antérieures. Les moments hyperstatiques engendrés par un gradient thermique positif tendent à comprimer la fibre supérieure d'une poutre. L'Eurocode1 partie 1-5 demande également de considérer un gradient thermique négatif (de valeur absolue plus faible que le précédent). Dans ce cas, la fibre inférieure du tablier est plus chaude que la fibre supérieure. Ce cas correspond au refroidissement du tablier pendant la nuit (les déperditions de chaleur sont plus élevées sur la face supérieure que sur la face inférieure). Les moments hyperstatiques engendrés par un gradient thermique négatif tendent la fibre supérieure d'une poutre.
2.3.3 - Action thermique : action de courte durée
La distinction entre composantes de variation rapide et lente, introduite dans les pratiques antérieures, n'a pas été reprise dans les eurocodes. L'intégralité de l'action thermique doit être considérée comme une action de courte durée donc calculée avec le module sécant Ecm. Une telle disposition peut être justifiée par un calcul de coefficient de fluage suivant l'annexe B de l'Eurocode 2 partie 1-1.
On considère pour cela la dalle constituée par la traverse supérieure d'un pont cadre, de 16 m de largeur totale, et d'épaisseur 38 cm. Lorsque cet ouvrage est âgé de cinquante ans (la moitié de sa durée de vie de calcul), on lui applique une déformation imposée pendant une durée de quatre mois (variations saisonnières de température). Un calcul simple du coefficient de fluage montre qu'alors : (50 ans + 4 mois, 50 ans) 0,25 Une valeur plus défavorable, calculée au début de la durée d'utilisation, à deux ans par exemple de la mise en service serait : (2 ans + 4 mois, 2 ans) 0,47 En d'autres termes, les déformations de fluage sont faibles, et les sollicitations résultant des actions thermiques peuvent être calculées avec la valeur Ecm du module d'Young.
2.3.4 - Prise en compte dans la combinaison quasi-permanente de charges
Il est bon de souligner que conformément à l'annexe A2 de l'Eurocode 0, l'action thermique intervient dans toutes les combinaisons d'actions aux ELS, donc également dans la combinaison quasi-permanente (contrairement aux spécifications des pratiques antérieures). On pourra toutefois, généralement, négliger l'action thermique aux ELU [EC2-1-1 2.3.1.2].
Il faut noter que dans certains cas, non seulement la température ne doit pas être négligée aux ELU mais peut même intervenir comme action de base (ex. : cas d'un arc surbaissé).
2.3.5 - Calcul des sollicitations dues aux charges thermiques
Seules les composantes TN et TM sont visées ici, puisqu'il a été déjà mentionné que la composante TE éventuellement prise en compte ne créait ni effort normal, ni moment fléchissant (composante équilibrée). En général le calcul des sollicitations peut se faire en admettant un comportement linéaire-élastique de la structure [EC2-1-1 5.4(2)] (les caractéristiques géométriques sont celles des sections brutes).
QS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 offre cependant la possibilité de tenir compte de l'état de fissuration de la section pour le calcul des effets de l'action thermique [EC2-1-1 5.4(3)]. Ceci conduit à une réduction des moments fléchissants dus au gradient thermique par redistribution mais entraine des complications de calcul importantes. On peut se contenter de se mettre du côté de la sécurité en évaluant les sollicitations majorées, obtenues à partir de sections non-fissurées. Dans les ouvrages courants en béton armé en France, jusqu'ici, les effets du gradient thermique étaient traditionnellement négligés sans constat de pathologie particulière. On pourra s'appuyer sur la clause citée ci-dessus pour prendre en compte l'effet favorable de la fissuration afin de minimiser l'impact de la prise en compte de l'action thermique dans ces structures. Dans le cas particulier et simple d'une structure en béton armé fléchie (pas d'effort normal) avec un rapport des inerties fissurée et brute constant, la réduction du moment fléchissant correspond directement à la minoration du gradient thermique ou de la courbure imposée déduite de TM par cette même valeur.
=-
T I fiss × × TM h I brute
(La courbure étant comptée positivement lorsqu'elle conduit à un allongement de la fibre inférieure).
A titre d'exemple, considérons la dalle constituée par la traverse supérieure d'un pont cadre et dans laquelle on néglige la présence de l'effort normal. On adopte les données suivantes : - béton C35/45, Ecm = 34 Gpa - largeur totale b = 16 m - hauteur totale h = 0,38 m - distance de la fibre supérieure au lit inférieur des aciers d = 0,34 m - section transversale des armatures du lit inférieur As = 38,1 cm2/m (220 tous les 0,165 m). Les inerties obtenues sont les suivantes : - section brute de béton (armatures négligées) : Ibrute = 73,16 × 10-3 m4 - section fissurée (béton tendu et armatures comprimées négligés) : Ifiss = 25,96 ×10-3 m4 soit un facteur de 2,8 entre les deux inerties, et une réduction des sollicitations dues aux charges thermiques dans le même rapport.
QT= Chapitre 3 Données principales pour les projets
3 - Données diverses
3.1 - Définition des sections et coefficients d'équivalence
Les différentes sections à utiliser ne sont pas introduites explicitement dans l'Eurocode 2, puisqu'il ne s'agit pas de notions "réglementaires". Elles restent bien sûr valables, pratiques et il est utile de rappeler leur définition précise.
3.1.1 - Section brute / nette
Ces deux premières sections ne font pas intervenir les armatures passives ou de précontrainte.
·
Sections brutes : ce sont les sections du béton seul, telles qu'elles résultent des dessins de coffrage, sans déduction des évidements, encoches et conduits destinés à recevoir les armatures de précontrainte ou leurs ancrages, souvent utilisées pour les analyses structurales comme vu en [Chapitre 2 -6.2.2]. Sections nettes : on les obtient en soustrayant des sections brutes les vides tels que trous, encoches et conduits ménagés pour le passage ou l'ancrage des armatures de précontrainte, et ce, même si ces vides sont ultérieurement remplis.
·
3.1.2 - Section fissurée ou non fissurée
Le choix entre calcul en section fissurée/non fissurée se fait au cas par cas, en fonction de la contrainte de traction maximale dans la section résultant d'un premier calcul en section non fissurée [EC2-1-1 7.1(2)].
· ·
Si min > -fct,eff , les calculs sont faits en section non fissurée le cas échéant*. Sinon, les calculs sont faits en section fissurée, c'est-à-dire en négligeant le béton tendu.
Pour l'application aux ponts, on utilisera systématiquement f ct,eff = f ctm *Il faut évidemment considérer dans le premier calcul la contrainte maximale de traction qu'est susceptible de connaître l'ouvrage sous combinaison caractéristique. En effet, une fois que la section a été fissurée elle ne présente plus de résistance à la traction. Ainsi par exemple pour une vérification sous combinaison fréquente, même si 0 > min > - f ctm il convient de faire le calcul en section fissurée si min < - f ctm sous combinaison caractéristique.
La valeur de fct,eff à utiliser pour le calcul des contraintes peut être prise égale à fctm ou fctm,fl
3.1.3 - Section homogène / homogène réduite
Ces deux dernières sections font intervenir les armatures passives et/ou de précontrainte dans la mesure où ces armatures sont adhérentes au béton par l'intermédiaire des coefficients d'équivalence n qui sont les rapports E E et p . Elles se de leur module de déformation au module de déformation du béton, soit s E cm E cm distinguent selon que l'on est en section fissurée ou en section non-fissurée.
·
Sections homogènes : elles interviennent dans les calculs en section non-fissurée et sont obtenues en ajoutant aux sections nettes la section des armatures de béton armé et/ou de précontrainte multipliée par un coefficient d'équivalence.
Il est rappelé que les sections non-fissurées sont les sections où la contrainte de traction n'est pas inférieure à - f ctm sous combinaison caractéristique.
QU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Sections homogènes réduites : elles interviennent dans les calculs en section fissurée pour lesquels le béton tendu est négligé; ce sont les sections homogènes obtenues avec la seule partie comprimée du béton.
Les sections sont fissurées en service quand elles ne vérifient pas le critère des sections non-fissurées (ce sont généralement les sections en béton armé et dans le cas de section en béton précontraint on parle alors de précontrainte partielle).
3.1.4 - Sections pour le calcul des contraintes aux ELS
Le calcul des contraintes se fait avec les hypothèses fondamentales suivantes :
· · · ·
les sections droites restent planes, le béton tendu, soit résiste à la traction (calcul en section non-fissurée), soit est négligé (calcul en section fissurée), les matériaux ne subissent aucun glissement relatif (les armatures ont la même déformation que le béton situé au même niveau), les armatures et le béton obéissent à la loi de Hooke.
3.1.4.a) Calculs de contrainte des sections en béton armé
Comme en général les sections sont fissurées, ce sont les sections homogènes réduites qui sont utilisées pour le calcul des contraintes. Par ailleurs la façon de prendre en compte le fluage n'est pas explicitée, mais la méthode simplifiée utilisant un module effectif de déformation du béton, Ec,eff [Chapitre 4 -2.1.1], est admise. Les effets du fluage peuvent ainsi être pris en compte d'une manière forfaitaire par l'utilisation d'un coefficient d'équivalence n, intermédiaire E E entre s et s , et dépendant de la proportion entre charges permanentes et charges variables. Un E cm E c,eff pas de plus dans la simplification pourrait consister à revenir aux pratiques antérieures en adoptant une valeur fixe pour n.
On pourra généralement prendre n = 15 pour les bétons ordinaires et n = 9 pour les bétons à hautes performances ( f ck 55MPa ), un calcul plus précis restant toujours possible. Un second calcul "court terme" avec n = peut être nécessaire lorsque la contrainte de E cm compression du béton obtenue par le calcul précédent est proche de la limite admissible. Il convient alors de vérifier que la compression admissible n'est pas dépassée dans le calcul "court terme".
Es
3.1.4.b) Calculs de contrainte des sections en béton précontraint
Pour les sections non-fissurées en service :
·
les contraintes dues aux actions permanentes sont généralement calculées en section nette.
Cette manière de faire peut servir pour un calcul manuel simple et en pré-dimensionnement. En pratique dans le cas de constructions phasées avec utilisation d'un logiciel élaboré et prise en compte du fluage par une méthode scientifique, les sections homogènes interviennent dès qu'il y a injection de certaines armatures de précontrainte qui les rendent adhérentes vis-à-vis des applications de charges permanentes ultérieures.
·
les contraintes dues aux actions variables sont calculées en section homogène, avec un coefficient E E pour les aciers passifs et p d'équivalence s pour les aciers de précontrainte. E cm E cm
QV= Chapitre 3 Données principales pour les projets
Pour les sections fissurées en service, le calcul des contraintes est fait comme précédemment en section non fissurée pour les charges permanentes et en section homogène réduite pour les actions variables. Les tensions dans les aciers passifs et les surtensions dans les câbles de précontrainte à partir de l'état permanent sont E E pour les aciers passifs et p calculées avec un coefficient d'équivalence s pour les aciers de E cm E cm précontrainte.
La pratique antérieure distinguait la part de surtension des aciers de précontrainte accompagnant le retour à zéro de la contrainte du béton adjacent, et la part de surtension ultérieure, en leur affectant des coefficients d'équivalence différents. Cette distinction sur le coefficient d'équivalence n'a pas lieu d'être ; elle n'est donc pas reconduite. Il est par ailleurs rappelé que les différences d'adhérence entre aciers passifs et précontrainte doivent être prises en compte le cas échéant [Chapitre 5 -5].
3.2 - Durée d'utilisation de projet
La durée d'utilisation de projet est la période pendant laquelle une structure doit pouvoir être utilisée avec une maintenance normale et sans réparations majeures. Une valeur de 100 ans est escomptée pour les ponts en béton dont les projets sont établis en utilisant les eurocodes [EC0 2.3 Tab.2.1]. Il faut rappeler que l'enrobage minimum, élément important du projet, a sa valeur qui dépend directement du choix de la durée d'utilisation de projet. Il se détermine avec l'Eurocode 2 comme indiqué au [Chapitre 3 -1.2].
En cas de besoin particulier du maître d'ouvrage pour une durée d'utilisation différente, les eurocodes n'offrent pas de solution complète car ils ne permettent une modification du niveau de fiabilité qu'au travers d'un nombre restreint de variables, comme par exemple la valeur représentative des actions, les coefficients partiels. Il existe néanmoins d'autres mesures, en dehors du cadre des eurocodes, comme la gestion de la qualité, l'assurance d'une maintenance efficace, etc. Enfin, des mesures spécifiques de type préventif ou de protection sont aussi favorables à la longévité des ouvrages.
3.3 - Hygrométrie ambiante moyenne
En l'absence de données plus précises, on peut prendre pour des ouvrages à l'air libre les valeurs suivantes pour l'hygrométrie ambiante moyenne, RH, exprimée en pourcentage d'humidité relative : RH = 55 dans le quart sud-est de la France RH = 70 dans le reste de la France
La méthode simplifiée de détermination du coefficient de fluage dans l'Eurocode 2 [EC2-1 Fig.3.1] est donnée pour les valeurs de RH de 50 % et 80 %. Il est bien entendu qu'il est loisible de faire des interpolations linéaires.
3.4 - Autres données
Les autres données, relatives aux matériaux et nécessaires aux calculs sont les suivantes :
·
pour le béton : la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours fck (compte tenu, le cas échéant, du minimum requis précédemment) et donc tous les autres paramètres qui en découlent fcm, fctm, Ecm etc.(voir tableau 3.1) ;
Il est rappelé que le module E cm dépend notamment du type de granulats. L'Eurocode 2 donne des valeurs indicatives sur les corrections à apporter à E cm [EC2-1-1 3.1.3(2)]. Lorsque la valeur du module a une forte influence sur les résultats des calculs, il est recommandé de procéder à des essais.
RM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
pour les armatures passives : les barres et fils à haute adhérence sont utilisés et l'acier requis est caractérisé par sa limite conventionnelle d'élasticité et sa classe de ductilité. Pour les ponts l'Eurocode 2 recommande de n'utiliser que les classes de grande et très grande ductilité B et C [EC2-2 3.2.4(101)P]. On utilisera donc en principe les aciers B500B en général et l'acier B500C dans le cas de besoin d'une très grande ductilité, par exemple pour une conception vis-à-vis du séisme. Néanmoins l'emploi de la classe A pour les armatures de tranchant et de torsion est admis par l'annexe nationale. Pour plus d'informations on ira utilement consulter la norme EN 10080 ; pour les armatures de précontrainte : il convient d'avoir recours à un acier à haute résistance, caractérisé principalement par sa résistance caractéristique à la traction fpk et sa classe de relaxation (classe 2 de relaxation de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.3.2(4)P]) ; pour le ciment il y a lieu de faire un choix parmi les 3 classes de ciment S, N et R dont dépendent certaines données qui entrent dans le calcul de la montée en résistance du béton au cours des 28 premiers jours (caractérisé par le coefficient cc) [EC2-1-1 3.1.2(6)] ou encore dans le calcul des coefficients de fluage et de retrait [EC2-1-1 Anx.B].
Pour les projets courants on peut adopter la classe de ciment N. Lorsque la conception de l'ouvrage nécessite une mise en tension de la précontrainte sur un béton jeune, il est souvent nécessaire de recourir à un ciment de classe R pour raccourcir la durée d'attente avant mise en tension.
·
·
4 - Critères de dimensionnement
Il convient de rappeler que l'Eurocode 2 est principalement une norme de vérification des structures avec quelques éléments de base pour la conception. Les règles de calcul sont ainsi présentées sous forme de vérification, et pratiquement pas sous forme de dimensionnement. Ce point est particulièrement important en ce qui concerne le dimensionnement de la précontrainte. En effet, plusieurs niveaux de précontrainte sont possibles dans une structure, depuis une précontrainte partielle minimale jusqu'à une précontrainte totale. L'Eurocode 2 se contente de fixer un niveau minimal de précontrainte en fonction des conditions d'environnement, et d'indiquer ensuite comment justifier la quantité d'aciers passifs nécessaire. Il est bien évident que le choix du niveau de précontrainte reste de la responsabilité du concepteur. Il convient donc de définir au niveau de chaque projet le niveau de précontrainte souhaité ; l'optimum économique dépend du type de structure, et il n'est pas possible de donner des règles générales.
Les règles antérieures suivaient la même logique : 3 niveaux de précontrainte étaient définis avec leurs règles de vérification. Le choix du niveau restait de la responsabilité du concepteur, projet par projet.
L'Eurocode 2 n'a pas reconduit la définition de niveaux discontinus : il passe de façon progressive d'une précontrainte partielle à une précontrainte totale, laissant l'entière liberté au concepteur. Afin de ne pas multiplier les choix, le chapitre 7 donne des indications sur les niveaux de précontrainte qui peuvent être adoptés en service. Les mêmes réflexions doivent être menées en phase de construction : il convient de définir les tractions admissibles en fonction du type de charges et des phases considérées. Là aussi, l'Eurocode 2 donne quelques indications qui peuvent être adaptées en fonction des projets. On se réfèrera également au chapitre 7 pour une présentation de ces règles.
RN= Chapitre 3 Données principales pour les projets
RO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
Les déformations différées du béton dues au retrait et au fluage sont à prendre en compte dans les justifications aux ELS et généralement négligées aux ELU, sauf quand leurs effets sont significatifs, comme par exemple pour les vérifications aux ELU de stabilité de forme, pour lesquelles les effets du second ordre ont une importance particulière [EC2-1-1 2.3.2.2].
On peut signaler d'une manière générale que le retrait et le fluage sont des phénomènes très complexes qui encore aujourd'hui ne sont pas complètement maîtrisés ; les modèles codifiés de ces phénomènes qui permettent d'effectuer des calculs, en dépit de leur apparente sophistication, sont encore assez loin de bien pouvoir représenter la réalité. De plus, l'intensité de ces phénomènes dépend fortement de paramètres comme l'humidité ambiante, les dimensions des éléments, la composition du béton. Il faut donc garder une certaine prudence vis-à-vis de la précision des résultats des calculs. Les pratiques antérieures faisaient abstraction des phénomènes de retrait et de fluage pour les calculs des sections en béton armé : le fluage est pris en compte de manière forfaitaire par les coefficients d'équivalence, et le retrait par des joints de dilatation et un ferraillage appropriés. En revanche, les effets du fluage et du retrait sur la précontrainte sont importants et font baisser de manière significative l'effort de précontrainte introduit initialement dans les structures. De plus, pour les structures hyperstatiques précontraintes, les déformations dues au fluage peuvent entraîner d'importantes redistributions d'efforts. Aussi, pour les structures en béton précontraint, il est plus exact de dire que les effets du retrait et du fluage sont pris en compte pour les vérifications aux ELS, comme aux ELU. Plus précisément, de manière conventionnelle, leurs effets, déterminés pour les vérifications aux ELS, pourront être conservés pour la suite des vérifications aux ELU.
1 - Retrait
Le retrait est une diminution de volume du béton non chargé qui commence au cours de son durcissement et se prolonge jusqu'à la maturation définitive du béton. L'Eurocode 2 distingue principalement deux sortes de retrait selon leur origine : le retrait endogène (ou retrait au jeune âge) d'origine chimique, qui commence très tôt pour se terminer assez rapidement au bout de quelques jours et qui est dû à la diminution de volume de la pâte de ciment au cours de son hydratation; le retrait de dessiccation (ou exogène), dû à la variation d'hygrométrie interne, qui ne commence pratiquement qu'au décoffrage et qui constitue un processus lent, de longue haleine. C'est bien la déformation totale de retrait qui doit être prise en compte dans les calculs. Ceci étant, le risque de fissuration suite à des déformations gênées produites par les retraits thermique et endogène dans un béton frais coulé au contact d'un béton durci est particulièrement important pour être souligné par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.1.4(6)].
La prise en compte du retrait dans l'analyse structurale a été rappelée au début de ce chapitre pour la détermination des sollicitations. Pour le calcul des contraintes : l'effet du retrait n'intervient plus directement dans le cas général où d'autres charges que le retrait sont appliquées ; à l'inverse, l'effet du retrait seul et empêché est une cause de la fissuration, et mérite une étude particulière; on se reportera à l'exemple de calcul donné en [0] du présent guide.
2 - Fluage
Le fluage du béton est le phénomène selon lequel la déformation du béton soumis à une charge constante continue de croître dans le temps. Le fluage dépend aussi, en plus des facteurs cités ci-dessus, de la maturité du béton lors du premier chargement ainsi que de la durée et de l'intensité de la charge appliquée. L'hypothèse simplificatrice d'un fluage linéaire du béton est communément admise à la condition de limiter la contrainte de
RQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
compression dans le béton à 0,45 fck (ou 0,45 fck(t0) si le béton est chargé à un âge t0) sous combinaison de charges quasi-permanentes [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 7.2(3)].
2.1 - Prise en compte du fluage par une méthode approchée
Dans le cas où une grande précision ne serait pas requise, l'Eurocode 2 donne dans la figure 3.1 [EC2-1-1 Fig3.1] un moyen rapide d'estimer la valeur finale du coefficient de fluage (,t0) dans des conditions courantes de température ambiante (- 40°C,+ 40°C) et d'humidité relative (40 % < RH < 100 %).
t0 représente l'âge du béton lors de l'application de la charge. Dans ces calculs approchés on sousentend que le béton est suffisamment âgé pour que ses caractéristiques à l'âge de 28 jours soient utilisables. Il est loisible de faire des interpolations à partir des valeurs données.
Une valeur finale un peu plus précise du coefficient de fluage peut aussi s'obtenir à partir des lois de fluage fonction du temps, données dans l'annexe B de l'Eurocode 2 Partie 1-1 ou pour du béton à hautes performances dans l'annexe B dans la partie 2 de l'Eurocode 2. La valeur finale du coefficient de fluage est utilisée pour prendre en compte les effets du fluage dans un calcul approché avec une petite différence selon que l'on est en analyse linéaire ou en analyse non-linéaire.
L'incidence sur le fluage dans le cas d'un béton soumis à une cure thermique est traité au [EC2-1-1 10.3.1.2].
2.1.1 - En analyse linéaire
La prise en compte du fluage se fait par l'utilisation du module effectif du béton [EC2-1-1 7.4.3(5)], un équivalent du module différé qui n'est pas utilisé explicitement dans l'Eurocode 2 pour les calculs de contrainte mais qui est défini pour les calculs de déformations [EC2-1-1 Expr.(7.20)] : E c,eff = E cm 1 + (, t 0 )
E c ,eff
L'Eurocode 2 définit à partir de cela un coefficient d'équivalence effectif par e = E s donne pas d'utilisation dans ses autres prescriptions.
mais n'en
Cette façon de faire est valable aux ELS comme aux ELU. On peut préciser que pour des structures entièrement en béton et construites sans phases cela n'a pas d'incidence sur les sollicitations et affecte uniquement les résultats relatifs aux déformations. A l'inverse pour des structures construites par phases ou pour des structures composites acier-béton les sollicitations sont évidemment aussi modifiées.
Pour les structures construites par phases, un calcul avec fluage scientifique donnera des résultats plus précis (voir plus loin). Pour les structures composites, l'Eurocode 4 donne les valeurs de coefficients d'équivalence à utiliser en fonction du type d'action. La façon de prendre en compte le fluage aux ELS dans le calcul des contraintes en section fissurée n'est pas détaillée par l'Eurocode 2. A défaut de calcul plus précis, on peut reconduire les coefficients d'équivalence, utilisés dans la détermination des sections homogènes réduites [Chapitre 3 -3.1].
RR= Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
2.1.2 - En analyse non-linéaire
Une manière simplifiée de prendre en compte le fluage consiste à utiliser un coefficient de fluage effectif ef [EC2-1-1 5.8.4(2)], [EC2-1-1 Exp.(5.19)]. Elle ne s'applique qu'aux cas simples et quand une grande précision n'est pas requise.
moment QP 1er ordre
fluage effectif
ef = (,t 0 ) { 123 4
fluage final
6 8 7 M 0 Eqp
moment de la combinaison considérée 1er ordre
M 123 4 0 Ed 4
Il est également possible de définir ef à partir des moments fléchissants totaux M Eqp et M Ed mais ceci nécessite une itération et une vérification de la stabilité sous l'état permanent avec ef = (, t 0 ) [EC2-1-1 5.8.4(2) note]. Si le rapport des moments varie dans l'élément ou la structure, on peut calculer le rapport pour la section de moment maximal, soit utiliser une valeur moyenne représentative [EC2-1-1 5.8.4(3)]. On privilégiera plutôt la valeur moyenne représentative si on peut la déterminer facilement, car c'est la déformation de l'ensemble de la structure qui est intéressante.
L'effet du fluage est alors considéré comme pris en compte par l'utilisation du diagramme contraintesdéformations du béton obtenu en multipliant toutes les valeurs des déformations relatives par un facteur (1+ef) [EC2-1-1 5.8.6(4)].
Fig./Tab.2.(1) : Diagrammes contraintes-déformations et facteur de fluage
Une analyse non-linéaire se poursuit généralement jusqu'à une vérification aux ELU, ce qui explique les définitions de M0Eqp qui est un moment fléchissant provenant d'une combinaison quasi-permanente et M0Ed qui est un moment fléchissant de combinaison fondamentale d'ELU. Une adaptation de la méthode aux ELS consisterait à prendre un moment de combinaison caractéristique pour cette dernière valeur.
RS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2 - Prise en compte du fluage par une "méthode scientifique"
Dans le cas de constructions par phases il est nécessaire d'utiliser des logiciels élaborés pour obtenir une bonne précision, la prise en compte du fluage passe par un calcul itératif, prenant en compte les lois d'évolution du fluage [EC2-1-1 et EC2-2 Anx.B] et des propriétés du matériau béton au cours du temps. C'est aussi le cas des études de stabilité de forme impliquant la non-linéarité des matériaux et le second ordre. Les sections doivent être modélisées par un nombre suffisant de fibres et leurs déformations sont reconstituées à chaque instant à partir de celles des fibres en négligeant les fibres tendues; les déformations différées des sections s'obtiennent avec une des méthodes préconisées par l'Eurocode 2, incrémentale, superposition, etc.
Pour les ponts en béton précontraint la méthode scientifique est utilisée dès le niveau d'un projet détaillé car un calcul relativement précis de pertes de précontrainte est nécessaire. Pour la même raison la clause [EC2-1-1 2.3.2.2(2)] doit s'entendre qu'aux ELU les effets du fluage sont significatifs et sont évalués sous l'effet de la précontrainte probable et des charges permanentes (comme pour une vérification aux ELS) et sont conservés [EC2-1-1 2.3.2.2 (3)]. La suite de la vérification aux ELU se poursuit par application des charges variables ad-hoc. La majoration de charge de poids propre (0,35 G) est considérée comme une charge d'ensemble supplémentaire qu'on applique de manière conventionnelle sur le schéma statique de l'ouvrage terminé, sans qu'elle ne crée de fluage supplémentaire.
3 - Eléments pour le calcul des valeurs de retrait et de fluage
3.1 - Rayon moyen
La détermination des valeurs du retrait et du fluage fait appel au "rayon moyen" de la structure, noté h0. h0 = 2Ac/u, où Ac est l'aire de la section transversale du béton et u le périmètre de la partie exposée à la dessiccation. Dans le cas d'une dalle, le "rayon moyen" ainsi défini correspond sensiblement à quatre fois la moyenne des trajets que doit faire l'eau lors de son évaporation pendant le durcissement du béton.
a) Cas d'une dalle ou d'une poutre sans étanchéité : le rayon moyen est sensiblement égal à l'épaisseur e.
e
b) Cas d'une dalle avec étanchéité : en général le hourdis supérieur recouvert par l'étanchéité n'est pas pris en compte dans le calcul de la partie du périmètre exposée à la dessiccation et le rayon moyen est alors sensiblement égal à 2 fois l'épaisseur, soit 2e.
Cependant, ce point est à apprécier au cas par cas en fonction du délai avant mise en place de l'étanchéité. e (en gras la partie non soumise à la dessiccation en général)
RT= Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
c) Cas d'un caisson : en général l'intérieur du caisson n'est pas pris en compte dans le calcul de la partie du périmètre exposée à la dessiccation.
Cependant, ce point est à apprécier au cas par cas, notamment dans le cas de voussoirs préfabriqués.
(en gras parties non dessiccation en général)
soumises
à
la
3.2 - Présence d'armatures
La modification des valeurs de déformation de retrait et de fluage due à la présence d'armatures n'est pas explicitement évoquée dans l'Eurocode 2. Quand une grande précision n'est pas requise pour certains calculs, il est loisible de négliger le phénomène ce qui place du côté de la sécurité. A l'inverse, si on veut le prendre en compte, la définition précise des armatures adhérentes présentes dans les sections et l'utilisation de logiciels élaborés est nécessaire. Une option médiane consiste à reconduire une prise en compte forfaitaire en utilisant un coefficient réducteur, ks , à appliquer aux coefficients de retrait et de fluage, défini par :
ks = ks =
1 pour les bétons ordinaires, (1 + 20 s ) 1 pour les BHP (1 + 12 s )
s étant le pourcentage des armatures adhérentes, rapport de la section des armatures adhérentes à la section de béton.
RU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 5 La précontrainte
Avec l'Eurocode 2 la séparation très nette que faisaient les règles françaises entre béton précontraint et béton armé s'estompe pour donner naissance à un texte unique traitant globalement des constructions utilisant le matériau béton renforcé par des armatures en acier, qu'elles soient passives ou actives. On peut dire qu'il y a une sorte de continuité allant du béton armé où la précontrainte est inexistante au béton à précontrainte totale, en passant par du béton à précontrainte partielle. L'Eurocode 2 se borne d'ailleurs à la seule précontrainte apportée par la mise en tension d'armatures (barres, fils et torons) et en définitive l'essentiel du traitement de la précontrainte apparaît dans le texte de l'Eurocode 2 partie 1-1 en [EC2-1-1 5.10] ; d'autres éléments indispensables sont donnés de façon disséminée, là où c'est logique et nécessaire, sous forme de règles spécifiques. C'est de cette manière notamment que les particularités qui caractérisent la précontrainte par pré-tension, post-tension ou extérieure et non-adhérente sont introduites. Ceci étant, rien de fondamental n'a été modifié dans la prise en compte de la précontrainte par l'Eurocode 2. Mais la précontrainte c'est avant tout les systèmes de précontrainte qui sont des produits de construction. Et, là aussi, la logique d'harmonisation européenne joue, avec l'apparition des Agréments techniques européens (ATE), dont il convient de dire quelques mots, puisqu'ils sont indissociables de l'utilisation des eurocodes.
1 - Agrément technique européen des procédés de précontrainte
Les caractéristiques des armatures de précontrainte doivent être conformes à la norme EN 10138 ou, à défaut, définies dans un agrément technique européen (ATE). Les "kits" de précontrainte, dès lors qu'ils ne sont pas mis en oeuvre par leurs producteurs, doivent bénéficier d'un marquage CE et d'un ATE. Les ATE sont délivrés par des organismes d'agrément (ex : Sétra en France, DIBT en Allemagne, OIB en Autriche) sur la base d'un guide d'agrément technique européen (ETAG 013). L'agrément est délivré après un certain nombre d'essais pour vérifier l'aptitude à l'usage du produit. Ces kits font ensuite l'objet d'une "attestation de conformité" pour certifier la concordance du produit mis sur le marché avec celui testé dans le cadre de la délivrance de l'agrément technique européen. Cette deuxième étape aboutit au marquage CE délivré par un organisme de certification (ex : ASQPE en France ...). Doté du marquage CE le produit est présumé conforme aux exigences essentielles et peut être commercialisé et utilisé sans avoir à subir de vérification de conformité à une réglementation nationale.
1.1 - Informations figurant dans l'ATE
Les informations contenues dans l'ATE sont les suivantes :
· · · · · · · · · · · · · ·
usages possibles du système (précontrainte extérieure, câble remplaçable, etc.), gamme d'ancrage (de 3 à 37T15 par exemple), description des composants et dimensions, rayons de courbure minimums autorisés suivant le type de gaine, longueur libre à respecter derrière l'ancrage ou encombrement des vérins, longueur droite à respecter à la sortie de l'ancrage, coefficient de frottement k et , espacement des supports de gaine, rentrée d'ancrage lors de la mise en tension, résistance minimale moyenne du béton à respecter à la mise en tension (fcm,0), entraxe et enrobage des ancrages (dépendant de fcm,0), frettage à placer derrière l'ancrage (dépendant de fcm,0) et adaptation possible, type d'injection, recommandations sur le transport, le stockage et la manutention.
SM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2 - Informations utiles pour l'application de l'Eurocode 2
Les principales informations utilisées dans les calculs sont les suivantes :
1.2.1 - Forces de mise en tension
Les forces de mise en tension sont généralement données à titre indicatif ou de recommandation dans l'ATE (sauf prescription contraire) car les systèmes sont testés pour résister en statique, en fatigue et en transfert de charge sur la base des forces caractéristiques des câbles Fpk et non des forces indiquées dans l'ATE. Celles-ci doivent donc être déduites de la norme sur les armatures de précontrainte (EN 10138) donnant Fpk et Fp0,1k et de l'annexe nationale de l'Eurocode 2 donnant les coefficients k1 et k2 à placer devant Fpk et Fp0,1k. Ces derniers coefficients sont utilisés pour définir les limites maximales des forces de mise en tension [Chapitre 5 -2.1]
1.2.2 - Coefficients de frottement k et
Les valeurs fournies par défaut dans l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.10.5.2(2)], [EC2-1-1 5.10.5.2(3)] sont en général sécuritaires. Dans certains cas, les ATE peuvent proposer des valeurs plus réalistes issues de mesures sur site.
Il est aussi conseillé de prendre des valeurs sécuritaires dans le cas de traversée des câbles au travers de nombreux joints.
1.2.3 - Rentrée d'ancrage
Les valeurs à utiliser dans le projet sont fixées dans les ATE.
1.2.4 - Résistance du béton et transfert de charge
Les ATE fournissent une ou plusieurs valeurs de résistance minimale du béton à respecter à la mise en tension, en fonction du positionnement respectif des ancrages. Cette résistance minimale du béton conditionne les entraxes, les distances aux bords des ancrages ainsi que les frettages associés. Dans le cas où plusieurs valeurs de fcm,0 sont proposées il est loisible d'interpoler sur tous ces paramètres.
1.2.5 - Contraintes géométriques
Le projeteur trouvera en outre, toutes les contraintes géométriques que le projet devra respecter pour que notamment les mises en tension soient aisément réalisables.
2 - Force de précontrainte
L'Eurocode 2 utilise un vocabulaire légèrement différent des anciennes pratiques, dont il est utile de rappeler les principales définitions.
2.1 - Force de précontrainte maximale
Elle est représentée par Pmax : C'est la force appliquée à l'extrémité active lors de la mise en tension (force au vérin). Naturellement elle doit être limitée pour éviter la plastification des armatures [EC2-1-1 5.10.2.1] Pmax = Ap × min (k1 × fpk; k2 × fp0,1k) Ap étant l'aire de la section des armatures de précontrainte
SN= Chapitre 5 La précontrainte
k1 et k2 ayant pour valeurs, respectivement 0,80 et 0,90, soient les valeurs recommandées qui sont reprises par l'annexe nationale, mais aussi pour éviter la compression excessive du béton soumis aux charges lors de l'application de la précontrainte [EC2-1-1 5.10.2.2]
c 0,6 fck(t)
2.2 - Force de précontrainte initiale
Elle est représentée par Pm0(x) : C'est la force de précontrainte appliquée au béton immédiatement après mise en tension (post-tension) ou après transfert (pré-tension), après déduction des pertes instantanées. La variation en fonction de l'abscisse x est due aux frottements pour la précontrainte par post-tension et à l'établissement de la précontrainte par pré-tension dans les zones d'about. L'Eurocode 2 impose aussi une limitation à cette force initiale, ce qui est nouveau : Pm0(x) Ap × min (k7 × fpk; k8 × fp0,1k ) k7 et k8 ayant pour valeurs définies par l'annexe nationale, respectivement 0,77 et 0,87, pour la précontrainte par post-tension et 0,8 et 0,9 pour la précontrainte par pré-tension.
2.3 - Force de précontrainte probable
Elle est représentée par Pm,t(x) : la force de précontrainte variable le long de l'armature et dans le temps, qui résulte de la déduction des pertes instantanées et des pertes différées.
3 - Pertes de précontrainte
Il n'y a aucun changement de principe dans le calcul des pertes de précontrainte. L'adoption de lois différentes pour les déformations différées du béton par l'Eurocode 2 ne devrait conduire qu'à peu d'écart dans les résultats finaux des forces de précontrainte par rapport aux pratiques antérieures. En outre, pour du béton à haute performance (classe de résistance supérieure à C50/60), les lois de perte par relaxation comme celles de perte par fluage et retrait sont restées les mêmes que précédemment.
3.1 - Pertes instantanées
Pour la précontrainte par post-tension les pertes instantanées sont les pertes par blocage des ancrages, les pertes par frottement et les pertes par déformation élastique du béton. A la différence de la post-tension, la mise en oeuvre de la pré-tension peut déjà conduire à des pertes de précontrainte qui se produisent entre la mise en tension de l'armature et la mise en précontrainte de l'élément. Ce sont notamment les pertes dues au retrait du béton, à la relaxation de l'acier et éventuellement à un traitement thermique qu'il convient de prendre en compte en plus des pertes instantanées proprement dites. Il faut noter que les variables et k utilisées dans l'expression de calcul des pertes par frottement [EC2-1-1 Expr.(5.45)] ne sont pas, de façon formelle, exactement celles utilisées jusqu'ici, mais traduisent la prise en compte des mêmes phénomènes physiques. Par ailleurs, leurs valeurs, fournies à défaut de valeurs plus précises qui seraient à rechercher dans les Agréments Techniques Européens (ATE), sont en général sécuritaires [EC2-1-1 5.10.5.2(3)], [EC2-1-1 5.10.5.2(4)].
SO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2 - Pertes différées
Les pertes différées ont deux causes :
· ·
la réduction de l'allongement de l'armature induite par la déformation du béton du fait du retrait et du fluage, la diminution de la contrainte de l'armature due à la relaxation.
Le calcul des pertes différées par relaxation se fait en principe pour les ponts par l'utilisation de la classe 2 de relaxation [EC2-1-1 3.3.2(4)] définie par une valeur de 1000 au plus égale à 2,5 % (c'est l'équivalent de la classe de relaxation TBR des règles antérieures) et par l'utilisation de l'expression (3.29). A l'exception de cas très simples (éléments isostatiques, construits sans phasage) pour lesquels il est envisageable d'estimer de manière approximative les pertes différées et totales à partir de l'expression (5.46) fournie par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.3.2(7)], utile pour un pré-dimensionnement, il est nécessaire de faire appel aux lois de déformation de retrait et de fluage pour effectuer le calcul détaillé des pertes différées.
Dans le cas où on n'aurait pas besoin d'une grande précision, par exemple pour l'étude de la flexion transversale d'un hourdis de pont, l'expression (5.46) [EC2-1-1 5.10.6(2)] peut être utile.
L'Eurocode 2 partie 1-1 donne dans son Annexe B les lois correspondantes ; l'Eurocode 2 partie 2 précise dans l'Annexe B modifiée que pour des bétons à haute performance (de classe de résistance supérieure à C50/60) l'utilisation des lois données en B.103 donne de meilleurs résultats. De plus cette Annexe modifiée fournit des méthodes pour déterminer les coefficients à utiliser dans les expressions de B.103 en vue d'une meilleure précision quand on dispose de mesures expérimentales obtenues à partir d'essais de retrait et de fluage appropriés. Les différentes méthodes permettant le passage à l'évaluation des effets structurels induits par le comportement différé du béton sont décrites brièvement dans l'Annexe KK de l'Eurocode 2 partie 2, notamment la méthode du temps équivalent.
4 - Valeurs représentatives de la précontrainte
A partir de limitations apportées à la force de précontrainte avant et après l'opération de mise en tension l'Eurocode 2 définit, comme vu précédemment, une force de précontrainte probable Pm,t(x) déduction faite des pertes au temps t, mais aussi par majoration et minoration de cette force, un couple de deux valeurs caractéristiques Pk,sup et Pk,inf , encore communément appelé fourchette :
· ·
une valeur inférieure : Pk,inf = rinf ×Pm,t une valeur supérieure : Pk,sup = rsup ×Pm,t
Les pourcentages de majoration et minoration sont respectivement de 10 % (rsup = 1,1 ; rinf = 0,9) pour la précontrainte intérieure adhérente par post-tension et de 5% pour la précontrainte extérieure ou la précontrainte par pré-tension (rsup = 1,05 ; rinf = 0,95).
Lorsque des mesures appropriées sont prises comme par exemple la mesure directe de la précontrainte par pré-tension on peut adopter r sup =r inf =1 .
4.1 - Prise en compte de la précontrainte aux ELU
La valeur probable Pm,t est à utiliser pour les justifications aux ELU sauf pour la vérification à la fatigue qui utilise une combinaison d'actions similaire à une combinaison fréquente.
SP= Chapitre 5 La précontrainte
4.2 - Prise en compte de la précontrainte aux ELS
Les valeurs caractéristiques Pk,sup et Pk,inf sont à utiliser pour les justifications aux ELS et donc pour :
· · · ·
les calculs de contrainte dans le béton à vérifier vis-à-vis des limites prescrites, les calculs de contrainte dans les aciers passifs à vérifier vis-à-vis des limites prescrites, la détermination du ferraillage minimal, les calculs de contrainte dans les aciers passifs pour les calculs d'ouvertures de fissure.
On peut noter que la fourchette n'est pas utilisée pour le calcul des contraintes dans les armatures de précontrainte.
4.3 - En construction
Dans les situations en construction les annexes nationales des parties 1-1 et 2 précisent qu'il est possible de prendre rsup = rinf = 1,0 lorsque des précautions particulières sont prises, tant au niveau de la conception qu´au niveau de l´exécution, pour que la précontrainte probable Pm soit réalisée dans l´ouvrage. Dans le cas de la post-tension, ces précautions consistent notamment :
· · ·
à prévoir, dès le niveau de la conception, des conduits vides permettant de mettre en place des câbles complémentaires pour les cas où la tension probable ne serait pas obtenue sur chantier ; à imposer des mesures du coefficient de transmission sur les premiers câbles mis en tension (épreuve de convenance) et sur un nombre suffisant de câbles tendus ultérieurement (épreuve de contrôle) ; à établir un programme de travaux suffisamment échelonné pour permettre de déterminer et d´effectuer les corrections éventuellement nécessaires.
Si la structure est très sensible aux effets de la précontrainte, il convient de maintenir les valeurs rsup = 1,05 et rinf = 0,95.
5 - Adhérence de la précontrainte
Les aciers de précontrainte présentent une moins bonne adhérence au béton que les aciers passifs à haute adhérence. Dans les calculs de contrainte en sections fissurées, les surtensions dans les aciers passifs seraient donc plus importantes que celles calculées en supposant une adhérence parfaite des aciers de précontrainte. Le problème ne se pose que pour les calculs de contrainte dans les structures à précontrainte partielle (c'est-àdire les structures précontraintes susceptibles d'être significativement fissurées aux ELS). Deux méthodes sont possibles pour prendre en compte cette différence de comportement vis-à-vis de l'adhérence :
· ·
faire un calcul en faisant l'hypothèse d'une adhérence parfaite, et corriger ensuite les contraintes obtenues ; faire un calcul de contrainte en réduisant "à la source" la contribution de la surtension des armatures de précontrainte.
Ces deux méthodes sont envisagées dans l'Eurocode 2. La première est recommandée pour les calculs à la fatigue [EC2-1-1 6.8.2(2)P], la seconde est proposée pour le calcul du ferraillage minimum aux ELS [EC2-1-1 7.3.2(3)]. La première méthode a l'avantage de la simplicité mais ne permet pas d'obtenir un état de contrainte qui respecte les conditions d'équilibre général de la section.
SQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les modalités d'application suivantes sont recommandées :
·
pour les calculs à la fatigue des structures à précontrainte partielle, on applique la méthode recommandée par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 6.8.2]. Une borne supérieure à la variation de contrainte dans les aciers passifs peut être obtenue en négligeant totalement les surtensions p dans les aciers de précontrainte au-delà de l'état de déformation nulle du béton adjacent ; pour les calculs de contrainte aux ELS dans les structures précontraintes non fissurées, on néglige les surtensions p dans les aciers de précontrainte.
Pour les calculs de contrainte aux ELS dans les structures à précontrainte partielle, l'Eurocode n'indique pas de méthode précise. On peut s'inspirer de la seconde méthode, qui consiste à calculer l'état d'équilibre de la section en pondérant la surtension p par un coefficient 1 (borné supérieurement à 1,0) ou, ce qui est équivalent, à réduire la section de précontrainte Ap par ce même coefficient 1 . Là aussi, une borne supérieure à la variation de contrainte dans les aciers passifs peut être obtenue en négligeant totalement les surtensions p dans les aciers de précontrainte.
·
Des exemples de calcul sont donnés dans les chapitres ELS et ELU de fatigue (application à une dalle de PSIDP calculée en précontrainte partielle).
L'utilisation de modèles de calcul plus complexes, représentant de façon adéquate les différences d'adhérence entre aciers, reste possible. Voir par exemple l'article de F. Toutlemonde et R. Pascu, du Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées n°241 de novembre-décembre 2002.
Pour la précontrainte extérieure la surtension résulte de la valeur moyenne de l'allongement entre deux déviateurs ou sur une plus grande longueur en cas de glissement sur ces déviateurs. La surtension est donc faible et du fait de la possibilité de glissements son estimation est aléatoire. Aux ELS, la surtension est donc totalement négligée. Aux ELU, l'Eurocode autorise une prise en compte forfaitaire de la surtension [Chapitre 6 -1.1].
SR= Chapitre 5 La précontrainte
SS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 6 Justification aux ELU
Ce chapitre traite des justifications aux ELU, en particulier de l'ELU de résistance vis-à-vis de la flexion, de l'effort tranchant, de la torsion, et du poinçonnement. Les justifications pour des ELU plus spécifiques comme la fatigue, la rupture fragile et le flambement sont également présentées. Il faut se reporter par contre au calcul des plaques du Chapitre 10 -4 pour trouver des éléments concernant le cumul des effets de la flexion longitudinale et des effets locaux. Le calcul des sollicitations est généralement effectué sur la base d'une analyse élastique linéaire sans redistribution (sauf pour l'étude de la stabilité de forme), en tenant compte des caractéristiques des sections brutes [Chapitre 2 -6.2.2] et le cas échéant de la largeur participante [EC2-1-1 5.3.2.1], [Chapitre 2 -6.2.1]. La seule différence par rapport aux pratiques antérieures vient de la prise en compte de la précontrainte extérieure. L'Eurocode autorise en effet la prise en compte des surtensions dans les câbles non-adhérents. L'accroissement de contrainte dans les armatures de précontrainte non-adhérente (par exemple pour la précontrainte extérieure) peut être évalué :
· ·
à défaut de calcul précis, en prenant en compte un accroissement forfaitaire de 100 MPa [EC2-1-1/AN 5.10.8(2)], sinon, en tenant compte de la déformation d'ensemble de l'élément [EC2-2 5.10.8(103)], au moyen d'une analyse non-linéaire géométrique (second ordre, [EC2-1-1 5.7(1)]).
Il est en général plus défavorable de négliger l'effet de cet accroissement de tension. Lorsqu'il est utile d'évaluer cet accroissement, on peut considérer un câble totalement glissant (en particulier au droit des déviateurs) au tracé identique au câble réel.
1 - Justification vis-à-vis de la flexion
Ce paragraphe fait référence aux clauses [EC2-1-1 6.1] et [EC2-2 6.1]. La flexion déviée est abordée en [EC2-1-1 5.8.9]. De façon générale, les justifications aux ELU de résistance en flexion dans l'Eurocode 2 sont très proches de la pratique antérieure :
· ·
calcul des sollicitations par un modèle linéaire-élastique ; vérification des sections avec des lois de comportement des matériaux (présentées ci-après) différentes de celles utilisées pour l'analyse structurale (déjà présentées au [Chapitre 2-6.3.1]).
Ce paragraphe met l'accent sur les principales différences entre l'Eurocode 2 et les règles antérieures. Sont présentées successivement les lois matériaux, la prise en compte de la précontrainte dans l'analyse, et la vérification des sections.
1.1 - Lois de comportement des matériaux pour les vérifications des sections
Le calcul des sections est basé sur l'utilisation des diagrammes contraintes-déformations particulières données dans la Section 3 de l'Eurocode 2 partie 1-1 [EC2-1-1 3.1.7], [EC2-1-1 3.2.7] et [EC2-1-1 3.3.6].
SU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1.1 - Béton
Plusieurs lois de comportement peuvent être utilisées.
La loi "parabole-rectangle" [EC2-1-1 Fig.3.3] :
c = f cd 1 - 1 - c c2 c = f cd
n
pour 0 c c 2 pour c 2 < c cu 2
Cette loi n'est pas constituée en fait d'une parabole pour les bétons dont la résistance est supérieure à 50 MPa, dits bétons BHP, puisque l'exposant n est alors compris entre 1,75 pour du C55/67 et 1,4 pour du C90/105.
c
fcd
c
0
c2
cu2
Fig./Tab.1.(1) : Loi de comportement du béton pour le calcul des sections
Deux autres lois appelées simplifiées sont admises et sont considérées comme équivalentes à la loi "parabolerectangle".
La loi "bilinéaire" [EC2-1-1 3.1.7 (3) Fig.3.4] :
c
fcd
c
0
c3
cu3
Fig./Tab.1.(2) : Lois de comportement bilinéaire du béton pour le calcul des sections Le diagramme rectangulaire simplifié [EC2-1-1 3.1.7 (3) Fig.3.5] :
L'hypothèse d'un diagramme rectangulaire de compression dans le béton est possible, tant pour les bétons normaux que les BHP. La hauteur utile de la zone comprimée et la résistance effective sont alors fonction de la résistance caractéristique du béton.
Ces trois lois ont été calibrées pour donner des résultats très proches, voire plus conservateurs pour les diagrammes simplifiés.
SV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Toutes ces lois sont caractérisées par l'utilisation du paramètre fcd, résistance de calcul en compression du béton définie par : f cd = cc × f ck
C
avec cc coefficient tenant compte des effets de la durée d'application de la charge sur la résistance en compression du béton, coefficient dont l'annexe nationale a fixé la valeur à cc = 1,0
C coefficient partiel du béton [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,5 en situations durable et transitoire et 1,2 en situation accidentelle.
Le coefficient cc permet de tenir compte de l'importance des charges permanentes dans les combinaisons. Les annexes nationales de l'Eurocode 2 ont retenu la valeur cc = 1,0 pour toutes les structures en béton.
Les valeurs des paramètres de déformation ci fonction de la classe de résistance du béton sont à rechercher dans [EC2-1-1 Tab.3.1].
1.1.2 - Aciers passifs
Les lois de comportement suivantes peuvent être utilisées [EC2-1-1 Fig.3.8] :
· ·
la loi bilinéaire à palier horizontal, pour laquelle il n'y a pas de limitation des déformations de l'acier, la loi bilinéaire avec raffermissement. f yk
La résistance de calcul des aciers passifs dans le cas d'utilisation de la loi avec palier horizontal est donnée par : f yd =
S
avec S coefficient partiel de l'acier de béton armé [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,15 en situations durable et transitoire et 1,0 en situation accidentelle. Dans le cas d'utilisation de la loi bi-linéaire avec raffermissement la valeur limite de résistance est définie par l'allongement maximal de calcul ud dont la valeur recommandée vaut 0,9 uk . Les valeurs de résistance usuellement utilisées, pour un acier B500B en situation durable, sont fyk = 500 MPa, fyd = 435 MPa. La limite de résistance avec la loi bilinéaire et raffermissement correspond à ud = 4,5% et vaut au moins 466 MPa.
Fig./Tab.1.(3) : Diagrammes contraintes-déformations des aciers de béton armé pour le calcul des sections
TM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1.3 - Aciers de précontrainte
Plusieurs lois de comportement peuvent être utilisées :
· · ·
la loi bilinéaire à palier horizontal [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.10], la loi bilinéaire avec raffermissement [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.10], une loi représentant le diagramme réel des aciers, sous réserve de lui appliquer le coefficient 1/S au delà de fp0,1k [EC2-1-1 3.3.6(7)]. Pour les torons, la loi du règlement antérieur (conforme à la figure [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.9] peut donc être reprise, elle est mentionnée sur la figure suivante.
Fig./Tab.1.(4) : Diagrammes contraintes-déformations des aciers de précontrainte
La résistance de calcul des aciers de précontrainte dans le cas d'utilisation de la loi avec palier horizontal est donnée par : f pd = f p 0,1k
S
S coefficient partiel de l'acier de précontrainte [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,15 en avec situations durable et transitoire et 1,0 en situation accidentelle.
Dans le cas d'utilisation de la loi bi-linéaire avec raffermissement la valeur limite de résistance est définie par l'allongement maximal de calcul ud dont la valeur recommandée vaut 2%. Les valeurs de résistance usuellement fp0,1k = 0,9fpk = 1674 MPa, fpd = 1456 MPa. utilisés en situation durable, sont fpk = 1860 MPa,
TN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
1.2 - Calcul des sections
Le calcul des sections à l'ELU de résistance est basé sur les hypothèses suivantes [EC2-1-1 6.1(2)] :
· · ·
les sections droites restent planes ; la résistance à la traction du béton est négligée ; il n'y a pas de glissement relatif des matériaux, sauf pour la précontrainte non-adhérente.
Le principe des pivots est conservé :
· · ·
pivot A (lorsqu'il existe) : limitation de la déformation des aciers passifs et/ou de précontrainte ; pivot B : limite de déformation du béton pour des pièces fléchies ; pivot C : limite de déformation du béton en compression pure.
A - limite de déformation relative en traction des armatures de béton armé B - limite de déformation relative du béton en compression C - limite de déformation relative du béton en compression pure Fig./Tab.1.(5) : Diagramme des déformations relatives admissibles à l'état limite ultime
Il faut s'assurer que les déformations ultimes admissibles ne sont pas atteintes, le cas échéant. Par ailleurs, pour les membrures comprimées des poutres-caissons (charge relativement centrée vérifiant e < 0,1 ), il faut vérifier que la déformation moyenne en compression dans la membrure est inférieure à c2 h (ou c3 selon le diagramme utilisé) [EC2-1-1 6.1(5)].
Cette clause peut être dimensionnant pour les pièces fortement sollicitées (hourdis inférieur sur appuis). Il peut être nécessaire de limiter la déformation en fibre extrême à une valeur inférieure à cu2(ou 3) pour pouvoir respecter cette condition.
1.3 - Conclusion
Le principe du calcul des sections à l'ELU de résistance est conforme aux habitudes de calcul antérieurement pratiquées en France, avec une légère réduction des quantités pour les raisons suivantes :
· ·
cc = 1,0
possibilité d'utiliser un diagramme bilinéaire incliné pour les aciers, qui permet une réduction de quelques pourcents du ferraillage.
On a l'impression qu'on pourrait gagner 5 à 8 %, mais en réalité le gain est bien moindre à cause de la limitation imposée au béton.
·
possibilité de prendre en compte la surtension des câbles de précontrainte extérieure.
TO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En revanche, la suppression du pivot A, lorsqu'on utilise des diagrammes à palier horizontal pour les armatures de béton armé et de précontrainte, ne permet pas, de façon générale, de réduire les quantités d'aciers, car dans ce cas c'est le pivot B qui impose les limites.
2 - Justification vis-à-vis du tranchant
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2] et [EC2-2 6.2]. Ce paragraphe concerne l'étude de la résistance aux efforts tranchants aux ELU. Il ne traite pas du cumul des efforts de cisaillement et de flexion locale qui est abordé au [Chapitre 10 -4.3]. De même il faut aller au [Chapitre 7 -2.5] pour trouver la vérification des sections vis-à-vis du tranchant aux ELS. Il est aussi complété par le traitement de certains cas particuliers au [Chapitre 10 -1] et des applications numériques en [Annexe III].
2.1 - Effort tranchant de calcul
2.1.1 - Définition de l'effort de tranchant à prendre en compte
L'effort tranchant agissant de calcul VEd, utilisé pour la justification des sections, est la somme :
· · ·
de l'effort tranchant dû aux actions extérieures, de l'effort tranchant dû à la précontrainte, des composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable dues à l'effet Résal [Chapitre 10 -1.1].
2.1.2 - Largeur d'âme de calcul bw
bw est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue ou dans la zone comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée. En présence de gaines de précontrainte métalliques injectées de diamètre > VRd,max doit être calculé en adoptant une largeur nominale de l'âme réduite :
b w,nom = b w - 0,5
bw , l'effort tranchant résistant 8
avec
= encombrement des gaines au niveau le plus défavorable.
Dans le cas de gaines non injectées, de gaines en plastique injectées ou d'armatures de précontrainte non adhérentes : b w,nom = b w - 1,2
L'Eurocode 2-1-1 précise que, dans ce dernier cas, si des armatures transversales adaptées sont prévues pour éviter le fendage des bielles, le coefficient 1,2 peut être réduit à 1,0 [EC2-1-1 6.2.3(6)] ; ceci est confirmé par l'annexe nationale.
Dans la suite les expressions font apparaître uniquement bw ; il faut lire bw,nom le cas échéant.
TP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.1.3 - Principe de la vérification
La procédure générale de vérification comprend [EC2-1-1 6.2.1] :
·
une vérification de la résistance de la section sans armatures d'effort tranchant. Si celle-ci est concluante, seul le ratio minimum d'armatures [EC2-1-1 9.2.2] rappelé en [Chapitre 9 -3.1] est à mettre en oeuvre et la vérification ci-dessous n'est pas à faire ; il peut être cependant être omis dans le cas des dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale des charges est possible [EC2-1-1 6.2.1(4)] ; une vérification de la résistance avec armatures d'effort tranchant qui comprend à la fois la vérification de la résistance des bielles de béton et celle de la résistance des armatures de cisaillement ; la prise en compte de l'effort de traction longitudinal supplémentaire qui doit intervenir dans le dimensionnement des armatures longitudinales.
Les règles générales édictées pour la justification des sections s'appliquent lorsque les charges sont appliquées en partie supérieure des éléments. Lorsque des charges sont appliquées en partie inférieure, il faut ajouter des armatures verticales suffisantes pour transmettre la charge en partie supérieure [EC2-1-1 6.2.1(9)]. Ces conditions peuvent se présenter lors de croisement de poutres. Elles se présentent également dans les ponts caissons : - le poids du hourdis inférieur exerce directement une traction sur le bas des âmes. - pour des caissons de hauteur variable avec hourdis courbe, l'effort normal Ni résultant de l'ensemble des contraintes normales sur celui-ci, induit une poussée au vide Q = Ni / R où R est le rayon de courbure du hourdis. Dans le cas où Ni est une traction, Q exerce une traction sur les âmes. - les câbles de précontrainte, situés dans le hourdis inférieur ou dans le bas des âmes, induisent également une poussée au vide QP = FP / R vers le bas.
· ·
Q=Ni/R
R Ni
Ni
Fig./Tab.2.(1) : Poussée au vide d'un hourdis
2.2 - Vérification des sections courantes
On commence par vérifier que les éléments dépourvus d'armatures de tranchant ont une résistance suffisante. Sont considérés comme dépourvus d'armatures les éléments munis seulement du ferraillage minimal comme indiqué au [Chapitre 9-3.1].
TQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.1 - Eléments pour lesquels aucune armature d'effort tranchant n'est requise
2.2.1.a) Cas général
Il convient de vérifier : VEd VRd,c VEd est l'effort tranchant agissant de calcul. VRd,c est l'effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armature transversale : VRd,c = C Rd,c k (100 1 f ck ) 3 + k 1 cp b w d
1
[
]
[EC2-1-1 6.2.2 Expr.(6.2.a)]
avec une valeur minimale VRd,c v min + k 1 cp b w d où k =1+ 200 2,0 avec d exprimé en mm d
(
)
[EC2-1-1 6.2.2 Expr.(6.2.b)]
1 = A sl /b w d 0,02
Les valeurs adoptées sont les suivantes : - CRd,c = 0,18/C = 0,18/1,5 = 0,12 - k1=0,15 - vmin = 0,34/C fck1/2 pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré - vmin = 0,053/C k3/2 fck1/2 pour les poutres et les dalles autres que celles ci-dessus - vmin = 0,35/C fck1/2 pour les voiles Ce sont les valeurs recommandées sauf celles concernant vmin dans le cas des dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale et des voiles, qui sont des valeurs proposées par l'annexe nationale.
L'expression (6.2a) fait intervenir le ratio d'armatures longitudinales l = Asl / bw d dans lequel peuvent être comptées les armatures de précontrainte adhérentes. Ce ratio est surtout prévu pour des sections rectangulaires et n'a pas beaucoup de signification pour les poutres caissons, pour lesquelles il est préférable de le négliger et de ce fait, ne retenir que l'effort résistant donné par l'expression (6.2b). Les expressions (6.2a) et (6.2b) ne diffèrent que par le premier terme de la somme entre parenthèse. La comparaison de ces deux termes montre que pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale, l'expression (6.2b) est toujours prépondérante. Les valeurs de vmin préconisées par l'annexe nationale appellent les commentaires suivants : - le coefficient partiel C est mis en évidence ce qui permet de traiter les cas de situations accidentelles ; - la valeur préconisée pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale donne des efforts résistants beaucoup plus élevés que pour les poutres à dimensions égales.
TR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.2.1.b) Cas particuliers
Le cas particulier des éléments non fissurés aux ELU est examiné en [Chapitre 10 -1.4], celui des éléments précontraints à une seule travée en [Chapitre 10 -1.5].
2.2.2 - Eléments pour lesquels des armatures d'effort tranchant sont requises
Cette vérification est basée sur un modèle de treillis tel que représenté ci-après [EC2-1-1 6.2.3] :
Fig./Tab.2.(2) : Modèle de treillis d'effort tranchant
Elle nécessite :
· ·
la vérification de la résistance des bielles, la vérification ou la détermination des armatures d'effort tranchant.
L'Eurocode 2 présente à la fois le cas des armatures perpendiculaires à la fibre moyenne ( = 90°) pour lesquelles les expressions se simplifient et celui des armatures inclinées d'un angle quelconque. Par la suite, les expressions avec un angle quelconque sont explicitées; leur simplification est facile et immédiate.
Lorsqu'on souhaite minimiser le ferraillage d'effort tranchant, on choisira l'inclinaison des bielles la plus faible compatible avec leur résistance en compression. Cela peut toutefois conduire à majorer de façon importante les aciers longitudinaux. De plus, si la direction des bielles choisie à l'ELU de résistance est trop éloignée de la direction élastique des contraintes principales de compression aux ELS, des fissurations importantes peuvent se produire sous effort tranchant en service, accompagnées de problèmes de fatigue. Dans le cas d'éléments de ponts en béton armé, il est donc recommandé de ne pas trop incliner les bielles à l'ELU de résistance, pour ne pas créer de problème de fissuration excessive aux ELS. On pourra par exemple borner inférieurement l'inclinaison à 34° (cot34° = 1,5), conformément à l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 7.3.1(10)], [EC2-2/AN 6.8.1(102)]. Dans le cas d'éléments en béton précontraint, où les suppléments d'aciers passifs longitudinaux sont faibles, il est généralement intéressant d'incliner les bielles le plus possible. Il faut signaler enfin que le schéma présenté dans la figure ci-dessus n'est valable qu'en partie courante de la poutre. Près des appuis, une étude spéciale de la bielle d'about doit être effectuée. Le choix d'une bielle trop inclinée peut nécessiter d'ancrer des aciers longitudinaux en quantité importante, et on peut avoir intérêt à réduire l'inclinaison des dernières bielles.
TS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.2.a) Vérification de la résistance des bielles
Il y a lieu de commencer par le choix de l'angle d'inclinaison des bielles défini par les conditions suivantes, fixées par l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 6.2.3(2)] :
·
en compression ou flexion simple 1 cot 2,5 (conformes aux valeurs recommandées) soit : 21,8° 45° en traction 1 + ct / f ctm cot 2,5 1 + ct / f ctm
·
où ct est la contrainte de traction au centre de gravité (-fctm < ct < 0)
Le cas d'une section où ct < -fctm n'est pas traité.
Il convient de vérifier : VEd VRd,max VEd est l'effort tranchant agissant de calcul VRd,max est l'effort résistant de la bielle en béton qui est donné par : VRd,max = cw b w z 1 f cd (cot + cot) (1 + cot 2 ) bw est la largeur d'âme
La largeur nette est à prendre en présence des gaines d'armatures de précontrainte. En cas de largeur d'âme variable la plus petite largeur est à prendre.
[EC2-1-1 Expr.(6.14)]
1 est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant. Sa valeur recommandée est prise égale à [EC2-1-1 6.2.2(6)] ; elle est retenue par l'annexe nationale et est donnée par :
1 = = 0,6 (1-fck /250)
[EC2-1-1 Expr.(6.6N)]
On peut noter qu'une résistance fck élevée réduit .
cw est un coefficient prenant en compte l'état de contrainte dans la membrure comprimée. Les valeurs recommandées, validées par l'annexe nationale, sont les suivantes : 1 (1 + cp/fcd) 1,25 pour les structures non précontraintes pour 0 < cp 0,25 fcd pour 0,25 fcd < cp 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.11.aN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.bN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.cN)]
2,5 (1 - cp/fcd) pour 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd
La figure ci-dessous représente cw en fonction de la contrainte normale :
Fig./Tab.2.(3) : Variation de cw , avec la contrainte normale moyenne du béton
TT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
L'annexe nationale complète et précise que pour le cas d'éléments en flexion composée avec un effort de traction, mais dont une membrure reste comprimée, on peut prendre : cw,t = 1+ct/fctm Le cas d'une section entièrement tendue n'est toutefois pas traité.
Pour la détermination de cw , cp est la contrainte de compression moyenne (> 0), ct est la contrainte de traction moyenne (< 0), chacune étant déterminée sous l'effort normal de calcul sur la section de béton, en tenant compte des armatures. Plus précisément, les contraintes normales peuvent être déterminées par un calcul élastique conventionnel bien que le calcul soit mené aux ELU. On a alors cp = N/S (contrainte au centre de gravité de l'ensemble de la section). Pour les sections non précontraintes, on trouve bien cp = 0 et cw = 1. Pour prendre en compte les armatures on utilise les valeurs de coefficient d'équivalence n données au [Chapitre 3 -3.1.4]. Dans le cas de sections très comprimées, il est du côté de la sécurité de négliger la participation des aciers. Dans le cas de sections peu comprimées, une variation de 15 % de la section (obtenue pour un ratio d'armatures longitudinales de 1%), n'entraîne qu'un écart de 3 % environ sur cw. Il est précisé qu'il n'y a pas lieu de calculer la valeur de cp à une distance inférieure à 0,5d×cot du nu de l'appui.
Si l'effort tranchant sollicitant de calcul VEd est supérieur à VRd,max calculé ci-dessus, la bielle n'a pas assez de capacité de résistance. Elle peut être trop inclinée par rapport à la verticale et/ou l'épaisseur des âmes est insuffisante. Il faut commencer par redresser la bielle. Lorsque celle-ci atteint 45°, et si la résistance n'est toujours pas suffisante, il faut alors augmenter l'épaisseur des âmes.
Toutefois dans certains cas, la résistance des bielles peut être augmentée [Chapitre 10 -1.6].
2.2.2.b) Vérification de la résistance des armatures transversales
La résistance due aux armatures est donnée par :
VRd,s = A sw z f ywd (cot + cot ) sin s [EC2-1-1 Expr.(6.13)]
La détermination des armatures se fait en égalant cette capacité de résistance au tranchant sollicitant de calcul VEd :
A sw s =
z f ywd
VEd (cot + cot ) sin
et si les aciers sont perpendiculaires à la fibre moyenne : A sw s = VEd z f ywd cot
La section efficace des armatures est plafonnée à la valeur donnée par l'expression suivante :
A sw, max × f ywd bw × s 1 cw × 1 × f cd / sin 2
[EC2-1-1 Expr.(6.15)]
Cette expression est à utiliser en prenant en compte les valeurs de f cd et f ywd obtenues en situation durable et transitoire. Elle ne s'applique pas en situation accidentelle.
TU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Elle traduit l'égalité de VRd ,max et VRd,s lorsque la résistance des bielles est atteinte pour leur angle d'inclinaison maximum de 45° ou cot = 1 , c'est-à-dire lorsque VEd épuise totalement la résistance du béton de la section. Dans le cas où il n'y a pas de discontinuité de VEd (chargement uniforme par exemple), la détermination des armatures d'effort tranchant sur une longueur élémentaire 1 = z (cot + cot ) peut être effectuée en considérant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur [EC2-1-1 6.2.3(5)]. Cette disposition revient à décaler la courbe enveloppe des sections d'armatures d'effort tranchant vers les appuis.
2.2.2.c) Cas des ouvrages construits par tronçons préfabriqués et sans précontrainte adhérente
Ce cas est traité en [EC2-2 6.2.3(109)]. Dans ce cas, l'ouverture du joint dans les membrures tendues diminue la hauteur du béton comprimé qui permet la transmission des bielles. La section des armatures d'effort tranchant doit tenir compte de cette hauteur réduite.
A - Axes des tirants théoriques B - Axes des bielles de compression théoriques C - Membrure tendue du treillis (armature extérieure) D - Champ A : disposition de cadres ou étriers avec max (cot = 1,0) E - Champ B : disposition de cadres ou étriers avec min (cot = 2,5) Fig./Tab.2.(4) : Champs inclinés de contrainte dans l'âme à travers le joint.
La hauteur réduite hred est la hauteur de béton comprimé, calculée lors de la vérification de la section en flexion aux ELU. Il faut alors vérifier que hred > 0,5h. Sinon ,il faut augmenter la précontrainte pour recomprimer les joints. L'angle d'inclinaison des bielles se déduit de la valeur de hred par l'expression suivante :
h red = VEd (cot + tan ) b w f cd [EC2-2 Expr.(6.103)]
La section des armatures d'effort tranchant est alors donnée par : A sw VEd = s h red f ywd cot [EC2-2 Expr.(6.104)]
On remarque que ces expressions se déduisent de celles du calcul de résistance des sections courantes en remplaçant z par hred .
TV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.2.3 - Effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales
2.2.3.a) Calcul de l'effort
L'inclinaison des bielles du treillis induit un effort de traction supplémentaire dans les membrures : Ftd = 0,5 VEd (cot -cot ) [EC2-1-1 Expr.(6.18)] [EC2-1-1 6.2.3(7)] et
Par ailleurs sa prise en compte doit être telle que (MEd /z +Ftd) MEd,max/z [EC2-2 6.2.3(107)].
Pour des éléments comportant un ferraillage d'effort tranchant, cet effort Ftd peut être obtenu par un décalage de la courbe des moments de : a l = z (cot -cot )/ 2 [EC2-1-1 Expr.(9.2)]
Avec : inclinaison des bielles d'effort tranchant inclinaison des aciers sur l'axe longitudinal de la poutre z bras de levier du couple élastique.
On démontre facilement que l'expression donnant le décalage correspond à l'hypothèse d'un treillis multiple (ce qui est assez vrai pour les structures de ponts dans lesquels les éléments sont de grande hauteur par rapport à l'espacement des armatures transversales). Pour un treillis simple et des armatures non-inclinées le décalage vaut zcot.
Cette disposition est représentée par la figure [EC2-1-1 Fig.9.2] reproduite ci-dessous.
A - Enveloppe de MEd/z + NEd B - Effort de traction agissant Fs C - Effort de traction résistant FRs Fig./Tab.2.(5) : Illustration de la règle du décalage
Cependant, dans le cas où les efforts sollicitants sont tels qu'il n'y a pas besoin d'armatures d'effort tranchant, il convient de prendre : al = d avec d = hauteur utile [EC2-1-1 6.2.2(5)]
UM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.3.b) Reprise de l'effort
Dans la membrure comprimée, il est envisageable de reprendre cet effort par une décompression, dans la mesure où la membrure reste comprimée aux ELU.
Cette possibilité est prévue en [EC2-1-1 6.3.2(3)] pour la torsion, mais est aussi applicable au cas de l'effort tranchant.
Dans la membrure tendue, l'effort de traction est équilibré par les armatures longitudinales (aciers passifs et éventuellement précontrainte adhérente) [EC2-1-1 6.2.3(7)], [EC2-2 6.2.3(107) note]. La contrainte de traction dans les armatures de béton armé doit rester inférieure à la contrainte limite définie par [EC2-1-1 3.2.7] et la tension totale des armatures de précontrainte doit rester inférieure à la contrainte limite définie par [EC2-1-1 3.3.6]. Pour la prise en compte des armatures de précontrainte adhérentes dans le cas où elles sont inclinées, l'Eurocode 2 propose un système de treillis explicité par la figure reproduite ci-dessous [EC2-2 Fig.6.102N].
Fig./Tab.2.(6) : Superposition de modèles de résistance pour l'effort tranchant [EC2-2 Fig.6.102N]
Ce type de schéma est particulièrement utile pour étudier la participation de la précontrainte à l'équilibre de la bielle d'about. Les règles françaises antérieures détaillaient ce point de façon plus complète, en prenant en compte le tracé réel de chaque câble. En partie courante en revanche, les différences angulaires entre aciers passifs longitudinaux et précontrainte étant faibles, on peut généralement se contenter du schéma de bielle classique sans distinguer les tracés des aciers passifs longitudinaux et de la précontrainte. Nota : La résistance des armatures doit également prendre en compte les sollicitations de torsion concomitantes. Les armatures de précontrainte adhérentes peuvent participer à la résistance mais en tout état de cause leur surtension totale est limitée à p = 500 MPa [EC2-2 6.3.2(103)]. Cette limite est rarement atteinte dans la pratique. D'autre part, la surtension doit être déterminée à partir de l'état permanent.
2.3 - Résistance à l'effort tranchant près des appuis
2.3.1 - Cas courant
L'Eurocode [EC2-1-1 6.2.1(7)] indique que pour les éléments soumis principalement à des charges uniformément réparties, les vérifications à l'effort tranchant ne sont pas nécessaires pour les sections situées à une distance inférieure à d (hauteur utile) du nu de l'appui [EC2-1-1 6.2.1(8)]. Les armatures d'effort tranchant requises à cette distance sont cependant maintenues jusqu'à l'appui. Il convient de vérifier que l'effort tranchant sur appui n'excède pas VRd,max [Chapitre 6 -2.2.2].
Pour les ponts en béton, les effets des charges permanentes sont généralement supérieurs à ceux des charges d'exploitation, ils peuvent alors être considérés comme soumis principalement à des charges réparties.
UN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.3.2 - Réduction des charges concentrées près des appuis
La prise en compte des charges concentrées près des appuis suit les règles [EC2-1-1 6.2.2(6)] et [EC2-1-1 6.2.3(8)]. Les charges sont celles situées sur la face supérieure de l'élément, à une distance av comprise entre 0,5d et 2d du nu de l'appui, si celui-ci est rigide ou du centre de l'appui si celui-ci est souple. Les appareils d'appui en caoutchouc et les appareils d'appui à pot entrent dans cette seconde catégorie. L'effort sollicitant VEd peut être réduit par un facteur = av / 2d. Si av < 0,5d, il convient d'adopter av = 0,5d. On obtient ainsi un effort VEd réduit (appelé VEd,r par la suite). Toutefois ceci n'est valable que si les armatures longitudinales nécessaires sont totalement ancrées au droit de l'appui.
2.3.2.a) Cas où des armatures d'effort tranchant ne sont pas requises
La valeur VEd,r calculée comme ci-dessus doit être comparée à l'effort tranchant résistant VRd,c donné par les expressions (6.2a) et (6.2b) de l'Eurocode 2 partie 1-1. Si VEd,r est inférieur à VRd,c, des armatures ne sont pas requises. Par ailleurs l'effort tranchant non réduit doit vérifier la condition suivante : VEd 0,5 b w d f cd = 0,6 (1 - fck / 250) [EC2-1-1 Expr.(6.5)]
où est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant donné par [EC2-1-1 Expr.(6.6N)]
2.3.2.b) Cas où des armatures d'effort tranchant sont requises
Si l'effort tranchant réduit VEd,r est supérieur aux valeurs de VRd,c, des armatures d'effort tranchant sont requises.
Fig./Tab.2.(7) : Armatures d'effort tranchant dans le cas de transmission directe aux appuis
UO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Il faut alors vérifier : VEd,r Asw fywd sin [EC2-1-1 Expr.(6.19)] où Asw est la section d'armatures d'effort tranchant situées sur une longueur 0,75av centrée sur av, comme indiqué sur la figure ci-dessus. La résistance des bielles doit être vérifiée selon l'expression générale (6.14) de l'Eurocode 2 partie 1-1 (voir ci-dessus) en prenant en compte l'effort tranchant non réduit. La condition exprimée par l'expression (6.5), rappelée précédemment, doit également être vérifiée pour l'effort tranchant non réduit.
2.3.3 - Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 9.2.1.4], [EC2-1-1 9.2.1.5].
2.3.3.a) Appuis simples d'extrémités
La figure [Fig./Tab.2.(7)] montre que la section d'armatures présente au niveau des appuis doit y être ancrée, la longueur d'ancrage étant mesurée depuis le nu de l'appui. Cette section peut être calculée à partir de la règle du décalage, ou en appliquant l'expression suivante : FE = |VEd| × al / z + NEd où NEd est l'effort normal agissant concomitant Pour les éléments comportant des armatures d'effort tranchant, al = z (cot cot) / 2 et l'expression devient : FE = 0,5 |VEd| (cot cot) + NEd C'est l'expression (6.18) de [EC2-1-1 6.2.3(7)], déjà vue à l'article [Chapitre 6 -2.2.3] à laquelle s'ajoute l'effort normal concomitant. La section ancrée ne doit pas être inférieure à 2 ×Amax , avec Amax section des armatures en travée 2 = 0,25 valeur recommandée, soumise à validation par l'annexe nationale L'annexe nationale donne 2 = 0 sous réserve de vérifier la condition suivante : FE = |VEd| × al / z + NEd + MEd/z où MEd est le moment concomitant (à prendre avec son signe). On obtient ainsi : FE = 0,5 |VEd| (cot cot) + NEd+ MEd/z
On a vu que l'expression donnant le décalage al correspond à l'hypothèse d'un treillis multiple [Chapitre 6-II.2.3] qui risque de ne plus être vérifié en zone d'appui d'extrémité. Une étude spécifique de l'équilibre de la bielle d'about doit être effectuée pour chaque cas ; celle-ci permettra de déterminer plus précisément l'effort longitudinal à ancrer. Un modèle simple à un seul treillis conduit à ancrer une force de VEd cot pour la part apportée par le tranchant. Ceci correspond à la pratique antérieure qui demandait l'ancrage de l'effort VEd pour un angle de bielle = 45°, par simplification, ce qui va dans le sens de la sécurité. L'étude précise de la bielle d'about devrait conduire à un effort intermédiaire entre les valeurs de 0,5VEd×cot et VEd×cot.
[EC2-1-1 Expr.(9.3)]
2.3.3.b) Appuis intermédiaires
Les recommandations concernant les appuis d'extrémités s'appliquent [EC2-1-1 9.2.1.5].
UP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
3 - Justification vis-à-vis de la torsion
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.3].
Dans la suite du texte le symbole t,i de l'Eurocode 2 a été remplacé par T,i (T pour torsion) qui est plus cohérent avec V,i (V pour tranchant).
3.1 - Principe
L'Eurocode 2 ne traite explicitement que de la résistance à une torsion circulaire (ou pure) d'un élément de section pleine ou creuse et énonce que la torsion gênée peut être négligée dans le cas des caissons et des sections pleines [EC2-1-1 6.3.3]. Par ailleurs, l'Eurocode 2 effectue la justification de la résistance en torsion circulaire dans une section fermée à parois minces, à partir de l'équilibre avec le flux de cisaillement exercé ; le cas d'une section pleine est traité, comme dans les règlements antérieurs, en l'assimilant à une section creuse à parois minces équivalentes. Chaque paroi de section est alors vérifiée séparément, selon le principe d'un treillis résistant à l'effort tranchant qui lui est appliqué.
Dans le cas d'ouverture des joints sans armatures adhérentes, il faut se préoccuper de la modification du schéma de résistance et de la distribution des efforts de torsion [EC2-2 6.3(106)]. Ceci concerne les ouvrages en caisson construits par tronçons préfabriqués sans précontrainte adhérente dans la zone tendue. Le schéma de répartition des efforts peut s'apparenter alors à celui d'une section ouverte.
L'étude des tabliers de ponts en béton vis-à-vis de la torsion, dès lors que leur section est complexe comme un multi-poutres ou un multi-caissons, doit être précédée d'une analyse structurale appropriée permettant de déterminer les sollicitations de torsion propres à chaque élément longitudinal. Si ces sections peuvent être considérées comme indéformables, alors elles peuvent être justifiées selon les prescriptions de l'Eurocode 2.
Une section en T, si elle peut être considérée comme indéformable, peut être décomposée en sections élémentaires, modélisées chacune par une section à parois minces équivalentes. La résistance en torsion de l'ensemble est prise égale à la somme des résistances des sections élémentaires. Dans ce cas, la redistribution des moments de torsion dans les sections élémentaires doit être proportionnée à la rigidité de torsion à l'état non fissuré de celles-ci. Chaque section élémentaire peut être calculée séparément.
Dans le cas de sections déformables l'étude doit se faire avec des méthodes appropriées.
La torsion gênée introduit des contraintes normales qui peuvent être non négligeables dans le cas de profils minces ouverts et de sections très élancées. Dans ces cas, elle peut être étudiée à l'aide de modèles de réseaux de poutres ou de modèles aux éléments finis.
UQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.1.1 - Calcul des flux de cisaillement de torsion dans une section creuse ou pleine
A - Feuillet moyen B - Parement extérieur de la section, périmètre u, C - Enrobage Fig./Tab.3.(1) : Torsion - section creuse équivalente
Ce calcul nécessite la connaissance des épaisseurs des parois. Dans le cas de section creuse, tef,i sont les épaisseurs réelles des parois. Dans le cas d'une section pleine la figure ci-dessus représente le principe de détermination de la section creuse qui lui est équivalente. L'épaisseur des parois tef,i est alors supposée constante. tef,i = A/u en général A u tef,i est l'aire totale de la section délimitée par le périmètre extérieur, partie creuse comprise est le périmètre extérieur de la section doit être supérieure à deux fois la distance entre le parement extérieur et l'axe des armatures longitudinales.
Le flux de cisaillement en torsion pure est donné par : T ,i t ef,i = TEd T,i Ak TEd 2A k [EC2-1-1 Expr.(6.26)]
est le moment de torsion agissant de calcul est la contrainte tangente de torsion dans la paroi i est l'aire intérieure au feuillet moyen des parois, partie creuse comprise
La sollicitation tangente VEd,i dans une paroi i du fait de la torsion est donnée par : VEd,i = T ,i t ef,i z i zi [EC2-1-1 Expr.(6.27)]
est la longueur de la paroi i, définie par la distance entre points d'intersection des parois adjacentes.
Il y a ici un risque de confusion car le symbole choisi par l'Eurocode 2 pour la longueur de paroi est similaire à celui utilisé pour le bras de levier du couple élastique.
Les justifications se font ensuite pour chacune des parois, de la même manière que pour l'effort tranchant.
UR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
3.1.2 - Cumul tranchant / torsion
Dans tous les cas, les effets de la torsion et de l'effort tranchant peuvent être cumulés en prenant une même valeur pour l'inclinaison des bielles [EC2-2 6.3.2(102)]. Les valeurs limites sont celles définies pour l'effort tranchant. Dans le cas des caissons, il convient de vérifier chaque paroi séparément en tenant compte du cumul algébrique des cisaillements de tranchant et de torsion.
A Torsion B - Effort tranchant C - Combinaison Fig./Tab.3.(2) : Combinaison des sollicitations au sein des différentes parois d'un caisson [EC2-2 Fig.6.104]
Dans le cas de sections pleines, le cumul tranchant-torsion ne peut plus se faire simplement par cumul des cisaillements correspondants comme présenté ci-dessus. Le cisaillement de tranchant s'exerce en effet sur toute la largeur de l'élément, alors que le cisaillement de torsion s'exerce sur les parois de la section creuse équivalente. Il est alors nécessaire de revenir aux sollicitations de tranchant et de torsion pour effectuer la vérification, comme présenté ci-dessous.
3.2 - Vérification de la résistance à la torsion combinée au tranchant
3.2.1 - Résistance des bielles
La méthode de vérification de la résistance des bielles de béton des éléments soumis aux sollicitations d'effort tranchant et de torsion est définie par la clause [EC2-2 6.3.2(104)]. Elle distingue les sections pleines des sections creuses.
3.2.1.a) Pour les sections pleines
Il convient de vérifier : TEd / TRd,max + VEd / VRd,max 1,0 où : TEd VEd est le moment de torsion agissant de calcul est l'effort tranchant agissant de calcul
[EC2-2 Expr.(6.30)]
[EC2-2 Expr.(6.29)]
TRd,max est le moment de torsion résistant de calcul donné par
TRd, max = 2 cw f cd A k t ef,i sin cos
est donné en [EC2-1-1 6.2.2(6)] et cw par la note 3 de l'expression (6.9) ; ils ont été déjà rappelés en [Chapitre 6 -2.2.2.b)]. VRd,max est la valeur maximale de l'effort tranchant résistant de calcul selon les expressions [EC2-1-1 Expr.(6.9)] et [EC2-1-1 Expr.(6.14)]. On est dans le cas de sections pleines, et la largeur complète de l'âme peut être utilisée pour déterminer VRd,max.
US= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.1.b) Pour les caissons
Il convient de vérifier séparément chaque paroi pour les effets combinés de la torsion et de l'effort tranchant concomitant s'il existe, appliqués à la paroi. Il faut donc que pour chaque paroi la somme des sollicitations tangentes de torsion et de tranchant reste inférieure à l'effort tranchant résistant de calcul de la paroi, soit : VEd,i(T) + VEd,i(V) < VRd,max,i avec : VEd,i ( T ) = T ,i t ef,i z i : sollicitation tangente dans la paroi i due à la torsion [Chapitre 6-3.1.1] VEd,i(V) : part de l'effort tranchant total sollicitant la paroi i VRd,max,i : effort tranchant résistant de la paroi i selon [EC2-1-1 Expr.(6.14)]
3.2.1.c) Formulation du critère de vérification à partir des contraintes de cisaillement
Si on voulait utiliser les contraintes de cisaillement, comme c'était le cas dans les règles antérieures, le critère de vérification prendrait la forme suivante : T ,i + V,i Rd, max,i
où T,i et V,i sont respectivement les contraintes de cisaillement de torsion et de tranchant dans la paroi i et Rd,max,i la contrainte de cisaillement limite admissible. La contrainte de cisaillement de torsion T,i, se déduit aisément de la définition du flux de cisaillement [EC2-1-1 Expr.(6.26)] : T,i = TEd 2Ak t ef,i
La contrainte de cisaillement de tranchant, issue de l'effort tranchant trouvé dans le treillis constitué par chaque paroi est obtenue en divisant cet effort tranchant par la section de la paroi (tef,i × zi) et donc une contrainte de cisaillement moyenne.
Il s'agit ici de la différence majeure par rapport aux pratiques antérieures qui proposaient des vérifications ELU locales basées sur les contraintes tangentes déterminées point par point le long de la paroi avec les formules classiques de l'élasticité linéaire. En certains points (centre de gravité des âmes notamment) la contrainte de cisaillement locale est nettement supérieure à la contrainte moyenne.
Le cisaillement résistant Rd,max,i peut être conventionnellement obtenu à partir de l'expression donnant le tranchant résistant apporté par les bielles de béton [EC2-1-1 Expr.(6.14)]. On obtient ainsi :
Rd,max,i = VRd,max tef ,iz i =cw 1fcd (cot + cos) z / zi (1+ cot2) = cw1fcd 1 - cos2 z sin 2 1+ cot sin 2 zi 2
et dans le cas d'armatures perpendiculaires à la fibre moyenne Rd,max = cw1f cd z sin 2 zi 2
Il faut remarquer que l'expression de VRd,max fait intervenir z (bras de levier du couple élastique de la paroi), et que le cisaillement moyen résistant se calcule avec la longueur de la paroi zi. Dans le cas général, avec des caissons de section transversale complexe, lorsqu'on utilise des logiciels permettant de déterminer les contraintes de cisaillement locales il serait plus simple de les utiliser directement pour la vérification du critère. Ceci devrait mettre du côté de la sécurité. En revanche l'intégration de ces cisaillements sur chaque paroi donnerait les efforts tranchants pour une vérification conforme à l'esprit de l'Eurocode 2 qui serait légèrement plus favorable. On notera enfin
UT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
que pour justifier un hourdis, l'utilisation du cisaillement de tranchant local près du gousset d'angle est largement sécuritaire. En revanche il convient au minimum d'appliquer le critère de l'Eurocode 2 avec les efforts tranchants moyens calculés sur la demi-largeur de hourdis car l'effort tranchant moyen sur toute la largeur est nul.
3.2.2 - Armatures transversales
Selon [EC2-1-1 9.2.3(1)], les armatures de reprise des cisaillement de torsion doivent être perpendiculaires à l'axe de l'élément structural, il est donc conseillé de garder cette disposition dans le cas du cumul de cisaillement de torsion et de tranchant. Les efforts de cisaillement de tranchant et de torsion sont cumulés et on applique les principes de calculs définis pour l'effort tranchant [EC2-2 6.3.2(102)]. L'effort sollicitant cumulé doit être équilibré par l'effort résistant VRd,s apporté par les armatures. La section d'armatures dans la paroi i est ainsi donnée par : Asw,i/s = (VEd,i(V)+ VEd,i(T))/(z fywd cot) [EC2-1-1 Expr.6.13]
L'attention du projeteur est attiré sur le fait que c'est z, bras de levier du couple élastique de la paroi étudiée, qui est utilisé ici.
Dans le cas d'utilisation des contraintes de cisaillement, de la même façon, on divisera les efforts tranchants dans chaque paroi par tef,i × zi pour faire apparaître les cisaillements moyens dans l'expression précédente, soit : Asw,i/s = (V,i + T,i) × tef,i × zi/(z fywd cot)
3.2.3 - Armatures longitudinales
Elles s'obtiennent à partir de l'expression :
A sl f yd
uk où uk fyd
=
TEd cot 2A k est le périmètre de la surface Ak
[EC2-1-1 Expr.(6.28)]
est la limite d'élasticité de calcul des armatures longitudinales Asl est l'angle des bielles de compression
Dans les membrures comprimées, les armatures longitudinales peuvent être réduites en proportion de l'effort de compression présent dans la membrure. Dans les membrures tendues, il convient d'ajouter les armatures longitudinales de torsion aux autres armatures, calculées pour un même cas de charge. Il convient généralement de répartir les armatures longitudinales sur la longueur de paroi zi , mais pour des sections de petite dimension, elles peuvent être concentrées au voisinage des angles.
Les armatures de précontrainte adhérentes peuvent être prises en compte mais l'accroissement total de leur contrainte est plafonné à 500 MPa. Il faut aussi rappeler que cet accroissement s'entend à partir de l'état permanent. Dans ce cas,
A sl f yd
dans l'expression (6.28) est remplacée par
A sl f yd + A p p où
p représente la part d'accroissement de contrainte restant disponible jusqu'au plafond et pouvant reprendre l'effort de torsion.
UU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Nota : Il convient d'ailleurs, pour être cohérent avec la limitation à fyd pour les armatures passives, de limiter l'accroissement de contrainte dans les armatures de précontraintes à fpd . Ceci n'est pas demandé par l'Eurocode 2.
Pour l'application de l'expression [EC2-1-1 Expr.(6.28)], on remarque que chacun de ses membres est équivalent à une force au mètre linéaire de paroi. On peut donc écrire :
Ftd,T =TEd cot /(2×Ak)
Dans un hourdis d'épaisseur e dont la contrainte moyenne de compression est h, on peut écrire : Fh = e h L'effort résiduel à reprendre par les armatures de torsion et par mètre linéaire de hourdis est ainsi :
F =Ftd,T Fh = TEd cot /(2×Ak) - e h
Si F > 0 , il reste une traction résiduelle à reprendre par des armatures. Dans le cas contraire, il n'y a pas lieu de prévoir des armatures longitudinales complémentaires de torsion. Cette vérification concerne en premier lieu les hourdis peu comprimés, mais elle peut également s'étendre au bas des âmes.
Le cumul des armatures longitudinales de torsion et des autres armatures doit normalement être envisagé pour des cas de charges concomitants.
3.2.4 - Cas particulier des sections rectangulaires peu sollicitées
Ce sont les sections pour lesquelles la condition donnée ci-après est vérifiée [EC2-1-1 6.3.2(5)]. Elles ne nécessitent pas alors d'armatures d'effort tranchant et ne requièrent qu'un ferraillage minimal longitudinal : TEd / TR d,c + VEd / VRd,c 1,0 où TRd,c est le moment de fissuration en torsion (plus exactement moment de torsion avant fissuration de l'élément), qui se déduit de l'expression [EC2-1-1 Expr.(6.26)] en posant T,i = fctd soit TRd,c = 2fctd t ef,i A k VRd,c est l'effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures de tranchant donnée par [EC2-1-1 Expr.(6.2)]. [EC2-1-1 Expr.(6.31)]
UV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
4 - Justification vis-à-vis du poinçonnement
4.1 - Principe
La justification au poinçonnement est à faire à l'ELU de résistance. Il s'agit de vérifier que le cisaillement produit par une charge concentrée sur une dalle, reste admissible. Le cas échéant, il faut déterminer la quantité d'acier d'effort tranchant à mettre en place pour assurer la résistance de la dalle. Pour les tabliers de ponts routiers, cette justification est réalisée sous l'effet de la roue LM2, qui représente une charge lourde et localisée. On tiendra compte également du coefficient de majoration dynamique supplémentaire à proximité des joints de chaussée. La roue LM1, qui a une surface d'impact plus réduite mais une charge moins importante, est à priori moins défavorable. Les mêmes principes de calcul peuvent être utilisés pour justifier la résistance au poinçonnement d'une dalle ou d'une semelle de fondation vis-à-vis de la descente de charges venant de la pile.
4.1.1 - Contour de contrôle de référence
La diffusion des efforts dans le béton a pour effet de répartir les effets des charges. Pour tenir compte de cet effet favorable, on définit des contours de contrôle de référence [EC2-1-1 6.4]. Il est alors considéré que le cisaillement se répartit de manière uniforme le long du périmètre u1 :
Fig./Tab.4.(1) : Contours de contrôle de référence types autour d'aires chargées
d est calculé à partir de dy (centre de gravité des aciers longitudinaux) et dz (centre de gravité des aciers transversaux) :
2 Il est important de noter que la diffusion de la charge se produit sur toute la hauteur de béton mais aussi sur l'épaisseur d'enrobé.
d=
dy + dz
4.1.2 - Calcul du cisaillement sur le contour de référence
Le cisaillement se développe sur une surface de béton u1 × h, l'expression du cisaillement est alors la suivante : v Ed = × VEd ,red u1 × d où :
VEd,red est l'effort de poinçonnement est l'excentrement de la charge, on prendra = 1 dans le cas d'une charge centrée.
VM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.1.3 - Calcul du cisaillement résistant vRd,c du béton seul
En l'absence d'armatures de poinçonnement, le cisaillement résistant est donné par [EC2-1-1 6.4.4(1)] : v Rd ,c = Max C Rd ,c k (100 l f ck ) où :
· · · ·
{(
1
3
+ k 1 cp ; v min + k 1 cp
)(
)}
fck est donné en MPa k =1+ 200 2,0 , avec d en mm d
1 = ly lz (plafonné à 2%)
bw est la plus petite largeur de la section droite tendue. Pour une dalle de grande longueur, bw = 1000mm, de façon à calculer un effort VRd,c par ml
· ·
cp =
cy + cz
2
en MPa, avec une valeur minimale de 1,85MPa
[EC4-2 6.2.2.5].
Les valeurs de CRd,c et k1 sont fournies par l'annexe nationale. On appliquera les valeurs suivantes : - si cp 0 : voir l'Eurocode 2 partie 2 C Rd ,c = 0,18 = 0,12 C
k 1 = 0,10 - si cp < 0 : voir l'Eurocode 4 partie 2 C Rd ,c = 0,15 = 0,10 C
k 1 = 0,12
·
vmin = 0,035×k3/2×fck1/2
Le calibrage de la formule de résistance au poinçonnement a été faite avec vmin donnant la résistance à l'effort tranchant des poutres en l'absence d'aciers d'efforts tranchant. Il n'y a pas lieu d'effectuer la correction apportée à vmin par l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale.
Si la vérification n'est pas satisfaite il faut prévoir des aciers d'effort tranchant. On recherche alors le contour pour lequel cette relation est satisfaite, on dispose des aciers calculés avec l'expression (6.52) jusqu'à une distance de 1,5d de ce contour et on contrôle le poinçonnement au nu du poteau selon l'expression (6.53).
VN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
4.2 - Application numérique
L'application numérique est faite sur une dalle de pont-route de 22 cm d'épaisseur, avec une épaisseur de chaussée de 11 cm. On traite le cas le plus défavorable avec une roue LM2 et une majoration dynamique maximale (à proximité du joint de chaussée).
·
La charge de roue LM2 a pour intensité :
400 = 260 kN 2 2 Sa zone d'impact est un rectangle de 0,35 × 0,6. La surface d'impact en face supérieure de la dalle béton est un rectangle de 0,57 × 0,82 (diffusion à 45° à travers les 11cm de chaussée). fat = 1,30 × Q Q ak
· · · ·
La position moyenne des deux nappes d'aciers transversaux inférieurs est prise égale à d = 0,16m Le périmètre de contrôle de référence est défini à l'aide de la figure 6.13 de l'Eurocode 2 partie 1.1, à partir de la zone d'impact. On obtient u 1 = 2 × (0,57 + 0,82 ) + 4 d = 4,92 m Le long du contour, le cisaillement vaut donc : 0,260 = 0,31MPa v Ed = 1 × 4,92 × d Résistance au poinçonnement de la dalle : -
·
l = ly lz > 0,13% × 0,13% = 0,13% (hypothèse la plus défavorable)
k =Min1+ 200 ;2 =2,0 170
cp = 0 MPa (on néglige l'effet favorable de la compression longitudinale éventuelle)
donc C Rd ,c = 0,12 et k 1 = 0,10
C Rd ,c k (100 l f ck ) v min = 0,035 × 2,0
3 1/ 3
= 0,38MPa
pour un béton C30/37
2
× 30 = 0,54 MPa > 0,38 MPa
v Rd ,c = v min + k 1 cp = 0,54 MPa
·
Justification :
On a : 0,31MPa=vEd vRd,c =0,54MPa Le poinçonnement est donc bien vérifié : il n'y a pas besoin d'aciers verticaux.
5 - Justification à la fatigue
Il convient d'effectuer une justification à la fatigue pour les structures et les éléments de structure soumis à des cycles de chargements répétés. Elle doit être effectuée séparément pour le béton et pour l'acier. La justification à la fatigue du béton comprimé n'est pas traitée dans le présent chapitre. L'annexe nationale permet de dispenser de cette vérification les sections dont la contrainte dans le béton reste limitée à 0,6 × fck , sous combinaison de charges caractéristique sous la forme d'une règle h) ajoutée à la liste donnée ci-dessous. En conséquence, la justification à la fatigue n'est généralement pas nécessaire pour les structures et les éléments suivants [EC2-2 6.8.1(102) a) à g)], [EC2-2/AN 6.8.1(102) h) à k)] :
VO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
a) passerelles, à l'exception des éléments de structures très sensibles à l'action du vent ; b) structures enterrées en voûte ou en cadre avec une couverture minimale de terre de 1,00m et 1,50m respectivement pour les ponts routiers et ferroviaires ; c) fondations ; d) piles et poteaux non rigidement reliés au tablier ; e) murs de soutènement des remblais de chaussées et de voies ferrées ; f) culées des ponts routiers et ferroviaires non rigidement reliés au tablier, à l'exception des dalles des culées creuses ; g) armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente avec Pk, les fibres extrêmes du béton restent comprimées ; h) béton comprimé des ponts routiers lorsque, c < 0,6×fck sous combinaison caractéristique ; i) j) armatures tendues dans les sections de béton armé des ponts routiers, lorsque s < 300MPa sous combinaison caractéristique ; armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente d'actions avec Pm, les fibres extrêmes du béton restent comprimées ;
k) armatures d'effort tranchant pour les structures en béton armé, lorsque ces armatures ont été dimensionnées à l'ELU de résistance avec un schéma de bielles d'inclinaison telle que 1,0 cotan 1,5. Les armatures d'effort tranchant soumises à des variations de contrainte doivent également faire l'objet de vérification à la fatigue. Mais, pour le béton précontraint où on a respecté le critère de l'annexe QQ, il n'y a pas de problème de fatigue car la section n'est pas fissurée aux ELS et pour le béton armé l'application de la limite d'inclinaison de la bielle citée ci-dessus permet la dispense de la vérification. En conséquence, dans les exemples suivants, ne sont traitées que des vérifications d'armatures de flexion longitudinale à la fatigue.
5.1 - Principe et éléments de la justification
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.8] et [EC2-2 6.8]. La justification à la fatigue d'une section en béton armé ou précontraint, consiste essentiellement à préserver de la rupture, les armatures tendues soumises à des variations répétées de contrainte, sous l'effet de charges cycliques pendant la durée d'utilisation de l'ouvrage. Dans le cas des ouvrages routiers en service, les variations de contrainte pouvant engendrer de la fatigue dans les armatures sont principalement dues aux passages des poids lourds (le niveau élevé des charges et donc des variations de contrainte créées, un nombre de cycles élevé jouent un rôle important dans la résistance à la fatigue). Le principe de la justification fait appel aux notions d'étendue de contrainte, de cycles d'application, de courbes de résistance à la fatigue, d'endommagement, de modèles de charge de fatigue, etc., et se synthétise sous la forme de la vérification de la règle de cumul de Palmgren-Miner.
5.1.1 - Modèles de charge de fatigue
L'Eurocode 1 propose cinq modèles de charge de fatigue, FLM1 à FLM5 [EC1-2 4.6]. Le modèle FLM1 est bâti à partir du modèle LM1 dont les intensités de charge ont été réduites. Le modèle FLM2 est constitué de 5 camions "fréquents" qu'il faut utiliser séparément. Le modèle FLM3 est constitué d'un camion unique. Ces trois modèles permettent une justification simple à la fatigue basée sur la détermination d'une seule étendue maximale de contrainte. Les deux premières sont cependant, d'une part très sécuritaires et d'autre part, ne peuvent convenir que dans la mesure où il existe une limite de fatigue à amplitude constante
VP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
définie sur les courbes S-N (c'est généralement le cas pour les assemblages des constructions en acier, pas pour les armatures de béton armé. ou de précontrainte). Les modèles FLM4 et FLM5 sont plus élaborés et prévus pour obtenir un spectre d'étendues de contrainte destiné à permettre un calcul d'endommagement. Le premier est constitué de 5 camions qui permettent d'engendrer des trafics artificiels par ajustement de leur proportion et représenter un trafic global. Le deuxième est directement un trafic réel enregistré. On ne retiendra que les deux modèles FLM3 et FLM4 pour une justification "usuelle" à la fatigue des ponts en béton.
5.1.2 - Combinaison d'actions - Etat de référence
Comme rappelé dans le [Chapitre 2 -4.2.3] du présent guide, la combinaison d'action pour l'étude à la fatigue se décompose en :
· ·
une combinaison de base C0 des charges non-cycliques représentant l'état moyen de l'ouvrage en service, à vide (charges permanentes, effet de la température...) ; à combiner avec la charge cyclique de fatigue Qfat représentée par le modèle de charge de fatigue adéquat. C0 = G + Pk + 0,6. où représente l'effet du gradient thermique.
L'état à vide de l'ouvrage est ainsi représenté et exprimé par la combinaison : C'est par rapport à cet état de référence que le passage de la charge de fatigue Qfat sur l'ouvrage donne lieu à des variations de contrainte répétées et de courte durée.
L'état à vide de l'ouvrage ne reste pas constant et se modifie pendant toute sa durée d'exploitation à cause de l'évolution de la précontrainte, du retrait, du fluage et des fluctuations du gradient thermique. Cependant ces variations lentes de l'état de référence ne doivent pas être cumulées aux variations rapides dues aux passages des camions.
Ceci peut être schématisé dans la figure ci-dessous :
Fig./Tab.5.(1) : Evolution de la contrainte des aciers dans une section du tablier
0 est la contrainte sous charges permanentes et précontrainte, évoluant lentement sous des effets à long terme tels que retrait, fluage, pertes différées de précontrainte ou à moyen terme (gradient thermique). PL sont les variations de contrainte rapides sous l'effet des passages des camions les plus lourds autour de l'état à 0.
VQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 précise ensuite que : "L'action cyclique Qfat doit être combinée avec la combinaison de base défavorable." [EC2-1-1 6.8.3(3)] On recherchera la combinaison qui combinée avec la charge de fatigue produit une variation de contrainte maximale. On retiendra donc la combinaison donnant un maximum de traction dans les aciers passifs, ou une contrainte minimale du béton au niveau de la zone d'enrobage, lorsque celle-ci reste comprimée à l'état de référence à vide. Pour les charges permanentes G, c'est la valeur maximale Gmax qui est retenue. Pour la précontrainte [EC2-1-1 5.10.9] on retiendra la valeur caractéristique inférieure Pk,inf = rinf.Pm,t, Pm,t étant la force de précontrainte probable à l'instant t. Par ailleurs, le fluage et le retrait du béton ont pour effet de réduire la précontrainte et la compression du béton des zones d'enrobage des aciers passifs étudiés. En conséquence la situation de l'ouvrage à long terme est en général plus défavorable. C'est donc par convention la situation à l'infini qui servira comme situation de référence.
Il est assez logique de prendre en compte cet état. En effet les variations de contrainte sont appliquées pendant toute la durée de vie de l'ouvrage. En revanche le fluage et le retrait du béton ne feront évoluer les efforts dans l'ouvrage que grosso-modo pendant les 20 premières années. Pour un ouvrage ayant une durée d'utilisation de projet de 100 ans, l'état "à long terme", qui concerne 80 % de cette durée d'utilisation, sera donc le plus représentatif.
L'état de référence à vide de l'ouvrage est ainsi représenté et exprimé par la combinaison : C0 = Gmax + Pk,inf + 0,6. où représente l'effet du gradient thermique.
5.1.3 - Calculs des contraintes
Une fois l'état de référence choisi les variations de contrainte dans les armatures ne sont plus dues qu'au déplacement de la charge de fatigue qui crée les variations de sollicitations à l'origine des contraintes. Pour une section donnée on peut utiliser le moment fléchissant pour illustrer ceci dans la figure suivante :
Fig./Tab.5.(2) : Variation du moment due au passage de Qfat
Mfat = M0 + MQfat est le moment fléchissant total; il fluctue en fonction de la position de la charge de fatigue, tout comme MQfat le moment fléchissant dû à la charge de fatigue seule, alors que le moment fléchissant de l'état de référence, M0 reste constant. Les étendues de contrainte sont ensuite calculées à partir des sollicitations sous combinaison de fatigue, obtenues suite à une analyse élastique-linéaire.
Bien que la justification à la fatigue soit une justification aux ELU car la rupture des armatures par fatigue est un état limite ultime, l'Eurocode 2 rappelle à juste titre que la combinaison d'actions pour la justification à la fatigue est de type ELS et fait intervenir des charges du niveau de charges fréquentes.
VR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
5.2 - Méthodes de vérification
L'Eurocode 2 propose plusieurs méthodes de vérification de la résistance des armatures à la fatigue :
· ·
une méthode générale avec détermination du spectre d'étendues de contrainte en utilisant les modèles de charge de fatigue FLM4 ou FLM5 et un calcul d'endommagement ; une méthode de l'étendue de contrainte équivalente [EC2-1-1 6.8.5] et [EC2-2 Anx.NN] , appelée par la suite méthode équivalente, avec détermination de l'étendue de contrainte qui donnerait un endommagement équivalent en utilisant le modèle de charge de fatigue FLM3 pour les ponts routes ; une méthode alternative [EC2-1-1 6.8.6] pour une vérification simplifiée des armatures passives avec utilisation d'une charge cyclique fréquente qui, plus précisément, peut se faire avec la combinaison de charge fréquente, en faisant intervenir le modèle principal de charge LM1 pour les ponts routiers.
·
Ces trois méthodes sont appliquées aux deux exemples suivants :
· ·
en flexion longitudinale : vérification des armatures passives et de précontrainte d'un PSIDP, en flexion transversale : vérification des armatures passives de l'encorbellement d'un pont-caisson.
Les différentes étapes des vérifications nécessitent un long développement. Pour plus de clarté elles sont détaillées en annexe [Annexe IV].
6 - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
La justification vis-à-vis de la rupture fragile est très peu développée dans la partie 1-1 de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.10.1(5)P], [EC2-1-1 5.10.1(6)]. Elle se retrouve par contre en deux endroits de l'Eurocode 2 partie 2, aux sections 5 et 6 : la clause [EC2-2 5.10.1(106)] définit l'objectif général ; les clauses [EC2-2 6.1(109)] et [EC2-2 6.1(110)] décrivent plus précisément les méthodes de vérification à appliquer. Dans le présent chapitre, après une présentation du principe et des exigences de base relatifs à la justification vis-à-vis de la rupture fragile, les deux méthodes de vérification proposées par l'Eurocode 2 partie 2 sont tour à tour décrites et détaillées. Une application numérique vient illustrer ces deux méthodes à partir du cas d'une poutre de pont VIPP. L'annexe V développe le détail du calcul pour les exemples du PSIDP et du pont caisson construit par encorbellements successifs.
6.1 - Principe et exigences de base
Le critère de rupture fragile imposé par l'Eurocode 2 partie 2 pour les ponts en béton précontraint a pour objectif d'éviter la rupture fragile des éléments structuraux dès l'apparition de la première fissuration. Le risque visé concerne les conséquences de la rupture d'un certain nombre d'armatures de précontrainte, principalement par corrosion, si cette rupture se produit au voisinage d'une même section d'un élément et reste non observable jusqu'à apparition de la première fissuration de flexion. Lorsque la fissuration finit par se produire, il est nécessaire que des armatures passives puissent prendre le relais de la résistance du béton à la traction, avec une marge suffisante pour qu'une intervention soit possible en temps utile. Ce principe peut être considéré comme satisfait si les exigences définies ci-après sont respectées pour les éléments structuraux linéaires des ouvrages (poutres, caissons, chevêtres,...) précontraints par précontrainte intérieure au béton, mise en oeuvre par post-tension [EC2-2/AN 6.1(109)]. Ces règles sont également applicables aux poutres-dalles lorsque le marché le spécifie. Leur extension à ce type de structure n'est toutefois recommandée que pour les poutres-dalles étroites (par exemple larges de moins de 4 m, encorbellements latéraux non compris). La justification du critère de rupture fragile peut être apportée par l'une quelconque des deux méthodes alternatives suivantes (l'annexe nationale écarte la possibilité d'utiliser la méthode (c) prévue par l'Eurocode 2) :
VS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
· ·
méthode (a) : vérifier qu'en cas de ruptures successives de câbles ou de torons, la fissuration se produirait avant que la résistance ultime ne soit dépassée, sous l'effet des charges fréquentes ; méthode (b) : prévoir un ferraillage minimal adéquat capable de reprendre à lui seul le moment de fissuration en l'absence supposée de toute précontrainte ;
Ces deux méthodes ont pour même objectif de permettre la détection d'éventuelle détérioration de la précontrainte par l'apparition de fissures décelables lors des surveillances normales de l'ouvrage, afin d'alerter le maître d'ouvrage pour une intervention en interrompant le trafic et en remplaçant les câbles corrodés avant l'effondrement de la structure.
Le critère de rupture fragile concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte. L'Eurocode 2 ne le dit explicitement que pour la méthode (b), mais c'est a fortiori vrai avec la méthode (a) : si tous les câbles sont considérés comme inexistants et que la section reste comprimée sous combinaison caractéristique, elle est comprimée sous combinaison fréquente et donc sa résistance ultime n'est pas dépassée. Le critère de rupture fragile ne s'applique qu'à la précontrainte intérieure longitudinale. Les câbles constituant la précontrainte extérieure, protégés par des produits souples (graisses ou cires), peuvent faire l'objet d'une surveillance régulière et leur endommagement est en principe plus facilement détectable. Ils ne sont donc pas visés par ce critère. La corrosion de la précontrainte transversale, généralement injectée à la cire et non-adhérente, ne peut conduire qu'à des désordres locaux et n'est par conséquent pas non plus visée par ce critère. En outre, l'annexe nationale dispense les éléments précontraints par pré-tension de la justification à la rupture fragile, considérant que les câbles de précontrainte pré-tendus, sont protégés de la corrosion par le béton d'enrobage, au même titre que les aciers passifs, et que le risque de corrosion généralisée d'un câble est plus faible qu'en post-tension. Si les clauses [EC2-1-1 5.10.1(5)P] et [EC2-2 5.10.1(106)] sont générales, la clause [EC2-2 6.1(109)] restreint en revanche leur application à la flexion. C'est le parti qui est retenu dans les exemples présentés dans la suite. Cependant, dans l'exemple du VIPP étudié, il serait pertinent de considérer à proximité de l'appui la rupture fragile par effort tranchant. Une indication sur la façon de procéder est donnée à la fin de l'application numérique.
6.2 - Vérification selon la méthode (a)
Lorsque, sous l'effet de la corrosion, l'état des armatures de précontrainte se détériore, la résistance de la section décroît (rupture de fils, torons ou câbles). Le principe de vérification selon la méthode (a) consiste à garantir que le niveau de résistance ultime qui correspond à une fissuration détectable sous charges fréquentes, reste supérieur au niveau des sollicitations imposées par ces mêmes charges fréquentes. Autrement dit, à garantir que sous l'effet des charges fréquentes, il existe une marge de sécurité suffisante entre la fissuration et la ruine de l'élément [Fig./Tab.6.(1)] ci-après.
La résistance ultime de la section s'évalue avec les coefficients partiels des matériaux associés à une situation de projet accidentelle.
VT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Fig./Tab.6.(1) : Principe de vérification selon la méthode (a)
La mise en application pratique de la méthode s'effectue sur la base des contraintes c,f sur les fibres extrêmes tendues, obtenues sous l'effet des sollicitations de la combinaison fréquente et se décline 2 étapes :
·
1ère étape : déterminer, sous l'effet des sollicitations de la combinaison fréquente, le pourcentage d'armatures de précontrainte à considérer rompues pour provoquer la première fissuration de l'élément. Cette quantité est exprimée, pour chaque lit (i) de câbles, en pourcentage i de la force de précontrainte totale Pm,t :
i tel que :
e ×y 1 c,f - i Pm,t + 0i = - f ctm I i S
Dans ce calcul, il convient de considérer en premier une suppression de torons sur le lit le plus proche de la fibre extrême tendue (c'est à dire les plus exposés à la corrosion). Si la suppression de tous les câbles de ce lit ne suffit pas à provoquer la fissuration, le lit suivant sera considéré, et ainsi de suite... En toute rigueur, quatre combinaisons sont à envisager, qui font intervenir successivement Pm,0 ;
Pm , ; M ELS freq,max ; M ELS freq,min . Dans la pratique, il suffira d'étudier uniquement les combinaisons
( Pm , , M ELS freq,max ) et ( Pm , , M ELS freq,min ), plus représentatives du phénomène qui ne peut se produire qu'au bout d'un certain temps. Il est à noter que seul l'effet isostatique de la précontrainte est supprimé, les effets hyperstatiques étant emprisonnés dans la structure pour des câbles intérieurs adhérents.
·
2ème étape : vérifier qu'avec cette précontrainte réduite et une réduction proportionnelle de la section d'acier de précontrainte, la résistance ultime à la flexion reste supérieure au moment donné par les combinaisons fréquentes d'actions. Si la conclusion s'avère négative, ajouter des armatures passives de manière à ce que la condition soit satisfaite. Les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage vis-à-vis de la vérification du critère selon cette méthode (a) sont généralement celles situées là où le moment fléchissant correspondant à la combinaison de charges fréquentes est faible, entre le ¼ et le 1/3 des travées hyperstatiques, et à proximité des appuis dans le cas les travées isostatiques. C'est pourquoi il est recommandé d'affiner au mieux l'analyse au droit de ces sections, par interpolation entre sections d'étude. Pour le calcul, il est conseillé de modéliser la diminution de la précontrainte (rupture des torons) comme un chargement extérieur se cumulant au torseur de la combinaison fréquente :
Ntot = NELS freq × Pm,t Mtot = MELS freq × Pm,t × e0 i
où NELS freq et MELS freq représentent le torseur d'efforts s'appliquant sur la section pour la combinaison fréquente étudiée (y compris les effets de la précontrainte complète) . On vérifie alors que le couple Ntot, Mtot se trouve à l'intérieur du diagramme de résistance, obtenu en appliquant aux matériaux les coefficients partiels correspondant à la situation de projet accidentelle.
VU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 partie 2 précise que les effets de la redistribution éventuelle des sollicitations, liée à la fissuration, peuvent être pris en compte. Toutefois cette prise en compte résulte d'une analyse non linéaire qui n'est habituellement pas pratiquée dans le cadre des calculs usuels à l'ELU de résistance, et peut être négligée.
6.3 - Vérification selon la méthode (b)
La méthode (b) de vérification du critère de rupture fragile consiste à disposer un ferraillage minimum As,min défini par l'expression (6.101a) de l'Eurocode 2 partie 2 rappelée ci-dessous : A s, min = Dans cette expression : - M rep représente le moment de fissuration, donné par l'équation : M rep = M rep z s × f yk [EC2-2 Expr.(6.101a)]
- f ctm × I ; y
- zs est le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance ( 0,9 d dans le cas d'une section rectangulaire).
Il est à constater que, concernant les sections d'armatures calculées, la méthode (b) constitue une enveloppe de la méthode (a) lorsque l'on suppose tous les câbles de précontrainte rompus. Il s'agit en réalité du ferraillage de non-fragilité calculé avec N = 0 .
As,min doit être disposé dans toutes les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte. En outre, il convient de comptabiliser dans As,min , tous les aciers passifs longitudinaux disposés pour d'autres raisons (ferraillage de flexion longitudinale, minimum, fatigue, etc.).
L'Eurocode 2 partie 2 prévoit également, et sous certaines conditions, de comptabiliser dans As,min les armatures de précontrainte pré-tendues [EC2-2 6.1(110)ii)]. Il y a lieu de s'y référer le cas échéant.
Dans le cas des poutres hyperstatiques, As,min de la fibre inférieure devra être prolongé sur les appuis intermédiaires, sauf s'il peut être démontré que la plastification des aciers tendus en fibre supérieure de la section sur appui intervient avant la rupture par écrasement du béton comprimé en fibre inférieure. Cette condition est considérée acquise si la relation suivante est vérifiée : A s × f yk + A p × f p 0,1k < t inf × b 0 × cc × f ck Dans cette expression : - As et Ap représentent respectivement les sections d'armatures passives et de précontrainte en fibre tendue_; - tinf et b0 sont respectivement la hauteur et la largeur de la membrure inférieure de la section (tinf = b0 dans le cas des poutres en T, et tinf = 0,2h dans le cas des sections rectangulaires).
En général, dans le cas des ponts, ce critère est vérifié sans trop de problème car les zones de forte compression du béton (sur appui) correspondent également à des zones où la densité de ferraillage est très importante. Dans les joints des voussoirs préfabriqués, où pour des raisons évidentes liées à la méthode de construction, il est impossible de disposer un quelconque ferraillage passif, les formules de l'Eurocode 2 partie 2 conduisent logiquement à une quantité d'armatures de non fragilité nulle.
[EC2-2 Expr.(6.102)], [EC2-2/AN 6.1(110)iii)]
VV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Application numérique : cas d'un VIPP Considérons la poutre d'un VIPP représentée ci-dessous. On se contente dans cet exemple de considérer les sections situées à proximité des appuis : au ¼ de travée et à 1m de l'appui.
Coupe longitudinale
Section au ¼ et à ½ travée Caractéristiques de la section : S = 1,66 m2 I = 0,886 m4 v' = 1,55 m Matériaux : Béton : C35/45 ; fctm = 3,2 MPa Aciers passifs en fibre inférieure : fyk = 400 MPa ; As = 13,84 cm2 ; c' = 5 cm Précontrainte : 6 × 4T15S (Ap = 6 × 600 mm2) fp0,1k = 1660 MPa c0_lit inférieur = 10 cm c0_lit supérieur = 20 cm Dans la section située à un mètre de l'appui, on suppose que le centre de gravité de l'ensemble des câbles est situé au centre de l'âme, à une distance de 1,10m de la fibre inférieure.
NMM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Sollicitations obtenues sous combinaison fréquente : à 1 m de l'appui Pm, MELS Freq 5,02 MN -1,02 MNm 4,81 MPa
au ¼ de travée 5,02 MN 0,48 MNm 2,18 MPa
c,f en fibre inf
· Calcul du nombre de torons à supprimer pour obtenir la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a) : i sur le lit inférieur tel que :
e ×y 1 c,f - i Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
(-1,55 + c 0 ) × (-1,55) 1 5,02 × 1,66 + 0,886 Le nombre de torons à supprimer pour atteindre la fissuration en fibre inférieure est alors obtenu en multipliant i par le nombre total de torons, soit : i = c,f + f ctm 1 e ×y Pm , + 0i I S = c,f + 3,2
ni = i × (6 × 4) à 1 m de l'appui au ¼ de travée 2,18 MPa 0,10 m 34,2% 8,2
c,f en fibre inf
c0
4,81 MPa 1,10 m 114,9% 24
i
ni
Le lit de câbles inférieur contenant uniquement 20 torons, cela revient à supprimer l'équivalent de : 8,2 torons sur le lit inférieur au ¼ de travée ; 24 torons (soit la totalité des câbles) à 1m de l'appui.
· Vérification de la résistance ultime de la section sous l'effet cumulé de la combinaison d'actions fréquentes et de la diminution calculée de la précontrainte (méthode a) : Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations sous combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supposée rompue déterminée à l'étape précédente : Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de l'ELS fréquent, l'effet isostatique de la précontrainte supposée rompue déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i avec : e0_lit inf_1/4 travée = - (1,55 0,10) = - 1,45 m e0_cdg_1m appui = - (1,55 1,10) = - 0,45 m Ntot 0 MN 3,30 MN
Mtot 1,24 MNm 2,97 MNm
NMN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Ce calcul conduit aux résultats suivants : à 1 m de l'appui au ¼ de travée Mmaxi admissible Coeff. de sécurité Ferraillage suppl. nécessaire 1,20 MN 0,97 0,58 cm
2
11,07 MN 3,72 non
Les seules sections nécessitant un léger complément d'armatures passives sont donc celles se trouvant à proximité immédiate de l'appui. Les autres sections sont vérifiées vis-à-vis du critère de rupture fragile (méthode a) avec une sécurité très confortable (coefficient de sécurité de 3 à 4).
Calcul du ferraillage minimal selon la méthode (b) : Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] :
·
A s, min =
où :
M rep =
M rep z s f yk
- f ctm × I - 3,2 × 0,886 = 1,83 MN.m ; = - v' - 1,55
fyk = 400 MPa. Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 2,15 m (à comparer à 0,9 d = 0,9 × (2,22-0,05) = 1,95 m) 1,83 D'où : A s, min = = 21,28 cm2, 2,15 × 400 soit une section complémentaire d'armatures de : 21,28 13,84 = 7,44 cm2, à disposer sur toute la longueur de la poutre. La méthode (b) est donc bien plus contraignante que la méthode (a). On peut vérifier sur cet exemple qu'il n'y a pas de risque de rupture fragile à l'effort tranchant, en extrapolant la méthode (a) au cas de l'effort tranchant. L'application numérique ci-dessous montre comment procéder. On considère la section située à 1m de l'appui. L'effort tranchant ELU dans cette section vaut : V = 1,35Vg + Vp + 1,35Vq = 1,35×0,68 0,63 + 1,35×0,87 = 1,46 MN Supprimons maintenant la totalité de la précontrainte. L'effort tranchant sous charge fréquente vaut alors : V = Vg + Vq,fréq = 0,68 + 0,52 = 1,20 MN. (cette valeur est supérieure à l'effort tranchant sous combinaison caractéristique V = Vg + Vp + Vq = 0,92 MN) La valeur reste inférieure à l'effort tranchant ultime. Les aciers d'effort tranchant sont donc suffisants, il n'y pas de risque de rupture fragile.
Si la valeur avait été dépassée, on aurait pu affiner la vérification en déterminant de façon plus précise quelle quantité de précontrainte il fallait supprimer pour provoquer la fissuration de l'âme (au sens du critère donné dans l'annexe QQ de l'EN1992-2). Il est en effet possible que la fissuration à l'effort tranchant soit déjà visible lorsqu'on supprime la totalité de la précontrainte. On aurait ensuite pu comparer cette valeur à la résistance ultime de la poutre, en situation accidentelle, afin de vérifier si le ferraillage passif d'effort tranchant était suffisant.
NMO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7 - Analyse non-linéaire et au second ordre - stabilité de forme d'une pile
7.1 - Généralités sur l'analyse non-linéaire et au second ordre
Les prescriptions générales concernant l'analyse non-linéaire [Chapitre 2 -6.4.4], la prise en compte du second ordre [Chapitre 2 -6.4.5] et des imperfections géométriques [Chapitre 2 -6.1] sont entièrement applicables. De la même façon la prise en compte du fluage suit les principes rappelés en [Chapitre 4 -2]. Néanmoins l'Eurocode 2 ajoute pour le sujet ici abordé, que l'effet du fluage peut être négligé [EC2-1-1 5.8.4(4)] si les trois conditions particulières suivantes sont satisfaites :
(, t ) 2 0 75 Elancement = 0 si Moment de la combinaison considérée 1er ordre 68 7 M 0 Ed hauteur e = h 1 N Ed section { effort normal sollicitant
ef
La vérification simultanée de ces trois critères est relativement pénalisante et ne devrait se réaliser que pour des cas simples et indiscutables.
Pour traiter aux ELU l'analyse non-linéaire et au second ordre, la partie 1-1 de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.8.5] propose une méthode générale, suivie de deux méthodes simplifiées pour des cas simples, principalement des éléments isolés ou qui se ramènent à des éléments isolés. Ces méthodes simplifiées sont, strictement parlant, des calculs linéaires avec prise en compte de manière forfaitaire et simple les effets non-linéaires. Pour les ponts, l'Eurocode 2 partie 2 propose une méthode moins classique pour l'analyse non-linéaire, fondée sur le concept d'un format de sécurité global, et dont le niveau de sécurité est déterminé par rapport à la ruine de calcul de la structure. Pour faciliter la lecture du guide, ne seront présentées ci-après que les deux méthodes générales. La méthode générale de la partie 1-1 plutôt classique, sera traitée assez brièvement. L'approche nouvelle de la méthode générale de la partie 2 avec le format de sécurité globale mérite d'être plus détaillée. Quant aux deux méthodes simplifiées elles sont traitées en annexe [Annexe VI], où est donnée en exemple, l'étude complète de la stabilité de deux piles de pont avec utilisation des quatre méthodes offertes par l'Eurocode 2.
7.2 - Méthode générale d'analyse non-linéaire et au second ordre de l'Eurocode 2 partie 1-1
Cette méthode est décrite aux clauses [EC2-1-1 5.8.6].
7.2.1 - Principe
Le principe de la méthode consiste à démontrer, comme avec les règles antérieures, qu'il existe un état de contraintes internes dans la structure qui équilibre les sollicitations externes, y compris celles du second ordre. La vérification des sections s'effectue ensuite avec les sollicitations obtenues à l'équilibre de la structure en les situant par rapport au domaine de résistance, déterminé avec les caractéristiques des matériaux données par les lois contraintes-déformations définies à cet effet et rappelées en [Chapitre 6 -1.1].
NMP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
On peut noter au passage que l'analyse et la vérification de section utilisent deux systèmes de lois contraintes-déformations différents.
Lorsque le projeteur n'a pas à sa disposition de logiciel permettant de coupler non-linéarité géométrique et nonlinéarité matériaux, il est possible de rechercher, pour une section jugée a priori critique, l'état d'équilibre, en exprimant de deux manières la relation liant le moment de flexion dans la section critique avec la courbure de celle-ci :
·
la loi moment-courbure externe où le moment de flexion sollicitant la section est la somme du moment du premier ordre M0Ed et du moment du second ordre. Le moment du second ordre dépendant de l'ensemble des courbures le long de la structure, il est assez difficile de déterminer une telle courbe en fonction seulement de la courbure dans la section critique étudiée ;
Pour simplifier, on peut dans un premier temps supposer que la répartition des courbures le long de la structure est linéaire, ce qui permet de déterminer l'effet du second ordre en fonction de la courbure de la section critique uniquement, et vérifier l'hypothèse à posteriori. Il est à noter que cette méthode est plutôt conservatrice puisque l'on surévalue les courbures réelles le long de la structure. Si le résultat du calcul est trop défavorable, il faut prendre en compte la répartition réelle des courbures le long de la structure et procéder alors par itérations.
· ·
la loi moment-courbure interne où le moment de flexion résistant résulte de l'état de contrainte de la section béton armé, soumise à une courbure imposée, à effort normal donné ; l'intersection ou non des deux courbes représentatives de la loi externe et de la loi interne permet de vérifier qu'il existe ou non un état d'équilibre. Dans l'affirmative, l'intersection des deux courbes donne la valeur du moment total MEd à l'équilibre.
Fig./Tab.7.(1) : Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
7.2.2 - Matériaux
La méthode utilise le diagramme contraintes-déformations du béton dédié à une analyse non-linéaire [EC2-1-1 5.8.6(3)] qui a été présenté en [Chapitre 2-6.3.2]. Ceci n'est pas entièrement satisfaisant car ce diagramme fait appel au module de déformation Ecm du béton ; l'analyse pourrait donc sous-estimer les déformations et ne pas donner une sécurité suffisante surtout quand le second ordre est pris en compte.
NMQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
C'est pourquoi l'Eurocode 2 offre une meilleure alternative en suggérant d'utiliser, à la fin de la même clause [EC2-1-1 5.8.6 (3)], des diagrammes déformations-contraintes basés sur les valeurs de calcul. Ces diagrammes utilisent le module de déformation Ecd pour le béton, obtenu en divisant Ecm par cE= 1,2 et fcd à la place de fcm , soit la loi de comportement définie par les paramètres et la figure qui suivent :
2 k c - c c = f cd c1 c1 c 1 + (k - 2 ) c1 où c k= déformation relative en compression du béton 1,05 E cd c1 f cd
c1( 0 / 00 ) = min 0,7 (fck + 8 )
(
0.31
; 2 ,8
)
déformation relative au pic de contrainte
3,5 pour fck < 50MPa 4 cu1( 0 / 00 ) = 98 - (fck + 8 ) 2,8 + 27 pour fck 50MPa 100 f cd = E cd = E cm cc f ck C E cm cE
déformation relative ultime
valeur de calcul de résistance en compression du béton valeur de calcul du module d'élasticité du béton
0,3
f +8 = 22000 ck 10
module d'élasticité sécant du béton
c
Contrainte
loi de type Sargin
fcd
Arctg(1.05 Ecd)
c1
Déformation relative
cu1
c
Fig./Tab.7.(2) : Loi de comportement du béton avec valeurs de calcul
Pour les armatures de béton armé et de précontrainte, les lois prévues pour la vérification de sections [Chapitre 6-1.1.2], [Chapitre 6-1.1.3] et définies par fyd et fpd sont utilisées.
NMR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Un seul ensemble de diagrammes déformations-contraintes est alors utilisé pour l'analyse structurale comme pour la vérification de sections, ce qui effectivement plus cohérent et rationnel. Les diagrammes particuliers prévus pour le béton (parabole-rectangle, bilinéaire) sont à laisser de côté. Dans ce cas l'analyse structurale peut s'effectuer avec une vérification en simultanée des sections dans le processus de calcul. Ceci a l'avantage de permettre la fusion des deux étapes de la justification et la "charge de ruine" de calcul peut alors être directement obtenue.
7.3 - Méthode générale d'analyse non-linéaire de l'Eurocode 2 partie 2
Cette méthode est décrite aux clauses [EC2-2 5.7(105)] et [EC2-2 Ann.PP]. Utilisable au premier ordre comme au second ordre elle est fondée sur deux points principaux :
· ·
une utilisation de diagrammes déformations-contraintes des matériaux spécifiques, un format de sécurité défini par l'emploi d'un coefficient de sécurité global appliqué à une situation de ruine de calcul constatée.
7.3.1 - Lois de comportement des matériaux
Les coefficients partiels des matériaux sont modifiés, d'une part pour avoir des lois de comportement des matériaux plus proche de leur comportement physique, et d'autre part en les ajustant, pour obtenir une sécurité plus homogène entre le béton et l'acier. Ceci donne des matériaux un peu plus performants que ceux obtenus avec le niveau de sécurité usuellement retenu. Ces lois sont utilisées ensuite pour l'analyse structurale, c'est à dire pour l'obtention des sollicitations et aussi pour la détermination des résistances des sections. Les diagrammes contraintes-déformations pour le béton et pour l'acier sont décrits par les figures suivantes et les valeurs des variables qui les caractérisent données en accompagnement.
On peut noter qu'à la place des contraintes de calcul fcd et fyd ce sont leurs valeurs multipliées par le même facteur 1,1 S qui sont utilisées dans les nouveaux diagrammes.
7.3.1.a) Loi de comportement du béton
C'est une loi de type Sargin, illustrée par la figure suivante :
c
Contrainte
cf
loi de type Sargin
f ck
Arctg(1.05 Ecm)
c1
Déformation relative
cu1
c
Fig./Tab.7.(3) : Loi de comportement du béton avec caractéristiques rehaussées
NMS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
et dont l'équation s'écrit :
2 k c - c c = cf fck c1 c1 c 1 + (k - 2 ) c1 où c k= déformation relative en compression du béton 1,05 E cm c1 cf f ck
c1( 0 / 00 ) = min 0,7 (fck + 8 )
(
0.31
; 2 ,8
)
déformation relative au pic de contrainte
3,5 pour fck < 50MPa 4 cu1( 0 / 00 ) = 98 - (fck + 8 ) 2,8 + 27 pour fck 50MPa 100 cf fck = 1,1 S f 0,85fck C ck
0,3
déformation relative ultime
valeur de calcul de résistance en compression du béton module d'élasticité sécant du béton
f +8 Ecm = 22000 ck 10
7.3.1.b) Lois de comportement des aciers de béton armé
C'est le diagramme bilinéaire avec raffermissement défini par les paramètres 1,1×fyk et 1,1×k×fyk comme illustré dans la figure suivante :
1,1 k f yk 1,1 fyk
Contrainte
loi bilinéaire avec branche inclinée
Arctg(Es)
yd
Déformation relative
uk
Fig./Tab.7.(4) : Lois de comportement des aciers de béton armé
NMT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Elle est bâtie avec les valeurs limites définissant les deux branches (, ) : 1,1f yk ; 1,1f yk - Branche élastique yd = Es - Branche supérieure inclinée avec uk valeur de déformation relative sous charge maximale k valeur minimale de f t / f y pour la classe B pour la classe C
( )
uk
; 1,1 k f yk
)
(
k
uk 5,0% uk 7,5%
et et
1,08 k 1,15 k < 1,35
7.3.1.c) Lois de comportement des aciers de précontrainte
De façon analogue c'est un diagramme bilinéaire avec raffermissement défini par les paramètres 1,1×fp0,1k et 1,1×fpk qui est à utiliser.
7.3.2 - Principe et format de sécurité
Les calculs à effectuer pour une structure sont faits de manière tout à fait classique. La seule particularité consiste à incrémenter de façon proportionnelle les charges des combinaisons ELU (appelées charges de projet), jusqu'à atteindre la ruine de calcul de la structure. Le nouveau format de sécurité consiste alors à fixer une marge par rapport à ce niveau "ultime" des charges qud par l'intermédiaire d'un coefficient de sécurité global. La structure est considérée comme bien dimensionnée si ce niveau réduit de charges donne bien des sollicitations enveloppes de celles obtenues avec les charges de projet. Le critère de vérification est illustré par les trois inégalités symboliques données dans [EC2-2 5.7(105)], (5.102 aN), (5.102bN) et 5.102cN). Les trois formes d'écriture proviennent simplement de la façon plus ou moins explicite de prendre en compte les divers coefficients partiels liés aux incertitudes de modèle. En pratique, les valeurs des coefficients partiels, utilisées dans la plupart des cas pour les actions et les matériaux, sont fournies sous leur forme (F et M). De ce fait elles contiennent déjà les coefficients partiels qui couvrent les incertitudes de modèle liées aux actions et aux résistances [EC0 6.3(6.2b) et (6.6b)]. Le critère général de vérification E d R d [EC0 6.4.2(6.8)] s'exprime alors sous la forme de l'expression (5.102bN) rappelée ci-dessous :
résistance symbolique correspondante
64 744 4 8 E G G + QQ
effet des actions
(
)
6 74 4 8 q R ud O'
Inégalité (5.102b)
L'attention du projeteur est attirée sur le fait que le critère général de vérification Ed R d ne reflète pas exactement le format de vérification dans le cas d'un flambement. Ceci a d'ailleurs été signalé par l'Eurocode 0 [EC0 6.4.2(3)P]. Il faut prendre, dans ce cas, au sens large, le terme "résistance" et le symbole qui lui est associé R comme représentant les sollicitations qui correspondent à un niveau de chargement donné ; l'Eurocode 2 partie 2 le choisit comme étant égal à celui de la charge de ruine de calcul réduit par un coefficient de 1,27.
Des trois critères de vérification proposés par l'Eurocode 2 partie 2 le présent guide n'en adopte donc qu'un seul, le plus simple et le plus pratique car il ne fait pas intervenir les coefficients partiels pour incertitudes de modèle (c'est d'ailleurs aussi, ce qui est utilisé dans la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1). Pour plus de détails et d'explications concernant le choix de la "bonne" inéquation le projeteur se reportera à l'Annexe VI.
NMU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7.3.3 - Application pratique de la méthode
On commence par déterminer les imperfections géométriques initiales à partir des premiers modes de flambement élastique et par déterminer les cas de charges significatifs dans le plan de flambement considéré (voir l'exemple d'un arc donné en [Annexe II]). Dans le cas d'éléments verticaux, les imperfections géométriques peuvent être représentées par une inclinaison [EC2-2 5.2 (105)]. Dans le cas d'éléments isolés, il peut être pratique d'utiliser une excentricité ou une charge transversale calculée à partir de l'inclinaison précédente [EC2-1-1 5.2(7)]. Le processus de calcul des sollicitations et de vérification de la structure peut ensuite s'effectuer (pour simplifier on présente l'étude à partir de l'état de la structure terminé sous charges permanentes, obtenu de manière classique, tout fluage effectué).
7.3.3.a) Modalités d'incrémentation des charges
L'Eurocode 2 ne donne pas d'indications complètes sur la manière d'incrémenter les charges. Il est seulement dit que le niveau des charges sera augmenté à partir de leurs valeurs de service pour atteindre celui de la combinaison fondamentale ELU de résistance dans un même pas de calcul. Le processus d'incrémentation se poursuivra jusqu'à atteindre la résistance ultime d'une zone ou la rupture globale de la structure [EC2-2 5.7(105) note 1]. Les points de passage obligés sont par contre parfaitement identifiés, à savoir :
· · ·
la situation sous charges permanentes G (représentant Gmin ou Gmax) qui est un état de référence obtenu à la suite d'un calcul détaillé approprié, prenant en compte tous les effets du fluage ; la situation en service G + Q (Q représentant symboliquement l'ensemble des charges variables intervenant dans la combinaison fondamentale ELU de résistance) ; la situation sous combinaison fondamentale ELU G G + Q Q (qu'on a appelé charge de projet pour simplifier) ; et enfin la situation de ruine de calcul obtenue avec la charge de projet majorée par un facteur multiplicateur.
Charges d'exploitation pondérées
Le retour par q'ud ne permet pas de passer sur la trajectoire
[
]
·
0'
Q Q Q Q
R' (q' ud
qud )
R (q ud = q ELU )
U (q ELU = G G+Q Q) S'
Q
S (qSERV =G+Q)
Charges permanentes pondérées
G
G G
G G
NMV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Fig./Tab.7.(5) : Illustration de l'évolution des charges
On s'aperçoit sur un graphique illustrant l'évolution des charges, que dans le cas général, avec des valeurs de G et Q différentes, les points S (pour service), U (pour ultime) et R (pour ruine) ne sont pas alignés et donc que les pas d'incrémentation doivent être différents entre S et U d'une part et entre U et R d'autre part. Un incrément de charge entre S et U peut s'écrire i ( G - 1) G + ( Q - 1) Q , avec
i G Q
[ ] valant 1. Un incrément de charge entre U et R peut s'écrire [( )G + ( ) Q ] , avec 1 + = .
i i
La poursuite de l'incrémentation des charges à partir de la charge de projet peut à priori se faire de différentes façons. On pourrait, par exemple, continuer avec le même pas utilisé pour passer de la situation en service à l'ELU de résistance ou même n'incrémenter que les charges non-permanentes, ce qui constitue une option radicalement différente. Mais ces options différentes ne permettent pas d'exprimer la charge de ruine comme étant proportionnelle à la charge de projet qud = qELU; ce dernier choix a été retenu par l'Eurocode 2 pour exprimer le niveau de sécurité. La ruine est atteinte à partir d'incrément de charge et il est généralement impossible de dépasser le pic de contrainte de la loi de Sargin. Mais si le calcul est fait avec un logiciel permettant de dépasser ce pic, l'état de ruine obtenu peut être différent. Cette distinction a peu d'incidence sur le flambement des structures isostatiques. En revanche, cela peut être important pour les calculs de redistribution d'efforts, où une augmentation de la capacité de rotation des sections augmente les possibilités de redistribuer. Les cas concernés par ces différences sont cependant assez rares. Lorsqu'on ne sait pas a priori si G a un effet favorable ou défavorable vis-à-vis du flambement, deux calculs sont à faire, l'un avec G = 1 et l'autre avec G = 1,35 , associé à Gmin et Gmax respectivement. Les incréments de charges sont alors à adapter en conséquence.
7.3.3.b) Analyse des résultats
Si l'on représente dans un repère à deux dimensions, l'évolution des sollicitations (N, M) d'une section transversale de la structure en fonction de la charge appliquée et si on y rajoute le domaine de résistance (a) de la section d'étude, construite avec les mêmes lois de comportement des matériaux utilisées pour l'analyse structurale, on trouve en général la figure suivante :
Instabilité d'ensemble ou rupture localisée sur une autre section
M M
Rupture de section
(a)
(a) A
A
N chemin de chargement
N
Fig./Tab.7.(6) : Cheminement des sollicitations (N, M) en fonction des chargements successifs jusqu'au point A (NA, MA) obtenu avec la charge de ruine et courbe d'interaction (a) d'une section.
On constate que la courbe (N, M) se termine à l'arrêt des calculs, en un point A, situé en général à l'intérieur du domaine de résistance de la section étudiée. Mais elle peut aussi bien se terminer avec un point A se trouvant sur la courbe (a).
NNM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Entre-temps, cette courbe est passée successivement par les points (NS, MS) de la situation en service et (NELU, MELU) de la situation aux ELU de calcul. Quand le point A se trouve sur la courbe (a), la ruine de calcul de la structure s'est produite par rupture locale dans la section étudiée. Cette section est la section critique et sa résistance limite a été atteinte.
L'identification de la section critique dans laquelle la ruine locale se produit constitue une des difficultés d'application de la méthode.
Quand le point A se situe à l'intérieur du domaine délimité par la courbe (a), il y a alors deux cas de figure :
·
soit c'est encore une rupture localisée mais qui s'est produite dans une autre section que celle étudiée : pour cette section, qui n'est pas la plus sollicitée, les sollicitations obtenues lors de l'arrêt des calculs sont évidemment éloignées de son domaine de résistance ; soit c'est une instabilité d'ensemble de la structure, et dans ce cas, on peut vérifier que tous les points A de toutes les sections qu'on étudie se retrouvent à l'intérieur de toutes les courbes (a) associées. Ce critère sera d'ailleurs le seul moyen pour identifier le mode de rupture de la structure par instabilité d'ensemble.
En fait on peut savoir qu'il y a eu instabilité d'ensemble quand on est certain d'avoir fait l'étude de la section critique et que son point A se trouve à l'intérieur de sa courbe (a).
·
7.3.3.c) Vérification de la sécurité
Avec l'application du critère (5.102b) préconisée par le guide la mise en oeuvre de la vérification de la sécurité est largement simplifiée. La vérification de la sécurité est assurée dès lors que O ' . Ceci est illustré dans la figure ci-dessous où est représentée l'évolution du paramètre déterminant (en général le moment de flexion) en fonction du niveau de chargement. Le chemin de chargement passe par les points S (obtenu avec la charge de service), U (obtenu avec la charge de projet) et se termine en un point A obtenu avec la charge qud , charge maximale atteinte et appelée charge de ruine de calcul. La vérification de la sécurité est satisfaite si le point D obtenu avec le chargement qud /O' est situé sur le chemin de chargement au delà du point U obtenu avec la charge de projet.
M
MA A
MD MU MS S U
D
q SERV
q ELU = q ud
q ud q ud
0'
q
Fig./Tab.7.(7) : Vérification de la sécurité Combinaison (q, M)
7.4 - Synthèse et comparaison des différentes méthodes
Les deux méthodes simplifiées présentées de manière détaillée en [Annexe VI], sont basées sur l'estimation d'une courbure 1/r ou sur l'estimation d'une rigidité nominale EI et donnent des résultats sécuritaires par
NNN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
rapport aux deux méthodes générales. Leur champ d'application est restreint, essentiellement les éléments isolés de section et de ferraillage constants. Elles permettent néanmoins de traiter des éléments relativement élancés et sont utiles pour valider rapidement un ferraillage minimum ou une structure en phase de projet. Elles sont cependant très sécuritaires et il est recommandé d'utiliser la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 dans le cas d'une structure très élancée pour obtenir des sollicitations plus réalistes afin de mieux optimiser la matière à mettre en place (sections d'armatures et incidence sur le dimensionnement des fondations d'une pile par exemple). La méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 est d'application tout à fait similaire aux règles antérieures et n'appelle donc pas de remarques particulières. On rappelle qu'elle offre une meilleure alternative en suggérant d'utiliser le même ensemble de diagrammes déformations-contraintes pour l'analyse et pour la vérification des sections. Ceci constitue une vraie simplification par rapport aux règles antérieures. L'Eurocode 2 offre la méthode générale de la partie 2 comme une alternative à la méthode générale de la partie 1-1. Son utilisation présente deux intérêts principaux :
·
le premier intérêt est de mettre en évidence la marge de sécurité qui existe entre la charge de projet (charge de la combinaison fondamentale ELU de résistance) et la charge qui conduit à la ruine de calcul de la structure. En effet la méthode conduit à obtenir un dépassement de la charge de projet pour obtenir la ruine. Le niveau de sécurité voulu est ensuite défini par rapport à cette charge de ruine et est fixé au départ par la méthode ; le second intérêt de la méthode est qu'elle permet de savoir si la structure atteint la ruine de calcul par rupture d'une section ou par instabilité d'ensemble. Cette connaissance peut être utile pour orienter son redimensionnement, localement, s'il s'agit d'une rupture de section (renforcement du ferraillage par exemple) ou de façon plus globale, s'il s'agit d'un problème de flambement (action sur l'élancement de la structure).
·
La méthode générale de l'Eurocode 2 partie 2 est du même niveau de complexité théorique que la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1. Elle nécessite des modalités pratiques d'application peut être un peu plus élaborées. Mais elle permet certainement une analyse plus fine dans les cas d'instabilité d'ensemble. En conclusion on peut a priori utiliser la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 qui est bien connue et il est proposé qu'on fasse appel à la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 2 dans les cas où les informations supplémentaires apportées par cette méthode sont utiles au projeteur. En tout état de cause, il est suggéré que la méthode qui serait appropriée soit précisée dans les clauses techniques des marchés pour tout projet particulier.
NNO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 7 Justification aux ELS
Les justifications aux ELS visent à assurer à toute structure l'aptitude au service requise pendant la durée d'utilisation de projet choisie. Elles contribuent aussi à la protection vis-à-vis des dommages pouvant nuire à la durabilité de la structure. Dans leur principe, les principales règles de justification d'une structure aux états limites de service selon l'Eurocode 2 sont proches de celles utilisées précédemment en France : limitation des contraintes, maîtrise de la fissuration dans les zones tendues et/ou cisaillées et limitation des déformations. La principale nouveauté réside dans l'expression de la maîtrise de la fissuration : au lieu d'une limitation de contrainte des aciers adhérents, elle se fait par un calcul conventionnel d'ouvertures de fissures. Cela permet une approche unifiée entre béton armé et béton précontraint. De plus l'Eurocode 2 partie 2 donne une méthode pour maîtriser la fissuration provoquée par le cisaillement dans les âmes pour les cas où cette vérification est nécessaire. Dans le cas des ponts routiers en béton la limitation des déformations est en général non-dimensionnante. Ne seront donc abordés dans ce guide que les deux aspects limitation des contraintes et maîtrise de la fissuration. On se reportera à l'Annexe VII pour des exemples de calcul détaillés. Enfin, l'application des règles antérieures permettait un dimensionnement de la précontrainte grâce à une définition précise de trois classes de justification. Avec l'Eurocode 2 la situation est plus floue, et il a paru nécessaire de donner quelques indications sur le sujet au projeteur.
L'Eurocode 2 donne des conditions minimales à respecter. Certaines peuvent se traduire par des conditions sur la précontrainte, d'autres non. Mais la définition de la précontrainte est l'affaire du concepteur et une bonne conception n'est pas nécessairement celle qui colle le plus près aux limites fixées par l'Eurocode.
1 - Limitation des contraintes
1.1 - Contrainte de compression dans le béton
1.1.1 - En service
Il est recommandé de limiter la contrainte de compression dans le béton à 0,45 fck sous combinaison quasipermanente des charges pour, principalement, limiter les effets du fluage (flèches excessives, effets hyperstatiques importants...). Ceci permet alors d'utiliser les modèles de fluage linéaire [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 7.2(3)]. Dans le cas contraire, il convient de considérer un fluage non-linéaire. En l'absence de confinement, la contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,6 fck sous combinaison caractéristique dans les parties exposées à des environnements de classe XD, XF et XS [EC2-2 7.2(102)].
En général, on appliquera également cette limitation à l'ensemble des structures d'ouvrages d'art indépendamment de la classe d'environnement. Rappelons que cette limitation permet de se dispenser d'une vérification à la fatigue du béton comprimé [EC2-1-1/AN].
1.1.2 - En construction
Dans le même esprit la contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,45 fck(t) en phase de construction [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 5.10.2.2(5)].
La clause 5.10.2.2(5) précise que le fluage non-linéaire doit être pris en compte si la contrainte de compression dépasse de façon permanente 0,45 f ck (t) . Au moment de la mise en tension d'un câble, on peut donc admettre un dépassement temporaire de cette valeur. La valeur maximale de compression admissible est précisée ci-après.
NNQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,6 fck(t). Pour la prétension, on peut admettre de monter à 0,7 fck(t) sous réserve de justifications par essais ou par l'expérience que la fissuration longitudinale est évitée [EC2-1-1 5.10.2.2(5)].
Cette limitation doit être appliquée indépendamment de la classe d'environnement.
1.2 - Contrainte de traction dans les armatures
1.2.1 - Cas des armatures de béton armé
Les limitations à respecter sont les suivantes [EC2-2 7.2 (5)] : s < 0,8 fyk sous combinaison caractéristique (sauf si la structure est soumise uniquement à des déformations imposées, par exemple dues au retrait gêné, dans ce cas, la limite est portée à fyk).
La valeur de 0,8 f yk est élevée et cette limitation de contrainte dans les aciers passifs sous combinaison caractéristique n'est en général pas dimensionnante.
1.2.2 - Cas de la précontrainte non adhérente
Lorsque toute la précontrainte est non adhérente, la surtension qui se produit dans les aciers de précontrainte aux ELS sous l'effet des charges d'exploitation est négligeable. Les règles sont donc identiques au cas du béton armé. C'est le cas notamment de la flexion transversale de ponts caissons larges avec précontrainte transversale non adhérente.
1.2.3 - Cas de la précontrainte adhérente
pm < 0,8 fpk sous combinaison caractéristique [EC2-1-1/AN 7.2(5)]
La pratique française précédente consistait à limiter uniquement la surtension des armatures de précontrainte, indépendamment du niveau de précontrainte sous charges permanentes. L'Eurocode adopte plus logiquement un critère de non-plastification des armatures. Plus les armatures sont tendues sous charges permanentes, plus la surtension autorisée sous charges d'exploitation est faible. Avec la valeur 0,75 recommandée par l'Eurocode 2, ce critère pouvait amener à réduire la tension initiale des câbles, notamment pour des câbles avec peu de pertes instantanées. C'est pour éviter cela que la valeur a été portée à 0,8 dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1.
NNR= Chapitre 7 - Justification aux ELS
2 - Maîtrise de la fissuration
2.1 - Principe
Le principe adopté par [EC2-2/AN Tab.7.101NF] :
·
l'Eurocode 2
pour
la
maîtrise
de
la
fissuration
consiste
à
définir
une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures en fonction de la classe d'exposition et de la nature de l'élément considéré (béton armé, béton précontraint à armatures non-adhérentes, ou béton précontraint à armatures adhérentes) ; et/ou un critère de vérification de non-décompression ;
·
qu'il faut ensuite vérifier par le biais d'un calcul d'ouverture de fissures et d'un calcul de contrainte.
2.2 Limites d'ouverture de fissure
Ces limites sont les suivantes :
·
éléments en béton armé et béton précontraint à armatures non-adhérentes soumis à des classes d'exposition XC , XD ou XS wmax < 0,3mm sous combinaison fréquente pour des classes d'exposition XC wmax < 0,2mm sous combinaison fréquente pour des classes d'exposition XD ou XS
Le choix de la combinaison quasi-permanente est bien adaptée au cas des bâtiments, où les charges quasi-permanentes représentent une part importante des charges (les coefficients 2 sont généralement non nuls). En ouvrage d'art, au contraire, les coefficients 2 sont très généralement nuls. La combinaison fréquente apparaît donc comme plus pertinente pour évaluer les ouvertures de fissure, et c'est le choix qui a été fait dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2. Malgré cette correction, la limitation de l'ouverture de fissure sous charge fréquente ne sera généralement pas dimensionnante pour les classes d'exposition XC. C'est le cas notamment de la flexion transversale des hourdis de ponts mixtes ou de ponts caissons. L'application stricte de cette règle peut conduire à des contraintes relativement élevées sous charges de trafic, et la fatigue des aciers passifs peut alors être dimensionnante. L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 dispense de calcul à la fatigue les structures en béton armé pour lesquelles s < 300MPa sous combinaison caractéristique. Cette dernière condition sera généralement dimensionnante pour les ouvrages en classe d'exposition XC, tandis que la limitation d'ouverture de fissure pourra être dimensionnante pour les ouvrages en classe d'exposition XD ou XS.
·
éléments en béton précontraint à armatures adhérentes soumis à des classes d'exposition XC wmax < 0,2mm sous combinaison fréquente
accompagné d'un contrôle de non-décompression c > 0 en zone d'enrobage sous combinaison quasi-permanente
Il est rappelé qu'une vérification à la fatigue des aciers passifs et de précontrainte est nécessaire pour les structures précontraintes qui sont fissurées sous combinaison fréquente.
·
éléments en béton précontraint à armatures adhérentes soumis à des classes d'environnement XD ou XS c > 0 en zone d'enrobage sous combinaison fréquente
La zone d'enrobage est définie par une distance de 100mm à l'armature de précontrainte adhérente ou à sa gaine. Cette condition n'impose pas un enrobage de 100mm pour les armatures de précontrainte : l'Eurocode demande simplement que le béton situé à moins de 100mm de la gaine, lorsqu'il existe, soit comprimé.
NNS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Il est rappelé que la non-décompression du béton sous charges fréquentes permet de se dispenser d'un calcul à la fatigue [EC2-2 6.8.1(102)].
2.3 - Méthodes de calcul des ouvertures de fissure
2.3.1 - Approche selon l'Eurocode 2
Dans l'Eurocode 2, la maîtrise de la fissuration peut se faire de deux façons :
·
méthode "directe" : la maîtrise de la fissuration est considérée comme assurée si la largeur de fissure calculée par la méthode recommandée [EC2-1-1 7.3.4], est inférieure à la valeur limite donnée, et/ou si la règle de non-décompression est vérifiée. Une section minimale d'armatures est par ailleurs exigée [EC2-1-1 Expr.(7.1)] ; méthode "simplifiée" : l'Eurocode 2 partie 1-1 donne une méthode simplifiée pour cette vérification en 7.3.3, moyennant un certain nombre d'hypothèses, notamment la présence d'un ferraillage minimal plus important que le strict minimum requis.
·
Le calcul des contraintes dans les aciers en vue du calcul d'ouverture de fissures est toujours effectué en section fissurée. Les coefficients d'équivalence à utiliser sont donnés au [Chapitre 3 -3.1] de ce guide. Les deux méthodes sont utilisées et présentées en annexe par l'intermédiaire d'exemples de calcul.
Signalons que le domaine d'emploi de la méthode simplifiée de l'Eurocode est plus restreint que celui de la méthode directe : pour utiliser la méthode simplifiée, il faut avoir un ferraillage minimum calculé avec les valeurs de s lues dans des tableaux (et pas avec fyk ), fonction du diamètre ou de l'espacement (distance entre axes) des aciers [EC2-1-1 7.3.3] ; il faut effectuer les corrections données par les formules (7.6N) et (7.7N). Enfin, les tableaux donnent généralement des résultats défavorables par rapport au calcul direct, notamment pour des aciers de gros diamètres pour lesquels les taux de ferraillage effectifs sont bien supérieurs à ceux qui ont été pris en compte dans l'établissement des tableaux. Pour toutes ces raisons, la méthode directe a été privilégiée dans la plupart des exemples de calcul de ce guide, notamment pour les calculs de vérification. L'utilisation des tableaux de la méthode simplifiée de l'Eurocode garde un intérêt en phase de dimensionnement des aciers. La méthode directe de calcul d'ouvertures de fissures présente elle-même un certain nombre de limitations. Elle est adaptée au cas de sections rectangulaires en flexion composée non déviée (c'est sur la base d'essais sur ce type de sections qu'a été fait le calibrage des formules). Par ailleurs, elle n'a pas été calibrée pour la détermination d'ouvertures de fissures dans les pièces épaisses. Se pose alors le problème de la généralisation de ces formules au cas de formes de coffrages plus complexes, au cas de sections en flexion déviée, ou au cas de structures épaisses.
2.3.2 - Approche retenue dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2
Afin de régler les difficultés signalées dans le paragraphe précédent, il a été proposé dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 une autre méthode plus "rustique", mais applicable dans toutes les situations. La méthode proposée est la suivante :
· ·
limitation de l'espacement entre aciers à 5(c+/2), et limitation de la contrainte dans les aciers passifs à 1000 wmax dans le cas de sections fléchies (c'est-à-dire ayant une face comprimée et une face tendue, sans fissures traversantes), ou à 600 wmax dans le cas de sections entièrement tendues.
NNT= Chapitre 7 - Justification aux ELS
Dans ces expressions, wmax est en mm et la limite de contrainte obtenue est en MPa.
Cette méthode "rustique" de l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 peut être appliquée dans le cas général. Si on désire optimiser le dimensionnement du ferraillage, on peut appliquer les formules du calcul direct lorsque c'est possible, notamment si les sections sont sensiblement rectangulaires par morceaux, ou en flexion faiblement déviée, avec des gammes d'épaisseurs courantes et des ferraillages relativement réguliers. Pour les structures épaisses, pour les structures en flexion déviée, ou pour les structures de forme ou de ferraillage complexe, il est recommandé d'utiliser la méthode "rustique". Note : Le calcul direct peut conduire à des sections d'acier plus importantes ; néanmoins, la méthode "rustique" reste sécuritaire.
2.4 - Ferraillage minimal de fissuration
2.4.1 - Principe et application à des sections rectangulaires
Indépendamment du calcul d'ouvertures de fissures, il convient de prévoir un ferraillage minimal dans les zones susceptibles d'être tendues sous combinaison caractéristique. La rédaction de la clause 7.3.2(4) est ambiguë, l'annexe nationale a clarifié l'interprétation :
·
pour les ouvrages en béton précontraint par post-tension le ferraillage minimal est requis dans toutes les sections où, sous la combinaison caractéristique de charges et pour la valeur caractéristique de la précontrainte, le béton est tendu (c'est-à-dire < 0) ; pour les ouvrages à fils adhérents, aucun ferraillage minimal n'est requis dans les sections où la valeur absolue de la contrainte de traction du béton est inférieure à 1,5 fct,eff .
·
Dans une poutre en béton armé, il y a toujours lieu d'appliquer le ferraillage minimal. Le principe de calcul du ferraillage minimal est énoncé en [EC2-1-1 7.3.2(1)P] : les armatures adhérentes mises en places doivent être capables de reprendre sans plastifier les efforts de traction enfermés dans le béton au moment de la fissuration. Une modalité d'application est donnée en [EC2-1-1 7.3.2(2)] dans le cas de sections rectangulaires en flexion composée : As,min×fyk = kc×k×fct,eff×Act [EC2-1-1 Expr.(7.1)]
De façon générale, il convient de prendre fct,eff = fctm [EC2-2 7.3.2(102)]. Toutefois, lorsque l'on est certain que la fissuration se produira uniquement au jeune âge (cas d'une poutre soumise uniquement à des déformations gênées par exemple), il est possible de prendre une valeur réduite fct,eff = fctm(t), sans toutefois descendre en-dessous de 2,9 MPa [EC2-2 7.3.2(105)].
La valeur de kc a été calibrée par rapport au principe général énoncé ci-dessus. La valeur est exacte dans le cas de la traction simple et de la flexion simple, et elle est sécuritaire dans les cas de flexion composée. Dans le cas d'une section rectangulaire en flexion simple, kc vaut 0,4. Le ferraillage minimal vaut donc : As,min = 0,4×fctm×0,5×b×h / fyk Soit, avec d = 0,9 h : As,min = 0,23×(fctm / fyk)×b×d
Ce ferraillage est légèrement plus faible que le ferraillage minimum donné pour les poutres en [EC2-1-1 9.2.1.1(1)] (coefficient 0,23 au lieu de 0,26). Il s'agit dans les deux cas d'un ferraillage minimum basé sur les mêmes principes. Pour clarifier cela, l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 a précisé que le ferraillage de la section 9 était applicable pour les éléments en béton armé, et que celui de la section 7 était applicable pour les éléments en béton précontraint.
NNU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La formule donnée dans l'Eurocode 2 contient un terme supplémentaire (coefficient k). Sa valeur doit généralement être prise égale à 1,0, sauf pour les pièces larges ou hautes soumises uniquement à des déformations imposées (voir exemple d'application en annexe). Signalons enfin que l'expression (7.1) est écrite dans l'Eurocode 2 partie 1-1 de façon plus générale avec s au lieu de fyk. Cela est dû au fait que cette expression peut également être lue à l'envers, pour calculer une contrainte : As Ce calcul permet d'estimer la contrainte dans les aciers passifs d'une pièce fissurée soumise à des déformations imposées. Un exemple d'utilisation est donné en annexe.
C'est donc bien la valeur s = fyk qui doit être utilisée pour calculer le ferraillage minimum. Ce point a d'ailleurs été clarifié par l'annexe nationale. Ce n'est que lorsqu'on souhaite utiliser les tableaux de la méthode indirecte (7.3.3) qu'il convient d'adopter une valeur plus faible de s , pour se conformer aux hypothèses selon lesquelles ont été établis ces tableaux.
A s = k c ×k×fct,ef f × ct
2.4.2 - Généralisation à des sections quelconques
L'Eurocode 2 indique comment généraliser le calcul du ferraillage minimum à des sections rectangulaires par morceaux (en pratique : sections en caisson ou en T). Le principe est le suivant :
· ·
on découpe la section en éléments rectangulaires qui sont soit des hourdis, soit des âmes ; les modalités de découpage sont indiquées en [EC2-2 7.3.2 fig.7.101] ; on détermine le moment de fissuration Mfiss, c'est-à-dire le moment créant une contrainte de traction fctm en fibre extrême, en supposant l'effort normal extérieur global N inchangé (dans une poutre précontrainte, on prendra généralement N = Pk,inf) ;
Pour une section où N et M varient tous les deux (cas d'un poteau par exemple), il peut être plus sécuritaire de déterminer les sollicitations de fissuration en considérant un point de passage de la résultante des contraintes normales identique à celui de la sollicitation de service la plus défavorable.
· · ·
on construit le diagramme de contrainte dans la section sous ce couple (N, Mfiss) ; dans un élément de type âme, on calcule le ferraillage minimal selon la formule générale en prenant c égal à la contrainte au centre de gravité de l'âme ; dans un élément de type hourdis, le ferraillage minimal est obtenu par la relation : As,minf yk =max[0,9k Fcr ; 0,5 k fctm A ct ]
La première condition revient à équilibrer 90% de l'effort de traction dans la membrure avant fissuration ; on considère de façon forfaitaire que les 10% restants repassent dans les âmes par changement du bras de levier. La seconde condition assure un ferraillage minimal des membrures permettant d'équilibrer un moment "local" de fissuration (une face tendue à fctm et une face à contrainte nulle). La généralisation du calcul du ferraillage minimum à des sections quelconques peut se faire en revenant au principe énoncé en [EC2-1-1 7.3.2(1)P] : on vérifie que sous les sollicitations de fissuration, les aciers mis en place ne plastifient pas.
2.5 - Maîtrise de la fissuration provoquée par cisaillement
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne prévoit pas de vérifications spécifiques de la résistance au cisaillement aux ELS, elle est supposée assurée par des dispositions constructives [EC2-1-1 7.3.3(5)].
NNV= Chapitre 7 - Justification aux ELS
En revanche, l'Eurocode 2 partie 2 prévoit dans la clause [EC2-2 7.3.1(110)] un renvoi à une annexe QQ (informative, rendue normative par l'annexe nationale) qui donne une méthode permettant, dans le cas où ce serait nécessaire, d'éviter la fissuration provoquée par cisaillement. Elle concerne essentiellement les âmes des ouvrages en béton précontraint et ne s'applique pas en général aux sections en béton armé.
La fissuration des âmes est admise pour les sections en béton armé, mais elle ne doit pas être excessive. Pour cela, il convient soit de faire des vérifications explicites d'ouverture de fissure et de fatigue à l'effort tranchant, soit d'adopter des inclinaisons "raisonnables" des bielles à l'ELU de résistance, ne s'écartant pas trop de l'orientation naturelle des fissures en service (soit 45° dans les cas courants). La réglementation française antérieure imposait des bielles à 45° sans autre vérification. Une limite inférieure correspondant à cot = 1,5 a été proposée dans l'annexe nationale [EC2-2/AN 6.8.1(102)] [Chapitre 6 -2.2.2].
2.5.1 - Principe
Le principe retenu dans l'annexe QQ consiste à déterminer la plus grande contrainte principale de traction dans le béton et de vérifier qu'elle est inférieure en valeur absolue à une résistance à la traction du béton à déterminer en fonction des contraintes appliquées, pour assurer la non-fissuration sous cisaillement.
Il va de soi que la vérification ci-dessus doit se faire avec l'ensemble des contraintes provoquées par les efforts de flexion, tranchants et de torsion concomitants. La vérification est à faire sur toute la hauteur des âmes, soit en général au niveau du centre de gravité et du gousset côté de la membrure tendue. Bien que le texte ne le précise pas, la justification est à faire sous combinaison caractéristique.
2.5.2 - Critère de non-fissuration
Le critère compare la plus grande contrainte principale de traction 1 à fctb , résistance à la traction du béton au niveau des âmes, dans un état de contrainte biaxiale avant fissuration, et donnée par l'expression : f ctb = 1 - 0,8 3 × f ctk ;0, 05 [EC2-2 Expr.(QQ.101)] f ck 3 est la plus grande contrainte principale de compression (valeur positive) fck est la résistance caractéristique à la compression du béton fctk,0.05 est le fractile 5% de la résistance à la traction du béton Dans les cas courants où l'on n'a pas de compression biaxiale (pas de précontrainte verticale dans des âmes par exemple) l'état de contrainte est caractérisé par le tenseur : x 0 Les contraintes principales 1 et 3 se calculent alors par les expressions : 1 = 3 = x - x + 2 2 2 x + x + 2 2 2
2 2
où :
Les expressions ci-dessus sont applicables si x 0. Lorsqu'une vérification est nécessaire en un point où x < 0, il est loisible de calculer 1 et 3 en prenant x = 0 ; la vérification s'écrit alors :
NOM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
fctb, soit
f ctk 0,05 f ctk 0,05 1 + 0,8 f ck
Cela revient à maîtriser la fissuration des âmes sous sollicitations tangentes indépendamment de la traction longitudinale, qui est elle équilibrée directement par les armatures longitudinales. Ce n'est pas dit explicitement dans l'annexe QQ, mais on retrouve ce principe dans d'autres annexes (annexe F notamment), ainsi que dans la pratique française antérieure (BPEL).
Si le critère 1 > -fctb est vérifié (1 plus grande contrainte principale de traction), alors la section n'est pas fissurée sous sollicitation tangente. Aucun ferraillage d'effort tranchant n'est à prévoir aux ELS hormis le ferraillage minimum. Si le critère n'est pas vérifié, l'annexe QQ demande qu'on maîtrise la fissuration des âmes selon les méthodes prévues en [EC2-1-1 7.3.3] ou [EC2-1-1 7.3.4] et [EC2-1-1 7.3.1] en tenant compte de la déviation entre la direction de la contrainte principale et les directions des armatures. Toutefois, la référence à ces clauses ne donne aucune indication pratique pour effectuer le calcul complet d'ouverture de fissure. Il paraît donc très souhaitable de dimensionner les âmes pour qu'elles ne soient pas fissurées aux ELS.
Par ailleurs, le fait d'avoir des âmes trop minces peut poser d'autres problèmes (diminution du bras de levier des aciers passifs vis-à-vis de la flexion transversale, difficultés de bétonnage, réduction de la résistance en torsion, etc.). Il convient de tenir compte de ces phénomènes dans le choix des épaisseurs d'âmes, et ne pas se limiter au seul critère aux ELS de l'annexe QQ de l'Eurocode 2 partie 2.
L'équation (QQ101) peut exprimer la limitation des contraintes de cisaillement d'une autre façon, plus habituelle aux projeteurs :
adm = x × y -
avec
5f ck × f ctk;0,05 × x + y + f ctk;0,05 × 4 x + 4 y - 5f ck (5f ck + 4f ctk;0,05 ) 2
(
) (
)
x = contrainte normale longitudinale y = contrainte normale transversale adm= contrainte tangente admissible.
3 - Règles de dimensionnement de la précontrainte
Les justifications données précédemment doivent être utilisées en vérification de structure, mais ne suffisent pas toujours à elles seules à dimensionner la précontrainte de façon satisfaisante.
3.1 - Cas des ouvrages coulés en place
La question se pose en particulier pour les structures précontraintes en classe d'environnement XC3 ou XC4, pour lesquelles les tractions dans le béton sous charges fréquentes et caractéristiques ne sont pas limitées. Un dimensionnement de la précontrainte sur la base du seul critère de non-décompression en quasi-permanent conduira à de faibles quantités de précontrainte et à des quantités importantes d'aciers passifs, dimensionnement qui peut s'avérer non économique. Le projeteur doit donc en général se donner des règles supplémentaires de dimensionnement, en particulier pour les structures de type "poutre" où la précontrainte partielle est peu économique. Ces règles peuvent être les suivantes : c > 0 sous combinaison fréquente dans toute la section ou c > -fctm sous combinaison caractéristique dans toute la section
NON= Chapitre 7 - Justification aux ELS
On pourra généralement utiliser uniquement la plus favorable des deux règles ci-dessus. Ces deux règles existent déjà dans l'Eurocode 2, la première dispensant le projeteur de la justification à la fatigue, et la seconde lui permettant un calcul des contraintes en section non fissurée. Ces règles sont à prendre comme des recommandations pour le dimensionnement, sauf bien sûr dans le cas où un fonctionnement de structure en précontrainte partielle serait plus économique. Pour l'application de ces règles, ajoutées en vue de faciliter le dimensionnement du projet, on peut choisir d'utiliser la précontrainte probable.
3.2 - Cas des voussoirs préfabriqués
Les règles de justification aux ELS des voussoirs préfabriqués sont données dans la norme [EN15050 G.2.3.1] : sous combinaison caractéristique et valeurs en fourchette de la précontrainte, la section de béton doit rester entièrement comprimée (précontrainte totale).
3.3 - Règles en phases de construction
Les règles données ci-dessus doivent être adaptées pour les phases de construction pour plusieurs raisons : la notion de combinaison fréquente n'existe pas en phases de construction, et les états limites relatifs à la durabilité sont moins pertinents qu'en service, notamment pour les phases de courte durée.
En revanche, il est rappelé que les ELU doivent être vérifiés à toutes les phases de la construction.
Il convient donc de définir des règles spécifiques pour les vérifications aux ELS en phases de construction. Ces règles ne sont pas présentées de manière explicite dans l'Eurocode 2 partie 1-1. Par contre, l'Eurocode 2 partie 2 y consacre une section particulière, la section 113. Le tableau ci-dessous montre comment adapter les règles pour quelques exemples particuliers, en suivant les principes de la section 113 :
Règles aux ELS en service Règles aux ELS en construction
c > 0 c > 0 wk < 0,2mm s < 0,8 fyk c < 0,6 fck
sous comb. fréquente sous comb. Q.P. sous comb. fréquente
c > - fctm (t) c > -fctm(t) wk < 0,2mm
sous comb. Q.P. en situation de construction sous comb. Q.P. en situation de construction sous comb. Q. P. en situation de construction sous comb. caract. en situation de construction sous comb. caract. en situation de construction
sous comb. caractéristique s < 0,8 fyk sous comb. caractéristique c < 0,6 fck(t)
Dans le tableau ci-dessus, les limites de contrainte de traction fixées en construction sont à respecter en zone d'enrobage des câbles. En dehors de cette zone, on peut admettre des tractions plus importantes et se contenter d'une vérification d'ouverture de fissure. Il convient de fixer ces règles lors de l'établissement du projet, car elles peuvent avoir une incidence sur le dimensionnement du coffrage et de la précontrainte. Ces règles devront être indiquées dans les documents du marché. On peut choisir pour ces règles d'utiliser la précontrainte probable.
NOO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 8 Dispositions constructives relatives aux armatures
Le présent chapitre concerne essentiellement la section 8 de l'Eurocode 2 "dispositions constructives relatives aux armatures de béton armé et de béton précontraint généralités" des parties 1-1 et 2. Ce chapitre analyse certaines des dispositions constructives exposées dans cette section 8. Il n'est pas exhaustif et il ne saurait dispenser de la lecture de l'Eurocode. Les paragraphes 1 à 6 sont consacrés aux barres isolées et le paragraphe 7 aux paquets de barres. Certains des sujets traités dans la section 8 de l'Eurocode 2 ne sont pas abordés dans ce chapitre. C'est notamment le cas des points suivants :
· · ·
Treillis soudés, Ancrage d'armatures au moyen de barres soudées, Précontrainte.
D'autres parties de l'Eurocode 2 présentent également des dispositions correspondant à des exigences minimales. Celles-ci sont abordées dans les chapitres correspondants du présent guide. Il est à noter que, conformément à la clause 8.1 de la partie 1-1 de l'Eurocode 2, la section 8 ne traite que des armatures de béton armé à haute adhérence, des treillis soudés et des armatures de précontrainte.
En ce qui concerne les armatures de béton armé de type "rond lisse", et en l'absence de nouveaux textes sur le sujet, il est loisible de conserver les dispositions constructives exposées dans le BAEL 99 et dans la norme NF A35-027 de janvier 2003.
Les armatures de béton armé utilisées doivent être conformes à la norme EN 10080.
1 - Distance libre entre armatures de béton armé
La distance libre minimale entre barres est la même horizontalement et verticalement.
eh, ev : distances libres horizontale et verticale respectivement Fig./Tab.1.(1) : Distances libres entre barres isolées
Ces distances libres doivent vérifier : avec
eh , ev emini = sup { ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
dg dimension du plus gros granulat et diamètre de la barre
NOQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2 - Diamètre admissible des mandrins de cintrage pour les barres pliées
2.1 - Généralités
Conformément à la clause [EC2-1-1 8.4.1(3)], les coudes et crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées. Ce chapitre s'applique à toutes les parties de barres tendues pliées par cintrage, que ce soit celles :
·
des coudes, crochets ou boucles des ancrages des armatures,
coude
crochet Fig./Tab.2.(1) : Ancrages des armatures
boucle
·
des coudes des armatures continues pliées (barres relevées et autres barres cintrées),
Fig./Tab.2.(2) : Coudes des armatures continues (barres relevées et autres barres cintrées)
·
des épingles, des étriers, et des cadres (y compris leurs ancrages).
Fig./Tab.2.(3) : Epingles, étriers et cadres
Le diamètre admissible des mandrins de cintrage dépend de deux critères : le non-endommagement des armatures et la non-rupture du béton.
NOR= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
2.2 - Critère de non-endommagement des armatures
La clause correspondante est en [EC2-1-1 8.3(2)] Dans le cas général des barres pliées par cintrage sans armature soudée, le diamètre minimal du mandrin de cintrage vis-à-vis du critère de non endommagement des armatures est donné par le tableau suivant : : Diamètre de la barre 16 mm > 16 mm m : Diamètre minimal du mandrin 4 7
Fig./Tab.2.(4) : Diamètre minimal de mandrin vis-à-vis du non-endommagement des armatures
2.3 - Critère de non-rupture du béton
La clause correspondante est en [EC2-1-1 8.3(3)]. Conformément à l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1, ce critère ne s'applique pas aux cadres, étriers et épingles.
·
Domaine d'emploi
Pour une barre de diamètre ce critère doit faire l'objet d'une vérification si l'une au moins des 3 conditions suivantes n'est pas remplie : - condition n°1 : L'ancrage nécessaire de la barre ne dépasse pas 5 au-delà de l'extrémité de la partie courbe - condition n°2 : La barre n'est pas disposée près d'une surface et il existe une barre transversale de diamètre supérieur ou égal à à l'intérieur de la partie courbe - condition n°3 : Le diamètre du mandrin est supérieur ou égal aux valeurs recommandées pour le critère de non-endommagement aux armatures.
·
Formule du critère de non-rupture du béton
1 1 1 Le diamètre du mandrin doit vérifier : m Fbt a + 2 × f , cd b avec Fbt l'effort de traction dans une barre dû aux charges ultimes à l'origine de la partie courbe. Fbt = × (fyk / S) × [ ( / 2)²], avec proportion de l'effort restant à ancrer à partir de l'origine de la partie courbe (la proportion (1 - ) de l'effort est déjà ancrée avant l'origine de la courbe) ab moitié de l'entraxe entre les barres (ou groupe) perpendiculairement au plan de courbure (si la barre (ou groupe) est proche des parements prendre l'enrobage majoré de / 2) fcd borné à la classe C 55/67.
L'attention est attiré sur le fait qu'en général pour une barre tendue ancrée par courbure une part de l'effort est déjà ancrée à l'origine de la partie courbe. La prise en compte de cet aspect permet de réduire sensiblement la valeur du rayon de mandrin admissible vis-à-vis du critère de non-rupture du béton.
NOS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.2.(5) : Origine de la partie courbe par rapport au début de l'ancrage pour une barre tendue
·
Application aux ancrages par courbure de barres tendues
Pour les ancrages par courbure de barre tendue, la condition de non-rupture du béton est généralement satisfaite avec un diamètre de mandrin m 10 .
Exemple, cas particulier classique : - entraxe 5 - enrobage 2 - fyk 500 MPa - 25 % des efforts sont déjà ancrés à l'origine de la partie courbe, - fck 35 MPa
1 1 1 m Fbt a + 2 f = {0,75 × (500 / 1,15) × [ (/2)²] } × {[2/(5) + 1/(2 )] × 1,5/35} 10 b cd
Le calcul a été fait dans le cas d'une situation non accidentelle avec C = 1,5 et S = 1,15, le cas accidentel étant ici moins défavorable du fait du rapport C/S qui vaut 1,2 en accidentel et 1,3 sinon. Plus précisément, pour les ancrages par crochet ou coude, le respect des prescriptions suivantes dispense de vérifier la condition de non-rupture du béton :
· · · ·
Enrobage Aciers de classe B500B Diamètre de mandrin : m = 10 Longueur d'ancrage en partie droite (avant l'origine de la courbe) supérieure aux valeurs indiquées dans le tableau ci-après.
Entraxe 2 3 4 5 6 Classe du béton C30/37 31 25 21 18 15 C35/45 25 19 15 11 8 C40/50 20 14 9 6 3 C45/55 16 10 5 0 C50/60 13 6 0 0 C55/67 10 3 0 0 0 C60/75 10 3 0 0 0
Fig./Tab.2.(6) : Longueur d'ancrage minimale nécessaire en partie droite
Cette longueur d'ancrage en partie droite est une longueur minimale à respecter et ne dispense pas du calcul de la longueur d'ancrage lbd qui peut donner une longueur d'ancrage en partie droite supérieure à la longueur minimale indiquée dans le tableau ci-dessus, notamment lorsque le calcul est effectué avec la longueur d'ancrage équivalente.
NOT= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
Exemple, pour un coude normal à 90°, 32 mm, béton de classe C35/45, entraxe = 2 et m = 10 (figure a). Avec 1 = 0,7 et les autres i égaux à 1, le calcul de la longueur d'ancrage lbd [Chapitre 8 -3] donne : lbd = 0,7 × lb,rqd = 0,7 × 46 = 32,2 , soit une longueur d'ancrage en partie droite de : lbd [5 + ( / 2) × (m / 2 + / 2)] = 18,6 . Dans ce cas, c'est la longueur d'ancrage minimale en partie droite 25 indiquée dans le tableau [Fig./Tab.2.(6)], nécessitée par la condition de non rupture du béton et le choix m = 10 , qui prévaut. Au contraire, pour un entraxe de 3 et un béton de classe C40/50 (figure b), le tableau [Fig./Tab.2.(6)] indique une longueur d'ancrage minimale en partie droite de 14 . C'est alors le calcul de la longueur d'ancrage lbd, qui donne une longueur d'ancrage en partie droite de 15,8 , qui prévaut.
Figure a
Figure b
Cependant, suivant les conditions d'entraxe et la classe du béton, des diamètres de mandrin inférieurs à 10 peuvent être obtenus en vérifiant le critère de non-rupture du béton.
·
Application aux coudes des armatures continues
Pour les déviations par coudes d'armatures continues (barres relevées et autres barres cintrées), la condition de non-rupture du béton est le plus souvent satisfaite (pour les bétons de classe C35/45 ou supérieure) avec un diamètre de mandrin m 15 .
Entraxe 2 3 4 5 6 Classe du béton C35/45 22 17 15 13 12 C40/50 19 15 13 12 11 C45/55 17 13 11 10 9 C50/60 15 12 10 9 9 C55/67 14 11 9 8 8 C60/75 13 10 9 8 7
Fig./Tab.2.(7) : Diamètre minimal du mandrin, pour des aciers de classe B500B ou inférieure, en fonction du diamètre de la barre, pour des coudes d'armatures continues
Le calcul est ici effectué comme dans l'exemple précédent mais en considérant 100% de l'effort.
NOU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3 - Ancrage des armatures longitudinales
3.1 - Définitions
La clause [EC2-1-1 8.4] fait intervenir 5 types de longueur d'ancrage.
lb lb,rqd
longueur d'ancrage de référence
C'est la longueur nécessaire pour ancrer un effort donné par scellement droit pour une barre isolée.
longueur d'ancrage de référence requise
C'est la longueur nécessaire pour ancrer l'effort As sd par scellement droit pour une barre isolée en supposant que la contrainte d'adhérence est constante et égale à fbd. (avec sd contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle l'ancrage est mesuré)
lbd lb,min lb,eq
longueur d'ancrage de calcul
C'est la longueur d'ancrage pour une barre en tenant compte de sa forme et de son environnement.
longueur d'ancrage minimale en l'absence de toute autre limitation longueur d'ancrage équivalente
C'est une formule simplifiée pour lbd dans des cas courants. Dans le cas d'ancrages courbes elle permet notamment de calculer la longueur d'ancrage sans prendre en compte le diamètre de mandrin utilisé.
3.2 - Principe
Le principe de la détermination d'une longueur d'ancrage comprend deux étapes :
1 - détermination de lb,rqd la longueur d'ancrage de référence requise (dans l'hypothèse d'un scellement droit) pour ancrer l'effort de calcul. Il est à noter que cet effort de calcul n'est pas forcément égal à l'effort maximal admissible pour la barre pour la situation correspondante. 2 - détermination de lbd la longueur d'ancrage de calcul qui tient compte de la forme et de l'environnement de la barre. Il est à noter que cette longueur de calcul est inférieure à lb,rqd et qu'elle est déduite de celle-ci via l'application de coefficients minorateurs.
·
Cas des barres comprimées : Les coudes et crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées [EC2-1-1 8.4.1(3)]. Il est loisible de mesurer la longueur d'ancrage comme indiqué sur le schéma suivant :
Fig./Tab.3.(1) : Ancrage courbe d'une barre comprimée
NOV= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
·
Cas des barres tendues :
cas d'un ancrage par boucle normale (boucle pour laquelle les efforts de traction sont identiques dans les cas d'un ancrage par coude deux brins, boucle "à plat" par exemple) Les longueurs d'ancrage de référence lb et de calcul lbd sont mesurées le long de l'axe quelle que soit la forme du tracé. Fig./Tab.3.(2) : lb et lbd dans le cas d'un ancrage par courbure
Afin de ne pas multiplier inutilement les calculs de longueurs d'ancrage, il est loisible de retenir le même effort à ancrer pour tous les aciers d'un diamètre et d'une nuance donnés : l'effort donnant la longueur d'ancrage maximale soit As sd = As fyk / S. Il convient alors de faire le calcul dans le cas d'une situation non accidentelle avec C = 1,5 et S = 1,15, le cas accidentel étant moins défavorable du fait du rapport C / S qui vaut 1,2 en accidentel et 1,3 sinon. Cependant un calcul précis prenant en compte la valeur exacte de l'effort de calcul, peut être effectué par exemple pour justifier un acier particulier ou les aciers d'un ouvrage existant.
Une détermination par une approche simplifiée (longueur d'ancrage équivalente) est également possible dans certains cas.
3.3 - Détermination de la longueur d'ancrage de référence "requise"
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.4.3].
3.3.1 - Contrainte ultime d'adhérence
La détermination de la longueur d'ancrage de référence requise nécessite le calcul préalable de la "contrainte ultime d'adhérence" [EC2-1-1 8.4.2]. Celle-ci, notée fbd, doit être suffisante pour éviter une rupture d'adhérence. fbd = 2,25 1 2 fctd , avec : 2 paramètre lié au diamètre de la barre. 2 = (132-) / 100 pour > 32 mm, 1 sinon fctd résistance de calcul en traction du béton fctd = ct fctk,0,05 / C , plafonnée à la valeur correspondant à la classe C60/75. Le coefficient ct est défini au [EC2-1-1 3.1.6] , ct = 1. paramètre dépendant des conditions d'adhérence et de la position des barres au cours du bétonnage. Il 1 prend les valeurs suivantes :
·
1 = 1,0 lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, c'est-à-dire : - pour toutes les barres dont l'inclinaison de l'ancrage avec l'horizontale est comprise entre 45° et 90°, pendant la phase de bétonnage [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(3)] ; - pour les barres dont l'inclinaison de l'ancrage avec l'horizontale est comprise entre 0 et 45° et qui pendant la phase de bétonnage sont situées à une distance inférieure à 250 mm depuis la fibre inférieure de la section ou, pour les dalles d'épaisseur supérieure à 600 mm, à une distance supérieure à 300 mm depuis la fibre supérieure de la section [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(4)] ;
NPM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
1 = 0,7 dans tous les autres cas.
Fig./Tab.3.(3) : Barres inclinées avec l'horizontale d'un angle compris entre 45° et 90°. Bonnes conditions d'adhérence
Fig./Tab.3.(4) : Conditions d'adhérence pour les barres inclinées d'un angle compris entre 0 et 45° avec l'horizontale
fck / fck
cube
25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67 60/75 70/85 2,69 2,48 1,89 1,73 3,04 2,80 2,13 1,96 3,37 3,10 2,36 2,17 3,68 3,39 2,58 2,37 3,99 3,67 2,79 2,57 4,28 3,93 2,99 2,75 4,43 4,07 3,1 2,85 4,57 4,21 3,2 2,94 4,57 4,21 3,2 2,94
Conditions 32mm d'adhérence "bonnes" = 40mm Conditions 32mm d'adhérence "médiocres" =40mm
Fig./Tab.3.(5) : Valeurs de la contrainte ultime d'adhérence (en MPa), en fonction de la résistance du béton (en MPa), du diamètre des barres et des conditions d'adhérence
Comme indiqué ci-avant, le tableau a été établi dans le cas d'une situation non accidentelle avec
C = 1,5 et S = 1,15
(rappel : fctd = ct fctk,0,05 / C)
Exemple : fck = 35 MPa, bonnes conditions d'adhérence, 32 mm, fctk,0,05 = 2,247 MPa fbd = 2,25 1 2 fctd = 2,25 × 1 × 1 × 1 × 2,247 / 1,5 = 3,37 MPa
NPN= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
3.3.2 - Longueur d'ancrage de référence "requise"
La contrainte ultime d'adhérence ayant ainsi été déterminée, la longueur d'ancrage de référence "requise" peut alors être calculée par la formule : l b ,rqd = × sd 4 f bd (avec sd contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle l'ancrage est mesuré). Le tableau ci-dessous donne la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer la totalité de l'effort de calcul que peut reprendre la barre et non plus l'effort particulier auquel elle est soumise. Comme expliqué précédemment, la valeur de contrainte de calcul retenue est sd = fyk / S.
fck / fck cube barre (mm) 32 mm =40 mm
25/30
30/37
35/45
40/50
45/55
50/60
55/67
60/75
70/85
40 44
36 39
32 35
30 32
27 30
25 28
25 27
24 26
24 26
Fig./Tab.3.(6) : Valeurs de la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer fyk / S , exprimée en fonction du diamètre de la barre, pour des aciers B500B et dans des conditions d'adhérence "bonnes"
Exemple : fck = 35 MPa, fyk = 500 MPa, bonnes conditions d'adhérence, = 20 mm, fbd = 3,37 MPa
l b,rqd = × sd 4 f bd
= (500 / 1,15) / (3,37 × 4) = 32,25 = 645 mm
Pour des conditions d'adhérence "médiocres", la valeur du tableau est divisée par 0,7. On obtient alors, en exprimant la longueur d'ancrage de référence nécessaire en fonction du diamètre de la barre :
fck / fck cube barre (mm) 32 mm =40 mm 25/30 58 63 30/37 51 55 35/45 46 50 40/50 42 46 45/55 39 42 50/60 36 39 55/67 35 38 60/75 34 37 70/85 34 37
Fig./Tab.3.(7) : Valeurs de la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer fyk / S, exprimée en fonction du diamètre de la barre, pour des aciers B500B et dans des conditions d'adhérence "médiocres"
3.4 - Longueur d'ancrage de calcul
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.4.4]. La longueur d'ancrage de calcul est définie par : lbd = max { 1 2 3 4 5 lb,rqd ; lb,min } 1 : tient compte de l'effet de forme des barres, l'enrobage étant supposé correct 2 : tient compte de l'effet de l'enrobage minimal 3 : tient compte de l'effet de confinement des armatures transversales 4 : tient compte de l'effet de une ou plusieurs barres transversales soudées le long de lbd 5 : tient compte de l'effet de la pression orthogonale au plan de fendage le long de lbd Le produit 235 est borné inférieurement à 0,7. En l'absence des dispositions constructives définies dans le tableau [EC2-1-1 Tabl.8.2] et qui permettent le cas échéant une réduction de la longueur d'ancrage, les coefficients 3, 4 et 5 doivent évidemment être pris égaux à 1. Pour les barres tendues : Pour les barres comprimées : lb,min > max { 0,3 lb,rqd ; 10 ; 100 mm } lb,min > max { 0,6 lb,rqd ; 10 ; 100 mm }
NPO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En prenant les valeurs minimales 1=4=(235)=0,7, il s'ensuit lbd= 0,34 lb,rqd. Il est donc impossible d'avoir lbd < 0,3 lb,rqd pour les barres tendues. De même pour les barres comprimées, avec 4=0,7 il découle lbd = 0,7 lb,rqd ; il est donc impossible d'avoir lbd < 0,6 lb,rqd.
Tous ces coefficients étant inférieurs ou égaux à 1, il résulte du tableau ci-dessus donnant les longueurs d'ancrage de référence nécessaires pour ancrer fyk / S que :
pour les qualités de béton généralement utilisées pour les ouvrages d'art, la longueur d'ancrage de calcul d'une barre tendue en acier B500B par scellement droit est inférieure ou égale à 50 . Cette valeur de 50 est valable pour des conditions d'adhérence médiocres [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(7)]. Si cette valeur est utilisée comme longueur d'ancrage, il n'est alors pas nécessaire de vérifier dans quelles conditions d'adhérence se trouve la barre.
Pour certaines configurations, une simplification consiste à considérer que l'ancrage des barres tendues est assuré moyennant la prise en compte de longueurs d'ancrage équivalentes. Pour les coudes "normaux", crochets "normaux" et les boucles "normales", les longueurs d'ancrage équivalentes lb,eq sont définies comme indiqué ci-après.
Fig./Tab.3.(8) : Longueurs d'ancrage équivalentes pour les coudes et crochets normaux et les boucles normales
Les dessins définissent également les notions de coude "normal", crochet "normal" et boucle "normale", boucle pour laquelle les efforts sont identiques pour les deux extrémités. lb,eq = 1 lb,rqd
- pour les armatures tendues, avec cd > 3 : - pour les armatures tendues, avec cd 3 :
l b ,eq = 0,7 l b , rqd l b ,eq = l b ,rqd
a cd = c c d = min ; c1 2 pour les coudes ou crochets pour les boucles Fig./Tab.3.(9) : Valeurs de cd en fonction du type d'ancrage
NPP= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
La méthode simplifiée proposée par l'Eurocode 2 partie 1-1 ne présente pas d'intérêt pour les coudes et crochets. Elle augmente la longueur d'acier par rapport à un calcul pessimiste immédiat où l'on retient 1 pour les coefficients 2 à 5 et où l'on a donc : lbd = 1 lb,rqd . Par exemple, pour un HA16 avec R = 5 , le supplément de longueur d'acier vaut : - pour un coude normal à 90° : 0,57 R + 4,8 , soit 12 cm environ, - pour un crochet normal à 180° : 2,14 R + 5,6 , soit 26 cm environ. Pour les boucles normales, l'écart entre les deux méthodes est minime.
Fig./Tab.3.(10) : Comparaison entre formule simplifiée et application pessimiste de la formule générale
3.5 - Cas particulier
Il est possible d'utiliser plusieurs types d'ancrage (rectilignes et par courbure). Cette disposition est par exemple classique dans les semelles de fondation.
Fig./Tab.3.(11) : Cas particulier
NPQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.5]. Les ancrages des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales (cadres, épingles et étriers) sont réalisés au moyen de coudes ou de crochets (ou à l'aide d'armatures transversales soudées) en prévoyant une barre à l'intérieur du crochet ou du coude et en respectant les dispositions de la figure suivante. Il est à noter que ces dispositions sont différentes de celles des crochets ou coudes "normaux" des armatures longitudinales.
cas de l'ancrage par coude (rappel : pour les coudes 90° < 150°)
cas de l'ancrage par crochet
(rappel : pour les crochets 150°) Fig./Tab.4.(1) : Ancrages des armatures transversales par coude ou crochet
5 - Recouvrement
5.1 - Généralités
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.1]. La transmission des efforts d'une barre à une autre peut s'effectuer par :
· · ·
recouvrement ; soudage ; organe mécanique (manchon).
Le présent paragraphe ne concerne que la transmission des efforts par recouvrement.
5.2 - Longueur de recouvrement l0
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.3].
·
Cas des recouvrements rectilignes
si c sup { 4 , 50mm } si c > sup { 4 , 50mm }
l0 = sup {6 lbd ; l0,min } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } + c
c : la distance libre entre les deux barres du recouvrement
NPR= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
Fig./Tab.5.(1) : Distance libre entre barres d'un recouvrement
l0,min = max { 0,3 6 lb,rqd ; 15 ; 200mm }
Il est impossible que 0,3 6 lb,rqd soit supérieur à 6 lbd [Chapitre 8 -3.4].
6 est un coefficient de sécurité qui prend en compte la simultanéité de plusieurs recouvrements concernant une section donnée. 6 = (1/25)0,5 avec 1 proportion de barres avec recouvrement dont l'axe se situe à moins de 0,65 l0 de l'axe du recouvrement considéré. 6 varie de 1 à 1,5.
1 6
·
< 25% 1
33% 1,15
50% 1,4
> 50% 1,5
Cas des recouvrements avec courbures
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne précise pas les dispositions à retenir dans le cas des recouvrements à courbure. A défaut de justifications plus précises, il est loisible de retenir la disposition suivante : la longueur l0 se mesure en partie droite conformément au dessin ci-dessous, et non pas depuis l'origine de la barre.
Pour un recouvrement rectiligne, il y aurait l0 = 6 lb,rqd ; pour un recouvrement avec courbures, la formule simplifiée donne l0 = 6×1×lb,rqd. Fig./Tab.5.(2) : Longueur l0 pour des recouvrements avec courbures
Fig./Tab.5.(3) : Longueur l0 pour un recouvrement avec crochets normaux
Exemple de calcul de longueur de recouvrement - cas d'un crochet normal à 180° avec cd >3, 1=0,7, 2×3×5=0,7 et 6=1,4 (50 % de recouvrements pour la section considérée). Comme précédemment, la contrainte de calcul prise est sd = fyk / S, et la situation durable est considérée. f yk s sd f yk 1,5 f yk l b ,rqd = = = = 0,58 f ctk ;0, 05 4 f ctk ;0, 05 2,25 × 1,15 × 1 × 1 × 1 4 f bd 4 4 f ctk ;0,05 2,251 2 ct c
l 0 = 0,7 × 0,7 × 1,4 × l b,rqd = 0,7 × 0,7 × 1,4 × 0,58
f yk f yk = 0,4 4 f ctk;0,05 4 f ctk;0,05
Les "boucles normales" ne sont pas utilisées pour les recouvrements. En particulier, les boucles d'extrémité d'éléments préfabriqués ne sont pas des "boucles normales".
NPS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Cas des recouvrements de barres comprimées
Dans le cas de recouvrements de barres comprimées, le coefficient 1 étant égal à 1 quelle que soit la forme de l'ancrage des barres se recouvrant, la longueur de recouvrement est égale à celle d'un recouvrement rectiligne. L'utilisation d'ancrages courbes demande donc plus de matière (pour les ancrages [Chapitre 8-Fig./Tab.5.(2)] avec une longueur de recouvrement équivalente à celle d'un recouvrement rectiligne.
La jonction de barres comprimées par barres rectilignes est conseillée. Dans ce cas il est rappelé qu'il convient de prendre des dispositions pour assurer la sécurité du personnel. Dans le cas d'utilisation de barres courbes, pour les barres courbes de diamètre moyen ou important, la poussée au vide en fin de courbe peut être importante, et justifie la non-prise en compte de la partie courbe pour le recouvrement.
5.3 - Espacements longitudinaux des recouvrements
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.2] et [EC2-1-1 8.7.3]. Les dispositions sont représentées ci-après pour les cas les plus courants et résultent de la synthèse des conditions données par les clauses précitées :
a) 33 % de recouvrements dans une section
dans ce cas 6 = 1,15 et les recouvrements voisins doivent être espacés au moins de 0,3 l0, soit 1,3 l0 entre axes.
Fig./Tab.5.(4) Cas avec 33% de recouvrements dans une section
NPT= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
b) 50 % de recouvrements dans une section
dans ce cas 6 = 1,4 et les recouvrements voisins doivent être espacés au moins de 0,3 l0, [EC2-1-1 8.7.2(3)] alinéa 2, soit 1,3 l0 entre axes.
Fig./Tab.5.(5) : Cas avec 50% de recouvrements dans une section
c) 100 % de recouvrements dans une section
Ce cas ne peut s'appliquer que dans les conditions suivantes :
· · ·
barres comprimées, armatures secondaires (de répartition), barres tendues et disposées sur un seul lit.
Ceci est cohérent avec les dispositions du paragraphe 4.7 "armatures longitudinales" du guide du Sétra "Ponts en béton précontraint construits par encorbellements successifs" de juin 2003.
Dans ce cas 6 = 1,5 mais la règle de l'espacement des recouvrements voisins de 0,3 l0, soit 1,3 l0 entre axes, ne peut évidemment pas être respectée.
Le retour à la source des dispositions de l'Eurocode 2 [CEB-FIB Model Code 1990] fait apparaître que la règle en question doit être interprétée comme visant à augmenter l'espacement prévu entre deux recouvrements voisins quand on veut ne pas les considérer comme affectant la même section. Ainsi les deux schémas ci-dessous représentent la même situation d'une section dans laquelle il est prévu 100% de recouvrement. Le premier schéma étant meilleur du point de vue du fonctionnement.
NPU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.5.(6) Cas avec 100% de recouvrements dans une section
5.4 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.4.1]. Trois niveaux d'exigence croissants sont retenus pour les armatures transversales en fonction de l'agressivité des recouvrements considérés.
1er cas < 20 mm ou 1 < 25% Les aciers transversaux nécessaires prévus par ailleurs sont considérés comme suffisants. Ils peuvent ne pas être situés en premier lit. 2ème cas autres configurations 3ème cas 20 mm et 1 > 50% et a 10
A st
As
A st
As
il convient de placer des aciers transversaux en premier lit et perpendiculaires à la direction du recouvrement.
les armatures transversales utilisées doivent être des cadres, étriers ou épingles, et perpendiculaires à la direction du recouvrement.
avec
Ast section des armatures transversales et As section d'une des barres du recouvrement 1 voir définition ci-avant [Chapitre 8 -5.2]
NPV= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
En général le cas 1 > 50% correspond à 1 = 100%, dans ce cas "a" est la distance entre les recouvrements de deux barres voisines comme représenté sur la figure ci-avant [Fig./Tab.5.(6)]. Dans les deux derniers cas, il convient de répartir les armatures conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.5.(7) : Dispositions des armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
Il est également envisageable de répartir les armatures transversales uniformément le long du recouvrement, conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.5.(8) : Autre disposition possible des armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
5.5 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres comprimées
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.4.2]. Les mêmes règles que pour les barres tendues s'appliquent, avec une disposition supplémentaire : ajouter de chaque côté du recouvrement une barre transversale placée à une distance inférieure à 4 de l'extrémité du recouvrement.
Fig./Tab.5.(9) : Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres comprimées
Comme pour les barres tendues, il est possible de répartir les armatures transversales uniformément sur la longueur de recouvrement, mais toujours avec les deux barres supplémentaires placées de part et d'autre du recouvrement. Ces deux barres supplémentaires ont pour but de s'opposer à l'éclatement du béton comprimé au contact de la tranche d'extrémité de la barre.
NQM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6 - Barres de gros diamètre
Les règles supplémentaires de la clause [EC2-1-1 8.8] relative aux barres de gros diamètre s'appliquent aux barres de diamètre > large. La valeur à utiliser est celle indiquée dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1, à savoir large = 40 mm.
7 - Paquets de barres
7.1 - Généralités
Les barres peuvent être regroupées par paquets. Les aciers doivent être de même type et de même nuance, éventuellement de diamètres différents sous réserve que le rapport des diamètres n'excède pas 1,7. Sauf indication contraire les règles pour les barres individuelles s'appliquent également aux paquets de barres. Le nombre de barres d'un paquet est limité à 3, sauf pour les cas des barres verticales comprimées et des barres à l'intérieur d'une jonction par recouvrement pour lesquels 4 barres peuvent être groupées au maximum. Les armatures doivent être disposées de façon compacte afin d'opposer le minimum de gêne à la mise en place du béton. Dans le cas particulier d'un paquet de deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, le paquet est traité comme une barre individuelle.
Fig./Tab.7.(1) : Disposition correcte dans le cas d'un paquet de 3 aciers identiques
7.2 - Diamètre équivalent du paquet
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.1]. Soit nb le nombre de barres du paquet, limité à 3 ou 4 selon les cas. Le diamètre équivalent n de la barre fictive (même section et même centre de gravité que le paquet) vaut :
· ·
cas où les barres ont toutes le même diamètre : cas de plusieurs diamètres de barres :
n = n b 55mm n = 1 ² + ... + n b ² 55mm
NQN= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
7.3 - Distance libre entre paquets de barres
La distance libre minimale entre les paquets de barres est mesurée à partir du contour extérieur effectif du paquet.
Fig./Tab.7.(2) : Distances libres entre paquets de barres
Ces distances doivent vérifier : avec
eh , ev emini = sup { n ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
dg dimension du plus gros granulat et n diamètre équivalent du paquet de barres.
Dans le cas particulier d'un paquet de deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, le paquet est traité comme une barre individuelle, d'où les dispositions suivantes :
Fig./Tab.7.(3) : Distance libre entre paquets de deux barres et barres individuelles
Ces distances libres doivent vérifier :
eh , ev emini = sup { ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
7.4 - Ancrage des paquets de barres
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.2].
·
Ancrage des paquets de barres tendues
- 1er cas : si les barres présentent des décalages longitudinaux importants comme indiqués sur les schémas suivants (où lb,rqd est calculé avec ), le diamètre d'une barre individuelle est utilisé pour calculer lbd.
Fig./Tab.7.(4) : Ancrage d'un paquet de deux barres tendues avec un décalage important
NQO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.7.(5) : Ancrage d'un paquet de trois barres tendues avec un décalage important
Cas particulier d'un ancrage droit du paquet de barres avec, pour une barre isolée, lbd () = lb,rqd () - paquet de deux barres : la longueur d'ancrage du paquet est : lpaquet 2,3 lbd () - paquet de trois barres : lpaquet 3,6 lbd () - 2ème cas : le diamètre équivalent n est utilisé pour calculer lbd : lbd (n) = n lbd ().
Le paragraphe correspondant de l'Eurocode 2 partie 1-1 est incomplet. Il est loisible de retenir un décalage minimum des barres comme indiqué sur les dessins ci-dessous.
avec 2 diamètre équivalent du paquet de deux barres, 2 =
2
Fig./Tab.7.(6) : Ancrage d'un paquet de deux barres tendues
avec 3 diamètre équivalent du paquet de trois barres, 3 =
3
Fig./Tab.7.(7) : Ancrage d'un paquet de trois barres tendues
Cas particulier d'un ancrage droit du paquet de barres avec, pour une barre isolée, lbd () = lb,rqd - paquet de deux barres : lpaquet = 1,3 lbd (2) = 1,3 × 1,41 × lbd () = 1,83 lbd - paquet de trois barres : lpaquet = 1,6 lbd (3) = 1,6 × 1,73 × lbd () = 2,77 lbd - Cas particulier : n < 32 mm et barres au voisinage d'un appui : pas d'obligation de décaler les barres.
Fig./Tab.7.(8) : Ancrage de paquet de barres tendues au voisinage d'un appui pour n < 32mm
NQP= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
·
Ancrage des paquets de barres comprimées
- le décalage des arrêts des barres n'est pas nécessaire - si n 32 mm, des cours d'armatures transversales sont disposés conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.7.(9) : Ancrage d'un paquet de barres comprimées de diamètre équivalent 32mm
7.5 - Recouvrement des paquets de barres
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.3]. Soit c la distance libre entre les deux paquets du recouvrement mesurée à partir du contour extérieur effectif du paquet : - si c sup { 4n , 50mm } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } - si c > sup { 4n , 50mm } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } + c avec lbd calculé avec le diamètre équivalent n. · Cas des paquets de deux barres, avec n < 32 mm : il n'est pas nécessaire de décaler les barres pour le recouvrement. La longueur de recouvrement l0 est calculée avec le diamètre équivalent n.
Fig./Tab.7.(10) : Recouvrement d'un paquet de 2 barres de diamètre équivalent n < 32mm
On applique les mêmes dispositions d'armatures transversales en zone de recouvrement que celles définies pour les barres individuelles ([Chapitre 8 -5.4], en remplaçant par n).
·
Cas d'un paquet de deux barres avec n 32 mm ou d'un paquet de trois barres : les arrêts de barres doivent être décalés longitudinalement d'au moins 1,3 l0, où l0 est calculé avec . Il est possible d'utiliser une barre supplémentaire de recouvrement, sans toutefois dépasser 4 barres dans une section de recouvrement.
Fig./Tab.7.(11) : Recouvrement d'un paquet de 3 barres tendues, avec une 4ème barre de recouvrement
NQQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 9 Dispositions constructives relatives aux éléments
Les dispositions constructives concernent le ferraillage minimal ainsi que les dispositions à prendre pour les ferraillages [EC2-1-1 Sect.9].
1 - Ferraillage minimal de flexion
La valeur du ferraillage minimal à mettre en place est définie en [EC2-1-1 9.2.1.1] pour les poutres en béton armé et en [EC2-1-1 9.3.1.1] pour les dalles en béton armé. Pour les structures précontraintes, le ferraillage minimal est donné par l'annexe nationale qui demande de disposer le ferraillage minimal requis par le [EC2-1-1 7.3.2]. Un exemple d'application numérique est donné en [Annexe VII-1.5].
2 - Ferraillage de peau
Le ferraillage de peau est traité à deux endroits dans l'Eurocode 2 : [EC2-1-1 7.3.3(3)] et [EC2-2/AN 9.1(103)]. La clause [EC2-1-1 7.3.3(3)] permet de calculer le ferraillage de peau à prévoir sur les joues des poutres de grande hauteur (h > 1,0 m), en zone tendue uniquement, lorsque le ferraillage principal est concentré sur une portion de la hauteur seulement. Pour une poutre rectangulaire en flexion simple, de largeur b et de hauteur tendue ht , la valeur de ce ferraillage est donnée par : As,peau = kc×k×fct,eff×Act/fyk = 0,4×0,5×fctm×b×ht / fyk La clause [EC2-2/AN 9.1(103)] traite de façon plus générale le ferraillage de peau à prévoir sur les joues des poutres, à la fois en zone tendue et comprimée, parallèlement et perpendiculairement à la section transversale.
Ce ferraillage de peau ne se cumule pas aux autres aciers calculés.
Application numérique à une poutre rectangulaire de hauteur supérieure à 1,0 m, de 30 cm d'épaisseur d'âme, avec un béton C30/37 et des aciers passifs fyk = 500 MPa : Selon la clause [EC2-1-1 7.3.3(3)], la quantité d'acier de peau à disposer, sur les joues des poutres, en zone tendue, est égale à : As,peau = 0,4 × 0,5 × 2,9 × 0,30 × 1,0 / 500 = 3,50 cm² Soit une quantité de 1,75 cm²/m de parement. Exprimé en terme de pourcentage de la section tendue, cette valeur est égale à : = kc × k × fct,eff / fyk = 0,4 × 0,5 × 2,9 / 500 = 0,12 % Selon [EC2-2/AN 9.1(103)], le ferraillage de peau à mettre en place sur tout le pourtour de la poutre est égal à 3 cm²/m pour les classes d'expositions courantes (XC4), ou 5cm²/m en environnement agressif (XD, XS).
On constate sur l'application numérique que le calcul selon [EC2-1-1 7.3.3(3)] donne une valeur inférieure au minimum de 3 cm²/m donné en [EC2-2/AN 9.1(103)]. Dans les cas courants, il est possible de se dispenser du calcul de [EC2-1-1 7.3.3(3)] et utiliser directement les valeurs forfaitaires de la section 9.
NQS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3 - Ferraillage d'effort tranchant
3.1 - Section minimale d'armatures de tranchant
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 9.2.2].
3.1.1 - Cas des poutres
Un ferraillage transversal minimal est à prévoir même dans le cas d'éléments ne nécessitant pas d'armature d'effort tranchant. Le taux d'armature d'effort tranchant est donné par les expressions : w = Asw / (s × bw × sin ) w,min = (0,08 f ck ) / f yk
· · · · ·
[EC2-1-1 Expr.(9.4)]
avec une valeur minimale recommandée confirmée par l'annexe nationale : [EC2-1-1 Expr.(9.5N)]
w s bw
est le taux d'armatures d'effort tranchant est l'espacement des armatures d'effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l'élément est la largeur de l'âme de l'élément est l'angle entre les armatures d'effort tranchant et l'axe longitudinal [EC2-1-1 9.2.2(1)].
Par rapport aux pratiques antérieures l'expression (9.5N) [EC2-1-1 9.2.2(5)] conduit à moins d'acier pour des bétons de faibles résistances caractéristiques et à plus d'acier pour des résistances caractéristiques plus élevées.
12.0cm2/m 10.0cm2/m 8.0cm2/m 6.0cm2/m 4.0cm2/m
Asw est l'aire de la section des armatures d'effort tranchant régnant sur la longueur s
EC2 Asw/(s.bw)=0.08*racine(fck)/fyk*10000=
2.0cm2/m
BPEL At/(st.bn)=0.4*gs/fyk*10000=
0.0cm2/m 25 30 35 40 45 50
Fig./Tab.3.(1) : Variation du ratio minimal d'armatures de cisaillement avec la résistance caractéristique du béton
3.1.2 - Cas des dalles
Le taux du ferraillage minimum transversal et sa valeur minimale prévus ci-dessus pour les poutres s'appliquent également pour les dalles. Cependant les dalles qui bénéficient d'une redistribution transversale des charges en sont dispensées. [EC2-1-1 6.2.1(4) et 9.3.2]. Si des armatures de tranchant sont nécessaires la dalle doit avoir au moins 200 mm d'épaisseur. Les dalles de hourdis de pont entrent dans la catégorie des dalles permettant une redistribution transversale des charges. A ce titre, elles peuvent ne pas comporter d'armatures de tranchant, sauf si les efforts qui leur sont appliqués l'imposent [Chapitre 6 -2.2.1].
NQT= Chapitre 9 - Dispositions constructives relatives aux éléments
Toutefois, l'Eurocode 2 [EC2-1-1 9.3.1.4] demande de prévoir des armatures longitudinales et transversales de construction le long des bords libres telles que schématisées sur la figure ci-dessous Pour les dalles d'épaisseur courante (entre 20 et 35cm) et des bétons de fck 50 MPa, une section de 2cm²/m, soit 4 U HA8 permet de couvrir la condition de ferraillage minimal près des bords.
Fig./Tab.3.(2) : Principe d'armatures d'un bord libre de dalle
3.2 - Dispositions pour les armatures de tranchant
Les principales dispositions constructives des armatures d'effort tranchant sont représentées sur la figure ciaprès [EC2-1-1 9.2.2]. L'Eurocode 2 partie 2 recommande de ne pas utiliser les cadres et étriers ouverts. Une combinaison de cadres et de barres relevées est autorisée. L'inclinaison des armatures d'effort tranchant doit respecter la condition suivante : 45° 90°. Cependant au moins 50% des aciers d'effort tranchant doivent être sous forme de cadres et d'étriers (c'est une valeur recommandée reprise par l'annexe nationale).
Fig./Tab.3.(3) : Exemple d'armatures d'effort tranchant
Pour les poutres, de hauteur utile d, les espacements maximaux des cours d'armatures d'effort tranchant sont limités à : Sens longitudinal Sens transversal sl,max= 0,75 d (1+cot) st,max= 0,75 d 600mm [EC2-1-1 Expr.(9.6N)] [EC2-1-1 Expr.(9.8N)]
Pour les dalles, l'espacement maximal dans le sens longitudinal garde la même expression et l'espacement maximal transversal est modifié et limité à : Sens transversal st,max 1,5 d ( = /2) avec = angle d'inclinaison des armatures sur la fibre moyenne
Pour le cas de barres relevées qui sont moins utilisées en pratique, il faut se référer au texte de l'Eurocode 2.
NQU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Ferraillage de torsion
Les dispositions constructives des armatures de torsion sont données en [EC2-1-1 9.2.3] et sont représentées sur la figure ci-après. Les cadres doivent être ancrés au moyen de recouvrements et/ou crochets et être perpendiculaires à l'axe de la poutre. Les espacements maximums des cours d'armatures transversales de torsion sont limités à : Sens longitudinal sl,max = min (0,75 d ; U/8 ; plus petite dimension de la section) Les espacements maximum des armatures longitudinales de torsion sont limités à 350mm avec au moins une barre à chaque angle.
Les règlements antérieurs ne prévoyaient pas de spécifications particulières sauf pour les armatures longitudinales qui devaient être regroupées dans les angles.
a) configurations recommandées b) configuration non recommandée Fig./Tab.4.(1) : Exemples d'armatures de torsion
NQV= Chapitre 9 - Dispositions constructives relatives aux éléments
NRM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 10 Prescriptions et justifications particulières
1 - Effort tranchant
1.1 - Effet Résal
Dans les sections de hauteur variable en T ou en caisson comportant des membrures, la variation d'effort tranchant due à l'effet Résal doit être prise en compte. Elle est calculée à partir de :
· ·
Vccd : valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de compression, dans le cas d'une membrure comprimée inclinée ; Vtd : valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de traction dans l'armature tendue, dans le cas d'une membrure tendue inclinée.
La figure ci-dessous précise les conventions de signe [EC2-1-1 Fig.6.2] :
Fig./Tab.1.(1) : Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable
L'effort tranchant à prendre en compte [EC2-1-1 6.2.1(6)], avec prise en compte de la variation due à l'effet Résal est : VEd - Vccd - Vtd .
L'Eurocode 2 place l'effet Résal ici du côté des efforts sollicitants, mais le met aussi du côté des efforts résistants comme dans l'expression suivante :VEd < VRd = VRd,s + Vccd + Vtd [EC2-1-1 6.2.1(2)], [EC2-1-1 6.2.1(5)] Les deux manières sont équivalentes. Les règlements antérieurs privilégiaient la seconde. Une présentation plus habituelle de la règle, appliquée aux caissons est comme suit : A proximité d'un appui intermédiaire, la section est soumise à un moment M et un effort tranchant VEd négatifs. Le hourdis inférieur est fortement comprimée alors que le hourdis supérieur est peu comprimé, voire tendu. Dans le cas où le hourdis supérieur reste comprimé, la variation d'effort tranchant de l'effet Résal peut se calculer comme indiqué sur le schéma suivant.
NRO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.1.(2) : Effet Résal hourdis supérieur comprimé
Ns est la résultante des contraintes normales du hourdis supérieur (Ns >0 pour une compression). Dans le cas de traction c'est la somme des efforts de traction des aciers du hourdis . s est l'angle d'inclinaison de la fibre moyenne par rapport au hourdis supérieur. Ni et i sont les valeurs correspondantes pour le hourdis inférieur.
La variation due à l'effet Résal est égale à : VRésal = - Vcc,s - Vcc,i = - Ns.sin(s) + Ni.sin(i) Avec Ni > Ns et s i , la variation VRésal est positive. L'effort VEd étant négatif, l'effet Résal est dans ce cas favorable puisqu'il réduit l'effort tranchant (en valeur absolue).
Fig./Tab.1.(3) : Effet Résal - zones de membrures à prendre en compte
La prise en compte de l'effet Résal est a priori favorable car susceptible de réduire l'effort tranchant général, pour les sections près des appuis intermédiaires. Par contre lorsque l'on se rapproche de la mi-travée, le hourdis supérieur devient très comprimé, le hourdis inférieur tendu et l'effet Résal accroît l'effort tranchant général. La seule différence avec les pratiques antérieures vient du fait qu'on ne prenait pas en compte les zones d'âmes communes avec les hourdis. Une autre manière de prendre en compte l'effet Résal est aussi développée dans l'article de D. Le Faucheur, "Cumul des aciers de cisaillement et de flexion", paru dans le bulletin Ouvrages d'art du Sétra n° 41 auquel le projeteur pourra se rapporter pour plus de détails. Elle a le mérite de se baser sur une expression analytique qui se prête plus facilement à une programmation pour logiciel. Elle donne cependant une valeur majorante de l'effet Résal car l'ensemble de la section est prise en compte.
NRP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
1.2 - Cisaillement entre l'âme et les membrures des sections en T
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2.4] . Le modèle bielles-tirants a été adapté à cette configuration pour être utilisé pour la détermination des armatures.
1.2.1 - Ferraillage minimal des membrures
Le ferraillage minimal n'est plus celui prescrit spécifiquement vis-à-vis de l'effort tranchant [EC2-1-1 9.2.2], mais celui relatif aux armatures de flexion des dalles donné par la clause [EC2-1-1 9.3.1]. Il y a donc lieu d'appliquer la relation : A s , min = 0,26 f ctm btd f yk avec As,min 0,0013×bt×d [EC2-1-1 Expr.(9.1N)]
Dans ce cas, d est la hauteur utile de la membrure et bt sa longueur, soit appliqué à la figure ci-dessous d = hf et bt = x .
A - bielles de compression B - barre longitudinale ancrée audelà du point obtenu par construction avec f (voir 6.2.4 (7)) Fig./Tab.1.(4) : Jonction âme-membrure [EC2-1-1 Fig.6.7]
1.2.2 - Efforts sollicitants
La contrainte de cisaillement longitudinale vEd, développée à la jonction entre un côté de la membrure et l'âme, est déterminée par la variation d'effort normal (longitudinal) appliqué à la partie de membrure considérée : v Ed = Fd / ( h f × x) [EC2-1-1 Expr.(6.20)]
Dans le cas de charges réparties, il peut être admis pour x une valeur maximale égale à la moitié de la distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal. Dans une poutre isostatique, il peut ainsi y avoir des tronçons d'un quart de travée sur lesquels le ferraillage transversal de cisaillement est constant. Dans le cas de charges concentrées la valeur x est plafonée à la distance entre charges. Toutefois dans les ponts cette prescription ne vise pas l'action des charges concentrées apportées par les véhicules. Une alternative au calcul de cette contrainte est possible [EC2-2 6.2.4(103)] : "L'effort tranchant transmis entre l'âme et la membrure est égal à VEd x / z et se décompose en trois parties : une partie s'exerçant dans la section de la poutre limitée à la largeur de l'âme et les deux autres régnant dans les ailes des membrures. Généralement la part de l'effort auquel l'âme demeure soumise
NRQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
est la fraction bw / bf de l'effort total. Une force plus grande peut être prise en compte si la largeur totale de membrure efficace n'est pas indispensable pour résister au moment fléchissant. Dans ce cas, il peut être nécessaire de vérifier l'ouverture des fissures à l'état limite de service."
Cette alternative revient aux errements antérieurs qui, appliqués à une longueur x, expriment l'effort de glissement par unité de longueur :
vEd = (VEd /z)(b1/beff ) où b1 est la largeur de la membrure d'un seul côté de l'âme.
De ce fait, il reste comme effort dans l'âme vEd,w = (VEd/z)(bw /beff ) Les expressions ci-dessus sont plus spécifiquement adaptées aux poutres en T en béton armé.
Dans le cas du béton précontraint, et des caissons, en l'absence d'efforts concentrés apportant de brusques variations d'effort normal dans les hourdis, il est plus judicieux de recourir aux expressions classiques de la RDM et de calculer : vEd = VEd×S où S est le moment statique de la partie de membrure concernée. I ×h f
1.2.3 - Vérification de la résistance
Dans le modèle de treillis utilisé, l'inclinaison des bielles dans les membrures est différente de celles des âmes. Les valeurs recommandées sont : 1,0 cotf 2,0 pour les membrures comprimées 1,0 cotf 1,25 pour les membrures tendues. Il faut vérifier la compression des bielles dans la membrure : v Ed f cd sin f cos f avec = 0,6 (1-fck/250) et calculer les armatures (Asf fyd/sf ) vEd hf /cotf [EC2-1-1 Expr.(6.21)] Ces expressions sont une adaptation de celles relatives à la vérification des sections courantes, plus générales. Si vEd k×fctd , aucune armature de cisaillement n'est nécessaire en complément de celles requises pour la flexion. L'Eurocode 2 partie 1-1 recommande k = 0,4. L'annexe nationale prescrit : k = 0,5 en cas de surface verticale de reprise de bétonnage, rugueuse dans la membrure k = 1,0 lorsqu'il n'y a pas de surface verticale de reprise de bétonnage (la verticalité ici évoquée est relative au schéma de principe donné ci-avant)
A titre indicatif, f ctd = 1,50 MPa pour un C35 et 2,03 MPa pour un C60.
[EC2-1-1 Expr.(6.22)]
1.2.4 - Cumul avec la flexion locale
Le cumul flexion/cisaillement est traité au [Chapitre 10 -4.3.3] de ce guide.
NRR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
1.3 - Cisaillement dans les surfaces de reprise
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2.5]. En complément des exigences énoncées pour résister aux cisaillements exercés entre les âmes et les membrures ou dans les âmes, il faut vérifier dans les surfaces de reprise de bétonnage : vEdi vRdi avec vEdi = VEd/(z×bi) [EC2-1-1 Expr.(6.24)] où est le rapport entre l'effort normal longitudinal dans le béton de reprise et l'effort longitudinal total dans la zone comprimée (ou tendue). Cette expression s'exprime également de la façon suivante, en supposant que l'on reste dans un domaine élastique : vEdi =VEdS/(I× bi) où S est le moment statique au droit de la reprise de bétonnage I est l'inertie de la section. La contrainte limite est donnée par l'expression suivante vRdi = c fctd + n +f yd ( sin + cos ) 0,5fcd n = contrainte normale à l'interface c et coefficients dépendant de la rugosité de l'interface = inclinaison des aciers sur la reprise de bétonnage = As / Ai = ratio des aciers traversant la reprise rapporté à la surface de celle-ci. [EC2-1-1 Expr.(6.25)] [EC2-1-1 Expr.(6.23)]
Fig./Tab.1.(5) : Exemple de surfaces de reprise [EC2-1-1 Fig.6.8]
NRS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
A - béton de reprise B - ancien béton C - ancrage Fig./Tab.1.(6) : Joint de reprise avec indentations [EC2-1-1 Fig.6.9]
Les surfaces de reprises sont classées en très lisses, lisses, rugueuses et avec indentations :
type de reprise coefficients
très lisse : surface coulée au contact de moules en acier, en matière plastique, c = 0,25 et = 0,5 ou en bois traité spécialement : lisse : surface réalisée à l'aide de coffrages glissants ou surface extrudée ou c = 0,35 et = 0,6 surface non coffrée, laissée sans traitement ultérieur après vibration : rugueuse : surface présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, espacées d'environ 40 mm, obtenues par striage, lavage direct ou toute autre méthode c = 0,45 et = 0,7 donnant un comportement équivalent : avec indentation : surface présentant des clés comme sur la Figure 6.9 : c = 0,50 et = 0,9
L'Eurocode 2 partie 2 prescrit de prendre c = 0 pour les vérifications à la fatigue ou dynamiques. Les sollicitations dues aux charges de trafic (UDL et tandem TS par exemple) ne sont pas à considérer comme des actions dynamiques. Les actions de séisme sont, par contre, des actions dynamiques.
L'Eurocode 2 partie 1-1 demande seulement de diviser par deux les valeurs de c dans le cas de vérification à la fatigue ou dynamique.
Lorsque la contrainte normale à la reprise est une contrainte de traction il faut prendre c = 0.
1.4 - Eléments en flexion composée, non fissurés à l'ELU de résistance et ne nécessitant pas d'armatures de tranchant
Pour les éléments ne nécessitant pas d'armatures de tranchant, soumis à une flexion composée et qui ne sont pas fissurés à l'ELU, la clause [EC2-1-1 6.2.2(4)] renvoie à [EC2-1-1 12.6.3], qui traite de la résistance à l'effort tranchant d'éléments en béton non-armé. La clause [EC2-1-1 12.6.3(3)] précise le sens de "non-fissuré à l'ELU" pour un élément : il reste complètement comprimé ou la valeur absolue de la contrainte principale de traction dans le béton est inférieure à fctd.
Cette clause donne des formules de calculs calibrées pour des sections rectangulaires et pour le cas où la contrainte normale transversale est nulle. Le cas de sections complexes n'est pas envisagé car la valeur k = 1,5 [EC2-1-1 Expr.(12.4)] adoptée correspond bien au cisaillement maximal d'une section rectangulaire.
Il est ajouté par la clause [EC2-1-1 12.1(2)] que la section 12 s'applique aux éléments pour lesquels l'effet des actions dynamiques peut être ignoré. Elle ne s'applique pas quand les effets sont ceux engendrés par des machines tournantes et les charges de trafic.
NRT= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Elle ne saurait donc concerner les tabliers de ponts mais peut s'appliquer à d'autres éléments de structures tels que les semelles de fondation et les pieux dont le diamètre est 600 mm et pour lesquels NEd/Ac 0,3fck La justification consiste à vérifier que le cisaillement cp dans une section soumise à un effort tranchant et un effort normal reste inférieure à une résistance de calcul en cisaillement et compression du béton fcvd. Le projeteur est renvoyé au texte de l'Eurocode 2 pour l'utilisation détaillée des expressions (12.5), (12.6), (12.7) [EC2-1-1 12.6.3(2)], [EC2-1-1 12.6.3(3)]. Elles permettent de tracer une courbe des contraintes de cisaillement admissibles aux ELU pour ces pièces peu armées, donnée ci-dessous. Dans la même figure a été ajouté la courbe donnant la contrainte limite donnée par l'annexe QQ pour les ELS, à titre de comparaison.
La contrainte de cisaillement limite ainsi obtenue est inférieure à la contrainte limite calculée selon les prescriptions de l'annexe QQ de l'Eurocode2 partie 2. Ce résultat est logique : le critère de l'annexe QQ traduit la non-fissuration sans coefficient de sécurité, tandis que les expressions (12.5) à (12.7) traduisent la résistance à l'effort tranchant de pièces non armées, avec une sécurité importante puisque la rupture correspondante est fragile. Par contre elle autorise, sans armature, des contraintes de cisaillement plus élevées que les expressions [EC2-1-1 Expr.(6.2a)] et [EC2-1-1 Expr (6.2b)] comme le montre la droite représentant 1,5VRd,c/bwd résultant de ces formules et calculée avec le ratio maximal d'aciers passifs.
6.00
5.00
4.00
tau admissible MPa
3.00
2.00
1.00
contrainte normale sigmaX MPa
0.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
tau adm EC2 pour fck= 35 MPa et sigmaY= 0 1.5 VRd,c/bwd selon 6.2a et 6.2b avec Asl/bwd =0.02
EC2 ELU Cisaillement admissible béton non armé Taucp=1.5VEd/Acc
Fig./Tab.1.(7) : Contrainte de cisaillement admissible aux ELU selon [EC2-1-1 12.6.3] comparé aux contraintes admissibles aux ELS de l'annexe QQ
1.5 - Eléments précontraints à une seule travée ne nécessitant pas d'armatures de tranchant
Ce cas est traité en [EC2-1-1 6.2.2(2)] et permet notamment de justifier les poutres préfabriquées précontraintes par pré-tension utilisées dans les structures de bâtiments. L'application des prescriptions données ne pose pas de difficulté particulière et le projeteur est invité à se reporter au texte de l'eurocode.
NRU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.6 - Cas particuliers permettant une augmentation de la résistance des bielles béton
1.6.1 - Armatures d'effort tranchant sollicitées à moins de 80% de fyk
La note 2 de la clause [EC2-1-1 6.2.3(3)] indique que dans le cas où les armatures d'effort tranchant sont soumises à une contrainte de calcul inférieure à 80% de leur limite d'élasticité fyk les valeurs suivantes de 1 peuvent être adoptées pour le calcul de la résistance des bielles : 1 = 0,6 1 =0,9 - fck /200 >0,5 si fck 60MPa si fck > 60MPa
Ceci revient à permettre une augmentation de la résistance des bielles si les aciers sont moins sollicités. En général la contrainte de calcul utilisée pour le dimensionnement des armatures est fyd = fyk/1,15 = 0,87 fyk. Si les aciers travaillent à s = 0,80 fyk la surconsommation d'aciers est d'environ 10% mais l'augmentation de résistance des bielles se fait dans le rapport de 1 / . Le tableau ci dessous montre que le gain de résistance des bielles peut être largement supérieur à la perte de résistance des aciers.
fck expression (6.6) 1 expression (6.10) rapport 1/ 25 0,540 0,600 1,111 30 0,528 0,600 1,136 35 0,516 0,600 1,163 40 0,504 0,600 1,190 50 0,480 0,600 1,250 60 0,456 0,600 1,316 70 0,432 0,550 1,273 80 0,408 0,500 1,225 90 0,384 0,450 1,172
Il montre également que cette règle est plus favorable pour les bétons de résistance moyennement élevée.
1.6.2 - Armatures de précontrainte droites et niveau de précontrainte élevé
L'Eurocode 2 réduit la valeur du tranchant résistant pour les éléments dont le béton est soumis à une compression moyenne supérieure à 0,5fcd [EC2-2 Expr.(6.11.cN)]. La partie 2 de l'Eurocode 2 prévoit en revanche de ne pas pénaliser les poutres soumises à une précontrainte droite, donnant une compression élevée si certaines conditions sont réunies [EC2-2 6.2.3(103) Note 4] : si les membrures sont capables de supporter la force de précontrainte totale, et si des blochets sont prévus à l'extrémité des poutres, l'effort de précontrainte peut être supposé réparti entre les membrures. Dans ce cas on peut prendre cw=1 au lieu de la valeur réduite prévue pour une compression supérieure à 0,5fcd.
Fig./Tab.1.(8) : Répartition de la précontrainte dans les membrures par les blocs d'about [EC2-2 Fig.6.101]
2 - Méthode bielles et tirants pour zone de discontinuité
Cette méthode a été conçue à l'origine pour adapter et étendre la méthode d'analyse utilisant le modèle du treillis au traitement des régions appelées de type D (D comme "disturbance", discontinuité) qui peuvent
NRV= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
comporter des discontinuités géométriques ou des perturbations dues à l'application de charges concentrées. Développée par l'école allemande et en particulier par Jörg Schlaich, la méthode a été retenue et présentée par le Comité Européen du Béton (CEB) dans son Code Modèle. L'Eurocode 2 n'en présente qu'un résumé au travers de ses clauses "Analyse avec modèle bielles et tirants" [EC2-1-1 5.6.4] et "Dimensionnement à l'aide de modèles bielles-tirants" [EC2-1-1 6.5]. Pour une utilisation correcte de la méthode le projeteur est vivement invité à consulter par exemple l'excellent rapport publié en anglais par le PCI JOURNAL de Mai-Juin 1987 sur le sujet avec pour titre "Toward a Consistent Design of Structural Concrete" et signé de Schlaich et al. Le présent guide ne rappelle que les quelques règles essentielles.
2.1 - Principe
Le principe en est le suivant : · choix d'un schéma de transmission des efforts qui permet de bâtir le modèle bielles-tirants assurant l'acheminement des efforts par des éléments droits (barres) et leur déviation au passage de noeuds ; · détermination des efforts statiquement équilibrés dans les bielles et les tirants ; · et enfin, dimensionnement et vérification des bielles, des tirants et des noeuds.
Fig./Tab.2.(1) : Schéma de principe d'un cas d'application de la méthode des bielles
2.2 - Dimensionnement des bielles, des tirants et des noeuds
2.2.1 - Résistance des bielles
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.2]. Deux cas sont distingués : celui où la bielle est comprimée ou non transversalement et celui où elle est soumise à une traction transversale, ce qui conduit à une réduction de sa résistance.
Fig./Tab.2.(2) : Résistance des bielles soumises et non-soumises à une traction transversale
Dans la figure de droite les flèches verticales représentent une contrainte de compression transversale éventuellement nulle.
NSM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les résistances des bielles à la compression sont ainsi : Rd,max = fcd Rd,max = 0,6 'fcd dans le cas de compression transversale. dans le cas de traction transversale. [EC2-1-1 Expr.(6.55)] [EC2-1-1 Expr.(6.56)] [EC2-1-1 Expr.(6.57N)]
avec ' = 1-fck/250
On peut rapprocher cette valeur de 0,6 ' de celle = 0,6(1-fck/250) où est le coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant.
2.2.2 - Résistance des tirants
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.3]. Les résistances de calcul des tirants transversaux et des armatures de précontrainte observent les mêmes limites données par les règles générales [EC2-1-1 3.2 et 3.3]. En particulier, pour les armatures de béton armé il convient d'une part de les ancrer selon les principes de la section [EC2-1-1 Sect.8] et d'autre part de limiter leur contrainte à : fyd = fyk/S L'Eurocode 2 partie 1-1 conseille de ne pas concentrer les aciers de tirants dans leur position théorique de modèle mais de les répartir sur la zone d'épanouissement des contraintes [EC2-1-1 6.5.3(3)]. L'Eurocode 2 partie 1-1 rappelle ensuite les expressions des efforts de traction pour deux cas simples : a) pour le cas de régions de discontinuité partielle ( b H/2), [EC2-1-1 Fig.6.25a)], 1 b-a [EC2-1-1 Expr.(6.58)] F 4 b b) pour le cas de régions de discontinuité totale ( b > H/2), [EC2-1-1 Fig.6.25b)], T= T= 1 a 1 - 0,7 F 4 h [EC2-1-1 Expr.(6.59)]
B - Région sans discontinuité
D - Région de discontinuité a) discontinuité partielle b) discontinuité totale
Fig./Tab.2.(3) : Efforts transversaux de traction dans un champ de contrainte de compression avec armatures réparties [EC2 -1-1 Fig.6.25]
NSN= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
2.2.3 - Résistance des noeuds
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.4].
2.2.3.a) Limite de compression dans les noeuds types
Il est simplement rappelé ici les limites des contraintes de compression à observer pour les trois types de noeuds les plus couramment rencontrés : (1) Les noeuds soumis à compression sans aucun tirant ancré dans le noeud Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k1 'fcd avec k1= 1,0 valeur recommandée par l'Eurocode 2 partie 1-1 et l'annexe nationale ' = 1-fck/250 (rappel) L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k1 jusqu'à k1 = 1/ '
Fig./Tab.2.(4) : Noeud soumis à compression sans tirant [EC2-1-1 Fig.6.26]
(2) Les noeuds soumis à traction et compression avec tirants dans une direction Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k2 'fcd avec k2= 0,85 valeur recommandée par l'Eurocode 2 partie 1-1 et l'annexe nationale L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k2 jusqu'à k2 = 1,0
Fig./Tab.2.(5) : Noeud soumis à compression et à traction avec armatures dans une direction [EC2-1-1 Fig.6.27]
(3) Les noeuds soumis à traction et compression avec tirants dans deux directions Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k3 'fcd avec k3= 0,75 valeur recommandée par l'EC2-1-1 et l'annexe nationale L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k3 jusqu'à k3 = 0,9
Fig./Tab.2.(6) : Noeud soumis à compression et traction avec armatures dans deux directions [EC2-1-1 Fig.6.28]
NSO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.3.b) Majoration de la limite de compression pour conditions particulières
Pour certains noeuds les valeurs admissibles des contraintes de compression peuvent être majorées de 10 % si au moins une des conditions suivantes est vérifiée :
· · · · ·
une compression tri-axiale est assurée, tous les angles entres bielles et tirants sont 55°, les contraintes au droit des appuis ou des charges ponctuelles sont uniformes, et le noeud est confiné par des armatures transversales, les armatures sont disposées selon plusieurs cours, le noeud est confiné de manière fiable par une disposition particulière d'appui ou par frottement.
2.2.3.c) Cas de noeuds soumis à compression tri-axiale
Le cas particulier des noeuds soumis à une compression tri-axiale peut être traité comme celui du béton confiné [EC2 1-1 3.1.9] dont la résistance caractéristique peut être définie par les expressions : fck,c = fck (1,000 + 5,0 2/fck) fck,c = fck (1,125 + 2,50 2/fck) pour 2 0,05fck pour 2 > 0,05fck [EC2-1-1 Expr.(3.24)] [EC2-1-1 Expr.(3.25)]
où 2 est la contrainte de compression latérale due au confinement. La limite de compression est cependant plafonnée à la valeur Rd,max = k4 'fcd,c avec fcd,c=fck,c/C et k4= 3,0 valeur recommandée et acceptée par l'annexe nationale qui, de surcroît, autorise sur justifications spéciales d'augmenter k4 jusqu'à la valeur de k4 = 3/'.
3 - Diffusion de la précontrainte
3.1 - Règles proposées par l'Eurocode 2
Les principales règles concernant les zones d'introduction de la précontrainte se trouvent en [EC2 8.10.2] pour l'ancrage de la précontrainte par pré-tension et en [EC2 8.10.3] pour l'étude des zones d'ancrage de la précontrainte par post-tension. Ces règles sont complétées par d'autres règles disséminées dans différents chapitres ce qui ne facilite pas vraiment leur application. Le présent guide s'intéresse plus particulièrement à la justification des zones d'ancrage de la précontrainte par post-tension. Il rappelle et présente de façon plus ordonnée pour le projeteur les règles essentielles à utiliser pour l'étude de la diffusion de la précontrainte.
3.1.1 - Force de précontrainte
En premier lieu la force de précontrainte à utiliser pour l'étude, force appliquée à l'extrémité active à la mise en tension Pmax, est évoquée en [EC2-2 Anx.J.104.2]. Sa définition est donnée en [EC2-1-1 5.10.2.1(1)P] avec les recommandations d'usage pour éviter l'écrasement ou l'éclatement du béton. Pour l'étude de la diffusion, à traiter comme une vérification d'effets locaux [EC2-1-1 8.10.3(2)], cette force doit être pondérée par un coefficient P,unfav =1,2 [EC2-1-1 2.4.2.2(3)]. L'angle de diffusion de la force de précontrainte, qui prend effet à l'extrémité de l'organe d'ancrage, par simplification, peut être pris égal à 2 , avec = a tan 2 [EC2-1-1 8.10.3(5)]. 3
( )
NSP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
3.1.2 - Méthode de calcul
La méthode à utiliser est suggérée en [EC2-1-1 8.10.3(4)] : utilisation d'un modèle bielles-tirants ou d'autres modes de représentation appropriés pour évaluer les efforts de traction dus à des forces concentrées. Les armatures sont à disposer en les faisant travailler à leur résistance de calcul. Si la contrainte dans les armatures passives est limitée à 300Mpa pour leur dimensionnement, la vérification de l'ouverture des fissures n'est pas nécessaire [EC2-1-1 8.10.3(4)].
L'Eurocode 2 partie 2 propose une valeur de 250 MPa encore plus sécuritaire [EC2-2 8.10.3(104)]. Néanmoins il y a ici un mélange pas très heureux entre la maîtrise de la fissuration qui doit se faire aux ELS et le dimensionnement des armatures à faire aux ELU. Pour ne pas adopter une règle trop pénalisante, il est suggéré de retenir la valeur de 300 Mpa pour le dimensionnement et qu'on peut considérer comme obtenue à partir de la valeur 250 MPa aux ELS et majorée par le coefficient 1,2.
3.1.3 - Règles particulières
On trouve en [EC2-1-1 6.7] une règle fixant la contrainte limite à respecter dans le cas d'une charge uniformément répartie appliquée à la surface du béton. Cette règle n'est manifestement pas prévue pour des efforts concentrés importants comme ceux développés par des ancrages de précontrainte; en revanche elle peut être utilisée pour les zones sous appareils d'appui. La clause [EC2-2 Anx.J.104.2] a pour titre "zones d'ancrage des éléments précontraints par post-tension". C'est là, d'ailleurs, où l'utilisation de Pmax apparaît explicitement. En fait cette clause n'est qu'un complément pour préciser ce qu'il y a lieu de faire, juste derrière l'ancrage dans la zone appelée de première régularisation. Elle n'est pas destinée à traiter le problème de la diffusion dans sa totalité.
3.2 - Application des règles de l'Eurocode 2 au cas simple d'un seul ancrage
C'est l'application de la méthode bielles et tirants dont les principes ont déjà été présentés au paragraphe précédent [Chapitre10-2].
3.2.1 - Données
Soit une poutre en béton de section 0,5m × 1m à laquelle une force de précontrainte de Pmax = 1MN à la mise en tension, est appliquée. Caractéristique du béton à t 0 , date de mise en tension : f ck (t 0 ) = 30MPa Caractéristique du ferraillage passif, f yk = 500MPa soit f yd = f yk S = 500 = 435MPa 1,15
Compte tenu du facteur partiel P ,unfav = 1,2 , il en résulte une force de calcul : Pd = P,unfav × Pmax = 1,2MN
NSQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.2 - Choix d'un modèle bielles-tirants
Dans ce cas simple, le choix du modèle est facile, c'est celui qui est souvent utilisé pour illustrer la méthode. Il est rappelé dans la figure suivante [Fig./Tab.3.(1)] :
Fig./Tab.3.(1) : Méthode bielles et tirants
Les premiers noeuds sont placés directement derrière la plaque d'ancrage. L'effort est conventionnellement divisé en deux derrière l'ancrage et est diffusé grâce à deux bielles inclinées de 33,7° ( a tan 2 ). Une fois la 3 diffusion effectuée, l'effort est bien réparti dans la section avec une contrainte uniforme modélisée par deux bielles horizontales situées au quart inférieur et au quart supérieur de la section. Il est généralement admis que cette diffusion s'effectue de façon complète sur une longueur de l'ordre de la dimension transversale de l'élément. Cette longueur est déterminée par le choix de l'angle de diffusion qui donne, à son tour, la section d'armatures nécessaire.
( )
On peut noter que dans le modèle standard utilisé pour un effort concentré, l'angle de diffusion est aussi souvent adopté comme correspondant à 2 pour 1 (2 :1).
3.2.3 - Vérification des noeuds
3.2.3.a) Noeuds derrière la plaque d'ancrage
En arrière de la plaque d'ancrage la contrainte moyenne de compression vaut : = Pd/(a×a') = 1,2 / (0,150×0,150) = 53 MPa C'est la contrainte qui s'exerce sur les noeuds situés à cet endroit. Ces noeuds sont seulement soumis à des forces de compression. La contrainte maximale à vérifier est donc : f Rd,max = k1 ' fcd avec ' = 1 - ck et k 1 = 1 (valeur recommandée) [EC 2-1-1 6.5.4], soit 17,6 MPa. 250 Il est évident que ce critère ne peut jamais être vérifié. Seul un confinement du béton sous l'ancrage, obtenu au moyen de cadres fermés ou d'armatures adéquatement disposées, peut permettre de rehausser la résistance à la compression du béton pour résister à l'effort appliqué [EC2-1-1 3.1.9(2)]. Dans l'exemple étudié il faudrait rehausser la résistance à la compression à une valeur telle que
NSR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
fck,c/1,5 53 MPa, avec fck,c = fck × (1,125 + 2,5 2 / fck ) [EC2-1-1 Expr.(3.25)] avec toutefois une valeur plafond égale à Rd,max = k 4 ' fcd et k4 = 3 [EC2-1-1 6.5.4(6)] ; pour cela il faudrait donc disposer le frettage nécessaire pour obtenir une valeur de 2 permettant de satisfaire à la condition.
Dans la pratique le ferraillage sous ancrage prévu dans les ATE des différents procédés de précontrainte permet en principe d'atteindre cet objectif. En effet les procédés de précontrainte font l'objet d'un agrément technique européen (ATE). Ils subissent un certain nombre de tests pour démontrer leur capacité à reprendre la force exercée par le câble et à la transférer à la structure en béton (essais de transfert sur bloc d'about notamment). Au final, l'ATE d'un système de précontrainte précise les principales caractéristiques des ancrages, les usages possibles et il donne le ferraillage à disposer derrière l'ancrage ainsi que les entraxes et distances au bord à respecter pour assurer un bon transfert de charge au béton. Il précise également les résistances minimales du béton à atteindre avant la mise en tension. L'Eurocode 2 recommande bien évidemment de respecter les prescriptions de l'agrément technique européen.
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne donne pas suffisamment de détails au projeteur pour faire le dimensionnement pratique de ce frettage. C'est pour pallier ce manque de méthode de calcul pratique de ce ferraillage que la clause [EC2-2 Anx.J.104.2] a été rajoutée dans la partie 2. Elle permet de prévoir, dans le volume défini comme étant le prisme de première régularisation, le ferraillage minimum nécessaire qui permet donc de passer de contraintes très élevées à des contraintes de l'ordre de 0,6 f ck (t 0 ) .
Le projeteur pourra aussi trouver une méthode plus détaillée dans le Code Modèle 90 [MC90 3.5] pour la détermination de ce ferraillage.
3.2.3.b) Noeuds après diffusion de l'effort de précontrainte
Dans les noeuds après diffusion de la précontrainte la contrainte moyenne de compression vaut : = Pd / (b×h) = 1,2 / 0,5×1 = 2,4 MPa Ces noeuds étant soumis à deux forces de compression et une force de traction, la contrainte à ne pas dépasser est cette fois-ci : f Rd,max = k 2 ' fcd avec ' = 1 - ck et k 2 = 0,85 (valeur recommandée) 250
Rd,max = k 2 ' fcd = 0,85 × 1 - 30 × 30 = 15 MPa soit une valeur largement supérieure à la contrainte 250 1,5 appliquée.
Les noeuds après diffusion peuvent être appelés "noeuds diffus" (pour "smeared nodes") dans la méthode bielles-tirants; ils sont généralement dispensés de la vérification du critère de compression limite du béton.
(
)
La vérification de tous les noeuds est donc bien assurée.
3.2.4 - Vérification des bielles
La contrainte régnant dans chacune des bielles juste après le prisme de première régularisation est de l'ordre de 0,6 fck( t 0 ) si le nécessaire a été fait pour qu'il en soit ainsi : respect des distances des plaques d'ancrage aux bords libres des pièces, dimensionnement du prisme de première régularisation, dimensionnement et disposition du ferraillage au droit de ce prisme (voir ci-après [Chapitre 10 -3.2.5.a)]). Cette contrainte va même diminuer à mesure qu'on se rapproche de l'autre extrémité de la bielle dont la section se rapproche de la moitié de la section de la poutre dans l'exemple traité.
NSS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
D'après la clause [EC2-1-1 6.5.2], dans le cas de bielles de béton dans une région où ne règnent pas de contraintes de traction transversale, la contrainte admissible est donnée par : Rd,max = fcd( t 0 ) = fck( t 0 ) = 0,66 fck( t 0 ) . Le critère portant sur les bielles est donc bien vérifié. 1,5
3.2.5 - Dimensionnement du ferraillage
3.2.5.a) Ferraillage dans le prisme de première régularisation (i) Prisme de première régularisation
Le prisme de première régularisation est défini par sa section rectangulaire c×c' et sa profondeur = 1,2 max(c ; c' ) [EC2-2 Anx.J.104.2(102)]. Les dimensions c et c' doivent être telles que : c × c' = Pmax , pour respecter, d'une part, une contrainte limite raisonnable 0,6 fck( t 0 )
et d'autre part, des critères de géométrie c 1,25 c × c' a a × a' et c' 1,25 c × c' a' a × a'
où a et a' sont les dimensions du plus petit rectangle comprenant la plaque d'ancrage.
L'idée est de passer de la plaque d'ancrage à un rectangle associé dont l'aire est choisie pour obtenir une contrainte moyenne égale à 0,6f ck ( t 0 ) . Les dimensions du rectangle peuvent être ensuite adaptées, pour des raisons d'encombrement, tout en gardant une aire constante. C'est ce qu'expriment les conditions géométriques vues précédemment. Les formules de l'Eurocode 2 permettent jusqu'à une variation de ±25% des dimensions du rectangle alors que les ATE autorisent seulement une variation de ±15%. Il est donc conseillé de remplacer le facteur 1,25 par 1,15 ou 1/0,85.
On notera que la contrainte moyenne de 0,6fck( t 0 ) conduit la plupart du temps à des dimensions plus sécuritaires que celles proposées dans les ATE. En prenant le cas simple d'un ancrage de précontrainte carré avec a = a ' , en choisissant c = c' et en n'utilisant pas les variations dimensionnelles autorisées, c est alors défini par la seule première condition (les deux dernières inéquations sont automatiquement vérifiées).
Cela donne c =
Pmax , soit dans l'exemple c = 0,236m et = 0,283m . 0,6 fck( t 0 )
(ii) Ferraillage
Comme déjà annoncé ci-dessus, le ferraillage à disposer dans le prisme de première régularisation qu'on vient de déterminer est en principe donné par les ATE des procédés de précontrainte. Sa section minimale peut être déduite du dimensionnement simple donné en [EC2-2 Anx.J.104.2(103)] : As = 0,15 Pmax , soit dans cet exemple A s = 4 cm 2 . f yd P,unfav
Ce ferraillage transversal doit traverser le prisme de première régularisation selon deux directions orthogonales et avoir dans chacune de ces directions la section minimale précédente. Les armatures seront en outre réparties sur toute la longueur du prisme.
NST= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Le ferraillage donné par l'ATE est souvent plus fort en quantité au minimum requis. Il est toutefois défini pour un ancrage isolé. Il convient d'adapter son façonnage aux dimensions réelles des éléments surtout dans le cas de plusieurs ancrages juxtaposés. Il convient aussi d'assurer une bonne couture du prisme au béton environnant de l'élément.
3.2.5.b) Ferraillage correspondant au tirant de la méthode bielles et tirants
P Considérant des bielles inclinées à a tan 2 , ceci donne une force dans le tirant de d × 2 = 0,4MN . 3 2 3 0,4 = 13,3 cm2 à placer en complément des aciers A s 300 précédemment définis sur la longueur du prisme de première régularisation [Fig./Tab.3.(1)]. Cela donne un ferraillage de diffusion A sd =
( )
3.2.5.c) Positionnement du ferraillage précédent
Ces informations ne sont pas données dans l'Eurocode 2. En principe il faut aller voir dans les documents traitant de façon détaillée la méthode bielles et tirants. Le bon sens permet néanmoins de penser que ces armatures devraient être réparties et avoir comme position moyenne celle du tirant du modèle, tout en respectant les règles de bonne construction.
3.2.6 - Conclusions sur les règles de l'Eurocode 2
Manifestement les règles proposées par l'Eurocode 2 pour traiter la diffusion de la précontrainte par posttension ne sont ni assez détaillées, ni complètes. On peut citer le problème important du cumul des armatures transversales de diffusion avec les armatures d'effort tranchant et de torsion qui n'est pas du tout évoqué. De plus la méthode bielles et tirants, si elle présente l'avantage d'obliger le projeteur à réfléchir à la manière dont les efforts se répartissent dans la zone de régularisation, elle met en revanche le projeteur en situation délicate face aux inconvénients ou lacunes qu'elle comporte. Déjà il doit se garder des schémas trop compliqués (un bon modèle de bielles et tirants est celui qui minimise le nombre de tirants), mais de toute façon la méthode peut devenir rapidement inextricable pour les cas plus complexes (3D notamment). Et c'est là son principal inconvénient : les cas un peu plus compliqués que l'exemple présenté demandent beaucoup d'expérience et un niveau d'expertise élevé de la part du projeteur pour être correctement traités. On cite souvent le conseil fait aux projeteurs de faire un modèle aux éléments finis pour obtenir l'inclinaison des bielles et vérifier que le schéma proposé est bien compatible avec les efforts en élastique.
3.3 - Méthode du guide Sétra "Diffusion des efforts concentrés"
Compte tenu des inconvénients soulignés précédemment, il faut signaler une deuxième méthode, encore appelée "méthode analytique", qui est à la base des pratiques antérieures et qui a le grand mérite de traiter le problème de la diffusion à partir d'une approche globale. Le lecteur est utilement renvoyé à la lecture du guide Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et à son erratum 2008 pour l'utilisation de la méthode. On peut juste sommairement rappeler que la diffusion est vérifiée selon deux directions orthogonales, correspondant en général aux axes principaux d'inertie de la section étudiée (bien souvent l'horizontale et la verticale) et que le calcul de diffusion de la précontrainte est réalisé dans deux zones :
· ·
une zone comprenant le voisinage immédiat de l'ancrage appelée prisme local ; une zone dite de régularisation incluant toute la section sur la longueur nécessaire à la régularisation des efforts.
La méthode est ensuite basée sur la vérification des contraintes de cisaillement dans des plans de coupures réalisées dans la pièce considérée.
NSU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Calculs de plaques
Le calcul des plaques (hourdis et des âmes de ponts notamment) pose un certain nombre de questions récurrentes : Quelles valeurs de sollicitations prendre en compte ? Comment les cumuler entre elles ? Comment cumuler les aciers de flexion, d'effort tranchant, de diffusion ? Peut-on trouver un modèle de comportement global des plaques en béton armé fléchies et cisaillées ? Les paragraphes suivants détaillent les réponses qu'apporte l'Eurocode 2 à ces questions, ainsi que des compléments utiles pour celles qui ne sont pas traitées par l'Eurocode 2.
4.1 - Calcul des sollicitations
4.1.1 - Méthode d'analyse
Pour les ponts, le calcul des sollicitations dans les plaques se fait généralement par l'analyse élastique linéaire. L'Eurocode 2 partie 1-1 autorise d'autres méthodes (analyse élastique avec redistributions forfaitaires de moments, analyse plastique, analyse non-linéaire). Ces méthodes sont essentiellement utilisées en bâtiment, où les risques liés à la fissuration sont faibles. En ouvrage d'art, l'utilisation des analyses plastiques est déconseillée, sauf cas particulier. Les analyses avec redistributions forfaitaires sont possibles, sous réserve de bien contrôler la fissuration aux ELS.
4.1.2 - Valeur de calcul retenue pour le dimensionnement
L'Eurocode ne précise pas la valeur de moment à retenir pour le dimensionnement des plaques, notamment en cas d'application de charges concentrées : s'agit-il du moment de pointe résultant de l'analyse, ou peut-on retenir une valeur moyennée ? Conformément à la pratique française antérieure, il est loisible d'utiliser une valeur du moment moyennée sur une largeur égale à 2 fois l'épaisseur de la dalle (moyenne faite transversalement à la direction de l'effort considéré).
En pratique, pour les épaisseurs et les charges couramment utilisées en ouvrages d'art, la différence entre les deux calculs est minime. Les abaques de moment de flexion dans les hourdis de pont publiés par le Sétra ont pris en considération les moments de pointe.
4.1.3 - Cumul des sollicitations
Le modèle LM1 de l'Eurocode 1 partie 2 conduit à cumuler les effets globaux et locaux. Par exemple, dans un hourdis supérieur de pont caisson ou dans une dalle de pont mixte, au droit d'un appui intermédiaire, une traction d'ensemble liée au moment négatif créé par les charges UDL réparties sur la travée, et une flexion locale du hourdis créée par un tandem TS situé à proximité de la section peuvent exister simultanément. Deux solutions sont possibles :
· ·
traiter de façon exacte les concomitances de charges (notamment lorsqu'il n'est pas possible de dissocier effets globaux et effets locaux, par exemple pour les ponts-dalles), ou tenir compte de façon forfaitaire des concomitances, à partir des sollicitations extrêmes.
L'Eurocode 2 ne contient pas d'indications sur le cumul des efforts globaux et locaux. En revanche, l'annexe E de l'Eurocode 3 partie 2 donne un coefficient de combinaison fonction de la portée. Les règles de combinaison proposées dans cette annexe peuvent être utilisées pour traiter les cas de figure cités ci-dessus.
NSV= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Fig./Tab.4.(1) : Coefficient de combinaison dépendant de la portée [EC3-2 Fig.E.2]
4.2 - Problématique générale du calcul des plaques en béton
La figure ci-dessous, extraite de l'annexe LL de l'Eurocode 2 partie 2, représente l'ensemble des sollicitations pouvant agir sur un élément de dalle :
Fig./Tab.4.(2) : Ensemble des sollicitations pouvant agir sur un élément de dalle
· · · · · · · · ·
3 composantes d'effort de plaque nEdx , nEdy , nEdxy = nEdyx 3 composantes de flexion de plaque mEdx , mEdy , mEdxy = mEdyx 2 efforts de cisaillement transversaux vEdx , vEdy un effort nEdx longitudinal, créé par la flexion d'ensemble de la poutre dans le sens longitudinal, un effort nEdy, créé une précontrainte transversale éventuelle, des moments de flexion mEdx et mEdy créés par les charges TS appliquées sur le hourdis, un flux de cisaillement dans le plan de la plaque nEdxy, créé par la torsion d'ensemble de la poutre, des cisaillements transversaux vEdx et vEdy, créés par les charges TS appliquées sur le hourdis. un effort nEdx longitudinal, créé par la précontrainte d'ensemble de la poutre dans le sens longitudinal,
Dans le cas d'un hourdis de pont, il y a typiquement :
Dans le cas d'une âme d'un pont caisson, il y a typiquement :
NTM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
· ·
un moment de flexion mEdy créé par la flexion transversale (effet des charges TS appliquées sur le hourdis), un flux de cisaillement dans le plan de la plaque nEdxy, dû à la combinaison tranchant/torsion de la poutre.
Les autres composantes sont généralement faibles. L'Eurocode 2 permet de dimensionner les ferraillages nécessaires pour chacune de ces sollicitations prises individuellement, selon les règles présentées dans les chapitres précédents de ce guide. Se pose alors la question du cumul des ferraillages obtenus. L'Eurocode 2 traite ce problème de plusieurs façons : · · des règles forfaitaires de cumul pour certains cas particuliers (notamment, cumul des aciers de flexion avec les aciers de cisaillement dans le plan de la plaque), une méthode générale de justification d'une plaque sous un ensemble de sollicitations concomitantes.
Ces règles de cumul sont toutes formulées aux ELU.
4.3 - Règles forfaitaires de cumul de ferraillages
4.3.1 - Cumul aciers d'effort tranchant / torsion / aciers de diffusion
Le cumul des aciers d'effort tranchant et de torsion est traité au [Chapitre 6]. La quantité d'aciers résultant de ce cumul est notée Atranchant/torsion. L'Eurocode 2 ne donne pas de règle concernant le cumul de ces aciers Atranchant/torsion avec les aciers de diffusion. On note Acis la quantité d'aciers résultant de ce cumul. Deux approches sont envisageables :
·
Méthode 1 :
Dans ce cas les aciers de diffusion (notés Adiffusion) sont déterminés sans prendre en compte l'effort tranchant et la torsion.
Nota : ces aciers peuvent par exemple être obtenus en appliquant le guide du Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et son erratum de 2008 en considérant un effort tranchant nul et en retenant une inclinaison de bielle égale à 45°.
Pour cumuler ces aciers de diffusion d'une part aux aciers d'effort tranchant/torsion déterminés selon l'Eurocode 2 d'autre part, on peut par exemple reconduire les pratiques antérieures (voir le guide de conception du Sétra sur les ponts en béton précontraint construits par encorbellements successifs) : A cis A diffusion = max 1,5 A tranchant / torsion min A diffusion + A tranchant / torsion
Il est à noter que ces deux types d'aciers ne sont pas toujours déterminés avec les mêmes inclinaisons de bielles. Le tableau ci-dessous récapitule les inclinaisons de bielles envisageables qui varient selon les zones considérées.
Abouts Atranchant/torsion
(valeurs issues de l'Eurocode 2)
Âmes 21,8° < < 45° = 45°
Hourdis comprimés 26,5° < < 45° = 45°
Hourdis tendus 38,6° < < 45° = 45°
21,8° < < 45° = 45°
Adiffusion
(valeur recommandée)
NTN= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
·
Méthode 2 :
Dans ce cas l'étude de la diffusion est menée conformément au guide du Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et à son erratum de 2008. Avec cette méthode, le cumul des aciers de diffusion d'une part et d'effort tranchant/torsion d'autre part est directement effectué à la source. On note cette quantité d'aciers Adiffusion-tranchant/torsion. Le guide recommande de prendre en compte le maximum des aciers Adiffusion-tranchant/torsion obtenus selon cette méthode d'une part et des aciers Atranchant/torsion obtenus selon l'Eurocode 2 d'autre part. Acis = max { Adiffusion-tranchant/torsion , Atranchant/torsion } De la même façon ces deux types d'aciers ne sont pas toujours déterminés avec les mêmes inclinaisons de bielles. Le tableau ci-dessous récapitule les angles de bielles envisageables qui varient selon les zones considérées.
Abouts Atranchant/torsion
(valeurs issues de l'Eurocode 2)
Âmes 21,8° < < 45° 26,5° < < 45°
Hourdis comprimés 26,5° < < 45° 26,5° < < 45°
Hourdis tendus 38,6° < < 45° 38,6° < < 45°
21,8° < < 45° = 45°
Adiffusion tranchant/torsion
(valeurs issues du guide Sétra)
4.3.2 - Cumul flexion / cisaillements transversaux
Application : dalle soumise à une combinaison flexion / effort tranchant hors de son plan. Cette règle de cumul a été développée dans le chapitre relatif aux justifications sur l'effort tranchant. Il s'agit de la règle bien connue de décalage des moments, qui consiste à calculer les armatures longitudinales à partir d'un moment décalé d'une longueur al dans la direction défavorable : · · al = d si la dalle ne nécessite pas d'aciers d'effort tranchant al = z × cot / 2 sinon, étant l'inclinaison des bielles d'effort tranchant.
4.3.3 - Cumul flexion / cisaillements dans le plan de la plaque
Ces règles sont données dans l'Eurocode 2 pour la couture d'un hourdis sur une âme en béton. Il est toutefois loisible de les appliquer de façon plus générale en tout point des âmes et des hourdis. Applications : · · couture d'un hourdis sur une âme en béton ou sur une âme métallique âme d'une poutre soumise à une combinaison effort tranchant / flexion transversale.
4.3.3.a) Règle de cumul des armatures
Les règles de cumul correspondantes sont données en [EC2-1-1 6.2.4]. La règle de cumul peut se résumer de la façon suivante : A = Max { Acis ; ½ Acis + Aflexion }, où Acis est la section d'aciers passifs nécessaire pour équilibrer les cisaillements maximaux d'effort tranchant/torsion et de diffusion [Chapitre 10 -4.3.1], Aflexion est la section d'aciers passifs nécessaire pour équilibrer le moment de flexion maximal. Cette formule est écrite pour illustrer le cas de la figure (6.7) de l'Eurocode 2 partie 1-1 (couture d'un hourdis sur une âme en béton), où l'on considère un seul moment de flexion tendant la fibre supérieure.
NTO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Dans le cas plus général où il existe deux moments de flexion de signes contraires, la répartition entre les deux nappes d'armatures doit respecter les règles suivantes : Asup + Ainf Max { Acis ; ½ Acis + Aflexion,sup ; ½ Acis + Aflexion,inf } où Aflexion,sup est la section d'aciers passifs en nappe supérieure nécessaire pour équilibrer le moment de flexion correspondant Aflexion,inf est la section d'aciers passifs en nappe inférieure nécessaire pour équilibrer le moment de flexion correspondant
En proposant cette règle de cumul, l'Eurocode 2 considère qu'il n'y a pas occurrence simultanée de la flexion maximale et du cisaillement maximal. Toutefois, l'Eurocode 2 néglige la participation du béton comprimé à la reprise des cisaillements, ce qui va dans le sens de la sécurité.
L'Eurocode 2 ne précise pas la façon de répartir les aciers de couture entre les deux faces. La répartition suivante peut par exemple être adoptée : Asup Acis / 4 + Aflexion,sup Ainf Acis / 4 + Aflexion,inf Asup + Ainf Acis D'autres répartitions sont toujours possibles, notamment pour l'évaluation d'ouvrages existants. Exemple 1 : Aflexion,sup = 20cm² Aflexion,inf = 0cm² Acis = 12cm² La section totale d'armatures doit dépasser max(12;20+12/2) = 26,0 cm², à ventiler entre les deux nappes. En adoptant la répartition conseillée, 23cm² seront placés en nappe supérieure et 3 cm² en nappe inférieure. Exemple 2 : Aflexion,sup = 5cm² Aflexion,inf = 5cm² Acis = 36cm² La section totale d'armatures doit dépasser max(36;5+36/2) = 36 cm², à ventiler entre les deux nappes en respectant un minimum de 14cm² en nappe supérieure et 14cm² en nappe inférieure. On mettra donc 18cm² par nappe.
4.3.3.b) Cas de dispense de cumul
Lorsque les cisaillements sont faibles, c'est-à-dire lorsque vEd < k × fctd [EC2-1-1 6.2.4(6)], seuls les aciers nécessaires vis-à-vis de la flexion seront à mettre en place. D'après l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 6.2.4(6)] la valeur de k à utiliser vaut 0,50 en présence d'une surface verticale de reprise de bétonnage et 1,0 en l'absence de reprise de bétonnage.
4.3.3.c) Règles de cumul vis-à-vis de la compression dans le béton
L'Eurocode 2 partie 2 impose en [EC2-1-1 6.2.4(105)] une règle de cumul pour la compression dans le béton. Selon cette règle, lorsque le béton est mobilisé à sa résistance plastique pour équilibrer la flexion, il ne peut pas participer en plus à la résistance des bielles d'effort tranchant. Il convient donc de vérifier la compression dans les bielles à partir d'une hauteur de béton réduite, notée hf,red , où : hf,réd = hauteur dalle hauteur comprimée en flexion aux ELU
4.4 - Méthode générale de vérification d'une plaque
Les annexes F de l'Eurocode 2 partie 1-1 et LL de l'Eurocode 2 partie 2 présentent une méthode utilisable pour vérifier de façon générale la résistance aux ELU d'une plaque soumise à une combinaison quelconque de sollicitations concomitantes.
NTP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
La méthode est directement applicable à une plaque munie d'un ferraillage orthogonal, et elle peut être généralisée moyennant quelques adaptations au cas d'une plaque avec ferraillage biais. Le principe général de cette vérification consiste à décomposer la plaque en 3 feuillets :
· ·
2 feuillets extérieurs, qui équilibrent les efforts de flexion et les cisaillements dans le plan de la plaque ; 1 feuillet intermédiaire, qui équilibre les cisaillements transversaux.
Les efforts de plaque sont décomposés sur ces 3 feuillets. Les 2 feuillets extérieurs travaillent alors en membrane, c'est-à-dire qu'ils ne sont soumis qu'à des efforts dans leurs plans, sans moments de flexion. L'articulation des différentes parties du texte de l'Eurocode 2 est la suivante :
· · ·
l'annexe F de l'Eurocode 2 partie 1-1 (modifiée par l'Eurocode 2 partie 2, et complétée par la clause 6.109) présente la justification d'une membrane en béton ; l'annexe LL de l'Eurocode 2 partie 2 présente la façon de décomposer les efforts sur les 3 feuillets, et la façon de justifier la plaque ; l'annexe MM de l'Eurocode 2 partie 2 est une application simplifiée de l'annexe LL au cas des âmes de poutres.
4.4.1 - Principe général de la vérification
La méthode proposée est itérative. Elle est beaucoup plus simple à expliquer et à appliquer pour une vérification, mais elle peut également être utilisée en dimensionnement. L'approche de vérification est présentée ci-dessous. La première étape est de savoir si la plaque est fissurée ou non. Pour cela, les contraintes sont calculées sur toute l'épaisseur de la plaque, en face supérieure, au milieu de la plaque et en face inférieure, en la supposant non fissurée. L'équation (LL.101) donne alors un critère permettant de déterminer si la plaque est fissurée ou non. Il s'agit d'un critère exprimé en fonction des contraintes principales, qui généralise à 3 dimensions les critères de fissuration par cisaillement/traction. Si la plaque n'est fissurée nulle part, il suffit de vérifier simplement que la plus grande contrainte principale de compression reste inférieure à fcd. Par la suite, la plaque sera supposée fissurée par application du critère précédent. On se donne les épaisseurs de feuillets, et le principe de la vérification est le suivant :
· ·
on décompose les efforts de plaque en efforts membranaires, on vérifie que chaque feuillet peut équilibrer les efforts auxquels il est soumis, en appliquant les règles de l'annexe F pour les feuillets externes, et les règles de l'annexe LL pour le feuillet intermédiaire.
S'il existe une combinaison d'épaisseurs de feuillets telle que la vérification de chacun d'eux soit satisfaite, la plaque est capable de résister aux efforts appliqués. Les modèles de justification des différents feuillets sont présentés ci-dessous :
· ·
feuillet intermédiaire (annexe LL), feuillets externes (modèle de membrane de l'annexe F).
L'ordre de cette présentation est dû au fait que les efforts dans les feuillets externes dépendent des choix faits pour justifier le feuillet intermédiaire.
4.4.2 - Vérification du feuillet intermédiaire
Le feuillet intermédiaire est une plaque soumise à deux efforts tranchants transversaux vEdx et vEdy. Ces deux efforts tranchants se combinent vectoriellement en un effort tranchant principal vEd0 de direction 0 [EC2-2 Anx.LL(109) Expr.(LL.121)] et [EC2-2 Anx.LL(109) Expr.(LL.122)].
NTQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La justification est alors ramenée à celle d'une dalle soumise à un effort tranchant vEd0. Les règles applicables sont celles de la clause 6.2 de l'Eurocode 2, modifiée par l'annexe nationale pour les dalles. En premier la nécessité d'armatures d'effort tranchant est évaluée, en appliquant la formule (6.2a). Cette formule fait intervenir le taux d'armatures longitudinales dans le sens de la dalle. Ici, les armatures principales font un angle 0 avec la direction de l'effort tranchant, il est possible de démontrer que le taux de ferraillage à utiliser est donné par la formule (LL.123) : l = lx×cos²0 + ly×sin²0 = (Aslx/h) ×cos²0 + (Asly/h) ×sin²0 où Aslx est la section d'armatures par mètre linéaire dans la direction x, Asly est la section d'armatures par mètre linéaire dans la direction y. Si la formule (6.2a) est vérifiée, il n'est pas nécessaire de prévoir d'armatures d'effort tranchant. Sinon, le modèle du treillis développé en 6.2.3 pour dimensionner les aciers d'effort tranchant est appliqué et la direction des bielles est notamment choisie.
Dans la formule (6.2a), il convient de prendre en compte les aciers longitudinaux tendus situés dans les feuillets extérieurs.
Il en résulte alors un effort longitudinal complémentaire vEd0×cot dans la plaque, qui sera réparti par moitié sur les deux feuillets extérieurs. Cet effort est orienté suivant la direction 0. Sa projection selon les directions x et y donne les équations (LL.124) à (LL.127). Par exemple, pour l'effort complémentaire dans la direction x : nEdxc = (vEd0×cot)×cos²0 = (vEd0×cot)× (vEdx/vEd0)² = vEdx²/vEd0×cot [EC2-2 Anx.LL Expr.(LL.126)]
4.4.3 - Modèle de membrane
Les feuillets extérieurs sont vérifiés en utilisant le modèle de membrane développé à l'annexe F, complété par la clause [EC2-2 6.8.7 Expr.(6.109)]. L'application de cette annexe ne pose pas de difficulté particulière. Le projeteur est renvoyé au texte. Le principe de la justification consiste à superposer deux modèles de façon indépendante :
· ·
les tractions membranaires sont reprises par les aciers passifs, les cisaillements sont équilibrés par un système de bielles/tirants ; la compression dans les bielles est vérifiée en tenant compte de la compression générale à l'aide d'un critère d'interaction (6.109), et les tractions développées par les bielles sont ajoutées aux efforts dans les armatures.
La figure ci-dessous montre le critère d'interaction (6.109) pour une membrane bi-comprimée, et le compare avec le critère plus simple de l'annexe F de l'Eurocode 2 partie 1-1 ( < fcd).
NTR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Fig./Tab.4.(3) : Domaine de résistance pour une membrane bi-comprimée
L'application de ce modèle montre que même une dalle tendue dans les deux directions peut équilibrer des efforts de cisaillement. Autrement dit, il n'y a pas d'interaction entre la résistance au cisaillement dans le plan de la dalle et la traction. Le modèle proposé permet en théorie de choisir une orientation des bielles complètement libre, ce qui supposerait un béton parfaitement plastique. En pratique, l'orientation des bielles est conditionnée par le comportement de la membrane aux ELS. Un grand écart par rapport à ce comportement risque de provoquer des fissures inacceptables. Pour cela, l'annexe F prévoit une limitation donnée à la fin de la clause [EC2-2 Anx.F.1(104)].
4.4.4 - Décomposition des efforts sur les membranes
On a vu dans les paragraphes précédents comment justifier les différents feuillets. Il reste à présenter la façon dont les efforts de plaque sont décomposés en efforts membranaires. Les formules sont données par les équations (LL.137) à (LL.148). Le principe général consiste à exprimer l'équivalence en effort et en moment entre les sollicitations de plaque et les sollicitations de membranes. Par exemple, avec les notations et conventions de signe de l'annexe LL, pour la décomposition des efforts nEdx et mEdx appliqués sur la face de normale x en deux efforts membranaires nEdxs et nEdxi, les équations d'équilibre s'écrivent : nEdxs+nEdxi = nEdx ys×nEdxs - yi×nEdxi = mEdx Les équations (LL.137) et (LL.138) s'en déduisent simplement. Si la plaque est fissurée vis-à-vis des efforts transversaux, il convient d'ajouter aux deux équations précédentes les compléments d'efforts longitudinaux donnés par (LL.126). Les expressions (LL.143) et (LL.144) s'en déduisent. Enfin, un traitement particulier doit être accordé au cas (fréquent) où les nappes d'aciers sont excentrées par rapport aux membranes extérieures. C'est l'objet des équations (LL.149) et (LL.150), qui permettent de corriger les efforts membranaires pour tenir compte de cet excentrement.
NTS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.4.5 - Résumé
En résumé, le processus complet de justification d'une plaque fissurée est le suivant : · choix des épaisseurs de feuillets (2 paramètres), · choix éventuel de si la plaque est fissurée à l'effort tranchant transversal (1 paramètre), · pour chaque membrane, choix de l'inclinaison des bielles d'effort tranchant longitudinal (2 paramètres). S'il existe une combinaison de ces 5 paramètres telle que les contraintes dans le béton et les aciers dans les 3 feuillets soient satisfaites, alors la plaque est justifiée.
4.5 - Conclusion
La méthode proposée par l'Eurocode 2, encore appelée "méthode sandwich", est une méthode générale qui semble satisfaisante d'un point de vue théorique, mais dont la mise en oeuvre est consommatrice en calculs. Dans les cas courants, lorsque c'est possible les règles de cumul forfaitaires telles que présentées plus haut seront à privilégier. Dans les cas plus complexes, pour des plaques soumises à des sollicitations multiples, la méthode de l'annexe LL peut apporter une réponse globale et cohérente à la question du dimensionnement des plaques en béton, et permettre une optimisation des quantités d'aciers passifs.
5 - Fondations
L'Eurocode 2 aborde les fondations dans un certain nombre de ses clauses, de manière dispersée selon le thème traité, mais aussi de manière incomplète car il renvoie naturellement pour tout problème d'interaction des structures avec les terrains, à l'Eurocode 7 "Calcul géotechnique" qui comprend deux parties : la partie 1 "Règles générales" et la partie 2 "Reconnaissance des terrains et essais géotechniques". Il a été admis toutefois, au niveau du CEN, que l'Eurocode 7 soit consacré principalement aux règles fondamentales du calcul géotechnique et nécessite des compléments à apporter par d'autres normes nationales. C'est pourquoi, l'annexe nationale à l'Eurocode 7 partie 1 précise que son application sur le territoire français s'appuie sur des normes nationales complémentaires dont les principales, pour les fondations, sont : · la norme NF P 94 261 pour les "Fondations superficielles", · et la norme NF P 94 262 pour les "Fondations sur pieux". Il s'agit cependant de normes encore en cours d'élaboration, à la date de rédaction du présent guide, et dans l'attente de leur parution, le projeteur pourra utilement se reporter aux dispositions du Fascicule 62 Titre V du CCTG, pour ce qui concerne notamment les conditions de prise en compte de l'interaction sol-structure (utiles notamment pour les justifications de résistance structurale STR et la justification géotechnique des fondations GEO [EC0 6.4.1]). En effet, ces dispositions, compatibles avec l'annexe nationale à l'Eurocode 7 partie 1, seront reprises pour l'essentiel par les normes nationales complémentaires en préparation. Il apparaît ainsi utile de rappeler ce que l'Eurocode 2 apporte au projeteur pour les fondations de ses projets de ponts. Il faut partir du principe général selon lequel la justification d'une structure en béton relève de l'Eurocode 2 (STR) : une semelle de fondation, voire un pieu, se calculera donc normalement avec les méthodes et règles de l'Eurocode 2 une fois que les effets de l'interaction sol-structure auront été bien pris en compte. A l'inverse toutes les informations utiles découlant de l'exécution des ouvrages géotechniques sont à rechercher dans les documents appropriés. Cela est le cas, par exemple, de la valeur limite de compression dans le béton d'un pieu foré, définie par un coefficient partiel spécifique [EC2-1-1 2.4.2.5]. L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 précise alors au projeteur qu'il faut se reporter à la norme NF EN 1536 traitant des pieux forés [EC2-1-1/AN 3.1.2(2)P]. Ce principe est d'application générale concernant les fondations pour éviter tout risque d'incohérence ; d'ailleurs, ce risque est faible, puisqu'en principe, l'élaboration des normes complémentaires spécifiques tient compte de l'existence des eurocodes.
NTT= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
NTU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Annexes
Annexe I Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
Les applications numériques données dans ce guide sont basées sur les calculs de deux exemples d'ouvrage : un pont construit par encorbellements successifs et un PSIDP.
1. Données communes
Les ouvrages proposés sont supposés supporter 2 × 2 voies à trafic normal et sont à tabliers dédoublés. Le profil en travers de chaque tablier a une largeur totale de 12,30 m et se décompose en éléments suivants :
· · · · ·
une glissière de type GS2 de 0,50 m d'encombrement une bande dérasée gauche de 1,00 m d'encombrement deux voies de 3,50 m d'encombrement une bande d'arrêt d'urgence de 3,00 m d'encombrement une barrière de type BN4 de 0,80 m d'encombrement.
2. Exemple du pont construit par encorbellements successifs
Il s'agit d'un ouvrage en béton précontraint construit par encorbellements successifs à 3 travées de 65 m 100 m 65 m, constitué d'un mono-caisson à âmes inclinées de hauteur variable de 2,665 m à 5,90 m (sur 45 m) et de 12,30 m de large.
NUM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. I (1) : Exemple du pont construit par encorbellements successifs - coupe transversale et longitudinale
Le découpage en voussoirs conduit à un VSP de 8,00 m de long, 13 voussoirs courants de 3,46 m de long, un voussoir de clavage de 2,04 m de long en travée centrale et une partie coulée sur cintre de 16,02 m en travées de rive. Les principales caractéristiques des sections sur pile et à la clé sont : - sur pile h = 5,90 m ; Ac = 9,50 m² ; Ic = 52,73 m4 ; v = 2,60 m - à la clé h = 2,665 m ; Ac = 6,299 m² ; Ic = 6,477 m4 ; v = 0,925 m Le béton du tablier est du C60/75 dont les caractéristiques principales sont : - fck = 60 MPa ; fcm = 68 MPa ; fctm = 4,4 MPa - Ecm = 39 GPa Le câblage est constitué :
·
de câbles de fléau 12T15S à raison d'une paire par voussoir courant soit 13 paires de câbles au total : - posés en deux lits (9 + 4 paires de câbles dont les axes sont situés à 0,13 m et 0,22 m de la fibre supérieure) et ancrés sur la tranche des voussoirs à 0,40 m de la fibre supérieure,
NUN= Annexe I - Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
- leurs caractéristiques principales sont : Ep = 195 GPa ; fpk = 1860 MPa ; fp0,1k = 1637 MPa ; gaine = 0,09 m ; 1000 = 2,5 ; recul d'ancrage de 6 mm ; coefficient de frottement = 0,19 ; déviations angulaires parasites k = 0,01,
·
de câbles de continuité intérieure 12T15S à raison de 2 paires en travées de rive et 3 en travée centrale : - posés en un lit (dont l'axe est situé à 0,13 m de la fibre inférieure), de la culée aux voussoirs V8 et V9 pour la travée de rive et entre les voussoirs V7 V8 et V9 pour la travée centrale (ancrés en bossage à 0,43 m de la fibre inférieure) , - leurs caractéristiques principales sont identiques à celles des câbles de fléau, de câbles de continuité extérieure 19T15S régnant sur 2 travées à raison de 2 paires en travées de rive et 4 en travée centrale : - posés en un lit (dont l'axe est situé à 0,32 m de la fibre inférieure à la clé et à 0,28 m de la fibre supérieure sur pile) et ancrés au droit des voussoirs sur pile, - leurs caractéristiques principales sont identiques à celles des câbles de fléau.
·
Les armatures passives sont de type B500B pour tous les aciers. - fyk = 500 MPa - fykw = 500 MPa Les appuis de cet ouvrage sont constitués de deux piles de 32 m et 21 m de hauteur, fondées sur 6 pieux de diamètre 1,60 m. Les fûts de piles sont rectangulaires, de 2,30 m dans le sens longitudinal de l'ouvrage sur 4,60 m dans le sens transversal, et en béton C30/35.
3. Exemple du PSIDP
Il s'agit d'un ouvrage de type PSIDP à 3 travées de 17,50 m 27,00 m 17,50 m, constitué d'une dalle à larges encorbellements de 0,90 m de hauteur et de 12,30m de large. Le béton constitutif du tablier est du C35/45 avec comme caractéristiques : - fck = 35 MPa ; fcm = 43 MPa ; fctm = 3,2 MPa - Ecm = 34 GPa
Fig./Tab. An. I (2) : Exemple du PSIDP coupe transversale et longitudinale
NUO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les caractéristiques mécaniques de la section brute sont : - hauteur : h = 0,900 m - section : S = 8,01 m2 - inertie : I = 0,535 m4 v =0,386 m - distance cdg/fs : v' =0,514 m - distance cdg/fi : Les armatures passives sont de type B500B pour tous les aciers. fyk = 500 MPa La câblage est constitué de 20 câbles 12T15S régnant sur les 3 travées. Ces câbles ont les mêmes caractéristiques que ceux du pont construit par encorbellements. Leur tracé est conforme au schéma suivant :
Fig./Tab. An. I (3) : Exemple du PSIDP : tracé du câblage type
Pour les besoins d'illustration de certains calculs (fatigue, maîtrise de la fissuration en particulier), le même ouvrage est dimensionné avec une précontrainte partielle. Le nombre de câbles est réduit à 15 câbles 12T15S. Leurs excentricités sur pile et en travée de rive sont alors modifiées pour être conformes au schéma suivant :
Fig./Tab. An. I (4) : Exemple du PSIDP à précontrainte partielle : tracé du câblage
NUP= Annexe I - Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
Annexe II Imperfections géométriques
1. Exemple de l'arc articulé
Les clauses correspondantes sont en [EC2-2 5.2(105)] et [EC2-2 5.2(106)].
1.1. Données
Caractéristiques principales de l'arc
C = 201,0m F = 33,5m R= Longueur de corde Flèche pour un rapport C =6 F
C2 F 2012 33,5 + = + = 167,5m Rayon de l'arc 8F 2 8 × 33,5 2
F 33,50 = 2 arccos1 - = 2 arccos1 - = 1,287 rd Angle de l'arc R 167,50 A = R × = 167,5 × 1,287 = 215,57 m Longueur de l'arc
Caractéristiques de la section constante
b = 8,00 m Largeur h = 3,00 m Hauteur fck = 30MPa Résistance caractéristique du béton
1.2. Formes des imperfections géométriques
Fig./Tab. An. II (1) : Premiers modes de flambement de l'arc (Résultats du logiciel PCP du Sétra)
NUQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. II (2) : Formes des imperfections géométriques de l'arc dans le plan vertical et dans le plan horizontal
1.3. Valeurs des imperfections géométriques dans le plan vertical
l = 0 × h = 2 1 1 2 = 0,0009632 rd = min 200 min 200 L 215,573 / 2
L a = l = 0,0009632 × 2 s a i = a sin i l 0
215,573 2
2 = 0,0512 m
amplitude maximale du profil sinusoïdal
si = 0,0512 × sin 215,573 2
amplitude des deux ondes à l'abscisse curviligne si
1.4. Valeurs des imperfections géométriques dans le plan horizontal
l = 0 h = a = l 2 1 1 2 = 0,00068109 rd = min 200 min 200 L 215,573
215,573 L = 0,00068109 × = 0,074 m amplitude maximale du profil sinusoïdal 2 2 si = 0,074 × sin amplitude de l'onde à l'abscisse curviligne si 215,573
s a i = a sin i l 0
NUR= Annexe II - Imperfections géométriques
2. Exemple d'une pile
Inclinaisons globales pour imperfections géométriques i = 0 h = en têtes de piles :
·
2 1 min ; 1 et excentricités dérivées 200 L
Pour L=25 m i = 0,00200 rd soit e i = 25,0 × 0,002 = 0,05m (> e 0 = 0,02m ) [EC2-1-1 6.1(4)]
·
Pour L=45 m i = 0,00149 rd soit e i = 45 × 0,00149 = 0,067 m (> e 0 = 0,02m
)
[EC2-1-1 6.1(4)]
NUS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Annexe III Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Les applications numériques présentées ci-après sont relatives à une seule section transversale située pratiquement à la clé de la travée centrale du pont construit par encorbellements successifs, appelée Section S(l/2) et dont la coupe transversale est schématisée ci-dessous :
SECTIONS DE CONTRAINTES GENERALISEES S2 S1
A2 A1 (cdg) A3 I1
Fig./Tab. An. III (1) : Coupe transversale du caisson
Bien entendu dans le cadre d'une étude d'exécution, les justifications vis-à-vis du cisaillement doivent être établies dans de nombreuses sections transversales. Dans chaque section transversale, les deux âmes doivent être étudiées si les efforts ne sont pas symétriques. Différentes coupures locales doivent également être considérées telles que les coupures au droit des goussets (par exemple A2, S1 et S2 de la figure).
Pour l'illustration des applications numériques qui vont suivre les seules coupures considérées sont A1, A3 et I1, justifiées vis-à-vis des cisaillements de tranchant et de torsion dus aux efforts généraux, sans tenir compte des efforts de flexion transversale ou de diffusion éventuels, qui, normalement, doivent être analysés par ailleurs.
NUT= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
1. Données et résultats principaux
1.1. Caractéristiques de la section du caisson à mi-travée
Les caractéristiques géométriques et mécaniques sont données dans le tableau suivant :
Caractéristiques géométriques et mécaniques hauteur caisson largeur du hourdis supérieur largeur extérieure du hourdis inférieur (mi-épaisseur) épaisseur hourdis supérieur épaisseur hourdis inférieur hauteur mi-hourdis supérieur section de la barre Sx section réduite d'axe z Sz inertie de torsion d'axe x Ix inertie d'axe y Iy inertie d'axe z Iz distance cdg bord caisson côté y>0 distance cdg bord caisson côté y<0 distance cdg fibre supérieure distance cdg fibre inférieure rayon de courbure en élévation du hourdis inférieur coefficient de cisaillement pour une âme = S/(I.bw) coefficient de cisaillement vis-à-vis de la torsion Mx aire intérieure au feuillet moyen des parois Ak hauteur utile selon l'inclinaison d'âme (prise égale à 0.9h /cos8,6°) d= longueur d'âme (calcul de sollicitation tangente due à la torsion) = (h - demi-somme des hourdis)/(cos angle inclinaison de l'âme) = zi inclinaison de l'âme par rapport à la verticale largeur droite d'une âme t épaisseur horizontale d'une âme bw Fig./Tab. An. III (2) : Caractéristiques de S(1/2) Section S(l/2) 2,665 12,30 5,564 0,250 0,222 2,540 6,299 1,725 11,82 6,477 60,19 3,132 3,132 0,925 1,739 368,18 0,700 0,115 13,579 2,398/cos8,6° 2,457 8,600 0,320 0,324 Unité m m m m m m m2 m2 m4 m4 m4 m m m m m m-² m-2/m m2 m m degré m m
Ce tableau appelle les commentaires suivants :
· ·
l'aire Ak est approchée en prenant la section du trapèze passant par la mi-épaisseur des hourdis et la miépaisseur des âmes. L'influence des encorbellements dans la résistance à la torsion est ainsi négligée ; la longueur de la paroi de torsion considérée est celle des âmes. Il s'agit de la longueur biaise tenant compte de l'inclinaison des âmes comprise entre les fibres moyennes des hourdis.
NUU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2. Caractéristiques des matériaux
Elles sont rappelées dans le tableau suivant :
Caractéristiques des matériaux inclinaison aciers de cisaillement par rapport à la fibre moyenne = résistance caractéristique du béton sur cylindre fck= résistance caractéristique des aciers de cisaillement fykw= résistance caractéristique des aciers longitudinaux fyk= coefficient partiel sur la résistance du béton C = coefficient partiel sur la résistance des aciers S = coeff cc valeur recommandée coeff ct valeur recommandée [EC2-1-1 3.1.6 et EC2-1-1/AN 3.1.6] [EC2-1-1 3.1.6 et EC2-1-1/AN 3.1.6] Valeur 90 60 500 500 1,5 1,15 1,0 1,0 40,0 4,35 2,03 435 435 MPa MPa MPa MPa MPa Unité degré MPa MPa MPa
résistance de calcul à la compression du béton fcd= cc×fck/C résistance moyenne à la traction du béton fctm [EC2-1-1 Tab.3.1] contrainte de traction de calcul du béton fctd=ct×fctk 0,05/C= contrainte de traction de calcul de l'acier d'âme fywd= fykw/S contrainte de traction de calcul de l'acier longitudinal fyd=fyk/S Fig./Tab. An. III (3) : Caractéristiques des matériaux
Les aciers de cisaillement sont normaux à la fibre moyenne de l'ouvrage du fait de la nécessité de reprise des efforts de torsion [EC2-1-1 9.2.3].
2. Résultats du calcul de flexion générale
Le calcul d'ensemble de l'ouvrage a été mené en utilisant le logiciel ST1 du Sétra, en tenant compte des phases de construction et des charges de l'Eurocode 1. Les extraits de résultats utiles aux différentes justifications et rappelés ci-après sont issus des enveloppes des efforts aux ELS et aux ELU et correspondent à la situation de l'ouvrage en service, au temps infini après toutes pertes de précontrainte effectuées. Les résultats sont déterminés pour deux cas de concomitance des sollicitations :
· ·
moments de flexion My extrêmes et autres sollicitations concomitantes, contraintes de cisaillement extrêmes au niveau du centre de gravité (section A1) et autres sollicitations concomitantes. l'effet Résal dû à l'inclinaison des hourdis, l'effet de la précontrainte, l'effet de la torsion.
Dans les résultats, les contraintes de cisaillement tiennent compte de :
· · ·
NUV= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
2.1. Résultats sous combinaison caractéristique
Sections Effort extrême considéré Effort normal (MN) Effort tranchant réduit Tz (MN) Effort tranchant réduit avec effet Résal (MN) = VEd Moment de torsion Mx (MN.m) = TEd Moment de flexion My (MN.m) Contrainte normale fibre supérieure (MPa) Contrainte normale fibre inférieure (MPa) Contrainte normale au centre de gravité (MPa) Contrainte de cisaillement au CDG (A1) (MPa) Contrainte de cisaillement au bas de l'âme (A3) (MPa) Contrainte normale au bas de l'âme (MPa) Contrainte de cisaillement en hourdis inf (I1) (MPa) Section S(l/2) Cisaillement maximum 42,701 -2,116 -2,175 -1,306 18,543 9,429 1,800 6,779 -1,672 -1,377 3,007 -1,288 Section S(l/2) Moment maximum 40,200 -1,128 -1,205 0,280 32,443 11,018 -2,330 6,382 -0,811 -0,648 -0,217 -0,547
2.2. Résultats à l'ELU de résistance
Sections Effort extrême considéré Effort normal (MN) Effort tranchant Tz (MN) Effort tranchant avec effet Résal (MN) = VEd Moment de torsion Mx (MN.m) = TEd Moment de flexion My (MN.m) Contrainte normale fibre supérieure (MPa) Contrainte normale fibre inférieure (MPa) Contrainte normale au centre de gravité (MPa) Contrainte de cisaillement au CDG (A1) (MPa) Contrainte de cisaillement au bas de l'âme (A3) (MPa) Contrainte normale au bas de l'âme (MPa) Contrainte de cisaillement en hourdis inf (I1) (MPa) Contrainte normale moyenne hourdis inf (MPa) Section S(l/2) Cisaillement maximum 42,917 -2,856 -2,942 -1,763 36,647 12,050 -3,028 6,813 -2,261 -1,862 -0,641 -1,741 -2,400 Section S(l/2) Moment maximum 42,914 -1,383 -1,493 0,202 53,081 14,397 -7,441 6,813 -1,021 -0,819 -3,985 -0,702 -6,532
On peut noter que l'effet Résal ne réduit pas la valeur de l'effort tranchant dans ce cas. Ceci est dû au fait que le hourdis supérieur de largeur importante est fortement comprimé alors que le hourdis inférieur l'est peu, voire tendu. La prise en compte de l'effet Résal n'est donc pas forcément favorable s'il a été calculé avec soin, en tenant compte de l'inclinaison des deux hourdis sur la fibre neutre.
NVM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3. Justifications vis-à-vis des sollicitations tangentes à l'ELU de résistance
Ces justifications traitées en [Chapitre 6-2] et [Chapitre 6-3] sont illustrées ici par la vérification des âmes de la section S(1/2), complété par l'étude des deux coupures I1 et A3.
Dans l'exemple étudié, on a affaire à un caisson à âmes inclinées. La détermination des efforts tranchants provenant de la torsion et qui sollicitent les âmes s'effectue en prenant en compte les longueurs biaises des âmes. L'effort tranchant résistant des âmes se détermine avec le bras de levier du couple élastique de l'âme selon le biais. La prise en compte de l'effort tranchant, pour être cohérent avec celui provenant de la torsion, doit considérer l'effort tranchant projeté suivant l'âme.
3.1. Résistance des âmes sans armatures d'effort tranchant autres que la section minimale
Il s'agit de vérifier si l'effort tranchant résistant des âmes dépourvues d'armatures transversales est suffisant. On suppose dans ce cas le ratio l nul et l'expression suivante est à vérifier [Chapitre 6-2.2.1] : VRd,c (vmin + k1 cp) bw d vmin étant défini par 0,053/C k3/2 × fck1/2 k1 = 0,15 ( valeur recommandée, adoptée par l'annexe nationale) fck = 60 MPa [EC2-1-1 Expr.(6.2b)].
cp = 6,813 MPa = contrainte normale moyenne compte tenu de la précontrainte
vmin = 0,053/C k3/2 × fck1/2 = 0,053/1,5×1,2893/2 × fck1/2 = 0,4004 (ces valeurs sont celles de l'annexe nationale pour les poutres) VRd,c = (vmin + k1 × cp) bw d = (0,4004+0,15 × 6,813) × 0,32 × 2,398/cos8,6° = 1,10 MN par âme d étant pris selon le biais de l'âme L'effort résistant par âme vaut 1,10 MN pour un effort sollicitant par âme de VEd = 2,942/2/cos8,6° = 1,49 MN. La section S(l/2) ne peut donc être justifiée avec la section minimale d'armatures. Il faut donc prévoir et dimensionner des armatures cisaillement en conséquence.
A titre indicatif si la résistance de la section calculée sans armatures avait été suffisante, la justification de la section se serait terminé par la détermination du minimum d'armatures d'âmes à mettre en place. Cette section minimale est donnée par les expressions [EC2-1-1 Expr.(9.4)] et [EC2-1-1 Expr.(9.5)].
w = Asw / (s × bw × sin ) et w > w,min avec w,min = (0,08 f ck ) / f yk fck = 60 MPa et fyk = 500 MPa, w,min = 0,00124, bw = 0,32 m et sin = 1 (aciers verticaux) Asw / s = 4 cm²/m et par âme
3.2. Vérification des âmes quand des armatures d'effort tranchant sont nécessaires
La Section S(l/2) doit être vérifiée sous la combinaison des efforts de tranchant et de torsion. La vérification se fait en application des expressions [EC2-1-1 Expr.(6.13)], [EC2-1-1 Expr.(6.14)] et [EC2-1-1 Expr.(6.15)] pour l'effort tranchant et [EC2-2 6.3.2(104)] pour la torsion dans le cas d'un caisson.
NVN= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.2.a) Vérification de la compression des bielles (i) Sollicitation de tranchant
VEd,i (V) = 2,942/2/cos8,6° = 1,49 MN
(ii) Sollicitation tangente de torsion
La sollicitation tangente de torsion dans une âme est donnée par : VEd,i (T) = TEd × zi /2Ak avec Ak = 13,579 m², TEd = 1,763 MN.m et zi = 2,457 m (longueur biaise de l'âme) VEd,i (T) = 0,159 MN
(iii) Effort tranchant résistant
VRd,max = cw b w z 1 f cd (cot + cot)/(1 + cot 2 ) [EC2-1-1 Expr.(6.14)]
La valeur recommandée de cw, validée par l'annexe nationale est la suivante : 1 (1 + cp/fcd) 1,25 pour les structures non précontraintes pour 0 < cp 0,25 fcd pour 0,25 fcd < cp 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.11.aN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.bN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.cN)]
2,5 (1 - cp/fcd) pour 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd
Avec cp = 6,813 MPa et fcd = 40 MPa, cp/fcd = 0,170 d'où cw =1,170 Une valeur maximale de cot conduit à minimiser la section d'aciers verticaux et à augmenter la contrainte de compression des bielles. cot = 2,5 est choisi comme base de départ de la vérification. Les âmes sont soumises à la fois à du cisaillement et à de la flexion transversale. Dans ce cas la vérification de la condition de non écrasement du béton doit se faire en réduisant l'épaisseur de béton de la zone comprimée en flexion [Chapitre 10 -4.3.3]. Un calcul parallèle de flexion a conduit à évaluer la zone comprimée en flexion (zone strictement nécessaire) à 2 cm, valeur à déduire de la largeur de l'âme. D'où bw= 0,32-0,02 m =0,30 m largeur nette de l'âme z = bras de levier du couple élastique de l'âme, ici pris égal à la longueur biaise = 2,457 m f 1 = = 0,6 1 - ck = 0,6×(1-60/250) = 0,456 250 cot = 1 car les aciers sont inclinés à 90° sur la fibre neutre (en fait les aciers sont verticaux, très légèrement inclinés par rapport à la perpendiculaire à la fibre neutre) d'où VRd,max = 5,42 MN pour une âme.
(iv) Vérification sous sollicitation combinée de tranchant et de torsion
Il faut vérifier : VEd,i(V) + VEd,i(T) VRd,max Il vient : 1,49 + 0,159 = 1,65 < 5,42 La résistance vis-à-vis de la compression des bielles est donc assurée.
NVO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.b) Calcul de la section d'armatures de cisaillement perpendiculaires à la fibre moyenne (i) Section pour une âme
Selon la clause [EC2-1-1 6.3.2(102)] les efforts de cisaillement de tranchant et de torsion sont cumulés et les principes de calculs définis pour l'effort tranchant sont appliqués. Les sollicitations sont données par le tableau "Résultats à l'ELU" précédent. L'effort tranchant pour une âme vaut : VEd,i(V) = 1,49 MN La sollicitation tangente de torsion dans une âme vaut : VEd,i(T) = 0,159 MN La section d'armatures s'obtient en égalant l'effort total de cisaillement à VRd,s (effort résistant fourni par les armatures) D'où Asw/s = (VEd,i(V) + VEd,i(T))/(z fywd cot) z = bras de levier du couple élastique de l'âme, ici pris égal à la longueur biaise = 2,457 m fywd = 434,78 MPa cot = 2,5 Asw/s = (1,49+0,159)/2,457/434,78/2,5 = 6,2.10-4 m²/m = 6,2 cm²/m
(ii) Section maximale pour une âme
On peut vérifier que la section nécessaire ne dépasse pas la section maximale utile donnée par :
A sw, max f ywd b ws 1 cw 1f cd 2
[EC2-1-1 Expr.(6.15)]
cw =1,17 1= 0,456 Il s'en déduit : Asw,max/s = 0,5cw 1 fcd bw /fywd = 0,5 × 1,17 × 0,456 × 40 × 0,32 / 434,78 =78,5.10-4 m²/m= 78,5 cm²/m
3.3. Efforts longitudinaux induits par l'effort tranchant et la torsion
Le calcul est effectué avec le cas de charge donnant l'effort tranchant maximum. La section S(l/2) a comme caractéristique géométriques largeur du hourdis inférieur aire de torsion l = 5,564 m Ak = 13,579 m² épaisseur du hourdis inférieur e = 0,222 m présente des tractions à mi-épaisseur du hourdis inférieur : = -2,400 MPa et est soumise aux sollicitations suivantes : VEd = 2,94 MN MEd = 36,65 MN.m et TEd = 1,76 MN.m
NVP= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.3.a) Effort longitudinal dû à l'effort tranchant
L'inclinaison des bielles du treillis produit un effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales de la fibre inférieure : Ftd,V = 0,5 VEd (cot - cot ) = 90° et cot = 0 Comme il a été choisi cot = 2,5 pour le dimensionnement des armatures de cisaillement Ftd,V= 1,25 VEd VEd= 2,942 MN d'où Ftd,V = 3,68 MN pour l'ensemble du hourdis inférieur. L'effort longitudinal de traction supplémentaire dû à l'effort tranchant vaut donc au mètre linéaire : Ftd,V= (3,68/5,564 ) = 0,661 MN/ml
Plafonnement de l'effort longitudinal supplémentaire dû au tranchant La section S(l/2) se trouve près de la mi-travée où se produit le moment maximal MEd,max. Le plafonnement de l'effort longitudinal de traction dû au tranchant peut donc intervenir. Il est donné par [EC2-1-1 Expr.(6.18)] :
[EC2-1-1 Expr.(6.18)]
Comme les armatures d'effort tranchant sont perpendiculaires à la fibre moyenne
MEd/z + Ftd,V < MEd,max/z
Avec MEd,max = 53,08 MN.m qui est la valeur du moment maximum dans la travée. Soit Ftd,V < (MEd,max - MEd)/z = (53,08-36,65)/2,234= 7,36 MN soit 7,36/5,564 = 1,32 MN/ml L'effort longitudinal de traction dû au tranchant 0,661 MN/ml est inférieur à son plafonnement et doit être pris en compte dans sa totalité.
3.3.b) Effort longitudinal dû à la torsion
La torsion nécessite des armatures longitudinales dont la section peut être calculée à partir de :
Asl f yd
uk où uk
=
TEd cot 2A k est le périmètre de la surface Ak
[EC2-1-1 Expr.(6.28)]
Chaque membre de cette égalité est équivalent à une force au mètre linéaire de paroi, ce qui permet d'écrire : Ftd,T =TEd cot /2Ak L'effort longitudinal de traction supplémentaire dû à la torsion vaut : Ftd,T = 1,763 × 2,5/2/13,579 = 0,162 MN/ml
3.4. Détermination des sections d'armatures longitudinales
La section d'armatures dans le hourdis inférieur se compose d'armatures permettant de résister à la flexion longitudinale d'ensemble, complétées le cas échéant d'armatures permettant de reprendre les efforts longitudinaux supplémentaires apportés par les sollicitations tangentes [Chapitre 6 -2.2.3].
La participation par surtension des aciers de précontrainte adhérents peut aussi être prise en compte [EC2-2 6.2.3(107)].
Si le dimensionnement des armatures vis-à-vis de la flexion d'une section ne pose pas de difficulté il n'y a pas de méthode permettant de déterminer directement les armatures permettant la reprise de l'effort horizontal
NVQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
supplémentaire. Ceci provient du fait qu'en général ces deux quantités d'armatures sont déterminées de manière indépendante avec deux méthodes et modèles différents. On admettra donc le principe de dimensionnement suivant : Les armatures passives seront dimensionnées vis-à-vis de la flexion, mais en laissant subsister des marges de contraintes telles qu'elles puissent théoriquement absorber les efforts longitudinaux supplémentaires. Le dimensionnement et la vérification se font donc normalement, avec un logiciel de calcul de section soumise à de la flexion, du type CDS du Sétra, complétés par une étape itérative supplémentaire comme il sera détaillé dans l'application présentée ci-dessous.
3.4.a) Données de l'exemple d'application
Une section simplifiée en I est utilisée dans le calcul CDS pour représenter la section S(1/2) ci-avant définie ; les efforts appliqués sont ceux des deux cas de charges étudiés ; ils sont conservés et rappelés ci-dessous :
Section S(l/2) Cisaillement maximal Effort Normal comb. QP (MN) Moment de flexion My comb. QP (MN.m) Effort Normal ELU (MN) Moment de flexion My ELU (MN.m) Effort longitudinal de traction de tranchant (MN) Effort longitudinal de traction dû à la torsion (MN) Effort longitudinal total (MN) 42,9 0,04 42,9 36,6 3,7 0,9 4,6 Moment maximal 42,9 0,04 42,9 53,1 0,0 0,02 0,02
Les 4 câbles éclisses 12T15S, adhérents car injectés au coulis de ciment, présents dans le hourdis inférieur sont des torons de résistance caractéristique à la traction fpk =1860 MPa, fp0,1k = 0,9fpk et donnent un effort de précontrainte de : Fp = 8,54 MN (à l'état permanent).
3.4.b) Utilisation du logiciel CDS du Sétra
Le logiciel CDS du Sétra permet un calcul de vérification d'une section de béton précontraint sous des sollicitations (N, M) et produit des résultats complets concernant les déformations et les contraintes dans les trois matériaux.
Dans la pratique le suivi dans le détail de ces résultats et l'ajustement des sections d'armatures ou/et la correction de la section béton permettent de faire du dimensionnement.
Dans cette application, le diagramme contraintes-déformations de type bi-linéaire avec branche supérieure inclinée est utilisé pour les aciers de précontrainte [EC2-1-1 Fig.3.10] ; celui à palier horizontal est utilisé pour les aciers de béton armé [EC2-1-1 Fig.3.8]. La méthode appliquée est la suivante : On commence par faire le dimensionnement des armatures nécessaires vis-à-vis de la flexion sous sollicitations ultimes (N, M). A la quantité d'armatures passives obtenue on rajoute une section d'armatures passives égale à Ftd,V+T / fyd. Ceci permet d'initier le processus d'itération car on vérifie ensuite sous sollicitations (N, M) que la réserve ainsi dégagée est suffisante. Si ce n'est pas le cas on majore la section d'armatures de la quantité (déficit d'effort longitudinal)/fyd jusqu'à obtenir le résultat cherché.
NVR= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Le contrôle de la réserve d'effort longitudinal se traduit par la vérification de l'inéquation : (ud - p)× Ap + (fyd - s ) × As Ftd,V+T avec p contrainte dans les câbles éclisses intérieurs au béton p allongement dans ces câbles s contrainte dans les aciers passifs du hourdis inférieur s allongement dans ces aciers passifs représentant les résultats d'une étape de calcul CDS et ud la contrainte dans les armatures de précontrainte correspondant à l'allongement maximal de calcul ud
En général, on peut commencer le calcul à partir d'une section d'armatures passives quelconque et l'itération peut se faire en plus ou en moins de la quantité :
As = (Déficit ou excès d'effort) / fyd
En pratique après le premier contrôle de la réserve d'effort, la première correction à faire donne approximativement le résultat final et on peut ne pas reprendre l'itération. Il est conseillé de limiter l'allongement maximal de calcul ud des armatures de précontrainte à 2 %.
Les résultats concernant les armatures passives sont :
Section S(l/2) Cisaillement maximal Aciers BA nécessaires en flexion (cm2) Aciers complémentaires de tranchant et torsion Total aciers dans le hourdis inférieur (cm2) (cm2) 0,00 98,5 98,5 Moment maximal 118,0 0,0 118,0
Nota : Dans le cas de charge donnant le cisaillement maximum la section peut théoriquement résister aux sollicitations de flexion sans besoin d'armatures passives. La section d'armatures passives nécessaire pour reprendre l'effort longitudinal n'est pas négligeable. C'est cependant le cas de charge donnant le moment maximal qui est dimensionnant.
3.5. Vérification d'un cisaillement âme-membrure (exemple de la coupure à la jonction du hourdis inférieur avec le gousset - coupure I1)
La justification se fait conformément à [EC2-1-1 6.2.4] et est traitée par le présent guide au [Chapitre 10-1.2]. Le hourdis inférieur est tendu même avant prise en compte des efforts apportés par l'effort tranchant et la torsion. Dans ce cas l'inclinaison des bielles de compression f peut être choisie telle que cotf = 1,25 d'où f = 38,6°. Le tableau du paragraphe "résultats à l'ELU" ci-avant [Annexe III-2.2] donne vEd = 1,74 MPa. Cette valeur ne tient pas compte de la réduction d'épaisseur liée à un moment de flexion transversale concomitant. Il faut vérifier v Ed f cd sin f cos f . vEd = 1,74 < 0,456 × 40 × sin(38,6) × cos(38,6) = 8,9 MPa.
NVS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'écart entre la contrainte effective et la contrainte admissible montre que la prise en compte d'une éventuelle flexion transversale ne devrait pas remettre en cause la résistance au cisaillement. Pour cette section on peut supposer que la flexion transversale est négligeable. Les aciers de cisaillement sont déterminés par : Asf /sf vEd hf /cotf / fyd Asf /sf 1,74 × 0,222/1,25/434,78 = 0,00071 m²/m = 7,1 cm²/m. Ces aciers sont à répartir sur les deux faces du hourdis.
3.6. Vérification d'une section de reprise de bétonnage (exemple de la coupure au niveau bas de l'âme - coupure A3)
Le choix de cette coupure fait intervenir la détermination au préalable des efforts de suspension induits dans les âmes par le hourdis inférieur. Ces efforts sont à prendre en compte dans l'étude de toute coupure horizontale effectuée dans la hauteur des âmes.
3.6.a) Efforts de suspension du hourdis
Ces efforts sont dus : au poids propre du hourdis qcp, à la poussée au vide engendrée par la courbure du hourdis, à la poussée au vide engendrée par la courbure des câbles éclisses contenus dans le hourdis et au droit des âmes. Si : R est le rayon en élévation de l'intrados du pont, Fh la force développée par les contraintes longitudinales dans le hourdis, Fp la force des câbles de précontrainte, alors : la poussée au vide due à la courbure du hourdis vaut q= Fh/R, (Fh est dirigée vers le haut si c'est une compression et vers le bas si c'est une traction), la poussée au vide due aux câbles vaut Q=Fp/R. Elle est dirigée vers le bas. L'application numérique donne : largeur du hourdis entre âmes l'= 5,564-0,324 × 2 = 4,916 m effort longitudinal de traction du hourdis effort total dans les câbles 12T15S rayon de courbure poids du hourdis poussée au vide de traction poussée au vide des câbles Fh = 6,532 × 0,222 = 1,45 MN/ml Fp = 4 × 0,0018 × 0,8 × 1860= 10,71 MN (pertes non déduites) R= 368,182 m qcp = 0,5 × 4,916 × 0,222 × 0,025 = 0,0136 MN/ml q = 0,5 × 4,916 × 1,45 / 368,182 = 0,0097 MN/ml Q= 10,71 / 2 / 368,182 = 0,0145 MN/ml
le bilan pour une âme est ainsi le suivant (signe moins = vers le haut) :
bilan des efforts de suspension pour une âme F = 0,0136 + 0,0097 + 0,0145 = 0,0378 MN/ml Cet effort nécessite par âme un ajout d'aciers transversaux de : Asw = 0,0378/434,78 = 0,87 × 10-4 m²/ml= 0,87 cm²/ml
NVT= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.6.b) Calcul de la contrainte de cisaillement de calcul (coupure A3)
La contrainte de cisaillement aux ELU s'obtient par l'expression vEdi =VEd × S / (Iy × bi) où S est le moment statique au droit de la reprise de bétonnage Iy est l'inertie de la section Elle vaut vEdi = 1,86 MPa
3.6.c) Contrainte limite de cisaillement dans la coupure- calcul de la section d'armatures nécessaire
La contrainte limite de cisaillement le long de la reprise de bétonnage est donnée par : vRdi = c fctd + n + fyd ( sin + cos) 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.25)] avec une valeur plafond de 0,5 fcd = 0,5 × 0,456 × 40 = 9,12 MPa (cette valeur plafond ne peut être atteinte). c= 0,45 et = 0,7 en considérant une reprise rugueuse présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, espacées d'environ 40 mm fctd = 2,03 MPa = contrainte de traction admissible du béton n = contrainte normale à l'interface. Comme l'âme est soumise à une traction verticale dû à la suspension du hourdis de F = 0,0378 MN/ml, il faut prendre c × fctd = 0. n = -0,0378/0,32 = -0,118 Mpa. = 90° = inclinaison des aciers sur la reprise de bétonnage =As/Ai = ratio des aciers traversant la reprise rapportés à la surface de celle-ci Le respect de la contrainte limite de cisaillement permet alors de calculer les ratios d'aciers nécessaires à assurer l'équilibre de la reprise de bétonnage en égalant vEdi et vRdi : vEdi = 1,86 vRdi = 0 - 0,7 × 0,118 + × 434,78 × (0,7+0)= -0,0826 + 304,35 × Il s'en déduit 0,0064, soit As = 0,0064 × 32 × 100 = 20,5 cm²/m. La section d'armatures nécessaire sans reprise de bétonnage serait de : Asw/s= 6,71 + 0,87= 7,58 cm²/m (cumul de la section des aciers de cisaillement et de suspension). La comparaison des deux valeurs montre tout l'intérêt qu'il y a à éviter les reprises de bétonnage.
4. Vérification des âmes sous combinaison caractéristique
La vérification de la résistance au cisaillement aux ELS a été exposée au [Chapitre 7 -2.5.2]. Bien que cela ne soit pas précisé dans les eurocodes, la vérification doit se faire dans toutes les sections des âmes : au centre de gravité, à la jonction avec le hourdis inférieur, à la jonction avec le hourdis supérieur, etc. La vérification porte ici sur la section au centre de gravité où le cisaillement est maximum, et sur la section au bas des âmes où la contrainte normale est minimale. Les résultats de calculs ont été reportés dans la figure [Annexe III-0] ci-dessous qui montre à la fois que :
· ·
les conditions imposées par les eurocodes sont moins contraignantes que celles des pratiques antérieures, car la contrainte de cisaillement admissible est plus élevée, les contraintes de calcul de cet exemple [Annexe III-2.1] sont nettement inférieures aux contraintes admissibles.
NVU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
8.00
7.00
6.00
tau admissible MPa
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
contrainte normale sigmaX MPa
0.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
tau BPEL91adm pour fcj= 60 MPa et sigmaY= 0 contraintes de calcul au centre de gravité
tau adm EC2 pour fck= 60 MPa et sigmaY= 0 contraintes de calcul en bas des âmes
Fig./Tab. An. III (4) : Contrainte de cisaillement admissible sous combinaison caractéristique
Les sections ne présentent donc pas d'insuffisance.
Pour l'ensemble de l'ouvrage cette vérification ne deviendrait déterminante que si l'épaisseur des âmes descendait en dessous de 0,17 m.
NVV= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Annexe IV Justification à la fatigue
1. Implantation des charges de fatigue
Les voies et leur implantation sont définies dans l'Eurocode 1 partie 2, notamment par les clauses [EC1-2 4.2.4(2)] et [EC1-2 4.2.4(3)] :
" (2) Pour chaque vérification individuelle, il convient de choisir le nombre de voies devant être considérées comme chargées, leur emplacement sur la chaussée ainsi que la numérotation de manière à ce que les effets des modèles de charge soient les plus défavorables. (3) Pour les valeurs représentatives de fatigue et les modèles associés, il convient de choisir l'emplacement et la numérotation des voies en fonction du trafic normalement prévisible."
Il est précisé ensuite que tous les modèles de charges de fatigue sont centrés sur les voies conventionnelles ainsi définies [EC1-2 4.6.1(4)]. Il faut souligner qu'il appartient au maître d'ouvrage de définir l'implantation des voies lentes, "en fonction du trafic normalement prévisible". Ce choix est à envisager au cas par cas, pour chaque ouvrage, en anticipant un trafic futur éventuellement différent de celui prévu à l'étude du projet, pouvant conduire à une répartition différente des voies dans le temps d'utilisation de l'ouvrage. L'illustration de ce choix au cas d'une coupe transversale classique montre qu'il peut être déterminant pour le dimensionnement, en particulier pour l'étude de la flexion transversale.
1er cas : sur la voie réelle de droite 2e cas : sur la voie conventionnelle accolée au dispositif de sécurité
Fig./Tab. An. IV (1) : Implantation de la voie lente et des charges de fatigue
Dans le premier cas, l'ajout d'une voie de circulation par suppression de la BAU est considéré comme improbable. Le passage des charges de fatigue ne produit donc aucun effort et aucun dommage par fatigue dans la section d'encastrement. A l'inverse, dans le deuxième cas, le choix d'anticiper le passage éventuel de l'autoroute à 3 voies par sens de circulation, crée une voie lente future accolée à la longrine de la barrière BN4. La justification à la fatigue devient dans ce cas un critère de dimensionnement important pour l'encorbellement.
OMM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2. Méthode générale
Cette procédure de vérification des armatures est définie par la clause [EC2-1-1 6.8.4]. Elle consiste à faire un calcul d'endommagement à partir de cycles d'étendues de contrainte et utilise les courbes de résistance à la fatigue S-N des armatures.
2.1. Détermination des cycles et étendues de contrainte
L'étude à la fatigue d'un ouvrage nécessite d'une part la connaissance des caractéristiques du trafic poids-lourds qui l'emprunte et d'autre part les effets de ce trafic sur l'ouvrage, traduits en terme de contrainte de traction dans les armatures susceptibles d'être touchées par la fatigue. Le trafic est connu soit suite à des enregistrements de trafic réel, soit suite à une modélisation de ce trafic, en se basant sur d'autres trafics similaires connus. La détermination des étendues de contrainte est établie à partir des courbes donnant l'évolution de la contrainte de traction dans les armatures étudiées pendant le passage des camions sur l'ouvrage. Le passage de chaque camion sur l'ouvrage donne lieu à des variations de contrainte qui peuvent présenter différentes étendues. Pour chaque camion, les étendues s1 , s2 , ... sj ,... peuvent être obtenues en appliquant la méthode du "réservoir".
Fig./Tab. An. IV (2) : Application de la méthode du "réservoir"
Il faut ensuite analyser, classer les différentes étendues de contraintes par famille de valeurs si et déterminer leur fréquence d'occurence. Le résultat conduit à un spectre des étendues de contrainte [(si ; ni )i], schématisé par le graphique suivant. (ni : nombre d'occurrence dans chaque famille, encore appelé nombre de cycles).
Fig./Tab. An. IV (3) : Spectre des étendues de contrainte
OMN= Annexe IV - Justification à la fatigue
2.2. Nombre de cycles à la rupture - Endommagement
Le nombre de cycles Ni(si) pour une étendue de contrainte si, provoquant la rupture des armatures par fatigue, est donnée par les courbes S-N [EC2-1-1 6.8.4(1)]. Ce sont des résultats d'essais dépendant de nombreux facteurs. Aussi de nombreux cas types sont étudiés de manière extensive pour fournir aux projeteurs les données pratiques utilisables pour une justification. Représentée en échelle logarithmique la courbe type de s en fonction de N peut être considérée comme constituée de deux demi-droites de pentes 1/k1 et 1/k2. La position des demi-droites est fixée par l'étendue de contrainte Rsk correspondant à un nombre de cycles particulier N* choisi pour les essais. Quelques courbes utiles pour les projets, correspondant à différents types d'armatures et conditions de mise en oeuvre, ont ainsi été étudiées et ont leurs paramètres définis dans les tableaux [EC2-1-1 Tab.6.3N] et [EC2-1-1 Tab.6.4N], et reproduits ci-dessous.
Fig./Tab. An. IV (4) : Courbe S-N des armatures Exposant de la contrainte k1 5 3 3 k2 9 5 5 Rsk (MPa) pour N* cycles fixé par A.N(1) 58,5 35
Type d'armatures Barres droites Barres soudées et treillis soudés Dispositifs de couplage
(1)
N* 106 107 107
L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 donne les valeurs suivantes : - Rsk = 210MPa pour 16 mm - Rsk = 160MPa pour = 40 mm - interpolation linéaire pour des diamètres 16 mm < < 40 mm Fig./Tab. An. IV (5) : Paramètres des courbes S-N pour les armatures de béton armé Exposant de la contrainte k1 5 k2 9 Rsk (MPa) pour N* cycles 185
Armatures de précontrainte Précontrainte par pré-tension Précontrainte par post-tension : monotorons dans gaine en matière plastique armatures de précontrainte droite ou armatures de précontrainte courbes dans gaine en matière plastique armatures de précontrainte courbes dans gaine en acier dispositif de couplage
N* 106
106 106 106 106
3 3 3 5
9 10 7 5
185 150 120 80
Fig./Tab. An. IV (6) : Paramètres des courbes S-N pour les armatures de précontrainte
OMO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.3. Critère de vérification
Par définition des courbes S-N, la rupture par fatigue se produit pour une valeur si donnée, si le nombre de cycles d'étendues de contrainte appliqué ni atteint la valeur Ni qui lui est associé. L'état de fatigue des armatures peut donc être caractérisé par la notion d'endommagement DEd = n/N qui doit rester inférieur à 1 si on veut éviter leur rupture. Dans l'utilisation des courbes S-N il convient d'appliquer au matériau, et donc à l'étendue de contrainte "limite" Rsk, un coefficient partiel S,fat = 1,15 défini par la clause [EC2-1-1 2.4.2.4]. Dans un cas simple, avec une étendue de contrainte constante s, il s'agit simplement de vérifier : n N, N étant le nombre de cycle à la rupture correspondant à s. Dans un cas plus général, avec des variations de contrainte d'étendues différentes, l'endommagement global est calculé en appliquant la règle de cumul des endommagements de Palmgren-Miner, DEd,i étant l'endommagement produit par les ni cycles de chaque étendue si : DEd,i = ni/Ni . Le critère de vérification dans un cas général s'écrit alors :
D Ed =
D
Ed ,i
=
N
ni
i
1
Il faut donc calculer pour chaque si du spectre d'étendues de contrainte, en tenant compte de S,fat , la valeur Ni correspondante pour calculer l'endommagement causé par ni cycles d'application de si . Les expressions de N en fonction de s s'obtiennent aisément à partir des équations des demi-droites : Rsk si s S ,fat Rsk si s S ,fat log( s ) - log Rsk S ,fat log Rsk S,fat 1 = log N * - log N k1
(
)
)
1 Rsk N=N S ,fat s
*
k1
- log( s ) = 1 log N - log N * k2
(
1 Rsk N=N S ,fat s
*
k2
2.4. Autre formulation du critère de vérification
Dans le cas où toutes les étendues de contrainte sont limitées par s < Rsk / S,fat , ce qui se traduit par un positionnement sur la seule demi-droite de pente 1/k2, seule la deuxième expression de N est à utiliser.
L'endommagement DEd pour des armatures soumises à un spectre d'étendues de contrainte [(si ; ni )i] peut alors se calculer par la relation explicite suivante :
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
×
k2
n ( )
i si i
k2
2.5. Modèle de charge de fatigue
Pour l'application de la méthode générale la clause [EC1-2 4.6] propose les deux modèles de charges de fatigue FLM4 et FLM5. Le modèle FLM5, le plus général, consiste à utiliser des données de trafic réel et nécessite l'emploi de logiciels élaborés appropriés ; il ne sera donc pas abordé ici. Le modèle FLM4, constitué d'un ensemble de 5 camions standards produisant des effets équivalents à ceux d'un trafic typique des routes européennes, est plus accessible pour une vérification standard de projet.
OMP= Annexe IV - Justification à la fatigue
Il est décrit par le tableau [EC1-2 Tab.4.7] :
Camion type n°i Espacement des essieux (m)
4,50 4,20 1,30 3,20 5,20 1,30 1,30 3,40 6,00 1,80 4,80 3,60 4,40 1,30
i
1 2 3 4 5
Charge (en kN) 200 310 490 390 450
Charges d'essieu équivalentes (kN)
70 130 70 120 120 70 150 90 90 90 70 140 90 90 70 130 90 80 80
Proportion des camions pi (en %) en fonction du type de trafic
Longues distances Distances moyennes Trafic local
20 5 50 15 10
40 10 30 15 5
80 5 5 5 5
Fig./Tab. An. IV (7) : Camions du modèle de charges de fatigue FLM4
"Chaque camion standard est supposé parcourir l'ouvrage en l'absence de tout autre véhicule." [EC1-2 4.6.5(3)].
Dans la réalité, en fonction de la géométrie de l'ouvrage, la présence simultanée de plusieurs camions sur l'ouvrage est envisageable. Pour obtenir un spectre complet, il est alors nécessaire de considérer des convois de plusieurs camions. Les étendues de contrainte dues à chaque convoi vont alors dépendre des différents types de camions constituant ce convoi et de la distance entre les véhicules. La clause [EC1-2 4.6 (2) note 2] indique que lorsque la présence simultanée de plusieurs camions sur le pont ne peut être négligée, il convient de n'utiliser le modèle FLM4 que complété par des données supplémentaires, spécifiées dans l'annexe nationale. D'après l'annexe nationale, ces données supplémentaires (distance entre véhicules sur une même voie, densité du trafic sur les différentes voies lentes) sont alors à préciser, pour chaque projet individuel, dans le marché. Dans la pratique, l'hypothèse qui consiste à ne considérer qu'un seul camion est valable sur des ouvrages ou des éléments de dimensions faibles ou moyennes (30 m).
Pour les ouvrages de grandes dimensions, l'accumulation de camions sur une même travée donne des variations de contrainte plus fortes que le passage d'un seul camion. Pour des travées de longueur moyenne (< 30 m), avec des longueur de camions du modèle FLM4 variant de 5,00 à 15,00 m, cette différence est moins marquée. Par ailleurs, la probabilité d'occurrence d'avoir plusieurs camions sur une même travée devient faible.
2.6. Détermination des nombres de cycles
Le passage de chaque camion de type i donne les étendues de contrainte : si,1 , si,2 , ... si,j ,... Le nombre de cycles de chaque étendue si,j est le nombre ni de camions de type i passant sur l'ouvrage, pendant toute sa durée d'utilisation. Ce nombre est obtenu par multiplication des données suivantes : - Nobs : trafic annuel des poids lourds - pi : proportion des camions de type i dans le trafic PL - Nyears : durée d'utilisation de projet Le nombre total de camions de type i et de cycles d'étendue si,j est donc ni = pi × Nobs × Nyears .
OMQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Le spectre de variation de contrainte peut donc s'exprimer sous la forme [[(si,j ; ni )j] i= 1 à 5]. La durée d'utilisation de projet Nyears est définie par le maître d'ouvrage. Elle est couramment prise entre 70 et 120 ans. La proportion pi des différents types de camion peut être déterminée à partir du tableau précédent, conforme au tableau [EC1-2 Tab.4.7], à partir du type de trafic. Le nombre de véhicule par an et par voie lente Nobs peut être déterminé à partir du tableau suivant, conforme au tableau [EC1-2 Tab.4.5], en fonction de la catégorie de trafic.
Catégories de trafic 1 2 3 4 Routes et autoroutes à 2 voies ou plus dans chaque sens, avec un trafic de camions élevé Routes et autoroutes avec un trafic de camions moyen Routes principales avec un faible trafic de camions Routes locales avec un faible trafic de camions Nobs par an et par voie lente 2,0 × 106 0,5 × 106 0,125 × 106 0,05 × 106
Fig./Tab. An. IV (8) : Nombre indicatif de véhicules lourds par an et par voie lente
Le type de trafic (trafic local, distances moyennes, longues distances) et la catégorie de trafic ne sont pas liées. En effet une route principale de type "longues distances" avec un faible trafic de camions est en catégorie 3 de trafic. A l'inverse, une voie urbaine à 2 × 2 voies supportant un fort trafic de poids lourds constitué essentiellement de camions à 2 essieux (20 T) a un trafic de catégorie 1 et de type "trafic local".
La catégorie de trafic ne doit pas non plus être confondue avec la classe de chargement des ponts routiers définie dans la clause [EC1-2 4.2.2]. En effet, indépendamment de la catégorie de trafic, la plupart des ouvrages seront dimensionnés avec un chargement de 2e classe. Les ouvrages supportant un trafic de catégorie 4 pourront éventuellement supporter un chargement de 3e classe.
2.7. Calcul de l'endommagement
Avec l'utilisation du modèle FLM4 et donc un spectre d'étendues de contrainte limité [[(si,j ; ni )j] i = 1 à 5], le calcul de l'endommagement se résume, si les étendues de contrainte sont suffisamment faibles, à l'application de l'expression suivante : (avec ni = pi × Nobs × Nyears) D Ed N obs × N years S ,fat = × N* Rsk ×
k2
p ( )
i si , j i, j
k2
3. Méthode "équivalente" de vérification des armatures
L'Eurocode 2 propose également une méthode "équivalente", à partir du modèle de charge de fatigue FLM3 simplifié constitué d'un seul camion, reproduisant les effets d'un trafic représentatif des routes européennes. La méthode est décrite dans la clause [EC2-1-1 6.8.5] et l'annexe [EC2-2 Anx.NN]. Le modèle de charge de fatigue FLM3 décrit dans la clause [EC1-2 4.6.4] est constitué d'un camion de quatre essieux, chacun d'un poids de 120 kN.
Fig./Tab. An. IV (9) : Modèle de charge de fatigue FLM3
OMR= Annexe IV - Justification à la fatigue
Il s'agit de vérifier directement la résistance des armatures à la fatigue, à partir d'une étendue de contrainte équivalente s ,equ = s × s , EC , avec : - s,EC = s,max - s,min est l'étendue de contrainte maximale due au passage du camion du modèle FLM3 calculée en déterminant les positions défavorable (donnant s,max) et favorable(donnant s,min) du camion sur l'ouvrage ; - s : coefficient d'endommagement équivalent à déterminer à partir de l'annexe [EC2-1-1 Anx.NN]. La détermination de ce coefficient sera illustrée plus simplement dans les applications numériques. Le critère de vérification à la fatigue est alors : s ,equ
Calibrage de la méthode Le paramètre s a été calibré de manière à obtenir une équivalence, vis-à-vis de l'endommagement, entre le nombre N* de cycles d'une étendue de contrainte s ,equ = s × s , EC et un spectre [(i ; ni )i] dû à un trafic routier type. L'expression générale de l'endommagement est donnée par la relation :
Rsk S ,fat
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
×
k2
k2
n ( )
i si i
k2
En remplaçant le spectre [(i ; ni )i] par (s,equ ; N* ), la relation devient :
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
N s,equ
*
(
)
k2
s,equ = S ,fat Rsk
k2
La condition DEd 1 est alors équivalente à :
s ,equ
Rsk S ,fat
Le coefficient d'ajustement s a été calibré, à partir de mesures de trafic et de calcul sur différents types d'ouvrages (flexion longitudinale) ou d'éléments (flexion transversale) et à partir des relations :
s =
s ,equ s ,EC
et
s ,equ = k 2
1 × N*
n ( )
i si i
k2
(équivalence des endommagements)
Le calibrage du coefficient s a été établi à partir de calcul de variation de moment, en admettant l'hypothèse d'une relation linéaire entre les variations de contrainte et les variations de moments. Dans les cas où cette hypothèse n'est pas vérifiée, la méthode s'avère toutefois sécuritaire.
4. Méthode alternative simplifiée pour les armatures passives
La clause [EC2-1-1 6.8.6] propose une règle simplifiée de vérification de la résistance à la fatigue des armatures de béton armé. Il suffit de vérifier que l'étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente associée à la combinaison de base est telle que [EC2-1-1/AN 6.8.6(1)] : - s 100 MPa - s 35 MPa pour les barres d'armatures non soudées pour les barres d'armatures soudées
La combinaison de fatigue utilisée pourra être dans la plupart des cas la combinaison fréquente faisant intervenir le modèle de charge principal LM1 : Cfat = C0 + QLM1,Fréq.
OMS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'enveloppe des moments dus au modèle de charge LM1 fréquent donne les valeurs extrêmes des efforts permettant de calculer l'étendue de contrainte s = s,max(No ; Mo + MLM1,Fréq,déf ) s,min(No ; Mo + MLM1,Fréq,fav )
5. Justification d'un PSIDP en flexion longitudinale
5.1. Données
5.1.a) Projet
En théorie, chaque section du PSIDP est à vérifier à la fatigue. Dans l'exemple suivant, la vérification se limitera aux armatures de béton armé et de précontrainte des sections sur appui et à mi-travée. La précontrainte longitudinale est constituée de 15 câbles 12T15S. Le ferraillage passif est constitué de 23HA20, soit une section de 72,25 cm², en partie supérieure de la section sur appui, et en partie inférieure de la section à mi-travée.
(voir caractéristique de l'exemple en [Annexe I]) Fig./Tab. An. IV (10) : Coupe longitudinale du PSIDP
Fig./Tab. An. IV (11) : Section à mi-travée
Fig./Tab. An. IV (12) : Section sur appui
5.1.b) Hypothèses de trafic Durée d'utilisation
L'hypothèse d'une autoroute à 2 × 2 voies avec un trafic de poids lourds élevé est adoptée. Ce trafic est caractérisé par : - trafic de catégorie 2 : Nobs = 2,0 × 106 camions par an sur la voie lente - trafic de type "longue distance" avec une répartition des différents camions types dans les proportions suivantes : p1 = 20 % ; p2 = 5 % ; p3 = 50 % ; p4 = 15 % ; p5 = 10 % La durée d'utilisation de projet de l'ouvrage est Nyears = 100 ans.
OMT= Annexe IV - Justification à la fatigue
5.1.a) Caractéristiques des matériaux
Les valeurs des paramètres des courbes S-N sont données par les tableaux [EC2-1-1 6.8.4 Tab.6.3N] et [EC2-1-1 6.8.4 Tab.6.4N] : - coefficient partiel pour l'acier : S,fat = 1,15 ; - aciers passifs : - précontrainte : k2 = 9 k2 = 7 N* = 106 N* = 106 Rsk = = 202 MPa Rsk = 120 MPa Pour = 20 mm , RSk = 210 50×( 16)/(40 16) = 202 MPa
5.1.d) Combinaison de base
Cette combinaison s'écrit : C0 = Gmax + Pk,inf + 0,6. Pour la précontrainte par post-tension avec armatures adhérentes Pk,inf = rinf × Pm, , avec rinf = 0,90. Les actions permanentes sont combinées avec la valeur fréquente du gradient thermique, soit 60 % de la valeur caractéristique. Pour la section à mi-travée, c'est le gradient thermique tendant la fibre inférieure qui est défavorable, et pour la section sur appui un gradient thermique tendant la fibre supérieure. Ce qui donne les résultats suivants (les tractions des armatures sont données en valeur absolue) :
Section à mi-travée : Section sur appui :
C 0 = G max + 0,9 Pm , + 0,6 TM ,heat Efforts : N0 M0 c,sup P s = 29,95 MN = 3,54 MN.m = 6,30 MPa = 1109 MPa aciers passifs comprimés Efforts :
C 0 = G max + 0,9 Pm , + 0,6 TM ,Cool N0 M0 c,inf P s = 29,95 MN = -2,90 MN.m = 6,53 MPa = 1109 MPa aciers passifs comprimés
Etat de la section :
Etat de la section :
5.2. Application de la méthode générale
5.2.a) Application des charges de fatigue
Dans le cas de cet ouvrage de dimensions moyennes, il est admis que la présence simultanée de plusieurs camions sur l'ouvrage peut être négligée. Le modèle FLM4 qui suppose que chaque camion parcourt l'ouvrage en absence de tout autre véhicule [EC1-2 4.6.5 (3)] est donc bien adapté pour évaluer les étendues de contrainte. La voie lente est implantée sur la voie conventionnelle accolée à la longrine de la barrière BN4 (BAU), conformément à la figure suivante. La note [EC1-2 4.6.1 Note 1] propose d'ajouter 10 % de Nobs pour chaque voie rapide.
OMU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (13) : Implantation des charges de fatigue sur les voies
Les coefficients de répartition transversale sont les suivants :
Travée 1 ou 3 camion dans l'axe de la voie lente camion sur l'axe de la voie rapide 1 camion sur l'axe de la voie rapide 2 1,42 1,07 1,13 Travée 2 1,24 1,04 1,09
Pour simplifier la suite de l'application numérique, le trafic des poids lourds sur les voies rapides n'est pas pris en compte. Au regard des coefficients transversaux, le moment dû à un camion centré sur les voies rapides représente environ 80 % du moment dû à un camion centré sur la voie lente. Dans le cas présent, la prise en compte du trafic poids lourds sur les voies rapides n'a que très peu d'influence sur la justification à la fatigue. Les figures suivantes montrent la variation du moment fléchissant en fonction de la position longitudinale des différents camions circulant sur la voie lente (coefficient de répartition transversale inclus).
Fig./Tab. An. IV (14) : Section à mi-travée - variation du moment due au passage des camions sur la voie lente
OMV= Annexe IV - Justification à la fatigue
Fig./Tab. An. IV (15) : Section sur appui P1 - variation du moment due au passage des camions sur la voie lente
Les variations des efforts dues au passage des camions sont combinées avec les efforts correspondant à l'état de référence. Les courbes montrant l'évolution du moment global Mfat pendant le passage des camions sont les mêmes que les courbes précédentes, à une translation près (suivant un axe vertical) ; Mfat = M0 + MQfat L'effort normal reste constant : N = N0 = 29,95 MN. Le tableau suivant donne les valeurs extrêmes du moment MQfat dû aux charges de fatigue et du moment global Mfat
MQfat (en MN.m) à mi-travée sur appui Max Min Max Min Camion 1 MQfat 0,910 -0,135 0,117 -0,613 Mfat 4,447 3,402 -2,786 -3,517 Camion 2 MQfat 1,429 -0,210 0,183 -0,953 Mfat 4,966 3,327 -2,721 -3,856 Camion 3 MQfat 1,749 -0,278 0,242 -1,385 Mfat 5,286 3,259 -2,662 -4,289 Camion 4 MQfat 1,345 -0,211 0,184 -1,079 Mfat 4,882 3,326 -2,720 -3,983 Camion 5 MQfat 1,457 -0,221 0,192 -1,195 Mfat 4,994 3,316 -2,711 -4,099
Fig./Tab. An. IV (16) : Valeurs extrêmes des moments MQfat et Mfat
5.2.b) Calcul des contraintes étendues de contrainte
Il s'agit d'évaluer l'évolution des contraintes dans les armatures des sections soumises aux efforts : - N0 - Mfat = M0 + MQfat Le calcul de contrainte est effectué à partir de l'état de référence à vide de l'ouvrage avec une contrainte de départ minimale dans la fibre de béton étudiée. Les variations de contrainte produites par la charge de fatigue sont déterminées ensuite conformément au [Chapitre 3 -3.1.4.b)]. Les diagrammes suivants montrent l'évolution, en fonction du moment fléchissant MQ dû aux surcharges, de la traction dans les aciers passifs, des sur-tensions des armatures de précontrainte et de la contrainte dans le béton en fibre supérieure (mi-travée) et inférieure (appui), pour une section soumise à l'effort normal N0 et au moment fléchissant M0 + MQ.
ONM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (17) : Section à mi-travée
Fig./Tab. An. IV (18) : Section sur appui
Ces diagrammes montrent l'importance de la définition d'un état de base dans la combinaison de fatigue. Les relations entre les contraintes et le moment ne sont pas linéaires. La variation de moment due au passage d'un camion donne une variation de contrainte dépendant de l'état "à vide".
Pour la section sur appui, les contraintes de traction dans les aciers passifs supérieurs apparaissent pour des moments MQ inférieurs à 3,20 MN.m. Le graphique [Fig./Tab. An.IV (15)] montre que le moment MQfat reste supérieur à cette valeur. La section sur appui reste donc entièrement comprimée sous le passage des charges de fatigue du modèle FLM4. Il n'y a aucune fatigue pour les armatures de la section sur appui. Dans le cas de la section à mi-travée, la courbe [Fig./Tab. An.IV (17)] montre l'apparition de traction dans les aciers passifs du lit inférieur pour des moments MQ supérieurs à 0,910 MN.m.
ONN= Annexe IV - Justification à la fatigue
(en MPa) s P* Max Min Max Min
Camion 1 0,281 comprimé 3,779 0,000
Camion 2 3,722 comprimé 6,618 0,000
Camion 3 6,276 comprimé 8,741 0,000
Camion 4 3,113 comprimé 6,114 0,000
Camion 5 3,936 comprimé 6,796 0,000
* sur-tension des armatures de précontrainte Fig./Tab. An. IV (19) : Section à mi-travée Contraintes extrêmes
Ce tableau donne les contraintes extrêmes et donc l'étendue de contrainte maximale max = max - min. Les courbes de la figure [Fig./Tab. An.IV (14)], montrent que le passage de chaque camion engendre une variation de contrainte simple (un seul pic). En effet, la décompression de la zone d'enrobage n'apparaît que pour des moments dépassant 0,910 MN.m. Seules les parties des courbes situées au-dessus de cette valeur, créent de la traction dans les armatures comme le montre la figure suivante.
Fig./Tab. An. IV (20) : MQ > 0,910 MN.m
Le passage de chaque camion de type i ne produira donc qu'une seule étendue de contrainte : - pour les aciers passifs : s,i = s,max,i - pour la précontrainte : (P,i) = (P,max,i ) (variation de la sur-tension)
Pour tenir compte de la différence de comportement vis-à-vis de l'adhérence, entre armatures de béton armé et armatures de précontrainte, un coefficient de majoration est appliqué à la variation de contrainte des aciers passifs, conformément à la clause [EC2-1-1 6.8.2(2)]. Le calcul de est effectué à partir des valeurs suivantes : - As = 72,26 cm² s = 20 mm ; P = 1,6 A P,câble = 67,88 mm ;
- AP = 15×AP,câble = 270 cm²
- = 0,50 (Tableau [EC2-1-1 Tab.6.2] : post-tension, torons, béton C50/60) On obtient ainsi = As + A P =1,95 As +A P (s / P )
ONO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les étendues de contrainte appliquées aux armatures de la section à mi-travée sont déterminées à partir de la relation contrainte-moment correspondante des armatures représentée dans la figure [Fig./Tab. An.IV (17)] :
Type de camion i s,i = ×s,max,i (P,i ) 1 0,546 3,779 2 7,242 6,618 3 12,213 8,741 4 6,058 6,114 5 7,659 6,796
Fig./Tab. An. IV (21) : Etendues de contrainte (en MPa)
5.2.c) Calcul de l'endommagement
Les étendues de contrainte se situent toutes sur la demi-droite de pente 1/k2 de la courbe S-N, l'endommagement peut donc être calculé à partir de l'expression déterminée précédemment : D ed = N obs × N years N
*
S ,fat × Rsk
k2
×
p ( )
i si , j i, j
k2
Type de camion i
1 k2 / pi 9 7 20 % 8,69 × .10-4 2,20 × 103
2 5% 2,74 × 106 2,78 × 104
3 50 % 3,02 × 109 1,95 × 106
4 15 % 1,65 × 106 4,79 × 104
5 10 % 9,07 × 106 6,69 × 104
p ( )
i si
k2
p i ( si )
k2
Aciers passifs Précontrainte
3,04 × 109 2,09 × 106
Fig./Tab. An. IV (22) : Détail des calculs d'endommagement
Les résultats sont les suivants : - aciers passifs : - précontrainte : DEd = 3,82 × 10-9 < 1 DEd = 3,11 × 10-6 < 1
La résistance des armatures à la fatigue est donc vérifiée.
Contrainte moyenne - Contrainte limite Avec des valeurs d'endommagement quasiment nulles, les armatures semblent ne subir aucun préjudice dû à la fatigue. Cependant l'endommagement est une fonction exponentielle des étendues de contrainte i . On conseille donc de calculer le paramètre :
k2
D Ed = k 2
N obs × N years N*
k2
×
S ,fat Rsk
k2
× k2
p ( )
i si , j i, j
k2
L'expression
pi(si, j ) i, j
s'apparente à une étendue de contrainte "moyenne"
La condition DEd < 1 ou
moy < Rsk S ,fat × K
k2
D Ed < 1 revient alors à la vérification
avec
K = k2
Nobs × N years N*
et
moy = k 2 pi si, j
i, j
(
)
k2
Le paramètre k 2 D Ed peut donc être considéré comme le rapport entre une étendue de contrainte moyenne et une étendue de contrainte limite. Ce paramètre est donc plus simple à interpréter que l'endommagement DEd.
ONP= Annexe IV - Justification à la fatigue
Les résultats sont les suivants : Aciers passifs : Précontrainte :
9 7
D Ed = 0,116 < 1 D Ed = 0,163 < 1
k2
Le sécurité vis-à-vis de la résistance à la fatigue reste confortable. Cependant le paramètre donne des valeurs plus perceptibles par le projeteur (15%) que DEd (10-8). Les tableaux suivants montrent la variation de
k2
D Ed
D Ed en fonction de DEd.
Lorsque la vérification à la fatigue sera satisfaisante, les valeurs de DEd seront souvent très faibles. Un endommagement de 1 % des aciers passifs correspond à 9 D Ed = 60% de l'étendue de contrainte admissible. La section est alors plus proche de l'état limite ultime de fatigue que ne le laisse paraître la valeur de l'endommagement.
Figure :
k2
D Ed en fonction de D Ed < 1
Lorsque la vérification n'est pas satisfaisante, l'endommagement prend rapidement des valeurs importantes. Un endommagement de 5,0 des aciers passifs, correspond à 9 D Ed = 1,20. Il suffit alors d'augmenter la section des aciers passifs de l'ordre de 20 %, pour obtenir une diminution des contraintes du même ordre, et des valeurs d'endommagement proche de 1,0.
Figure :
k2
D Ed en fonction de DEd >1
ONQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
5.3. Application de la méthode "équivalente"
5.3.a) Application des charges de fatigue
La charge de fatigue Qfat est dans ce cas le camion du modèle FLM3. Conformément à la clause [EC2-2 Anx.NN.2.1(101)], les charges d'essieu du modèle doivent être pondérées par les coefficients suivants : - 1,75 pour une vérification des sections sur appuis intermédiaires des ponts continus, - 1,40 pour toutes les autres sections.
Il est important que ce coefficient de pondération soit appliqué à la charge, et donc aux efforts sollicitant la section, la relation entre les variations de contrainte et les variations de moments n'étant pas linéaire. Les figures [0] ou [0] montrent que la variation de contrainte s(Q×M) est supérieure à Q×s(M) (Q = 1,40 ou 1,75).
La figure suivante montre la courbe de variation des moments MQfat= Q×MFLM3, au niveau de la section sur appui et à mi-travée, pendant le passage du camion FLM3 dans l'axe de la voie lente (coefficient de répartition inclus) :
Fig./Tab. An. IV (23) : Variation du moment MQfat
5.3.b) Etendue de contrainte EC
Sous combinaison de fatigue, les efforts suivants sont donc appliqués aux sections :
· ·
No = 29,95 MN Mfat = Mo + Q×MFLM3 - Section sur appui : - Section à mi-travée : avec pour Mo = -2,90 MN.m ; Mo = 3,54 MN.m ; s,0 = comprimé s,0 = comprimé Q = 1,75 Q = 1,40
Pour la section sur appui, les contraintes de traction dans les aciers passifs supérieurs apparaissent pour un moments MQfat inférieur à 3,20 MN.m (application de la méthode générale).
ONR= Annexe IV - Justification à la fatigue
La figure précédente montre que le moment MQfat reste supérieur à cette valeur. Comme dans la méthode précédente, la section sur appui reste donc entièrement comprimée sous le passage du camion FLM3. Dans le cas de la section à mi-travée, les contraintes dans les aciers passifs inférieurs apparaissent pour un moment MQfat supérieur à 0,910 MN.m. Les contraintes extrêmes sont calculées avec les sollicitations suivantes : - No = 29,95 MN - MQfat,min = -0,39 MN.m - MQfat,max = 2,40 MN.m Mfat,max = 5,94 MN.m s,min = faible compression ; P,min 0 s,max = 12,72 MPa ; P,max = 14,13 MPa.
Les étendues de contrainte sont les suivantes : - aciers passifs : - précontrainte : s,EC = ×(s,max s,min) = 24,80 MPa ; P,EC = P,max P,min = 14,13 MPa ; (avec = 1,95)
Ici, pour simplifier, la faible contrainte de compression minimale a été prise égale à zéro.
5.3.c) Coefficient d'ajustement s
L'annexe [EC2-2 Anx.NN] permet de calculer la valeur de s à partir de la détermination de 5 coefficients et de l'expression s = s,1× s,2× s,3× s,4× fat . Chacun de ces coefficients permet de corriger l'étendue de contrainte EC pour tenir compte des différents paramètres.
(i) Coefficient s,1
Ce coefficient tient compte du type d'ouvrage ou d'élément et de l'effet préjudiciable du volume de trafic en fonction de la longueur critique de la ligne ou de la surface d'influence. Les valeurs de s,1 sont obtenues à partir des abaques des figures NN.1 et NN.2 de l'annexe NN. Pour la section sur appui, les valeurs doivent être lues sur l'abaque NN.1. Cependant, cette section, comme vu précédemment, ne subit aucun endommagement. Pour la section à mi-travée, l'abaque NN.2 donne les valeurs de s,1. La longueur de la ligne d'influence, en abscisse de l'abaque, doit être considérée comme la longueur de travée, dans le cas d'un tablier continu avec plusieurs travées identiques.
Le coefficient s,1 a été calibré sur plusieurs type de structures, notamment sur des ouvrages continus à 3 travées de longueur l variant entre 10 et 90 m. Cette longueur l est définie comme la "longueur de la ligne d'influence" par l'annexe [EC2-2 Anx.NN]. Dans le cas d'un ouvrage ayant des travées de longueurs différentes, les règles suivantes sont adoptées : - vérification d'une section en travée : longueur de la travée - vérification d'une section sur appui : moyenne des longueurs l = (l i-1 + l i )/2
Pour la vérification de la section à mi-travée, la longueur est donc l = 27,00 m. La lecture des coefficients s,1 s'effectue sur les courbes concernant les poutres continues (indice a) : - 3a) aciers de béton armé (k2 = 9) - 2a) armatures de précontrainte courbes dans gaines en acier (k2 = 7) s,1 = 1,18 s,1 = 1,35
ONS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
(ii) Coefficient s,2
Ce coefficient tient compte du volume de trafic. Dans l'exemple considéré, les hypothèses de trafic correspondent aux hypothèses de base de la méthode "équivalente", c'est-à-dire un trafic de catégorie 2 (Nobs = 2,0.106) et type longue distance (Q = 1,0). On a donc : s,2 =1,00
Dans l'utilisation de l'expression [EC2-2 Anx.NN Expr.(NN.103)], le volume de trafic est exprimé en million de camions. Le calcul est effectué avec Nobs = 2,0 millions.
(iii) Coefficient s,3
Ce coefficient tient compte de la durée d'utilisation de projet du pont. Dans l'exemple considéré, Nyears = 100 ans, est l'hypothèse de base de la méthode "équivalente". s,3 =1,00
(iv) Coefficient s,4
Ce coefficient tient compte de l'influence éventuelle du trafic des poids lourds sur des voies autres que la voie lente principale. Dans l'application de la méthode générale, nous avons négligés l'impact d'un trafic poids lourd sur la première voie rapide, d'un volume 10 % de Nobs, a été négligé. La prise en compte de ce trafic donnerais un coefficient s,4 1,01. On adoptera : s,4 =1,00
(v) Coefficient fat
La clause [EC1-2 4.6.1(6)] indique que "les modèles de charge de fatigue 1 à 4 tiennent compte d'une majoration dynamique correspondant à une bonne qualité de revêtement", c'est-à-dire qu'une valeur de fat égale à 1,20 est supposée déjà incluse (c'est l'hypothèse adoptée pour l'exemple). Pour une rugosité du revêtement de qualité différente une correction doit être introduite au prorata. En conclusion, pour les aciers passifs pour les armatures de précontrainte s =1,18 s =1,35
5.3.d) Critère de vérification
Il s'agit de vérifier la condition s ,equ = s × s ,EC - aciers passifs : - précontrainte : s,equ = 29,26 MPa P,equ = 19,08 MPa Rsk S ,fat 176,00 MPa (Rsk = 202 MPa) 104,30 MPa (Rsk = 120 MPa)
5.4. Comparaison des deux méthodes
Afin de comparer les deux méthodes sur l'exemple du PSIDP, dans les deux cas, l'étendue de contrainte limite Rsk / s,fat peut être prise comme référence. Dans la méthode générale, la vérification peut s'écrire sous la forme : K × moy s ,equ Rsk S ,fat
Pour la "méthode équivalente" :
Rsk S ,fat
ONT= Annexe IV - Justification à la fatigue
On peut ainsi comparer les rapports entre l'étendue de contrainte calculée et l'étendue de contrainte limite. Dans le premier cas, ce rapport est donné par le paramètre k 2 D Ed , tandis que dans le deuxième cas, il est donné par l'expression : s,fat ×s,equ / Rsk
k2
D Ed
S ,fat × s ,equ / Rsk
16,7 % 18,3 %
Acier passifs Précontrainte
11,6 % 16,3 %
Fig./Tab. An. IV (24) : Comparaison des méthodes
Dans ce cas, la "méthode équivalente" est donc sécuritaire. La différence entre les deux méthodes s'explique par le fait que, pour des sections en béton précontraint, sollicitées en flexion composée, l'hypothèse de base de la "méthode équivalente" (la linéarité de la relation entre les variations de contrainte et de moment) n'est pas vérifiée.
5.5. Application de la méthode "simplifiée"
Il s'agit de vérifier s < 100 MPa , sous la combinaison de fatigue Cfat = C0 + QLM1,Fréqu . Pour le calcul des effets du modèle de charge LM1 fréquent, les coefficients sont les suivants : - Charges (2e classe) : Q1 = 0,9 ; Q2 = Q3 = 0,8 ; q1 = 0,7 ; q2 = q3 = qr = 1,0 ; - Combinaison : MLM1,Fréqu = 0,75× MTS + 0,40×MUDL
No (MN) Section sur appui Section à mi-travée déf fav déf fav 29,95 29,95 29,95 29,95 Mo (MN.m) -2,90 3,54 MLM1,Fréqu -3,37 0,53 4,77 -0,72 Mfat -6,27 2,37 8,31 2,82 s (MPa) 0,966 0,000 54,76 0,000 s * 1,88 106,78
s = ×(s,max s,min) avec = 1,95 Fig./Tab. An. IV (25) : Calcul de l'étendue de contrainte
Les armatures passives de la section à mi-travée ne vérifient pas le critère demandé. Les deux autres méthodes montraient pourtant une marge importante par rapport à la limite. Cette méthode simplifiée apparaît donc très sécuritaire.
6. Justification d'un encorbellement en béton armé
6.1. Données
6.1.a) Projet
Dans l'exemple suivant, la section d'encastrement de l'encorbellement de l'ouvrage en béton précontraint construit par encorbellements successifs est considérée. Il s'agit ici d'une section en béton armé pour laquelle les aciers passifs sont vérifiés à la fatigue.
ONU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (26) : Coupe transversale de l'encorbellement
6.1.b) Application du critère de dispense de justification à la fatigue
Il est légitime dans ce cas, de se poser la question si l'application du critère i) [Chapitre 6-5] aurait permis de se dispenser de la justification à la fatigue. Ce critère exige que les contraintes de traction dans les armatures de l'encorbellement ne dépassent pas la limite de 300 MPa sous combinaison caractéristique d'actions. Compte tenu des données du projet, le calcul des moments sollicitants donne : MELS,carac = 138,0 kN.m/m MELU = 187,2 kN.m/m En limitant la contrainte dans les aciers passifs à 300 MPa sous combinaison caractéristique et à 435 MPa à l'ELU de résistance, les sections d'armatures suivantes sont obtenues respectivement : As,ELS = 18,40 cm2/m et As,ELU = 17,20 cm²/m.
Par simplification, le dimensionnement des aciers est obtenu avec :
As, min =
M z × s
avec As section d'acier et z bras de levier du couple élastique
Hauteur, position des aciers : h = 0,32 m et d =0,28 m Bras de levier du couple élastique z = 0,90×d 0,250 m.
6.1.c) Hypothèses de trafic
Dans l'hypothèse d'une autoroute à 2 × 2 voies avec un trafic de poids lourds élevé : - trafic de catégorie 2 : Nobs = 2,0 × 106 camions par an sur la voie lente - trafic de type "longue distance" avec une répartition des camions-types dans les proportions suivantes : p1 = 20 % ; p2 = 5 % ; p3 = 50 % ; p4 = 15 % ; p5 = 10 % La durée d'utilisation de projet de l'ouvrage est Nyears = 100 ans.
ONV= Annexe IV - Justification à la fatigue
6.1.d) Caractéristiques des matériaux
Les paramètres de la courbe S-N des armatures passives sont : - k2 = 9 ; N* = 106 ; Rsk = 202 MPa (dans l'hypothèse d'armatures 20) ; - coefficient partiel pour l'acier : S,fat = 1,15.
6.1.e) Combinaison d'actions calcul des contraintes
Toutes les actions appliquées à l'encorbellement poids propre, poids des superstructures et équipements, charges de fatigue provoquent un moment tendant la fibre supérieure. La combinaison de base pour la vérification à la fatigue M0 et les charges de fatigue MQ,fat, donnent des moments toujours de même signe. La contrainte de traction dans les aciers est égale à s = M/(z×As), avec z constant. Il y a donc une relation linéaire entre les variations de contrainte dans les aciers passifs et les variations du moment dues aux passages des charges de fatigue : s = MQ,fat z × As avec As section d'acier et z bras de levier du couple élastique
Il n'est donc pas nécessaire dans ce cas de connaître l'état de référence de la section d'encastrement. Il suffit d'étudier les variations du moment lors du passage des charges de fatigue. Pour l'application numérique, les hypothèses suivantes sont adoptées : - Coefficient d'équivalence acier-béton : = 15 - Hauteur, position des aciers : h = 0,32 m et d =0,28 m - Bras de levier du couple élastique z = 0,90 × d 0,250 m.
6.2. Application de la méthode générale
6.2.a) Application du modèle de charge de fatigue FLM4
Le graphique suivant représente les variations du moment pendant le passage des différents camions du modèle FLM4. Les moments sont estimés à partir de l'abaque de Pücher (dalle d'épaisseur constante encastrée sur un bord) sur une section d'une longueur de 1,00 m. Ils sont exprimés en kNm/ml.
OOM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (27) : Variation du moment due au passage des camions du modèle FLM4
La relation entre s et |M| est linéaire. On peut donc appliquer la méthode des "réservoirs" au graphique précédent, pour déterminer les étendues de variations de moment; les étendues de contrainte s'en déduisent directement ensuite.
Camions de type i |Mi,1| (en KN.m/m) |Mi,2| (en KN.m/m) 1 23,46 2 32,27 3 30,08 4 25,48 5 24,29
27,37 - 8,69 = 18,68 20,23 - 5,11 = 15,12 21,96 - 8,97 = 12,99 Fig./Tab. An. IV (28) : Etendues des variations des moments
Les étendues M1,2 , M2,2 , M5,3 et M5,4 relativement faibles sont négligées.
6.2.b) Calcul de l'endommagement
Les étendues de contrainte sont données par la relation si, j = L'expression de l'endommagement devient alors : D Ed = N obs × N years N* S ,fat × z × A s × Rsk
k2
Mi, j . z × As
×
p ( M )
i i, j i, j k2 i, j
k2
Le tableau suivant donnent les valeurs de M moy = k 2
p ( M )
i
:
Cette fonction peut être définie comme une étendue moyenne de moment à la fatigue des aciers passifs.
I pi 1 20 %
k2
2 5% 1,90.1012 3,75.104
3 50 % 1,01.1013 1,39.1011
4 15 % 6,80.1011 6,19.109
5 10 % 2,94.1011
k2
p ( M )
i i, j
k2
( ) p ( M )
p i M i ,1
i i, 2
4,30.1011 3,44.106
k2
28,76 kN.m/m 1,05.109 avec M exprimée en kNm/ml pour le calcul Fig./Tab. An. IV (29) : Calcul de la variation moyenne du moment
OON= Annexe IV - Justification à la fatigue
La section d'acier passif, As,fat,lim, donnant une résistance minimale à la fatigue suffisante est obtenue en égalant l'expression représentant l'endommagement à la valeur de 1 : DEd = 1,00 Soit : A s ,fat ,lim = k 2 ou N obs × N years N*
k2
D Ed = 1,00. S ,fat z × Rsk × M moy
×
L'application numérique donne :
As,fat,lim = 11,80 cm²/m
Simplification du calcul Dans l'exemple précédent, le passage de chaque camion de type i donne lieu à plusieurs étendues de contrainte (ou de moment) ; une étendue principale i,1 (Mi,1) et des étendues secondaires i,2 , i,3 ... Soit i,j le rapport
i, j Mi, j = avec j 2 i,1 Mi,1
et
max = Max (i,j)
Dans un premier un calcul ne sont pris en compte que les étendues principales Mi,1. Ensuite les deux premières étendues sont pris en compte, Mi,1 et Mi,2 , en supposant M i, 2 = max × M i ,1 Dans le premier cas : Dans le deuxième cas : Ce qui permet d'écrire M moy, 2 =
k2
M moy,1 = k 2 M moy, 2 = k 2
p × (M )
i i ,1 i i ,1
k2
p × ((M )
k
k2
+ ( max × M i ,1 )
k2
)
1 + ( max )
k2
× M moy,1
k
Le facteur reliant Mmoy,2 et Mmoy,1 est une fonction de , f() = 2 1 + ( ) 2 et peut être représentée sur la figure suivante :
Variation du rapport Mmoy,2 / Mmoy,1 Dans un cas extrême, avec = 1,00, la valeur de f() reste inférieure à 1,10. Pour des valeurs plus faibles ( < 0,70), les valeurs de f() sont très proches de 1,00 (<1,01).
OOO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En conséquence, la prise en compte des étendues principales de contrainte (ou de moment) pour chaque type de camion permettra, dans la plupart des cas, d'obtenir une très bonne approximation de l'étendue moyenne de contrainte (ou de moment). Dans l'exemple précédent :
max = M3,2 / M3,1= 18,68 / 30,08 = 0,62
f(max) = 1,001
Le calcul prenant en compte toutes les étendues Mi,j , donne Mmoy = 28,76 kN.m/m En ne prenant en compte que les étendues principales, le calcul donne Mmoy = 28,74 kN.m/m La différence est inférieure à 0,1 % ! En pratique, dans le cas général, il suffit donc de déterminer, pour chaque camion de type i, les positions défavorable et favorable sur la(les) voie(s) lente(s) donnant les contraintes extrêmes, max,i , min,i , et les étendues de contrainte principale i,1 = max,i - min,i . Le calcul approché de la contrainte moyenne est donné par moy = k 2 pi(i,1 ) 2 .
5 k i =1
6.3. Application de la "méthode équivalente"
6.3.a) Application du modèle FLM3 de la charge de fatigue
Il suffit ici de calculer les variations du moment dues au passage du camion FLM3, en pondérant les charges d'essieux par le coefficient 1,40 [EC2-2 Anx.NN.2.1(101)].
Le coefficient de 1,75 n'est appliqué que pour des vérifications en flexion longitudinale pour des ouvrages continus, sur des sections au niveau des appuis intermédiaires.
Fig./Tab. An. IV (30) : Variation du moment MQfat
L'étendue de contrainte s,EC est simplement obtenue à partir de l'étendue maximale de moment et de la M max MQ,fat,max s,EC = = relation : avec MQfat,max = 46,79 kN.m/ml et MQfat,min = 0 z × As z × As
Dans l'application de la "méthode équivalente", seule l'étendue de contrainte maximale due au camion FLM3 est prise en compte. Dans cet exemple, l'étendue de contrainte secondaire est importante. Il convient de noter que le calibrage de la méthode, avec le coefficient d'ajustement s,1, tient déjà compte de ce phénomène.
OOP= Annexe IV - Justification à la fatigue
6.3.b) Coefficient d'ajustement s
L'abaque NN.2 donne la valeur de s,1. La longueur de la ligne d'influence, en abscisse de l'abaque, est la largeur de l'encorbellement, soit 2,35 m. La lecture du coefficient s,1 s'effectue sur la courbe 3c) (aciers de béton armé dalle sous chaussée). Soit : s,1 = 1,10 La valeur des autres coefficients est de 1,00. Donc au final s = 1,10
6.3.c) Dimensionnement des aciers à la fatigue
La condition s ,equ Rsk S,fat donne A s ,min,fat = S,fat × s × M Q,fat ,max z × Rsk
Soit une section d'acier
As,fat,lim = 11,70 cm²/m
6.4. Application de la méthode "simplifiée"
Pour le calcul de l'étendue de contrainte, la relation directe est utilisée : s = Avec les valeurs z 0,250 m et MLM1,Fréqu,déf = 69,10 kN.m/m,
As,min,fat = 27,60 cm²/m .
M LM1,Fréqu,déf z × As
la condition s 100 MPa conduit à la section minimale
7. Comparaisons des méthodes et de leurs résultats. Conclusions
Les méthodes générale et "équivalente" donnent pratiquement le même résultat : As,fat,lim = 11,80 cm²/m. On est dans le cas d'une flexion simple, ce qui valide l'hypothèse de la "méthode équivalente", la linéarité de la relation entre et M et c'est pourquoi les deux méthodes donnent à peu près le même résultat. Dans le cas d'une flexion composée la "méthode équivalente" s'avèrerait plus sécuritaire. Mais elle a l'avantage d'être un peu plus simple comme le montre le rappel des principales étapes des deux méthodes ci-dessous. Les principales étapes de la méthode générale, avec utilisation du modèle FLM4, sont résumées ici. Il est nécessaire de déterminer :
· · · · ·
les efforts (N0 ; M0) sous la combinaison de base, l'implantation de la voie lente, la variation des efforts en fonction de la position x du camion i sur l'ouvrage : MFLM4,i (x), la variation de la contrainte pendant le passage du camion i : si ( N0 ; M0 + MFLM4,i (x) ), les étendues de contrainte si,j . Rsk , plus représentative du ratio entre S ,fat
La condition DEd 1 revient à vérifier l'expression : K × s ,moy étendues de contrainte observées et admissibles.
OOQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Avec
s,moy = k 2 pi si, j
(
)
k2
étendue de contrainte moyenne et K = k 2
Nobs × N years N*
Une simplification de la méthode consiste à déterminer, pour chaque camion de type i, les positions défavorable et favorable donnant si,max et si,min , et de ne tenir compte que de l'étendue de contrainte maximale si,max = si,max si,min Dans la plupart des cas, le calcul suivant donnera une bonne approximation de l'étendue de contrainte moyenne :
s,moy k 2 p1(s1,max ) 2 + p2(s2,max ) 2 + p3(s3,max ) 2 + p4(s4,max ) 2 + p5(s5,max ) 2
k k k k k
Pour la "méthode équivalente", avec utilisation du modèle FLM3, il est nécessaire de déterminer :
· · · · ·
les efforts (N0 ; M0) sous la combinaison de base, l'implantation de la voie lente, les efforts avec le camion FLM3 en position défavorable et favorable, les contraintes s,max et s,min correspondantes et l'étendue maximale s,EC = s,max s,min , le coefficient d'ajustement s . Rsk S,fat
La condition est : s ,equ
avec
s,equ = s,max ×s,EC.
L'utilisation de la méthode simplifiée conduit, comme dans l'exemple précédent, à un surdimensionnement des armatures passives. Comme son nom l'indique elle est très simple avec l'inconvénient d'être toujours très sécuritaire par rapport aux deux autres. Au final, pour cet exemple, c'est la justification de la résistance aux ELU qui est dimensionnante. On doit noter aussi qu'au prix d'une majoration modérée de la quantité d'armatures donnée par les ELU on aurait pu se dispenser d'une justification à la fatigue pas très utile.
OOR= Annexe IV - Justification à la fatigue
Annexe V Justification vis-à-vis de la rupture fragile
1. Cas du PSIDP
Est considéré dans cette annexe l'exemple du PSIDP commun à l'ensemble des chapitres du présent guide. Seul le calcul réalisé sur la section de la première travée située à 2,50 m de la première pile, notée section n° 7, est détaillé ici. Un tableau récapitulatif des quantités de ferraillage à disposer dans les autres sections est alors fourni, qui permet d'identifier les sections les plus critiques vis-à-vis du critère de rupture fragile. Rappel des caractéristiques mécaniques de la section 7 : - hauteur : - section : - inertie : - distance cdg/fs : - distance cdg/fi : - câblage : h = 0,900 m S = 8,01 m2 I = 0,535 m4 v =0,386 m v' =0,514 m 20 × 12T15S disposés avec une excentricité de1,5 cm sous la fibre moyenne
Rappel des sollicitations obtenues dans la section, avec Pm,infini (cf. remarque sur les combinaisons [Chapitre 6-6.2]) : Pm, infini = 44,75 MN MELS freq, max = 0,81 MNm MELS freq, min = -5,63 MNm Le critère concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte [Chapitre 6-6.1] : MELS cara -P, max = 2,92 MNm et MELS cara -P, min = -7,28 MNm Le critère de rupture fragile dans cette section va donc concerner à la fois la fibre supérieure et la fibre inférieure. Dans le cas de la combinaison obtenue pour M = MELS freq, max, c,f = 4,81 MPa en fibre inférieure (respectivement, c,f = 1,53 MPa en fibre supérieure pour MELS freq, min).
OOS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1. Calcul du nombre de torons rompus entrainant la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a)
Cette première étape consiste à déterminer tel que : e ×y 1 c,f - i × Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
i =
c,f + f ctm 1 e ×y Pm , + 0i I S
=
4,81 + 3,2 = 129 % - 0,015 × (-0,514 ) 1 + 44,75 × 0,535 8,01 (respectivement, i = 92 % pour MELS freq, min)
Ce qui correspond dans le premier cas à supprimer la totalité des 20 câbles 12T15S, et dans le deuxième cas à supprimer l'équivalent de 18,5 câbles 12T15S.
1.2. Vérification de la résistance ultime de la section "à précontrainte réduite" sous l'effet cumulé de la combinaison fréquente et de la diminution de la précontrainte calculée (méthode a) :
Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de la combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supprimée déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, = (1 1,00) × 44,75 = 0 MN (3,38 MN pour MELS freq, min) ( 5,02 MNm pour MELS freq, min) La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Pour N = 0 MN, le moment ELU maximal admissible est de 0 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives à disposer en fibre inférieure de 36 cm2. Respectivement, pour N = 3,38 MN, le moment ELU minimal admissible est de 4,1 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives à disposer en fibre supérieure de 52 cm2.
Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i = 0,81 1,00 × 44,75 × ( 0,015) = 1,48 MNm
1.3. Calcul du ferraillage minimal selon la méthode b) :
Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] : M rep A s , min = z s × f yk où : - f ctm × I - 3,2 × 0,535 = = 3,33 MNm pour une fissuration en fibre inférieure ; - v' - 0,514 (respectivement Mrep = -4,43 MNm pour une fissuration en fibre supérieure) fyk = 500 MPa. M rep =
OOT= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance par rapport au centre de compression, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 0,81 m pour les aciers disposés en fibre inférieure (respectivement zs = 0,80 m pour les aciers disposés en fibre supérieure) 3,33 = 82 cm2 en fibre inférieure. 0,81 × 500 Respectivement As,min = 111 cm2 en fibre supérieure. Les mêmes calculs, réalisés sur les autres sections, conduisent aux résultats indiqués dans le tableau ci-dessous. Dans ce tableau, il est constaté que :
· ·
D'où : As,min =
la méthode (b) constitue systématiquement une enveloppe sécuritaire de la méthode (a) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre supérieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (PSIDP) sont celles situées à proximité des piles, entre les 2/3 de la travée de rive et le 1/10ème de la travée centrale (sections 6 à 9) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre inférieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (PSIDP) sont celles situées en travées de rive, entre la mi-travée et la pile (sections 4 à 7).
Culée Pile 2 2,5 0 82 3 5,0 0 82 4 7,5 46 82 5 10,0 41 82 6 12,5 42 0 111 82 7 15,0 52 36 111 82 8 17,5 85 111 9 20,2 54 0 111 82 10 22,9 0 82 11 25,6 0 82 12 28,3 0 82 Clé 13 31,0 0 82 1 0,0 0 82
·
section n°
Abscisse (m)
Ferraillage requis selon la méthode (a) [en cm²] Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
Ferraillage requis selon la méthode (b) [en cm²]
Fig./Tab. An. V (1) : Récapitulatif du ferraillage minimal de rupture fragile dans le cas du PSIDP
PS : Les quantités de ferraillage indiquées dans le tableau ci-dessus incluent les armatures disposées pour d'autres raisons, notamment la justification vis-à-vis de la flexion longitudinale.
2. Cas du pont caisson construit par encorbellements
Est considéré dans cette annexe l'exemple du pont construit par encorbellements successifs, à hauteur variable, commun à l'ensemble des chapitres du présent guide. Seul le calcul réalisée sur la section correspondant à la fin du premier voussoir courant de la travée centrale, notée section n° 18, est détaillé ici. Un tableau récapitulatif des quantités de ferraillage à disposer dans les autres sections est alors fourni, qui permet d'identifier les sections les plus critiques vis-à-vis du critère de rupture fragile.
OOU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Rappel des caractéristiques mécaniques de la section 18 : - hauteur : - section : - inertie : - distance cdg/fs : - distance cdg/fi : - câblage de fléaux : - câblage éclisse : - câblage extérieur : h = 5,21 m S = 8,86 m2 I = 38,43 m4 v =2,22 m v' =2,99 m 24 × 12T15S disposés à 16 cm de la fibre supérieure 0 × 12T15S disposés à 16 cm de la fibre inférieure 8 × 19T15S disposés à 28 cm de la fibre supérieure
Rappel des sollicitations obtenues dans la section, avec Pm,infini (cf. remarque sur les combinaisons [Chapitre 6-6.2]) : Pm, infini = 83,46 MN MELS freq, max = 31,3 MNm MELS freq, min = 17,3 MNm Le critère concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte [Chapitre 6-6.1] : MELS cara -P, max = 118 MNm et MELS cara -P, min = 185 MNm Ces deux valeurs sont négatives et il n'y a donc lieu de considérer que la fibre supérieure. Dans le cas de la combinaison obtenue pour M = MELS freq, min, c,f = 8,42 MPa (11,23 MPa pour MELS freq, max).
2.1. Calcul du nombre de torons rompus entrainant la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a) :
Cette première étape consiste à déterminer , correspondant aux câbles de fléaux, tel que : e ×y 1 c,f - i × Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
i = c,f +fctm 8,42+4,4 = =66 % 1 e0i×y 83,46× 1 + 2,06×2,22 Pm, + 8,86 38,43 I S (81 % pour MELS freq, max).
Ce qui correspond dans les deux cas, pour obtenir la fissuration, à supprimer la totalité des 24 câbles de fléaux :
24 × (12 × 150) = 65 % . 24 × (12 × 150) + 8 × (19 × 150)
OOV= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
2.2. Vérification de la résistance ultime de la section sous l'effet cumulé de la combinaison fréquente et de la diminution de la précontrainte (méthode a) :
Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de la combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supprimée déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, = (1 0,65) × 83,46 = 29,21 MN Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i = 17,3 0,65 × 83,46 × 2,06 = 129,05 MNm (-80,45 MNm pour MELS freq, max) La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Pour N = 29,21 MN, le calcul de section montre que le moment ELU minimal admissible est de 82,5 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives en fibre supérieure de 197 cm2. (0 cm2 pour MELS freq, max)
2.3. Calcul du ferraillage minimal selon la méthode b) :
Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] : A s , min = où : M rep = M rep z s × f yk
- f ctm × I - 4,4 × 38,43 = = -76,2 MNm ; - v' 2,22
fyk = 500 MPa. Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance par rapport au centre de compression, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 4,98 m - 76,2 = 306 cm2. -4,98 × 500
D'où : As,min =
Les mêmes calculs, réalisés sur les autres sections, conduisent aux résultats indiqués dans le tableau ci-dessous. Il ressort de ce tableau que :
· ·
la méthode (b) constitue systématiquement une enveloppe sécuritaire de la méthode (a) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre supérieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (pont construit par encorbellement de hauteur variable) sont celles situées à proximité des appuis en travée centrale (voussoirs Vd1 et Vd2) et jusqu'au tiers de travée compté depuis la pile en travées de rives (voussoirs Vg1 à Vg5) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre inférieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (hauteur variable) sont celles situées à proximité des culées en travées de rives (voussoirs Vg13 et Vg12).
·
OPM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Culée
voussoir n° VCg Vg13 Vg12 Vg11 Vg10 Vg9 Vg8 Vg7 Vg6 Vg5 Vg4 Vg3 Vg2 Vg1
Pile g
VSPg
section n° Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
1 0 131 Pile
2 113 132 Pile d
VSPd
3 98 132
4 88 132
5 0 53 262 135
6 0 0 252 140
7 54 0 253 146
8 118 0 258 156
9 129 0 284 165
10 195 271 -
11 227 279 -
12 129 284 -
13 181 292 -
14 253 304 -
15 188 309 clé
Ferraillage requis selon méthode (a) [en cm²]
Ferraillage requis selon méthode (b) [en cm²]
voussoir n°
VSP
Vd1
Vd2
Vd3
Vd4
Vd5
Vd6
Vd7
Vd8
Vd9
Vd10
Vd11
Vd12
Vd13
section n° Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
16 0 312 -
17 154 308 -
18 197 306 -
19 136 254 -
20 75 287 -
21 18 281 -
22 0 284 -
23 24 0 266 165
24 0 0 263 156
25 0 0 261 148
26 0 140
27 0 125
28 0 131
29 57 128
30 78 127
Ferraillage requis selon méthode (a) [en cm²]
Ferraillage requis selon méthode (b) [en cm²]
Fig./Tab. An. V (2) : Récapitulatif du ferraillage minimal de rupture fragile dans le cas du pont caisson construit par encorbellements
PS : Les quantités de ferraillage indiquées dans le tableau ci-dessus incluent les armatures disposées pour d'autres raisons, notamment la justification vis-à-vis de la flexion longitudinale.
OPN= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
Annexe VI Vérification de la stabilité de forme Méthodes simplifiées et exemple de deux piles
L'étude porte sur les deux piles du pont construit par encorbellements. Les imperfections géométriques initiales sont déduites d'une inclinaison globale donnée à chaque pile ([EC2-1-1 5.2(7)], [EC2-2 5.2(106)]) ce qui permet de calculer une excentricité en tête de pile.
1. Données initiales
1.1. Données générales
· ·
Fûts de piles de hauteurs L=21,0m et L=32,0m encastrés en pied et libres en tête Inclinaisons globales pour imperfections géométriques i = 0 × h = dérivées en têtes de piles - Pour L = 21,0m i = 0,002 18rad soit e i = 21,0 × 0,00218 = 0,046m - ( > e0 = 0,02m [EC2-1-1 6.1 (4)]) - Pour L = 32,0m i = 0,00177 rad soit e i = 32,0 × 0,00177 = 0,057 m - ( > e0 = 0,02m [EC2-1-1 6.1(4)]) 2 1 min ; 1 et excentricités 200 L
· · · · · · · · ·
Défaut de positionnement des charges verticales en tête de pile pour défaut d'implantation et distorsion des appareils d'appui, soit epos=0,05m Section constante et symétrique (ferraillage compris), soit une section rectangulaire de largeur b=4,60m, de hauteur h=2,30m et de densité dens=0,025MN/m3 Section d'armatures correspondant à un ratio géométrique d'armatures minimal =0,002, soit 44HA25 répartis sur deux faces Résistance caractéristique du béton, fck=30MPa Limite caractéristique d'élasticité des aciers passifs de classe B, fyk=500MPa Charges verticales appliquées en tête de pile résultant du calcul en flexion longitudinale du tablier, soit Nqp = 24,67MN, NELU = 39,22MN Charges horizontales en tête de pile, HELU = 0,90MN Pile chargée à t0 = 20 jours (valeur moyenne simplificatrice retenue pour les deux piles. En pratique, cette valeur devra être plus représentative du phasage réel de réalisation de la structure) Section critique aisément identifiée comme se situant au niveau de l'encastrement.
OPO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. VI (1) : Elévation et coupe transversale des piles - Définition des paramètres
OPP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
1.2. Caractéristiques de la section constante pour l'analyse structurale
Caractéristiques du béton
Hauteur Largeur Centre de gravité Aire Inertie Rayon de giration Diamètre moyen pour le fluage Résistance caractéristique Valeur moyenne en compression h = 2,30m b = 4,60m YG = 1,15m AC = 10,58m² IC = 4,6640m4
i= h0 =
IC 4,664 = = 0,664m AC 10,58
2A C 2 × 10,58 = = 1,533m = 1533mm u 2 × (4,60 + 2,30)
fck = 30MPa
fcm = fck +8 = 30+8 = 38MPa
EC2-1-1
EC2-2
E cd =
Valeur de calcul du module
E cm cE 32837 = 27364MPa 1,2
f E cm = 22000 cm 10 38 E cm = 22000 10
0,3
E cd =
0,3
= 32837 MPa
Valeur de calcul de la résistance en compression
f cd = f cd =
cc f ck C 1 × 30 = 20MPa 1,5
cf = 1,1
S 1,15 = 1,1 × 0,85 C 1,5
cf f ck = 0,85 × 30 = 25,5MPa
k=
Paramètres loi de type Sargin
1,05 E cd c1 f cd
k= k=
1,05 E cm c1 cf f ck
1,05 × 27364 × 0,002162 20 k = 3,1060 k=
1,05 × 32837 × 0,002162 25,5 k = 2,9233
OPQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Caractéristiques des aciers passifs
Diamètre d'un acier Nombre d'aciers réparti sur deux faces Cote entre l'axe des aciers et la paroi de béton Section totale des aciers Inertie des aciers par rapport au centre de gravité du béton Rayon de giration Ø = 25mm Nb = 44 c = 0,07m As = 0,0216m² Is = 0,0252m4
is = d= =
Is 0,0252 = = 1,080m As 0,0216
Hauteur utile Ratio géométrique d'armatures
h 2,30 + is = + 1,08 = 2,23m 2 2
A s 0,0216 = = 0,00204 > minimal = 0,002 Ac 10,58 = A s f yd A c f cd = 0,0216 × 434,78 = 0,044 10,58 × 20
Ratio mécanique d'armatures Acier de classe B Valeur de déformation relative sous charge maximale Valeur minimale de (ft/fy)k Limite d'élasticité caractéristique Valeur de calcul du module d'élasticité
uk = 0,05
k = 1,08 fyk = 500MPa Es = 200000MPa
EC2-1-1 Fin de branche élastique Valeur de déformation relative
EC2-2
yd = f yd =
f yd Es f yk S
= =
434,78 = 0,002174 200000 500 = 434,78MPa 1,15
1,1f yk Es
=
550 = 0,00275 200000
Limite d'élasticité de calcul Fin de branche inclinée Valeur de déformation relative Limite d'élasticité de calcul
1,1f yk = 1,1 × 500 = 550MPa
ud = 0,9 uk = 0,9 × 0,05 = 0,045
uk = 0,05
k × f yd = 1,08 × 434,78 = 469,56MPa 1,1k × f yk = 1,1× 1,08 × 500 = 594 MPa
OPR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
1.3. Efforts normaux
Poids propre des piles
Pile de 21 m Pile de 32 m
N pp = A c × dens × L N pp = 10,58 × 0,025 × 21,00 N pp = 5,555MN
N pp = A c × dens × L N pp = 10,58 × 0,025 × 32,00 N pp = 8,464MN
Efforts normaux sollicitants ultimes en pied de piles
Pile de 21 m Pile de 32 m
N Ed = N ELU + G N pp N Ed = 46,719MN
N Ed = 39,22 + (1,35 × 5,555)
N Ed = N ELU + G N pp N Ed = 50,646MN
N Ed = 39,22 + (1,35 × 8,464 )
1.4. Moments du 1er ordre en pied de piles
Combinaison quasi permanente
Pile de 21 m Pile de 32 m
M 0 Eqp = N qp × (e i + e pos ) + N pp
ei 2
M 0 Eqp = N qp × (e i + e pos ) + N pp
ei 2
0,046 0,057 M 0 Eqp = (24,67 × (0,046 + 0,05) ) + 5,555 × M 0 Eqp = (24,67 × (0,057 + 0,05) ) + 8,464 × 2 2 M 0 Eqp = 2,497 MN.m M 0 Eqp = 2,881MN.m
Combinaison ELU fondamentale
Pile de 21 m
M 0 Ed = N ELU × (e i + e pos )
(
)
Pile de 32 m
M 0 Ed = N ELU × (e i + e pos )
(
)
M 0 Ed
e + G × N pp i + (H ELU × L ) 2 = (39,22 × (0,046 + 0,05) )
e + G × N pp i + (H ELU × L ) 2 M 0 Ed = (39,22 × (0,057 + 0,05) ) 0,057 + 1,35 × 8,464 × + (0,90 × 32,00 ) 2 M 0 Ed = 33,322MN.m
0,046 + 1.35 × 5,555 × + (0,90 × 21,00 ) 2 M 0 Ed = 22,838MN.m
OPS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2. Application des critères simplifiés pour négliger les effets du fluage et du second ordre
2.1. Fluage
La valeur finale du coefficient de fluage peut être calculée à partir de l'équation de base décrite dans l'annexe B de l'Eurocode : (t , t 0 ) = RH × (f cm ) × (t 0 ) × c (t , t 0 ) 1 - RH / 100 16,8 (t , t 0 ) = 1 + × 0,1 3 h 0 f cm 1 × 0 , 20 0,1 + t 0
(
)
(t - t 0 ) × ( H + t - t 0 )
0,3
1 - 70 / 100 16,8 1 (,20) = 1 + × 1 = 1,225 × 2,725 × 0,521 × 1 = 1,739 × × 0 , 20 3 0,1 1533 38 0,1 + 20
(
)
Le coefficient de fluage effectif est déterminé avec les moments maximaux à la base des piles.
Pile de 21 m Pile de 32 m
ef = (,20) ef = 1,739 ×
M 0 Eqp M 0 Ed
ef = (,20) ef = 1,739 ×
M 0 Eqp M 0 Ed
2,497 = 0,190 22,838
2,881 = 0,150 33,322
Trois conditions a), b) et c) à satisfaire pour négliger le fluage
Pile de 21 m Pile de 32 m
a ) (,20) = 1,739 2 condition vérifiée b) = c) e 1 =
a ) (,20) = 1,739 2 condition vérifiée
l 0 2 × 21 l 2 × 32 = = 63,3 75 condition vérifiée b) = 0 = = 96,4 75 condition non vérifiée i 0,664 i 0,664 M 0 Ed 22,838 = = 0,489m h = 2,30m N Ed 46,719 condition non vérifiée c) e 1 = M 0 Ed 33,322 = = 0,658m h = 2,30m N Ed 50,646 condition non vérifiée
L'effet du fluage ne peut être négligé pour les deux piles.
OPT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
2.2. Effets du 2nd ordre
Pile de 21 m Pile de 32 m
lim
20 × A × B × C = n n= A= N Ed 46,719 = = 0,221 A c f cd 10,58 × 20 1 1 = = 0,963 1 + 0,2 ef 1 + 0,2 × 0,190
lim =
20 × A × B × C n N Ed 50,646 = = 0,239 A c f cd 10,58 × 20 1 1 = = 0,971 1 + 0,2 ef 1 + 0,2 × 0,150
n= A=
B = 1 + 2 = 1 + 2 × 0,044 = 1,043 C = 1,7 - rm = 1,7 - 1 = 0,7 lim = 20 × 0,963 × 1,043 × 0,7 0,221 = 29,9
B = 1 + 2 = 1 + 2 × 0,044 = 1,043 C = 1,7 - rm = 1,7 - 1 = 0,7 lim = 20 × 0,971 × 1,043 × 0,7 0,239 = 29,0
= 63,3 > lim
= 96,4 > lim
Les effets du 2nd ordre doivent être pris en compte pour les deux piles.
3. Méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure 1/r
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.8].
3.1. Présentation de la méthode
La méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure convient pour les éléments isolés de section droite constante et symétrique (ferraillage compris) soumis à un effort normal constant. Il s'agit de déterminer le moment total qui s'obtient par la somme des moments du 1er et du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(1)], [EC2-1-1 5.8.8.2(2)].
moment total
M Ed = M 0 Ed + M 2 { 13 { 2
moment 1er ordre
moment 2 nd ordre
La méthode permet de calculer le moment du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(3)] à partir d'une estimation de la courbure de la structure à l'équilibre [EC2-1-1 5.8.8.3(1) à (4)], du choix d'un coefficient c dépendant de la distribution des courbures des moments du 1er et du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(4)] et d'une excentricité e2 créé par le 2nd ordre. Le produit de cette excentricité e2 et de l'effort normal de calcul agissant donne le moment du 2nd ordre.
1 l0 2 M 2 = N Ed { { r c moment effort 4 4 123 normal 2 nd ordre
e2
où : 1 courbure estimée r c = 2 si courbure sinusoïdale, c = 8 si courbure constante
OPU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2. Illustration de la méthode - Exemple de la pile de hauteur 21 m
e2
N comb
L=lo/2
G Npp
M2
R
Fig./Tab. An. VI (2) : Paramètres de calcul de M2 sur une pile de type « mât »
3.2.a) Calcul de la courbure
1 1 = KrK r0 r n -n (1 + ) - n (1 + 0,044) - 0,221 K r = min u n -n ; 1 = min (1 + ) - n ; 1 = min (1 + 0,044) - 0,4 ; 1 = 1 bal u bal
f K = max(1 + ef ; 1) = max1 + 0,35 + ck - ef ; 1 200 150 30 63,3 K = max1 + 0,35 + - × 0,190 ; 1 = 1,015 200 150 yd 1 0,002174 = = = 0,0021664 r0 0,45d 0,45 × 2,230 1 = 1 × 1,015 × 0,0021664 = 0,0021989 r
Kr 1,0
0,4
1+
n
Fig./Tab. An. VI (3) : Paramètre Kr
OPV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
3.2.b) Choix du coefficient c
Dans l'exemple traité, le moment du 1er ordre est linéaire et le moment du 2nd ordre sinusoïdal. c dépend de la courbure totale et les inégalités 8 < c < 2 sont vérifiées. Comme le moment du 2nd ordre est numériquement plus élevé que le moment du 1er ordre (dû aux imperfections et à l'effort horizontal en tête de pile), la courbure totale est essentiellement parabolique (puisque M2>>M0Ed), le coefficient est donc pris égal à c= 2.
3.2.c) Calcul de l'excentricité e2
2 1 l0 e2 = r c
e 2 = 0,0021989 ×
( 2 × 21) 2 = 0,393m 2
3.2.d) Calcul du moment du 2nd ordre
Le poids propre de la pile fait varier l'effort normal le long de la pile de (46,719/39,22)-1=19,1% et en toute rigueur la méthode n'est pas applicable. Cependant, le poids de la pile est faible devant la descente de charge en tête et influe peu sur le résultat final. Le moment du 2nd ordre sera surévalué en appliquant en tête de pile l'effort normal NEd calculé à l'encastrement. M 2 = N Ed × e 2 M 2 = 46,719 × 0,393 = 18,361MN.m
3.2.e) Calcul du moment total
M Ed = M 0 Ed + M 2 M Ed = 22,838 + 18,361 = 41,199MN.m
3.2.f) Vérification de la section constante
M Ed = 41,199MN.m M résis tan t = 49,474MN.m La section critique est validée.
4. Méthode simplifiée basée sur une estimation de la rigidité nominale EI
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.7].
4.1. Présentation de la méthode
La méthode simplifiée basée sur une rigidité nominale peut être utilisée pour les éléments isolés de section droite quelconque. La méthode permet de calculer un facteur d'amplification relatif aux effets du 2nd ordre à partir d'un coefficient et de la charge de flambement nominale NB basée sur la rigidité nominale [EC2-1-1 5.8.7.3(1)]. M Ed = M 0 Ed 1 + { 1 3 2 NB moment moment - 1 er total 1 ordre N Ed
OQM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
=
2 dépend de la distribution des moments du 1er et du 2nd ordre ([EC2-1-1 5.8.7.3(2) à (4)]. c0
Dans le cas d'éléments isolés de section constante soumis à un effort normal constant, il est admis une distribution sinusoïdale du moment du 2nd ordre et c0 prend une valeur qui dépend de la distribution du moment du 1er ordre M0Ed , soit par exemple : Pour une distribution constante de M0Ed , c0 = 8 et = 2 2 = 1,234 c0 8 2 2 = 1,028 c 0 9.6
Pour une distribution parabolique de M0Ed , c0 = 9,6 et = Pour une distribution triangulaire de M0Ed , c0 = 12 et =
2 2 = 0,822 c 0 12
Dans le cas d'éléments isolés pour lesquels soit l'effort normal et/ou la section varient, ou qu'une charge transversale est appliquée, = 1 constitue normalement une simplification raisonnable. est calculée à partir d'une estimation de la rigidité nominale EI obtenue par l'addition de 2 l0 deux termes, l'un relatif au béton, l'autre relatif aux armatures, sous réserve que le ratio géométrique A d'armatures = s 0,002 , [EC2-1-1 5.8.7.2 (1) à (4)]. Ac
EI = K c E cd I c + K s E s I s 1 24 123 4 3
béton armatures
NB =
2 EI
L'ensemble des paramètres est précisé dans l'exemple numérique.
4.2. Illustration de la méthode Exemple de la pile de hauteur 21 m
4.2.a) Calcul de la rigidité nominale EI
EI = K c E cd I c + K s E s I s Kc = K 1K 2 1 + ef f ck 30 = = 1,225 20 20 63,3 K 2 = min n ; 0,20 = min 0,221 × ; 0,20 = 0,082 170 170 K1 = Kc = 1,225 × 0,082 = 0,084 1 + 0,190
Ks =1 EI = (0,084 × 27364 × 4,6640) + (1 × 200000 × 0,0252) = 15760,56MN.m 2
OQN= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
4.2.b) Calcul de la charge de flambement nominale
NB = NB = 2 EI 2 l0 2 × 15760,56
(2 × 21)2
= 88,181MN
4.2.c) Calcul du moment total
M Ed = M 0 Ed 1 + NB - 1 N Ed
Le poids propre de la pile fait varier l'effort normal le long de la pile de (46,719/39,22)-1 = 19,1 %, l'élément est soumis à une charge transversale, = 1. 1 = 48,572MN.m = 22,838 × 1 + 88,181 - 1 46,719
M Ed
4.2.d) Vérification de la section constante
M Ed = 48,572MN.m M résis tan t = 49,474MN.m La section critique est validée.
5. Méthode générale de l'EN1992-1-1
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.6].
5.1. Illustration de la méthode sans logiciel - Exemple de la pile de hauteur 21 m
On rappelle que lorsque le projeteur n'a pas à sa disposition de logiciel permettant de coupler non-linéarité géométrique et non-linéarité matériaux, il est possible de rechercher pour une section jugée a priori critique, l'état d'équilibre en exprimant de deux manières la relation liant le moment de flexion dans la section critique avec la courbure de celle-ci :
·
la loi moment-courbure externe où le moment de flexion sollicitant la section est la somme du moment du 1er ordre M0Ed et du moment du 2nd ordre. Pour simplifier, la répartition des courbures le long de la structure est considérée linéaire, ce qui permet de déterminer l'effet du second ordre en fonction de la courbure de la section critique uniquement ; la loi moment-courbure interne où le moment de flexion résistant résulte de l'état de contrainte de la section soumise à une courbure imposée, à effort normal donné ; l'intersection ou non des deux courbes représentatives de la loi externe et de la loi interne permet de vérifier qu'il existe ou non un état d'équilibre. Dans l'affirmative, l'intersection des deux courbes donne la valeur du moment total MEd à l'équilibre.
· ·
OQO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. VI (4) : Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
5.1.a) Loi externe M externe (1/R)
Dans l'hypothèse d'un flambement plan, d'une déformée sinusoïdale et d'une flèche e2 faible, on peut admettre : f ( x ) = e 2 sin 1 d 2f = R dx 2 x l0 2 x 1 = e 2 sin l l 0 0 R
La valeur e2 se déduit en fonction de la courbure 1/R pour l0/2 et on retrouve le résultat utilisé dans la méthode simplifiée basée sur l'estimation de la courbure. e2 = l0 1 2 R
2
Ncomb
Xi
f (x)
G Pi
l0
R
déformée sinusoïdale
Ncomb
e2
x
Fig./Tab. An. VI (5) : Déformée d'un élément bi articulé
OQP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Le moment total est la somme du moment du 1er ordre et du moment du 2nd ordre déterminé à partir de la valeur l de l'excentricité e2 . Au niveau de la section x = 0 , le moment total est égal à : 2 1 M = R
moment 1er ordre
68 7 M 0 Ed
644444moment 2 4444444 44 ordre 7 8 i=n × xi + N comb e 2 + G Pi e 2 - e 2 sin l0 i =1
nd
i=n 1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi R i =1 Avec
× xi 1 - sin l0
l 0 2 1 2 R
G Pi charge de poids propre à l'abscisse xi Ncomb effort normal de la combinaison considérée appliqué à l'extrémité de l'élément Dans le cas d'une charge Pi constante, l'équation devient :
1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi R
l0 2 0
2 × x l0 1 1 - sin dx 2 l0 R
2 2 l 0 1 l0 1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi 1 - 2 R R 2 2 - 2 l0 1 1 M = M 0 Ed + N comb + G N pp 2 R R 2 G N pp l 0 1 1 M = M 0 Ed + N comb + 2,752 2 R R
1,35 × 5,555 (2 × 21) 1 1 M = 22,838 + 39,220 + × × 2 2,752 R R 1 1 M = 22,838 + 7496,813 × R R
2
La valeur du moment externe pour la courbure correspondant à l'équilibre de la structure (voir ci-après) est égale à : M (0,00030143) = 22,838 + 7496,813 × 0,00030143 = 25,098MN.m
1 = 0,00030143 R
5.1.b) Loi interne Minterne(1/R)
A partir des diagrammes contraintes-déformations relative des matériaux, on détermine la valeur et la position des forces internes de la section béton armé pour une courbure 1/R donnée et l'effort normal de compression sollicitant NEd (étapes 1 à 3), pour obtenir le moment résistant interne (étape 4). Ce calcul est effectué pour plusieurs valeurs de courbure afin de pouvoir tracer la courbe représentative de la loi interne M(1/R). La résistance en traction du béton est négligée et le fluage est pris en compte en multipliant toutes les valeurs de déformation relative par le facteur (1+ef). Dans les calculs, les valeurs , , F sont positives en compression, négatives en traction. L'indice sc correspond aux aciers positionnés au-dessus du centre de gravité de la section de béton (aciers comprimés ou les moins tendus), l'indice st aux aciers positionnés au-dessous du centre de gravité de la section de béton (aciers tendus ou les moins comprimés).
OQQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Le calcul du moment interne est détaillé ci-après pour la courbure de la structure.
SECTION ENTIEREMENT COMPRIMEE
Y X Y
1 = 0,00030143 correspondant à l'équilibre R
b
Déformations relatives
Y Contraintes
Y
Forces internes
A sc
YG Ysc Yi
sc
sc
Fsc Fc
Yc
Arctg(1/R)
Yhc
h
G
ci
Yst
ci(1+ ef) st st
Fst
A st
bi
SECTION PARTIELLEMENT COMPRIMEE
Y X Y
b
Déformations relatives
Y Contraintes
Y
Forces internes
A sc
YG Ysc Yi
sc
sc
Arctg(1/R)
Yhc
Fsc
Fc
h
G
ci(1+ ef)
Yst
ci
A st
bi
st
st
Fst
Fig./Tab. An. VI (6) : Définition des paramètres pour le calcul du moment résistant interne
·
Etape 1 Calcul des déformations relatives
A partir de la relation de base
1 b - st = , (d distance entre b et st), on détermine les déformations R d relatives sur la hauteur h de la section béton armé soumise à une courbure 1/R.
Pour commencer, on se donne une courbure 1/R et une déformation relative b sur la fibre extrême du béton, tel que b c1 (1 + ef ) avec c1 la valeur de la déformation relative au pic de contrainte pour obtenir la hauteur de béton comprimé, soit : Yhc = Pour b h si la section est entièrement comprimée 1 / R < h si la section est partiellement comprimée
1 = 0,00030143 et b = 0,00054841 c1 (1 + ef ) = 0,002162 × (1 + 0,190) = 0,002573 , la hauteur R 0,00054841 comprimée est égale à Yhc = b = = 1,819m h = 2,30m ( section partiellement comprimée). 1 / R 0,00030143
Yc
OQR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Les déformations relatives deviennent : - le long de la section de béton ci = ci = bi (1 + ef )
(1 + ef ) (1,819 + Yi ) × 0,00030143 ci = (1 + 0,190)
sc = b - [( YG - Ysc ) × (1 R )]
( Yhc
- Yi ) × (1 R )
avec - 2,30 Yi 0
- au droit des aciers situés au-dessus du centre de gravité de la section
sc sans limitation si branche supérieure horizontale avec sc ud si branche supérieure inclinée sc = 0,00054841 - (1,150 - 1,080 ) × 0,00030143 sc = 0,00052731 ud = 0,045 condition vérifiée - au droit des aciers situés au-dessous du centre de gravité de la section st = b - [( YG + Yst ) × (1 R )] st sans limitation si branche supérieure horizontale avec st ud si branche supérieure inclinée st = 0,00054841 - (1,150 + 1,08) × 0,00030143 st = -0,00012379 > ud = -0,045 condition vérifiée
·
Etape 2 Calcul des contraintes
- Le long de la section de béton
2 k ci - ci c1 c1 ci = MAX f cd ; 0 1 + (k - 2 ) ci c1 2 ci ci 3,1060 × - 0,002162 0,002162 ; 0 ci = MAX 20 × ci 1 + 1,1060 × 0,002162
OQS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
- au droit des aciers situés au-dessus et au-dessous du centre de gravité de la section s yd s = s f yd yd
branche horizontale = f yd s branche inclinée s > yd - yd s = s × f yd + s × k × f yd - f yd ud - yd yd avec s = sc ou st et s = sc ou st
(
)
soit pour les aciers situés au-dessus du centre gravité de la section sc = 0,00052731 < yd = 0,002174 sc = sc f yd yd = 0,00052731 × 434,78 = 105,457 MPa 0,002174
soit pour les aciers situés au-dessous du centre gravité de la section st = -0,00012379 > yd = -0,002174 st = s
·
f yd yd
= -0,00012379 ×
434,78 = -24,757 MPa 0,002174
Etape 3 Calcul des forces internes
- Force résultante du béton et position par rapport au centre de gravité + i +1 b i + b i +1 Fci = i × ( h i +1 - h i ) × 2 2 Fc =
i =1
i=n
Fci
h + h i +1 Yci = i 2
Yc = YG -
Y
i =1
i=n
ci
× Fci
ci
F
i =1
i=n
OQT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Ces équations peuvent être résolues par une méthode numérique en découpant la hauteur h de la section en n tronçons.
hi (m) 0 -0,058 -0,115 | | -2,128 -2,185 -2,243 -2,3 bi (m) 4,6 4,6 4,6 | | 4,6 4,6 4,6 4,6
bi=ci × (1+fef) ci
ci (MPa) 9,98 9,746 9,507 | | 0 0 0 0 total Fci =
Fci (MN) 2,609 2,546 2,483 | | 0 0 0 45,848
Yci -0,029 -0,086 -0,144 | | -2,156 -2,214 -2,271 total Fci × Yci =
Fci × Yci -0,075 -0,22 -0,357 | | 0 0 0 -29,146 -0,636
0,00054841 0,00053107 0,00051374 | | -0,00009289 -0,00011022 -0,00012756 -0,00014489
0,00046085 0,00044628 0,00043172 | | -0,00007806 -0,00009263 -0,00010719 -0,00012176
Position résultante = -29,146/45,848 =
Fig./Tab. An. VI (7) : Contraintes dans le béton
Fc = 45,848MN Yc = YG - 0,636 = 1,15 - 0,636 = 0,514m - aciers situés au-dessus du centre de gravité de la section Fsc = sc × A sc 0,0216 = 1,139MN Fsc = sc × A sc = 105,457 × 2 - aciers situés au-dessous du centre de gravité de la section Fst = st × A st 0,0216 = -0,268MN Fst = st × A st = -24,757 × 2 - vérification de l'effort normal interne résultant N int = Fc + Fsc + Fst N int = 45,848 + 1,139 - 0,268 = 46,719 = N Ed condition vérifiée Nota : si cette condition n'est pas vérifiée, on réajuste la déformation relative b choisie au départ (ou la courbure 1/R) pour que l'effort normal interne Nint égalise l'effort sollicitant NEd.
OQU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Etape 4 Calcul du moment résistant interne
Après avoir équilibré Nint=NEd, on en déduit le moment interne pour la courbure 1/R donnée : Fc × Yc + Fsc × Ysc - Fst × Yst M (1 / R ) interne = Fc × Yc + Fsc × Ysc + Fst × Yst M(0,00030143)interne = 25,09MN.m section entièrement comprimée section partiellement comprimée
M(0,00030143)interne = (45,848 × 0,514) + (1,139 × 1,08) + (0,268 × 1,08)
Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
1/R 0,00000000 0,00016200 0,00023400 0,00030143 0,00037800 0,00043200 M(1/R)externe 22,838 24,052 24,592 25,098 25,672 26,077 M(1/R)interne 0,000 15,438 21,388 25,098 28,157 29,888 c extrême 4,334 7,708 8,994 9,980 10,925 11,512 sc extrème 39,985 76,198 92,214 105,457 119,070 128,043 st extrême 39,985 6,217 -8,870 -24,757 -44,218 -58,573
Equilibre
L'analyse structurale a été effectuée avec une vérification en simultané de la section critique dans le processus de calcul. La section critique est validée. 25,098 On notera que l'écart avec le calcul PCP ci-après est de - 1 = 2,7% . 24,441
OQV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
5.2. Résultats pour les deux piles avec un logiciel de calcul
Les exemples sont repris avec le logiciel PCP du Sétra qui permet un traitement global avec fluage scientifique et prise en compte simultanée du 2nd ordre géométrique et de la non-linéarité matériaux.
5.2.a) Cas de la pile de 21 m
M Ed = 24,441MN.m e 2 = 0,03846m M Ed 24,441 = = 1,070 M 0 Ed 22,838
5.2.b) Cas de la pile de 32 m
M Ed = 43,220MN.m e 2 = 0,227 m M Ed 43,220 = = 1,297 M 0 Ed 33,322
32 28 24 Abscisses (m) 20 16 12 8 4
M0Ed
0 0 5
MEd
10 15 20 25 30 35 40 45 50 Moments (MN.m)
Fig./Tab. An. VI (8) : Diagrammes des moments sur la pile L = 32m
5.2.c) Vérification de la section constante
Pour les deux piles, l'analyse structurale a été effectuée avec une vérification en simultané des sections dans le processus de calcul. La section constante est validée pour les deux piles.
5.2.d) Commentaires sur les méthodes simplifiées
Les valeurs de courbure 1/R et de rigidité EI déterminées à partir des résultats PCP sont comparées avec les estimations des deux méthodes simplifiées pour la pile de hauteur 21 m 1 2 2 1 1 = 0,00021518 < = 0,0021989 × 10,2 = e 2 × 2 = 0,03846 × 2 R PCP r estimée R PCP l0 (2 × 21) EI PCP = M Ed 24,441 = = 113583,97 MN.m ² > EI estimée = 15760,56 EI PCP / 7,2 1 / R 0,00021518
ainsi que les rapports entre moments incluant les effets du second ordre et moments du premier ordre.
ORM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Rappel résultat PCP :
M Ed 24,441 = = 1,07 M 0 Ed 22,838 M Ed 41,199 = = 1,80 M 0 Ed 22,838 M Ed 48,572 = = 2,13 M 0 Ed 22,838
Résultat méthode basée sur :
Résultat méthode basée sur EI :
Le calcul PCP démontre le caractère très sécuritaire des deux méthodes simplifiées. Pour la pile de hauteur 32 m, les sollicitations obtenues avec les deux méthodes simplifiées dépassent largement le 1 moment résistant de la section critique (MEd = 78,853MN.m avec la méthode basée sur , MEd = 310,482MN.m r avec la méthode basée sur EI).
6. Méthode générale de l'EN1992-2
La méthode est illustrée pour les deux piles avec une vérification utilisant successivement les deux inégalités (5.102 b) et (5.102 a) pour mettre en évidence la faible différence entre les résultats obtenus avec les deux critères. Les sollicitations sont déterminées avec le logiciel PCP du Sétra et le diagramme d'interaction de la section constante calculé avec le logiciel CDS du Sétra.
6.1. Vérification avec le critère (5.102 b)
Le processus d'incrémentation des charges a permis d'atteindre la résistance ultime de la section pour la pile de hauteur 21 m et la rupture globale de la structure pour la pile de hauteur 32 m. N Les résultats sont présentés pour les points de passage obligés (en MN, MN.m). M
6.1.a) Cas de la pile de 21 m
46,719 Charge de projet q ELU = G G + Q Q = [1,35 G + 1,35 Q] point U 24,031
[
]
138,239 Charge de ruine q ud = q ELU = 2,95 q ELU point A 91,948 Charge 108,850 q ud q = ud point D 61,584 O ' 1,27
Le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement, ce qui signifie que la pile est correctement dimensionnée. Le niveau de sécurité atteint est égal à = q ud = 2,95 > O ' = 1,27 . q ELU
6.1.b) Cas de la pile de 32 m
50,646 Charge de projet q ELU = G G + Q Q = [1,35 G + 1,35 Q] point U 39,129
[
]
ORN= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
65,839 Charge de ruine q ud = q ELU = 1,30 q ELU point A 61,156 Charge 51,841 q ud q ud = point D 40,176 O ' 1,27
Le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement, ce qui signifie que la pile est correctement dimensionnée. Le niveau de sécurité atteint est égal à = q ud = 1,30 > O ' = 1,27 . q ELU
Pile L=32m Ruine par instabilité d'ensemble
Pile L=21m Ruine par rupture de section M A (a)
A
D
D U
U
N
Chemin de chargement Points de passage obligés A sous charge de ruine q ud qud D sous 1,27 (a)
U sous charge de projet qELU Diagramme d'interaction de la section
Fig./Tab. An. VI (9) : Mode de ruine des piles et application du format de sécurité avec le couple (effort normal, moment)
ORO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Pile L=21m ME
91,948 D A
MR
61,584
24,031
U
q ELU = q ud 2,95
q ud
1,27
q ud
q
Pile L=32m ME MR
61,156 39,129 D U
A
40,176
q ELU = q ud 1,30
q ud q ud 1,27
q
Fig./Tab. An. VI (10) : Application du format de sécurité avec le couple (charge, Moment)
6.2. Mise en oeuvre de la méthode avec utilisation du critère (5.102 a)
Cette mise en oeuvre pratique est expliquée au travers des deux figures [EC2-2 Fig.PP.3] et [EC2-2 Fig.PP4].
On peut facilement remarquer que le point A est dans les deux cas représentés comme se trouvant sur la courbe (a), ce qui sous-entend qu'on est en présence d'une section critique. Ensuite les figures illustrent bien une vérification par le critère (5.102a) : le facteur partiel Rd est clairement utilisé et Sd ne l'est pas car ne sert que pour le critère (5.102c).
ORP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Fig./Tab. An. VI (11) : Application du format de sécurité pour une combinaison vectorielle (M, N) et un comportement sur-proportionnel
Chaque section transversale fait l'objet d'un graphe (N, M) sur lequel est reportée la courbe (a) du diagramme d'interaction de la section. Les différents points A, B, C, D, U définis par l'Eurocode 2 sont déterminés au cours des différentes séquences de chargement. A partir de la charge de ruine, on procède à la détermination des sollicitations (N, M) des points B et C et d'une courbe (b) obtenue par homothétie de la courbe (a) pour établir le format de sécurité.
6.2.a) Détermination de (NB, MB) représentées par un point B
La charge q ud q ELU = avec O = 1,20 donne des sollicitations notées B (NB, MB). O O
6.2.b) Détermination de (NC, MC) représentées par un point C
Les sollicitations NB et MB sont divisées par Rd , soit N c = On obtient un point C (NC, MC). NB Rd et Mc = MB avec Rd=1,06 Rd
6.2.c) Courbe (b) d'intéraction (N,M) et détermination de (ND, MD) représentées par un point D
On construit conventionnellement un domaine de sécurité réduit défini par une courbe (b) obtenue par homothétie de la courbe (a) par rapport à l'origine O (0, 0) et passant par le point C (NC, MC). Elle coupe le chemin de chargement en un point D (ND, MD).
6.2.d) Contrôle vis-à-vis de la sécurité
Le contrôle vis-à-vis de la sécurité est satisfait si le point U (NU, MU), représentant les sollicitations obtenues par le chargement qELU de la combinaison fondamentale ELU, est situé avant le point D (ND, MD) sur le chemin de chargement, autrement dit s'il se trouve à l'intérieur du domaine de sécurité (b) déduit de (a).
ORQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6.2.e) Résultats des calculs pour la pile de hauteur 21 m
ELU SOLLICITATIONS (N, M) ET RAPPEL DES COEFFICIENTS DE CALCUL
Coefficient G Coefficient Q NU POINT U M U Coefficient N POINT A A M A INEGALITES Coefficient O' Coefficient O N POINT B B M B Coefficient Rd NC POINT C M C (5.102 a)
1,35 1,35 46,719 24,031 2,95 138,239 91,948
Rappel (5.102 b) 1,27
1,20 115,199 66,323 1,06 108,678 62,569 109,943 62,333 OUI 108,850 61,584 OUI
N POINT D D M D Section critique validée 1 ?
1
Rappel : La section est validée si le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement.
Les résultats obtenus avec l'inégalité (5.102 b) sont mis pour comparaison. Les deux inégalités donnent sensiblement les mêmes sollicitations limites (ND, MD).
ORR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
6.2.f) Résultats des calculs pour la pile de hauteur 32 m
ELU SOLLICITATIONS (N, M) ET RAPPEL DES COEFFICIENTS DE CALCUL
Coefficient G Coefficient Q NU POINT U M U Coefficient N POINT A A M A INEGALITES Coefficient O' Coefficient O N POINT B B M B Coefficient Rd NC POINT C M C N POINT D D M D Section critique validée 1 ?
1
1,35 1,35 50,646 39,129 1,30 65,839 61,156
(5.102 a) Rappel (5.102 b) 1,27
1,20 54.866 43,176 1,06 51,760 40,861 52,540 40,976 OUI 51,841 40,176 OUI
Rappel : La section est validée si le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement.
Les résultats obtenus avec l'inégalité (5.102 b) sont mis pour comparaison. Les deux inégalités donnent sensiblement les mêmes sollicitations limites (ND, MD).
Pile L=21m M A (a)
Pile L=32m B D
C A
(b)
C
B D U
(b)
U
N
Fig./Tab. An. VI (12) : Application du format de sécurité selon l'inégalité (5.102 a) avec le couple (effort normal, moment)
ORS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6.3. Justification de l'utilisation de l'expression (5.102b)
On rappelle que les trois critères de vérification proposés par l'Eurocode 2 sont les suivantes :
résistance correspondante eftet des actions
Rd ou
64 744 4 8 E ( G G + Q Q )
678 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 a )
résistance correspondante
64 744 4 8 E ( G G + Q Q ) ou
effet des actions
678 4 4 q R ud O'
Inégalité (5.102 b)
résistance correspondante
Rd Sd
64 744 4 8 E gG + qQ
(
effet des actions
)
678 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 c)
Avec Rd = 1,06 coefficient partiel associé à l'incertitude de modèle de résistance Sd = 1,15 coefficient partiel associé à l'incertitude de modèle, des actions et/ou de leurs effets g coefficient partiel relatif aux actions permanentes G, compte non-tenu des incertitudes de modèle q coefficient partiel relatif aux actions variables, compte non-tenu des incertitudes de modèle G = Sd g coefficient partiel relatif aux actions permanentes G Q = Sd q coefficient partiel relatif aux actions variables Q O = 1,20 coefficient de sécurité global O' = O × Rd = 1,27 L'annexe nationale a réécrit ces trois inégalités sous une forme conforme aux prescriptions de l'Eurocode 0.
eftet 64des actions 4 44 7 8 E( GG + QQ ) résistance symbolique correspondante
1 × Rd 6 78 4 4 q R ud O'
6 78 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 a)
ou
effet 64des actions 4 44 7 8 E( GG + QQ ) résistance symbolique correspondante
Inégalité (5.102 b)
ou Sd 64748 4 4 E gG + qQ
effet des actions résistance symbolique correspondante
(
)
1 × Rd
6 78 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 c)
Il est demandé d'une manière générale que l'une trois inégalités soit satisfaite. Un examen plus détaillé permet cependant de s'apercevoir que les trois inégalités ne sont pas totalement équivalentes et que chacune est valable dans des conditions précises. Pour cela, il est nécessaire de revenir au format général de vérification défini par l'Eurocode 0 et rappelé brièvement au [Chapitre 2-4]. L'inéquation générale à vérifier s'écrit Ed Rd avec comme premier membre les effets des actions et comme second membre le domaine de résistance [EC0 Expr.(6.8)]. Le domaine de résistance est défini par l'ensemble des sollicitations limites atteintes dans une section donnée de la structure.
ORT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
En fait cette inéquation se décline en plusieurs inéquations lorsque chaque membre est exprimé en faisant apparaître de manière explicite les différents facteurs partiels de modèle : Ed = Sd E(f F) ou Ed = E(F F) et Rd = (1/Rd ) R(X/m) ou Rd = R(X/M) [EC0 Expr.(6.2) et (6.2a)]. [EC0 Expr.(6.6) et (6.6a)].
Il y a deux façons d'exprimer le premier et le second membre, donc au total quatre possibilités d'écrire le critère de vérification. L'Eurocode 0 précise, qu'en fait, toutes ces expressions n'expriment pas la justification vis-à-vis du flambement [EC0 6.4.2(3)P]. En effet, le flambement peut se produire avant que les limites de résistance des matériaux ne soient atteintes. Dans ce cas se pose la question du choix du symbole à mettre au second membre pour définir l'état-limite correspondant. Par facilité l'Eurocode 2 partie 2 a conservé le symbole R et a choisi d'utiliser les charges appliquées pour définir les limites ; d'où l'utilisation de R(qud), même si, dans le cas du flambement, ce n'est plus une résistance, au sens strict du terme, qui intervient. En introduisant les symboles utilisés par l'Eurocode 2 partie 2, (GG + QQ) pour les charges correspondant à la combinaison fondamentale d'ELU, et qud pour la charge ultime de ruine de calcul, le critère de vérification de la sécurité est exprimé en écrivant que les valeurs maximales des effets des actions sont limitées par les valeurs minimales des limites de "résistance", soit par l'inégalité : E(GG + QQ) < R(qud /(Rd × o)) Le comportement appelé « sur-proportionnel » se rencontre quand les sollicitations croissent plus rapidement que les actions ; c'est notamment le cas du flambement. L'inégalité de base peut être détaillée par la suite d'inégalités suivante :
inégalité ( 64444 75.102 b )444 4 44 8 q q ud 1 < G+ Q Q < E ( G G + Q Q ) < R × R ud Sd E G Rd Sd Sd O Rd × 4 144444444444444 24444444O 4444444 4 3 inégalité ( 5.102 c )
On reconnaît facilement dans cette suite d'inégalités les trois inégalités a), b) et c) de l'Eurocode 2 partie 2 réécrites correctement. Il est aussi aisé de voir que la seule vérification de l'inégalité b) assure la vérification des deux inégalités a) et c). En revanche, avec le comportement dit « sous-proportionnel » c'est-à-dire quand les sollicitations croissent moins rapidement que les actions (section qui se plastifie par exemple), la suite d'inégalités s'écrit différemment, comme ci-après :
64444444444444inégalité ( 5444444444444444 4 7.102 b ) 4 8 q ud q E ( G G + Q Q ) < Sd E G G+ Q Q < 1 × R ud < R × Rd Sd Sd O O Rd 43 14444444424444444
inégalité ( 5.102 c )
Il est aussi facile de contrôler que les inégalités a) et b) sont satisfaites dès lors que l'inégalité c) est vérifiée. En conclusion, pour le comportement appelé « sur-proportionnel » (exemple flambement), l'inégalité (5.102b) place en sécurité et pour le comportement appelé « sous-proportionnel », c'est l'inégalité (5.102c) qui place en sécurité. L'inégalité (5.102a) qui n'est qu'une variante simplifiée de l'inégalité (5.102c) sans faire apparaître le coefficient partiel du côté des effets des actions du premier membre, n'a qu'un intérêt limité. Le guide préconise l'utilisation de l'inégalité (5.102b) dans tous les cas, car elle est d'utilisation particulièrement simple : elle ne nécessite pas de détermination de diagrammes d'interaction ; elle évite d'avoir à s'interroger si le comportement peut être "sur ou sous" proportionnel. De plus elle place du côté de la sécurité dans le cas important du flambement. Et enfin l'imprécision qu'elle génère vis-à-vis de la sécurité dans le cas de comportement sous-proportionnel est acceptable car le facteur partiel pour incertitude de modèle n'intervient que pour une valeur de 1,06 dans un facteur partiel global de 1,27.
ORU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7. Récapitulatif des résultats des quatre méthodes sur la section à l'encastrement
7.1. Résultats des calculs pour la pile de hauteur 21 m
EC2-1-1 EFFORTS SOUS CHARGE qELU NEd M0Ed MEd MEd/M0Ed 41,199 1,80 48,572 2,13 METHODE BASEE SUR 1/r METHODE BASEE SUR EI 46,719 22,838 24,441 1,07 24,031 1,05 METHODE GENERALE EC2-2 METHODE GENERALE
La pile est correctement dimensionnée vis-à-vis des sollicitations données par les quatre méthodes d'analyse structurales
7.2. Résultats des calculs pour la pile de hauteur 32 m
EC2-1-1 EFFORTS SOUS CHARGE qELU NEd M0Ed MEd MEd/M0Ed 78,853 (*) 2,37 310,482 (*) 9,32 METHODE BASEE SUR 1/r METHODE BASEE SUR EI 50,646 33,322 43,220 1,30 39,129 1,17 METHODE GENERALE EC2-2 METHODE GENERALE
(*) Les sollicitations obtenues par les deux méthodes simplifiées dépassent largement le moment résistant de la section critique.
Par contre, la pile est correctement dimensionnée vis-à-vis des sollicitations données par les deux méthodes générales. Cet exemple confirme que les méthodes simplifiées sont très sécuritaires et qu'il faut préférer les méthodes générales pour obtenir un dimensionnement plus réaliste et plus précis des structures élancées.
ORV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Annexe VII Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
L'Eurocode permet de traiter un grand nombre de cas de figure. Les exemples suivants permettent d'illustrer les différentes méthodes de calcul. Les calculs ne sont pas systématiquement détaillés, mais sont données toutes les hypothèses de calcul qui permettront au lecteur de retrouver les valeurs numériques des résultats. Auparavant, le principe de calcul des contraintes pour les sections en béton précontraint [Chapitre 3-3.1.4] fissurées en service, mérite d'être rappelé et détaillé ici, les sections en béton armé ne présentant pas de difficultés particulières. On a déjà constaté lors d'un premier calcul en section non fissurée, sous combinaison caractéristique, que les contraintes de traction en fibre la plus tendue dépassent fctm en valeur absolue. Les calculs sont donc ensuite faits en section fissurée que ce soit sous combinaison caractéristique ou sous combinaison fréquente.
Sous combinaison quasi-permanente le calcul des contraintes se fera toujours en section non fissurée car la section va rester comprimée conformément à l'hypothèse la plus défavorable adoptée pour le dimensionnement..
Lorsqu'il y a fissuration, il est admis que les armatures de précontrainte adhérentes situées dans la zone tendue contribuent par leurs surtensions à la maîtrise de la fissuration sur une distance 150 mm du centre de l'armature. Les calculs sont faits à partir des coefficients d'équivalence Es/Ecm et Ep/Ecm (autrement dit, pas de prise en compte du fluage, conformément aux recommandations du chapitre 4 de ce guide). La surtension des aciers de précontrainte au-delà de l'état de déformation nulle du béton adjacent est pondérée par 1 = × s , rapport des capacités d'adhérence des armatures de béton précontraint et de béton armé. p Dans le calcul des contraintes, ce terme est compté pour tous les aciers de précontrainte situés dans le béton tendu (tandis que pour les calculs d'ouverture de fissure et pour le ferraillage minimal de maîtrise de la fissuration seule est comptée la surtension des aciers de précontrainte situés dans Ac,eff, voir l'application numérique ci-dessous). La surtension jusqu'au retour à zéro, notée ' p ) est comptée intégralement. Les équations d'équilibre dans la section fissurée sont exprimées comme suit : N = Fc - A s s - A p × ' p + 1 p
(
)
où Fc est l'effort de compression dans le béton et
M = M c - A s × s (d s - ) - A p × ' p + 1 p × d p -
(
) (
)
où Mc est le moment dû aux contraintes de compression dans le béton, exprimé par rapport au centre de gravité de la section. Par ailleurs les équations de compatibilité des déformations sont écrites, et le système obtenu est résolu.
1. PSIDP (flexion longitudinale, en précontrainte partielle)
1.1. Données
Dans cet exemple, la précontrainte longitudinale a été dimensionnée sur la base du critère minimum de l'Eurocode, à savoir la non-décompression sous combinaison quasi-permanente, afin d'obtenir un fonctionnement de la structure en précontrainte partielle.
OSM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Ce dimensionnement aboutit à la précontrainte suivante : 15 câbles 12T15S (Ap = 15 x 1800 mm²), dont le tracé est donné ci-dessous :
0.200 -0.250 -0.380
Fig./Tab. An. VII (1) : Câblage du PSIDP
On traite dans cet exemple le cas de la section située au milieu de la grande travée A mi-travée, les câbles ont pour excentricité e0 et la ligne de précontrainte a pour excentricité e00 = 0,213 m. La distance entre le hourdis supérieur et le centre de gravité des câbles vaut : dp =v+0,380=0,386+0,380=0,766 m La section d'aciers passifs est As = 72 cm² (section dimensionnée aux ELU et à la flexion), à base de HA20. La distance entre le hourdis supérieur et le centre de gravité des aciers vaut ds =0,84 m
Valeurs des sollicitations :
Pm,CT = 34,99 MNm (valeur court terme) Pm,LT = 32,32 MNm (valeur après pertes différées) Mg+g' = 9,39 MNm MGT = 0,85 MNm (moment dû au gradient thermique positif) MLM1,fréq = 4,77 MNm MLM1,carac = 7,40 MNm Les caractéristiques mécaniques de la section sont données en [Annexe I]. Pk,inf,LT = 0,9Pm,LT = 29,09 MN
1.2. Calcul des contraintes aux ELS
Les applications numériques ne sont pas toutes détaillées et donnent les résultats suivants :
·
Sous combinaison quasi-permanente
Par simplification, les calculs de contraintes ont été faits en section brute. La combinaison Q.P. donnant la plus petite compression en fibre inférieure est obtenue pour le moment : M = M g + g ' + 0,5M GT + Pk ,inf,LT × e 00 = 3,62 MNm Les contraintes correspondantes valent : = 6,2 MPa en fibre supérieure ' = 0,2 MPa en fibre inférieure La contrainte au niveau du centre de gravité des câbles de précontrainte vaut cp = 1,0 MPa
·
Sous combinaison caractéristique
D'après le tableau 6.2 de l'Eurocode 2, = 0,5 (précontrainte par post-tension adhérente constituée de torons, fck < 50 MPa)
OSN= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
s = 20 mm, p = 1,6 A p = 1,6 1800 = 68 mm, 1 = 0,5 ×
Par ailleurs, ' p = cp × Ep E cm 6 MPa
20 = 0,34 68
La résolution du système d'équations d'équilibre et de compatibilité des déformations n'est pas détaillée et les résultats suivants sont obtenus :
N = Pk ,inf,LT = 29,09 MN
M = M g + g ' + 0,6M GT + M LM1,carac + Pk ,inf,LT × e 00 = 11,11 MNm
s = 298 MPa p = 86 MPa, p + ' p = 92 MPa c = 21,0 MPa (contrainte de compression en fibre supérieure)
·
Sous combinaison fréquente :
N = Pk ,inf,LT = 29,09 MN
M = M g + g ' + 0,5M GT + M LM1,fréq + Pk ,inf,LT × e 00 = 8,39 MNm
s = 94 MPa p = 26 MPa, p + ' p = 32 MPa c = 13,2 MPa (contrainte de compression en fibre supérieure)
x = 0,299 m (position de l'axe neutre, utile pour le calcul de l'ouverture de fissure)
1.3. Vérification des contraintes aux ELS
Les vérifications sont faites sous combinaison caractéristique :
s = 298 MPa < 0,8fyk = 400 MPa c = 21,0 MPa < 0,6fck = 21 MPa
pm = Pm 32,32 + p + 'p = + 92 = 1289 MPa < 0,80fpk = 0,80×1860 = 1488 MPa Ap 15 1800 10-6
C'est la valeur probable de la contrainte dans les armatures de précontrainte qui doit être limitée sous combinaison caractéristique de charges [EC2-1-1/AN 7.2(5)] et [Chapitre 7-1.2.3]. Dans le calcul précédent, on a utilisé la valeur probable à l'état permanent et ajouté les variations de contrainte déjà obtenues sous la combinaison caractéristique avec Pk,inf . Ce calcul est en principe du côté de la sécurité. Un calcul formellement plus cohérent consisterait à recalculer les variations de contrainte dans les armatures de précontrainte à partir de l'état obtenu avec Pm .
Les limites sont respectées.
OSO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.4. Vérification de l'ouverture de fissure sous combinaison fréquente
Ici le calcul d'ouverture de fissure par la méthode directe [EC2-1-1 7.3.4] est détaillé. La section étant approximativement rectangulaire dans la zone tendue, les formules proposées peuvent être appliquées. Soient : s = 94 MPa hc,ef = min ( 2,5 × (h-ds) ; (h-x)/3 ) = min ( 2,5 × 60 ; (900-299) / 3 ) = 150 mm Ac,ef = 6,20 × 0,150 = 0,93m² A'p = Ap = 15 × 1800 mm² (car toutes les armatures de précontrainte sont situées dans Ac,eff) p,eff = (As + 1² A'p)/ Ac,eff = 1,11 % kt = 0,6 sm - cm = 0,6 s/Es = 282 m/m (le premier terme de l'équation (7.9) de l'Eurocode 2 donne un résultat négatif) sr,max = 3,4 × 30 + 0,425 × 0,8 × 0,5 × 20 / 1,11 % = 408 mm wk = sr,max × (sm - cm) = 282 × 10-6 × 408 = 0,12 mm La valeur obtenue est inférieure à la limite admissible de 0,2 mm.
1.5. Calcul du ferraillage minimum
Le ferraillage minimum n'est pas dimensionnant ici, puisqu'il correspond au ferraillage qui serait nécessaire pour équilibrer le moment de fissuration (c'est-à-dire le moment créant une traction fctm=3,2MPa en fibre inférieure, en présence de l'effort normal Pk,inf,LT), alors que le moment sous combinaison caractéristique est largement supérieur au moment de fissuration. Le calcul est toutefois effectué pour illustrer la démarche. La section étant approximativement rectangulaire dans la zone tendue, la formule (7.1) peut être appliquée. En négligeant la contribution des aciers de précontrainte, cela donne successivement : Mfiss = ( N/S + fct,eff ) I/v' = 7,11 MNm Sous Mfiss et Pk,inf,LT, la hauteur tendue avant fissuration est de 24 cm Act = 0,24 × 6,2 = 1,5 m² c = N/S = Pk,inf,LT / S = 3,6 MPa k1 = 1,5 (section comprimée) h* = h (car h < 1,0m) kc = 0,4 [ 1 3,6/(1,5×3,2)] = 0,1 k = 1,0 (puisqu'on considère des contraintes dues à des efforts extérieurs) As,min = kc×k×fct,eff×Act / fyk = 0,1 × 1,0 × 3,2 × 1,5 / 500 = 9,6 cm², inférieur au ferraillage mis en place. Une alternative consiste à calculer les contraintes en section fissurée sous l'effet du moment de fissuration, et à vérifier que les contraintes dans les aciers passifs restent inférieures à 500 MPa.
OSP= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
2. Encorbellement du PSIDP (flexion transversale, béton armé)
2.1. Données
La section au niveau du gousset côté glissière GS2 (épaisseur 35cm) est vérifiée. MQP = 24 kNm/m Mfréq = 93 kNm/m Mcarac = 119 kNm/m MELU = 161 kNm/m Le dimensionnement du ferraillage en flexion à l'ELU de résistance donne As = 12 cm²/m, soit un ferraillage avec HA14, s = 125 (As = 12,3 cm²/m), et un enrobage c = 30 mm.
2.2. Calcul des contraintes sous combinaison caractéristique :
Le calcul est fait en section fissurée avec un coefficient d'équivalence n = 15 s = 342 MPa < 0,8fyk = 400 MPa pour des aciers B500
2.3. Vérification de l'ouverture de fissure sous combinaison fréquente :
Le calcul est fait avec un coefficient d'équivalence n = 15 et donne successivement : x = 91 mm (hauteur comprimée en section fissurée) h-d = c+/2 = 37 mm s = 267 MPa kt = 0,6 (combinaison d'action correspondant à un chargement essentiellement court terme) hc,ef = min [ 2,5 × (h-d) ; (h x) /3 ] = min [ 2,5 × 37 ; (350 91) /3 ] = 86 mm eff = As / hc,ef = 12,3 × 10-4 / 0,086 = 1,43 % sm - cm = max [ (s - kt×fct,eff/p,eff.(1+e×p,eff)) /Es ; 0,6 s/Es ] Le premier terme de cette expression [EC2-1-1 Expr.(7.9)] donne une valeur inférieure au plancher : sm - cm = 0,6 s/Es = 801 m/m k1 = 0,8 k2 = 0,5 sr,max = k3×c + k1×k2×k4×/eff = 3,40×30 + 0,8 × 0,5 × 0,425 × 14/1,43 % = 269 mm wk = (sm cm)×sr,max = 801 × 10-6 × 269 = 0,22 mm < 0,30 mm
Le dimensionnement du ferraillage sous la combinaison fondamentale aux ELU permet de satisfaire à la limitation de l'ouverture de fissure à 0,3 mm sous combinaison fréquente. Cependant, le taux de travail des armatures passives reste relativement élevé sous combinaison caractéristique, avec risque de fatigue. Dans cet exemple, il conviendrait soit de vérifier à la fatigue des armatures, soit d'augmenter la section d'armatures pour limiter leur taux de travail à 300 MPa sous combinaison caractéristique et bénéficier de la règle de dispense.
OSQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3. Tirant en béton armé et précontraint soumis à des charges extérieures
3.1. Données
Cet exemple permet de traiter la présence simultanée d'aciers de précontrainte et d'aciers passifs. Schéma : - tirant 250 × 250, béton C35/45, - 4HA16 situés aux 4 coins (distance c+/2 = 50 mm), fyk = 500 MPa, - 2 monotorons adhérents T13S, Ep = 200 000 MPa, p0 = 1350 MPa (tension dans les câbles avant relâchement du vérin). Chargement extérieur (hors précontrainte) N = -430 kN (traction) As = 800 mm² Ap = 200 mm², P0 = Ap × p0 = 270 kN Ac = 250² 800 200 = 61 500 mm² (section nette) Diamètre équivalent des torons de précontrainte : les torons T13S sont constitués d'un fil central de 4,40 mm de diamètre et de 6 fils périphériques de 4,25 mm. La formule proposée en 6.8.2(2)P est P = 1,75wire soit P = 1,75 × 4,25 = 7,44 mm Rapport de capacité d'adhérence des torons par rapport aux aciers HA : = 0,6 (torons en pré-tension). Rapport de capacité d'adhérence des torons par rapport aux aciers HA, corrigé de leurs diamètres : 1 = (0,6 × 16 / 7,44) = 1,136 Ce cas particulier donne 1 > 1. Bien que ce ne soit pas dit explicitement, il serait contraire à l'esprit du texte de prendre une valeur supérieure à 1,0 × 1 = 1 sera donc retenu pour le calcul des contraintes (même adhérence).
3.2. Calcul de l'ouverture de fissure
Le calcul des ouvertures de fissures est fait avec l'hypothèse d'un chargement court terme.
·
Calcul de la contrainte dans les aciers au droit des fissures :
Le calcul est fait avec la valeur basse de la fourchette de précontrainte : rinf = 0,90 Next = rinf×Ap×p As×s p = Ep×p s = Es×s p = p0 + s (cas de la prétension) => Next = rinf ×P0 (rinf×Ap + As) ×s s = (0,9 × 270 + 430) / (0,9 × 200 + 800) = 191 MPa p = 0,9 × 1350 + 191 = 1406 MPa
Dans ce calcul, une même adhérence entre les différents aciers a été supposée, conformément aux remarques faites précédemment sur le calcul en section fissurée.
OSR= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
·
Calcul de l'espacement entre fissures : L'Eurocode ne traite pas de façon générale la participation simultanée d'aciers passifs et d'aciers de précontrainte à la maîtrise de la fissuration. Il est nécessaire de faire un certain nombre d'hypothèses dans ce paragraphe afin de pouvoir utiliser les formules proposées.
k1 = (800 × 0,8 + 200 × 1,6) / (800+200) = 0,96
La valeur de 1,6 pour les torons adhérents est certainement sévère, cette valeur s'appliquant plutôt au cas des barres lisses. Le calcul est donc sécuritaire. Par ailleurs, en l'absence de précision dans l'Eurocode 2, on a choisi ici d'utiliser une valeur de k1 intermédiaire déterminée à partir d'une pondération sur les sections d'armatures.
k2 = 1,0 (traction pure) eq = 16 mm
La formule (7.12) de pondération de eq ne s'applique que dans le cas d'aciers passifs de diamètres différents. Ici, il n'y a qu'un seul diamètre d'acier passif de référence, c'est cette valeur qui doit être introduite dans la formule. Il faut noter que dans le cas général il faudrait utiliser la définition 1² = eq / p
Ac,eff = Ac
En effet, l'aire efficace de chaque acier passif est délimitée par un carré de 2,5 (h-d) = 125 mm de côté. Les aires efficaces des 4 aciers passifs suffisent donc à couvrir la section, sans même compter l'armature de précontrainte.
A'p = Ap = 200 mm² p,eff = (800 + 1,136² × 200) / 61500 = 1,72 % eq / p,eff = 16 / 1,72 % = 930 mm sr,max = 3,4 × (50-16/2) + 0,425 × 0,96 × 1,0 × 930 = 522 mm
·
Calcul de sm - cm :
kt = 0,6 (calcul court terme) e = Es / Ecm = 200 000 / 34 077 = 5,87
s - k t
f ct ,eff p ,eff
(1 + )
e p ,eff
Es
·
= 0,33 mm/m
< 0,6 s / Es = 0,57 mm/m
Calcul de wk :
wk = 522 × 0,57 = 0,30 mm
OSS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.3. Calcul du ferraillage minimum
Calcul en section non fissurée sous l'effort appliqué, avec rinf = 0,9 Next = Ac×c rinf×Ap×p As×s p = Ep×p s = Es×s c = Ec×c et c = s p = p0 + s (cas de la prétension)
=> Next = rinf×P0 - (Ac / e + rinf×Ap + As) ×s s = (-0,9 × 240 + 430) / (0,9 × 200 + 800 + 61500 / 5,87 ) = 16,3 MPa c = s / e = -2,8 MPa Le béton est tendu, il faut donc mettre le ferraillage minimum [EC2-1-1 7.3.2(4)] kc = 1,0 (traction pure) k = 1,0 (traction due à des charges extérieures) fct,eff = fctm = 3,2 MPa Act = Ac = 61500 mm² s = fyk = 500 MPa As,min = (1,0 × 1,0 × 3,2 × 61500)/500 = 394 mm² C'est le ferraillage passif nécessaire pour équilibrer un effort de traction de 3,2 MPa dans le béton As,min < As : le ferraillage prévu est suffisant. Nota : il aurait été possible de tenir compte de la participation des torons adhérents pour déterminer le ferraillage minimum, [EC2-1-1 7.3.2(3)] : As,min = 394 1×Ap×p / s (calcul cependant inutile dans ce cas)
4. Dalle en béton armé soumise à du retrait empêché
4.1. Données
Cet exemple correspond à un voile coulé entre deux bétons existants, parfaitement rigides. Ce type de problème est traité de façon générale dans l'Eurocode 2 partie 1-1, et est repris et détaillé dans l'Eurocode 2 partie 3 (silos et réservoirs), où les problèmes de maîtrise de la fissuration sous déformations gênées sont particulièrement sensibles. Il sera donc fait appel à l'Eurocode 2 partie 3 lorsque nécessaire.
·
Description de la dalle :
- dalle 1m × 0,24m, béton C35/45, aciers fyk = 500 MPa, - ferraillage HA12 s=200 en nappe supérieure et HA14 s=200 en nappe inférieure, c = 3cm.
·
Choix de la valeur de fct,eff
S'agissant d'un problème de déformation imposée, il faut déterminer la date à laquelle la fissuration est susceptible de se produire : à 28 jours ou avant ? N = Ec×Ac×cs effort normal hyperstatique dû au retrait empêché du béton c = N / (Ac + e×As ) N / Ac contrainte dans le béton (calcul en section non fissurée)
OST= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
La courbe c(t) peut être tracée et comparée à la résistance en traction du béton :
Fig./Tab. An. VII (2) : Comparaison entre la contrainte de traction due au retrait gêné et fctm(t)
Au vu de ces courbes, on ne peut pas affirmer que la fissuration sous l'effet du retrait empêché se produira avant 28 jours. fct,eff est donc choisi égal à fctm .
4.2. Calcul des contraintes dans les aciers pour le calcul des ouvertures de fissure
L'Eurocode 2 partie 1-1 donne la valeur à prendre en compte dans le cas d'un tirant soumis à des déformations gênées : s = kc × k × fct,eff × Act/As L'Eurocode 2 partie 3 confirme cette valeur : s = kc × k × fct,eff /s Coefficients : kc = 1,0 dans le cas d'un tirant en traction pure k = 0,65 (coefficient de réduction spécifique au calcul des contraintes sous déformation imposée) Ici, les deux nappes ne sont pas symétriques, le coefficient kc n'est donc pas rigoureusement égal à 1,0. Le calcul des contraintes dans les deux nappes peut se faire directement lorsque le tirant est soumis aux sollicitations. N = k × fct,eff × Ac et M=0 Ce qui donne s,sup = 440 MPa et s,inf = 330 MPa (au lieu de s = 0,65 × fct,eff × Act/As = 374 MPa si le ferraillage avait été symétrique). Autrement dit : kc,sup = 440 / 374 = 1,17 pour la nappe supérieure, et kc,inf = 330 / 374 = 0,87 pour la nappe inférieure. [EC2-3 Anx.M Expr.(M.2)] [EC2-1-1 7.3.3(2) note]
OSU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.3. Calcul de l'ouverture de fissure
·
En nappe supérieure :
hc,ef = min ( 2,5×(h-d) ; h/2 ) = min ( 2,5×36 ; 120 ) = 90 mm Ac,ef = 0,09 m² ef = As,sup / Ac,ef = 0,63 % k2 = (440+330)/(2 × 440) = 0,87 (on retrouve le coefficient kc,inf calculé plus haut) sr,max = 3,4 × 30 + 0,425 × 0,8 × 0,87 × 12 / 0,63 % = 670 mm sm - cm = max [ (s kt×fct,eff/p,eff.(1+e×p,eff)) /Es ; 0,6 s/Es ] avec kt = 0,4 = max [ 1,18 mm/m ; 1,32 mm/m ] = 1,32 mm/m
L'Eurocode 2 partie 3 donne une formule légèrement différente pour ce cas spécifique : sm - cm = 0,5 s/Es , au lieu de l'expression (7.9) de l'Eurocode 2 partie 1-1, soit 1,10 mm/m. Cette dernière formule, qui est plus favorable sera utilisée.
[EC2-1-1 Expr.(7.9)]
sm - cm = max [ (440 0,4×3,2/0,63%×(1+5,86×0,63%)) / 200000 ; 0,6×440 / 200000 ]
wk = 1,10.10-3 × 670 = 0,74 mm Cette expression est valable à proximité des aciers. L'espacement de 200mm étant supérieur à 5(c+/2) = 180 mm, l'expression (7.14) est également utilisée, soit : sr,max = 1,3h = 312 mm wk = 1,10×10-3 × 312 = 0,34 mm Ce résultat n'est pas logique, puisqu'il donne un espacement de fissures plus grand au niveau des aciers qu'entre deux aciers (contrairement à la figure 7.2 de l'Eurocode 2 partie 1-1). Cela montre les limites des formules, qui sont manifestement calées pour des poutres en flexion plutôt que pour des dalles en traction. Pour une dalle, les résultats expérimentaux montrent qu'il serait plus juste d'utiliser sr,max = 1,3×max(s ; h), où s est l'espacement des aciers, bien que cela ne change pas le résultat ici.
·
En nappe inférieure
hc,ef = min ( 2,5×(h-d) ; h/2 ) = min ( 2,5×37 ; 120 ) = 92 mm Ac,ef = 0,0925 m² ef = As,inf / Ac,ef = 0,83 % k2 = 0,87 (inchangé) sr,max = 3,4×30 + 0,425×0,8×1,17×14 / 0,83 % = 601 mm sm - cm = 0,82 mm/m
-3
[EC2-3 Anx.M.1]
wk = 0,82×10 × 601 = 0,49 mm Pour mémoire, calcul loin des aciers : sr,max = 1,3h = 312 mm wk = 0,82×10-3 × 312 = 0,26 mm
·
Bilan
Le ferraillage mis en place n'est pas suffisant pour reprendre entièrement les efforts dus aux déformations imposées.
OSV= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
4.4. Ferraillage à mettre en place pour équilibrer les déformations imposées avec wk = 0,3 mm
Le même diamètre d'aciers en fibre supérieure et inférieure est adopté, afin de symétriser le problème. Donc kc = 1,0. Le ferraillage minimum de non-fragilité est donné par : As,min = kc×k×fct,eff×Act / fyk = 1,0 × 0,65 × 3,2 × 0,24 / 500 = 10,0 cm², soit deux nappes de HA12, s = 200. Comme vu précédemment ce ferraillage est nettement insuffisant pour respecter une ouverture de fissure de 0,3mm. Le tableau 7.2N peut être utilisé pour dimensionner le ferraillage (méthode simplifiée) : Par exemple, avec des aciers HA14 : s = 14 mm s* = s × 2,9/fct,eff ×8×(c+/2) / hcr = s × 2,9/3,2 × 8 × 0,037 / 0,24 = 1,12 s = 16 mm D'où s = 240 MPa (tableau 7.2N pour wk = 0,3mm) Connaissant le taux de travail à retenir pour des HA 14, la formule du ferraillage minimal est utilisée pour déterminer un espacement. D'où = kc × k × fct,eff / s = 1,0 × 0,65 × 3,2 / 240 = 0,86 % As = 0,0086 × 24/2,1 = 10,3cm²/ml ou 6,7 HA14/ml D'où s = 150 mm Une vérification par le calcul selon la méthode directe montre que le choix de 2 lits de HA14, s = 150 donne wk = 0,31 mm et dans ce cas les deux méthodes donnent des résultats proches.
5. Voile en béton armé coulé au contact d'un béton plus âgé
5.1. Données
Cet exemple permet de modéliser le comportement d'un hourdis inférieur d'un voussoir en béton coulé en place contre un voussoir précédent déjà durci, ou encore une levée de pile sur la levée précédente. L'exemple précédent a permis de déterminer le ferraillage nécessaire en supposant que le voile est parfaitement encastré latéralement, ce qui n'est pas le cas pour un hourdis de pont caisson ou pour une levée de pile. L'exemple du voile précédent est donc repris, avec un ferraillage inférieur à celui résultant du calcul précédent, soit des HA12 et HA14 avec espacement de s = 200. La largeur de ce voile est de 5m, sa hauteur courante est de 3,30 m et un cycle de réalisation de 7 jours est supposé. Le problème étudié est le suivant : ferraillage transversal pour coudre les effets du retrait différentiel et du retrait thermique lors du bétonnage.
Fig./Tab. An. VII (3) : Illustration du problème traité : fissuration d'un voile restreint sur un seul côté
Ce problème est traité de façon détaillée dans l'Eurocode 2 partie 3, en particulier les annexes L et M.
OTM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
5.2. Calcul de l'ouverture de fissure
L'ouverture de fissure est calculée à partir de l'expression sm cm = R × free, où free est le retrait libre qui se produirait en l'absence de blocage, et R un coefficient réduction lié au type de blocage. Pour la partie centrale d'un voile de rapport L / H = 5,0 / 3,3 = 1,5 la valeur recommandée de R est R = 0,5 à la base du voile, et R = 0 au sommet du voile (tableau L.1) Le ferraillage est dimensionné pour la zone la plus sollicitée, soit R = 0,5 free est la somme de deux termes :
· ·
retrait thermique : par exemple, pour une élévation de température de 40°C, T = .T = 0,4 mm/m, retrait différentiel entre les deux éléments : il est donné par la courbe cd(t+7) - cd(t). Cette courbe est maximale pour t = 0, soit cd < 0,02 mm/m (négligeable).
D'où sm - cm 0,5 × 4.10-4 = 0,20 mm/m . Calcul de l'ouverture de fissure :
· ·
hourdis supérieur : le résultat reste inchangé sr,max = 670 mm, d'où wk = 0,13 mm < 0,3 mm, hourdis inférieur : sr,max = 770 mm, wk = 0,15 mm < 0,3 mm.
Le ferraillage prévu est suffisant.
Fig./Tab. An. VII (4) : Retrait différentiel entre les deux éléments
OTN= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
Annexe VIII Bibliographie
Les EUROCODES :
Eurocode Titre Annexe nationale
NF EN 1990 NF EN 1990/A1 NF EN 1991-1-1 NF EN 1991-1-2 NF EN 1991-1-3 NF EN 1991-1-4 NF EN 1991-1-5 NF EN 1991-1-6 NF EN 1991-1-7 NF EN 1991-2 NF EN 1991-3 NF EN 1992-1-1 NF EN 1992-1-2 NF EN 1992-2
Base de calcul sur les structures Annexe A2 : applications aux ponts Actions générales - Poids volumique, poids propres et charges d'exploitation bâtiments Actions générales - Actions sur les structures exposées au feu Actions générales - Charges de neige Actions générales - Actions du vent Actions générales - Actions thermiques Actions générales - Actions en cours d'exécution Actions générales - Actions accidentelles Actions sur les ponts dues au trafic Actions induites par les grues et les ponts roulants Calcul des structures en béton - Règles générales et règles pour les bâtiments Calcul des structures en béton - Règles générales - Calcul du comportement au feu Calcul des structures en béton - Ponts en béton - Calcul et dispositions constructives
NF P06-100-2 NF EN 1990/A1/NA NF P06-111-2 NF EN 1991-1-2/NA NF EN 1991-1-3/NA NF EN 1991-1-5/NA
NF EN 1991-2/NA NF EN 1992-1-1/NA NF EN 1992-1-2/NA NF EN 1992-2/NA
NF EN 13670 NF EN 206-1 NF EN 206-1/A1 NF EN 206-1/A2
Exécution des structures en béton. Projet de norme (PR NF EN 13670) Béton. Partie 1 : spécification, performances, production et conformité Premier amendement à la norme NF EN 206-1 Deuxième amendement à la norme NF EN 206-1
CEB-FIB, Model Code for Concrete Structures 1990, Thomas Telford Services (1993) Les Eurocodes, Conception des bâtiments et des ouvrages de génie civil, Editions Le Moniteur (2005) Diffusion des efforts concentrés, Guide Méthodologique, Sétra (2006) Résistance à la fatigue-Ponts métalliques et mixtes, Sétra (1996) Toward a consistent design of structural concrete, Jorg Schlaich et al, PCI Journal, May-June 1987 Structures en béton conçues à l'Eurocode 2. Note technique sur les dispositions relatives à l'enrobage pour l'application en France, LCPC, F. Toutlemonde, A. Coin (2005)
OTO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
OTP= Annexe VIII - Bibliographie
OTQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
OTR= Annexe VIII - Bibliographie
OTS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
service d'Études techniques des routes et autoroutes
Sétra
46 avenue Aristide Briand BP 100 92225 Bagneux Cedex France téléphone : 33 (0)1 46 11 31 31 télécopie : 33 (0)1 46 11 31 69 internet : www.setra. developpement-durable. gouv.fr
Ce guide méthodologique aborde la mise en application des prescriptions de l'Eurocode 2 aux ponts en béton. Destiné aux projeteurs, il présente les principes de justification de l'Eurocode 2 et met l'accent sur les différences et les nouveautés par rapport à la pratique française. Riche de nombreux exemples, il ambitionne de servir efficacement la profession des constructeurs de ponts en béton et tout particulièrement les bureaux d'études et les maîtres d'oeuvre. Il contribuera certainement, dans son domaine, à faciliter le passage de nos règlements de calculs actuels aux eurocodes.
Document disponible au bureau de vente du Sétra 46 avenue Aristide Briand - BP 100 - 92225 Bagneux Cedex - France téléphone : 33 (0)1 46 11 31 53 - télécopie : 33 (0)1 46 11 33 55 Référence : 0838 - Prix de vente : 26
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Le Sétra appartient au Réseau Scientifique et Technique du M eeddat
(ATTENTION: OPTION ction des armatures, peut conduire à une résistance à la compression du béton supérieure à celle requise par le dimensionnement de la structure du point de vue de la résistance.
PS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Désignation de la classe
Description de l'environnement Béton non armé et sans pièces métalliques noyées : toutes expositions sauf en cas de gel/dégel, d'abrasion et d'attaque chimique Béton armé ou avec des pièces métalliques noyées : très sec
Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition
Aucun risque de corrosion ni d'attaque X0
Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est très faible Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est faible Béton submergé en permanence dans de l'eau Surfaces de béton soumises au contact à long terme de l'eau Un grand nombre de fondations Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est moyen ou élevé Béton extérieur abrité de la pluie Surfaces de béton soumises au contact de l'eau, mais n'entrant pas dans la classe d'exposition XC2 Surfaces de béton exposées à des chlorures transportés par voie aérienne Piscines Eléments en béton exposés à des eaux industrielles contenant des chlorures
Corrosion induite par carbonatation XC1 Sec ou humide en permanence
XC2 XC3
Humide, rarement sec Humidité modérée
XC4
Alternativement humide et sec
Corrosion induite par les chlorures XD1 XD2 Humidité modérée Humide, rarement sec
XD3
Alternativement humide et sec
Eléments de ponts exposés à des projections contenant des chlorures Chaussées Dalles de parcs de stationnement de véhicules
Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer XS1 XS2 XS3 Attaque gel/dégel XF1 XF2 XF3 XF4 Saturation modérée en eau, sans agent de déverglaçage Saturation modérée en eau, avec agents de déverglaçage Forte saturation en eau, sans agents de déverglaçage Forte saturation en eau, avec agents de déverglaçage ou eau de mer Surfaces verticales de béton exposées à la pluie et au gel Surfaces verticales de béton des ouvrages routiers exposés au gel et à l'air véhiculant des agents de déverglaçage Surfaces horizontales de béton exposées à la pluie et au gel Routes et tabliers de pont exposés aux agents de déverglaçage Surfaces de béton verticales directement exposées aux projections d'agents de déverglaçage et au gel Zones des structures marines soumises aux projections et exposées au gel Attaques chimiques XA1 XA2 XA3 Environnement à faible agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2 Environnement d'agressivité chimique modérée selon l'EN 206-1, Tableau 2 Environnement à forte agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2 Sols naturels et eau dans le sol Sols naturels et eau dans le sol Sols naturels et eau dans le sol Exposé à l'air véhiculant du sel marin, mais pas en contact direct avec l'eau de mer Immergé en permanence Zones de marnage, zones soumises à des projections ou à des embruns Structures sur ou à proximité d'une côte Eléments de structures marines Eléments de structures marines
Fig./Tab.1.(1) : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement, conformément à l'EN 206-1 [EC2-1-1 Tab.4.1]
PT= Chapitre 3 Données principales pour les projets
Les indications complémentaires intéressant explicitement les ponts et apportées par l'annexe nationale [EC2-1-1/AN] sont données dans des notes 3 et 6 du Tableau 4.1. Elles sont rappelées ci-dessous.
Note 3 : sont à classer en XC4 les parties aériennes des ouvrages d'art y compris les retours de ces parties par les cheminements et/ou rejaillissements de l'eau. Le classement en XC4 tient compte d'un environnement extérieur où même les parties abritées de la pluie sont susceptibles d'être soumises à des ruissellements ou projections d'eau, et où la teneur en gaz carbonique dans l'air environnant l'ouvrage est a priori plutôt élevée. Note 6 : en France, les classes d'exposition XF1, XF2, XF3 et XF4 sont indiquées dans la carte donnant les zones de gel [EN 206-1/AN NA4.1 Fig.NA.2 et Note]. Pour ces classes d'exposition XF, et sous réserve du respect des dispositions liées au béton (EN 206-1 et documents normatifs nationaux), l'enrobage sera déterminé par référence à une classe d'exposition XC ou XD, comme indiqué en [EC2-1-1 4.4.1.2(12)].
Les classes de référence à retenir, pour l'enrobage uniquement, sont les suivantes :
Type de salage (cf. Recommandations Gel 2003) Peu fréquent Classes d'exposition XF1 XC4 XF2 Sans objet XD1, XD3 pour éléments très exposés* Sans objet XF3 pour béton formulé sans entraîneur d'air XC4 avec entraîneur d'air XD1 Sans objet Sans objet XF4 Sans objet XD2, XD3 pour éléments très exposés* XD3
Fréquent Très fréquent
Sans objet Sans objet
* pour les ponts : corniches, longrines d'ancrage des dispositifs de retenue, solins des joints de dilatation
La correspondance établie par l'annexe nationale à partir des classes XF vers les classes XC ou XD ne s'impose que si la classe de référence obtenue est plus sévère que la classe XC ou XD concomitante. Dans le cas d'une classe XS concomitante avec une XF il n'y a pas de correspondance et c'est la classe XS d'origine du projet qui sert dans la détermination de l'enrobage. Exemple d'un pont en bord de mer La détermination des classes d'environnement se fait par paroi : · pour les parois extérieures : - XC4 corrosion induite par carbonatation, paroi soumise à un environnement alternativement humide et sec ; - XS1 corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer, paroi exposée à l'air véhiculant du sel marin, mais pas en contact direct avec l'eau de mer. L'exemple choisi est suffisamment éloigné du bord de mer immédiat pour ne pas être classé en XS3 [EC2-1-1/AN Tab.4.1 Note5]. · sous la chape d'étanchéité [EC2-2 4.2(105)] : - XC3 · pour les parois intérieures [EC2-2 4.2(104)] : - XC3 (on a choisi de ne pas classer l'intérieur du caisson en XS1, mais ceci est fonction du projet particulier).
Fig./Tab.1.(2) : Exemple d'un pont situé en bord de mer
PU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2 - Enrobage
Au premier abord, la détermination des valeurs d'enrobage à adopter pour les armatures paraît complexe. En effet il faut passer successivement par :
· ·
la détermination des classes d'exposition (utilisation du tableau 4.1 comme vu ci-dessus), la détermination de la classe structurale [EC2-1-1 4.4.1.2(5)],
La classe structurale est définie de manière conventionnelle pour la détermination de l'enrobage. Elle s'appuie sur la durée d'utilisation de projet qui est caractérisée par une catégorie définie en fonction des divers types de constructions [EC0 2.3 Tab.2.1], mais aussi sur d'autres facteurs comme par exemple la classe de résistance de béton. La classe structurale de référence recommandée est S4 correspond à une durée d'utilisation de projet de 50 ans et des classes de résistance de béton au moins égales à celles données en [EC2-1-1 Anx.E]. Elle est ensuite modulée en fonction de choix particuliers pour le projet (utilisation du tableau 4.3N modifié par l'annexe nationale en 4.3NF ci dessous).
Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Critère Durée d'utilisation de projet X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 / XA1 3) XD2 / XS2 / XA2 3) XD3 / XS3 / XA3 3)
Classe de résistance 1)
100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et moins : moins : moins : moins : moins : moins : moins : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C45/55 C30/37 C40/50 C30/37 C30/37 C35/45 C40/50 et et et et et et et < C70/85 : < C50/60 : < C60/75 : < C50/60 : < C55/67 : < C60/75 : < C60/75 : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C50/60 : C50/60 : minoration de 2 minoration de 2 Béton de classe C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C55/67 : minoration de 2 Béton de classe C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 C60/75 : C60/75 : C60/75 : C70/85 : minoration de 2 minoration de 2 minoration de 2 minoration de 2 Béton de classe C40/50 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1
Nature du liant
Enrobage compact 2)
1) Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici le rôle d'un indicateur de durabilité. Il peut être judicieux d'adopter, sur la base d'indicateurs de durabilité plus fondamentaux et des valeurs de seuil associées, une justification spécifique de la classe structurale adoptée, en se référant utilement au guide AFGC « Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages » ou à des documents normatifs reposant sur les mêmes principes. 2)
Ce critère ne s'applique que dans le cas des éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie, à savoir :
Face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées), coulés horizontalement sur coffrages industriels. Éléments préfabriqués industriellement : éléments extrudés ou filés, faces coffrées des éléments coulés dans des coffrages métalliques Sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l'accessibilité du fond de coffrage aux dispositifs de vibration.
3)
Pour les classes d'exposition XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d'une justification de la nature de l'agent agressif.
Fig./Tab.1.(3) : Modulations de la classe structurale recommandée, en vue de la détermination des enrobages minimaux cmin,dur dans les tableaux 4.4N et 4.5NF [EC2-1-1/AN Tab. 4.3NF]
· ·
la détermination de l'enrobage minimal, et enfin, la prise en compte des tolérances d'exécution [EC2-1-1 4.4.1.3] qui permet d'arriver à l'enrobage nominal, valeur finale à spécifier sur les plans.
PV= Chapitre 3 Données principales pour les projets
A l'usage, le projeteur découvre qu'il dispose avec l'Eurocode 2 de règles lui permettant d'orienter plus finement ses choix et que les efforts tendant vers une meilleure qualité sont récompensés en retour. Ceci peut s'avérer payant en économie de matière surtout dans des réalisations industrielles répétitives. D'un autre côté, l'adoption directe sans trop de finesse des valeurs proposées donnent à peu près les résultats des pratiques antérieures. Les exemples fournis par la suite en sont une bonne illustration.
1.2.1 - Détermination des enrobages minimum et nominal
L'enrobage minimum est défini comme étant la plus grande de trois valeurs cmin,b, cmin,dur et 10 mm. cmin = max { cmin,b ; cmin,dur ; 10 mm } Pour les ponts, dans la pratique, la valeur de 10 mm n'intervient pas et ce sont les deux valeurs cmin,b, valeur requise vis-à-vis de l'adhérence et cmin,dur, valeur requise vis-à-vis de la durabilité qui entrent en jeu.
1.2.1.a) Enrobage minimal vis-à-vis de l'adhérence
cmin,b est l'enrobage minimum nécessaire pour garantir une bonne transmission des forces d'adhérence. Il est défini par le tableau [EC2-1-1 4.4.1.2 Tab.4.2] et rappelé dans les deux tableaux suivants pour les aciers passifs et pour les armatures de précontrainte.
cmin,b pour les aciers passifs Plus gros granulat 32 mm Armatures individuelles Paquets * équivalent Plus gros granulat > 32 mm + 5 mm équivalent + 5 mm
* Pour la détermination du diamètre équivalent, dans le cas de paquet de barres, on se reportera au chapitre 8 du présent guide.
cmin,b pour les armatures de précontrainte Câbles dans gaine circulaire Câbles dans gaine plate Armatures pré-tendues min { ; 8 cm}, diamètre de la gaine max {a ; b/2}, (a,b) dimensions de la gaine et b>a max {2 ; diamètre du plus gros granulat} diamètre du toron, du fil lisse ou du fil cranté
Fig./Tab.1.(4) : Valeurs de cmin,b pour les aciers passifs et de précontrainte
QM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2.1.b) Enrobage minimal vis-à-vis de la durabilité
cmin,dur est l'enrobage minimum [EC2-1-1 4.4.1.2] nécessaire pour garantir la protection des armatures en acier contre la corrosion. Il est défini pour les armatures passives par le tableau non-modifié 4.4N de l'Eurocode 2 et pour les armatures de précontrainte par le tableau 4.5N de l'Eurocode 2 modifié par l'annexe nationale; les deux sont reproduits ci-dessous. cmin,dur dépend de la classe structurale " Sn " et des classes d'exposition des parois de la structure.
Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe Structurale S1 S2 S3 S4 S5 S6 Classe d'exposition selon Tableau 4.1 X0 10 10 10 10 15 20 XC1 10 10 10 15 20 25 XC2 / XC3 10 15 20 25 30 35 XC4 15 20 25 30 35 40 XD1 / XS1 20 25 30 35 40 45 XD2 / XS2 25 30 35 40 45 50 XD3 / XS3 30 35 40 45 50 55
Fig./Tab.1.(5) : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conformes à l'EN 10080 [EC2-1-1 Tab.4.4N] Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe Structurale S1 S3 S4 S5 S6 Sans objet S2 Classe d'exposition suivant le Tableau 4.1 X0 XC1 10 15 20 25 30 35 XC2/XC3 15 25 30 35 40 45 XC4 25 30 35 40 45 50 XD1/XS1 30 35 40 45 50 55 XD2/XS2 35 40 45 50 55 60 XD3/XS3 40 45 50 55 60 65
Fig./Tab.1.(6) : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de précontrainte [EC2-1-1/AN Tab.4.5NF]
La lecture de ces tableaux se fait de la manière suivante :
· ·
la classe structurale de référence recommandée S4 sert de point de départ ; elle correspond à une durée d'utilisation de projet de 50 ans et a servi comme base au calibrage des valeurs d'enrobage du tableau ; le tableau 4.3N de l'Eurocode 2 modifié par l'annexe nationale est ensuite utilisé pour effectuer les changements de classe structurale compte tenu des conditions particulières du projet : - sur-classement de 2 classes pour les structures dont la durée d'utilisation de projet escomptée doit être de 100 ans, - sous-classement d'une ou de 2 classes par prise en compte des performances de durabilité du béton par le biais de critères basés sur la classe de résistance du béton, la nature du liant ou la compacité de l'enrobage ; une fois la classe structurale finale obtenue, les valeurs de l'enrobage minimum cmin,dur à considérer se lisent directement dans les deux tableaux 4.4N ou 4.5NF présentés précédemment, en fonction des classes d'exposition attribuées au cas étudié.
·
L'application du tableau 4.4N ou 4.5NF, selon que l'on cherche l'enrobage pour les armatures de béton armé ou l'enrobage pour les armatures de précontrainte, conduit à une valeur cmin,dur qu'il convient de moduler, le cas échéant, en fonction d'autres aspects complémentaires. C'est le cas, quand une marge de sécurité supplémentaire est voulue ou lors de l'utilisation d'acier inoxydable ou en présence de protection
QN= Chapitre 3 Données principales pour les projets
supplémentaire [EC2-1-1 4.4.1.2(3) et (6) à (13)]. Mais, en général, il n'y a pas lieu de modifier cmin,dur [EC2-1-1/AN 4.4.1.2].
1.2.1.c) Enrobage nominal
Une fois cmin obtenu en prenant le maximum des valeurs requises vis-à-vis de l'adhérence cmin,b et vis-à-vis de la durabilité cmin,dur , on lui ajoute une marge appelée écart d'exécution cdev pour tenir compte des tolérances d'exécution [EC2-1-1 4.4.1] et pour obtenir l'enrobage nominal qui doit être spécifié sur les plans : cnom = cmin + cdev L'Eurocode 2 recommande une valeur courante de 10mm pour cdev . L'annexe nationale confirme cette valeur mais fixe des conditions particulières qui peuvent permettre une réduction de cette valeur. Par exemple : - si le système d'assurance qualité inclut une surveillance avec mesure de l'enrobage, la valeur peut baisser jusqu'à 5mm, 5mm < cdev < 10mm - si, dans le cas de préfabrication, il y a la garantie de mesures précises et la possibilité de rejet en cas de non-conformité, elle peut baisser jusqu'à zéro : 0mm < cdev < 10mm
1.2.2 - Exemple d'application
Exemple du pont en bord de mer Rappel des classes d'environnement obtenues précédemment : · Classes d'environnement pour les parois extérieures : - XC4 corrosion induite par carbonatation, paroi soumise à un environnement alternativement humide et sec - XS1 corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer, paroi exposée à l'air véhiculant du sel marin mais pas en contact direct avec l'eau de mer · Classes d'environnement pour les parois intérieures et sous la chape d'étanchéité : - XC3 selon [EC2-2 4.2(105)] · Classes structurales : Classe structurale de départ = S4 Modulation de cette classe +2 pour une durée d'utilisation de projet de 100 ans +0 ou -1 selon la classe de résistance du béton utilisée par rapport à la classe de résistance recommandée en fonction de la classe d'exposition +0 ou -1 selon la classe de résistance du béton qui doit être aussi à base de CEM I sans cendres volantes. -1 pour enrobage compact en sous-face de dalle D'où pour les parois extérieures en sous-face 4 + 2 (100 ans) 1 (béton C35/45 MPa pour XC4) 0 (CEM I mais résistance insuffisante) 1 (enrobage compact) S4 4 + 2 (100 ans) 0 (béton C35/45 MPa pour XS1) 0 (CEM I mais sans objet) 1 (enrobage compact) S5. C'est le classement en XS1 qui donne le résultat le plus sévère. (les parois d'âmes ne bénéficient pas de la réduction pour enrobage compact) Pour les parois intérieures autres que la sous-face de hourdis supérieur 4 + 2 (100 ans) 1 (béton C35/45 MPa pour XC3) 1 (CEM I et résistance suffisante) 0 (enrobage compact) S4
QO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Enrobage nominal pour les aciers passifs : Hypothèse d'un cas courant : le plus gros granulat est inférieur ou égal à 32 mm, et acier 25 parois extérieures en sous-face Classes d'environnement Classes structurales Enrobage min/adhérence cmin,b = acier [Fig./Tab.1.(4)] Enrobage min/durabilité cmin,dur [Fig./Tab.1.(5)] cmin = max {cmin,b ; cmin,dur} Tolérances d'exécution cdev (mesure des enrobages) Enrobage nominal cnom = cmin + cdev XC4 / XS1 S5 25 mm 40 mm 40 mm 5 mm 45 mm parois intérieures (sauf sous-face de hourdis supérieur) XC3 S4 25 mm 25 mm 25 mm 5 mm 30 mm
Dans la pratique, on essaiera de limiter le nombre de valeurs d'enrobage.
2
- Données relatives aux actions
A la date de publication du présent document, un guide méthodologique sur les actions sur les ponts est en cours de préparation au Sétra, il conviendra de s'y référer pour plus de détails.
2.1 - Classe de trafic
Il convient de définir la classe de trafic à adopter pour l'ouvrage selon les indications de l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2.
2.2 - Transports exceptionnels
2.2.1 - Généralités
Conformément à l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2, l'annexe A informative de cet Eurocode relative aux véhicules spéciaux n'est pas applicable. Elle est remplacée par :
· ·
la réglementation française sur les transports exceptionnels pour la définition de véhicules spéciaux "types", le "Guide pour la prise en compte des véhicules spéciaux sur les ponts routiers", joint en annexe à l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2 pour la définition des règles de calcul à retenir pour les véhicules spéciaux circulant seuls ou mêlés au trafic routier normal.
QP= Chapitre 3 Données principales pour les projets
2.2.2 - Véhicules spéciaux pris en compte
Le projet individuel peut éventuellement définir des véhicules spéciaux à prendre en compte et préciser leurs conditions de circulation. Pour les véhicules spéciaux civils, le projet peut : · soit viser des véhicules spéciaux "types" définis par la réglementation française sur les transports exceptionnels,
·
soit définir des véhicules spéciaux particuliers susceptibles d'emprunter l'ouvrage.
De même, le projet peut indiquer des véhicules spéciaux militaires à prendre en compte, par exemple, le convoi de porte-engins blindés Leclerc, les chars de 72 ou 110 tonnes, etc. Le projet précise les conditions de circulation de ces véhicules : · circulation à faible vitesse (inférieure ou égale à 5 km/h) ou à vitesse normale (de l'ordre de 70 km/h),
· · · · ·
véhicules spéciaux seuls sur l'ouvrage ou mêlés au trafic courant, nombre et espacement des véhicules spéciaux, circulation selon un axe imposé, circulation possible sur les bandes d'arrêt d'urgence ou sur les bandes dérasées (en l'absence d'indication le véhicule est supposé pouvoir circuler sur toute la largeur de la chaussée), fréquence de passage sur l'ouvrage.
Les valeurs caractéristiques des charges associées aux véhicules spéciaux sont les charges nominales de ces véhicules multipliées par 1,1.
2.2.3 - Prise en compte des véhicules spéciaux dans les combinaisons d'actions
Le groupe de charges correspondant aux véhicules spéciaux est appelé groupe 5 et noté gr5. "LM3" désignant la valeur caractéristique du véhicule spécial retenu au projet individuel, "LM3 freinage" désignant les forces de freinage correspondantes et désignant le coefficient de majoration dynamique du véhicule spécial, le groupe 5 est défini comme suit :
· ·
sans trafic routier concomitant : avec trafic routier concomitant :
groupe 5 = gr5 = Q LM3 × + Q "LM3 freinage" groupe 5 = gr5 = Q LM3 × + Q "LM3 freinage" + Q 0,4UDL + 0,75TS
Les combinaisons d'action à considérer pour les véhicules spéciaux sont les suivantes : ELU ELS ELS combinaison fondamentale pour situations de projet durable et transitoire combinaison caractéristique combinaison fréquente
(1,35 G
j1
kj,sup
+ 1,00 G kj,inf ) + P P + 1,35 gr5
(G
j1
kj,sup
+ G kj,inf ) + Pk + gr5 + 0,6Tk + G kj,inf ) + Pk + 1 gr5
(G
j1
kj,sup
(avec 1 = dépendant de la fréquence de passage des véhicules spéciaux susceptibles d'emprunter l'ouvrage [EC0/AN Anx.A2].
QQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.3 - Gradient thermique
Il ne s'agit pas ici d'effectuer une présentation complète de l'Eurocode 1 partie 1-5 consacré aux charges thermiques d'origine climatique, mais d'attirer l'attention du projeteur sur les principaux éléments qui distinguent ce texte des pratiques antérieures et de mettre en relief les règles particulières de prise en compte du gradient thermique propres à l'Eurocode 2.
A défaut d'informations plus précises, le coefficient de dilatation thermique du béton peut être pris égal à 10 ×10-6/°C [EC2-1-1 3.1.3(4)].
2.3.1 - Définition de l'action thermique
L'action thermique Tk donne lieu à une distribution de températures quelconque dans la section T(y), et peut se décomposer en trois composantes : · une composante de variation uniforme de température. Elle conduit à un allongement ou raccourcissement du tablier de l'ouvrage, et éventuellement un effort normal ; cette composante est notée TN ;
·
une composante dite de gradient thermique, qui correspond à une différence de température entre les fibres supérieure et inférieure du tablier. Elle conduit à une courbure du tablier, ainsi qu'éventuellement à un moment fléchissant ; cette composante est notée TM ;
En toute rigueur une composante de gradient linéaire transversal peut exister de manière concomitante avec la précédente ; elle n'est pas explicitée pour simplifier la présentation.
·
une composante dite équilibrée, et notée TE. C'est, le champ de température déduit par soustraction des deux champs précédents : TE (y ) = T(y ) - TN - TM × y h
où h désigne la hauteur de la section, et y est nul au droit de l'axe neutre. Cette composante équilibrée ne conduit à aucune sollicitation dans la structure (même hyperstatique) : seules des auto-contraintes sont créées ; elles ont pour expression (compression comptée positivement) : TE = E cm × T × TE . Par définition, la composante équilibrée TE n'est pas "linéaire" dans la section ; il en va donc de même des auto-contraintes qu'elle crée TE. La plupart des règles de vérification énoncées dans les eurocodes matériaux ne sont alors plus directement applicables. La première composante TN est prise en compte de manière classique et ne présente aucune difficulté particulière. Sa valeur est déterminée au moyen du tableau de l'annexe nationale relatif à la clause [EC1-1-5 6.1.3.2 (1)]. De plus, afin d'éviter au projeteur toute erreur de lecture, les courbes de la figure 6.1 sont remplacées par un tableau (strictement équivalent). En revanche, deux méthodes sont proposées pour la prise en compte des composantes TM et TE qui dépendent du type de structure, et de l'épaisseur du revêtement :
· ·
dans la méthode 1 [EC1-1-5 6.1.4.1], des valeurs forfaitaires de TM sont spécifiées dans l'Eurocode 1 partie 1-5 ; la composante équilibrée est quant à elle simplement ignorée et aucune valeur n'est fournie ; dans la méthode 2 [EC1-1-5 6.1.4.2], les valeurs des composantes TM et TE se déduisent par intégration à partir d'un profil de température T(y) variant dans la hauteur de la section et donné dans des tableaux. Cette seconde méthode est plus laborieuse, mais on obtient, dans la plupart des cas, une composante TM plus faible que celle imposée par la méthode 1.
Il est généralement admis de ne pas tenir compte explicitement de la composante équilibrée dans les calculs de section. Pour les ponts en béton ses effets sont couverts par un ferraillage de peau adapté.
QR= Chapitre 3 Données principales pour les projets
2.3.2 - Signe du gradient thermique
Le gradient thermique TM est conventionnellement compté positivement lorsque la fibre supérieure du tablier est plus chaude que la fibre inférieure du tablier. Ce cas (qui correspond à un échauffement direct par les rayons solaires, en journée) est le seul considéré dans les pratiques antérieures. Les moments hyperstatiques engendrés par un gradient thermique positif tendent à comprimer la fibre supérieure d'une poutre. L'Eurocode1 partie 1-5 demande également de considérer un gradient thermique négatif (de valeur absolue plus faible que le précédent). Dans ce cas, la fibre inférieure du tablier est plus chaude que la fibre supérieure. Ce cas correspond au refroidissement du tablier pendant la nuit (les déperditions de chaleur sont plus élevées sur la face supérieure que sur la face inférieure). Les moments hyperstatiques engendrés par un gradient thermique négatif tendent la fibre supérieure d'une poutre.
2.3.3 - Action thermique : action de courte durée
La distinction entre composantes de variation rapide et lente, introduite dans les pratiques antérieures, n'a pas été reprise dans les eurocodes. L'intégralité de l'action thermique doit être considérée comme une action de courte durée donc calculée avec le module sécant Ecm. Une telle disposition peut être justifiée par un calcul de coefficient de fluage suivant l'annexe B de l'Eurocode 2 partie 1-1.
On considère pour cela la dalle constituée par la traverse supérieure d'un pont cadre, de 16 m de largeur totale, et d'épaisseur 38 cm. Lorsque cet ouvrage est âgé de cinquante ans (la moitié de sa durée de vie de calcul), on lui applique une déformation imposée pendant une durée de quatre mois (variations saisonnières de température). Un calcul simple du coefficient de fluage montre qu'alors : (50 ans + 4 mois, 50 ans) 0,25 Une valeur plus défavorable, calculée au début de la durée d'utilisation, à deux ans par exemple de la mise en service serait : (2 ans + 4 mois, 2 ans) 0,47 En d'autres termes, les déformations de fluage sont faibles, et les sollicitations résultant des actions thermiques peuvent être calculées avec la valeur Ecm du module d'Young.
2.3.4 - Prise en compte dans la combinaison quasi-permanente de charges
Il est bon de souligner que conformément à l'annexe A2 de l'Eurocode 0, l'action thermique intervient dans toutes les combinaisons d'actions aux ELS, donc également dans la combinaison quasi-permanente (contrairement aux spécifications des pratiques antérieures). On pourra toutefois, généralement, négliger l'action thermique aux ELU [EC2-1-1 2.3.1.2].
Il faut noter que dans certains cas, non seulement la température ne doit pas être négligée aux ELU mais peut même intervenir comme action de base (ex. : cas d'un arc surbaissé).
2.3.5 - Calcul des sollicitations dues aux charges thermiques
Seules les composantes TN et TM sont visées ici, puisqu'il a été déjà mentionné que la composante TE éventuellement prise en compte ne créait ni effort normal, ni moment fléchissant (composante équilibrée). En général le calcul des sollicitations peut se faire en admettant un comportement linéaire-élastique de la structure [EC2-1-1 5.4(2)] (les caractéristiques géométriques sont celles des sections brutes).
QS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 offre cependant la possibilité de tenir compte de l'état de fissuration de la section pour le calcul des effets de l'action thermique [EC2-1-1 5.4(3)]. Ceci conduit à une réduction des moments fléchissants dus au gradient thermique par redistribution mais entraine des complications de calcul importantes. On peut se contenter de se mettre du côté de la sécurité en évaluant les sollicitations majorées, obtenues à partir de sections non-fissurées. Dans les ouvrages courants en béton armé en France, jusqu'ici, les effets du gradient thermique étaient traditionnellement négligés sans constat de pathologie particulière. On pourra s'appuyer sur la clause citée ci-dessus pour prendre en compte l'effet favorable de la fissuration afin de minimiser l'impact de la prise en compte de l'action thermique dans ces structures. Dans le cas particulier et simple d'une structure en béton armé fléchie (pas d'effort normal) avec un rapport des inerties fissurée et brute constant, la réduction du moment fléchissant correspond directement à la minoration du gradient thermique ou de la courbure imposée déduite de TM par cette même valeur.
=-
T I fiss × × TM h I brute
(La courbure étant comptée positivement lorsqu'elle conduit à un allongement de la fibre inférieure).
A titre d'exemple, considérons la dalle constituée par la traverse supérieure d'un pont cadre et dans laquelle on néglige la présence de l'effort normal. On adopte les données suivantes : - béton C35/45, Ecm = 34 Gpa - largeur totale b = 16 m - hauteur totale h = 0,38 m - distance de la fibre supérieure au lit inférieur des aciers d = 0,34 m - section transversale des armatures du lit inférieur As = 38,1 cm2/m (220 tous les 0,165 m). Les inerties obtenues sont les suivantes : - section brute de béton (armatures négligées) : Ibrute = 73,16 × 10-3 m4 - section fissurée (béton tendu et armatures comprimées négligés) : Ifiss = 25,96 ×10-3 m4 soit un facteur de 2,8 entre les deux inerties, et une réduction des sollicitations dues aux charges thermiques dans le même rapport.
QT= Chapitre 3 Données principales pour les projets
3 - Données diverses
3.1 - Définition des sections et coefficients d'équivalence
Les différentes sections à utiliser ne sont pas introduites explicitement dans l'Eurocode 2, puisqu'il ne s'agit pas de notions "réglementaires". Elles restent bien sûr valables, pratiques et il est utile de rappeler leur définition précise.
3.1.1 - Section brute / nette
Ces deux premières sections ne font pas intervenir les armatures passives ou de précontrainte.
·
Sections brutes : ce sont les sections du béton seul, telles qu'elles résultent des dessins de coffrage, sans déduction des évidements, encoches et conduits destinés à recevoir les armatures de précontrainte ou leurs ancrages, souvent utilisées pour les analyses structurales comme vu en [Chapitre 2 -6.2.2]. Sections nettes : on les obtient en soustrayant des sections brutes les vides tels que trous, encoches et conduits ménagés pour le passage ou l'ancrage des armatures de précontrainte, et ce, même si ces vides sont ultérieurement remplis.
·
3.1.2 - Section fissurée ou non fissurée
Le choix entre calcul en section fissurée/non fissurée se fait au cas par cas, en fonction de la contrainte de traction maximale dans la section résultant d'un premier calcul en section non fissurée [EC2-1-1 7.1(2)].
· ·
Si min > -fct,eff , les calculs sont faits en section non fissurée le cas échéant*. Sinon, les calculs sont faits en section fissurée, c'est-à-dire en négligeant le béton tendu.
Pour l'application aux ponts, on utilisera systématiquement f ct,eff = f ctm *Il faut évidemment considérer dans le premier calcul la contrainte maximale de traction qu'est susceptible de connaître l'ouvrage sous combinaison caractéristique. En effet, une fois que la section a été fissurée elle ne présente plus de résistance à la traction. Ainsi par exemple pour une vérification sous combinaison fréquente, même si 0 > min > - f ctm il convient de faire le calcul en section fissurée si min < - f ctm sous combinaison caractéristique.
La valeur de fct,eff à utiliser pour le calcul des contraintes peut être prise égale à fctm ou fctm,fl
3.1.3 - Section homogène / homogène réduite
Ces deux dernières sections font intervenir les armatures passives et/ou de précontrainte dans la mesure où ces armatures sont adhérentes au béton par l'intermédiaire des coefficients d'équivalence n qui sont les rapports E E et p . Elles se de leur module de déformation au module de déformation du béton, soit s E cm E cm distinguent selon que l'on est en section fissurée ou en section non-fissurée.
·
Sections homogènes : elles interviennent dans les calculs en section non-fissurée et sont obtenues en ajoutant aux sections nettes la section des armatures de béton armé et/ou de précontrainte multipliée par un coefficient d'équivalence.
Il est rappelé que les sections non-fissurées sont les sections où la contrainte de traction n'est pas inférieure à - f ctm sous combinaison caractéristique.
QU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Sections homogènes réduites : elles interviennent dans les calculs en section fissurée pour lesquels le béton tendu est négligé; ce sont les sections homogènes obtenues avec la seule partie comprimée du béton.
Les sections sont fissurées en service quand elles ne vérifient pas le critère des sections non-fissurées (ce sont généralement les sections en béton armé et dans le cas de section en béton précontraint on parle alors de précontrainte partielle).
3.1.4 - Sections pour le calcul des contraintes aux ELS
Le calcul des contraintes se fait avec les hypothèses fondamentales suivantes :
· · · ·
les sections droites restent planes, le béton tendu, soit résiste à la traction (calcul en section non-fissurée), soit est négligé (calcul en section fissurée), les matériaux ne subissent aucun glissement relatif (les armatures ont la même déformation que le béton situé au même niveau), les armatures et le béton obéissent à la loi de Hooke.
3.1.4.a) Calculs de contrainte des sections en béton armé
Comme en général les sections sont fissurées, ce sont les sections homogènes réduites qui sont utilisées pour le calcul des contraintes. Par ailleurs la façon de prendre en compte le fluage n'est pas explicitée, mais la méthode simplifiée utilisant un module effectif de déformation du béton, Ec,eff [Chapitre 4 -2.1.1], est admise. Les effets du fluage peuvent ainsi être pris en compte d'une manière forfaitaire par l'utilisation d'un coefficient d'équivalence n, intermédiaire E E entre s et s , et dépendant de la proportion entre charges permanentes et charges variables. Un E cm E c,eff pas de plus dans la simplification pourrait consister à revenir aux pratiques antérieures en adoptant une valeur fixe pour n.
On pourra généralement prendre n = 15 pour les bétons ordinaires et n = 9 pour les bétons à hautes performances ( f ck 55MPa ), un calcul plus précis restant toujours possible. Un second calcul "court terme" avec n = peut être nécessaire lorsque la contrainte de E cm compression du béton obtenue par le calcul précédent est proche de la limite admissible. Il convient alors de vérifier que la compression admissible n'est pas dépassée dans le calcul "court terme".
Es
3.1.4.b) Calculs de contrainte des sections en béton précontraint
Pour les sections non-fissurées en service :
·
les contraintes dues aux actions permanentes sont généralement calculées en section nette.
Cette manière de faire peut servir pour un calcul manuel simple et en pré-dimensionnement. En pratique dans le cas de constructions phasées avec utilisation d'un logiciel élaboré et prise en compte du fluage par une méthode scientifique, les sections homogènes interviennent dès qu'il y a injection de certaines armatures de précontrainte qui les rendent adhérentes vis-à-vis des applications de charges permanentes ultérieures.
·
les contraintes dues aux actions variables sont calculées en section homogène, avec un coefficient E E pour les aciers passifs et p d'équivalence s pour les aciers de précontrainte. E cm E cm
QV= Chapitre 3 Données principales pour les projets
Pour les sections fissurées en service, le calcul des contraintes est fait comme précédemment en section non fissurée pour les charges permanentes et en section homogène réduite pour les actions variables. Les tensions dans les aciers passifs et les surtensions dans les câbles de précontrainte à partir de l'état permanent sont E E pour les aciers passifs et p calculées avec un coefficient d'équivalence s pour les aciers de E cm E cm précontrainte.
La pratique antérieure distinguait la part de surtension des aciers de précontrainte accompagnant le retour à zéro de la contrainte du béton adjacent, et la part de surtension ultérieure, en leur affectant des coefficients d'équivalence différents. Cette distinction sur le coefficient d'équivalence n'a pas lieu d'être ; elle n'est donc pas reconduite. Il est par ailleurs rappelé que les différences d'adhérence entre aciers passifs et précontrainte doivent être prises en compte le cas échéant [Chapitre 5 -5].
3.2 - Durée d'utilisation de projet
La durée d'utilisation de projet est la période pendant laquelle une structure doit pouvoir être utilisée avec une maintenance normale et sans réparations majeures. Une valeur de 100 ans est escomptée pour les ponts en béton dont les projets sont établis en utilisant les eurocodes [EC0 2.3 Tab.2.1]. Il faut rappeler que l'enrobage minimum, élément important du projet, a sa valeur qui dépend directement du choix de la durée d'utilisation de projet. Il se détermine avec l'Eurocode 2 comme indiqué au [Chapitre 3 -1.2].
En cas de besoin particulier du maître d'ouvrage pour une durée d'utilisation différente, les eurocodes n'offrent pas de solution complète car ils ne permettent une modification du niveau de fiabilité qu'au travers d'un nombre restreint de variables, comme par exemple la valeur représentative des actions, les coefficients partiels. Il existe néanmoins d'autres mesures, en dehors du cadre des eurocodes, comme la gestion de la qualité, l'assurance d'une maintenance efficace, etc. Enfin, des mesures spécifiques de type préventif ou de protection sont aussi favorables à la longévité des ouvrages.
3.3 - Hygrométrie ambiante moyenne
En l'absence de données plus précises, on peut prendre pour des ouvrages à l'air libre les valeurs suivantes pour l'hygrométrie ambiante moyenne, RH, exprimée en pourcentage d'humidité relative : RH = 55 dans le quart sud-est de la France RH = 70 dans le reste de la France
La méthode simplifiée de détermination du coefficient de fluage dans l'Eurocode 2 [EC2-1 Fig.3.1] est donnée pour les valeurs de RH de 50 % et 80 %. Il est bien entendu qu'il est loisible de faire des interpolations linéaires.
3.4 - Autres données
Les autres données, relatives aux matériaux et nécessaires aux calculs sont les suivantes :
·
pour le béton : la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours fck (compte tenu, le cas échéant, du minimum requis précédemment) et donc tous les autres paramètres qui en découlent fcm, fctm, Ecm etc.(voir tableau 3.1) ;
Il est rappelé que le module E cm dépend notamment du type de granulats. L'Eurocode 2 donne des valeurs indicatives sur les corrections à apporter à E cm [EC2-1-1 3.1.3(2)]. Lorsque la valeur du module a une forte influence sur les résultats des calculs, il est recommandé de procéder à des essais.
RM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
pour les armatures passives : les barres et fils à haute adhérence sont utilisés et l'acier requis est caractérisé par sa limite conventionnelle d'élasticité et sa classe de ductilité. Pour les ponts l'Eurocode 2 recommande de n'utiliser que les classes de grande et très grande ductilité B et C [EC2-2 3.2.4(101)P]. On utilisera donc en principe les aciers B500B en général et l'acier B500C dans le cas de besoin d'une très grande ductilité, par exemple pour une conception vis-à-vis du séisme. Néanmoins l'emploi de la classe A pour les armatures de tranchant et de torsion est admis par l'annexe nationale. Pour plus d'informations on ira utilement consulter la norme EN 10080 ; pour les armatures de précontrainte : il convient d'avoir recours à un acier à haute résistance, caractérisé principalement par sa résistance caractéristique à la traction fpk et sa classe de relaxation (classe 2 de relaxation de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.3.2(4)P]) ; pour le ciment il y a lieu de faire un choix parmi les 3 classes de ciment S, N et R dont dépendent certaines données qui entrent dans le calcul de la montée en résistance du béton au cours des 28 premiers jours (caractérisé par le coefficient cc) [EC2-1-1 3.1.2(6)] ou encore dans le calcul des coefficients de fluage et de retrait [EC2-1-1 Anx.B].
Pour les projets courants on peut adopter la classe de ciment N. Lorsque la conception de l'ouvrage nécessite une mise en tension de la précontrainte sur un béton jeune, il est souvent nécessaire de recourir à un ciment de classe R pour raccourcir la durée d'attente avant mise en tension.
·
·
4 - Critères de dimensionnement
Il convient de rappeler que l'Eurocode 2 est principalement une norme de vérification des structures avec quelques éléments de base pour la conception. Les règles de calcul sont ainsi présentées sous forme de vérification, et pratiquement pas sous forme de dimensionnement. Ce point est particulièrement important en ce qui concerne le dimensionnement de la précontrainte. En effet, plusieurs niveaux de précontrainte sont possibles dans une structure, depuis une précontrainte partielle minimale jusqu'à une précontrainte totale. L'Eurocode 2 se contente de fixer un niveau minimal de précontrainte en fonction des conditions d'environnement, et d'indiquer ensuite comment justifier la quantité d'aciers passifs nécessaire. Il est bien évident que le choix du niveau de précontrainte reste de la responsabilité du concepteur. Il convient donc de définir au niveau de chaque projet le niveau de précontrainte souhaité ; l'optimum économique dépend du type de structure, et il n'est pas possible de donner des règles générales.
Les règles antérieures suivaient la même logique : 3 niveaux de précontrainte étaient définis avec leurs règles de vérification. Le choix du niveau restait de la responsabilité du concepteur, projet par projet.
L'Eurocode 2 n'a pas reconduit la définition de niveaux discontinus : il passe de façon progressive d'une précontrainte partielle à une précontrainte totale, laissant l'entière liberté au concepteur. Afin de ne pas multiplier les choix, le chapitre 7 donne des indications sur les niveaux de précontrainte qui peuvent être adoptés en service. Les mêmes réflexions doivent être menées en phase de construction : il convient de définir les tractions admissibles en fonction du type de charges et des phases considérées. Là aussi, l'Eurocode 2 donne quelques indications qui peuvent être adaptées en fonction des projets. On se réfèrera également au chapitre 7 pour une présentation de ces règles.
RN= Chapitre 3 Données principales pour les projets
RO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
Les déformations différées du béton dues au retrait et au fluage sont à prendre en compte dans les justifications aux ELS et généralement négligées aux ELU, sauf quand leurs effets sont significatifs, comme par exemple pour les vérifications aux ELU de stabilité de forme, pour lesquelles les effets du second ordre ont une importance particulière [EC2-1-1 2.3.2.2].
On peut signaler d'une manière générale que le retrait et le fluage sont des phénomènes très complexes qui encore aujourd'hui ne sont pas complètement maîtrisés ; les modèles codifiés de ces phénomènes qui permettent d'effectuer des calculs, en dépit de leur apparente sophistication, sont encore assez loin de bien pouvoir représenter la réalité. De plus, l'intensité de ces phénomènes dépend fortement de paramètres comme l'humidité ambiante, les dimensions des éléments, la composition du béton. Il faut donc garder une certaine prudence vis-à-vis de la précision des résultats des calculs. Les pratiques antérieures faisaient abstraction des phénomènes de retrait et de fluage pour les calculs des sections en béton armé : le fluage est pris en compte de manière forfaitaire par les coefficients d'équivalence, et le retrait par des joints de dilatation et un ferraillage appropriés. En revanche, les effets du fluage et du retrait sur la précontrainte sont importants et font baisser de manière significative l'effort de précontrainte introduit initialement dans les structures. De plus, pour les structures hyperstatiques précontraintes, les déformations dues au fluage peuvent entraîner d'importantes redistributions d'efforts. Aussi, pour les structures en béton précontraint, il est plus exact de dire que les effets du retrait et du fluage sont pris en compte pour les vérifications aux ELS, comme aux ELU. Plus précisément, de manière conventionnelle, leurs effets, déterminés pour les vérifications aux ELS, pourront être conservés pour la suite des vérifications aux ELU.
1 - Retrait
Le retrait est une diminution de volume du béton non chargé qui commence au cours de son durcissement et se prolonge jusqu'à la maturation définitive du béton. L'Eurocode 2 distingue principalement deux sortes de retrait selon leur origine : le retrait endogène (ou retrait au jeune âge) d'origine chimique, qui commence très tôt pour se terminer assez rapidement au bout de quelques jours et qui est dû à la diminution de volume de la pâte de ciment au cours de son hydratation; le retrait de dessiccation (ou exogène), dû à la variation d'hygrométrie interne, qui ne commence pratiquement qu'au décoffrage et qui constitue un processus lent, de longue haleine. C'est bien la déformation totale de retrait qui doit être prise en compte dans les calculs. Ceci étant, le risque de fissuration suite à des déformations gênées produites par les retraits thermique et endogène dans un béton frais coulé au contact d'un béton durci est particulièrement important pour être souligné par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.1.4(6)].
La prise en compte du retrait dans l'analyse structurale a été rappelée au début de ce chapitre pour la détermination des sollicitations. Pour le calcul des contraintes : l'effet du retrait n'intervient plus directement dans le cas général où d'autres charges que le retrait sont appliquées ; à l'inverse, l'effet du retrait seul et empêché est une cause de la fissuration, et mérite une étude particulière; on se reportera à l'exemple de calcul donné en [0] du présent guide.
2 - Fluage
Le fluage du béton est le phénomène selon lequel la déformation du béton soumis à une charge constante continue de croître dans le temps. Le fluage dépend aussi, en plus des facteurs cités ci-dessus, de la maturité du béton lors du premier chargement ainsi que de la durée et de l'intensité de la charge appliquée. L'hypothèse simplificatrice d'un fluage linéaire du béton est communément admise à la condition de limiter la contrainte de
RQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
compression dans le béton à 0,45 fck (ou 0,45 fck(t0) si le béton est chargé à un âge t0) sous combinaison de charges quasi-permanentes [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 7.2(3)].
2.1 - Prise en compte du fluage par une méthode approchée
Dans le cas où une grande précision ne serait pas requise, l'Eurocode 2 donne dans la figure 3.1 [EC2-1-1 Fig3.1] un moyen rapide d'estimer la valeur finale du coefficient de fluage (,t0) dans des conditions courantes de température ambiante (- 40°C,+ 40°C) et d'humidité relative (40 % < RH < 100 %).
t0 représente l'âge du béton lors de l'application de la charge. Dans ces calculs approchés on sousentend que le béton est suffisamment âgé pour que ses caractéristiques à l'âge de 28 jours soient utilisables. Il est loisible de faire des interpolations à partir des valeurs données.
Une valeur finale un peu plus précise du coefficient de fluage peut aussi s'obtenir à partir des lois de fluage fonction du temps, données dans l'annexe B de l'Eurocode 2 Partie 1-1 ou pour du béton à hautes performances dans l'annexe B dans la partie 2 de l'Eurocode 2. La valeur finale du coefficient de fluage est utilisée pour prendre en compte les effets du fluage dans un calcul approché avec une petite différence selon que l'on est en analyse linéaire ou en analyse non-linéaire.
L'incidence sur le fluage dans le cas d'un béton soumis à une cure thermique est traité au [EC2-1-1 10.3.1.2].
2.1.1 - En analyse linéaire
La prise en compte du fluage se fait par l'utilisation du module effectif du béton [EC2-1-1 7.4.3(5)], un équivalent du module différé qui n'est pas utilisé explicitement dans l'Eurocode 2 pour les calculs de contrainte mais qui est défini pour les calculs de déformations [EC2-1-1 Expr.(7.20)] : E c,eff = E cm 1 + (, t 0 )
E c ,eff
L'Eurocode 2 définit à partir de cela un coefficient d'équivalence effectif par e = E s donne pas d'utilisation dans ses autres prescriptions.
mais n'en
Cette façon de faire est valable aux ELS comme aux ELU. On peut préciser que pour des structures entièrement en béton et construites sans phases cela n'a pas d'incidence sur les sollicitations et affecte uniquement les résultats relatifs aux déformations. A l'inverse pour des structures construites par phases ou pour des structures composites acier-béton les sollicitations sont évidemment aussi modifiées.
Pour les structures construites par phases, un calcul avec fluage scientifique donnera des résultats plus précis (voir plus loin). Pour les structures composites, l'Eurocode 4 donne les valeurs de coefficients d'équivalence à utiliser en fonction du type d'action. La façon de prendre en compte le fluage aux ELS dans le calcul des contraintes en section fissurée n'est pas détaillée par l'Eurocode 2. A défaut de calcul plus précis, on peut reconduire les coefficients d'équivalence, utilisés dans la détermination des sections homogènes réduites [Chapitre 3 -3.1].
RR= Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
2.1.2 - En analyse non-linéaire
Une manière simplifiée de prendre en compte le fluage consiste à utiliser un coefficient de fluage effectif ef [EC2-1-1 5.8.4(2)], [EC2-1-1 Exp.(5.19)]. Elle ne s'applique qu'aux cas simples et quand une grande précision n'est pas requise.
moment QP 1er ordre
fluage effectif
ef = (,t 0 ) { 123 4
fluage final
6 8 7 M 0 Eqp
moment de la combinaison considérée 1er ordre
M 123 4 0 Ed 4
Il est également possible de définir ef à partir des moments fléchissants totaux M Eqp et M Ed mais ceci nécessite une itération et une vérification de la stabilité sous l'état permanent avec ef = (, t 0 ) [EC2-1-1 5.8.4(2) note]. Si le rapport des moments varie dans l'élément ou la structure, on peut calculer le rapport pour la section de moment maximal, soit utiliser une valeur moyenne représentative [EC2-1-1 5.8.4(3)]. On privilégiera plutôt la valeur moyenne représentative si on peut la déterminer facilement, car c'est la déformation de l'ensemble de la structure qui est intéressante.
L'effet du fluage est alors considéré comme pris en compte par l'utilisation du diagramme contraintesdéformations du béton obtenu en multipliant toutes les valeurs des déformations relatives par un facteur (1+ef) [EC2-1-1 5.8.6(4)].
Fig./Tab.2.(1) : Diagrammes contraintes-déformations et facteur de fluage
Une analyse non-linéaire se poursuit généralement jusqu'à une vérification aux ELU, ce qui explique les définitions de M0Eqp qui est un moment fléchissant provenant d'une combinaison quasi-permanente et M0Ed qui est un moment fléchissant de combinaison fondamentale d'ELU. Une adaptation de la méthode aux ELS consisterait à prendre un moment de combinaison caractéristique pour cette dernière valeur.
RS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2 - Prise en compte du fluage par une "méthode scientifique"
Dans le cas de constructions par phases il est nécessaire d'utiliser des logiciels élaborés pour obtenir une bonne précision, la prise en compte du fluage passe par un calcul itératif, prenant en compte les lois d'évolution du fluage [EC2-1-1 et EC2-2 Anx.B] et des propriétés du matériau béton au cours du temps. C'est aussi le cas des études de stabilité de forme impliquant la non-linéarité des matériaux et le second ordre. Les sections doivent être modélisées par un nombre suffisant de fibres et leurs déformations sont reconstituées à chaque instant à partir de celles des fibres en négligeant les fibres tendues; les déformations différées des sections s'obtiennent avec une des méthodes préconisées par l'Eurocode 2, incrémentale, superposition, etc.
Pour les ponts en béton précontraint la méthode scientifique est utilisée dès le niveau d'un projet détaillé car un calcul relativement précis de pertes de précontrainte est nécessaire. Pour la même raison la clause [EC2-1-1 2.3.2.2(2)] doit s'entendre qu'aux ELU les effets du fluage sont significatifs et sont évalués sous l'effet de la précontrainte probable et des charges permanentes (comme pour une vérification aux ELS) et sont conservés [EC2-1-1 2.3.2.2 (3)]. La suite de la vérification aux ELU se poursuit par application des charges variables ad-hoc. La majoration de charge de poids propre (0,35 G) est considérée comme une charge d'ensemble supplémentaire qu'on applique de manière conventionnelle sur le schéma statique de l'ouvrage terminé, sans qu'elle ne crée de fluage supplémentaire.
3 - Eléments pour le calcul des valeurs de retrait et de fluage
3.1 - Rayon moyen
La détermination des valeurs du retrait et du fluage fait appel au "rayon moyen" de la structure, noté h0. h0 = 2Ac/u, où Ac est l'aire de la section transversale du béton et u le périmètre de la partie exposée à la dessiccation. Dans le cas d'une dalle, le "rayon moyen" ainsi défini correspond sensiblement à quatre fois la moyenne des trajets que doit faire l'eau lors de son évaporation pendant le durcissement du béton.
a) Cas d'une dalle ou d'une poutre sans étanchéité : le rayon moyen est sensiblement égal à l'épaisseur e.
e
b) Cas d'une dalle avec étanchéité : en général le hourdis supérieur recouvert par l'étanchéité n'est pas pris en compte dans le calcul de la partie du périmètre exposée à la dessiccation et le rayon moyen est alors sensiblement égal à 2 fois l'épaisseur, soit 2e.
Cependant, ce point est à apprécier au cas par cas en fonction du délai avant mise en place de l'étanchéité. e (en gras la partie non soumise à la dessiccation en général)
RT= Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
c) Cas d'un caisson : en général l'intérieur du caisson n'est pas pris en compte dans le calcul de la partie du périmètre exposée à la dessiccation.
Cependant, ce point est à apprécier au cas par cas, notamment dans le cas de voussoirs préfabriqués.
(en gras parties non dessiccation en général)
soumises
à
la
3.2 - Présence d'armatures
La modification des valeurs de déformation de retrait et de fluage due à la présence d'armatures n'est pas explicitement évoquée dans l'Eurocode 2. Quand une grande précision n'est pas requise pour certains calculs, il est loisible de négliger le phénomène ce qui place du côté de la sécurité. A l'inverse, si on veut le prendre en compte, la définition précise des armatures adhérentes présentes dans les sections et l'utilisation de logiciels élaborés est nécessaire. Une option médiane consiste à reconduire une prise en compte forfaitaire en utilisant un coefficient réducteur, ks , à appliquer aux coefficients de retrait et de fluage, défini par :
ks = ks =
1 pour les bétons ordinaires, (1 + 20 s ) 1 pour les BHP (1 + 12 s )
s étant le pourcentage des armatures adhérentes, rapport de la section des armatures adhérentes à la section de béton.
RU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 5 La précontrainte
Avec l'Eurocode 2 la séparation très nette que faisaient les règles françaises entre béton précontraint et béton armé s'estompe pour donner naissance à un texte unique traitant globalement des constructions utilisant le matériau béton renforcé par des armatures en acier, qu'elles soient passives ou actives. On peut dire qu'il y a une sorte de continuité allant du béton armé où la précontrainte est inexistante au béton à précontrainte totale, en passant par du béton à précontrainte partielle. L'Eurocode 2 se borne d'ailleurs à la seule précontrainte apportée par la mise en tension d'armatures (barres, fils et torons) et en définitive l'essentiel du traitement de la précontrainte apparaît dans le texte de l'Eurocode 2 partie 1-1 en [EC2-1-1 5.10] ; d'autres éléments indispensables sont donnés de façon disséminée, là où c'est logique et nécessaire, sous forme de règles spécifiques. C'est de cette manière notamment que les particularités qui caractérisent la précontrainte par pré-tension, post-tension ou extérieure et non-adhérente sont introduites. Ceci étant, rien de fondamental n'a été modifié dans la prise en compte de la précontrainte par l'Eurocode 2. Mais la précontrainte c'est avant tout les systèmes de précontrainte qui sont des produits de construction. Et, là aussi, la logique d'harmonisation européenne joue, avec l'apparition des Agréments techniques européens (ATE), dont il convient de dire quelques mots, puisqu'ils sont indissociables de l'utilisation des eurocodes.
1 - Agrément technique européen des procédés de précontrainte
Les caractéristiques des armatures de précontrainte doivent être conformes à la norme EN 10138 ou, à défaut, définies dans un agrément technique européen (ATE). Les "kits" de précontrainte, dès lors qu'ils ne sont pas mis en oeuvre par leurs producteurs, doivent bénéficier d'un marquage CE et d'un ATE. Les ATE sont délivrés par des organismes d'agrément (ex : Sétra en France, DIBT en Allemagne, OIB en Autriche) sur la base d'un guide d'agrément technique européen (ETAG 013). L'agrément est délivré après un certain nombre d'essais pour vérifier l'aptitude à l'usage du produit. Ces kits font ensuite l'objet d'une "attestation de conformité" pour certifier la concordance du produit mis sur le marché avec celui testé dans le cadre de la délivrance de l'agrément technique européen. Cette deuxième étape aboutit au marquage CE délivré par un organisme de certification (ex : ASQPE en France ...). Doté du marquage CE le produit est présumé conforme aux exigences essentielles et peut être commercialisé et utilisé sans avoir à subir de vérification de conformité à une réglementation nationale.
1.1 - Informations figurant dans l'ATE
Les informations contenues dans l'ATE sont les suivantes :
· · · · · · · · · · · · · ·
usages possibles du système (précontrainte extérieure, câble remplaçable, etc.), gamme d'ancrage (de 3 à 37T15 par exemple), description des composants et dimensions, rayons de courbure minimums autorisés suivant le type de gaine, longueur libre à respecter derrière l'ancrage ou encombrement des vérins, longueur droite à respecter à la sortie de l'ancrage, coefficient de frottement k et , espacement des supports de gaine, rentrée d'ancrage lors de la mise en tension, résistance minimale moyenne du béton à respecter à la mise en tension (fcm,0), entraxe et enrobage des ancrages (dépendant de fcm,0), frettage à placer derrière l'ancrage (dépendant de fcm,0) et adaptation possible, type d'injection, recommandations sur le transport, le stockage et la manutention.
SM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2 - Informations utiles pour l'application de l'Eurocode 2
Les principales informations utilisées dans les calculs sont les suivantes :
1.2.1 - Forces de mise en tension
Les forces de mise en tension sont généralement données à titre indicatif ou de recommandation dans l'ATE (sauf prescription contraire) car les systèmes sont testés pour résister en statique, en fatigue et en transfert de charge sur la base des forces caractéristiques des câbles Fpk et non des forces indiquées dans l'ATE. Celles-ci doivent donc être déduites de la norme sur les armatures de précontrainte (EN 10138) donnant Fpk et Fp0,1k et de l'annexe nationale de l'Eurocode 2 donnant les coefficients k1 et k2 à placer devant Fpk et Fp0,1k. Ces derniers coefficients sont utilisés pour définir les limites maximales des forces de mise en tension [Chapitre 5 -2.1]
1.2.2 - Coefficients de frottement k et
Les valeurs fournies par défaut dans l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.10.5.2(2)], [EC2-1-1 5.10.5.2(3)] sont en général sécuritaires. Dans certains cas, les ATE peuvent proposer des valeurs plus réalistes issues de mesures sur site.
Il est aussi conseillé de prendre des valeurs sécuritaires dans le cas de traversée des câbles au travers de nombreux joints.
1.2.3 - Rentrée d'ancrage
Les valeurs à utiliser dans le projet sont fixées dans les ATE.
1.2.4 - Résistance du béton et transfert de charge
Les ATE fournissent une ou plusieurs valeurs de résistance minimale du béton à respecter à la mise en tension, en fonction du positionnement respectif des ancrages. Cette résistance minimale du béton conditionne les entraxes, les distances aux bords des ancrages ainsi que les frettages associés. Dans le cas où plusieurs valeurs de fcm,0 sont proposées il est loisible d'interpoler sur tous ces paramètres.
1.2.5 - Contraintes géométriques
Le projeteur trouvera en outre, toutes les contraintes géométriques que le projet devra respecter pour que notamment les mises en tension soient aisément réalisables.
2 - Force de précontrainte
L'Eurocode 2 utilise un vocabulaire légèrement différent des anciennes pratiques, dont il est utile de rappeler les principales définitions.
2.1 - Force de précontrainte maximale
Elle est représentée par Pmax : C'est la force appliquée à l'extrémité active lors de la mise en tension (force au vérin). Naturellement elle doit être limitée pour éviter la plastification des armatures [EC2-1-1 5.10.2.1] Pmax = Ap × min (k1 × fpk; k2 × fp0,1k) Ap étant l'aire de la section des armatures de précontrainte
SN= Chapitre 5 La précontrainte
k1 et k2 ayant pour valeurs, respectivement 0,80 et 0,90, soient les valeurs recommandées qui sont reprises par l'annexe nationale, mais aussi pour éviter la compression excessive du béton soumis aux charges lors de l'application de la précontrainte [EC2-1-1 5.10.2.2]
c 0,6 fck(t)
2.2 - Force de précontrainte initiale
Elle est représentée par Pm0(x) : C'est la force de précontrainte appliquée au béton immédiatement après mise en tension (post-tension) ou après transfert (pré-tension), après déduction des pertes instantanées. La variation en fonction de l'abscisse x est due aux frottements pour la précontrainte par post-tension et à l'établissement de la précontrainte par pré-tension dans les zones d'about. L'Eurocode 2 impose aussi une limitation à cette force initiale, ce qui est nouveau : Pm0(x) Ap × min (k7 × fpk; k8 × fp0,1k ) k7 et k8 ayant pour valeurs définies par l'annexe nationale, respectivement 0,77 et 0,87, pour la précontrainte par post-tension et 0,8 et 0,9 pour la précontrainte par pré-tension.
2.3 - Force de précontrainte probable
Elle est représentée par Pm,t(x) : la force de précontrainte variable le long de l'armature et dans le temps, qui résulte de la déduction des pertes instantanées et des pertes différées.
3 - Pertes de précontrainte
Il n'y a aucun changement de principe dans le calcul des pertes de précontrainte. L'adoption de lois différentes pour les déformations différées du béton par l'Eurocode 2 ne devrait conduire qu'à peu d'écart dans les résultats finaux des forces de précontrainte par rapport aux pratiques antérieures. En outre, pour du béton à haute performance (classe de résistance supérieure à C50/60), les lois de perte par relaxation comme celles de perte par fluage et retrait sont restées les mêmes que précédemment.
3.1 - Pertes instantanées
Pour la précontrainte par post-tension les pertes instantanées sont les pertes par blocage des ancrages, les pertes par frottement et les pertes par déformation élastique du béton. A la différence de la post-tension, la mise en oeuvre de la pré-tension peut déjà conduire à des pertes de précontrainte qui se produisent entre la mise en tension de l'armature et la mise en précontrainte de l'élément. Ce sont notamment les pertes dues au retrait du béton, à la relaxation de l'acier et éventuellement à un traitement thermique qu'il convient de prendre en compte en plus des pertes instantanées proprement dites. Il faut noter que les variables et k utilisées dans l'expression de calcul des pertes par frottement [EC2-1-1 Expr.(5.45)] ne sont pas, de façon formelle, exactement celles utilisées jusqu'ici, mais traduisent la prise en compte des mêmes phénomènes physiques. Par ailleurs, leurs valeurs, fournies à défaut de valeurs plus précises qui seraient à rechercher dans les Agréments Techniques Européens (ATE), sont en général sécuritaires [EC2-1-1 5.10.5.2(3)], [EC2-1-1 5.10.5.2(4)].
SO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2 - Pertes différées
Les pertes différées ont deux causes :
· ·
la réduction de l'allongement de l'armature induite par la déformation du béton du fait du retrait et du fluage, la diminution de la contrainte de l'armature due à la relaxation.
Le calcul des pertes différées par relaxation se fait en principe pour les ponts par l'utilisation de la classe 2 de relaxation [EC2-1-1 3.3.2(4)] définie par une valeur de 1000 au plus égale à 2,5 % (c'est l'équivalent de la classe de relaxation TBR des règles antérieures) et par l'utilisation de l'expression (3.29). A l'exception de cas très simples (éléments isostatiques, construits sans phasage) pour lesquels il est envisageable d'estimer de manière approximative les pertes différées et totales à partir de l'expression (5.46) fournie par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.3.2(7)], utile pour un pré-dimensionnement, il est nécessaire de faire appel aux lois de déformation de retrait et de fluage pour effectuer le calcul détaillé des pertes différées.
Dans le cas où on n'aurait pas besoin d'une grande précision, par exemple pour l'étude de la flexion transversale d'un hourdis de pont, l'expression (5.46) [EC2-1-1 5.10.6(2)] peut être utile.
L'Eurocode 2 partie 1-1 donne dans son Annexe B les lois correspondantes ; l'Eurocode 2 partie 2 précise dans l'Annexe B modifiée que pour des bétons à haute performance (de classe de résistance supérieure à C50/60) l'utilisation des lois données en B.103 donne de meilleurs résultats. De plus cette Annexe modifiée fournit des méthodes pour déterminer les coefficients à utiliser dans les expressions de B.103 en vue d'une meilleure précision quand on dispose de mesures expérimentales obtenues à partir d'essais de retrait et de fluage appropriés. Les différentes méthodes permettant le passage à l'évaluation des effets structurels induits par le comportement différé du béton sont décrites brièvement dans l'Annexe KK de l'Eurocode 2 partie 2, notamment la méthode du temps équivalent.
4 - Valeurs représentatives de la précontrainte
A partir de limitations apportées à la force de précontrainte avant et après l'opération de mise en tension l'Eurocode 2 définit, comme vu précédemment, une force de précontrainte probable Pm,t(x) déduction faite des pertes au temps t, mais aussi par majoration et minoration de cette force, un couple de deux valeurs caractéristiques Pk,sup et Pk,inf , encore communément appelé fourchette :
· ·
une valeur inférieure : Pk,inf = rinf ×Pm,t une valeur supérieure : Pk,sup = rsup ×Pm,t
Les pourcentages de majoration et minoration sont respectivement de 10 % (rsup = 1,1 ; rinf = 0,9) pour la précontrainte intérieure adhérente par post-tension et de 5% pour la précontrainte extérieure ou la précontrainte par pré-tension (rsup = 1,05 ; rinf = 0,95).
Lorsque des mesures appropriées sont prises comme par exemple la mesure directe de la précontrainte par pré-tension on peut adopter r sup =r inf =1 .
4.1 - Prise en compte de la précontrainte aux ELU
La valeur probable Pm,t est à utiliser pour les justifications aux ELU sauf pour la vérification à la fatigue qui utilise une combinaison d'actions similaire à une combinaison fréquente.
SP= Chapitre 5 La précontrainte
4.2 - Prise en compte de la précontrainte aux ELS
Les valeurs caractéristiques Pk,sup et Pk,inf sont à utiliser pour les justifications aux ELS et donc pour :
· · · ·
les calculs de contrainte dans le béton à vérifier vis-à-vis des limites prescrites, les calculs de contrainte dans les aciers passifs à vérifier vis-à-vis des limites prescrites, la détermination du ferraillage minimal, les calculs de contrainte dans les aciers passifs pour les calculs d'ouvertures de fissure.
On peut noter que la fourchette n'est pas utilisée pour le calcul des contraintes dans les armatures de précontrainte.
4.3 - En construction
Dans les situations en construction les annexes nationales des parties 1-1 et 2 précisent qu'il est possible de prendre rsup = rinf = 1,0 lorsque des précautions particulières sont prises, tant au niveau de la conception qu´au niveau de l´exécution, pour que la précontrainte probable Pm soit réalisée dans l´ouvrage. Dans le cas de la post-tension, ces précautions consistent notamment :
· · ·
à prévoir, dès le niveau de la conception, des conduits vides permettant de mettre en place des câbles complémentaires pour les cas où la tension probable ne serait pas obtenue sur chantier ; à imposer des mesures du coefficient de transmission sur les premiers câbles mis en tension (épreuve de convenance) et sur un nombre suffisant de câbles tendus ultérieurement (épreuve de contrôle) ; à établir un programme de travaux suffisamment échelonné pour permettre de déterminer et d´effectuer les corrections éventuellement nécessaires.
Si la structure est très sensible aux effets de la précontrainte, il convient de maintenir les valeurs rsup = 1,05 et rinf = 0,95.
5 - Adhérence de la précontrainte
Les aciers de précontrainte présentent une moins bonne adhérence au béton que les aciers passifs à haute adhérence. Dans les calculs de contrainte en sections fissurées, les surtensions dans les aciers passifs seraient donc plus importantes que celles calculées en supposant une adhérence parfaite des aciers de précontrainte. Le problème ne se pose que pour les calculs de contrainte dans les structures à précontrainte partielle (c'est-àdire les structures précontraintes susceptibles d'être significativement fissurées aux ELS). Deux méthodes sont possibles pour prendre en compte cette différence de comportement vis-à-vis de l'adhérence :
· ·
faire un calcul en faisant l'hypothèse d'une adhérence parfaite, et corriger ensuite les contraintes obtenues ; faire un calcul de contrainte en réduisant "à la source" la contribution de la surtension des armatures de précontrainte.
Ces deux méthodes sont envisagées dans l'Eurocode 2. La première est recommandée pour les calculs à la fatigue [EC2-1-1 6.8.2(2)P], la seconde est proposée pour le calcul du ferraillage minimum aux ELS [EC2-1-1 7.3.2(3)]. La première méthode a l'avantage de la simplicité mais ne permet pas d'obtenir un état de contrainte qui respecte les conditions d'équilibre général de la section.
SQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les modalités d'application suivantes sont recommandées :
·
pour les calculs à la fatigue des structures à précontrainte partielle, on applique la méthode recommandée par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 6.8.2]. Une borne supérieure à la variation de contrainte dans les aciers passifs peut être obtenue en négligeant totalement les surtensions p dans les aciers de précontrainte au-delà de l'état de déformation nulle du béton adjacent ; pour les calculs de contrainte aux ELS dans les structures précontraintes non fissurées, on néglige les surtensions p dans les aciers de précontrainte.
Pour les calculs de contrainte aux ELS dans les structures à précontrainte partielle, l'Eurocode n'indique pas de méthode précise. On peut s'inspirer de la seconde méthode, qui consiste à calculer l'état d'équilibre de la section en pondérant la surtension p par un coefficient 1 (borné supérieurement à 1,0) ou, ce qui est équivalent, à réduire la section de précontrainte Ap par ce même coefficient 1 . Là aussi, une borne supérieure à la variation de contrainte dans les aciers passifs peut être obtenue en négligeant totalement les surtensions p dans les aciers de précontrainte.
·
Des exemples de calcul sont donnés dans les chapitres ELS et ELU de fatigue (application à une dalle de PSIDP calculée en précontrainte partielle).
L'utilisation de modèles de calcul plus complexes, représentant de façon adéquate les différences d'adhérence entre aciers, reste possible. Voir par exemple l'article de F. Toutlemonde et R. Pascu, du Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées n°241 de novembre-décembre 2002.
Pour la précontrainte extérieure la surtension résulte de la valeur moyenne de l'allongement entre deux déviateurs ou sur une plus grande longueur en cas de glissement sur ces déviateurs. La surtension est donc faible et du fait de la possibilité de glissements son estimation est aléatoire. Aux ELS, la surtension est donc totalement négligée. Aux ELU, l'Eurocode autorise une prise en compte forfaitaire de la surtension [Chapitre 6 -1.1].
SR= Chapitre 5 La précontrainte
SS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 6 Justification aux ELU
Ce chapitre traite des justifications aux ELU, en particulier de l'ELU de résistance vis-à-vis de la flexion, de l'effort tranchant, de la torsion, et du poinçonnement. Les justifications pour des ELU plus spécifiques comme la fatigue, la rupture fragile et le flambement sont également présentées. Il faut se reporter par contre au calcul des plaques du Chapitre 10 -4 pour trouver des éléments concernant le cumul des effets de la flexion longitudinale et des effets locaux. Le calcul des sollicitations est généralement effectué sur la base d'une analyse élastique linéaire sans redistribution (sauf pour l'étude de la stabilité de forme), en tenant compte des caractéristiques des sections brutes [Chapitre 2 -6.2.2] et le cas échéant de la largeur participante [EC2-1-1 5.3.2.1], [Chapitre 2 -6.2.1]. La seule différence par rapport aux pratiques antérieures vient de la prise en compte de la précontrainte extérieure. L'Eurocode autorise en effet la prise en compte des surtensions dans les câbles non-adhérents. L'accroissement de contrainte dans les armatures de précontrainte non-adhérente (par exemple pour la précontrainte extérieure) peut être évalué :
· ·
à défaut de calcul précis, en prenant en compte un accroissement forfaitaire de 100 MPa [EC2-1-1/AN 5.10.8(2)], sinon, en tenant compte de la déformation d'ensemble de l'élément [EC2-2 5.10.8(103)], au moyen d'une analyse non-linéaire géométrique (second ordre, [EC2-1-1 5.7(1)]).
Il est en général plus défavorable de négliger l'effet de cet accroissement de tension. Lorsqu'il est utile d'évaluer cet accroissement, on peut considérer un câble totalement glissant (en particulier au droit des déviateurs) au tracé identique au câble réel.
1 - Justification vis-à-vis de la flexion
Ce paragraphe fait référence aux clauses [EC2-1-1 6.1] et [EC2-2 6.1]. La flexion déviée est abordée en [EC2-1-1 5.8.9]. De façon générale, les justifications aux ELU de résistance en flexion dans l'Eurocode 2 sont très proches de la pratique antérieure :
· ·
calcul des sollicitations par un modèle linéaire-élastique ; vérification des sections avec des lois de comportement des matériaux (présentées ci-après) différentes de celles utilisées pour l'analyse structurale (déjà présentées au [Chapitre 2-6.3.1]).
Ce paragraphe met l'accent sur les principales différences entre l'Eurocode 2 et les règles antérieures. Sont présentées successivement les lois matériaux, la prise en compte de la précontrainte dans l'analyse, et la vérification des sections.
1.1 - Lois de comportement des matériaux pour les vérifications des sections
Le calcul des sections est basé sur l'utilisation des diagrammes contraintes-déformations particulières données dans la Section 3 de l'Eurocode 2 partie 1-1 [EC2-1-1 3.1.7], [EC2-1-1 3.2.7] et [EC2-1-1 3.3.6].
SU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1.1 - Béton
Plusieurs lois de comportement peuvent être utilisées.
La loi "parabole-rectangle" [EC2-1-1 Fig.3.3] :
c = f cd 1 - 1 - c c2 c = f cd
n
pour 0 c c 2 pour c 2 < c cu 2
Cette loi n'est pas constituée en fait d'une parabole pour les bétons dont la résistance est supérieure à 50 MPa, dits bétons BHP, puisque l'exposant n est alors compris entre 1,75 pour du C55/67 et 1,4 pour du C90/105.
c
fcd
c
0
c2
cu2
Fig./Tab.1.(1) : Loi de comportement du béton pour le calcul des sections
Deux autres lois appelées simplifiées sont admises et sont considérées comme équivalentes à la loi "parabolerectangle".
La loi "bilinéaire" [EC2-1-1 3.1.7 (3) Fig.3.4] :
c
fcd
c
0
c3
cu3
Fig./Tab.1.(2) : Lois de comportement bilinéaire du béton pour le calcul des sections Le diagramme rectangulaire simplifié [EC2-1-1 3.1.7 (3) Fig.3.5] :
L'hypothèse d'un diagramme rectangulaire de compression dans le béton est possible, tant pour les bétons normaux que les BHP. La hauteur utile de la zone comprimée et la résistance effective sont alors fonction de la résistance caractéristique du béton.
Ces trois lois ont été calibrées pour donner des résultats très proches, voire plus conservateurs pour les diagrammes simplifiés.
SV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Toutes ces lois sont caractérisées par l'utilisation du paramètre fcd, résistance de calcul en compression du béton définie par : f cd = cc × f ck
C
avec cc coefficient tenant compte des effets de la durée d'application de la charge sur la résistance en compression du béton, coefficient dont l'annexe nationale a fixé la valeur à cc = 1,0
C coefficient partiel du béton [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,5 en situations durable et transitoire et 1,2 en situation accidentelle.
Le coefficient cc permet de tenir compte de l'importance des charges permanentes dans les combinaisons. Les annexes nationales de l'Eurocode 2 ont retenu la valeur cc = 1,0 pour toutes les structures en béton.
Les valeurs des paramètres de déformation ci fonction de la classe de résistance du béton sont à rechercher dans [EC2-1-1 Tab.3.1].
1.1.2 - Aciers passifs
Les lois de comportement suivantes peuvent être utilisées [EC2-1-1 Fig.3.8] :
· ·
la loi bilinéaire à palier horizontal, pour laquelle il n'y a pas de limitation des déformations de l'acier, la loi bilinéaire avec raffermissement. f yk
La résistance de calcul des aciers passifs dans le cas d'utilisation de la loi avec palier horizontal est donnée par : f yd =
S
avec S coefficient partiel de l'acier de béton armé [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,15 en situations durable et transitoire et 1,0 en situation accidentelle. Dans le cas d'utilisation de la loi bi-linéaire avec raffermissement la valeur limite de résistance est définie par l'allongement maximal de calcul ud dont la valeur recommandée vaut 0,9 uk . Les valeurs de résistance usuellement utilisées, pour un acier B500B en situation durable, sont fyk = 500 MPa, fyd = 435 MPa. La limite de résistance avec la loi bilinéaire et raffermissement correspond à ud = 4,5% et vaut au moins 466 MPa.
Fig./Tab.1.(3) : Diagrammes contraintes-déformations des aciers de béton armé pour le calcul des sections
TM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1.3 - Aciers de précontrainte
Plusieurs lois de comportement peuvent être utilisées :
· · ·
la loi bilinéaire à palier horizontal [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.10], la loi bilinéaire avec raffermissement [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.10], une loi représentant le diagramme réel des aciers, sous réserve de lui appliquer le coefficient 1/S au delà de fp0,1k [EC2-1-1 3.3.6(7)]. Pour les torons, la loi du règlement antérieur (conforme à la figure [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.9] peut donc être reprise, elle est mentionnée sur la figure suivante.
Fig./Tab.1.(4) : Diagrammes contraintes-déformations des aciers de précontrainte
La résistance de calcul des aciers de précontrainte dans le cas d'utilisation de la loi avec palier horizontal est donnée par : f pd = f p 0,1k
S
S coefficient partiel de l'acier de précontrainte [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,15 en avec situations durable et transitoire et 1,0 en situation accidentelle.
Dans le cas d'utilisation de la loi bi-linéaire avec raffermissement la valeur limite de résistance est définie par l'allongement maximal de calcul ud dont la valeur recommandée vaut 2%. Les valeurs de résistance usuellement fp0,1k = 0,9fpk = 1674 MPa, fpd = 1456 MPa. utilisés en situation durable, sont fpk = 1860 MPa,
TN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
1.2 - Calcul des sections
Le calcul des sections à l'ELU de résistance est basé sur les hypothèses suivantes [EC2-1-1 6.1(2)] :
· · ·
les sections droites restent planes ; la résistance à la traction du béton est négligée ; il n'y a pas de glissement relatif des matériaux, sauf pour la précontrainte non-adhérente.
Le principe des pivots est conservé :
· · ·
pivot A (lorsqu'il existe) : limitation de la déformation des aciers passifs et/ou de précontrainte ; pivot B : limite de déformation du béton pour des pièces fléchies ; pivot C : limite de déformation du béton en compression pure.
A - limite de déformation relative en traction des armatures de béton armé B - limite de déformation relative du béton en compression C - limite de déformation relative du béton en compression pure Fig./Tab.1.(5) : Diagramme des déformations relatives admissibles à l'état limite ultime
Il faut s'assurer que les déformations ultimes admissibles ne sont pas atteintes, le cas échéant. Par ailleurs, pour les membrures comprimées des poutres-caissons (charge relativement centrée vérifiant e < 0,1 ), il faut vérifier que la déformation moyenne en compression dans la membrure est inférieure à c2 h (ou c3 selon le diagramme utilisé) [EC2-1-1 6.1(5)].
Cette clause peut être dimensionnant pour les pièces fortement sollicitées (hourdis inférieur sur appuis). Il peut être nécessaire de limiter la déformation en fibre extrême à une valeur inférieure à cu2(ou 3) pour pouvoir respecter cette condition.
1.3 - Conclusion
Le principe du calcul des sections à l'ELU de résistance est conforme aux habitudes de calcul antérieurement pratiquées en France, avec une légère réduction des quantités pour les raisons suivantes :
· ·
cc = 1,0
possibilité d'utiliser un diagramme bilinéaire incliné pour les aciers, qui permet une réduction de quelques pourcents du ferraillage.
On a l'impression qu'on pourrait gagner 5 à 8 %, mais en réalité le gain est bien moindre à cause de la limitation imposée au béton.
·
possibilité de prendre en compte la surtension des câbles de précontrainte extérieure.
TO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En revanche, la suppression du pivot A, lorsqu'on utilise des diagrammes à palier horizontal pour les armatures de béton armé et de précontrainte, ne permet pas, de façon générale, de réduire les quantités d'aciers, car dans ce cas c'est le pivot B qui impose les limites.
2 - Justification vis-à-vis du tranchant
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2] et [EC2-2 6.2]. Ce paragraphe concerne l'étude de la résistance aux efforts tranchants aux ELU. Il ne traite pas du cumul des efforts de cisaillement et de flexion locale qui est abordé au [Chapitre 10 -4.3]. De même il faut aller au [Chapitre 7 -2.5] pour trouver la vérification des sections vis-à-vis du tranchant aux ELS. Il est aussi complété par le traitement de certains cas particuliers au [Chapitre 10 -1] et des applications numériques en [Annexe III].
2.1 - Effort tranchant de calcul
2.1.1 - Définition de l'effort de tranchant à prendre en compte
L'effort tranchant agissant de calcul VEd, utilisé pour la justification des sections, est la somme :
· · ·
de l'effort tranchant dû aux actions extérieures, de l'effort tranchant dû à la précontrainte, des composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable dues à l'effet Résal [Chapitre 10 -1.1].
2.1.2 - Largeur d'âme de calcul bw
bw est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue ou dans la zone comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée. En présence de gaines de précontrainte métalliques injectées de diamètre > VRd,max doit être calculé en adoptant une largeur nominale de l'âme réduite :
b w,nom = b w - 0,5
bw , l'effort tranchant résistant 8
avec
= encombrement des gaines au niveau le plus défavorable.
Dans le cas de gaines non injectées, de gaines en plastique injectées ou d'armatures de précontrainte non adhérentes : b w,nom = b w - 1,2
L'Eurocode 2-1-1 précise que, dans ce dernier cas, si des armatures transversales adaptées sont prévues pour éviter le fendage des bielles, le coefficient 1,2 peut être réduit à 1,0 [EC2-1-1 6.2.3(6)] ; ceci est confirmé par l'annexe nationale.
Dans la suite les expressions font apparaître uniquement bw ; il faut lire bw,nom le cas échéant.
TP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.1.3 - Principe de la vérification
La procédure générale de vérification comprend [EC2-1-1 6.2.1] :
·
une vérification de la résistance de la section sans armatures d'effort tranchant. Si celle-ci est concluante, seul le ratio minimum d'armatures [EC2-1-1 9.2.2] rappelé en [Chapitre 9 -3.1] est à mettre en oeuvre et la vérification ci-dessous n'est pas à faire ; il peut être cependant être omis dans le cas des dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale des charges est possible [EC2-1-1 6.2.1(4)] ; une vérification de la résistance avec armatures d'effort tranchant qui comprend à la fois la vérification de la résistance des bielles de béton et celle de la résistance des armatures de cisaillement ; la prise en compte de l'effort de traction longitudinal supplémentaire qui doit intervenir dans le dimensionnement des armatures longitudinales.
Les règles générales édictées pour la justification des sections s'appliquent lorsque les charges sont appliquées en partie supérieure des éléments. Lorsque des charges sont appliquées en partie inférieure, il faut ajouter des armatures verticales suffisantes pour transmettre la charge en partie supérieure [EC2-1-1 6.2.1(9)]. Ces conditions peuvent se présenter lors de croisement de poutres. Elles se présentent également dans les ponts caissons : - le poids du hourdis inférieur exerce directement une traction sur le bas des âmes. - pour des caissons de hauteur variable avec hourdis courbe, l'effort normal Ni résultant de l'ensemble des contraintes normales sur celui-ci, induit une poussée au vide Q = Ni / R où R est le rayon de courbure du hourdis. Dans le cas où Ni est une traction, Q exerce une traction sur les âmes. - les câbles de précontrainte, situés dans le hourdis inférieur ou dans le bas des âmes, induisent également une poussée au vide QP = FP / R vers le bas.
· ·
Q=Ni/R
R Ni
Ni
Fig./Tab.2.(1) : Poussée au vide d'un hourdis
2.2 - Vérification des sections courantes
On commence par vérifier que les éléments dépourvus d'armatures de tranchant ont une résistance suffisante. Sont considérés comme dépourvus d'armatures les éléments munis seulement du ferraillage minimal comme indiqué au [Chapitre 9-3.1].
TQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.1 - Eléments pour lesquels aucune armature d'effort tranchant n'est requise
2.2.1.a) Cas général
Il convient de vérifier : VEd VRd,c VEd est l'effort tranchant agissant de calcul. VRd,c est l'effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armature transversale : VRd,c = C Rd,c k (100 1 f ck ) 3 + k 1 cp b w d
1
[
]
[EC2-1-1 6.2.2 Expr.(6.2.a)]
avec une valeur minimale VRd,c v min + k 1 cp b w d où k =1+ 200 2,0 avec d exprimé en mm d
(
)
[EC2-1-1 6.2.2 Expr.(6.2.b)]
1 = A sl /b w d 0,02
Les valeurs adoptées sont les suivantes : - CRd,c = 0,18/C = 0,18/1,5 = 0,12 - k1=0,15 - vmin = 0,34/C fck1/2 pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré - vmin = 0,053/C k3/2 fck1/2 pour les poutres et les dalles autres que celles ci-dessus - vmin = 0,35/C fck1/2 pour les voiles Ce sont les valeurs recommandées sauf celles concernant vmin dans le cas des dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale et des voiles, qui sont des valeurs proposées par l'annexe nationale.
L'expression (6.2a) fait intervenir le ratio d'armatures longitudinales l = Asl / bw d dans lequel peuvent être comptées les armatures de précontrainte adhérentes. Ce ratio est surtout prévu pour des sections rectangulaires et n'a pas beaucoup de signification pour les poutres caissons, pour lesquelles il est préférable de le négliger et de ce fait, ne retenir que l'effort résistant donné par l'expression (6.2b). Les expressions (6.2a) et (6.2b) ne diffèrent que par le premier terme de la somme entre parenthèse. La comparaison de ces deux termes montre que pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale, l'expression (6.2b) est toujours prépondérante. Les valeurs de vmin préconisées par l'annexe nationale appellent les commentaires suivants : - le coefficient partiel C est mis en évidence ce qui permet de traiter les cas de situations accidentelles ; - la valeur préconisée pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale donne des efforts résistants beaucoup plus élevés que pour les poutres à dimensions égales.
TR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.2.1.b) Cas particuliers
Le cas particulier des éléments non fissurés aux ELU est examiné en [Chapitre 10 -1.4], celui des éléments précontraints à une seule travée en [Chapitre 10 -1.5].
2.2.2 - Eléments pour lesquels des armatures d'effort tranchant sont requises
Cette vérification est basée sur un modèle de treillis tel que représenté ci-après [EC2-1-1 6.2.3] :
Fig./Tab.2.(2) : Modèle de treillis d'effort tranchant
Elle nécessite :
· ·
la vérification de la résistance des bielles, la vérification ou la détermination des armatures d'effort tranchant.
L'Eurocode 2 présente à la fois le cas des armatures perpendiculaires à la fibre moyenne ( = 90°) pour lesquelles les expressions se simplifient et celui des armatures inclinées d'un angle quelconque. Par la suite, les expressions avec un angle quelconque sont explicitées; leur simplification est facile et immédiate.
Lorsqu'on souhaite minimiser le ferraillage d'effort tranchant, on choisira l'inclinaison des bielles la plus faible compatible avec leur résistance en compression. Cela peut toutefois conduire à majorer de façon importante les aciers longitudinaux. De plus, si la direction des bielles choisie à l'ELU de résistance est trop éloignée de la direction élastique des contraintes principales de compression aux ELS, des fissurations importantes peuvent se produire sous effort tranchant en service, accompagnées de problèmes de fatigue. Dans le cas d'éléments de ponts en béton armé, il est donc recommandé de ne pas trop incliner les bielles à l'ELU de résistance, pour ne pas créer de problème de fissuration excessive aux ELS. On pourra par exemple borner inférieurement l'inclinaison à 34° (cot34° = 1,5), conformément à l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 7.3.1(10)], [EC2-2/AN 6.8.1(102)]. Dans le cas d'éléments en béton précontraint, où les suppléments d'aciers passifs longitudinaux sont faibles, il est généralement intéressant d'incliner les bielles le plus possible. Il faut signaler enfin que le schéma présenté dans la figure ci-dessus n'est valable qu'en partie courante de la poutre. Près des appuis, une étude spéciale de la bielle d'about doit être effectuée. Le choix d'une bielle trop inclinée peut nécessiter d'ancrer des aciers longitudinaux en quantité importante, et on peut avoir intérêt à réduire l'inclinaison des dernières bielles.
TS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.2.a) Vérification de la résistance des bielles
Il y a lieu de commencer par le choix de l'angle d'inclinaison des bielles défini par les conditions suivantes, fixées par l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 6.2.3(2)] :
·
en compression ou flexion simple 1 cot 2,5 (conformes aux valeurs recommandées) soit : 21,8° 45° en traction 1 + ct / f ctm cot 2,5 1 + ct / f ctm
·
où ct est la contrainte de traction au centre de gravité (-fctm < ct < 0)
Le cas d'une section où ct < -fctm n'est pas traité.
Il convient de vérifier : VEd VRd,max VEd est l'effort tranchant agissant de calcul VRd,max est l'effort résistant de la bielle en béton qui est donné par : VRd,max = cw b w z 1 f cd (cot + cot) (1 + cot 2 ) bw est la largeur d'âme
La largeur nette est à prendre en présence des gaines d'armatures de précontrainte. En cas de largeur d'âme variable la plus petite largeur est à prendre.
[EC2-1-1 Expr.(6.14)]
1 est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant. Sa valeur recommandée est prise égale à [EC2-1-1 6.2.2(6)] ; elle est retenue par l'annexe nationale et est donnée par :
1 = = 0,6 (1-fck /250)
[EC2-1-1 Expr.(6.6N)]
On peut noter qu'une résistance fck élevée réduit .
cw est un coefficient prenant en compte l'état de contrainte dans la membrure comprimée. Les valeurs recommandées, validées par l'annexe nationale, sont les suivantes : 1 (1 + cp/fcd) 1,25 pour les structures non précontraintes pour 0 < cp 0,25 fcd pour 0,25 fcd < cp 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.11.aN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.bN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.cN)]
2,5 (1 - cp/fcd) pour 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd
La figure ci-dessous représente cw en fonction de la contrainte normale :
Fig./Tab.2.(3) : Variation de cw , avec la contrainte normale moyenne du béton
TT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
L'annexe nationale complète et précise que pour le cas d'éléments en flexion composée avec un effort de traction, mais dont une membrure reste comprimée, on peut prendre : cw,t = 1+ct/fctm Le cas d'une section entièrement tendue n'est toutefois pas traité.
Pour la détermination de cw , cp est la contrainte de compression moyenne (> 0), ct est la contrainte de traction moyenne (< 0), chacune étant déterminée sous l'effort normal de calcul sur la section de béton, en tenant compte des armatures. Plus précisément, les contraintes normales peuvent être déterminées par un calcul élastique conventionnel bien que le calcul soit mené aux ELU. On a alors cp = N/S (contrainte au centre de gravité de l'ensemble de la section). Pour les sections non précontraintes, on trouve bien cp = 0 et cw = 1. Pour prendre en compte les armatures on utilise les valeurs de coefficient d'équivalence n données au [Chapitre 3 -3.1.4]. Dans le cas de sections très comprimées, il est du côté de la sécurité de négliger la participation des aciers. Dans le cas de sections peu comprimées, une variation de 15 % de la section (obtenue pour un ratio d'armatures longitudinales de 1%), n'entraîne qu'un écart de 3 % environ sur cw. Il est précisé qu'il n'y a pas lieu de calculer la valeur de cp à une distance inférieure à 0,5d×cot du nu de l'appui.
Si l'effort tranchant sollicitant de calcul VEd est supérieur à VRd,max calculé ci-dessus, la bielle n'a pas assez de capacité de résistance. Elle peut être trop inclinée par rapport à la verticale et/ou l'épaisseur des âmes est insuffisante. Il faut commencer par redresser la bielle. Lorsque celle-ci atteint 45°, et si la résistance n'est toujours pas suffisante, il faut alors augmenter l'épaisseur des âmes.
Toutefois dans certains cas, la résistance des bielles peut être augmentée [Chapitre 10 -1.6].
2.2.2.b) Vérification de la résistance des armatures transversales
La résistance due aux armatures est donnée par :
VRd,s = A sw z f ywd (cot + cot ) sin s [EC2-1-1 Expr.(6.13)]
La détermination des armatures se fait en égalant cette capacité de résistance au tranchant sollicitant de calcul VEd :
A sw s =
z f ywd
VEd (cot + cot ) sin
et si les aciers sont perpendiculaires à la fibre moyenne : A sw s = VEd z f ywd cot
La section efficace des armatures est plafonnée à la valeur donnée par l'expression suivante :
A sw, max × f ywd bw × s 1 cw × 1 × f cd / sin 2
[EC2-1-1 Expr.(6.15)]
Cette expression est à utiliser en prenant en compte les valeurs de f cd et f ywd obtenues en situation durable et transitoire. Elle ne s'applique pas en situation accidentelle.
TU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Elle traduit l'égalité de VRd ,max et VRd,s lorsque la résistance des bielles est atteinte pour leur angle d'inclinaison maximum de 45° ou cot = 1 , c'est-à-dire lorsque VEd épuise totalement la résistance du béton de la section. Dans le cas où il n'y a pas de discontinuité de VEd (chargement uniforme par exemple), la détermination des armatures d'effort tranchant sur une longueur élémentaire 1 = z (cot + cot ) peut être effectuée en considérant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur [EC2-1-1 6.2.3(5)]. Cette disposition revient à décaler la courbe enveloppe des sections d'armatures d'effort tranchant vers les appuis.
2.2.2.c) Cas des ouvrages construits par tronçons préfabriqués et sans précontrainte adhérente
Ce cas est traité en [EC2-2 6.2.3(109)]. Dans ce cas, l'ouverture du joint dans les membrures tendues diminue la hauteur du béton comprimé qui permet la transmission des bielles. La section des armatures d'effort tranchant doit tenir compte de cette hauteur réduite.
A - Axes des tirants théoriques B - Axes des bielles de compression théoriques C - Membrure tendue du treillis (armature extérieure) D - Champ A : disposition de cadres ou étriers avec max (cot = 1,0) E - Champ B : disposition de cadres ou étriers avec min (cot = 2,5) Fig./Tab.2.(4) : Champs inclinés de contrainte dans l'âme à travers le joint.
La hauteur réduite hred est la hauteur de béton comprimé, calculée lors de la vérification de la section en flexion aux ELU. Il faut alors vérifier que hred > 0,5h. Sinon ,il faut augmenter la précontrainte pour recomprimer les joints. L'angle d'inclinaison des bielles se déduit de la valeur de hred par l'expression suivante :
h red = VEd (cot + tan ) b w f cd [EC2-2 Expr.(6.103)]
La section des armatures d'effort tranchant est alors donnée par : A sw VEd = s h red f ywd cot [EC2-2 Expr.(6.104)]
On remarque que ces expressions se déduisent de celles du calcul de résistance des sections courantes en remplaçant z par hred .
TV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.2.3 - Effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales
2.2.3.a) Calcul de l'effort
L'inclinaison des bielles du treillis induit un effort de traction supplémentaire dans les membrures : Ftd = 0,5 VEd (cot -cot ) [EC2-1-1 Expr.(6.18)] [EC2-1-1 6.2.3(7)] et
Par ailleurs sa prise en compte doit être telle que (MEd /z +Ftd) MEd,max/z [EC2-2 6.2.3(107)].
Pour des éléments comportant un ferraillage d'effort tranchant, cet effort Ftd peut être obtenu par un décalage de la courbe des moments de : a l = z (cot -cot )/ 2 [EC2-1-1 Expr.(9.2)]
Avec : inclinaison des bielles d'effort tranchant inclinaison des aciers sur l'axe longitudinal de la poutre z bras de levier du couple élastique.
On démontre facilement que l'expression donnant le décalage correspond à l'hypothèse d'un treillis multiple (ce qui est assez vrai pour les structures de ponts dans lesquels les éléments sont de grande hauteur par rapport à l'espacement des armatures transversales). Pour un treillis simple et des armatures non-inclinées le décalage vaut zcot.
Cette disposition est représentée par la figure [EC2-1-1 Fig.9.2] reproduite ci-dessous.
A - Enveloppe de MEd/z + NEd B - Effort de traction agissant Fs C - Effort de traction résistant FRs Fig./Tab.2.(5) : Illustration de la règle du décalage
Cependant, dans le cas où les efforts sollicitants sont tels qu'il n'y a pas besoin d'armatures d'effort tranchant, il convient de prendre : al = d avec d = hauteur utile [EC2-1-1 6.2.2(5)]
UM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.3.b) Reprise de l'effort
Dans la membrure comprimée, il est envisageable de reprendre cet effort par une décompression, dans la mesure où la membrure reste comprimée aux ELU.
Cette possibilité est prévue en [EC2-1-1 6.3.2(3)] pour la torsion, mais est aussi applicable au cas de l'effort tranchant.
Dans la membrure tendue, l'effort de traction est équilibré par les armatures longitudinales (aciers passifs et éventuellement précontrainte adhérente) [EC2-1-1 6.2.3(7)], [EC2-2 6.2.3(107) note]. La contrainte de traction dans les armatures de béton armé doit rester inférieure à la contrainte limite définie par [EC2-1-1 3.2.7] et la tension totale des armatures de précontrainte doit rester inférieure à la contrainte limite définie par [EC2-1-1 3.3.6]. Pour la prise en compte des armatures de précontrainte adhérentes dans le cas où elles sont inclinées, l'Eurocode 2 propose un système de treillis explicité par la figure reproduite ci-dessous [EC2-2 Fig.6.102N].
Fig./Tab.2.(6) : Superposition de modèles de résistance pour l'effort tranchant [EC2-2 Fig.6.102N]
Ce type de schéma est particulièrement utile pour étudier la participation de la précontrainte à l'équilibre de la bielle d'about. Les règles françaises antérieures détaillaient ce point de façon plus complète, en prenant en compte le tracé réel de chaque câble. En partie courante en revanche, les différences angulaires entre aciers passifs longitudinaux et précontrainte étant faibles, on peut généralement se contenter du schéma de bielle classique sans distinguer les tracés des aciers passifs longitudinaux et de la précontrainte. Nota : La résistance des armatures doit également prendre en compte les sollicitations de torsion concomitantes. Les armatures de précontrainte adhérentes peuvent participer à la résistance mais en tout état de cause leur surtension totale est limitée à p = 500 MPa [EC2-2 6.3.2(103)]. Cette limite est rarement atteinte dans la pratique. D'autre part, la surtension doit être déterminée à partir de l'état permanent.
2.3 - Résistance à l'effort tranchant près des appuis
2.3.1 - Cas courant
L'Eurocode [EC2-1-1 6.2.1(7)] indique que pour les éléments soumis principalement à des charges uniformément réparties, les vérifications à l'effort tranchant ne sont pas nécessaires pour les sections situées à une distance inférieure à d (hauteur utile) du nu de l'appui [EC2-1-1 6.2.1(8)]. Les armatures d'effort tranchant requises à cette distance sont cependant maintenues jusqu'à l'appui. Il convient de vérifier que l'effort tranchant sur appui n'excède pas VRd,max [Chapitre 6 -2.2.2].
Pour les ponts en béton, les effets des charges permanentes sont généralement supérieurs à ceux des charges d'exploitation, ils peuvent alors être considérés comme soumis principalement à des charges réparties.
UN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.3.2 - Réduction des charges concentrées près des appuis
La prise en compte des charges concentrées près des appuis suit les règles [EC2-1-1 6.2.2(6)] et [EC2-1-1 6.2.3(8)]. Les charges sont celles situées sur la face supérieure de l'élément, à une distance av comprise entre 0,5d et 2d du nu de l'appui, si celui-ci est rigide ou du centre de l'appui si celui-ci est souple. Les appareils d'appui en caoutchouc et les appareils d'appui à pot entrent dans cette seconde catégorie. L'effort sollicitant VEd peut être réduit par un facteur = av / 2d. Si av < 0,5d, il convient d'adopter av = 0,5d. On obtient ainsi un effort VEd réduit (appelé VEd,r par la suite). Toutefois ceci n'est valable que si les armatures longitudinales nécessaires sont totalement ancrées au droit de l'appui.
2.3.2.a) Cas où des armatures d'effort tranchant ne sont pas requises
La valeur VEd,r calculée comme ci-dessus doit être comparée à l'effort tranchant résistant VRd,c donné par les expressions (6.2a) et (6.2b) de l'Eurocode 2 partie 1-1. Si VEd,r est inférieur à VRd,c, des armatures ne sont pas requises. Par ailleurs l'effort tranchant non réduit doit vérifier la condition suivante : VEd 0,5 b w d f cd = 0,6 (1 - fck / 250) [EC2-1-1 Expr.(6.5)]
où est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant donné par [EC2-1-1 Expr.(6.6N)]
2.3.2.b) Cas où des armatures d'effort tranchant sont requises
Si l'effort tranchant réduit VEd,r est supérieur aux valeurs de VRd,c, des armatures d'effort tranchant sont requises.
Fig./Tab.2.(7) : Armatures d'effort tranchant dans le cas de transmission directe aux appuis
UO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Il faut alors vérifier : VEd,r Asw fywd sin [EC2-1-1 Expr.(6.19)] où Asw est la section d'armatures d'effort tranchant situées sur une longueur 0,75av centrée sur av, comme indiqué sur la figure ci-dessus. La résistance des bielles doit être vérifiée selon l'expression générale (6.14) de l'Eurocode 2 partie 1-1 (voir ci-dessus) en prenant en compte l'effort tranchant non réduit. La condition exprimée par l'expression (6.5), rappelée précédemment, doit également être vérifiée pour l'effort tranchant non réduit.
2.3.3 - Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 9.2.1.4], [EC2-1-1 9.2.1.5].
2.3.3.a) Appuis simples d'extrémités
La figure [Fig./Tab.2.(7)] montre que la section d'armatures présente au niveau des appuis doit y être ancrée, la longueur d'ancrage étant mesurée depuis le nu de l'appui. Cette section peut être calculée à partir de la règle du décalage, ou en appliquant l'expression suivante : FE = |VEd| × al / z + NEd où NEd est l'effort normal agissant concomitant Pour les éléments comportant des armatures d'effort tranchant, al = z (cot cot) / 2 et l'expression devient : FE = 0,5 |VEd| (cot cot) + NEd C'est l'expression (6.18) de [EC2-1-1 6.2.3(7)], déjà vue à l'article [Chapitre 6 -2.2.3] à laquelle s'ajoute l'effort normal concomitant. La section ancrée ne doit pas être inférieure à 2 ×Amax , avec Amax section des armatures en travée 2 = 0,25 valeur recommandée, soumise à validation par l'annexe nationale L'annexe nationale donne 2 = 0 sous réserve de vérifier la condition suivante : FE = |VEd| × al / z + NEd + MEd/z où MEd est le moment concomitant (à prendre avec son signe). On obtient ainsi : FE = 0,5 |VEd| (cot cot) + NEd+ MEd/z
On a vu que l'expression donnant le décalage al correspond à l'hypothèse d'un treillis multiple [Chapitre 6-II.2.3] qui risque de ne plus être vérifié en zone d'appui d'extrémité. Une étude spécifique de l'équilibre de la bielle d'about doit être effectuée pour chaque cas ; celle-ci permettra de déterminer plus précisément l'effort longitudinal à ancrer. Un modèle simple à un seul treillis conduit à ancrer une force de VEd cot pour la part apportée par le tranchant. Ceci correspond à la pratique antérieure qui demandait l'ancrage de l'effort VEd pour un angle de bielle = 45°, par simplification, ce qui va dans le sens de la sécurité. L'étude précise de la bielle d'about devrait conduire à un effort intermédiaire entre les valeurs de 0,5VEd×cot et VEd×cot.
[EC2-1-1 Expr.(9.3)]
2.3.3.b) Appuis intermédiaires
Les recommandations concernant les appuis d'extrémités s'appliquent [EC2-1-1 9.2.1.5].
UP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
3 - Justification vis-à-vis de la torsion
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.3].
Dans la suite du texte le symbole t,i de l'Eurocode 2 a été remplacé par T,i (T pour torsion) qui est plus cohérent avec V,i (V pour tranchant).
3.1 - Principe
L'Eurocode 2 ne traite explicitement que de la résistance à une torsion circulaire (ou pure) d'un élément de section pleine ou creuse et énonce que la torsion gênée peut être négligée dans le cas des caissons et des sections pleines [EC2-1-1 6.3.3]. Par ailleurs, l'Eurocode 2 effectue la justification de la résistance en torsion circulaire dans une section fermée à parois minces, à partir de l'équilibre avec le flux de cisaillement exercé ; le cas d'une section pleine est traité, comme dans les règlements antérieurs, en l'assimilant à une section creuse à parois minces équivalentes. Chaque paroi de section est alors vérifiée séparément, selon le principe d'un treillis résistant à l'effort tranchant qui lui est appliqué.
Dans le cas d'ouverture des joints sans armatures adhérentes, il faut se préoccuper de la modification du schéma de résistance et de la distribution des efforts de torsion [EC2-2 6.3(106)]. Ceci concerne les ouvrages en caisson construits par tronçons préfabriqués sans précontrainte adhérente dans la zone tendue. Le schéma de répartition des efforts peut s'apparenter alors à celui d'une section ouverte.
L'étude des tabliers de ponts en béton vis-à-vis de la torsion, dès lors que leur section est complexe comme un multi-poutres ou un multi-caissons, doit être précédée d'une analyse structurale appropriée permettant de déterminer les sollicitations de torsion propres à chaque élément longitudinal. Si ces sections peuvent être considérées comme indéformables, alors elles peuvent être justifiées selon les prescriptions de l'Eurocode 2.
Une section en T, si elle peut être considérée comme indéformable, peut être décomposée en sections élémentaires, modélisées chacune par une section à parois minces équivalentes. La résistance en torsion de l'ensemble est prise égale à la somme des résistances des sections élémentaires. Dans ce cas, la redistribution des moments de torsion dans les sections élémentaires doit être proportionnée à la rigidité de torsion à l'état non fissuré de celles-ci. Chaque section élémentaire peut être calculée séparément.
Dans le cas de sections déformables l'étude doit se faire avec des méthodes appropriées.
La torsion gênée introduit des contraintes normales qui peuvent être non négligeables dans le cas de profils minces ouverts et de sections très élancées. Dans ces cas, elle peut être étudiée à l'aide de modèles de réseaux de poutres ou de modèles aux éléments finis.
UQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.1.1 - Calcul des flux de cisaillement de torsion dans une section creuse ou pleine
A - Feuillet moyen B - Parement extérieur de la section, périmètre u, C - Enrobage Fig./Tab.3.(1) : Torsion - section creuse équivalente
Ce calcul nécessite la connaissance des épaisseurs des parois. Dans le cas de section creuse, tef,i sont les épaisseurs réelles des parois. Dans le cas d'une section pleine la figure ci-dessus représente le principe de détermination de la section creuse qui lui est équivalente. L'épaisseur des parois tef,i est alors supposée constante. tef,i = A/u en général A u tef,i est l'aire totale de la section délimitée par le périmètre extérieur, partie creuse comprise est le périmètre extérieur de la section doit être supérieure à deux fois la distance entre le parement extérieur et l'axe des armatures longitudinales.
Le flux de cisaillement en torsion pure est donné par : T ,i t ef,i = TEd T,i Ak TEd 2A k [EC2-1-1 Expr.(6.26)]
est le moment de torsion agissant de calcul est la contrainte tangente de torsion dans la paroi i est l'aire intérieure au feuillet moyen des parois, partie creuse comprise
La sollicitation tangente VEd,i dans une paroi i du fait de la torsion est donnée par : VEd,i = T ,i t ef,i z i zi [EC2-1-1 Expr.(6.27)]
est la longueur de la paroi i, définie par la distance entre points d'intersection des parois adjacentes.
Il y a ici un risque de confusion car le symbole choisi par l'Eurocode 2 pour la longueur de paroi est similaire à celui utilisé pour le bras de levier du couple élastique.
Les justifications se font ensuite pour chacune des parois, de la même manière que pour l'effort tranchant.
UR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
3.1.2 - Cumul tranchant / torsion
Dans tous les cas, les effets de la torsion et de l'effort tranchant peuvent être cumulés en prenant une même valeur pour l'inclinaison des bielles [EC2-2 6.3.2(102)]. Les valeurs limites sont celles définies pour l'effort tranchant. Dans le cas des caissons, il convient de vérifier chaque paroi séparément en tenant compte du cumul algébrique des cisaillements de tranchant et de torsion.
A Torsion B - Effort tranchant C - Combinaison Fig./Tab.3.(2) : Combinaison des sollicitations au sein des différentes parois d'un caisson [EC2-2 Fig.6.104]
Dans le cas de sections pleines, le cumul tranchant-torsion ne peut plus se faire simplement par cumul des cisaillements correspondants comme présenté ci-dessus. Le cisaillement de tranchant s'exerce en effet sur toute la largeur de l'élément, alors que le cisaillement de torsion s'exerce sur les parois de la section creuse équivalente. Il est alors nécessaire de revenir aux sollicitations de tranchant et de torsion pour effectuer la vérification, comme présenté ci-dessous.
3.2 - Vérification de la résistance à la torsion combinée au tranchant
3.2.1 - Résistance des bielles
La méthode de vérification de la résistance des bielles de béton des éléments soumis aux sollicitations d'effort tranchant et de torsion est définie par la clause [EC2-2 6.3.2(104)]. Elle distingue les sections pleines des sections creuses.
3.2.1.a) Pour les sections pleines
Il convient de vérifier : TEd / TRd,max + VEd / VRd,max 1,0 où : TEd VEd est le moment de torsion agissant de calcul est l'effort tranchant agissant de calcul
[EC2-2 Expr.(6.30)]
[EC2-2 Expr.(6.29)]
TRd,max est le moment de torsion résistant de calcul donné par
TRd, max = 2 cw f cd A k t ef,i sin cos
est donné en [EC2-1-1 6.2.2(6)] et cw par la note 3 de l'expression (6.9) ; ils ont été déjà rappelés en [Chapitre 6 -2.2.2.b)]. VRd,max est la valeur maximale de l'effort tranchant résistant de calcul selon les expressions [EC2-1-1 Expr.(6.9)] et [EC2-1-1 Expr.(6.14)]. On est dans le cas de sections pleines, et la largeur complète de l'âme peut être utilisée pour déterminer VRd,max.
US= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.1.b) Pour les caissons
Il convient de vérifier séparément chaque paroi pour les effets combinés de la torsion et de l'effort tranchant concomitant s'il existe, appliqués à la paroi. Il faut donc que pour chaque paroi la somme des sollicitations tangentes de torsion et de tranchant reste inférieure à l'effort tranchant résistant de calcul de la paroi, soit : VEd,i(T) + VEd,i(V) < VRd,max,i avec : VEd,i ( T ) = T ,i t ef,i z i : sollicitation tangente dans la paroi i due à la torsion [Chapitre 6-3.1.1] VEd,i(V) : part de l'effort tranchant total sollicitant la paroi i VRd,max,i : effort tranchant résistant de la paroi i selon [EC2-1-1 Expr.(6.14)]
3.2.1.c) Formulation du critère de vérification à partir des contraintes de cisaillement
Si on voulait utiliser les contraintes de cisaillement, comme c'était le cas dans les règles antérieures, le critère de vérification prendrait la forme suivante : T ,i + V,i Rd, max,i
où T,i et V,i sont respectivement les contraintes de cisaillement de torsion et de tranchant dans la paroi i et Rd,max,i la contrainte de cisaillement limite admissible. La contrainte de cisaillement de torsion T,i, se déduit aisément de la définition du flux de cisaillement [EC2-1-1 Expr.(6.26)] : T,i = TEd 2Ak t ef,i
La contrainte de cisaillement de tranchant, issue de l'effort tranchant trouvé dans le treillis constitué par chaque paroi est obtenue en divisant cet effort tranchant par la section de la paroi (tef,i × zi) et donc une contrainte de cisaillement moyenne.
Il s'agit ici de la différence majeure par rapport aux pratiques antérieures qui proposaient des vérifications ELU locales basées sur les contraintes tangentes déterminées point par point le long de la paroi avec les formules classiques de l'élasticité linéaire. En certains points (centre de gravité des âmes notamment) la contrainte de cisaillement locale est nettement supérieure à la contrainte moyenne.
Le cisaillement résistant Rd,max,i peut être conventionnellement obtenu à partir de l'expression donnant le tranchant résistant apporté par les bielles de béton [EC2-1-1 Expr.(6.14)]. On obtient ainsi :
Rd,max,i = VRd,max tef ,iz i =cw 1fcd (cot + cos) z / zi (1+ cot2) = cw1fcd 1 - cos2 z sin 2 1+ cot sin 2 zi 2
et dans le cas d'armatures perpendiculaires à la fibre moyenne Rd,max = cw1f cd z sin 2 zi 2
Il faut remarquer que l'expression de VRd,max fait intervenir z (bras de levier du couple élastique de la paroi), et que le cisaillement moyen résistant se calcule avec la longueur de la paroi zi. Dans le cas général, avec des caissons de section transversale complexe, lorsqu'on utilise des logiciels permettant de déterminer les contraintes de cisaillement locales il serait plus simple de les utiliser directement pour la vérification du critère. Ceci devrait mettre du côté de la sécurité. En revanche l'intégration de ces cisaillements sur chaque paroi donnerait les efforts tranchants pour une vérification conforme à l'esprit de l'Eurocode 2 qui serait légèrement plus favorable. On notera enfin
UT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
que pour justifier un hourdis, l'utilisation du cisaillement de tranchant local près du gousset d'angle est largement sécuritaire. En revanche il convient au minimum d'appliquer le critère de l'Eurocode 2 avec les efforts tranchants moyens calculés sur la demi-largeur de hourdis car l'effort tranchant moyen sur toute la largeur est nul.
3.2.2 - Armatures transversales
Selon [EC2-1-1 9.2.3(1)], les armatures de reprise des cisaillement de torsion doivent être perpendiculaires à l'axe de l'élément structural, il est donc conseillé de garder cette disposition dans le cas du cumul de cisaillement de torsion et de tranchant. Les efforts de cisaillement de tranchant et de torsion sont cumulés et on applique les principes de calculs définis pour l'effort tranchant [EC2-2 6.3.2(102)]. L'effort sollicitant cumulé doit être équilibré par l'effort résistant VRd,s apporté par les armatures. La section d'armatures dans la paroi i est ainsi donnée par : Asw,i/s = (VEd,i(V)+ VEd,i(T))/(z fywd cot) [EC2-1-1 Expr.6.13]
L'attention du projeteur est attiré sur le fait que c'est z, bras de levier du couple élastique de la paroi étudiée, qui est utilisé ici.
Dans le cas d'utilisation des contraintes de cisaillement, de la même façon, on divisera les efforts tranchants dans chaque paroi par tef,i × zi pour faire apparaître les cisaillements moyens dans l'expression précédente, soit : Asw,i/s = (V,i + T,i) × tef,i × zi/(z fywd cot)
3.2.3 - Armatures longitudinales
Elles s'obtiennent à partir de l'expression :
A sl f yd
uk où uk fyd
=
TEd cot 2A k est le périmètre de la surface Ak
[EC2-1-1 Expr.(6.28)]
est la limite d'élasticité de calcul des armatures longitudinales Asl est l'angle des bielles de compression
Dans les membrures comprimées, les armatures longitudinales peuvent être réduites en proportion de l'effort de compression présent dans la membrure. Dans les membrures tendues, il convient d'ajouter les armatures longitudinales de torsion aux autres armatures, calculées pour un même cas de charge. Il convient généralement de répartir les armatures longitudinales sur la longueur de paroi zi , mais pour des sections de petite dimension, elles peuvent être concentrées au voisinage des angles.
Les armatures de précontrainte adhérentes peuvent être prises en compte mais l'accroissement total de leur contrainte est plafonné à 500 MPa. Il faut aussi rappeler que cet accroissement s'entend à partir de l'état permanent. Dans ce cas,
A sl f yd
dans l'expression (6.28) est remplacée par
A sl f yd + A p p où
p représente la part d'accroissement de contrainte restant disponible jusqu'au plafond et pouvant reprendre l'effort de torsion.
UU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Nota : Il convient d'ailleurs, pour être cohérent avec la limitation à fyd pour les armatures passives, de limiter l'accroissement de contrainte dans les armatures de précontraintes à fpd . Ceci n'est pas demandé par l'Eurocode 2.
Pour l'application de l'expression [EC2-1-1 Expr.(6.28)], on remarque que chacun de ses membres est équivalent à une force au mètre linéaire de paroi. On peut donc écrire :
Ftd,T =TEd cot /(2×Ak)
Dans un hourdis d'épaisseur e dont la contrainte moyenne de compression est h, on peut écrire : Fh = e h L'effort résiduel à reprendre par les armatures de torsion et par mètre linéaire de hourdis est ainsi :
F =Ftd,T Fh = TEd cot /(2×Ak) - e h
Si F > 0 , il reste une traction résiduelle à reprendre par des armatures. Dans le cas contraire, il n'y a pas lieu de prévoir des armatures longitudinales complémentaires de torsion. Cette vérification concerne en premier lieu les hourdis peu comprimés, mais elle peut également s'étendre au bas des âmes.
Le cumul des armatures longitudinales de torsion et des autres armatures doit normalement être envisagé pour des cas de charges concomitants.
3.2.4 - Cas particulier des sections rectangulaires peu sollicitées
Ce sont les sections pour lesquelles la condition donnée ci-après est vérifiée [EC2-1-1 6.3.2(5)]. Elles ne nécessitent pas alors d'armatures d'effort tranchant et ne requièrent qu'un ferraillage minimal longitudinal : TEd / TR d,c + VEd / VRd,c 1,0 où TRd,c est le moment de fissuration en torsion (plus exactement moment de torsion avant fissuration de l'élément), qui se déduit de l'expression [EC2-1-1 Expr.(6.26)] en posant T,i = fctd soit TRd,c = 2fctd t ef,i A k VRd,c est l'effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures de tranchant donnée par [EC2-1-1 Expr.(6.2)]. [EC2-1-1 Expr.(6.31)]
UV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
4 - Justification vis-à-vis du poinçonnement
4.1 - Principe
La justification au poinçonnement est à faire à l'ELU de résistance. Il s'agit de vérifier que le cisaillement produit par une charge concentrée sur une dalle, reste admissible. Le cas échéant, il faut déterminer la quantité d'acier d'effort tranchant à mettre en place pour assurer la résistance de la dalle. Pour les tabliers de ponts routiers, cette justification est réalisée sous l'effet de la roue LM2, qui représente une charge lourde et localisée. On tiendra compte également du coefficient de majoration dynamique supplémentaire à proximité des joints de chaussée. La roue LM1, qui a une surface d'impact plus réduite mais une charge moins importante, est à priori moins défavorable. Les mêmes principes de calcul peuvent être utilisés pour justifier la résistance au poinçonnement d'une dalle ou d'une semelle de fondation vis-à-vis de la descente de charges venant de la pile.
4.1.1 - Contour de contrôle de référence
La diffusion des efforts dans le béton a pour effet de répartir les effets des charges. Pour tenir compte de cet effet favorable, on définit des contours de contrôle de référence [EC2-1-1 6.4]. Il est alors considéré que le cisaillement se répartit de manière uniforme le long du périmètre u1 :
Fig./Tab.4.(1) : Contours de contrôle de référence types autour d'aires chargées
d est calculé à partir de dy (centre de gravité des aciers longitudinaux) et dz (centre de gravité des aciers transversaux) :
2 Il est important de noter que la diffusion de la charge se produit sur toute la hauteur de béton mais aussi sur l'épaisseur d'enrobé.
d=
dy + dz
4.1.2 - Calcul du cisaillement sur le contour de référence
Le cisaillement se développe sur une surface de béton u1 × h, l'expression du cisaillement est alors la suivante : v Ed = × VEd ,red u1 × d où :
VEd,red est l'effort de poinçonnement est l'excentrement de la charge, on prendra = 1 dans le cas d'une charge centrée.
VM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.1.3 - Calcul du cisaillement résistant vRd,c du béton seul
En l'absence d'armatures de poinçonnement, le cisaillement résistant est donné par [EC2-1-1 6.4.4(1)] : v Rd ,c = Max C Rd ,c k (100 l f ck ) où :
· · · ·
{(
1
3
+ k 1 cp ; v min + k 1 cp
)(
)}
fck est donné en MPa k =1+ 200 2,0 , avec d en mm d
1 = ly lz (plafonné à 2%)
bw est la plus petite largeur de la section droite tendue. Pour une dalle de grande longueur, bw = 1000mm, de façon à calculer un effort VRd,c par ml
· ·
cp =
cy + cz
2
en MPa, avec une valeur minimale de 1,85MPa
[EC4-2 6.2.2.5].
Les valeurs de CRd,c et k1 sont fournies par l'annexe nationale. On appliquera les valeurs suivantes : - si cp 0 : voir l'Eurocode 2 partie 2 C Rd ,c = 0,18 = 0,12 C
k 1 = 0,10 - si cp < 0 : voir l'Eurocode 4 partie 2 C Rd ,c = 0,15 = 0,10 C
k 1 = 0,12
·
vmin = 0,035×k3/2×fck1/2
Le calibrage de la formule de résistance au poinçonnement a été faite avec vmin donnant la résistance à l'effort tranchant des poutres en l'absence d'aciers d'efforts tranchant. Il n'y a pas lieu d'effectuer la correction apportée à vmin par l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale.
Si la vérification n'est pas satisfaite il faut prévoir des aciers d'effort tranchant. On recherche alors le contour pour lequel cette relation est satisfaite, on dispose des aciers calculés avec l'expression (6.52) jusqu'à une distance de 1,5d de ce contour et on contrôle le poinçonnement au nu du poteau selon l'expression (6.53).
VN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
4.2 - Application numérique
L'application numérique est faite sur une dalle de pont-route de 22 cm d'épaisseur, avec une épaisseur de chaussée de 11 cm. On traite le cas le plus défavorable avec une roue LM2 et une majoration dynamique maximale (à proximité du joint de chaussée).
·
La charge de roue LM2 a pour intensité :
400 = 260 kN 2 2 Sa zone d'impact est un rectangle de 0,35 × 0,6. La surface d'impact en face supérieure de la dalle béton est un rectangle de 0,57 × 0,82 (diffusion à 45° à travers les 11cm de chaussée). fat = 1,30 × Q Q ak
· · · ·
La position moyenne des deux nappes d'aciers transversaux inférieurs est prise égale à d = 0,16m Le périmètre de contrôle de référence est défini à l'aide de la figure 6.13 de l'Eurocode 2 partie 1.1, à partir de la zone d'impact. On obtient u 1 = 2 × (0,57 + 0,82 ) + 4 d = 4,92 m Le long du contour, le cisaillement vaut donc : 0,260 = 0,31MPa v Ed = 1 × 4,92 × d Résistance au poinçonnement de la dalle : -
·
l = ly lz > 0,13% × 0,13% = 0,13% (hypothèse la plus défavorable)
k =Min1+ 200 ;2 =2,0 170
cp = 0 MPa (on néglige l'effet favorable de la compression longitudinale éventuelle)
donc C Rd ,c = 0,12 et k 1 = 0,10
C Rd ,c k (100 l f ck ) v min = 0,035 × 2,0
3 1/ 3
= 0,38MPa
pour un béton C30/37
2
× 30 = 0,54 MPa > 0,38 MPa
v Rd ,c = v min + k 1 cp = 0,54 MPa
·
Justification :
On a : 0,31MPa=vEd vRd,c =0,54MPa Le poinçonnement est donc bien vérifié : il n'y a pas besoin d'aciers verticaux.
5 - Justification à la fatigue
Il convient d'effectuer une justification à la fatigue pour les structures et les éléments de structure soumis à des cycles de chargements répétés. Elle doit être effectuée séparément pour le béton et pour l'acier. La justification à la fatigue du béton comprimé n'est pas traitée dans le présent chapitre. L'annexe nationale permet de dispenser de cette vérification les sections dont la contrainte dans le béton reste limitée à 0,6 × fck , sous combinaison de charges caractéristique sous la forme d'une règle h) ajoutée à la liste donnée ci-dessous. En conséquence, la justification à la fatigue n'est généralement pas nécessaire pour les structures et les éléments suivants [EC2-2 6.8.1(102) a) à g)], [EC2-2/AN 6.8.1(102) h) à k)] :
VO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
a) passerelles, à l'exception des éléments de structures très sensibles à l'action du vent ; b) structures enterrées en voûte ou en cadre avec une couverture minimale de terre de 1,00m et 1,50m respectivement pour les ponts routiers et ferroviaires ; c) fondations ; d) piles et poteaux non rigidement reliés au tablier ; e) murs de soutènement des remblais de chaussées et de voies ferrées ; f) culées des ponts routiers et ferroviaires non rigidement reliés au tablier, à l'exception des dalles des culées creuses ; g) armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente avec Pk, les fibres extrêmes du béton restent comprimées ; h) béton comprimé des ponts routiers lorsque, c < 0,6×fck sous combinaison caractéristique ; i) j) armatures tendues dans les sections de béton armé des ponts routiers, lorsque s < 300MPa sous combinaison caractéristique ; armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente d'actions avec Pm, les fibres extrêmes du béton restent comprimées ;
k) armatures d'effort tranchant pour les structures en béton armé, lorsque ces armatures ont été dimensionnées à l'ELU de résistance avec un schéma de bielles d'inclinaison telle que 1,0 cotan 1,5. Les armatures d'effort tranchant soumises à des variations de contrainte doivent également faire l'objet de vérification à la fatigue. Mais, pour le béton précontraint où on a respecté le critère de l'annexe QQ, il n'y a pas de problème de fatigue car la section n'est pas fissurée aux ELS et pour le béton armé l'application de la limite d'inclinaison de la bielle citée ci-dessus permet la dispense de la vérification. En conséquence, dans les exemples suivants, ne sont traitées que des vérifications d'armatures de flexion longitudinale à la fatigue.
5.1 - Principe et éléments de la justification
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.8] et [EC2-2 6.8]. La justification à la fatigue d'une section en béton armé ou précontraint, consiste essentiellement à préserver de la rupture, les armatures tendues soumises à des variations répétées de contrainte, sous l'effet de charges cycliques pendant la durée d'utilisation de l'ouvrage. Dans le cas des ouvrages routiers en service, les variations de contrainte pouvant engendrer de la fatigue dans les armatures sont principalement dues aux passages des poids lourds (le niveau élevé des charges et donc des variations de contrainte créées, un nombre de cycles élevé jouent un rôle important dans la résistance à la fatigue). Le principe de la justification fait appel aux notions d'étendue de contrainte, de cycles d'application, de courbes de résistance à la fatigue, d'endommagement, de modèles de charge de fatigue, etc., et se synthétise sous la forme de la vérification de la règle de cumul de Palmgren-Miner.
5.1.1 - Modèles de charge de fatigue
L'Eurocode 1 propose cinq modèles de charge de fatigue, FLM1 à FLM5 [EC1-2 4.6]. Le modèle FLM1 est bâti à partir du modèle LM1 dont les intensités de charge ont été réduites. Le modèle FLM2 est constitué de 5 camions "fréquents" qu'il faut utiliser séparément. Le modèle FLM3 est constitué d'un camion unique. Ces trois modèles permettent une justification simple à la fatigue basée sur la détermination d'une seule étendue maximale de contrainte. Les deux premières sont cependant, d'une part très sécuritaires et d'autre part, ne peuvent convenir que dans la mesure où il existe une limite de fatigue à amplitude constante
VP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
définie sur les courbes S-N (c'est généralement le cas pour les assemblages des constructions en acier, pas pour les armatures de béton armé. ou de précontrainte). Les modèles FLM4 et FLM5 sont plus élaborés et prévus pour obtenir un spectre d'étendues de contrainte destiné à permettre un calcul d'endommagement. Le premier est constitué de 5 camions qui permettent d'engendrer des trafics artificiels par ajustement de leur proportion et représenter un trafic global. Le deuxième est directement un trafic réel enregistré. On ne retiendra que les deux modèles FLM3 et FLM4 pour une justification "usuelle" à la fatigue des ponts en béton.
5.1.2 - Combinaison d'actions - Etat de référence
Comme rappelé dans le [Chapitre 2 -4.2.3] du présent guide, la combinaison d'action pour l'étude à la fatigue se décompose en :
· ·
une combinaison de base C0 des charges non-cycliques représentant l'état moyen de l'ouvrage en service, à vide (charges permanentes, effet de la température...) ; à combiner avec la charge cyclique de fatigue Qfat représentée par le modèle de charge de fatigue adéquat. C0 = G + Pk + 0,6. où représente l'effet du gradient thermique.
L'état à vide de l'ouvrage est ainsi représenté et exprimé par la combinaison : C'est par rapport à cet état de référence que le passage de la charge de fatigue Qfat sur l'ouvrage donne lieu à des variations de contrainte répétées et de courte durée.
L'état à vide de l'ouvrage ne reste pas constant et se modifie pendant toute sa durée d'exploitation à cause de l'évolution de la précontrainte, du retrait, du fluage et des fluctuations du gradient thermique. Cependant ces variations lentes de l'état de référence ne doivent pas être cumulées aux variations rapides dues aux passages des camions.
Ceci peut être schématisé dans la figure ci-dessous :
Fig./Tab.5.(1) : Evolution de la contrainte des aciers dans une section du tablier
0 est la contrainte sous charges permanentes et précontrainte, évoluant lentement sous des effets à long terme tels que retrait, fluage, pertes différées de précontrainte ou à moyen terme (gradient thermique). PL sont les variations de contrainte rapides sous l'effet des passages des camions les plus lourds autour de l'état à 0.
VQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 précise ensuite que : "L'action cyclique Qfat doit être combinée avec la combinaison de base défavorable." [EC2-1-1 6.8.3(3)] On recherchera la combinaison qui combinée avec la charge de fatigue produit une variation de contrainte maximale. On retiendra donc la combinaison donnant un maximum de traction dans les aciers passifs, ou une contrainte minimale du béton au niveau de la zone d'enrobage, lorsque celle-ci reste comprimée à l'état de référence à vide. Pour les charges permanentes G, c'est la valeur maximale Gmax qui est retenue. Pour la précontrainte [EC2-1-1 5.10.9] on retiendra la valeur caractéristique inférieure Pk,inf = rinf.Pm,t, Pm,t étant la force de précontrainte probable à l'instant t. Par ailleurs, le fluage et le retrait du béton ont pour effet de réduire la précontrainte et la compression du béton des zones d'enrobage des aciers passifs étudiés. En conséquence la situation de l'ouvrage à long terme est en général plus défavorable. C'est donc par convention la situation à l'infini qui servira comme situation de référence.
Il est assez logique de prendre en compte cet état. En effet les variations de contrainte sont appliquées pendant toute la durée de vie de l'ouvrage. En revanche le fluage et le retrait du béton ne feront évoluer les efforts dans l'ouvrage que grosso-modo pendant les 20 premières années. Pour un ouvrage ayant une durée d'utilisation de projet de 100 ans, l'état "à long terme", qui concerne 80 % de cette durée d'utilisation, sera donc le plus représentatif.
L'état de référence à vide de l'ouvrage est ainsi représenté et exprimé par la combinaison : C0 = Gmax + Pk,inf + 0,6. où représente l'effet du gradient thermique.
5.1.3 - Calculs des contraintes
Une fois l'état de référence choisi les variations de contrainte dans les armatures ne sont plus dues qu'au déplacement de la charge de fatigue qui crée les variations de sollicitations à l'origine des contraintes. Pour une section donnée on peut utiliser le moment fléchissant pour illustrer ceci dans la figure suivante :
Fig./Tab.5.(2) : Variation du moment due au passage de Qfat
Mfat = M0 + MQfat est le moment fléchissant total; il fluctue en fonction de la position de la charge de fatigue, tout comme MQfat le moment fléchissant dû à la charge de fatigue seule, alors que le moment fléchissant de l'état de référence, M0 reste constant. Les étendues de contrainte sont ensuite calculées à partir des sollicitations sous combinaison de fatigue, obtenues suite à une analyse élastique-linéaire.
Bien que la justification à la fatigue soit une justification aux ELU car la rupture des armatures par fatigue est un état limite ultime, l'Eurocode 2 rappelle à juste titre que la combinaison d'actions pour la justification à la fatigue est de type ELS et fait intervenir des charges du niveau de charges fréquentes.
VR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
5.2 - Méthodes de vérification
L'Eurocode 2 propose plusieurs méthodes de vérification de la résistance des armatures à la fatigue :
· ·
une méthode générale avec détermination du spectre d'étendues de contrainte en utilisant les modèles de charge de fatigue FLM4 ou FLM5 et un calcul d'endommagement ; une méthode de l'étendue de contrainte équivalente [EC2-1-1 6.8.5] et [EC2-2 Anx.NN] , appelée par la suite méthode équivalente, avec détermination de l'étendue de contrainte qui donnerait un endommagement équivalent en utilisant le modèle de charge de fatigue FLM3 pour les ponts routes ; une méthode alternative [EC2-1-1 6.8.6] pour une vérification simplifiée des armatures passives avec utilisation d'une charge cyclique fréquente qui, plus précisément, peut se faire avec la combinaison de charge fréquente, en faisant intervenir le modèle principal de charge LM1 pour les ponts routiers.
·
Ces trois méthodes sont appliquées aux deux exemples suivants :
· ·
en flexion longitudinale : vérification des armatures passives et de précontrainte d'un PSIDP, en flexion transversale : vérification des armatures passives de l'encorbellement d'un pont-caisson.
Les différentes étapes des vérifications nécessitent un long développement. Pour plus de clarté elles sont détaillées en annexe [Annexe IV].
6 - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
La justification vis-à-vis de la rupture fragile est très peu développée dans la partie 1-1 de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.10.1(5)P], [EC2-1-1 5.10.1(6)]. Elle se retrouve par contre en deux endroits de l'Eurocode 2 partie 2, aux sections 5 et 6 : la clause [EC2-2 5.10.1(106)] définit l'objectif général ; les clauses [EC2-2 6.1(109)] et [EC2-2 6.1(110)] décrivent plus précisément les méthodes de vérification à appliquer. Dans le présent chapitre, après une présentation du principe et des exigences de base relatifs à la justification vis-à-vis de la rupture fragile, les deux méthodes de vérification proposées par l'Eurocode 2 partie 2 sont tour à tour décrites et détaillées. Une application numérique vient illustrer ces deux méthodes à partir du cas d'une poutre de pont VIPP. L'annexe V développe le détail du calcul pour les exemples du PSIDP et du pont caisson construit par encorbellements successifs.
6.1 - Principe et exigences de base
Le critère de rupture fragile imposé par l'Eurocode 2 partie 2 pour les ponts en béton précontraint a pour objectif d'éviter la rupture fragile des éléments structuraux dès l'apparition de la première fissuration. Le risque visé concerne les conséquences de la rupture d'un certain nombre d'armatures de précontrainte, principalement par corrosion, si cette rupture se produit au voisinage d'une même section d'un élément et reste non observable jusqu'à apparition de la première fissuration de flexion. Lorsque la fissuration finit par se produire, il est nécessaire que des armatures passives puissent prendre le relais de la résistance du béton à la traction, avec une marge suffisante pour qu'une intervention soit possible en temps utile. Ce principe peut être considéré comme satisfait si les exigences définies ci-après sont respectées pour les éléments structuraux linéaires des ouvrages (poutres, caissons, chevêtres,...) précontraints par précontrainte intérieure au béton, mise en oeuvre par post-tension [EC2-2/AN 6.1(109)]. Ces règles sont également applicables aux poutres-dalles lorsque le marché le spécifie. Leur extension à ce type de structure n'est toutefois recommandée que pour les poutres-dalles étroites (par exemple larges de moins de 4 m, encorbellements latéraux non compris). La justification du critère de rupture fragile peut être apportée par l'une quelconque des deux méthodes alternatives suivantes (l'annexe nationale écarte la possibilité d'utiliser la méthode (c) prévue par l'Eurocode 2) :
VS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
· ·
méthode (a) : vérifier qu'en cas de ruptures successives de câbles ou de torons, la fissuration se produirait avant que la résistance ultime ne soit dépassée, sous l'effet des charges fréquentes ; méthode (b) : prévoir un ferraillage minimal adéquat capable de reprendre à lui seul le moment de fissuration en l'absence supposée de toute précontrainte ;
Ces deux méthodes ont pour même objectif de permettre la détection d'éventuelle détérioration de la précontrainte par l'apparition de fissures décelables lors des surveillances normales de l'ouvrage, afin d'alerter le maître d'ouvrage pour une intervention en interrompant le trafic et en remplaçant les câbles corrodés avant l'effondrement de la structure.
Le critère de rupture fragile concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte. L'Eurocode 2 ne le dit explicitement que pour la méthode (b), mais c'est a fortiori vrai avec la méthode (a) : si tous les câbles sont considérés comme inexistants et que la section reste comprimée sous combinaison caractéristique, elle est comprimée sous combinaison fréquente et donc sa résistance ultime n'est pas dépassée. Le critère de rupture fragile ne s'applique qu'à la précontrainte intérieure longitudinale. Les câbles constituant la précontrainte extérieure, protégés par des produits souples (graisses ou cires), peuvent faire l'objet d'une surveillance régulière et leur endommagement est en principe plus facilement détectable. Ils ne sont donc pas visés par ce critère. La corrosion de la précontrainte transversale, généralement injectée à la cire et non-adhérente, ne peut conduire qu'à des désordres locaux et n'est par conséquent pas non plus visée par ce critère. En outre, l'annexe nationale dispense les éléments précontraints par pré-tension de la justification à la rupture fragile, considérant que les câbles de précontrainte pré-tendus, sont protégés de la corrosion par le béton d'enrobage, au même titre que les aciers passifs, et que le risque de corrosion généralisée d'un câble est plus faible qu'en post-tension. Si les clauses [EC2-1-1 5.10.1(5)P] et [EC2-2 5.10.1(106)] sont générales, la clause [EC2-2 6.1(109)] restreint en revanche leur application à la flexion. C'est le parti qui est retenu dans les exemples présentés dans la suite. Cependant, dans l'exemple du VIPP étudié, il serait pertinent de considérer à proximité de l'appui la rupture fragile par effort tranchant. Une indication sur la façon de procéder est donnée à la fin de l'application numérique.
6.2 - Vérification selon la méthode (a)
Lorsque, sous l'effet de la corrosion, l'état des armatures de précontrainte se détériore, la résistance de la section décroît (rupture de fils, torons ou câbles). Le principe de vérification selon la méthode (a) consiste à garantir que le niveau de résistance ultime qui correspond à une fissuration détectable sous charges fréquentes, reste supérieur au niveau des sollicitations imposées par ces mêmes charges fréquentes. Autrement dit, à garantir que sous l'effet des charges fréquentes, il existe une marge de sécurité suffisante entre la fissuration et la ruine de l'élément [Fig./Tab.6.(1)] ci-après.
La résistance ultime de la section s'évalue avec les coefficients partiels des matériaux associés à une situation de projet accidentelle.
VT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Fig./Tab.6.(1) : Principe de vérification selon la méthode (a)
La mise en application pratique de la méthode s'effectue sur la base des contraintes c,f sur les fibres extrêmes tendues, obtenues sous l'effet des sollicitations de la combinaison fréquente et se décline 2 étapes :
·
1ère étape : déterminer, sous l'effet des sollicitations de la combinaison fréquente, le pourcentage d'armatures de précontrainte à considérer rompues pour provoquer la première fissuration de l'élément. Cette quantité est exprimée, pour chaque lit (i) de câbles, en pourcentage i de la force de précontrainte totale Pm,t :
i tel que :
e ×y 1 c,f - i Pm,t + 0i = - f ctm I i S
Dans ce calcul, il convient de considérer en premier une suppression de torons sur le lit le plus proche de la fibre extrême tendue (c'est à dire les plus exposés à la corrosion). Si la suppression de tous les câbles de ce lit ne suffit pas à provoquer la fissuration, le lit suivant sera considéré, et ainsi de suite... En toute rigueur, quatre combinaisons sont à envisager, qui font intervenir successivement Pm,0 ;
Pm , ; M ELS freq,max ; M ELS freq,min . Dans la pratique, il suffira d'étudier uniquement les combinaisons
( Pm , , M ELS freq,max ) et ( Pm , , M ELS freq,min ), plus représentatives du phénomène qui ne peut se produire qu'au bout d'un certain temps. Il est à noter que seul l'effet isostatique de la précontrainte est supprimé, les effets hyperstatiques étant emprisonnés dans la structure pour des câbles intérieurs adhérents.
·
2ème étape : vérifier qu'avec cette précontrainte réduite et une réduction proportionnelle de la section d'acier de précontrainte, la résistance ultime à la flexion reste supérieure au moment donné par les combinaisons fréquentes d'actions. Si la conclusion s'avère négative, ajouter des armatures passives de manière à ce que la condition soit satisfaite. Les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage vis-à-vis de la vérification du critère selon cette méthode (a) sont généralement celles situées là où le moment fléchissant correspondant à la combinaison de charges fréquentes est faible, entre le ¼ et le 1/3 des travées hyperstatiques, et à proximité des appuis dans le cas les travées isostatiques. C'est pourquoi il est recommandé d'affiner au mieux l'analyse au droit de ces sections, par interpolation entre sections d'étude. Pour le calcul, il est conseillé de modéliser la diminution de la précontrainte (rupture des torons) comme un chargement extérieur se cumulant au torseur de la combinaison fréquente :
Ntot = NELS freq × Pm,t Mtot = MELS freq × Pm,t × e0 i
où NELS freq et MELS freq représentent le torseur d'efforts s'appliquant sur la section pour la combinaison fréquente étudiée (y compris les effets de la précontrainte complète) . On vérifie alors que le couple Ntot, Mtot se trouve à l'intérieur du diagramme de résistance, obtenu en appliquant aux matériaux les coefficients partiels correspondant à la situation de projet accidentelle.
VU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 partie 2 précise que les effets de la redistribution éventuelle des sollicitations, liée à la fissuration, peuvent être pris en compte. Toutefois cette prise en compte résulte d'une analyse non linéaire qui n'est habituellement pas pratiquée dans le cadre des calculs usuels à l'ELU de résistance, et peut être négligée.
6.3 - Vérification selon la méthode (b)
La méthode (b) de vérification du critère de rupture fragile consiste à disposer un ferraillage minimum As,min défini par l'expression (6.101a) de l'Eurocode 2 partie 2 rappelée ci-dessous : A s, min = Dans cette expression : - M rep représente le moment de fissuration, donné par l'équation : M rep = M rep z s × f yk [EC2-2 Expr.(6.101a)]
- f ctm × I ; y
- zs est le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance ( 0,9 d dans le cas d'une section rectangulaire).
Il est à constater que, concernant les sections d'armatures calculées, la méthode (b) constitue une enveloppe de la méthode (a) lorsque l'on suppose tous les câbles de précontrainte rompus. Il s'agit en réalité du ferraillage de non-fragilité calculé avec N = 0 .
As,min doit être disposé dans toutes les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte. En outre, il convient de comptabiliser dans As,min , tous les aciers passifs longitudinaux disposés pour d'autres raisons (ferraillage de flexion longitudinale, minimum, fatigue, etc.).
L'Eurocode 2 partie 2 prévoit également, et sous certaines conditions, de comptabiliser dans As,min les armatures de précontrainte pré-tendues [EC2-2 6.1(110)ii)]. Il y a lieu de s'y référer le cas échéant.
Dans le cas des poutres hyperstatiques, As,min de la fibre inférieure devra être prolongé sur les appuis intermédiaires, sauf s'il peut être démontré que la plastification des aciers tendus en fibre supérieure de la section sur appui intervient avant la rupture par écrasement du béton comprimé en fibre inférieure. Cette condition est considérée acquise si la relation suivante est vérifiée : A s × f yk + A p × f p 0,1k < t inf × b 0 × cc × f ck Dans cette expression : - As et Ap représentent respectivement les sections d'armatures passives et de précontrainte en fibre tendue_; - tinf et b0 sont respectivement la hauteur et la largeur de la membrure inférieure de la section (tinf = b0 dans le cas des poutres en T, et tinf = 0,2h dans le cas des sections rectangulaires).
En général, dans le cas des ponts, ce critère est vérifié sans trop de problème car les zones de forte compression du béton (sur appui) correspondent également à des zones où la densité de ferraillage est très importante. Dans les joints des voussoirs préfabriqués, où pour des raisons évidentes liées à la méthode de construction, il est impossible de disposer un quelconque ferraillage passif, les formules de l'Eurocode 2 partie 2 conduisent logiquement à une quantité d'armatures de non fragilité nulle.
[EC2-2 Expr.(6.102)], [EC2-2/AN 6.1(110)iii)]
VV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Application numérique : cas d'un VIPP Considérons la poutre d'un VIPP représentée ci-dessous. On se contente dans cet exemple de considérer les sections situées à proximité des appuis : au ¼ de travée et à 1m de l'appui.
Coupe longitudinale
Section au ¼ et à ½ travée Caractéristiques de la section : S = 1,66 m2 I = 0,886 m4 v' = 1,55 m Matériaux : Béton : C35/45 ; fctm = 3,2 MPa Aciers passifs en fibre inférieure : fyk = 400 MPa ; As = 13,84 cm2 ; c' = 5 cm Précontrainte : 6 × 4T15S (Ap = 6 × 600 mm2) fp0,1k = 1660 MPa c0_lit inférieur = 10 cm c0_lit supérieur = 20 cm Dans la section située à un mètre de l'appui, on suppose que le centre de gravité de l'ensemble des câbles est situé au centre de l'âme, à une distance de 1,10m de la fibre inférieure.
NMM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Sollicitations obtenues sous combinaison fréquente : à 1 m de l'appui Pm, MELS Freq 5,02 MN -1,02 MNm 4,81 MPa
au ¼ de travée 5,02 MN 0,48 MNm 2,18 MPa
c,f en fibre inf
· Calcul du nombre de torons à supprimer pour obtenir la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a) : i sur le lit inférieur tel que :
e ×y 1 c,f - i Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
(-1,55 + c 0 ) × (-1,55) 1 5,02 × 1,66 + 0,886 Le nombre de torons à supprimer pour atteindre la fissuration en fibre inférieure est alors obtenu en multipliant i par le nombre total de torons, soit : i = c,f + f ctm 1 e ×y Pm , + 0i I S = c,f + 3,2
ni = i × (6 × 4) à 1 m de l'appui au ¼ de travée 2,18 MPa 0,10 m 34,2% 8,2
c,f en fibre inf
c0
4,81 MPa 1,10 m 114,9% 24
i
ni
Le lit de câbles inférieur contenant uniquement 20 torons, cela revient à supprimer l'équivalent de : 8,2 torons sur le lit inférieur au ¼ de travée ; 24 torons (soit la totalité des câbles) à 1m de l'appui.
· Vérification de la résistance ultime de la section sous l'effet cumulé de la combinaison d'actions fréquentes et de la diminution calculée de la précontrainte (méthode a) : Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations sous combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supposée rompue déterminée à l'étape précédente : Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de l'ELS fréquent, l'effet isostatique de la précontrainte supposée rompue déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i avec : e0_lit inf_1/4 travée = - (1,55 0,10) = - 1,45 m e0_cdg_1m appui = - (1,55 1,10) = - 0,45 m Ntot 0 MN 3,30 MN
Mtot 1,24 MNm 2,97 MNm
NMN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Ce calcul conduit aux résultats suivants : à 1 m de l'appui au ¼ de travée Mmaxi admissible Coeff. de sécurité Ferraillage suppl. nécessaire 1,20 MN 0,97 0,58 cm
2
11,07 MN 3,72 non
Les seules sections nécessitant un léger complément d'armatures passives sont donc celles se trouvant à proximité immédiate de l'appui. Les autres sections sont vérifiées vis-à-vis du critère de rupture fragile (méthode a) avec une sécurité très confortable (coefficient de sécurité de 3 à 4).
Calcul du ferraillage minimal selon la méthode (b) : Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] :
·
A s, min =
où :
M rep =
M rep z s f yk
- f ctm × I - 3,2 × 0,886 = 1,83 MN.m ; = - v' - 1,55
fyk = 400 MPa. Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 2,15 m (à comparer à 0,9 d = 0,9 × (2,22-0,05) = 1,95 m) 1,83 D'où : A s, min = = 21,28 cm2, 2,15 × 400 soit une section complémentaire d'armatures de : 21,28 13,84 = 7,44 cm2, à disposer sur toute la longueur de la poutre. La méthode (b) est donc bien plus contraignante que la méthode (a). On peut vérifier sur cet exemple qu'il n'y a pas de risque de rupture fragile à l'effort tranchant, en extrapolant la méthode (a) au cas de l'effort tranchant. L'application numérique ci-dessous montre comment procéder. On considère la section située à 1m de l'appui. L'effort tranchant ELU dans cette section vaut : V = 1,35Vg + Vp + 1,35Vq = 1,35×0,68 0,63 + 1,35×0,87 = 1,46 MN Supprimons maintenant la totalité de la précontrainte. L'effort tranchant sous charge fréquente vaut alors : V = Vg + Vq,fréq = 0,68 + 0,52 = 1,20 MN. (cette valeur est supérieure à l'effort tranchant sous combinaison caractéristique V = Vg + Vp + Vq = 0,92 MN) La valeur reste inférieure à l'effort tranchant ultime. Les aciers d'effort tranchant sont donc suffisants, il n'y pas de risque de rupture fragile.
Si la valeur avait été dépassée, on aurait pu affiner la vérification en déterminant de façon plus précise quelle quantité de précontrainte il fallait supprimer pour provoquer la fissuration de l'âme (au sens du critère donné dans l'annexe QQ de l'EN1992-2). Il est en effet possible que la fissuration à l'effort tranchant soit déjà visible lorsqu'on supprime la totalité de la précontrainte. On aurait ensuite pu comparer cette valeur à la résistance ultime de la poutre, en situation accidentelle, afin de vérifier si le ferraillage passif d'effort tranchant était suffisant.
NMO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7 - Analyse non-linéaire et au second ordre - stabilité de forme d'une pile
7.1 - Généralités sur l'analyse non-linéaire et au second ordre
Les prescriptions générales concernant l'analyse non-linéaire [Chapitre 2 -6.4.4], la prise en compte du second ordre [Chapitre 2 -6.4.5] et des imperfections géométriques [Chapitre 2 -6.1] sont entièrement applicables. De la même façon la prise en compte du fluage suit les principes rappelés en [Chapitre 4 -2]. Néanmoins l'Eurocode 2 ajoute pour le sujet ici abordé, que l'effet du fluage peut être négligé [EC2-1-1 5.8.4(4)] si les trois conditions particulières suivantes sont satisfaites :
(, t ) 2 0 75 Elancement = 0 si Moment de la combinaison considérée 1er ordre 68 7 M 0 Ed hauteur e = h 1 N Ed section { effort normal sollicitant
ef
La vérification simultanée de ces trois critères est relativement pénalisante et ne devrait se réaliser que pour des cas simples et indiscutables.
Pour traiter aux ELU l'analyse non-linéaire et au second ordre, la partie 1-1 de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.8.5] propose une méthode générale, suivie de deux méthodes simplifiées pour des cas simples, principalement des éléments isolés ou qui se ramènent à des éléments isolés. Ces méthodes simplifiées sont, strictement parlant, des calculs linéaires avec prise en compte de manière forfaitaire et simple les effets non-linéaires. Pour les ponts, l'Eurocode 2 partie 2 propose une méthode moins classique pour l'analyse non-linéaire, fondée sur le concept d'un format de sécurité global, et dont le niveau de sécurité est déterminé par rapport à la ruine de calcul de la structure. Pour faciliter la lecture du guide, ne seront présentées ci-après que les deux méthodes générales. La méthode générale de la partie 1-1 plutôt classique, sera traitée assez brièvement. L'approche nouvelle de la méthode générale de la partie 2 avec le format de sécurité globale mérite d'être plus détaillée. Quant aux deux méthodes simplifiées elles sont traitées en annexe [Annexe VI], où est donnée en exemple, l'étude complète de la stabilité de deux piles de pont avec utilisation des quatre méthodes offertes par l'Eurocode 2.
7.2 - Méthode générale d'analyse non-linéaire et au second ordre de l'Eurocode 2 partie 1-1
Cette méthode est décrite aux clauses [EC2-1-1 5.8.6].
7.2.1 - Principe
Le principe de la méthode consiste à démontrer, comme avec les règles antérieures, qu'il existe un état de contraintes internes dans la structure qui équilibre les sollicitations externes, y compris celles du second ordre. La vérification des sections s'effectue ensuite avec les sollicitations obtenues à l'équilibre de la structure en les situant par rapport au domaine de résistance, déterminé avec les caractéristiques des matériaux données par les lois contraintes-déformations définies à cet effet et rappelées en [Chapitre 6 -1.1].
NMP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
On peut noter au passage que l'analyse et la vérification de section utilisent deux systèmes de lois contraintes-déformations différents.
Lorsque le projeteur n'a pas à sa disposition de logiciel permettant de coupler non-linéarité géométrique et nonlinéarité matériaux, il est possible de rechercher, pour une section jugée a priori critique, l'état d'équilibre, en exprimant de deux manières la relation liant le moment de flexion dans la section critique avec la courbure de celle-ci :
·
la loi moment-courbure externe où le moment de flexion sollicitant la section est la somme du moment du premier ordre M0Ed et du moment du second ordre. Le moment du second ordre dépendant de l'ensemble des courbures le long de la structure, il est assez difficile de déterminer une telle courbe en fonction seulement de la courbure dans la section critique étudiée ;
Pour simplifier, on peut dans un premier temps supposer que la répartition des courbures le long de la structure est linéaire, ce qui permet de déterminer l'effet du second ordre en fonction de la courbure de la section critique uniquement, et vérifier l'hypothèse à posteriori. Il est à noter que cette méthode est plutôt conservatrice puisque l'on surévalue les courbures réelles le long de la structure. Si le résultat du calcul est trop défavorable, il faut prendre en compte la répartition réelle des courbures le long de la structure et procéder alors par itérations.
· ·
la loi moment-courbure interne où le moment de flexion résistant résulte de l'état de contrainte de la section béton armé, soumise à une courbure imposée, à effort normal donné ; l'intersection ou non des deux courbes représentatives de la loi externe et de la loi interne permet de vérifier qu'il existe ou non un état d'équilibre. Dans l'affirmative, l'intersection des deux courbes donne la valeur du moment total MEd à l'équilibre.
Fig./Tab.7.(1) : Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
7.2.2 - Matériaux
La méthode utilise le diagramme contraintes-déformations du béton dédié à une analyse non-linéaire [EC2-1-1 5.8.6(3)] qui a été présenté en [Chapitre 2-6.3.2]. Ceci n'est pas entièrement satisfaisant car ce diagramme fait appel au module de déformation Ecm du béton ; l'analyse pourrait donc sous-estimer les déformations et ne pas donner une sécurité suffisante surtout quand le second ordre est pris en compte.
NMQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
C'est pourquoi l'Eurocode 2 offre une meilleure alternative en suggérant d'utiliser, à la fin de la même clause [EC2-1-1 5.8.6 (3)], des diagrammes déformations-contraintes basés sur les valeurs de calcul. Ces diagrammes utilisent le module de déformation Ecd pour le béton, obtenu en divisant Ecm par cE= 1,2 et fcd à la place de fcm , soit la loi de comportement définie par les paramètres et la figure qui suivent :
2 k c - c c = f cd c1 c1 c 1 + (k - 2 ) c1 où c k= déformation relative en compression du béton 1,05 E cd c1 f cd
c1( 0 / 00 ) = min 0,7 (fck + 8 )
(
0.31
; 2 ,8
)
déformation relative au pic de contrainte
3,5 pour fck < 50MPa 4 cu1( 0 / 00 ) = 98 - (fck + 8 ) 2,8 + 27 pour fck 50MPa 100 f cd = E cd = E cm cc f ck C E cm cE
déformation relative ultime
valeur de calcul de résistance en compression du béton valeur de calcul du module d'élasticité du béton
0,3
f +8 = 22000 ck 10
module d'élasticité sécant du béton
c
Contrainte
loi de type Sargin
fcd
Arctg(1.05 Ecd)
c1
Déformation relative
cu1
c
Fig./Tab.7.(2) : Loi de comportement du béton avec valeurs de calcul
Pour les armatures de béton armé et de précontrainte, les lois prévues pour la vérification de sections [Chapitre 6-1.1.2], [Chapitre 6-1.1.3] et définies par fyd et fpd sont utilisées.
NMR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Un seul ensemble de diagrammes déformations-contraintes est alors utilisé pour l'analyse structurale comme pour la vérification de sections, ce qui effectivement plus cohérent et rationnel. Les diagrammes particuliers prévus pour le béton (parabole-rectangle, bilinéaire) sont à laisser de côté. Dans ce cas l'analyse structurale peut s'effectuer avec une vérification en simultanée des sections dans le processus de calcul. Ceci a l'avantage de permettre la fusion des deux étapes de la justification et la "charge de ruine" de calcul peut alors être directement obtenue.
7.3 - Méthode générale d'analyse non-linéaire de l'Eurocode 2 partie 2
Cette méthode est décrite aux clauses [EC2-2 5.7(105)] et [EC2-2 Ann.PP]. Utilisable au premier ordre comme au second ordre elle est fondée sur deux points principaux :
· ·
une utilisation de diagrammes déformations-contraintes des matériaux spécifiques, un format de sécurité défini par l'emploi d'un coefficient de sécurité global appliqué à une situation de ruine de calcul constatée.
7.3.1 - Lois de comportement des matériaux
Les coefficients partiels des matériaux sont modifiés, d'une part pour avoir des lois de comportement des matériaux plus proche de leur comportement physique, et d'autre part en les ajustant, pour obtenir une sécurité plus homogène entre le béton et l'acier. Ceci donne des matériaux un peu plus performants que ceux obtenus avec le niveau de sécurité usuellement retenu. Ces lois sont utilisées ensuite pour l'analyse structurale, c'est à dire pour l'obtention des sollicitations et aussi pour la détermination des résistances des sections. Les diagrammes contraintes-déformations pour le béton et pour l'acier sont décrits par les figures suivantes et les valeurs des variables qui les caractérisent données en accompagnement.
On peut noter qu'à la place des contraintes de calcul fcd et fyd ce sont leurs valeurs multipliées par le même facteur 1,1 S qui sont utilisées dans les nouveaux diagrammes.
7.3.1.a) Loi de comportement du béton
C'est une loi de type Sargin, illustrée par la figure suivante :
c
Contrainte
cf
loi de type Sargin
f ck
Arctg(1.05 Ecm)
c1
Déformation relative
cu1
c
Fig./Tab.7.(3) : Loi de comportement du béton avec caractéristiques rehaussées
NMS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
et dont l'équation s'écrit :
2 k c - c c = cf fck c1 c1 c 1 + (k - 2 ) c1 où c k= déformation relative en compression du béton 1,05 E cm c1 cf f ck
c1( 0 / 00 ) = min 0,7 (fck + 8 )
(
0.31
; 2 ,8
)
déformation relative au pic de contrainte
3,5 pour fck < 50MPa 4 cu1( 0 / 00 ) = 98 - (fck + 8 ) 2,8 + 27 pour fck 50MPa 100 cf fck = 1,1 S f 0,85fck C ck
0,3
déformation relative ultime
valeur de calcul de résistance en compression du béton module d'élasticité sécant du béton
f +8 Ecm = 22000 ck 10
7.3.1.b) Lois de comportement des aciers de béton armé
C'est le diagramme bilinéaire avec raffermissement défini par les paramètres 1,1×fyk et 1,1×k×fyk comme illustré dans la figure suivante :
1,1 k f yk 1,1 fyk
Contrainte
loi bilinéaire avec branche inclinée
Arctg(Es)
yd
Déformation relative
uk
Fig./Tab.7.(4) : Lois de comportement des aciers de béton armé
NMT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Elle est bâtie avec les valeurs limites définissant les deux branches (, ) : 1,1f yk ; 1,1f yk - Branche élastique yd = Es - Branche supérieure inclinée avec uk valeur de déformation relative sous charge maximale k valeur minimale de f t / f y pour la classe B pour la classe C
( )
uk
; 1,1 k f yk
)
(
k
uk 5,0% uk 7,5%
et et
1,08 k 1,15 k < 1,35
7.3.1.c) Lois de comportement des aciers de précontrainte
De façon analogue c'est un diagramme bilinéaire avec raffermissement défini par les paramètres 1,1×fp0,1k et 1,1×fpk qui est à utiliser.
7.3.2 - Principe et format de sécurité
Les calculs à effectuer pour une structure sont faits de manière tout à fait classique. La seule particularité consiste à incrémenter de façon proportionnelle les charges des combinaisons ELU (appelées charges de projet), jusqu'à atteindre la ruine de calcul de la structure. Le nouveau format de sécurité consiste alors à fixer une marge par rapport à ce niveau "ultime" des charges qud par l'intermédiaire d'un coefficient de sécurité global. La structure est considérée comme bien dimensionnée si ce niveau réduit de charges donne bien des sollicitations enveloppes de celles obtenues avec les charges de projet. Le critère de vérification est illustré par les trois inégalités symboliques données dans [EC2-2 5.7(105)], (5.102 aN), (5.102bN) et 5.102cN). Les trois formes d'écriture proviennent simplement de la façon plus ou moins explicite de prendre en compte les divers coefficients partiels liés aux incertitudes de modèle. En pratique, les valeurs des coefficients partiels, utilisées dans la plupart des cas pour les actions et les matériaux, sont fournies sous leur forme (F et M). De ce fait elles contiennent déjà les coefficients partiels qui couvrent les incertitudes de modèle liées aux actions et aux résistances [EC0 6.3(6.2b) et (6.6b)]. Le critère général de vérification E d R d [EC0 6.4.2(6.8)] s'exprime alors sous la forme de l'expression (5.102bN) rappelée ci-dessous :
résistance symbolique correspondante
64 744 4 8 E G G + QQ
effet des actions
(
)
6 74 4 8 q R ud O'
Inégalité (5.102b)
L'attention du projeteur est attirée sur le fait que le critère général de vérification Ed R d ne reflète pas exactement le format de vérification dans le cas d'un flambement. Ceci a d'ailleurs été signalé par l'Eurocode 0 [EC0 6.4.2(3)P]. Il faut prendre, dans ce cas, au sens large, le terme "résistance" et le symbole qui lui est associé R comme représentant les sollicitations qui correspondent à un niveau de chargement donné ; l'Eurocode 2 partie 2 le choisit comme étant égal à celui de la charge de ruine de calcul réduit par un coefficient de 1,27.
Des trois critères de vérification proposés par l'Eurocode 2 partie 2 le présent guide n'en adopte donc qu'un seul, le plus simple et le plus pratique car il ne fait pas intervenir les coefficients partiels pour incertitudes de modèle (c'est d'ailleurs aussi, ce qui est utilisé dans la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1). Pour plus de détails et d'explications concernant le choix de la "bonne" inéquation le projeteur se reportera à l'Annexe VI.
NMU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7.3.3 - Application pratique de la méthode
On commence par déterminer les imperfections géométriques initiales à partir des premiers modes de flambement élastique et par déterminer les cas de charges significatifs dans le plan de flambement considéré (voir l'exemple d'un arc donné en [Annexe II]). Dans le cas d'éléments verticaux, les imperfections géométriques peuvent être représentées par une inclinaison [EC2-2 5.2 (105)]. Dans le cas d'éléments isolés, il peut être pratique d'utiliser une excentricité ou une charge transversale calculée à partir de l'inclinaison précédente [EC2-1-1 5.2(7)]. Le processus de calcul des sollicitations et de vérification de la structure peut ensuite s'effectuer (pour simplifier on présente l'étude à partir de l'état de la structure terminé sous charges permanentes, obtenu de manière classique, tout fluage effectué).
7.3.3.a) Modalités d'incrémentation des charges
L'Eurocode 2 ne donne pas d'indications complètes sur la manière d'incrémenter les charges. Il est seulement dit que le niveau des charges sera augmenté à partir de leurs valeurs de service pour atteindre celui de la combinaison fondamentale ELU de résistance dans un même pas de calcul. Le processus d'incrémentation se poursuivra jusqu'à atteindre la résistance ultime d'une zone ou la rupture globale de la structure [EC2-2 5.7(105) note 1]. Les points de passage obligés sont par contre parfaitement identifiés, à savoir :
· · ·
la situation sous charges permanentes G (représentant Gmin ou Gmax) qui est un état de référence obtenu à la suite d'un calcul détaillé approprié, prenant en compte tous les effets du fluage ; la situation en service G + Q (Q représentant symboliquement l'ensemble des charges variables intervenant dans la combinaison fondamentale ELU de résistance) ; la situation sous combinaison fondamentale ELU G G + Q Q (qu'on a appelé charge de projet pour simplifier) ; et enfin la situation de ruine de calcul obtenue avec la charge de projet majorée par un facteur multiplicateur.
Charges d'exploitation pondérées
Le retour par q'ud ne permet pas de passer sur la trajectoire
[
]
·
0'
Q Q Q Q
R' (q' ud
qud )
R (q ud = q ELU )
U (q ELU = G G+Q Q) S'
Q
S (qSERV =G+Q)
Charges permanentes pondérées
G
G G
G G
NMV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Fig./Tab.7.(5) : Illustration de l'évolution des charges
On s'aperçoit sur un graphique illustrant l'évolution des charges, que dans le cas général, avec des valeurs de G et Q différentes, les points S (pour service), U (pour ultime) et R (pour ruine) ne sont pas alignés et donc que les pas d'incrémentation doivent être différents entre S et U d'une part et entre U et R d'autre part. Un incrément de charge entre S et U peut s'écrire i ( G - 1) G + ( Q - 1) Q , avec
i G Q
[ ] valant 1. Un incrément de charge entre U et R peut s'écrire [( )G + ( ) Q ] , avec 1 + = .
i i
La poursuite de l'incrémentation des charges à partir de la charge de projet peut à priori se faire de différentes façons. On pourrait, par exemple, continuer avec le même pas utilisé pour passer de la situation en service à l'ELU de résistance ou même n'incrémenter que les charges non-permanentes, ce qui constitue une option radicalement différente. Mais ces options différentes ne permettent pas d'exprimer la charge de ruine comme étant proportionnelle à la charge de projet qud = qELU; ce dernier choix a été retenu par l'Eurocode 2 pour exprimer le niveau de sécurité. La ruine est atteinte à partir d'incrément de charge et il est généralement impossible de dépasser le pic de contrainte de la loi de Sargin. Mais si le calcul est fait avec un logiciel permettant de dépasser ce pic, l'état de ruine obtenu peut être différent. Cette distinction a peu d'incidence sur le flambement des structures isostatiques. En revanche, cela peut être important pour les calculs de redistribution d'efforts, où une augmentation de la capacité de rotation des sections augmente les possibilités de redistribuer. Les cas concernés par ces différences sont cependant assez rares. Lorsqu'on ne sait pas a priori si G a un effet favorable ou défavorable vis-à-vis du flambement, deux calculs sont à faire, l'un avec G = 1 et l'autre avec G = 1,35 , associé à Gmin et Gmax respectivement. Les incréments de charges sont alors à adapter en conséquence.
7.3.3.b) Analyse des résultats
Si l'on représente dans un repère à deux dimensions, l'évolution des sollicitations (N, M) d'une section transversale de la structure en fonction de la charge appliquée et si on y rajoute le domaine de résistance (a) de la section d'étude, construite avec les mêmes lois de comportement des matériaux utilisées pour l'analyse structurale, on trouve en général la figure suivante :
Instabilité d'ensemble ou rupture localisée sur une autre section
M M
Rupture de section
(a)
(a) A
A
N chemin de chargement
N
Fig./Tab.7.(6) : Cheminement des sollicitations (N, M) en fonction des chargements successifs jusqu'au point A (NA, MA) obtenu avec la charge de ruine et courbe d'interaction (a) d'une section.
On constate que la courbe (N, M) se termine à l'arrêt des calculs, en un point A, situé en général à l'intérieur du domaine de résistance de la section étudiée. Mais elle peut aussi bien se terminer avec un point A se trouvant sur la courbe (a).
NNM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Entre-temps, cette courbe est passée successivement par les points (NS, MS) de la situation en service et (NELU, MELU) de la situation aux ELU de calcul. Quand le point A se trouve sur la courbe (a), la ruine de calcul de la structure s'est produite par rupture locale dans la section étudiée. Cette section est la section critique et sa résistance limite a été atteinte.
L'identification de la section critique dans laquelle la ruine locale se produit constitue une des difficultés d'application de la méthode.
Quand le point A se situe à l'intérieur du domaine délimité par la courbe (a), il y a alors deux cas de figure :
·
soit c'est encore une rupture localisée mais qui s'est produite dans une autre section que celle étudiée : pour cette section, qui n'est pas la plus sollicitée, les sollicitations obtenues lors de l'arrêt des calculs sont évidemment éloignées de son domaine de résistance ; soit c'est une instabilité d'ensemble de la structure, et dans ce cas, on peut vérifier que tous les points A de toutes les sections qu'on étudie se retrouvent à l'intérieur de toutes les courbes (a) associées. Ce critère sera d'ailleurs le seul moyen pour identifier le mode de rupture de la structure par instabilité d'ensemble.
En fait on peut savoir qu'il y a eu instabilité d'ensemble quand on est certain d'avoir fait l'étude de la section critique et que son point A se trouve à l'intérieur de sa courbe (a).
·
7.3.3.c) Vérification de la sécurité
Avec l'application du critère (5.102b) préconisée par le guide la mise en oeuvre de la vérification de la sécurité est largement simplifiée. La vérification de la sécurité est assurée dès lors que O ' . Ceci est illustré dans la figure ci-dessous où est représentée l'évolution du paramètre déterminant (en général le moment de flexion) en fonction du niveau de chargement. Le chemin de chargement passe par les points S (obtenu avec la charge de service), U (obtenu avec la charge de projet) et se termine en un point A obtenu avec la charge qud , charge maximale atteinte et appelée charge de ruine de calcul. La vérification de la sécurité est satisfaite si le point D obtenu avec le chargement qud /O' est situé sur le chemin de chargement au delà du point U obtenu avec la charge de projet.
M
MA A
MD MU MS S U
D
q SERV
q ELU = q ud
q ud q ud
0'
q
Fig./Tab.7.(7) : Vérification de la sécurité Combinaison (q, M)
7.4 - Synthèse et comparaison des différentes méthodes
Les deux méthodes simplifiées présentées de manière détaillée en [Annexe VI], sont basées sur l'estimation d'une courbure 1/r ou sur l'estimation d'une rigidité nominale EI et donnent des résultats sécuritaires par
NNN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
rapport aux deux méthodes générales. Leur champ d'application est restreint, essentiellement les éléments isolés de section et de ferraillage constants. Elles permettent néanmoins de traiter des éléments relativement élancés et sont utiles pour valider rapidement un ferraillage minimum ou une structure en phase de projet. Elles sont cependant très sécuritaires et il est recommandé d'utiliser la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 dans le cas d'une structure très élancée pour obtenir des sollicitations plus réalistes afin de mieux optimiser la matière à mettre en place (sections d'armatures et incidence sur le dimensionnement des fondations d'une pile par exemple). La méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 est d'application tout à fait similaire aux règles antérieures et n'appelle donc pas de remarques particulières. On rappelle qu'elle offre une meilleure alternative en suggérant d'utiliser le même ensemble de diagrammes déformations-contraintes pour l'analyse et pour la vérification des sections. Ceci constitue une vraie simplification par rapport aux règles antérieures. L'Eurocode 2 offre la méthode générale de la partie 2 comme une alternative à la méthode générale de la partie 1-1. Son utilisation présente deux intérêts principaux :
·
le premier intérêt est de mettre en évidence la marge de sécurité qui existe entre la charge de projet (charge de la combinaison fondamentale ELU de résistance) et la charge qui conduit à la ruine de calcul de la structure. En effet la méthode conduit à obtenir un dépassement de la charge de projet pour obtenir la ruine. Le niveau de sécurité voulu est ensuite défini par rapport à cette charge de ruine et est fixé au départ par la méthode ; le second intérêt de la méthode est qu'elle permet de savoir si la structure atteint la ruine de calcul par rupture d'une section ou par instabilité d'ensemble. Cette connaissance peut être utile pour orienter son redimensionnement, localement, s'il s'agit d'une rupture de section (renforcement du ferraillage par exemple) ou de façon plus globale, s'il s'agit d'un problème de flambement (action sur l'élancement de la structure).
·
La méthode générale de l'Eurocode 2 partie 2 est du même niveau de complexité théorique que la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1. Elle nécessite des modalités pratiques d'application peut être un peu plus élaborées. Mais elle permet certainement une analyse plus fine dans les cas d'instabilité d'ensemble. En conclusion on peut a priori utiliser la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 qui est bien connue et il est proposé qu'on fasse appel à la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 2 dans les cas où les informations supplémentaires apportées par cette méthode sont utiles au projeteur. En tout état de cause, il est suggéré que la méthode qui serait appropriée soit précisée dans les clauses techniques des marchés pour tout projet particulier.
NNO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 7 Justification aux ELS
Les justifications aux ELS visent à assurer à toute structure l'aptitude au service requise pendant la durée d'utilisation de projet choisie. Elles contribuent aussi à la protection vis-à-vis des dommages pouvant nuire à la durabilité de la structure. Dans leur principe, les principales règles de justification d'une structure aux états limites de service selon l'Eurocode 2 sont proches de celles utilisées précédemment en France : limitation des contraintes, maîtrise de la fissuration dans les zones tendues et/ou cisaillées et limitation des déformations. La principale nouveauté réside dans l'expression de la maîtrise de la fissuration : au lieu d'une limitation de contrainte des aciers adhérents, elle se fait par un calcul conventionnel d'ouvertures de fissures. Cela permet une approche unifiée entre béton armé et béton précontraint. De plus l'Eurocode 2 partie 2 donne une méthode pour maîtriser la fissuration provoquée par le cisaillement dans les âmes pour les cas où cette vérification est nécessaire. Dans le cas des ponts routiers en béton la limitation des déformations est en général non-dimensionnante. Ne seront donc abordés dans ce guide que les deux aspects limitation des contraintes et maîtrise de la fissuration. On se reportera à l'Annexe VII pour des exemples de calcul détaillés. Enfin, l'application des règles antérieures permettait un dimensionnement de la précontrainte grâce à une définition précise de trois classes de justification. Avec l'Eurocode 2 la situation est plus floue, et il a paru nécessaire de donner quelques indications sur le sujet au projeteur.
L'Eurocode 2 donne des conditions minimales à respecter. Certaines peuvent se traduire par des conditions sur la précontrainte, d'autres non. Mais la définition de la précontrainte est l'affaire du concepteur et une bonne conception n'est pas nécessairement celle qui colle le plus près aux limites fixées par l'Eurocode.
1 - Limitation des contraintes
1.1 - Contrainte de compression dans le béton
1.1.1 - En service
Il est recommandé de limiter la contrainte de compression dans le béton à 0,45 fck sous combinaison quasipermanente des charges pour, principalement, limiter les effets du fluage (flèches excessives, effets hyperstatiques importants...). Ceci permet alors d'utiliser les modèles de fluage linéaire [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 7.2(3)]. Dans le cas contraire, il convient de considérer un fluage non-linéaire. En l'absence de confinement, la contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,6 fck sous combinaison caractéristique dans les parties exposées à des environnements de classe XD, XF et XS [EC2-2 7.2(102)].
En général, on appliquera également cette limitation à l'ensemble des structures d'ouvrages d'art indépendamment de la classe d'environnement. Rappelons que cette limitation permet de se dispenser d'une vérification à la fatigue du béton comprimé [EC2-1-1/AN].
1.1.2 - En construction
Dans le même esprit la contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,45 fck(t) en phase de construction [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 5.10.2.2(5)].
La clause 5.10.2.2(5) précise que le fluage non-linéaire doit être pris en compte si la contrainte de compression dépasse de façon permanente 0,45 f ck (t) . Au moment de la mise en tension d'un câble, on peut donc admettre un dépassement temporaire de cette valeur. La valeur maximale de compression admissible est précisée ci-après.
NNQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,6 fck(t). Pour la prétension, on peut admettre de monter à 0,7 fck(t) sous réserve de justifications par essais ou par l'expérience que la fissuration longitudinale est évitée [EC2-1-1 5.10.2.2(5)].
Cette limitation doit être appliquée indépendamment de la classe d'environnement.
1.2 - Contrainte de traction dans les armatures
1.2.1 - Cas des armatures de béton armé
Les limitations à respecter sont les suivantes [EC2-2 7.2 (5)] : s < 0,8 fyk sous combinaison caractéristique (sauf si la structure est soumise uniquement à des déformations imposées, par exemple dues au retrait gêné, dans ce cas, la limite est portée à fyk).
La valeur de 0,8 f yk est élevée et cette limitation de contrainte dans les aciers passifs sous combinaison caractéristique n'est en général pas dimensionnante.
1.2.2 - Cas de la précontrainte non adhérente
Lorsque toute la précontrainte est non adhérente, la surtension qui se produit dans les aciers de précontrainte aux ELS sous l'effet des charges d'exploitation est négligeable. Les règles sont donc identiques au cas du béton armé. C'est le cas notamment de la flexion transversale de ponts caissons larges avec précontrainte transversale non adhérente.
1.2.3 - Cas de la précontrainte adhérente
pm < 0,8 fpk sous combinaison caractéristique [EC2-1-1/AN 7.2(5)]
La pratique française précédente consistait à limiter uniquement la surtension des armatures de précontrainte, indépendamment du niveau de précontrainte sous charges permanentes. L'Eurocode adopte plus logiquement un critère de non-plastification des armatures. Plus les armatures sont tendues sous charges permanentes, plus la surtension autorisée sous charges d'exploitation est faible. Avec la valeur 0,75 recommandée par l'Eurocode 2, ce critère pouvait amener à réduire la tension initiale des câbles, notamment pour des câbles avec peu de pertes instantanées. C'est pour éviter cela que la valeur a été portée à 0,8 dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1.
NNR= Chapitre 7 - Justification aux ELS
2 - Maîtrise de la fissuration
2.1 - Principe
Le principe adopté par [EC2-2/AN Tab.7.101NF] :
·
l'Eurocode 2
pour
la
maîtrise
de
la
fissuration
consiste
à
définir
une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures en fonction de la classe d'exposition et de la nature de l'élément considéré (béton armé, béton précontraint à armatures non-adhérentes, ou béton précontraint à armatures adhérentes) ; et/ou un critère de vérification de non-décompression ;
·
qu'il faut ensuite vérifier par le biais d'un calcul d'ouverture de fissures et d'un calcul de contrainte.
2.2 Limites d'ouverture de fissure
Ces limites sont les suivantes :
·
éléments en béton armé et béton précontraint à armatures non-adhérentes soumis à des classes d'exposition XC , XD ou XS wmax < 0,3mm sous combinaison fréquente pour des classes d'exposition XC wmax < 0,2mm sous combinaison fréquente pour des classes d'exposition XD ou XS
Le choix de la combinaison quasi-permanente est bien adaptée au cas des bâtiments, où les charges quasi-permanentes représentent une part importante des charges (les coefficients 2 sont généralement non nuls). En ouvrage d'art, au contraire, les coefficients 2 sont très généralement nuls. La combinaison fréquente apparaît donc comme plus pertinente pour évaluer les ouvertures de fissure, et c'est le choix qui a été fait dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2. Malgré cette correction, la limitation de l'ouverture de fissure sous charge fréquente ne sera généralement pas dimensionnante pour les classes d'exposition XC. C'est le cas notamment de la flexion transversale des hourdis de ponts mixtes ou de ponts caissons. L'application stricte de cette règle peut conduire à des contraintes relativement élevées sous charges de trafic, et la fatigue des aciers passifs peut alors être dimensionnante. L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 dispense de calcul à la fatigue les structures en béton armé pour lesquelles s < 300MPa sous combinaison caractéristique. Cette dernière condition sera généralement dimensionnante pour les ouvrages en classe d'exposition XC, tandis que la limitation d'ouverture de fissure pourra être dimensionnante pour les ouvrages en classe d'exposition XD ou XS.
·
éléments en béton précontraint à armatures adhérentes soumis à des classes d'exposition XC wmax < 0,2mm sous combinaison fréquente
accompagné d'un contrôle de non-décompression c > 0 en zone d'enrobage sous combinaison quasi-permanente
Il est rappelé qu'une vérification à la fatigue des aciers passifs et de précontrainte est nécessaire pour les structures précontraintes qui sont fissurées sous combinaison fréquente.
·
éléments en béton précontraint à armatures adhérentes soumis à des classes d'environnement XD ou XS c > 0 en zone d'enrobage sous combinaison fréquente
La zone d'enrobage est définie par une distance de 100mm à l'armature de précontrainte adhérente ou à sa gaine. Cette condition n'impose pas un enrobage de 100mm pour les armatures de précontrainte : l'Eurocode demande simplement que le béton situé à moins de 100mm de la gaine, lorsqu'il existe, soit comprimé.
NNS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Il est rappelé que la non-décompression du béton sous charges fréquentes permet de se dispenser d'un calcul à la fatigue [EC2-2 6.8.1(102)].
2.3 - Méthodes de calcul des ouvertures de fissure
2.3.1 - Approche selon l'Eurocode 2
Dans l'Eurocode 2, la maîtrise de la fissuration peut se faire de deux façons :
·
méthode "directe" : la maîtrise de la fissuration est considérée comme assurée si la largeur de fissure calculée par la méthode recommandée [EC2-1-1 7.3.4], est inférieure à la valeur limite donnée, et/ou si la règle de non-décompression est vérifiée. Une section minimale d'armatures est par ailleurs exigée [EC2-1-1 Expr.(7.1)] ; méthode "simplifiée" : l'Eurocode 2 partie 1-1 donne une méthode simplifiée pour cette vérification en 7.3.3, moyennant un certain nombre d'hypothèses, notamment la présence d'un ferraillage minimal plus important que le strict minimum requis.
·
Le calcul des contraintes dans les aciers en vue du calcul d'ouverture de fissures est toujours effectué en section fissurée. Les coefficients d'équivalence à utiliser sont donnés au [Chapitre 3 -3.1] de ce guide. Les deux méthodes sont utilisées et présentées en annexe par l'intermédiaire d'exemples de calcul.
Signalons que le domaine d'emploi de la méthode simplifiée de l'Eurocode est plus restreint que celui de la méthode directe : pour utiliser la méthode simplifiée, il faut avoir un ferraillage minimum calculé avec les valeurs de s lues dans des tableaux (et pas avec fyk ), fonction du diamètre ou de l'espacement (distance entre axes) des aciers [EC2-1-1 7.3.3] ; il faut effectuer les corrections données par les formules (7.6N) et (7.7N). Enfin, les tableaux donnent généralement des résultats défavorables par rapport au calcul direct, notamment pour des aciers de gros diamètres pour lesquels les taux de ferraillage effectifs sont bien supérieurs à ceux qui ont été pris en compte dans l'établissement des tableaux. Pour toutes ces raisons, la méthode directe a été privilégiée dans la plupart des exemples de calcul de ce guide, notamment pour les calculs de vérification. L'utilisation des tableaux de la méthode simplifiée de l'Eurocode garde un intérêt en phase de dimensionnement des aciers. La méthode directe de calcul d'ouvertures de fissures présente elle-même un certain nombre de limitations. Elle est adaptée au cas de sections rectangulaires en flexion composée non déviée (c'est sur la base d'essais sur ce type de sections qu'a été fait le calibrage des formules). Par ailleurs, elle n'a pas été calibrée pour la détermination d'ouvertures de fissures dans les pièces épaisses. Se pose alors le problème de la généralisation de ces formules au cas de formes de coffrages plus complexes, au cas de sections en flexion déviée, ou au cas de structures épaisses.
2.3.2 - Approche retenue dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2
Afin de régler les difficultés signalées dans le paragraphe précédent, il a été proposé dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 une autre méthode plus "rustique", mais applicable dans toutes les situations. La méthode proposée est la suivante :
· ·
limitation de l'espacement entre aciers à 5(c+/2), et limitation de la contrainte dans les aciers passifs à 1000 wmax dans le cas de sections fléchies (c'est-à-dire ayant une face comprimée et une face tendue, sans fissures traversantes), ou à 600 wmax dans le cas de sections entièrement tendues.
NNT= Chapitre 7 - Justification aux ELS
Dans ces expressions, wmax est en mm et la limite de contrainte obtenue est en MPa.
Cette méthode "rustique" de l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 peut être appliquée dans le cas général. Si on désire optimiser le dimensionnement du ferraillage, on peut appliquer les formules du calcul direct lorsque c'est possible, notamment si les sections sont sensiblement rectangulaires par morceaux, ou en flexion faiblement déviée, avec des gammes d'épaisseurs courantes et des ferraillages relativement réguliers. Pour les structures épaisses, pour les structures en flexion déviée, ou pour les structures de forme ou de ferraillage complexe, il est recommandé d'utiliser la méthode "rustique". Note : Le calcul direct peut conduire à des sections d'acier plus importantes ; néanmoins, la méthode "rustique" reste sécuritaire.
2.4 - Ferraillage minimal de fissuration
2.4.1 - Principe et application à des sections rectangulaires
Indépendamment du calcul d'ouvertures de fissures, il convient de prévoir un ferraillage minimal dans les zones susceptibles d'être tendues sous combinaison caractéristique. La rédaction de la clause 7.3.2(4) est ambiguë, l'annexe nationale a clarifié l'interprétation :
·
pour les ouvrages en béton précontraint par post-tension le ferraillage minimal est requis dans toutes les sections où, sous la combinaison caractéristique de charges et pour la valeur caractéristique de la précontrainte, le béton est tendu (c'est-à-dire < 0) ; pour les ouvrages à fils adhérents, aucun ferraillage minimal n'est requis dans les sections où la valeur absolue de la contrainte de traction du béton est inférieure à 1,5 fct,eff .
·
Dans une poutre en béton armé, il y a toujours lieu d'appliquer le ferraillage minimal. Le principe de calcul du ferraillage minimal est énoncé en [EC2-1-1 7.3.2(1)P] : les armatures adhérentes mises en places doivent être capables de reprendre sans plastifier les efforts de traction enfermés dans le béton au moment de la fissuration. Une modalité d'application est donnée en [EC2-1-1 7.3.2(2)] dans le cas de sections rectangulaires en flexion composée : As,min×fyk = kc×k×fct,eff×Act [EC2-1-1 Expr.(7.1)]
De façon générale, il convient de prendre fct,eff = fctm [EC2-2 7.3.2(102)]. Toutefois, lorsque l'on est certain que la fissuration se produira uniquement au jeune âge (cas d'une poutre soumise uniquement à des déformations gênées par exemple), il est possible de prendre une valeur réduite fct,eff = fctm(t), sans toutefois descendre en-dessous de 2,9 MPa [EC2-2 7.3.2(105)].
La valeur de kc a été calibrée par rapport au principe général énoncé ci-dessus. La valeur est exacte dans le cas de la traction simple et de la flexion simple, et elle est sécuritaire dans les cas de flexion composée. Dans le cas d'une section rectangulaire en flexion simple, kc vaut 0,4. Le ferraillage minimal vaut donc : As,min = 0,4×fctm×0,5×b×h / fyk Soit, avec d = 0,9 h : As,min = 0,23×(fctm / fyk)×b×d
Ce ferraillage est légèrement plus faible que le ferraillage minimum donné pour les poutres en [EC2-1-1 9.2.1.1(1)] (coefficient 0,23 au lieu de 0,26). Il s'agit dans les deux cas d'un ferraillage minimum basé sur les mêmes principes. Pour clarifier cela, l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 a précisé que le ferraillage de la section 9 était applicable pour les éléments en béton armé, et que celui de la section 7 était applicable pour les éléments en béton précontraint.
NNU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La formule donnée dans l'Eurocode 2 contient un terme supplémentaire (coefficient k). Sa valeur doit généralement être prise égale à 1,0, sauf pour les pièces larges ou hautes soumises uniquement à des déformations imposées (voir exemple d'application en annexe). Signalons enfin que l'expression (7.1) est écrite dans l'Eurocode 2 partie 1-1 de façon plus générale avec s au lieu de fyk. Cela est dû au fait que cette expression peut également être lue à l'envers, pour calculer une contrainte : As Ce calcul permet d'estimer la contrainte dans les aciers passifs d'une pièce fissurée soumise à des déformations imposées. Un exemple d'utilisation est donné en annexe.
C'est donc bien la valeur s = fyk qui doit être utilisée pour calculer le ferraillage minimum. Ce point a d'ailleurs été clarifié par l'annexe nationale. Ce n'est que lorsqu'on souhaite utiliser les tableaux de la méthode indirecte (7.3.3) qu'il convient d'adopter une valeur plus faible de s , pour se conformer aux hypothèses selon lesquelles ont été établis ces tableaux.
A s = k c ×k×fct,ef f × ct
2.4.2 - Généralisation à des sections quelconques
L'Eurocode 2 indique comment généraliser le calcul du ferraillage minimum à des sections rectangulaires par morceaux (en pratique : sections en caisson ou en T). Le principe est le suivant :
· ·
on découpe la section en éléments rectangulaires qui sont soit des hourdis, soit des âmes ; les modalités de découpage sont indiquées en [EC2-2 7.3.2 fig.7.101] ; on détermine le moment de fissuration Mfiss, c'est-à-dire le moment créant une contrainte de traction fctm en fibre extrême, en supposant l'effort normal extérieur global N inchangé (dans une poutre précontrainte, on prendra généralement N = Pk,inf) ;
Pour une section où N et M varient tous les deux (cas d'un poteau par exemple), il peut être plus sécuritaire de déterminer les sollicitations de fissuration en considérant un point de passage de la résultante des contraintes normales identique à celui de la sollicitation de service la plus défavorable.
· · ·
on construit le diagramme de contrainte dans la section sous ce couple (N, Mfiss) ; dans un élément de type âme, on calcule le ferraillage minimal selon la formule générale en prenant c égal à la contrainte au centre de gravité de l'âme ; dans un élément de type hourdis, le ferraillage minimal est obtenu par la relation : As,minf yk =max[0,9k Fcr ; 0,5 k fctm A ct ]
La première condition revient à équilibrer 90% de l'effort de traction dans la membrure avant fissuration ; on considère de façon forfaitaire que les 10% restants repassent dans les âmes par changement du bras de levier. La seconde condition assure un ferraillage minimal des membrures permettant d'équilibrer un moment "local" de fissuration (une face tendue à fctm et une face à contrainte nulle). La généralisation du calcul du ferraillage minimum à des sections quelconques peut se faire en revenant au principe énoncé en [EC2-1-1 7.3.2(1)P] : on vérifie que sous les sollicitations de fissuration, les aciers mis en place ne plastifient pas.
2.5 - Maîtrise de la fissuration provoquée par cisaillement
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne prévoit pas de vérifications spécifiques de la résistance au cisaillement aux ELS, elle est supposée assurée par des dispositions constructives [EC2-1-1 7.3.3(5)].
NNV= Chapitre 7 - Justification aux ELS
En revanche, l'Eurocode 2 partie 2 prévoit dans la clause [EC2-2 7.3.1(110)] un renvoi à une annexe QQ (informative, rendue normative par l'annexe nationale) qui donne une méthode permettant, dans le cas où ce serait nécessaire, d'éviter la fissuration provoquée par cisaillement. Elle concerne essentiellement les âmes des ouvrages en béton précontraint et ne s'applique pas en général aux sections en béton armé.
La fissuration des âmes est admise pour les sections en béton armé, mais elle ne doit pas être excessive. Pour cela, il convient soit de faire des vérifications explicites d'ouverture de fissure et de fatigue à l'effort tranchant, soit d'adopter des inclinaisons "raisonnables" des bielles à l'ELU de résistance, ne s'écartant pas trop de l'orientation naturelle des fissures en service (soit 45° dans les cas courants). La réglementation française antérieure imposait des bielles à 45° sans autre vérification. Une limite inférieure correspondant à cot = 1,5 a été proposée dans l'annexe nationale [EC2-2/AN 6.8.1(102)] [Chapitre 6 -2.2.2].
2.5.1 - Principe
Le principe retenu dans l'annexe QQ consiste à déterminer la plus grande contrainte principale de traction dans le béton et de vérifier qu'elle est inférieure en valeur absolue à une résistance à la traction du béton à déterminer en fonction des contraintes appliquées, pour assurer la non-fissuration sous cisaillement.
Il va de soi que la vérification ci-dessus doit se faire avec l'ensemble des contraintes provoquées par les efforts de flexion, tranchants et de torsion concomitants. La vérification est à faire sur toute la hauteur des âmes, soit en général au niveau du centre de gravité et du gousset côté de la membrure tendue. Bien que le texte ne le précise pas, la justification est à faire sous combinaison caractéristique.
2.5.2 - Critère de non-fissuration
Le critère compare la plus grande contrainte principale de traction 1 à fctb , résistance à la traction du béton au niveau des âmes, dans un état de contrainte biaxiale avant fissuration, et donnée par l'expression : f ctb = 1 - 0,8 3 × f ctk ;0, 05 [EC2-2 Expr.(QQ.101)] f ck 3 est la plus grande contrainte principale de compression (valeur positive) fck est la résistance caractéristique à la compression du béton fctk,0.05 est le fractile 5% de la résistance à la traction du béton Dans les cas courants où l'on n'a pas de compression biaxiale (pas de précontrainte verticale dans des âmes par exemple) l'état de contrainte est caractérisé par le tenseur : x 0 Les contraintes principales 1 et 3 se calculent alors par les expressions : 1 = 3 = x - x + 2 2 2 x + x + 2 2 2
2 2
où :
Les expressions ci-dessus sont applicables si x 0. Lorsqu'une vérification est nécessaire en un point où x < 0, il est loisible de calculer 1 et 3 en prenant x = 0 ; la vérification s'écrit alors :
NOM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
fctb, soit
f ctk 0,05 f ctk 0,05 1 + 0,8 f ck
Cela revient à maîtriser la fissuration des âmes sous sollicitations tangentes indépendamment de la traction longitudinale, qui est elle équilibrée directement par les armatures longitudinales. Ce n'est pas dit explicitement dans l'annexe QQ, mais on retrouve ce principe dans d'autres annexes (annexe F notamment), ainsi que dans la pratique française antérieure (BPEL).
Si le critère 1 > -fctb est vérifié (1 plus grande contrainte principale de traction), alors la section n'est pas fissurée sous sollicitation tangente. Aucun ferraillage d'effort tranchant n'est à prévoir aux ELS hormis le ferraillage minimum. Si le critère n'est pas vérifié, l'annexe QQ demande qu'on maîtrise la fissuration des âmes selon les méthodes prévues en [EC2-1-1 7.3.3] ou [EC2-1-1 7.3.4] et [EC2-1-1 7.3.1] en tenant compte de la déviation entre la direction de la contrainte principale et les directions des armatures. Toutefois, la référence à ces clauses ne donne aucune indication pratique pour effectuer le calcul complet d'ouverture de fissure. Il paraît donc très souhaitable de dimensionner les âmes pour qu'elles ne soient pas fissurées aux ELS.
Par ailleurs, le fait d'avoir des âmes trop minces peut poser d'autres problèmes (diminution du bras de levier des aciers passifs vis-à-vis de la flexion transversale, difficultés de bétonnage, réduction de la résistance en torsion, etc.). Il convient de tenir compte de ces phénomènes dans le choix des épaisseurs d'âmes, et ne pas se limiter au seul critère aux ELS de l'annexe QQ de l'Eurocode 2 partie 2.
L'équation (QQ101) peut exprimer la limitation des contraintes de cisaillement d'une autre façon, plus habituelle aux projeteurs :
adm = x × y -
avec
5f ck × f ctk;0,05 × x + y + f ctk;0,05 × 4 x + 4 y - 5f ck (5f ck + 4f ctk;0,05 ) 2
(
) (
)
x = contrainte normale longitudinale y = contrainte normale transversale adm= contrainte tangente admissible.
3 - Règles de dimensionnement de la précontrainte
Les justifications données précédemment doivent être utilisées en vérification de structure, mais ne suffisent pas toujours à elles seules à dimensionner la précontrainte de façon satisfaisante.
3.1 - Cas des ouvrages coulés en place
La question se pose en particulier pour les structures précontraintes en classe d'environnement XC3 ou XC4, pour lesquelles les tractions dans le béton sous charges fréquentes et caractéristiques ne sont pas limitées. Un dimensionnement de la précontrainte sur la base du seul critère de non-décompression en quasi-permanent conduira à de faibles quantités de précontrainte et à des quantités importantes d'aciers passifs, dimensionnement qui peut s'avérer non économique. Le projeteur doit donc en général se donner des règles supplémentaires de dimensionnement, en particulier pour les structures de type "poutre" où la précontrainte partielle est peu économique. Ces règles peuvent être les suivantes : c > 0 sous combinaison fréquente dans toute la section ou c > -fctm sous combinaison caractéristique dans toute la section
NON= Chapitre 7 - Justification aux ELS
On pourra généralement utiliser uniquement la plus favorable des deux règles ci-dessus. Ces deux règles existent déjà dans l'Eurocode 2, la première dispensant le projeteur de la justification à la fatigue, et la seconde lui permettant un calcul des contraintes en section non fissurée. Ces règles sont à prendre comme des recommandations pour le dimensionnement, sauf bien sûr dans le cas où un fonctionnement de structure en précontrainte partielle serait plus économique. Pour l'application de ces règles, ajoutées en vue de faciliter le dimensionnement du projet, on peut choisir d'utiliser la précontrainte probable.
3.2 - Cas des voussoirs préfabriqués
Les règles de justification aux ELS des voussoirs préfabriqués sont données dans la norme [EN15050 G.2.3.1] : sous combinaison caractéristique et valeurs en fourchette de la précontrainte, la section de béton doit rester entièrement comprimée (précontrainte totale).
3.3 - Règles en phases de construction
Les règles données ci-dessus doivent être adaptées pour les phases de construction pour plusieurs raisons : la notion de combinaison fréquente n'existe pas en phases de construction, et les états limites relatifs à la durabilité sont moins pertinents qu'en service, notamment pour les phases de courte durée.
En revanche, il est rappelé que les ELU doivent être vérifiés à toutes les phases de la construction.
Il convient donc de définir des règles spécifiques pour les vérifications aux ELS en phases de construction. Ces règles ne sont pas présentées de manière explicite dans l'Eurocode 2 partie 1-1. Par contre, l'Eurocode 2 partie 2 y consacre une section particulière, la section 113. Le tableau ci-dessous montre comment adapter les règles pour quelques exemples particuliers, en suivant les principes de la section 113 :
Règles aux ELS en service Règles aux ELS en construction
c > 0 c > 0 wk < 0,2mm s < 0,8 fyk c < 0,6 fck
sous comb. fréquente sous comb. Q.P. sous comb. fréquente
c > - fctm (t) c > -fctm(t) wk < 0,2mm
sous comb. Q.P. en situation de construction sous comb. Q.P. en situation de construction sous comb. Q. P. en situation de construction sous comb. caract. en situation de construction sous comb. caract. en situation de construction
sous comb. caractéristique s < 0,8 fyk sous comb. caractéristique c < 0,6 fck(t)
Dans le tableau ci-dessus, les limites de contrainte de traction fixées en construction sont à respecter en zone d'enrobage des câbles. En dehors de cette zone, on peut admettre des tractions plus importantes et se contenter d'une vérification d'ouverture de fissure. Il convient de fixer ces règles lors de l'établissement du projet, car elles peuvent avoir une incidence sur le dimensionnement du coffrage et de la précontrainte. Ces règles devront être indiquées dans les documents du marché. On peut choisir pour ces règles d'utiliser la précontrainte probable.
NOO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 8 Dispositions constructives relatives aux armatures
Le présent chapitre concerne essentiellement la section 8 de l'Eurocode 2 "dispositions constructives relatives aux armatures de béton armé et de béton précontraint généralités" des parties 1-1 et 2. Ce chapitre analyse certaines des dispositions constructives exposées dans cette section 8. Il n'est pas exhaustif et il ne saurait dispenser de la lecture de l'Eurocode. Les paragraphes 1 à 6 sont consacrés aux barres isolées et le paragraphe 7 aux paquets de barres. Certains des sujets traités dans la section 8 de l'Eurocode 2 ne sont pas abordés dans ce chapitre. C'est notamment le cas des points suivants :
· · ·
Treillis soudés, Ancrage d'armatures au moyen de barres soudées, Précontrainte.
D'autres parties de l'Eurocode 2 présentent également des dispositions correspondant à des exigences minimales. Celles-ci sont abordées dans les chapitres correspondants du présent guide. Il est à noter que, conformément à la clause 8.1 de la partie 1-1 de l'Eurocode 2, la section 8 ne traite que des armatures de béton armé à haute adhérence, des treillis soudés et des armatures de précontrainte.
En ce qui concerne les armatures de béton armé de type "rond lisse", et en l'absence de nouveaux textes sur le sujet, il est loisible de conserver les dispositions constructives exposées dans le BAEL 99 et dans la norme NF A35-027 de janvier 2003.
Les armatures de béton armé utilisées doivent être conformes à la norme EN 10080.
1 - Distance libre entre armatures de béton armé
La distance libre minimale entre barres est la même horizontalement et verticalement.
eh, ev : distances libres horizontale et verticale respectivement Fig./Tab.1.(1) : Distances libres entre barres isolées
Ces distances libres doivent vérifier : avec
eh , ev emini = sup { ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
dg dimension du plus gros granulat et diamètre de la barre
NOQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2 - Diamètre admissible des mandrins de cintrage pour les barres pliées
2.1 - Généralités
Conformément à la clause [EC2-1-1 8.4.1(3)], les coudes et crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées. Ce chapitre s'applique à toutes les parties de barres tendues pliées par cintrage, que ce soit celles :
·
des coudes, crochets ou boucles des ancrages des armatures,
coude
crochet Fig./Tab.2.(1) : Ancrages des armatures
boucle
·
des coudes des armatures continues pliées (barres relevées et autres barres cintrées),
Fig./Tab.2.(2) : Coudes des armatures continues (barres relevées et autres barres cintrées)
·
des épingles, des étriers, et des cadres (y compris leurs ancrages).
Fig./Tab.2.(3) : Epingles, étriers et cadres
Le diamètre admissible des mandrins de cintrage dépend de deux critères : le non-endommagement des armatures et la non-rupture du béton.
NOR= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
2.2 - Critère de non-endommagement des armatures
La clause correspondante est en [EC2-1-1 8.3(2)] Dans le cas général des barres pliées par cintrage sans armature soudée, le diamètre minimal du mandrin de cintrage vis-à-vis du critère de non endommagement des armatures est donné par le tableau suivant : : Diamètre de la barre 16 mm > 16 mm m : Diamètre minimal du mandrin 4 7
Fig./Tab.2.(4) : Diamètre minimal de mandrin vis-à-vis du non-endommagement des armatures
2.3 - Critère de non-rupture du béton
La clause correspondante est en [EC2-1-1 8.3(3)]. Conformément à l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1, ce critère ne s'applique pas aux cadres, étriers et épingles.
·
Domaine d'emploi
Pour une barre de diamètre ce critère doit faire l'objet d'une vérification si l'une au moins des 3 conditions suivantes n'est pas remplie : - condition n°1 : L'ancrage nécessaire de la barre ne dépasse pas 5 au-delà de l'extrémité de la partie courbe - condition n°2 : La barre n'est pas disposée près d'une surface et il existe une barre transversale de diamètre supérieur ou égal à à l'intérieur de la partie courbe - condition n°3 : Le diamètre du mandrin est supérieur ou égal aux valeurs recommandées pour le critère de non-endommagement aux armatures.
·
Formule du critère de non-rupture du béton
1 1 1 Le diamètre du mandrin doit vérifier : m Fbt a + 2 × f , cd b avec Fbt l'effort de traction dans une barre dû aux charges ultimes à l'origine de la partie courbe. Fbt = × (fyk / S) × [ ( / 2)²], avec proportion de l'effort restant à ancrer à partir de l'origine de la partie courbe (la proportion (1 - ) de l'effort est déjà ancrée avant l'origine de la courbe) ab moitié de l'entraxe entre les barres (ou groupe) perpendiculairement au plan de courbure (si la barre (ou groupe) est proche des parements prendre l'enrobage majoré de / 2) fcd borné à la classe C 55/67.
L'attention est attiré sur le fait qu'en général pour une barre tendue ancrée par courbure une part de l'effort est déjà ancrée à l'origine de la partie courbe. La prise en compte de cet aspect permet de réduire sensiblement la valeur du rayon de mandrin admissible vis-à-vis du critère de non-rupture du béton.
NOS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.2.(5) : Origine de la partie courbe par rapport au début de l'ancrage pour une barre tendue
·
Application aux ancrages par courbure de barres tendues
Pour les ancrages par courbure de barre tendue, la condition de non-rupture du béton est généralement satisfaite avec un diamètre de mandrin m 10 .
Exemple, cas particulier classique : - entraxe 5 - enrobage 2 - fyk 500 MPa - 25 % des efforts sont déjà ancrés à l'origine de la partie courbe, - fck 35 MPa
1 1 1 m Fbt a + 2 f = {0,75 × (500 / 1,15) × [ (/2)²] } × {[2/(5) + 1/(2 )] × 1,5/35} 10 b cd
Le calcul a été fait dans le cas d'une situation non accidentelle avec C = 1,5 et S = 1,15, le cas accidentel étant ici moins défavorable du fait du rapport C/S qui vaut 1,2 en accidentel et 1,3 sinon. Plus précisément, pour les ancrages par crochet ou coude, le respect des prescriptions suivantes dispense de vérifier la condition de non-rupture du béton :
· · · ·
Enrobage Aciers de classe B500B Diamètre de mandrin : m = 10 Longueur d'ancrage en partie droite (avant l'origine de la courbe) supérieure aux valeurs indiquées dans le tableau ci-après.
Entraxe 2 3 4 5 6 Classe du béton C30/37 31 25 21 18 15 C35/45 25 19 15 11 8 C40/50 20 14 9 6 3 C45/55 16 10 5 0 C50/60 13 6 0 0 C55/67 10 3 0 0 0 C60/75 10 3 0 0 0
Fig./Tab.2.(6) : Longueur d'ancrage minimale nécessaire en partie droite
Cette longueur d'ancrage en partie droite est une longueur minimale à respecter et ne dispense pas du calcul de la longueur d'ancrage lbd qui peut donner une longueur d'ancrage en partie droite supérieure à la longueur minimale indiquée dans le tableau ci-dessus, notamment lorsque le calcul est effectué avec la longueur d'ancrage équivalente.
NOT= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
Exemple, pour un coude normal à 90°, 32 mm, béton de classe C35/45, entraxe = 2 et m = 10 (figure a). Avec 1 = 0,7 et les autres i égaux à 1, le calcul de la longueur d'ancrage lbd [Chapitre 8 -3] donne : lbd = 0,7 × lb,rqd = 0,7 × 46 = 32,2 , soit une longueur d'ancrage en partie droite de : lbd [5 + ( / 2) × (m / 2 + / 2)] = 18,6 . Dans ce cas, c'est la longueur d'ancrage minimale en partie droite 25 indiquée dans le tableau [Fig./Tab.2.(6)], nécessitée par la condition de non rupture du béton et le choix m = 10 , qui prévaut. Au contraire, pour un entraxe de 3 et un béton de classe C40/50 (figure b), le tableau [Fig./Tab.2.(6)] indique une longueur d'ancrage minimale en partie droite de 14 . C'est alors le calcul de la longueur d'ancrage lbd, qui donne une longueur d'ancrage en partie droite de 15,8 , qui prévaut.
Figure a
Figure b
Cependant, suivant les conditions d'entraxe et la classe du béton, des diamètres de mandrin inférieurs à 10 peuvent être obtenus en vérifiant le critère de non-rupture du béton.
·
Application aux coudes des armatures continues
Pour les déviations par coudes d'armatures continues (barres relevées et autres barres cintrées), la condition de non-rupture du béton est le plus souvent satisfaite (pour les bétons de classe C35/45 ou supérieure) avec un diamètre de mandrin m 15 .
Entraxe 2 3 4 5 6 Classe du béton C35/45 22 17 15 13 12 C40/50 19 15 13 12 11 C45/55 17 13 11 10 9 C50/60 15 12 10 9 9 C55/67 14 11 9 8 8 C60/75 13 10 9 8 7
Fig./Tab.2.(7) : Diamètre minimal du mandrin, pour des aciers de classe B500B ou inférieure, en fonction du diamètre de la barre, pour des coudes d'armatures continues
Le calcul est ici effectué comme dans l'exemple précédent mais en considérant 100% de l'effort.
NOU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3 - Ancrage des armatures longitudinales
3.1 - Définitions
La clause [EC2-1-1 8.4] fait intervenir 5 types de longueur d'ancrage.
lb lb,rqd
longueur d'ancrage de référence
C'est la longueur nécessaire pour ancrer un effort donné par scellement droit pour une barre isolée.
longueur d'ancrage de référence requise
C'est la longueur nécessaire pour ancrer l'effort As sd par scellement droit pour une barre isolée en supposant que la contrainte d'adhérence est constante et égale à fbd. (avec sd contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle l'ancrage est mesuré)
lbd lb,min lb,eq
longueur d'ancrage de calcul
C'est la longueur d'ancrage pour une barre en tenant compte de sa forme et de son environnement.
longueur d'ancrage minimale en l'absence de toute autre limitation longueur d'ancrage équivalente
C'est une formule simplifiée pour lbd dans des cas courants. Dans le cas d'ancrages courbes elle permet notamment de calculer la longueur d'ancrage sans prendre en compte le diamètre de mandrin utilisé.
3.2 - Principe
Le principe de la détermination d'une longueur d'ancrage comprend deux étapes :
1 - détermination de lb,rqd la longueur d'ancrage de référence requise (dans l'hypothèse d'un scellement droit) pour ancrer l'effort de calcul. Il est à noter que cet effort de calcul n'est pas forcément égal à l'effort maximal admissible pour la barre pour la situation correspondante. 2 - détermination de lbd la longueur d'ancrage de calcul qui tient compte de la forme et de l'environnement de la barre. Il est à noter que cette longueur de calcul est inférieure à lb,rqd et qu'elle est déduite de celle-ci via l'application de coefficients minorateurs.
·
Cas des barres comprimées : Les coudes et crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées [EC2-1-1 8.4.1(3)]. Il est loisible de mesurer la longueur d'ancrage comme indiqué sur le schéma suivant :
Fig./Tab.3.(1) : Ancrage courbe d'une barre comprimée
NOV= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
·
Cas des barres tendues :
cas d'un ancrage par boucle normale (boucle pour laquelle les efforts de traction sont identiques dans les cas d'un ancrage par coude deux brins, boucle "à plat" par exemple) Les longueurs d'ancrage de référence lb et de calcul lbd sont mesurées le long de l'axe quelle que soit la forme du tracé. Fig./Tab.3.(2) : lb et lbd dans le cas d'un ancrage par courbure
Afin de ne pas multiplier inutilement les calculs de longueurs d'ancrage, il est loisible de retenir le même effort à ancrer pour tous les aciers d'un diamètre et d'une nuance donnés : l'effort donnant la longueur d'ancrage maximale soit As sd = As fyk / S. Il convient alors de faire le calcul dans le cas d'une situation non accidentelle avec C = 1,5 et S = 1,15, le cas accidentel étant moins défavorable du fait du rapport C / S qui vaut 1,2 en accidentel et 1,3 sinon. Cependant un calcul précis prenant en compte la valeur exacte de l'effort de calcul, peut être effectué par exemple pour justifier un acier particulier ou les aciers d'un ouvrage existant.
Une détermination par une approche simplifiée (longueur d'ancrage équivalente) est également possible dans certains cas.
3.3 - Détermination de la longueur d'ancrage de référence "requise"
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.4.3].
3.3.1 - Contrainte ultime d'adhérence
La détermination de la longueur d'ancrage de référence requise nécessite le calcul préalable de la "contrainte ultime d'adhérence" [EC2-1-1 8.4.2]. Celle-ci, notée fbd, doit être suffisante pour éviter une rupture d'adhérence. fbd = 2,25 1 2 fctd , avec : 2 paramètre lié au diamètre de la barre. 2 = (132-) / 100 pour > 32 mm, 1 sinon fctd résistance de calcul en traction du béton fctd = ct fctk,0,05 / C , plafonnée à la valeur correspondant à la classe C60/75. Le coefficient ct est défini au [EC2-1-1 3.1.6] , ct = 1. paramètre dépendant des conditions d'adhérence et de la position des barres au cours du bétonnage. Il 1 prend les valeurs suivantes :
·
1 = 1,0 lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, c'est-à-dire : - pour toutes les barres dont l'inclinaison de l'ancrage avec l'horizontale est comprise entre 45° et 90°, pendant la phase de bétonnage [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(3)] ; - pour les barres dont l'inclinaison de l'ancrage avec l'horizontale est comprise entre 0 et 45° et qui pendant la phase de bétonnage sont situées à une distance inférieure à 250 mm depuis la fibre inférieure de la section ou, pour les dalles d'épaisseur supérieure à 600 mm, à une distance supérieure à 300 mm depuis la fibre supérieure de la section [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(4)] ;
NPM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
1 = 0,7 dans tous les autres cas.
Fig./Tab.3.(3) : Barres inclinées avec l'horizontale d'un angle compris entre 45° et 90°. Bonnes conditions d'adhérence
Fig./Tab.3.(4) : Conditions d'adhérence pour les barres inclinées d'un angle compris entre 0 et 45° avec l'horizontale
fck / fck
cube
25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67 60/75 70/85 2,69 2,48 1,89 1,73 3,04 2,80 2,13 1,96 3,37 3,10 2,36 2,17 3,68 3,39 2,58 2,37 3,99 3,67 2,79 2,57 4,28 3,93 2,99 2,75 4,43 4,07 3,1 2,85 4,57 4,21 3,2 2,94 4,57 4,21 3,2 2,94
Conditions 32mm d'adhérence "bonnes" = 40mm Conditions 32mm d'adhérence "médiocres" =40mm
Fig./Tab.3.(5) : Valeurs de la contrainte ultime d'adhérence (en MPa), en fonction de la résistance du béton (en MPa), du diamètre des barres et des conditions d'adhérence
Comme indiqué ci-avant, le tableau a été établi dans le cas d'une situation non accidentelle avec
C = 1,5 et S = 1,15
(rappel : fctd = ct fctk,0,05 / C)
Exemple : fck = 35 MPa, bonnes conditions d'adhérence, 32 mm, fctk,0,05 = 2,247 MPa fbd = 2,25 1 2 fctd = 2,25 × 1 × 1 × 1 × 2,247 / 1,5 = 3,37 MPa
NPN= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
3.3.2 - Longueur d'ancrage de référence "requise"
La contrainte ultime d'adhérence ayant ainsi été déterminée, la longueur d'ancrage de référence "requise" peut alors être calculée par la formule : l b ,rqd = × sd 4 f bd (avec sd contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle l'ancrage est mesuré). Le tableau ci-dessous donne la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer la totalité de l'effort de calcul que peut reprendre la barre et non plus l'effort particulier auquel elle est soumise. Comme expliqué précédemment, la valeur de contrainte de calcul retenue est sd = fyk / S.
fck / fck cube barre (mm) 32 mm =40 mm
25/30
30/37
35/45
40/50
45/55
50/60
55/67
60/75
70/85
40 44
36 39
32 35
30 32
27 30
25 28
25 27
24 26
24 26
Fig./Tab.3.(6) : Valeurs de la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer fyk / S , exprimée en fonction du diamètre de la barre, pour des aciers B500B et dans des conditions d'adhérence "bonnes"
Exemple : fck = 35 MPa, fyk = 500 MPa, bonnes conditions d'adhérence, = 20 mm, fbd = 3,37 MPa
l b,rqd = × sd 4 f bd
= (500 / 1,15) / (3,37 × 4) = 32,25 = 645 mm
Pour des conditions d'adhérence "médiocres", la valeur du tableau est divisée par 0,7. On obtient alors, en exprimant la longueur d'ancrage de référence nécessaire en fonction du diamètre de la barre :
fck / fck cube barre (mm) 32 mm =40 mm 25/30 58 63 30/37 51 55 35/45 46 50 40/50 42 46 45/55 39 42 50/60 36 39 55/67 35 38 60/75 34 37 70/85 34 37
Fig./Tab.3.(7) : Valeurs de la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer fyk / S, exprimée en fonction du diamètre de la barre, pour des aciers B500B et dans des conditions d'adhérence "médiocres"
3.4 - Longueur d'ancrage de calcul
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.4.4]. La longueur d'ancrage de calcul est définie par : lbd = max { 1 2 3 4 5 lb,rqd ; lb,min } 1 : tient compte de l'effet de forme des barres, l'enrobage étant supposé correct 2 : tient compte de l'effet de l'enrobage minimal 3 : tient compte de l'effet de confinement des armatures transversales 4 : tient compte de l'effet de une ou plusieurs barres transversales soudées le long de lbd 5 : tient compte de l'effet de la pression orthogonale au plan de fendage le long de lbd Le produit 235 est borné inférieurement à 0,7. En l'absence des dispositions constructives définies dans le tableau [EC2-1-1 Tabl.8.2] et qui permettent le cas échéant une réduction de la longueur d'ancrage, les coefficients 3, 4 et 5 doivent évidemment être pris égaux à 1. Pour les barres tendues : Pour les barres comprimées : lb,min > max { 0,3 lb,rqd ; 10 ; 100 mm } lb,min > max { 0,6 lb,rqd ; 10 ; 100 mm }
NPO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En prenant les valeurs minimales 1=4=(235)=0,7, il s'ensuit lbd= 0,34 lb,rqd. Il est donc impossible d'avoir lbd < 0,3 lb,rqd pour les barres tendues. De même pour les barres comprimées, avec 4=0,7 il découle lbd = 0,7 lb,rqd ; il est donc impossible d'avoir lbd < 0,6 lb,rqd.
Tous ces coefficients étant inférieurs ou égaux à 1, il résulte du tableau ci-dessus donnant les longueurs d'ancrage de référence nécessaires pour ancrer fyk / S que :
pour les qualités de béton généralement utilisées pour les ouvrages d'art, la longueur d'ancrage de calcul d'une barre tendue en acier B500B par scellement droit est inférieure ou égale à 50 . Cette valeur de 50 est valable pour des conditions d'adhérence médiocres [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(7)]. Si cette valeur est utilisée comme longueur d'ancrage, il n'est alors pas nécessaire de vérifier dans quelles conditions d'adhérence se trouve la barre.
Pour certaines configurations, une simplification consiste à considérer que l'ancrage des barres tendues est assuré moyennant la prise en compte de longueurs d'ancrage équivalentes. Pour les coudes "normaux", crochets "normaux" et les boucles "normales", les longueurs d'ancrage équivalentes lb,eq sont définies comme indiqué ci-après.
Fig./Tab.3.(8) : Longueurs d'ancrage équivalentes pour les coudes et crochets normaux et les boucles normales
Les dessins définissent également les notions de coude "normal", crochet "normal" et boucle "normale", boucle pour laquelle les efforts sont identiques pour les deux extrémités. lb,eq = 1 lb,rqd
- pour les armatures tendues, avec cd > 3 : - pour les armatures tendues, avec cd 3 :
l b ,eq = 0,7 l b , rqd l b ,eq = l b ,rqd
a cd = c c d = min ; c1 2 pour les coudes ou crochets pour les boucles Fig./Tab.3.(9) : Valeurs de cd en fonction du type d'ancrage
NPP= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
La méthode simplifiée proposée par l'Eurocode 2 partie 1-1 ne présente pas d'intérêt pour les coudes et crochets. Elle augmente la longueur d'acier par rapport à un calcul pessimiste immédiat où l'on retient 1 pour les coefficients 2 à 5 et où l'on a donc : lbd = 1 lb,rqd . Par exemple, pour un HA16 avec R = 5 , le supplément de longueur d'acier vaut : - pour un coude normal à 90° : 0,57 R + 4,8 , soit 12 cm environ, - pour un crochet normal à 180° : 2,14 R + 5,6 , soit 26 cm environ. Pour les boucles normales, l'écart entre les deux méthodes est minime.
Fig./Tab.3.(10) : Comparaison entre formule simplifiée et application pessimiste de la formule générale
3.5 - Cas particulier
Il est possible d'utiliser plusieurs types d'ancrage (rectilignes et par courbure). Cette disposition est par exemple classique dans les semelles de fondation.
Fig./Tab.3.(11) : Cas particulier
NPQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.5]. Les ancrages des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales (cadres, épingles et étriers) sont réalisés au moyen de coudes ou de crochets (ou à l'aide d'armatures transversales soudées) en prévoyant une barre à l'intérieur du crochet ou du coude et en respectant les dispositions de la figure suivante. Il est à noter que ces dispositions sont différentes de celles des crochets ou coudes "normaux" des armatures longitudinales.
cas de l'ancrage par coude (rappel : pour les coudes 90° < 150°)
cas de l'ancrage par crochet
(rappel : pour les crochets 150°) Fig./Tab.4.(1) : Ancrages des armatures transversales par coude ou crochet
5 - Recouvrement
5.1 - Généralités
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.1]. La transmission des efforts d'une barre à une autre peut s'effectuer par :
· · ·
recouvrement ; soudage ; organe mécanique (manchon).
Le présent paragraphe ne concerne que la transmission des efforts par recouvrement.
5.2 - Longueur de recouvrement l0
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.3].
·
Cas des recouvrements rectilignes
si c sup { 4 , 50mm } si c > sup { 4 , 50mm }
l0 = sup {6 lbd ; l0,min } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } + c
c : la distance libre entre les deux barres du recouvrement
NPR= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
Fig./Tab.5.(1) : Distance libre entre barres d'un recouvrement
l0,min = max { 0,3 6 lb,rqd ; 15 ; 200mm }
Il est impossible que 0,3 6 lb,rqd soit supérieur à 6 lbd [Chapitre 8 -3.4].
6 est un coefficient de sécurité qui prend en compte la simultanéité de plusieurs recouvrements concernant une section donnée. 6 = (1/25)0,5 avec 1 proportion de barres avec recouvrement dont l'axe se situe à moins de 0,65 l0 de l'axe du recouvrement considéré. 6 varie de 1 à 1,5.
1 6
·
< 25% 1
33% 1,15
50% 1,4
> 50% 1,5
Cas des recouvrements avec courbures
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne précise pas les dispositions à retenir dans le cas des recouvrements à courbure. A défaut de justifications plus précises, il est loisible de retenir la disposition suivante : la longueur l0 se mesure en partie droite conformément au dessin ci-dessous, et non pas depuis l'origine de la barre.
Pour un recouvrement rectiligne, il y aurait l0 = 6 lb,rqd ; pour un recouvrement avec courbures, la formule simplifiée donne l0 = 6×1×lb,rqd. Fig./Tab.5.(2) : Longueur l0 pour des recouvrements avec courbures
Fig./Tab.5.(3) : Longueur l0 pour un recouvrement avec crochets normaux
Exemple de calcul de longueur de recouvrement - cas d'un crochet normal à 180° avec cd >3, 1=0,7, 2×3×5=0,7 et 6=1,4 (50 % de recouvrements pour la section considérée). Comme précédemment, la contrainte de calcul prise est sd = fyk / S, et la situation durable est considérée. f yk s sd f yk 1,5 f yk l b ,rqd = = = = 0,58 f ctk ;0, 05 4 f ctk ;0, 05 2,25 × 1,15 × 1 × 1 × 1 4 f bd 4 4 f ctk ;0,05 2,251 2 ct c
l 0 = 0,7 × 0,7 × 1,4 × l b,rqd = 0,7 × 0,7 × 1,4 × 0,58
f yk f yk = 0,4 4 f ctk;0,05 4 f ctk;0,05
Les "boucles normales" ne sont pas utilisées pour les recouvrements. En particulier, les boucles d'extrémité d'éléments préfabriqués ne sont pas des "boucles normales".
NPS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Cas des recouvrements de barres comprimées
Dans le cas de recouvrements de barres comprimées, le coefficient 1 étant égal à 1 quelle que soit la forme de l'ancrage des barres se recouvrant, la longueur de recouvrement est égale à celle d'un recouvrement rectiligne. L'utilisation d'ancrages courbes demande donc plus de matière (pour les ancrages [Chapitre 8-Fig./Tab.5.(2)] avec une longueur de recouvrement équivalente à celle d'un recouvrement rectiligne.
La jonction de barres comprimées par barres rectilignes est conseillée. Dans ce cas il est rappelé qu'il convient de prendre des dispositions pour assurer la sécurité du personnel. Dans le cas d'utilisation de barres courbes, pour les barres courbes de diamètre moyen ou important, la poussée au vide en fin de courbe peut être importante, et justifie la non-prise en compte de la partie courbe pour le recouvrement.
5.3 - Espacements longitudinaux des recouvrements
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.2] et [EC2-1-1 8.7.3]. Les dispositions sont représentées ci-après pour les cas les plus courants et résultent de la synthèse des conditions données par les clauses précitées :
a) 33 % de recouvrements dans une section
dans ce cas 6 = 1,15 et les recouvrements voisins doivent être espacés au moins de 0,3 l0, soit 1,3 l0 entre axes.
Fig./Tab.5.(4) Cas avec 33% de recouvrements dans une section
NPT= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
b) 50 % de recouvrements dans une section
dans ce cas 6 = 1,4 et les recouvrements voisins doivent être espacés au moins de 0,3 l0, [EC2-1-1 8.7.2(3)] alinéa 2, soit 1,3 l0 entre axes.
Fig./Tab.5.(5) : Cas avec 50% de recouvrements dans une section
c) 100 % de recouvrements dans une section
Ce cas ne peut s'appliquer que dans les conditions suivantes :
· · ·
barres comprimées, armatures secondaires (de répartition), barres tendues et disposées sur un seul lit.
Ceci est cohérent avec les dispositions du paragraphe 4.7 "armatures longitudinales" du guide du Sétra "Ponts en béton précontraint construits par encorbellements successifs" de juin 2003.
Dans ce cas 6 = 1,5 mais la règle de l'espacement des recouvrements voisins de 0,3 l0, soit 1,3 l0 entre axes, ne peut évidemment pas être respectée.
Le retour à la source des dispositions de l'Eurocode 2 [CEB-FIB Model Code 1990] fait apparaître que la règle en question doit être interprétée comme visant à augmenter l'espacement prévu entre deux recouvrements voisins quand on veut ne pas les considérer comme affectant la même section. Ainsi les deux schémas ci-dessous représentent la même situation d'une section dans laquelle il est prévu 100% de recouvrement. Le premier schéma étant meilleur du point de vue du fonctionnement.
NPU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.5.(6) Cas avec 100% de recouvrements dans une section
5.4 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.4.1]. Trois niveaux d'exigence croissants sont retenus pour les armatures transversales en fonction de l'agressivité des recouvrements considérés.
1er cas < 20 mm ou 1 < 25% Les aciers transversaux nécessaires prévus par ailleurs sont considérés comme suffisants. Ils peuvent ne pas être situés en premier lit. 2ème cas autres configurations 3ème cas 20 mm et 1 > 50% et a 10
A st
As
A st
As
il convient de placer des aciers transversaux en premier lit et perpendiculaires à la direction du recouvrement.
les armatures transversales utilisées doivent être des cadres, étriers ou épingles, et perpendiculaires à la direction du recouvrement.
avec
Ast section des armatures transversales et As section d'une des barres du recouvrement 1 voir définition ci-avant [Chapitre 8 -5.2]
NPV= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
En général le cas 1 > 50% correspond à 1 = 100%, dans ce cas "a" est la distance entre les recouvrements de deux barres voisines comme représenté sur la figure ci-avant [Fig./Tab.5.(6)]. Dans les deux derniers cas, il convient de répartir les armatures conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.5.(7) : Dispositions des armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
Il est également envisageable de répartir les armatures transversales uniformément le long du recouvrement, conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.5.(8) : Autre disposition possible des armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
5.5 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres comprimées
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.4.2]. Les mêmes règles que pour les barres tendues s'appliquent, avec une disposition supplémentaire : ajouter de chaque côté du recouvrement une barre transversale placée à une distance inférieure à 4 de l'extrémité du recouvrement.
Fig./Tab.5.(9) : Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres comprimées
Comme pour les barres tendues, il est possible de répartir les armatures transversales uniformément sur la longueur de recouvrement, mais toujours avec les deux barres supplémentaires placées de part et d'autre du recouvrement. Ces deux barres supplémentaires ont pour but de s'opposer à l'éclatement du béton comprimé au contact de la tranche d'extrémité de la barre.
NQM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6 - Barres de gros diamètre
Les règles supplémentaires de la clause [EC2-1-1 8.8] relative aux barres de gros diamètre s'appliquent aux barres de diamètre > large. La valeur à utiliser est celle indiquée dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1, à savoir large = 40 mm.
7 - Paquets de barres
7.1 - Généralités
Les barres peuvent être regroupées par paquets. Les aciers doivent être de même type et de même nuance, éventuellement de diamètres différents sous réserve que le rapport des diamètres n'excède pas 1,7. Sauf indication contraire les règles pour les barres individuelles s'appliquent également aux paquets de barres. Le nombre de barres d'un paquet est limité à 3, sauf pour les cas des barres verticales comprimées et des barres à l'intérieur d'une jonction par recouvrement pour lesquels 4 barres peuvent être groupées au maximum. Les armatures doivent être disposées de façon compacte afin d'opposer le minimum de gêne à la mise en place du béton. Dans le cas particulier d'un paquet de deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, le paquet est traité comme une barre individuelle.
Fig./Tab.7.(1) : Disposition correcte dans le cas d'un paquet de 3 aciers identiques
7.2 - Diamètre équivalent du paquet
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.1]. Soit nb le nombre de barres du paquet, limité à 3 ou 4 selon les cas. Le diamètre équivalent n de la barre fictive (même section et même centre de gravité que le paquet) vaut :
· ·
cas où les barres ont toutes le même diamètre : cas de plusieurs diamètres de barres :
n = n b 55mm n = 1 ² + ... + n b ² 55mm
NQN= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
7.3 - Distance libre entre paquets de barres
La distance libre minimale entre les paquets de barres est mesurée à partir du contour extérieur effectif du paquet.
Fig./Tab.7.(2) : Distances libres entre paquets de barres
Ces distances doivent vérifier : avec
eh , ev emini = sup { n ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
dg dimension du plus gros granulat et n diamètre équivalent du paquet de barres.
Dans le cas particulier d'un paquet de deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, le paquet est traité comme une barre individuelle, d'où les dispositions suivantes :
Fig./Tab.7.(3) : Distance libre entre paquets de deux barres et barres individuelles
Ces distances libres doivent vérifier :
eh , ev emini = sup { ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
7.4 - Ancrage des paquets de barres
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.2].
·
Ancrage des paquets de barres tendues
- 1er cas : si les barres présentent des décalages longitudinaux importants comme indiqués sur les schémas suivants (où lb,rqd est calculé avec ), le diamètre d'une barre individuelle est utilisé pour calculer lbd.
Fig./Tab.7.(4) : Ancrage d'un paquet de deux barres tendues avec un décalage important
NQO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.7.(5) : Ancrage d'un paquet de trois barres tendues avec un décalage important
Cas particulier d'un ancrage droit du paquet de barres avec, pour une barre isolée, lbd () = lb,rqd () - paquet de deux barres : la longueur d'ancrage du paquet est : lpaquet 2,3 lbd () - paquet de trois barres : lpaquet 3,6 lbd () - 2ème cas : le diamètre équivalent n est utilisé pour calculer lbd : lbd (n) = n lbd ().
Le paragraphe correspondant de l'Eurocode 2 partie 1-1 est incomplet. Il est loisible de retenir un décalage minimum des barres comme indiqué sur les dessins ci-dessous.
avec 2 diamètre équivalent du paquet de deux barres, 2 =
2
Fig./Tab.7.(6) : Ancrage d'un paquet de deux barres tendues
avec 3 diamètre équivalent du paquet de trois barres, 3 =
3
Fig./Tab.7.(7) : Ancrage d'un paquet de trois barres tendues
Cas particulier d'un ancrage droit du paquet de barres avec, pour une barre isolée, lbd () = lb,rqd - paquet de deux barres : lpaquet = 1,3 lbd (2) = 1,3 × 1,41 × lbd () = 1,83 lbd - paquet de trois barres : lpaquet = 1,6 lbd (3) = 1,6 × 1,73 × lbd () = 2,77 lbd - Cas particulier : n < 32 mm et barres au voisinage d'un appui : pas d'obligation de décaler les barres.
Fig./Tab.7.(8) : Ancrage de paquet de barres tendues au voisinage d'un appui pour n < 32mm
NQP= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
·
Ancrage des paquets de barres comprimées
- le décalage des arrêts des barres n'est pas nécessaire - si n 32 mm, des cours d'armatures transversales sont disposés conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.7.(9) : Ancrage d'un paquet de barres comprimées de diamètre équivalent 32mm
7.5 - Recouvrement des paquets de barres
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.3]. Soit c la distance libre entre les deux paquets du recouvrement mesurée à partir du contour extérieur effectif du paquet : - si c sup { 4n , 50mm } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } - si c > sup { 4n , 50mm } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } + c avec lbd calculé avec le diamètre équivalent n. · Cas des paquets de deux barres, avec n < 32 mm : il n'est pas nécessaire de décaler les barres pour le recouvrement. La longueur de recouvrement l0 est calculée avec le diamètre équivalent n.
Fig./Tab.7.(10) : Recouvrement d'un paquet de 2 barres de diamètre équivalent n < 32mm
On applique les mêmes dispositions d'armatures transversales en zone de recouvrement que celles définies pour les barres individuelles ([Chapitre 8 -5.4], en remplaçant par n).
·
Cas d'un paquet de deux barres avec n 32 mm ou d'un paquet de trois barres : les arrêts de barres doivent être décalés longitudinalement d'au moins 1,3 l0, où l0 est calculé avec . Il est possible d'utiliser une barre supplémentaire de recouvrement, sans toutefois dépasser 4 barres dans une section de recouvrement.
Fig./Tab.7.(11) : Recouvrement d'un paquet de 3 barres tendues, avec une 4ème barre de recouvrement
NQQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 9 Dispositions constructives relatives aux éléments
Les dispositions constructives concernent le ferraillage minimal ainsi que les dispositions à prendre pour les ferraillages [EC2-1-1 Sect.9].
1 - Ferraillage minimal de flexion
La valeur du ferraillage minimal à mettre en place est définie en [EC2-1-1 9.2.1.1] pour les poutres en béton armé et en [EC2-1-1 9.3.1.1] pour les dalles en béton armé. Pour les structures précontraintes, le ferraillage minimal est donné par l'annexe nationale qui demande de disposer le ferraillage minimal requis par le [EC2-1-1 7.3.2]. Un exemple d'application numérique est donné en [Annexe VII-1.5].
2 - Ferraillage de peau
Le ferraillage de peau est traité à deux endroits dans l'Eurocode 2 : [EC2-1-1 7.3.3(3)] et [EC2-2/AN 9.1(103)]. La clause [EC2-1-1 7.3.3(3)] permet de calculer le ferraillage de peau à prévoir sur les joues des poutres de grande hauteur (h > 1,0 m), en zone tendue uniquement, lorsque le ferraillage principal est concentré sur une portion de la hauteur seulement. Pour une poutre rectangulaire en flexion simple, de largeur b et de hauteur tendue ht , la valeur de ce ferraillage est donnée par : As,peau = kc×k×fct,eff×Act/fyk = 0,4×0,5×fctm×b×ht / fyk La clause [EC2-2/AN 9.1(103)] traite de façon plus générale le ferraillage de peau à prévoir sur les joues des poutres, à la fois en zone tendue et comprimée, parallèlement et perpendiculairement à la section transversale.
Ce ferraillage de peau ne se cumule pas aux autres aciers calculés.
Application numérique à une poutre rectangulaire de hauteur supérieure à 1,0 m, de 30 cm d'épaisseur d'âme, avec un béton C30/37 et des aciers passifs fyk = 500 MPa : Selon la clause [EC2-1-1 7.3.3(3)], la quantité d'acier de peau à disposer, sur les joues des poutres, en zone tendue, est égale à : As,peau = 0,4 × 0,5 × 2,9 × 0,30 × 1,0 / 500 = 3,50 cm² Soit une quantité de 1,75 cm²/m de parement. Exprimé en terme de pourcentage de la section tendue, cette valeur est égale à : = kc × k × fct,eff / fyk = 0,4 × 0,5 × 2,9 / 500 = 0,12 % Selon [EC2-2/AN 9.1(103)], le ferraillage de peau à mettre en place sur tout le pourtour de la poutre est égal à 3 cm²/m pour les classes d'expositions courantes (XC4), ou 5cm²/m en environnement agressif (XD, XS).
On constate sur l'application numérique que le calcul selon [EC2-1-1 7.3.3(3)] donne une valeur inférieure au minimum de 3 cm²/m donné en [EC2-2/AN 9.1(103)]. Dans les cas courants, il est possible de se dispenser du calcul de [EC2-1-1 7.3.3(3)] et utiliser directement les valeurs forfaitaires de la section 9.
NQS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3 - Ferraillage d'effort tranchant
3.1 - Section minimale d'armatures de tranchant
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 9.2.2].
3.1.1 - Cas des poutres
Un ferraillage transversal minimal est à prévoir même dans le cas d'éléments ne nécessitant pas d'armature d'effort tranchant. Le taux d'armature d'effort tranchant est donné par les expressions : w = Asw / (s × bw × sin ) w,min = (0,08 f ck ) / f yk
· · · · ·
[EC2-1-1 Expr.(9.4)]
avec une valeur minimale recommandée confirmée par l'annexe nationale : [EC2-1-1 Expr.(9.5N)]
w s bw
est le taux d'armatures d'effort tranchant est l'espacement des armatures d'effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l'élément est la largeur de l'âme de l'élément est l'angle entre les armatures d'effort tranchant et l'axe longitudinal [EC2-1-1 9.2.2(1)].
Par rapport aux pratiques antérieures l'expression (9.5N) [EC2-1-1 9.2.2(5)] conduit à moins d'acier pour des bétons de faibles résistances caractéristiques et à plus d'acier pour des résistances caractéristiques plus élevées.
12.0cm2/m 10.0cm2/m 8.0cm2/m 6.0cm2/m 4.0cm2/m
Asw est l'aire de la section des armatures d'effort tranchant régnant sur la longueur s
EC2 Asw/(s.bw)=0.08*racine(fck)/fyk*10000=
2.0cm2/m
BPEL At/(st.bn)=0.4*gs/fyk*10000=
0.0cm2/m 25 30 35 40 45 50
Fig./Tab.3.(1) : Variation du ratio minimal d'armatures de cisaillement avec la résistance caractéristique du béton
3.1.2 - Cas des dalles
Le taux du ferraillage minimum transversal et sa valeur minimale prévus ci-dessus pour les poutres s'appliquent également pour les dalles. Cependant les dalles qui bénéficient d'une redistribution transversale des charges en sont dispensées. [EC2-1-1 6.2.1(4) et 9.3.2]. Si des armatures de tranchant sont nécessaires la dalle doit avoir au moins 200 mm d'épaisseur. Les dalles de hourdis de pont entrent dans la catégorie des dalles permettant une redistribution transversale des charges. A ce titre, elles peuvent ne pas comporter d'armatures de tranchant, sauf si les efforts qui leur sont appliqués l'imposent [Chapitre 6 -2.2.1].
NQT= Chapitre 9 - Dispositions constructives relatives aux éléments
Toutefois, l'Eurocode 2 [EC2-1-1 9.3.1.4] demande de prévoir des armatures longitudinales et transversales de construction le long des bords libres telles que schématisées sur la figure ci-dessous Pour les dalles d'épaisseur courante (entre 20 et 35cm) et des bétons de fck 50 MPa, une section de 2cm²/m, soit 4 U HA8 permet de couvrir la condition de ferraillage minimal près des bords.
Fig./Tab.3.(2) : Principe d'armatures d'un bord libre de dalle
3.2 - Dispositions pour les armatures de tranchant
Les principales dispositions constructives des armatures d'effort tranchant sont représentées sur la figure ciaprès [EC2-1-1 9.2.2]. L'Eurocode 2 partie 2 recommande de ne pas utiliser les cadres et étriers ouverts. Une combinaison de cadres et de barres relevées est autorisée. L'inclinaison des armatures d'effort tranchant doit respecter la condition suivante : 45° 90°. Cependant au moins 50% des aciers d'effort tranchant doivent être sous forme de cadres et d'étriers (c'est une valeur recommandée reprise par l'annexe nationale).
Fig./Tab.3.(3) : Exemple d'armatures d'effort tranchant
Pour les poutres, de hauteur utile d, les espacements maximaux des cours d'armatures d'effort tranchant sont limités à : Sens longitudinal Sens transversal sl,max= 0,75 d (1+cot) st,max= 0,75 d 600mm [EC2-1-1 Expr.(9.6N)] [EC2-1-1 Expr.(9.8N)]
Pour les dalles, l'espacement maximal dans le sens longitudinal garde la même expression et l'espacement maximal transversal est modifié et limité à : Sens transversal st,max 1,5 d ( = /2) avec = angle d'inclinaison des armatures sur la fibre moyenne
Pour le cas de barres relevées qui sont moins utilisées en pratique, il faut se référer au texte de l'Eurocode 2.
NQU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Ferraillage de torsion
Les dispositions constructives des armatures de torsion sont données en [EC2-1-1 9.2.3] et sont représentées sur la figure ci-après. Les cadres doivent être ancrés au moyen de recouvrements et/ou crochets et être perpendiculaires à l'axe de la poutre. Les espacements maximums des cours d'armatures transversales de torsion sont limités à : Sens longitudinal sl,max = min (0,75 d ; U/8 ; plus petite dimension de la section) Les espacements maximum des armatures longitudinales de torsion sont limités à 350mm avec au moins une barre à chaque angle.
Les règlements antérieurs ne prévoyaient pas de spécifications particulières sauf pour les armatures longitudinales qui devaient être regroupées dans les angles.
a) configurations recommandées b) configuration non recommandée Fig./Tab.4.(1) : Exemples d'armatures de torsion
NQV= Chapitre 9 - Dispositions constructives relatives aux éléments
NRM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 10 Prescriptions et justifications particulières
1 - Effort tranchant
1.1 - Effet Résal
Dans les sections de hauteur variable en T ou en caisson comportant des membrures, la variation d'effort tranchant due à l'effet Résal doit être prise en compte. Elle est calculée à partir de :
· ·
Vccd : valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de compression, dans le cas d'une membrure comprimée inclinée ; Vtd : valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de traction dans l'armature tendue, dans le cas d'une membrure tendue inclinée.
La figure ci-dessous précise les conventions de signe [EC2-1-1 Fig.6.2] :
Fig./Tab.1.(1) : Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable
L'effort tranchant à prendre en compte [EC2-1-1 6.2.1(6)], avec prise en compte de la variation due à l'effet Résal est : VEd - Vccd - Vtd .
L'Eurocode 2 place l'effet Résal ici du côté des efforts sollicitants, mais le met aussi du côté des efforts résistants comme dans l'expression suivante :VEd < VRd = VRd,s + Vccd + Vtd [EC2-1-1 6.2.1(2)], [EC2-1-1 6.2.1(5)] Les deux manières sont équivalentes. Les règlements antérieurs privilégiaient la seconde. Une présentation plus habituelle de la règle, appliquée aux caissons est comme suit : A proximité d'un appui intermédiaire, la section est soumise à un moment M et un effort tranchant VEd négatifs. Le hourdis inférieur est fortement comprimée alors que le hourdis supérieur est peu comprimé, voire tendu. Dans le cas où le hourdis supérieur reste comprimé, la variation d'effort tranchant de l'effet Résal peut se calculer comme indiqué sur le schéma suivant.
NRO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.1.(2) : Effet Résal hourdis supérieur comprimé
Ns est la résultante des contraintes normales du hourdis supérieur (Ns >0 pour une compression). Dans le cas de traction c'est la somme des efforts de traction des aciers du hourdis . s est l'angle d'inclinaison de la fibre moyenne par rapport au hourdis supérieur. Ni et i sont les valeurs correspondantes pour le hourdis inférieur.
La variation due à l'effet Résal est égale à : VRésal = - Vcc,s - Vcc,i = - Ns.sin(s) + Ni.sin(i) Avec Ni > Ns et s i , la variation VRésal est positive. L'effort VEd étant négatif, l'effet Résal est dans ce cas favorable puisqu'il réduit l'effort tranchant (en valeur absolue).
Fig./Tab.1.(3) : Effet Résal - zones de membrures à prendre en compte
La prise en compte de l'effet Résal est a priori favorable car susceptible de réduire l'effort tranchant général, pour les sections près des appuis intermédiaires. Par contre lorsque l'on se rapproche de la mi-travée, le hourdis supérieur devient très comprimé, le hourdis inférieur tendu et l'effet Résal accroît l'effort tranchant général. La seule différence avec les pratiques antérieures vient du fait qu'on ne prenait pas en compte les zones d'âmes communes avec les hourdis. Une autre manière de prendre en compte l'effet Résal est aussi développée dans l'article de D. Le Faucheur, "Cumul des aciers de cisaillement et de flexion", paru dans le bulletin Ouvrages d'art du Sétra n° 41 auquel le projeteur pourra se rapporter pour plus de détails. Elle a le mérite de se baser sur une expression analytique qui se prête plus facilement à une programmation pour logiciel. Elle donne cependant une valeur majorante de l'effet Résal car l'ensemble de la section est prise en compte.
NRP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
1.2 - Cisaillement entre l'âme et les membrures des sections en T
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2.4] . Le modèle bielles-tirants a été adapté à cette configuration pour être utilisé pour la détermination des armatures.
1.2.1 - Ferraillage minimal des membrures
Le ferraillage minimal n'est plus celui prescrit spécifiquement vis-à-vis de l'effort tranchant [EC2-1-1 9.2.2], mais celui relatif aux armatures de flexion des dalles donné par la clause [EC2-1-1 9.3.1]. Il y a donc lieu d'appliquer la relation : A s , min = 0,26 f ctm btd f yk avec As,min 0,0013×bt×d [EC2-1-1 Expr.(9.1N)]
Dans ce cas, d est la hauteur utile de la membrure et bt sa longueur, soit appliqué à la figure ci-dessous d = hf et bt = x .
A - bielles de compression B - barre longitudinale ancrée audelà du point obtenu par construction avec f (voir 6.2.4 (7)) Fig./Tab.1.(4) : Jonction âme-membrure [EC2-1-1 Fig.6.7]
1.2.2 - Efforts sollicitants
La contrainte de cisaillement longitudinale vEd, développée à la jonction entre un côté de la membrure et l'âme, est déterminée par la variation d'effort normal (longitudinal) appliqué à la partie de membrure considérée : v Ed = Fd / ( h f × x) [EC2-1-1 Expr.(6.20)]
Dans le cas de charges réparties, il peut être admis pour x une valeur maximale égale à la moitié de la distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal. Dans une poutre isostatique, il peut ainsi y avoir des tronçons d'un quart de travée sur lesquels le ferraillage transversal de cisaillement est constant. Dans le cas de charges concentrées la valeur x est plafonée à la distance entre charges. Toutefois dans les ponts cette prescription ne vise pas l'action des charges concentrées apportées par les véhicules. Une alternative au calcul de cette contrainte est possible [EC2-2 6.2.4(103)] : "L'effort tranchant transmis entre l'âme et la membrure est égal à VEd x / z et se décompose en trois parties : une partie s'exerçant dans la section de la poutre limitée à la largeur de l'âme et les deux autres régnant dans les ailes des membrures. Généralement la part de l'effort auquel l'âme demeure soumise
NRQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
est la fraction bw / bf de l'effort total. Une force plus grande peut être prise en compte si la largeur totale de membrure efficace n'est pas indispensable pour résister au moment fléchissant. Dans ce cas, il peut être nécessaire de vérifier l'ouverture des fissures à l'état limite de service."
Cette alternative revient aux errements antérieurs qui, appliqués à une longueur x, expriment l'effort de glissement par unité de longueur :
vEd = (VEd /z)(b1/beff ) où b1 est la largeur de la membrure d'un seul côté de l'âme.
De ce fait, il reste comme effort dans l'âme vEd,w = (VEd/z)(bw /beff ) Les expressions ci-dessus sont plus spécifiquement adaptées aux poutres en T en béton armé.
Dans le cas du béton précontraint, et des caissons, en l'absence d'efforts concentrés apportant de brusques variations d'effort normal dans les hourdis, il est plus judicieux de recourir aux expressions classiques de la RDM et de calculer : vEd = VEd×S où S est le moment statique de la partie de membrure concernée. I ×h f
1.2.3 - Vérification de la résistance
Dans le modèle de treillis utilisé, l'inclinaison des bielles dans les membrures est différente de celles des âmes. Les valeurs recommandées sont : 1,0 cotf 2,0 pour les membrures comprimées 1,0 cotf 1,25 pour les membrures tendues. Il faut vérifier la compression des bielles dans la membrure : v Ed f cd sin f cos f avec = 0,6 (1-fck/250) et calculer les armatures (Asf fyd/sf ) vEd hf /cotf [EC2-1-1 Expr.(6.21)] Ces expressions sont une adaptation de celles relatives à la vérification des sections courantes, plus générales. Si vEd k×fctd , aucune armature de cisaillement n'est nécessaire en complément de celles requises pour la flexion. L'Eurocode 2 partie 1-1 recommande k = 0,4. L'annexe nationale prescrit : k = 0,5 en cas de surface verticale de reprise de bétonnage, rugueuse dans la membrure k = 1,0 lorsqu'il n'y a pas de surface verticale de reprise de bétonnage (la verticalité ici évoquée est relative au schéma de principe donné ci-avant)
A titre indicatif, f ctd = 1,50 MPa pour un C35 et 2,03 MPa pour un C60.
[EC2-1-1 Expr.(6.22)]
1.2.4 - Cumul avec la flexion locale
Le cumul flexion/cisaillement est traité au [Chapitre 10 -4.3.3] de ce guide.
NRR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
1.3 - Cisaillement dans les surfaces de reprise
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2.5]. En complément des exigences énoncées pour résister aux cisaillements exercés entre les âmes et les membrures ou dans les âmes, il faut vérifier dans les surfaces de reprise de bétonnage : vEdi vRdi avec vEdi = VEd/(z×bi) [EC2-1-1 Expr.(6.24)] où est le rapport entre l'effort normal longitudinal dans le béton de reprise et l'effort longitudinal total dans la zone comprimée (ou tendue). Cette expression s'exprime également de la façon suivante, en supposant que l'on reste dans un domaine élastique : vEdi =VEdS/(I× bi) où S est le moment statique au droit de la reprise de bétonnage I est l'inertie de la section. La contrainte limite est donnée par l'expression suivante vRdi = c fctd + n +f yd ( sin + cos ) 0,5fcd n = contrainte normale à l'interface c et coefficients dépendant de la rugosité de l'interface = inclinaison des aciers sur la reprise de bétonnage = As / Ai = ratio des aciers traversant la reprise rapporté à la surface de celle-ci. [EC2-1-1 Expr.(6.25)] [EC2-1-1 Expr.(6.23)]
Fig./Tab.1.(5) : Exemple de surfaces de reprise [EC2-1-1 Fig.6.8]
NRS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
A - béton de reprise B - ancien béton C - ancrage Fig./Tab.1.(6) : Joint de reprise avec indentations [EC2-1-1 Fig.6.9]
Les surfaces de reprises sont classées en très lisses, lisses, rugueuses et avec indentations :
type de reprise coefficients
très lisse : surface coulée au contact de moules en acier, en matière plastique, c = 0,25 et = 0,5 ou en bois traité spécialement : lisse : surface réalisée à l'aide de coffrages glissants ou surface extrudée ou c = 0,35 et = 0,6 surface non coffrée, laissée sans traitement ultérieur après vibration : rugueuse : surface présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, espacées d'environ 40 mm, obtenues par striage, lavage direct ou toute autre méthode c = 0,45 et = 0,7 donnant un comportement équivalent : avec indentation : surface présentant des clés comme sur la Figure 6.9 : c = 0,50 et = 0,9
L'Eurocode 2 partie 2 prescrit de prendre c = 0 pour les vérifications à la fatigue ou dynamiques. Les sollicitations dues aux charges de trafic (UDL et tandem TS par exemple) ne sont pas à considérer comme des actions dynamiques. Les actions de séisme sont, par contre, des actions dynamiques.
L'Eurocode 2 partie 1-1 demande seulement de diviser par deux les valeurs de c dans le cas de vérification à la fatigue ou dynamique.
Lorsque la contrainte normale à la reprise est une contrainte de traction il faut prendre c = 0.
1.4 - Eléments en flexion composée, non fissurés à l'ELU de résistance et ne nécessitant pas d'armatures de tranchant
Pour les éléments ne nécessitant pas d'armatures de tranchant, soumis à une flexion composée et qui ne sont pas fissurés à l'ELU, la clause [EC2-1-1 6.2.2(4)] renvoie à [EC2-1-1 12.6.3], qui traite de la résistance à l'effort tranchant d'éléments en béton non-armé. La clause [EC2-1-1 12.6.3(3)] précise le sens de "non-fissuré à l'ELU" pour un élément : il reste complètement comprimé ou la valeur absolue de la contrainte principale de traction dans le béton est inférieure à fctd.
Cette clause donne des formules de calculs calibrées pour des sections rectangulaires et pour le cas où la contrainte normale transversale est nulle. Le cas de sections complexes n'est pas envisagé car la valeur k = 1,5 [EC2-1-1 Expr.(12.4)] adoptée correspond bien au cisaillement maximal d'une section rectangulaire.
Il est ajouté par la clause [EC2-1-1 12.1(2)] que la section 12 s'applique aux éléments pour lesquels l'effet des actions dynamiques peut être ignoré. Elle ne s'applique pas quand les effets sont ceux engendrés par des machines tournantes et les charges de trafic.
NRT= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Elle ne saurait donc concerner les tabliers de ponts mais peut s'appliquer à d'autres éléments de structures tels que les semelles de fondation et les pieux dont le diamètre est 600 mm et pour lesquels NEd/Ac 0,3fck La justification consiste à vérifier que le cisaillement cp dans une section soumise à un effort tranchant et un effort normal reste inférieure à une résistance de calcul en cisaillement et compression du béton fcvd. Le projeteur est renvoyé au texte de l'Eurocode 2 pour l'utilisation détaillée des expressions (12.5), (12.6), (12.7) [EC2-1-1 12.6.3(2)], [EC2-1-1 12.6.3(3)]. Elles permettent de tracer une courbe des contraintes de cisaillement admissibles aux ELU pour ces pièces peu armées, donnée ci-dessous. Dans la même figure a été ajouté la courbe donnant la contrainte limite donnée par l'annexe QQ pour les ELS, à titre de comparaison.
La contrainte de cisaillement limite ainsi obtenue est inférieure à la contrainte limite calculée selon les prescriptions de l'annexe QQ de l'Eurocode2 partie 2. Ce résultat est logique : le critère de l'annexe QQ traduit la non-fissuration sans coefficient de sécurité, tandis que les expressions (12.5) à (12.7) traduisent la résistance à l'effort tranchant de pièces non armées, avec une sécurité importante puisque la rupture correspondante est fragile. Par contre elle autorise, sans armature, des contraintes de cisaillement plus élevées que les expressions [EC2-1-1 Expr.(6.2a)] et [EC2-1-1 Expr (6.2b)] comme le montre la droite représentant 1,5VRd,c/bwd résultant de ces formules et calculée avec le ratio maximal d'aciers passifs.
6.00
5.00
4.00
tau admissible MPa
3.00
2.00
1.00
contrainte normale sigmaX MPa
0.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
tau adm EC2 pour fck= 35 MPa et sigmaY= 0 1.5 VRd,c/bwd selon 6.2a et 6.2b avec Asl/bwd =0.02
EC2 ELU Cisaillement admissible béton non armé Taucp=1.5VEd/Acc
Fig./Tab.1.(7) : Contrainte de cisaillement admissible aux ELU selon [EC2-1-1 12.6.3] comparé aux contraintes admissibles aux ELS de l'annexe QQ
1.5 - Eléments précontraints à une seule travée ne nécessitant pas d'armatures de tranchant
Ce cas est traité en [EC2-1-1 6.2.2(2)] et permet notamment de justifier les poutres préfabriquées précontraintes par pré-tension utilisées dans les structures de bâtiments. L'application des prescriptions données ne pose pas de difficulté particulière et le projeteur est invité à se reporter au texte de l'eurocode.
NRU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.6 - Cas particuliers permettant une augmentation de la résistance des bielles béton
1.6.1 - Armatures d'effort tranchant sollicitées à moins de 80% de fyk
La note 2 de la clause [EC2-1-1 6.2.3(3)] indique que dans le cas où les armatures d'effort tranchant sont soumises à une contrainte de calcul inférieure à 80% de leur limite d'élasticité fyk les valeurs suivantes de 1 peuvent être adoptées pour le calcul de la résistance des bielles : 1 = 0,6 1 =0,9 - fck /200 >0,5 si fck 60MPa si fck > 60MPa
Ceci revient à permettre une augmentation de la résistance des bielles si les aciers sont moins sollicités. En général la contrainte de calcul utilisée pour le dimensionnement des armatures est fyd = fyk/1,15 = 0,87 fyk. Si les aciers travaillent à s = 0,80 fyk la surconsommation d'aciers est d'environ 10% mais l'augmentation de résistance des bielles se fait dans le rapport de 1 / . Le tableau ci dessous montre que le gain de résistance des bielles peut être largement supérieur à la perte de résistance des aciers.
fck expression (6.6) 1 expression (6.10) rapport 1/ 25 0,540 0,600 1,111 30 0,528 0,600 1,136 35 0,516 0,600 1,163 40 0,504 0,600 1,190 50 0,480 0,600 1,250 60 0,456 0,600 1,316 70 0,432 0,550 1,273 80 0,408 0,500 1,225 90 0,384 0,450 1,172
Il montre également que cette règle est plus favorable pour les bétons de résistance moyennement élevée.
1.6.2 - Armatures de précontrainte droites et niveau de précontrainte élevé
L'Eurocode 2 réduit la valeur du tranchant résistant pour les éléments dont le béton est soumis à une compression moyenne supérieure à 0,5fcd [EC2-2 Expr.(6.11.cN)]. La partie 2 de l'Eurocode 2 prévoit en revanche de ne pas pénaliser les poutres soumises à une précontrainte droite, donnant une compression élevée si certaines conditions sont réunies [EC2-2 6.2.3(103) Note 4] : si les membrures sont capables de supporter la force de précontrainte totale, et si des blochets sont prévus à l'extrémité des poutres, l'effort de précontrainte peut être supposé réparti entre les membrures. Dans ce cas on peut prendre cw=1 au lieu de la valeur réduite prévue pour une compression supérieure à 0,5fcd.
Fig./Tab.1.(8) : Répartition de la précontrainte dans les membrures par les blocs d'about [EC2-2 Fig.6.101]
2 - Méthode bielles et tirants pour zone de discontinuité
Cette méthode a été conçue à l'origine pour adapter et étendre la méthode d'analyse utilisant le modèle du treillis au traitement des régions appelées de type D (D comme "disturbance", discontinuité) qui peuvent
NRV= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
comporter des discontinuités géométriques ou des perturbations dues à l'application de charges concentrées. Développée par l'école allemande et en particulier par Jörg Schlaich, la méthode a été retenue et présentée par le Comité Européen du Béton (CEB) dans son Code Modèle. L'Eurocode 2 n'en présente qu'un résumé au travers de ses clauses "Analyse avec modèle bielles et tirants" [EC2-1-1 5.6.4] et "Dimensionnement à l'aide de modèles bielles-tirants" [EC2-1-1 6.5]. Pour une utilisation correcte de la méthode le projeteur est vivement invité à consulter par exemple l'excellent rapport publié en anglais par le PCI JOURNAL de Mai-Juin 1987 sur le sujet avec pour titre "Toward a Consistent Design of Structural Concrete" et signé de Schlaich et al. Le présent guide ne rappelle que les quelques règles essentielles.
2.1 - Principe
Le principe en est le suivant : · choix d'un schéma de transmission des efforts qui permet de bâtir le modèle bielles-tirants assurant l'acheminement des efforts par des éléments droits (barres) et leur déviation au passage de noeuds ; · détermination des efforts statiquement équilibrés dans les bielles et les tirants ; · et enfin, dimensionnement et vérification des bielles, des tirants et des noeuds.
Fig./Tab.2.(1) : Schéma de principe d'un cas d'application de la méthode des bielles
2.2 - Dimensionnement des bielles, des tirants et des noeuds
2.2.1 - Résistance des bielles
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.2]. Deux cas sont distingués : celui où la bielle est comprimée ou non transversalement et celui où elle est soumise à une traction transversale, ce qui conduit à une réduction de sa résistance.
Fig./Tab.2.(2) : Résistance des bielles soumises et non-soumises à une traction transversale
Dans la figure de droite les flèches verticales représentent une contrainte de compression transversale éventuellement nulle.
NSM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les résistances des bielles à la compression sont ainsi : Rd,max = fcd Rd,max = 0,6 'fcd dans le cas de compression transversale. dans le cas de traction transversale. [EC2-1-1 Expr.(6.55)] [EC2-1-1 Expr.(6.56)] [EC2-1-1 Expr.(6.57N)]
avec ' = 1-fck/250
On peut rapprocher cette valeur de 0,6 ' de celle = 0,6(1-fck/250) où est le coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant.
2.2.2 - Résistance des tirants
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.3]. Les résistances de calcul des tirants transversaux et des armatures de précontrainte observent les mêmes limites données par les règles générales [EC2-1-1 3.2 et 3.3]. En particulier, pour les armatures de béton armé il convient d'une part de les ancrer selon les principes de la section [EC2-1-1 Sect.8] et d'autre part de limiter leur contrainte à : fyd = fyk/S L'Eurocode 2 partie 1-1 conseille de ne pas concentrer les aciers de tirants dans leur position théorique de modèle mais de les répartir sur la zone d'épanouissement des contraintes [EC2-1-1 6.5.3(3)]. L'Eurocode 2 partie 1-1 rappelle ensuite les expressions des efforts de traction pour deux cas simples : a) pour le cas de régions de discontinuité partielle ( b H/2), [EC2-1-1 Fig.6.25a)], 1 b-a [EC2-1-1 Expr.(6.58)] F 4 b b) pour le cas de régions de discontinuité totale ( b > H/2), [EC2-1-1 Fig.6.25b)], T= T= 1 a 1 - 0,7 F 4 h [EC2-1-1 Expr.(6.59)]
B - Région sans discontinuité
D - Région de discontinuité a) discontinuité partielle b) discontinuité totale
Fig./Tab.2.(3) : Efforts transversaux de traction dans un champ de contrainte de compression avec armatures réparties [EC2 -1-1 Fig.6.25]
NSN= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
2.2.3 - Résistance des noeuds
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.4].
2.2.3.a) Limite de compression dans les noeuds types
Il est simplement rappelé ici les limites des contraintes de compression à observer pour les trois types de noeuds les plus couramment rencontrés : (1) Les noeuds soumis à compression sans aucun tirant ancré dans le noeud Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k1 'fcd avec k1= 1,0 valeur recommandée par l'Eurocode 2 partie 1-1 et l'annexe nationale ' = 1-fck/250 (rappel) L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k1 jusqu'à k1 = 1/ '
Fig./Tab.2.(4) : Noeud soumis à compression sans tirant [EC2-1-1 Fig.6.26]
(2) Les noeuds soumis à traction et compression avec tirants dans une direction Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k2 'fcd avec k2= 0,85 valeur recommandée par l'Eurocode 2 partie 1-1 et l'annexe nationale L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k2 jusqu'à k2 = 1,0
Fig./Tab.2.(5) : Noeud soumis à compression et à traction avec armatures dans une direction [EC2-1-1 Fig.6.27]
(3) Les noeuds soumis à traction et compression avec tirants dans deux directions Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k3 'fcd avec k3= 0,75 valeur recommandée par l'EC2-1-1 et l'annexe nationale L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k3 jusqu'à k3 = 0,9
Fig./Tab.2.(6) : Noeud soumis à compression et traction avec armatures dans deux directions [EC2-1-1 Fig.6.28]
NSO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.3.b) Majoration de la limite de compression pour conditions particulières
Pour certains noeuds les valeurs admissibles des contraintes de compression peuvent être majorées de 10 % si au moins une des conditions suivantes est vérifiée :
· · · · ·
une compression tri-axiale est assurée, tous les angles entres bielles et tirants sont 55°, les contraintes au droit des appuis ou des charges ponctuelles sont uniformes, et le noeud est confiné par des armatures transversales, les armatures sont disposées selon plusieurs cours, le noeud est confiné de manière fiable par une disposition particulière d'appui ou par frottement.
2.2.3.c) Cas de noeuds soumis à compression tri-axiale
Le cas particulier des noeuds soumis à une compression tri-axiale peut être traité comme celui du béton confiné [EC2 1-1 3.1.9] dont la résistance caractéristique peut être définie par les expressions : fck,c = fck (1,000 + 5,0 2/fck) fck,c = fck (1,125 + 2,50 2/fck) pour 2 0,05fck pour 2 > 0,05fck [EC2-1-1 Expr.(3.24)] [EC2-1-1 Expr.(3.25)]
où 2 est la contrainte de compression latérale due au confinement. La limite de compression est cependant plafonnée à la valeur Rd,max = k4 'fcd,c avec fcd,c=fck,c/C et k4= 3,0 valeur recommandée et acceptée par l'annexe nationale qui, de surcroît, autorise sur justifications spéciales d'augmenter k4 jusqu'à la valeur de k4 = 3/'.
3 - Diffusion de la précontrainte
3.1 - Règles proposées par l'Eurocode 2
Les principales règles concernant les zones d'introduction de la précontrainte se trouvent en [EC2 8.10.2] pour l'ancrage de la précontrainte par pré-tension et en [EC2 8.10.3] pour l'étude des zones d'ancrage de la précontrainte par post-tension. Ces règles sont complétées par d'autres règles disséminées dans différents chapitres ce qui ne facilite pas vraiment leur application. Le présent guide s'intéresse plus particulièrement à la justification des zones d'ancrage de la précontrainte par post-tension. Il rappelle et présente de façon plus ordonnée pour le projeteur les règles essentielles à utiliser pour l'étude de la diffusion de la précontrainte.
3.1.1 - Force de précontrainte
En premier lieu la force de précontrainte à utiliser pour l'étude, force appliquée à l'extrémité active à la mise en tension Pmax, est évoquée en [EC2-2 Anx.J.104.2]. Sa définition est donnée en [EC2-1-1 5.10.2.1(1)P] avec les recommandations d'usage pour éviter l'écrasement ou l'éclatement du béton. Pour l'étude de la diffusion, à traiter comme une vérification d'effets locaux [EC2-1-1 8.10.3(2)], cette force doit être pondérée par un coefficient P,unfav =1,2 [EC2-1-1 2.4.2.2(3)]. L'angle de diffusion de la force de précontrainte, qui prend effet à l'extrémité de l'organe d'ancrage, par simplification, peut être pris égal à 2 , avec = a tan 2 [EC2-1-1 8.10.3(5)]. 3
( )
NSP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
3.1.2 - Méthode de calcul
La méthode à utiliser est suggérée en [EC2-1-1 8.10.3(4)] : utilisation d'un modèle bielles-tirants ou d'autres modes de représentation appropriés pour évaluer les efforts de traction dus à des forces concentrées. Les armatures sont à disposer en les faisant travailler à leur résistance de calcul. Si la contrainte dans les armatures passives est limitée à 300Mpa pour leur dimensionnement, la vérification de l'ouverture des fissures n'est pas nécessaire [EC2-1-1 8.10.3(4)].
L'Eurocode 2 partie 2 propose une valeur de 250 MPa encore plus sécuritaire [EC2-2 8.10.3(104)]. Néanmoins il y a ici un mélange pas très heureux entre la maîtrise de la fissuration qui doit se faire aux ELS et le dimensionnement des armatures à faire aux ELU. Pour ne pas adopter une règle trop pénalisante, il est suggéré de retenir la valeur de 300 Mpa pour le dimensionnement et qu'on peut considérer comme obtenue à partir de la valeur 250 MPa aux ELS et majorée par le coefficient 1,2.
3.1.3 - Règles particulières
On trouve en [EC2-1-1 6.7] une règle fixant la contrainte limite à respecter dans le cas d'une charge uniformément répartie appliquée à la surface du béton. Cette règle n'est manifestement pas prévue pour des efforts concentrés importants comme ceux développés par des ancrages de précontrainte; en revanche elle peut être utilisée pour les zones sous appareils d'appui. La clause [EC2-2 Anx.J.104.2] a pour titre "zones d'ancrage des éléments précontraints par post-tension". C'est là, d'ailleurs, où l'utilisation de Pmax apparaît explicitement. En fait cette clause n'est qu'un complément pour préciser ce qu'il y a lieu de faire, juste derrière l'ancrage dans la zone appelée de première régularisation. Elle n'est pas destinée à traiter le problème de la diffusion dans sa totalité.
3.2 - Application des règles de l'Eurocode 2 au cas simple d'un seul ancrage
C'est l'application de la méthode bielles et tirants dont les principes ont déjà été présentés au paragraphe précédent [Chapitre10-2].
3.2.1 - Données
Soit une poutre en béton de section 0,5m × 1m à laquelle une force de précontrainte de Pmax = 1MN à la mise en tension, est appliquée. Caractéristique du béton à t 0 , date de mise en tension : f ck (t 0 ) = 30MPa Caractéristique du ferraillage passif, f yk = 500MPa soit f yd = f yk S = 500 = 435MPa 1,15
Compte tenu du facteur partiel P ,unfav = 1,2 , il en résulte une force de calcul : Pd = P,unfav × Pmax = 1,2MN
NSQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.2 - Choix d'un modèle bielles-tirants
Dans ce cas simple, le choix du modèle est facile, c'est celui qui est souvent utilisé pour illustrer la méthode. Il est rappelé dans la figure suivante [Fig./Tab.3.(1)] :
Fig./Tab.3.(1) : Méthode bielles et tirants
Les premiers noeuds sont placés directement derrière la plaque d'ancrage. L'effort est conventionnellement divisé en deux derrière l'ancrage et est diffusé grâce à deux bielles inclinées de 33,7° ( a tan 2 ). Une fois la 3 diffusion effectuée, l'effort est bien réparti dans la section avec une contrainte uniforme modélisée par deux bielles horizontales situées au quart inférieur et au quart supérieur de la section. Il est généralement admis que cette diffusion s'effectue de façon complète sur une longueur de l'ordre de la dimension transversale de l'élément. Cette longueur est déterminée par le choix de l'angle de diffusion qui donne, à son tour, la section d'armatures nécessaire.
( )
On peut noter que dans le modèle standard utilisé pour un effort concentré, l'angle de diffusion est aussi souvent adopté comme correspondant à 2 pour 1 (2 :1).
3.2.3 - Vérification des noeuds
3.2.3.a) Noeuds derrière la plaque d'ancrage
En arrière de la plaque d'ancrage la contrainte moyenne de compression vaut : = Pd/(a×a') = 1,2 / (0,150×0,150) = 53 MPa C'est la contrainte qui s'exerce sur les noeuds situés à cet endroit. Ces noeuds sont seulement soumis à des forces de compression. La contrainte maximale à vérifier est donc : f Rd,max = k1 ' fcd avec ' = 1 - ck et k 1 = 1 (valeur recommandée) [EC 2-1-1 6.5.4], soit 17,6 MPa. 250 Il est évident que ce critère ne peut jamais être vérifié. Seul un confinement du béton sous l'ancrage, obtenu au moyen de cadres fermés ou d'armatures adéquatement disposées, peut permettre de rehausser la résistance à la compression du béton pour résister à l'effort appliqué [EC2-1-1 3.1.9(2)]. Dans l'exemple étudié il faudrait rehausser la résistance à la compression à une valeur telle que
NSR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
fck,c/1,5 53 MPa, avec fck,c = fck × (1,125 + 2,5 2 / fck ) [EC2-1-1 Expr.(3.25)] avec toutefois une valeur plafond égale à Rd,max = k 4 ' fcd et k4 = 3 [EC2-1-1 6.5.4(6)] ; pour cela il faudrait donc disposer le frettage nécessaire pour obtenir une valeur de 2 permettant de satisfaire à la condition.
Dans la pratique le ferraillage sous ancrage prévu dans les ATE des différents procédés de précontrainte permet en principe d'atteindre cet objectif. En effet les procédés de précontrainte font l'objet d'un agrément technique européen (ATE). Ils subissent un certain nombre de tests pour démontrer leur capacité à reprendre la force exercée par le câble et à la transférer à la structure en béton (essais de transfert sur bloc d'about notamment). Au final, l'ATE d'un système de précontrainte précise les principales caractéristiques des ancrages, les usages possibles et il donne le ferraillage à disposer derrière l'ancrage ainsi que les entraxes et distances au bord à respecter pour assurer un bon transfert de charge au béton. Il précise également les résistances minimales du béton à atteindre avant la mise en tension. L'Eurocode 2 recommande bien évidemment de respecter les prescriptions de l'agrément technique européen.
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne donne pas suffisamment de détails au projeteur pour faire le dimensionnement pratique de ce frettage. C'est pour pallier ce manque de méthode de calcul pratique de ce ferraillage que la clause [EC2-2 Anx.J.104.2] a été rajoutée dans la partie 2. Elle permet de prévoir, dans le volume défini comme étant le prisme de première régularisation, le ferraillage minimum nécessaire qui permet donc de passer de contraintes très élevées à des contraintes de l'ordre de 0,6 f ck (t 0 ) .
Le projeteur pourra aussi trouver une méthode plus détaillée dans le Code Modèle 90 [MC90 3.5] pour la détermination de ce ferraillage.
3.2.3.b) Noeuds après diffusion de l'effort de précontrainte
Dans les noeuds après diffusion de la précontrainte la contrainte moyenne de compression vaut : = Pd / (b×h) = 1,2 / 0,5×1 = 2,4 MPa Ces noeuds étant soumis à deux forces de compression et une force de traction, la contrainte à ne pas dépasser est cette fois-ci : f Rd,max = k 2 ' fcd avec ' = 1 - ck et k 2 = 0,85 (valeur recommandée) 250
Rd,max = k 2 ' fcd = 0,85 × 1 - 30 × 30 = 15 MPa soit une valeur largement supérieure à la contrainte 250 1,5 appliquée.
Les noeuds après diffusion peuvent être appelés "noeuds diffus" (pour "smeared nodes") dans la méthode bielles-tirants; ils sont généralement dispensés de la vérification du critère de compression limite du béton.
(
)
La vérification de tous les noeuds est donc bien assurée.
3.2.4 - Vérification des bielles
La contrainte régnant dans chacune des bielles juste après le prisme de première régularisation est de l'ordre de 0,6 fck( t 0 ) si le nécessaire a été fait pour qu'il en soit ainsi : respect des distances des plaques d'ancrage aux bords libres des pièces, dimensionnement du prisme de première régularisation, dimensionnement et disposition du ferraillage au droit de ce prisme (voir ci-après [Chapitre 10 -3.2.5.a)]). Cette contrainte va même diminuer à mesure qu'on se rapproche de l'autre extrémité de la bielle dont la section se rapproche de la moitié de la section de la poutre dans l'exemple traité.
NSS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
D'après la clause [EC2-1-1 6.5.2], dans le cas de bielles de béton dans une région où ne règnent pas de contraintes de traction transversale, la contrainte admissible est donnée par : Rd,max = fcd( t 0 ) = fck( t 0 ) = 0,66 fck( t 0 ) . Le critère portant sur les bielles est donc bien vérifié. 1,5
3.2.5 - Dimensionnement du ferraillage
3.2.5.a) Ferraillage dans le prisme de première régularisation (i) Prisme de première régularisation
Le prisme de première régularisation est défini par sa section rectangulaire c×c' et sa profondeur = 1,2 max(c ; c' ) [EC2-2 Anx.J.104.2(102)]. Les dimensions c et c' doivent être telles que : c × c' = Pmax , pour respecter, d'une part, une contrainte limite raisonnable 0,6 fck( t 0 )
et d'autre part, des critères de géométrie c 1,25 c × c' a a × a' et c' 1,25 c × c' a' a × a'
où a et a' sont les dimensions du plus petit rectangle comprenant la plaque d'ancrage.
L'idée est de passer de la plaque d'ancrage à un rectangle associé dont l'aire est choisie pour obtenir une contrainte moyenne égale à 0,6f ck ( t 0 ) . Les dimensions du rectangle peuvent être ensuite adaptées, pour des raisons d'encombrement, tout en gardant une aire constante. C'est ce qu'expriment les conditions géométriques vues précédemment. Les formules de l'Eurocode 2 permettent jusqu'à une variation de ±25% des dimensions du rectangle alors que les ATE autorisent seulement une variation de ±15%. Il est donc conseillé de remplacer le facteur 1,25 par 1,15 ou 1/0,85.
On notera que la contrainte moyenne de 0,6fck( t 0 ) conduit la plupart du temps à des dimensions plus sécuritaires que celles proposées dans les ATE. En prenant le cas simple d'un ancrage de précontrainte carré avec a = a ' , en choisissant c = c' et en n'utilisant pas les variations dimensionnelles autorisées, c est alors défini par la seule première condition (les deux dernières inéquations sont automatiquement vérifiées).
Cela donne c =
Pmax , soit dans l'exemple c = 0,236m et = 0,283m . 0,6 fck( t 0 )
(ii) Ferraillage
Comme déjà annoncé ci-dessus, le ferraillage à disposer dans le prisme de première régularisation qu'on vient de déterminer est en principe donné par les ATE des procédés de précontrainte. Sa section minimale peut être déduite du dimensionnement simple donné en [EC2-2 Anx.J.104.2(103)] : As = 0,15 Pmax , soit dans cet exemple A s = 4 cm 2 . f yd P,unfav
Ce ferraillage transversal doit traverser le prisme de première régularisation selon deux directions orthogonales et avoir dans chacune de ces directions la section minimale précédente. Les armatures seront en outre réparties sur toute la longueur du prisme.
NST= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Le ferraillage donné par l'ATE est souvent plus fort en quantité au minimum requis. Il est toutefois défini pour un ancrage isolé. Il convient d'adapter son façonnage aux dimensions réelles des éléments surtout dans le cas de plusieurs ancrages juxtaposés. Il convient aussi d'assurer une bonne couture du prisme au béton environnant de l'élément.
3.2.5.b) Ferraillage correspondant au tirant de la méthode bielles et tirants
P Considérant des bielles inclinées à a tan 2 , ceci donne une force dans le tirant de d × 2 = 0,4MN . 3 2 3 0,4 = 13,3 cm2 à placer en complément des aciers A s 300 précédemment définis sur la longueur du prisme de première régularisation [Fig./Tab.3.(1)]. Cela donne un ferraillage de diffusion A sd =
( )
3.2.5.c) Positionnement du ferraillage précédent
Ces informations ne sont pas données dans l'Eurocode 2. En principe il faut aller voir dans les documents traitant de façon détaillée la méthode bielles et tirants. Le bon sens permet néanmoins de penser que ces armatures devraient être réparties et avoir comme position moyenne celle du tirant du modèle, tout en respectant les règles de bonne construction.
3.2.6 - Conclusions sur les règles de l'Eurocode 2
Manifestement les règles proposées par l'Eurocode 2 pour traiter la diffusion de la précontrainte par posttension ne sont ni assez détaillées, ni complètes. On peut citer le problème important du cumul des armatures transversales de diffusion avec les armatures d'effort tranchant et de torsion qui n'est pas du tout évoqué. De plus la méthode bielles et tirants, si elle présente l'avantage d'obliger le projeteur à réfléchir à la manière dont les efforts se répartissent dans la zone de régularisation, elle met en revanche le projeteur en situation délicate face aux inconvénients ou lacunes qu'elle comporte. Déjà il doit se garder des schémas trop compliqués (un bon modèle de bielles et tirants est celui qui minimise le nombre de tirants), mais de toute façon la méthode peut devenir rapidement inextricable pour les cas plus complexes (3D notamment). Et c'est là son principal inconvénient : les cas un peu plus compliqués que l'exemple présenté demandent beaucoup d'expérience et un niveau d'expertise élevé de la part du projeteur pour être correctement traités. On cite souvent le conseil fait aux projeteurs de faire un modèle aux éléments finis pour obtenir l'inclinaison des bielles et vérifier que le schéma proposé est bien compatible avec les efforts en élastique.
3.3 - Méthode du guide Sétra "Diffusion des efforts concentrés"
Compte tenu des inconvénients soulignés précédemment, il faut signaler une deuxième méthode, encore appelée "méthode analytique", qui est à la base des pratiques antérieures et qui a le grand mérite de traiter le problème de la diffusion à partir d'une approche globale. Le lecteur est utilement renvoyé à la lecture du guide Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et à son erratum 2008 pour l'utilisation de la méthode. On peut juste sommairement rappeler que la diffusion est vérifiée selon deux directions orthogonales, correspondant en général aux axes principaux d'inertie de la section étudiée (bien souvent l'horizontale et la verticale) et que le calcul de diffusion de la précontrainte est réalisé dans deux zones :
· ·
une zone comprenant le voisinage immédiat de l'ancrage appelée prisme local ; une zone dite de régularisation incluant toute la section sur la longueur nécessaire à la régularisation des efforts.
La méthode est ensuite basée sur la vérification des contraintes de cisaillement dans des plans de coupures réalisées dans la pièce considérée.
NSU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Calculs de plaques
Le calcul des plaques (hourdis et des âmes de ponts notamment) pose un certain nombre de questions récurrentes : Quelles valeurs de sollicitations prendre en compte ? Comment les cumuler entre elles ? Comment cumuler les aciers de flexion, d'effort tranchant, de diffusion ? Peut-on trouver un modèle de comportement global des plaques en béton armé fléchies et cisaillées ? Les paragraphes suivants détaillent les réponses qu'apporte l'Eurocode 2 à ces questions, ainsi que des compléments utiles pour celles qui ne sont pas traitées par l'Eurocode 2.
4.1 - Calcul des sollicitations
4.1.1 - Méthode d'analyse
Pour les ponts, le calcul des sollicitations dans les plaques se fait généralement par l'analyse élastique linéaire. L'Eurocode 2 partie 1-1 autorise d'autres méthodes (analyse élastique avec redistributions forfaitaires de moments, analyse plastique, analyse non-linéaire). Ces méthodes sont essentiellement utilisées en bâtiment, où les risques liés à la fissuration sont faibles. En ouvrage d'art, l'utilisation des analyses plastiques est déconseillée, sauf cas particulier. Les analyses avec redistributions forfaitaires sont possibles, sous réserve de bien contrôler la fissuration aux ELS.
4.1.2 - Valeur de calcul retenue pour le dimensionnement
L'Eurocode ne précise pas la valeur de moment à retenir pour le dimensionnement des plaques, notamment en cas d'application de charges concentrées : s'agit-il du moment de pointe résultant de l'analyse, ou peut-on retenir une valeur moyennée ? Conformément à la pratique française antérieure, il est loisible d'utiliser une valeur du moment moyennée sur une largeur égale à 2 fois l'épaisseur de la dalle (moyenne faite transversalement à la direction de l'effort considéré).
En pratique, pour les épaisseurs et les charges couramment utilisées en ouvrages d'art, la différence entre les deux calculs est minime. Les abaques de moment de flexion dans les hourdis de pont publiés par le Sétra ont pris en considération les moments de pointe.
4.1.3 - Cumul des sollicitations
Le modèle LM1 de l'Eurocode 1 partie 2 conduit à cumuler les effets globaux et locaux. Par exemple, dans un hourdis supérieur de pont caisson ou dans une dalle de pont mixte, au droit d'un appui intermédiaire, une traction d'ensemble liée au moment négatif créé par les charges UDL réparties sur la travée, et une flexion locale du hourdis créée par un tandem TS situé à proximité de la section peuvent exister simultanément. Deux solutions sont possibles :
· ·
traiter de façon exacte les concomitances de charges (notamment lorsqu'il n'est pas possible de dissocier effets globaux et effets locaux, par exemple pour les ponts-dalles), ou tenir compte de façon forfaitaire des concomitances, à partir des sollicitations extrêmes.
L'Eurocode 2 ne contient pas d'indications sur le cumul des efforts globaux et locaux. En revanche, l'annexe E de l'Eurocode 3 partie 2 donne un coefficient de combinaison fonction de la portée. Les règles de combinaison proposées dans cette annexe peuvent être utilisées pour traiter les cas de figure cités ci-dessus.
NSV= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Fig./Tab.4.(1) : Coefficient de combinaison dépendant de la portée [EC3-2 Fig.E.2]
4.2 - Problématique générale du calcul des plaques en béton
La figure ci-dessous, extraite de l'annexe LL de l'Eurocode 2 partie 2, représente l'ensemble des sollicitations pouvant agir sur un élément de dalle :
Fig./Tab.4.(2) : Ensemble des sollicitations pouvant agir sur un élément de dalle
· · · · · · · · ·
3 composantes d'effort de plaque nEdx , nEdy , nEdxy = nEdyx 3 composantes de flexion de plaque mEdx , mEdy , mEdxy = mEdyx 2 efforts de cisaillement transversaux vEdx , vEdy un effort nEdx longitudinal, créé par la flexion d'ensemble de la poutre dans le sens longitudinal, un effort nEdy, créé une précontrainte transversale éventuelle, des moments de flexion mEdx et mEdy créés par les charges TS appliquées sur le hourdis, un flux de cisaillement dans le plan de la plaque nEdxy, créé par la torsion d'ensemble de la poutre, des cisaillements transversaux vEdx et vEdy, créés par les charges TS appliquées sur le hourdis. un effort nEdx longitudinal, créé par la précontrainte d'ensemble de la poutre dans le sens longitudinal,
Dans le cas d'un hourdis de pont, il y a typiquement :
Dans le cas d'une âme d'un pont caisson, il y a typiquement :
NTM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
· ·
un moment de flexion mEdy créé par la flexion transversale (effet des charges TS appliquées sur le hourdis), un flux de cisaillement dans le plan de la plaque nEdxy, dû à la combinaison tranchant/torsion de la poutre.
Les autres composantes sont généralement faibles. L'Eurocode 2 permet de dimensionner les ferraillages nécessaires pour chacune de ces sollicitations prises individuellement, selon les règles présentées dans les chapitres précédents de ce guide. Se pose alors la question du cumul des ferraillages obtenus. L'Eurocode 2 traite ce problème de plusieurs façons : · · des règles forfaitaires de cumul pour certains cas particuliers (notamment, cumul des aciers de flexion avec les aciers de cisaillement dans le plan de la plaque), une méthode générale de justification d'une plaque sous un ensemble de sollicitations concomitantes.
Ces règles de cumul sont toutes formulées aux ELU.
4.3 - Règles forfaitaires de cumul de ferraillages
4.3.1 - Cumul aciers d'effort tranchant / torsion / aciers de diffusion
Le cumul des aciers d'effort tranchant et de torsion est traité au [Chapitre 6]. La quantité d'aciers résultant de ce cumul est notée Atranchant/torsion. L'Eurocode 2 ne donne pas de règle concernant le cumul de ces aciers Atranchant/torsion avec les aciers de diffusion. On note Acis la quantité d'aciers résultant de ce cumul. Deux approches sont envisageables :
·
Méthode 1 :
Dans ce cas les aciers de diffusion (notés Adiffusion) sont déterminés sans prendre en compte l'effort tranchant et la torsion.
Nota : ces aciers peuvent par exemple être obtenus en appliquant le guide du Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et son erratum de 2008 en considérant un effort tranchant nul et en retenant une inclinaison de bielle égale à 45°.
Pour cumuler ces aciers de diffusion d'une part aux aciers d'effort tranchant/torsion déterminés selon l'Eurocode 2 d'autre part, on peut par exemple reconduire les pratiques antérieures (voir le guide de conception du Sétra sur les ponts en béton précontraint construits par encorbellements successifs) : A cis A diffusion = max 1,5 A tranchant / torsion min A diffusion + A tranchant / torsion
Il est à noter que ces deux types d'aciers ne sont pas toujours déterminés avec les mêmes inclinaisons de bielles. Le tableau ci-dessous récapitule les inclinaisons de bielles envisageables qui varient selon les zones considérées.
Abouts Atranchant/torsion
(valeurs issues de l'Eurocode 2)
Âmes 21,8° < < 45° = 45°
Hourdis comprimés 26,5° < < 45° = 45°
Hourdis tendus 38,6° < < 45° = 45°
21,8° < < 45° = 45°
Adiffusion
(valeur recommandée)
NTN= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
·
Méthode 2 :
Dans ce cas l'étude de la diffusion est menée conformément au guide du Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et à son erratum de 2008. Avec cette méthode, le cumul des aciers de diffusion d'une part et d'effort tranchant/torsion d'autre part est directement effectué à la source. On note cette quantité d'aciers Adiffusion-tranchant/torsion. Le guide recommande de prendre en compte le maximum des aciers Adiffusion-tranchant/torsion obtenus selon cette méthode d'une part et des aciers Atranchant/torsion obtenus selon l'Eurocode 2 d'autre part. Acis = max { Adiffusion-tranchant/torsion , Atranchant/torsion } De la même façon ces deux types d'aciers ne sont pas toujours déterminés avec les mêmes inclinaisons de bielles. Le tableau ci-dessous récapitule les angles de bielles envisageables qui varient selon les zones considérées.
Abouts Atranchant/torsion
(valeurs issues de l'Eurocode 2)
Âmes 21,8° < < 45° 26,5° < < 45°
Hourdis comprimés 26,5° < < 45° 26,5° < < 45°
Hourdis tendus 38,6° < < 45° 38,6° < < 45°
21,8° < < 45° = 45°
Adiffusion tranchant/torsion
(valeurs issues du guide Sétra)
4.3.2 - Cumul flexion / cisaillements transversaux
Application : dalle soumise à une combinaison flexion / effort tranchant hors de son plan. Cette règle de cumul a été développée dans le chapitre relatif aux justifications sur l'effort tranchant. Il s'agit de la règle bien connue de décalage des moments, qui consiste à calculer les armatures longitudinales à partir d'un moment décalé d'une longueur al dans la direction défavorable : · · al = d si la dalle ne nécessite pas d'aciers d'effort tranchant al = z × cot / 2 sinon, étant l'inclinaison des bielles d'effort tranchant.
4.3.3 - Cumul flexion / cisaillements dans le plan de la plaque
Ces règles sont données dans l'Eurocode 2 pour la couture d'un hourdis sur une âme en béton. Il est toutefois loisible de les appliquer de façon plus générale en tout point des âmes et des hourdis. Applications : · · couture d'un hourdis sur une âme en béton ou sur une âme métallique âme d'une poutre soumise à une combinaison effort tranchant / flexion transversale.
4.3.3.a) Règle de cumul des armatures
Les règles de cumul correspondantes sont données en [EC2-1-1 6.2.4]. La règle de cumul peut se résumer de la façon suivante : A = Max { Acis ; ½ Acis + Aflexion }, où Acis est la section d'aciers passifs nécessaire pour équilibrer les cisaillements maximaux d'effort tranchant/torsion et de diffusion [Chapitre 10 -4.3.1], Aflexion est la section d'aciers passifs nécessaire pour équilibrer le moment de flexion maximal. Cette formule est écrite pour illustrer le cas de la figure (6.7) de l'Eurocode 2 partie 1-1 (couture d'un hourdis sur une âme en béton), où l'on considère un seul moment de flexion tendant la fibre supérieure.
NTO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Dans le cas plus général où il existe deux moments de flexion de signes contraires, la répartition entre les deux nappes d'armatures doit respecter les règles suivantes : Asup + Ainf Max { Acis ; ½ Acis + Aflexion,sup ; ½ Acis + Aflexion,inf } où Aflexion,sup est la section d'aciers passifs en nappe supérieure nécessaire pour équilibrer le moment de flexion correspondant Aflexion,inf est la section d'aciers passifs en nappe inférieure nécessaire pour équilibrer le moment de flexion correspondant
En proposant cette règle de cumul, l'Eurocode 2 considère qu'il n'y a pas occurrence simultanée de la flexion maximale et du cisaillement maximal. Toutefois, l'Eurocode 2 néglige la participation du béton comprimé à la reprise des cisaillements, ce qui va dans le sens de la sécurité.
L'Eurocode 2 ne précise pas la façon de répartir les aciers de couture entre les deux faces. La répartition suivante peut par exemple être adoptée : Asup Acis / 4 + Aflexion,sup Ainf Acis / 4 + Aflexion,inf Asup + Ainf Acis D'autres répartitions sont toujours possibles, notamment pour l'évaluation d'ouvrages existants. Exemple 1 : Aflexion,sup = 20cm² Aflexion,inf = 0cm² Acis = 12cm² La section totale d'armatures doit dépasser max(12;20+12/2) = 26,0 cm², à ventiler entre les deux nappes. En adoptant la répartition conseillée, 23cm² seront placés en nappe supérieure et 3 cm² en nappe inférieure. Exemple 2 : Aflexion,sup = 5cm² Aflexion,inf = 5cm² Acis = 36cm² La section totale d'armatures doit dépasser max(36;5+36/2) = 36 cm², à ventiler entre les deux nappes en respectant un minimum de 14cm² en nappe supérieure et 14cm² en nappe inférieure. On mettra donc 18cm² par nappe.
4.3.3.b) Cas de dispense de cumul
Lorsque les cisaillements sont faibles, c'est-à-dire lorsque vEd < k × fctd [EC2-1-1 6.2.4(6)], seuls les aciers nécessaires vis-à-vis de la flexion seront à mettre en place. D'après l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 6.2.4(6)] la valeur de k à utiliser vaut 0,50 en présence d'une surface verticale de reprise de bétonnage et 1,0 en l'absence de reprise de bétonnage.
4.3.3.c) Règles de cumul vis-à-vis de la compression dans le béton
L'Eurocode 2 partie 2 impose en [EC2-1-1 6.2.4(105)] une règle de cumul pour la compression dans le béton. Selon cette règle, lorsque le béton est mobilisé à sa résistance plastique pour équilibrer la flexion, il ne peut pas participer en plus à la résistance des bielles d'effort tranchant. Il convient donc de vérifier la compression dans les bielles à partir d'une hauteur de béton réduite, notée hf,red , où : hf,réd = hauteur dalle hauteur comprimée en flexion aux ELU
4.4 - Méthode générale de vérification d'une plaque
Les annexes F de l'Eurocode 2 partie 1-1 et LL de l'Eurocode 2 partie 2 présentent une méthode utilisable pour vérifier de façon générale la résistance aux ELU d'une plaque soumise à une combinaison quelconque de sollicitations concomitantes.
NTP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
La méthode est directement applicable à une plaque munie d'un ferraillage orthogonal, et elle peut être généralisée moyennant quelques adaptations au cas d'une plaque avec ferraillage biais. Le principe général de cette vérification consiste à décomposer la plaque en 3 feuillets :
· ·
2 feuillets extérieurs, qui équilibrent les efforts de flexion et les cisaillements dans le plan de la plaque ; 1 feuillet intermédiaire, qui équilibre les cisaillements transversaux.
Les efforts de plaque sont décomposés sur ces 3 feuillets. Les 2 feuillets extérieurs travaillent alors en membrane, c'est-à-dire qu'ils ne sont soumis qu'à des efforts dans leurs plans, sans moments de flexion. L'articulation des différentes parties du texte de l'Eurocode 2 est la suivante :
· · ·
l'annexe F de l'Eurocode 2 partie 1-1 (modifiée par l'Eurocode 2 partie 2, et complétée par la clause 6.109) présente la justification d'une membrane en béton ; l'annexe LL de l'Eurocode 2 partie 2 présente la façon de décomposer les efforts sur les 3 feuillets, et la façon de justifier la plaque ; l'annexe MM de l'Eurocode 2 partie 2 est une application simplifiée de l'annexe LL au cas des âmes de poutres.
4.4.1 - Principe général de la vérification
La méthode proposée est itérative. Elle est beaucoup plus simple à expliquer et à appliquer pour une vérification, mais elle peut également être utilisée en dimensionnement. L'approche de vérification est présentée ci-dessous. La première étape est de savoir si la plaque est fissurée ou non. Pour cela, les contraintes sont calculées sur toute l'épaisseur de la plaque, en face supérieure, au milieu de la plaque et en face inférieure, en la supposant non fissurée. L'équation (LL.101) donne alors un critère permettant de déterminer si la plaque est fissurée ou non. Il s'agit d'un critère exprimé en fonction des contraintes principales, qui généralise à 3 dimensions les critères de fissuration par cisaillement/traction. Si la plaque n'est fissurée nulle part, il suffit de vérifier simplement que la plus grande contrainte principale de compression reste inférieure à fcd. Par la suite, la plaque sera supposée fissurée par application du critère précédent. On se donne les épaisseurs de feuillets, et le principe de la vérification est le suivant :
· ·
on décompose les efforts de plaque en efforts membranaires, on vérifie que chaque feuillet peut équilibrer les efforts auxquels il est soumis, en appliquant les règles de l'annexe F pour les feuillets externes, et les règles de l'annexe LL pour le feuillet intermédiaire.
S'il existe une combinaison d'épaisseurs de feuillets telle que la vérification de chacun d'eux soit satisfaite, la plaque est capable de résister aux efforts appliqués. Les modèles de justification des différents feuillets sont présentés ci-dessous :
· ·
feuillet intermédiaire (annexe LL), feuillets externes (modèle de membrane de l'annexe F).
L'ordre de cette présentation est dû au fait que les efforts dans les feuillets externes dépendent des choix faits pour justifier le feuillet intermédiaire.
4.4.2 - Vérification du feuillet intermédiaire
Le feuillet intermédiaire est une plaque soumise à deux efforts tranchants transversaux vEdx et vEdy. Ces deux efforts tranchants se combinent vectoriellement en un effort tranchant principal vEd0 de direction 0 [EC2-2 Anx.LL(109) Expr.(LL.121)] et [EC2-2 Anx.LL(109) Expr.(LL.122)].
NTQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La justification est alors ramenée à celle d'une dalle soumise à un effort tranchant vEd0. Les règles applicables sont celles de la clause 6.2 de l'Eurocode 2, modifiée par l'annexe nationale pour les dalles. En premier la nécessité d'armatures d'effort tranchant est évaluée, en appliquant la formule (6.2a). Cette formule fait intervenir le taux d'armatures longitudinales dans le sens de la dalle. Ici, les armatures principales font un angle 0 avec la direction de l'effort tranchant, il est possible de démontrer que le taux de ferraillage à utiliser est donné par la formule (LL.123) : l = lx×cos²0 + ly×sin²0 = (Aslx/h) ×cos²0 + (Asly/h) ×sin²0 où Aslx est la section d'armatures par mètre linéaire dans la direction x, Asly est la section d'armatures par mètre linéaire dans la direction y. Si la formule (6.2a) est vérifiée, il n'est pas nécessaire de prévoir d'armatures d'effort tranchant. Sinon, le modèle du treillis développé en 6.2.3 pour dimensionner les aciers d'effort tranchant est appliqué et la direction des bielles est notamment choisie.
Dans la formule (6.2a), il convient de prendre en compte les aciers longitudinaux tendus situés dans les feuillets extérieurs.
Il en résulte alors un effort longitudinal complémentaire vEd0×cot dans la plaque, qui sera réparti par moitié sur les deux feuillets extérieurs. Cet effort est orienté suivant la direction 0. Sa projection selon les directions x et y donne les équations (LL.124) à (LL.127). Par exemple, pour l'effort complémentaire dans la direction x : nEdxc = (vEd0×cot)×cos²0 = (vEd0×cot)× (vEdx/vEd0)² = vEdx²/vEd0×cot [EC2-2 Anx.LL Expr.(LL.126)]
4.4.3 - Modèle de membrane
Les feuillets extérieurs sont vérifiés en utilisant le modèle de membrane développé à l'annexe F, complété par la clause [EC2-2 6.8.7 Expr.(6.109)]. L'application de cette annexe ne pose pas de difficulté particulière. Le projeteur est renvoyé au texte. Le principe de la justification consiste à superposer deux modèles de façon indépendante :
· ·
les tractions membranaires sont reprises par les aciers passifs, les cisaillements sont équilibrés par un système de bielles/tirants ; la compression dans les bielles est vérifiée en tenant compte de la compression générale à l'aide d'un critère d'interaction (6.109), et les tractions développées par les bielles sont ajoutées aux efforts dans les armatures.
La figure ci-dessous montre le critère d'interaction (6.109) pour une membrane bi-comprimée, et le compare avec le critère plus simple de l'annexe F de l'Eurocode 2 partie 1-1 ( < fcd).
NTR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Fig./Tab.4.(3) : Domaine de résistance pour une membrane bi-comprimée
L'application de ce modèle montre que même une dalle tendue dans les deux directions peut équilibrer des efforts de cisaillement. Autrement dit, il n'y a pas d'interaction entre la résistance au cisaillement dans le plan de la dalle et la traction. Le modèle proposé permet en théorie de choisir une orientation des bielles complètement libre, ce qui supposerait un béton parfaitement plastique. En pratique, l'orientation des bielles est conditionnée par le comportement de la membrane aux ELS. Un grand écart par rapport à ce comportement risque de provoquer des fissures inacceptables. Pour cela, l'annexe F prévoit une limitation donnée à la fin de la clause [EC2-2 Anx.F.1(104)].
4.4.4 - Décomposition des efforts sur les membranes
On a vu dans les paragraphes précédents comment justifier les différents feuillets. Il reste à présenter la façon dont les efforts de plaque sont décomposés en efforts membranaires. Les formules sont données par les équations (LL.137) à (LL.148). Le principe général consiste à exprimer l'équivalence en effort et en moment entre les sollicitations de plaque et les sollicitations de membranes. Par exemple, avec les notations et conventions de signe de l'annexe LL, pour la décomposition des efforts nEdx et mEdx appliqués sur la face de normale x en deux efforts membranaires nEdxs et nEdxi, les équations d'équilibre s'écrivent : nEdxs+nEdxi = nEdx ys×nEdxs - yi×nEdxi = mEdx Les équations (LL.137) et (LL.138) s'en déduisent simplement. Si la plaque est fissurée vis-à-vis des efforts transversaux, il convient d'ajouter aux deux équations précédentes les compléments d'efforts longitudinaux donnés par (LL.126). Les expressions (LL.143) et (LL.144) s'en déduisent. Enfin, un traitement particulier doit être accordé au cas (fréquent) où les nappes d'aciers sont excentrées par rapport aux membranes extérieures. C'est l'objet des équations (LL.149) et (LL.150), qui permettent de corriger les efforts membranaires pour tenir compte de cet excentrement.
NTS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.4.5 - Résumé
En résumé, le processus complet de justification d'une plaque fissurée est le suivant : · choix des épaisseurs de feuillets (2 paramètres), · choix éventuel de si la plaque est fissurée à l'effort tranchant transversal (1 paramètre), · pour chaque membrane, choix de l'inclinaison des bielles d'effort tranchant longitudinal (2 paramètres). S'il existe une combinaison de ces 5 paramètres telle que les contraintes dans le béton et les aciers dans les 3 feuillets soient satisfaites, alors la plaque est justifiée.
4.5 - Conclusion
La méthode proposée par l'Eurocode 2, encore appelée "méthode sandwich", est une méthode générale qui semble satisfaisante d'un point de vue théorique, mais dont la mise en oeuvre est consommatrice en calculs. Dans les cas courants, lorsque c'est possible les règles de cumul forfaitaires telles que présentées plus haut seront à privilégier. Dans les cas plus complexes, pour des plaques soumises à des sollicitations multiples, la méthode de l'annexe LL peut apporter une réponse globale et cohérente à la question du dimensionnement des plaques en béton, et permettre une optimisation des quantités d'aciers passifs.
5 - Fondations
L'Eurocode 2 aborde les fondations dans un certain nombre de ses clauses, de manière dispersée selon le thème traité, mais aussi de manière incomplète car il renvoie naturellement pour tout problème d'interaction des structures avec les terrains, à l'Eurocode 7 "Calcul géotechnique" qui comprend deux parties : la partie 1 "Règles générales" et la partie 2 "Reconnaissance des terrains et essais géotechniques". Il a été admis toutefois, au niveau du CEN, que l'Eurocode 7 soit consacré principalement aux règles fondamentales du calcul géotechnique et nécessite des compléments à apporter par d'autres normes nationales. C'est pourquoi, l'annexe nationale à l'Eurocode 7 partie 1 précise que son application sur le territoire français s'appuie sur des normes nationales complémentaires dont les principales, pour les fondations, sont : · la norme NF P 94 261 pour les "Fondations superficielles", · et la norme NF P 94 262 pour les "Fondations sur pieux". Il s'agit cependant de normes encore en cours d'élaboration, à la date de rédaction du présent guide, et dans l'attente de leur parution, le projeteur pourra utilement se reporter aux dispositions du Fascicule 62 Titre V du CCTG, pour ce qui concerne notamment les conditions de prise en compte de l'interaction sol-structure (utiles notamment pour les justifications de résistance structurale STR et la justification géotechnique des fondations GEO [EC0 6.4.1]). En effet, ces dispositions, compatibles avec l'annexe nationale à l'Eurocode 7 partie 1, seront reprises pour l'essentiel par les normes nationales complémentaires en préparation. Il apparaît ainsi utile de rappeler ce que l'Eurocode 2 apporte au projeteur pour les fondations de ses projets de ponts. Il faut partir du principe général selon lequel la justification d'une structure en béton relève de l'Eurocode 2 (STR) : une semelle de fondation, voire un pieu, se calculera donc normalement avec les méthodes et règles de l'Eurocode 2 une fois que les effets de l'interaction sol-structure auront été bien pris en compte. A l'inverse toutes les informations utiles découlant de l'exécution des ouvrages géotechniques sont à rechercher dans les documents appropriés. Cela est le cas, par exemple, de la valeur limite de compression dans le béton d'un pieu foré, définie par un coefficient partiel spécifique [EC2-1-1 2.4.2.5]. L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 précise alors au projeteur qu'il faut se reporter à la norme NF EN 1536 traitant des pieux forés [EC2-1-1/AN 3.1.2(2)P]. Ce principe est d'application générale concernant les fondations pour éviter tout risque d'incohérence ; d'ailleurs, ce risque est faible, puisqu'en principe, l'élaboration des normes complémentaires spécifiques tient compte de l'existence des eurocodes.
NTT= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
NTU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Annexes
Annexe I Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
Les applications numériques données dans ce guide sont basées sur les calculs de deux exemples d'ouvrage : un pont construit par encorbellements successifs et un PSIDP.
1. Données communes
Les ouvrages proposés sont supposés supporter 2 × 2 voies à trafic normal et sont à tabliers dédoublés. Le profil en travers de chaque tablier a une largeur totale de 12,30 m et se décompose en éléments suivants :
· · · · ·
une glissière de type GS2 de 0,50 m d'encombrement une bande dérasée gauche de 1,00 m d'encombrement deux voies de 3,50 m d'encombrement une bande d'arrêt d'urgence de 3,00 m d'encombrement une barrière de type BN4 de 0,80 m d'encombrement.
2. Exemple du pont construit par encorbellements successifs
Il s'agit d'un ouvrage en béton précontraint construit par encorbellements successifs à 3 travées de 65 m 100 m 65 m, constitué d'un mono-caisson à âmes inclinées de hauteur variable de 2,665 m à 5,90 m (sur 45 m) et de 12,30 m de large.
NUM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. I (1) : Exemple du pont construit par encorbellements successifs - coupe transversale et longitudinale
Le découpage en voussoirs conduit à un VSP de 8,00 m de long, 13 voussoirs courants de 3,46 m de long, un voussoir de clavage de 2,04 m de long en travée centrale et une partie coulée sur cintre de 16,02 m en travées de rive. Les principales caractéristiques des sections sur pile et à la clé sont : - sur pile h = 5,90 m ; Ac = 9,50 m² ; Ic = 52,73 m4 ; v = 2,60 m - à la clé h = 2,665 m ; Ac = 6,299 m² ; Ic = 6,477 m4 ; v = 0,925 m Le béton du tablier est du C60/75 dont les caractéristiques principales sont : - fck = 60 MPa ; fcm = 68 MPa ; fctm = 4,4 MPa - Ecm = 39 GPa Le câblage est constitué :
·
de câbles de fléau 12T15S à raison d'une paire par voussoir courant soit 13 paires de câbles au total : - posés en deux lits (9 + 4 paires de câbles dont les axes sont situés à 0,13 m et 0,22 m de la fibre supérieure) et ancrés sur la tranche des voussoirs à 0,40 m de la fibre supérieure,
NUN= Annexe I - Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
- leurs caractéristiques principales sont : Ep = 195 GPa ; fpk = 1860 MPa ; fp0,1k = 1637 MPa ; gaine = 0,09 m ; 1000 = 2,5 ; recul d'ancrage de 6 mm ; coefficient de frottement = 0,19 ; déviations angulaires parasites k = 0,01,
·
de câbles de continuité intérieure 12T15S à raison de 2 paires en travées de rive et 3 en travée centrale : - posés en un lit (dont l'axe est situé à 0,13 m de la fibre inférieure), de la culée aux voussoirs V8 et V9 pour la travée de rive et entre les voussoirs V7 V8 et V9 pour la travée centrale (ancrés en bossage à 0,43 m de la fibre inférieure) , - leurs caractéristiques principales sont identiques à celles des câbles de fléau, de câbles de continuité extérieure 19T15S régnant sur 2 travées à raison de 2 paires en travées de rive et 4 en travée centrale : - posés en un lit (dont l'axe est situé à 0,32 m de la fibre inférieure à la clé et à 0,28 m de la fibre supérieure sur pile) et ancrés au droit des voussoirs sur pile, - leurs caractéristiques principales sont identiques à celles des câbles de fléau.
·
Les armatures passives sont de type B500B pour tous les aciers. - fyk = 500 MPa - fykw = 500 MPa Les appuis de cet ouvrage sont constitués de deux piles de 32 m et 21 m de hauteur, fondées sur 6 pieux de diamètre 1,60 m. Les fûts de piles sont rectangulaires, de 2,30 m dans le sens longitudinal de l'ouvrage sur 4,60 m dans le sens transversal, et en béton C30/35.
3. Exemple du PSIDP
Il s'agit d'un ouvrage de type PSIDP à 3 travées de 17,50 m 27,00 m 17,50 m, constitué d'une dalle à larges encorbellements de 0,90 m de hauteur et de 12,30m de large. Le béton constitutif du tablier est du C35/45 avec comme caractéristiques : - fck = 35 MPa ; fcm = 43 MPa ; fctm = 3,2 MPa - Ecm = 34 GPa
Fig./Tab. An. I (2) : Exemple du PSIDP coupe transversale et longitudinale
NUO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les caractéristiques mécaniques de la section brute sont : - hauteur : h = 0,900 m - section : S = 8,01 m2 - inertie : I = 0,535 m4 v =0,386 m - distance cdg/fs : v' =0,514 m - distance cdg/fi : Les armatures passives sont de type B500B pour tous les aciers. fyk = 500 MPa La câblage est constitué de 20 câbles 12T15S régnant sur les 3 travées. Ces câbles ont les mêmes caractéristiques que ceux du pont construit par encorbellements. Leur tracé est conforme au schéma suivant :
Fig./Tab. An. I (3) : Exemple du PSIDP : tracé du câblage type
Pour les besoins d'illustration de certains calculs (fatigue, maîtrise de la fissuration en particulier), le même ouvrage est dimensionné avec une précontrainte partielle. Le nombre de câbles est réduit à 15 câbles 12T15S. Leurs excentricités sur pile et en travée de rive sont alors modifiées pour être conformes au schéma suivant :
Fig./Tab. An. I (4) : Exemple du PSIDP à précontrainte partielle : tracé du câblage
NUP= Annexe I - Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
Annexe II Imperfections géométriques
1. Exemple de l'arc articulé
Les clauses correspondantes sont en [EC2-2 5.2(105)] et [EC2-2 5.2(106)].
1.1. Données
Caractéristiques principales de l'arc
C = 201,0m F = 33,5m R= Longueur de corde Flèche pour un rapport C =6 F
C2 F 2012 33,5 + = + = 167,5m Rayon de l'arc 8F 2 8 × 33,5 2
F 33,50 = 2 arccos1 - = 2 arccos1 - = 1,287 rd Angle de l'arc R 167,50 A = R × = 167,5 × 1,287 = 215,57 m Longueur de l'arc
Caractéristiques de la section constante
b = 8,00 m Largeur h = 3,00 m Hauteur fck = 30MPa Résistance caractéristique du béton
1.2. Formes des imperfections géométriques
Fig./Tab. An. II (1) : Premiers modes de flambement de l'arc (Résultats du logiciel PCP du Sétra)
NUQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. II (2) : Formes des imperfections géométriques de l'arc dans le plan vertical et dans le plan horizontal
1.3. Valeurs des imperfections géométriques dans le plan vertical
l = 0 × h = 2 1 1 2 = 0,0009632 rd = min 200 min 200 L 215,573 / 2
L a = l = 0,0009632 × 2 s a i = a sin i l 0
215,573 2
2 = 0,0512 m
amplitude maximale du profil sinusoïdal
si = 0,0512 × sin 215,573 2
amplitude des deux ondes à l'abscisse curviligne si
1.4. Valeurs des imperfections géométriques dans le plan horizontal
l = 0 h = a = l 2 1 1 2 = 0,00068109 rd = min 200 min 200 L 215,573
215,573 L = 0,00068109 × = 0,074 m amplitude maximale du profil sinusoïdal 2 2 si = 0,074 × sin amplitude de l'onde à l'abscisse curviligne si 215,573
s a i = a sin i l 0
NUR= Annexe II - Imperfections géométriques
2. Exemple d'une pile
Inclinaisons globales pour imperfections géométriques i = 0 h = en têtes de piles :
·
2 1 min ; 1 et excentricités dérivées 200 L
Pour L=25 m i = 0,00200 rd soit e i = 25,0 × 0,002 = 0,05m (> e 0 = 0,02m ) [EC2-1-1 6.1(4)]
·
Pour L=45 m i = 0,00149 rd soit e i = 45 × 0,00149 = 0,067 m (> e 0 = 0,02m
)
[EC2-1-1 6.1(4)]
NUS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Annexe III Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Les applications numériques présentées ci-après sont relatives à une seule section transversale située pratiquement à la clé de la travée centrale du pont construit par encorbellements successifs, appelée Section S(l/2) et dont la coupe transversale est schématisée ci-dessous :
SECTIONS DE CONTRAINTES GENERALISEES S2 S1
A2 A1 (cdg) A3 I1
Fig./Tab. An. III (1) : Coupe transversale du caisson
Bien entendu dans le cadre d'une étude d'exécution, les justifications vis-à-vis du cisaillement doivent être établies dans de nombreuses sections transversales. Dans chaque section transversale, les deux âmes doivent être étudiées si les efforts ne sont pas symétriques. Différentes coupures locales doivent également être considérées telles que les coupures au droit des goussets (par exemple A2, S1 et S2 de la figure).
Pour l'illustration des applications numériques qui vont suivre les seules coupures considérées sont A1, A3 et I1, justifiées vis-à-vis des cisaillements de tranchant et de torsion dus aux efforts généraux, sans tenir compte des efforts de flexion transversale ou de diffusion éventuels, qui, normalement, doivent être analysés par ailleurs.
NUT= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
1. Données et résultats principaux
1.1. Caractéristiques de la section du caisson à mi-travée
Les caractéristiques géométriques et mécaniques sont données dans le tableau suivant :
Caractéristiques géométriques et mécaniques hauteur caisson largeur du hourdis supérieur largeur extérieure du hourdis inférieur (mi-épaisseur) épaisseur hourdis supérieur épaisseur hourdis inférieur hauteur mi-hourdis supérieur section de la barre Sx section réduite d'axe z Sz inertie de torsion d'axe x Ix inertie d'axe y Iy inertie d'axe z Iz distance cdg bord caisson côté y>0 distance cdg bord caisson côté y<0 distance cdg fibre supérieure distance cdg fibre inférieure rayon de courbure en élévation du hourdis inférieur coefficient de cisaillement pour une âme = S/(I.bw) coefficient de cisaillement vis-à-vis de la torsion Mx aire intérieure au feuillet moyen des parois Ak hauteur utile selon l'inclinaison d'âme (prise égale à 0.9h /cos8,6°) d= longueur d'âme (calcul de sollicitation tangente due à la torsion) = (h - demi-somme des hourdis)/(cos angle inclinaison de l'âme) = zi inclinaison de l'âme par rapport à la verticale largeur droite d'une âme t épaisseur horizontale d'une âme bw Fig./Tab. An. III (2) : Caractéristiques de S(1/2) Section S(l/2) 2,665 12,30 5,564 0,250 0,222 2,540 6,299 1,725 11,82 6,477 60,19 3,132 3,132 0,925 1,739 368,18 0,700 0,115 13,579 2,398/cos8,6° 2,457 8,600 0,320 0,324 Unité m m m m m m m2 m2 m4 m4 m4 m m m m m m-² m-2/m m2 m m degré m m
Ce tableau appelle les commentaires suivants :
· ·
l'aire Ak est approchée en prenant la section du trapèze passant par la mi-épaisseur des hourdis et la miépaisseur des âmes. L'influence des encorbellements dans la résistance à la torsion est ainsi négligée ; la longueur de la paroi de torsion considérée est celle des âmes. Il s'agit de la longueur biaise tenant compte de l'inclinaison des âmes comprise entre les fibres moyennes des hourdis.
NUU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2. Caractéristiques des matériaux
Elles sont rappelées dans le tableau suivant :
Caractéristiques des matériaux inclinaison aciers de cisaillement par rapport à la fibre moyenne = résistance caractéristique du béton sur cylindre fck= résistance caractéristique des aciers de cisaillement fykw= résistance caractéristique des aciers longitudinaux fyk= coefficient partiel sur la résistance du béton C = coefficient partiel sur la résistance des aciers S = coeff cc valeur recommandée coeff ct valeur recommandée [EC2-1-1 3.1.6 et EC2-1-1/AN 3.1.6] [EC2-1-1 3.1.6 et EC2-1-1/AN 3.1.6] Valeur 90 60 500 500 1,5 1,15 1,0 1,0 40,0 4,35 2,03 435 435 MPa MPa MPa MPa MPa Unité degré MPa MPa MPa
résistance de calcul à la compression du béton fcd= cc×fck/C résistance moyenne à la traction du béton fctm [EC2-1-1 Tab.3.1] contrainte de traction de calcul du béton fctd=ct×fctk 0,05/C= contrainte de traction de calcul de l'acier d'âme fywd= fykw/S contrainte de traction de calcul de l'acier longitudinal fyd=fyk/S Fig./Tab. An. III (3) : Caractéristiques des matériaux
Les aciers de cisaillement sont normaux à la fibre moyenne de l'ouvrage du fait de la nécessité de reprise des efforts de torsion [EC2-1-1 9.2.3].
2. Résultats du calcul de flexion générale
Le calcul d'ensemble de l'ouvrage a été mené en utilisant le logiciel ST1 du Sétra, en tenant compte des phases de construction et des charges de l'Eurocode 1. Les extraits de résultats utiles aux différentes justifications et rappelés ci-après sont issus des enveloppes des efforts aux ELS et aux ELU et correspondent à la situation de l'ouvrage en service, au temps infini après toutes pertes de précontrainte effectuées. Les résultats sont déterminés pour deux cas de concomitance des sollicitations :
· ·
moments de flexion My extrêmes et autres sollicitations concomitantes, contraintes de cisaillement extrêmes au niveau du centre de gravité (section A1) et autres sollicitations concomitantes. l'effet Résal dû à l'inclinaison des hourdis, l'effet de la précontrainte, l'effet de la torsion.
Dans les résultats, les contraintes de cisaillement tiennent compte de :
· · ·
NUV= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
2.1. Résultats sous combinaison caractéristique
Sections Effort extrême considéré Effort normal (MN) Effort tranchant réduit Tz (MN) Effort tranchant réduit avec effet Résal (MN) = VEd Moment de torsion Mx (MN.m) = TEd Moment de flexion My (MN.m) Contrainte normale fibre supérieure (MPa) Contrainte normale fibre inférieure (MPa) Contrainte normale au centre de gravité (MPa) Contrainte de cisaillement au CDG (A1) (MPa) Contrainte de cisaillement au bas de l'âme (A3) (MPa) Contrainte normale au bas de l'âme (MPa) Contrainte de cisaillement en hourdis inf (I1) (MPa) Section S(l/2) Cisaillement maximum 42,701 -2,116 -2,175 -1,306 18,543 9,429 1,800 6,779 -1,672 -1,377 3,007 -1,288 Section S(l/2) Moment maximum 40,200 -1,128 -1,205 0,280 32,443 11,018 -2,330 6,382 -0,811 -0,648 -0,217 -0,547
2.2. Résultats à l'ELU de résistance
Sections Effort extrême considéré Effort normal (MN) Effort tranchant Tz (MN) Effort tranchant avec effet Résal (MN) = VEd Moment de torsion Mx (MN.m) = TEd Moment de flexion My (MN.m) Contrainte normale fibre supérieure (MPa) Contrainte normale fibre inférieure (MPa) Contrainte normale au centre de gravité (MPa) Contrainte de cisaillement au CDG (A1) (MPa) Contrainte de cisaillement au bas de l'âme (A3) (MPa) Contrainte normale au bas de l'âme (MPa) Contrainte de cisaillement en hourdis inf (I1) (MPa) Contrainte normale moyenne hourdis inf (MPa) Section S(l/2) Cisaillement maximum 42,917 -2,856 -2,942 -1,763 36,647 12,050 -3,028 6,813 -2,261 -1,862 -0,641 -1,741 -2,400 Section S(l/2) Moment maximum 42,914 -1,383 -1,493 0,202 53,081 14,397 -7,441 6,813 -1,021 -0,819 -3,985 -0,702 -6,532
On peut noter que l'effet Résal ne réduit pas la valeur de l'effort tranchant dans ce cas. Ceci est dû au fait que le hourdis supérieur de largeur importante est fortement comprimé alors que le hourdis inférieur l'est peu, voire tendu. La prise en compte de l'effet Résal n'est donc pas forcément favorable s'il a été calculé avec soin, en tenant compte de l'inclinaison des deux hourdis sur la fibre neutre.
NVM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3. Justifications vis-à-vis des sollicitations tangentes à l'ELU de résistance
Ces justifications traitées en [Chapitre 6-2] et [Chapitre 6-3] sont illustrées ici par la vérification des âmes de la section S(1/2), complété par l'étude des deux coupures I1 et A3.
Dans l'exemple étudié, on a affaire à un caisson à âmes inclinées. La détermination des efforts tranchants provenant de la torsion et qui sollicitent les âmes s'effectue en prenant en compte les longueurs biaises des âmes. L'effort tranchant résistant des âmes se détermine avec le bras de levier du couple élastique de l'âme selon le biais. La prise en compte de l'effort tranchant, pour être cohérent avec celui provenant de la torsion, doit considérer l'effort tranchant projeté suivant l'âme.
3.1. Résistance des âmes sans armatures d'effort tranchant autres que la section minimale
Il s'agit de vérifier si l'effort tranchant résistant des âmes dépourvues d'armatures transversales est suffisant. On suppose dans ce cas le ratio l nul et l'expression suivante est à vérifier [Chapitre 6-2.2.1] : VRd,c (vmin + k1 cp) bw d vmin étant défini par 0,053/C k3/2 × fck1/2 k1 = 0,15 ( valeur recommandée, adoptée par l'annexe nationale) fck = 60 MPa [EC2-1-1 Expr.(6.2b)].
cp = 6,813 MPa = contrainte normale moyenne compte tenu de la précontrainte
vmin = 0,053/C k3/2 × fck1/2 = 0,053/1,5×1,2893/2 × fck1/2 = 0,4004 (ces valeurs sont celles de l'annexe nationale pour les poutres) VRd,c = (vmin + k1 × cp) bw d = (0,4004+0,15 × 6,813) × 0,32 × 2,398/cos8,6° = 1,10 MN par âme d étant pris selon le biais de l'âme L'effort résistant par âme vaut 1,10 MN pour un effort sollicitant par âme de VEd = 2,942/2/cos8,6° = 1,49 MN. La section S(l/2) ne peut donc être justifiée avec la section minimale d'armatures. Il faut donc prévoir et dimensionner des armatures cisaillement en conséquence.
A titre indicatif si la résistance de la section calculée sans armatures avait été suffisante, la justification de la section se serait terminé par la détermination du minimum d'armatures d'âmes à mettre en place. Cette section minimale est donnée par les expressions [EC2-1-1 Expr.(9.4)] et [EC2-1-1 Expr.(9.5)].
w = Asw / (s × bw × sin ) et w > w,min avec w,min = (0,08 f ck ) / f yk fck = 60 MPa et fyk = 500 MPa, w,min = 0,00124, bw = 0,32 m et sin = 1 (aciers verticaux) Asw / s = 4 cm²/m et par âme
3.2. Vérification des âmes quand des armatures d'effort tranchant sont nécessaires
La Section S(l/2) doit être vérifiée sous la combinaison des efforts de tranchant et de torsion. La vérification se fait en application des expressions [EC2-1-1 Expr.(6.13)], [EC2-1-1 Expr.(6.14)] et [EC2-1-1 Expr.(6.15)] pour l'effort tranchant et [EC2-2 6.3.2(104)] pour la torsion dans le cas d'un caisson.
NVN= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.2.a) Vérification de la compression des bielles (i) Sollicitation de tranchant
VEd,i (V) = 2,942/2/cos8,6° = 1,49 MN
(ii) Sollicitation tangente de torsion
La sollicitation tangente de torsion dans une âme est donnée par : VEd,i (T) = TEd × zi /2Ak avec Ak = 13,579 m², TEd = 1,763 MN.m et zi = 2,457 m (longueur biaise de l'âme) VEd,i (T) = 0,159 MN
(iii) Effort tranchant résistant
VRd,max = cw b w z 1 f cd (cot + cot)/(1 + cot 2 ) [EC2-1-1 Expr.(6.14)]
La valeur recommandée de cw, validée par l'annexe nationale est la suivante : 1 (1 + cp/fcd) 1,25 pour les structures non précontraintes pour 0 < cp 0,25 fcd pour 0,25 fcd < cp 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.11.aN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.bN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.cN)]
2,5 (1 - cp/fcd) pour 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd
Avec cp = 6,813 MPa et fcd = 40 MPa, cp/fcd = 0,170 d'où cw =1,170 Une valeur maximale de cot conduit à minimiser la section d'aciers verticaux et à augmenter la contrainte de compression des bielles. cot = 2,5 est choisi comme base de départ de la vérification. Les âmes sont soumises à la fois à du cisaillement et à de la flexion transversale. Dans ce cas la vérification de la condition de non écrasement du béton doit se faire en réduisant l'épaisseur de béton de la zone comprimée en flexion [Chapitre 10 -4.3.3]. Un calcul parallèle de flexion a conduit à évaluer la zone comprimée en flexion (zone strictement nécessaire) à 2 cm, valeur à déduire de la largeur de l'âme. D'où bw= 0,32-0,02 m =0,30 m largeur nette de l'âme z = bras de levier du couple élastique de l'âme, ici pris égal à la longueur biaise = 2,457 m f 1 = = 0,6 1 - ck = 0,6×(1-60/250) = 0,456 250 cot = 1 car les aciers sont inclinés à 90° sur la fibre neutre (en fait les aciers sont verticaux, très légèrement inclinés par rapport à la perpendiculaire à la fibre neutre) d'où VRd,max = 5,42 MN pour une âme.
(iv) Vérification sous sollicitation combinée de tranchant et de torsion
Il faut vérifier : VEd,i(V) + VEd,i(T) VRd,max Il vient : 1,49 + 0,159 = 1,65 < 5,42 La résistance vis-à-vis de la compression des bielles est donc assurée.
NVO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.b) Calcul de la section d'armatures de cisaillement perpendiculaires à la fibre moyenne (i) Section pour une âme
Selon la clause [EC2-1-1 6.3.2(102)] les efforts de cisaillement de tranchant et de torsion sont cumulés et les principes de calculs définis pour l'effort tranchant sont appliqués. Les sollicitations sont données par le tableau "Résultats à l'ELU" précédent. L'effort tranchant pour une âme vaut : VEd,i(V) = 1,49 MN La sollicitation tangente de torsion dans une âme vaut : VEd,i(T) = 0,159 MN La section d'armatures s'obtient en égalant l'effort total de cisaillement à VRd,s (effort résistant fourni par les armatures) D'où Asw/s = (VEd,i(V) + VEd,i(T))/(z fywd cot) z = bras de levier du couple élastique de l'âme, ici pris égal à la longueur biaise = 2,457 m fywd = 434,78 MPa cot = 2,5 Asw/s = (1,49+0,159)/2,457/434,78/2,5 = 6,2.10-4 m²/m = 6,2 cm²/m
(ii) Section maximale pour une âme
On peut vérifier que la section nécessaire ne dépasse pas la section maximale utile donnée par :
A sw, max f ywd b ws 1 cw 1f cd 2
[EC2-1-1 Expr.(6.15)]
cw =1,17 1= 0,456 Il s'en déduit : Asw,max/s = 0,5cw 1 fcd bw /fywd = 0,5 × 1,17 × 0,456 × 40 × 0,32 / 434,78 =78,5.10-4 m²/m= 78,5 cm²/m
3.3. Efforts longitudinaux induits par l'effort tranchant et la torsion
Le calcul est effectué avec le cas de charge donnant l'effort tranchant maximum. La section S(l/2) a comme caractéristique géométriques largeur du hourdis inférieur aire de torsion l = 5,564 m Ak = 13,579 m² épaisseur du hourdis inférieur e = 0,222 m présente des tractions à mi-épaisseur du hourdis inférieur : = -2,400 MPa et est soumise aux sollicitations suivantes : VEd = 2,94 MN MEd = 36,65 MN.m et TEd = 1,76 MN.m
NVP= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.3.a) Effort longitudinal dû à l'effort tranchant
L'inclinaison des bielles du treillis produit un effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales de la fibre inférieure : Ftd,V = 0,5 VEd (cot - cot ) = 90° et cot = 0 Comme il a été choisi cot = 2,5 pour le dimensionnement des armatures de cisaillement Ftd,V= 1,25 VEd VEd= 2,942 MN d'où Ftd,V = 3,68 MN pour l'ensemble du hourdis inférieur. L'effort longitudinal de traction supplémentaire dû à l'effort tranchant vaut donc au mètre linéaire : Ftd,V= (3,68/5,564 ) = 0,661 MN/ml
Plafonnement de l'effort longitudinal supplémentaire dû au tranchant La section S(l/2) se trouve près de la mi-travée où se produit le moment maximal MEd,max. Le plafonnement de l'effort longitudinal de traction dû au tranchant peut donc intervenir. Il est donné par [EC2-1-1 Expr.(6.18)] :
[EC2-1-1 Expr.(6.18)]
Comme les armatures d'effort tranchant sont perpendiculaires à la fibre moyenne
MEd/z + Ftd,V < MEd,max/z
Avec MEd,max = 53,08 MN.m qui est la valeur du moment maximum dans la travée. Soit Ftd,V < (MEd,max - MEd)/z = (53,08-36,65)/2,234= 7,36 MN soit 7,36/5,564 = 1,32 MN/ml L'effort longitudinal de traction dû au tranchant 0,661 MN/ml est inférieur à son plafonnement et doit être pris en compte dans sa totalité.
3.3.b) Effort longitudinal dû à la torsion
La torsion nécessite des armatures longitudinales dont la section peut être calculée à partir de :
Asl f yd
uk où uk
=
TEd cot 2A k est le périmètre de la surface Ak
[EC2-1-1 Expr.(6.28)]
Chaque membre de cette égalité est équivalent à une force au mètre linéaire de paroi, ce qui permet d'écrire : Ftd,T =TEd cot /2Ak L'effort longitudinal de traction supplémentaire dû à la torsion vaut : Ftd,T = 1,763 × 2,5/2/13,579 = 0,162 MN/ml
3.4. Détermination des sections d'armatures longitudinales
La section d'armatures dans le hourdis inférieur se compose d'armatures permettant de résister à la flexion longitudinale d'ensemble, complétées le cas échéant d'armatures permettant de reprendre les efforts longitudinaux supplémentaires apportés par les sollicitations tangentes [Chapitre 6 -2.2.3].
La participation par surtension des aciers de précontrainte adhérents peut aussi être prise en compte [EC2-2 6.2.3(107)].
Si le dimensionnement des armatures vis-à-vis de la flexion d'une section ne pose pas de difficulté il n'y a pas de méthode permettant de déterminer directement les armatures permettant la reprise de l'effort horizontal
NVQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
supplémentaire. Ceci provient du fait qu'en général ces deux quantités d'armatures sont déterminées de manière indépendante avec deux méthodes et modèles différents. On admettra donc le principe de dimensionnement suivant : Les armatures passives seront dimensionnées vis-à-vis de la flexion, mais en laissant subsister des marges de contraintes telles qu'elles puissent théoriquement absorber les efforts longitudinaux supplémentaires. Le dimensionnement et la vérification se font donc normalement, avec un logiciel de calcul de section soumise à de la flexion, du type CDS du Sétra, complétés par une étape itérative supplémentaire comme il sera détaillé dans l'application présentée ci-dessous.
3.4.a) Données de l'exemple d'application
Une section simplifiée en I est utilisée dans le calcul CDS pour représenter la section S(1/2) ci-avant définie ; les efforts appliqués sont ceux des deux cas de charges étudiés ; ils sont conservés et rappelés ci-dessous :
Section S(l/2) Cisaillement maximal Effort Normal comb. QP (MN) Moment de flexion My comb. QP (MN.m) Effort Normal ELU (MN) Moment de flexion My ELU (MN.m) Effort longitudinal de traction de tranchant (MN) Effort longitudinal de traction dû à la torsion (MN) Effort longitudinal total (MN) 42,9 0,04 42,9 36,6 3,7 0,9 4,6 Moment maximal 42,9 0,04 42,9 53,1 0,0 0,02 0,02
Les 4 câbles éclisses 12T15S, adhérents car injectés au coulis de ciment, présents dans le hourdis inférieur sont des torons de résistance caractéristique à la traction fpk =1860 MPa, fp0,1k = 0,9fpk et donnent un effort de précontrainte de : Fp = 8,54 MN (à l'état permanent).
3.4.b) Utilisation du logiciel CDS du Sétra
Le logiciel CDS du Sétra permet un calcul de vérification d'une section de béton précontraint sous des sollicitations (N, M) et produit des résultats complets concernant les déformations et les contraintes dans les trois matériaux.
Dans la pratique le suivi dans le détail de ces résultats et l'ajustement des sections d'armatures ou/et la correction de la section béton permettent de faire du dimensionnement.
Dans cette application, le diagramme contraintes-déformations de type bi-linéaire avec branche supérieure inclinée est utilisé pour les aciers de précontrainte [EC2-1-1 Fig.3.10] ; celui à palier horizontal est utilisé pour les aciers de béton armé [EC2-1-1 Fig.3.8]. La méthode appliquée est la suivante : On commence par faire le dimensionnement des armatures nécessaires vis-à-vis de la flexion sous sollicitations ultimes (N, M). A la quantité d'armatures passives obtenue on rajoute une section d'armatures passives égale à Ftd,V+T / fyd. Ceci permet d'initier le processus d'itération car on vérifie ensuite sous sollicitations (N, M) que la réserve ainsi dégagée est suffisante. Si ce n'est pas le cas on majore la section d'armatures de la quantité (déficit d'effort longitudinal)/fyd jusqu'à obtenir le résultat cherché.
NVR= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Le contrôle de la réserve d'effort longitudinal se traduit par la vérification de l'inéquation : (ud - p)× Ap + (fyd - s ) × As Ftd,V+T avec p contrainte dans les câbles éclisses intérieurs au béton p allongement dans ces câbles s contrainte dans les aciers passifs du hourdis inférieur s allongement dans ces aciers passifs représentant les résultats d'une étape de calcul CDS et ud la contrainte dans les armatures de précontrainte correspondant à l'allongement maximal de calcul ud
En général, on peut commencer le calcul à partir d'une section d'armatures passives quelconque et l'itération peut se faire en plus ou en moins de la quantité :
As = (Déficit ou excès d'effort) / fyd
En pratique après le premier contrôle de la réserve d'effort, la première correction à faire donne approximativement le résultat final et on peut ne pas reprendre l'itération. Il est conseillé de limiter l'allongement maximal de calcul ud des armatures de précontrainte à 2 %.
Les résultats concernant les armatures passives sont :
Section S(l/2) Cisaillement maximal Aciers BA nécessaires en flexion (cm2) Aciers complémentaires de tranchant et torsion Total aciers dans le hourdis inférieur (cm2) (cm2) 0,00 98,5 98,5 Moment maximal 118,0 0,0 118,0
Nota : Dans le cas de charge donnant le cisaillement maximum la section peut théoriquement résister aux sollicitations de flexion sans besoin d'armatures passives. La section d'armatures passives nécessaire pour reprendre l'effort longitudinal n'est pas négligeable. C'est cependant le cas de charge donnant le moment maximal qui est dimensionnant.
3.5. Vérification d'un cisaillement âme-membrure (exemple de la coupure à la jonction du hourdis inférieur avec le gousset - coupure I1)
La justification se fait conformément à [EC2-1-1 6.2.4] et est traitée par le présent guide au [Chapitre 10-1.2]. Le hourdis inférieur est tendu même avant prise en compte des efforts apportés par l'effort tranchant et la torsion. Dans ce cas l'inclinaison des bielles de compression f peut être choisie telle que cotf = 1,25 d'où f = 38,6°. Le tableau du paragraphe "résultats à l'ELU" ci-avant [Annexe III-2.2] donne vEd = 1,74 MPa. Cette valeur ne tient pas compte de la réduction d'épaisseur liée à un moment de flexion transversale concomitant. Il faut vérifier v Ed f cd sin f cos f . vEd = 1,74 < 0,456 × 40 × sin(38,6) × cos(38,6) = 8,9 MPa.
NVS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'écart entre la contrainte effective et la contrainte admissible montre que la prise en compte d'une éventuelle flexion transversale ne devrait pas remettre en cause la résistance au cisaillement. Pour cette section on peut supposer que la flexion transversale est négligeable. Les aciers de cisaillement sont déterminés par : Asf /sf vEd hf /cotf / fyd Asf /sf 1,74 × 0,222/1,25/434,78 = 0,00071 m²/m = 7,1 cm²/m. Ces aciers sont à répartir sur les deux faces du hourdis.
3.6. Vérification d'une section de reprise de bétonnage (exemple de la coupure au niveau bas de l'âme - coupure A3)
Le choix de cette coupure fait intervenir la détermination au préalable des efforts de suspension induits dans les âmes par le hourdis inférieur. Ces efforts sont à prendre en compte dans l'étude de toute coupure horizontale effectuée dans la hauteur des âmes.
3.6.a) Efforts de suspension du hourdis
Ces efforts sont dus : au poids propre du hourdis qcp, à la poussée au vide engendrée par la courbure du hourdis, à la poussée au vide engendrée par la courbure des câbles éclisses contenus dans le hourdis et au droit des âmes. Si : R est le rayon en élévation de l'intrados du pont, Fh la force développée par les contraintes longitudinales dans le hourdis, Fp la force des câbles de précontrainte, alors : la poussée au vide due à la courbure du hourdis vaut q= Fh/R, (Fh est dirigée vers le haut si c'est une compression et vers le bas si c'est une traction), la poussée au vide due aux câbles vaut Q=Fp/R. Elle est dirigée vers le bas. L'application numérique donne : largeur du hourdis entre âmes l'= 5,564-0,324 × 2 = 4,916 m effort longitudinal de traction du hourdis effort total dans les câbles 12T15S rayon de courbure poids du hourdis poussée au vide de traction poussée au vide des câbles Fh = 6,532 × 0,222 = 1,45 MN/ml Fp = 4 × 0,0018 × 0,8 × 1860= 10,71 MN (pertes non déduites) R= 368,182 m qcp = 0,5 × 4,916 × 0,222 × 0,025 = 0,0136 MN/ml q = 0,5 × 4,916 × 1,45 / 368,182 = 0,0097 MN/ml Q= 10,71 / 2 / 368,182 = 0,0145 MN/ml
le bilan pour une âme est ainsi le suivant (signe moins = vers le haut) :
bilan des efforts de suspension pour une âme F = 0,0136 + 0,0097 + 0,0145 = 0,0378 MN/ml Cet effort nécessite par âme un ajout d'aciers transversaux de : Asw = 0,0378/434,78 = 0,87 × 10-4 m²/ml= 0,87 cm²/ml
NVT= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.6.b) Calcul de la contrainte de cisaillement de calcul (coupure A3)
La contrainte de cisaillement aux ELU s'obtient par l'expression vEdi =VEd × S / (Iy × bi) où S est le moment statique au droit de la reprise de bétonnage Iy est l'inertie de la section Elle vaut vEdi = 1,86 MPa
3.6.c) Contrainte limite de cisaillement dans la coupure- calcul de la section d'armatures nécessaire
La contrainte limite de cisaillement le long de la reprise de bétonnage est donnée par : vRdi = c fctd + n + fyd ( sin + cos) 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.25)] avec une valeur plafond de 0,5 fcd = 0,5 × 0,456 × 40 = 9,12 MPa (cette valeur plafond ne peut être atteinte). c= 0,45 et = 0,7 en considérant une reprise rugueuse présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, espacées d'environ 40 mm fctd = 2,03 MPa = contrainte de traction admissible du béton n = contrainte normale à l'interface. Comme l'âme est soumise à une traction verticale dû à la suspension du hourdis de F = 0,0378 MN/ml, il faut prendre c × fctd = 0. n = -0,0378/0,32 = -0,118 Mpa. = 90° = inclinaison des aciers sur la reprise de bétonnage =As/Ai = ratio des aciers traversant la reprise rapportés à la surface de celle-ci Le respect de la contrainte limite de cisaillement permet alors de calculer les ratios d'aciers nécessaires à assurer l'équilibre de la reprise de bétonnage en égalant vEdi et vRdi : vEdi = 1,86 vRdi = 0 - 0,7 × 0,118 + × 434,78 × (0,7+0)= -0,0826 + 304,35 × Il s'en déduit 0,0064, soit As = 0,0064 × 32 × 100 = 20,5 cm²/m. La section d'armatures nécessaire sans reprise de bétonnage serait de : Asw/s= 6,71 + 0,87= 7,58 cm²/m (cumul de la section des aciers de cisaillement et de suspension). La comparaison des deux valeurs montre tout l'intérêt qu'il y a à éviter les reprises de bétonnage.
4. Vérification des âmes sous combinaison caractéristique
La vérification de la résistance au cisaillement aux ELS a été exposée au [Chapitre 7 -2.5.2]. Bien que cela ne soit pas précisé dans les eurocodes, la vérification doit se faire dans toutes les sections des âmes : au centre de gravité, à la jonction avec le hourdis inférieur, à la jonction avec le hourdis supérieur, etc. La vérification porte ici sur la section au centre de gravité où le cisaillement est maximum, et sur la section au bas des âmes où la contrainte normale est minimale. Les résultats de calculs ont été reportés dans la figure [Annexe III-0] ci-dessous qui montre à la fois que :
· ·
les conditions imposées par les eurocodes sont moins contraignantes que celles des pratiques antérieures, car la contrainte de cisaillement admissible est plus élevée, les contraintes de calcul de cet exemple [Annexe III-2.1] sont nettement inférieures aux contraintes admissibles.
NVU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
8.00
7.00
6.00
tau admissible MPa
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
contrainte normale sigmaX MPa
0.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
tau BPEL91adm pour fcj= 60 MPa et sigmaY= 0 contraintes de calcul au centre de gravité
tau adm EC2 pour fck= 60 MPa et sigmaY= 0 contraintes de calcul en bas des âmes
Fig./Tab. An. III (4) : Contrainte de cisaillement admissible sous combinaison caractéristique
Les sections ne présentent donc pas d'insuffisance.
Pour l'ensemble de l'ouvrage cette vérification ne deviendrait déterminante que si l'épaisseur des âmes descendait en dessous de 0,17 m.
NVV= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Annexe IV Justification à la fatigue
1. Implantation des charges de fatigue
Les voies et leur implantation sont définies dans l'Eurocode 1 partie 2, notamment par les clauses [EC1-2 4.2.4(2)] et [EC1-2 4.2.4(3)] :
" (2) Pour chaque vérification individuelle, il convient de choisir le nombre de voies devant être considérées comme chargées, leur emplacement sur la chaussée ainsi que la numérotation de manière à ce que les effets des modèles de charge soient les plus défavorables. (3) Pour les valeurs représentatives de fatigue et les modèles associés, il convient de choisir l'emplacement et la numérotation des voies en fonction du trafic normalement prévisible."
Il est précisé ensuite que tous les modèles de charges de fatigue sont centrés sur les voies conventionnelles ainsi définies [EC1-2 4.6.1(4)]. Il faut souligner qu'il appartient au maître d'ouvrage de définir l'implantation des voies lentes, "en fonction du trafic normalement prévisible". Ce choix est à envisager au cas par cas, pour chaque ouvrage, en anticipant un trafic futur éventuellement différent de celui prévu à l'étude du projet, pouvant conduire à une répartition différente des voies dans le temps d'utilisation de l'ouvrage. L'illustration de ce choix au cas d'une coupe transversale classique montre qu'il peut être déterminant pour le dimensionnement, en particulier pour l'étude de la flexion transversale.
1er cas : sur la voie réelle de droite 2e cas : sur la voie conventionnelle accolée au dispositif de sécurité
Fig./Tab. An. IV (1) : Implantation de la voie lente et des charges de fatigue
Dans le premier cas, l'ajout d'une voie de circulation par suppression de la BAU est considéré comme improbable. Le passage des charges de fatigue ne produit donc aucun effort et aucun dommage par fatigue dans la section d'encastrement. A l'inverse, dans le deuxième cas, le choix d'anticiper le passage éventuel de l'autoroute à 3 voies par sens de circulation, crée une voie lente future accolée à la longrine de la barrière BN4. La justification à la fatigue devient dans ce cas un critère de dimensionnement important pour l'encorbellement.
OMM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2. Méthode générale
Cette procédure de vérification des armatures est définie par la clause [EC2-1-1 6.8.4]. Elle consiste à faire un calcul d'endommagement à partir de cycles d'étendues de contrainte et utilise les courbes de résistance à la fatigue S-N des armatures.
2.1. Détermination des cycles et étendues de contrainte
L'étude à la fatigue d'un ouvrage nécessite d'une part la connaissance des caractéristiques du trafic poids-lourds qui l'emprunte et d'autre part les effets de ce trafic sur l'ouvrage, traduits en terme de contrainte de traction dans les armatures susceptibles d'être touchées par la fatigue. Le trafic est connu soit suite à des enregistrements de trafic réel, soit suite à une modélisation de ce trafic, en se basant sur d'autres trafics similaires connus. La détermination des étendues de contrainte est établie à partir des courbes donnant l'évolution de la contrainte de traction dans les armatures étudiées pendant le passage des camions sur l'ouvrage. Le passage de chaque camion sur l'ouvrage donne lieu à des variations de contrainte qui peuvent présenter différentes étendues. Pour chaque camion, les étendues s1 , s2 , ... sj ,... peuvent être obtenues en appliquant la méthode du "réservoir".
Fig./Tab. An. IV (2) : Application de la méthode du "réservoir"
Il faut ensuite analyser, classer les différentes étendues de contraintes par famille de valeurs si et déterminer leur fréquence d'occurence. Le résultat conduit à un spectre des étendues de contrainte [(si ; ni )i], schématisé par le graphique suivant. (ni : nombre d'occurrence dans chaque famille, encore appelé nombre de cycles).
Fig./Tab. An. IV (3) : Spectre des étendues de contrainte
OMN= Annexe IV - Justification à la fatigue
2.2. Nombre de cycles à la rupture - Endommagement
Le nombre de cycles Ni(si) pour une étendue de contrainte si, provoquant la rupture des armatures par fatigue, est donnée par les courbes S-N [EC2-1-1 6.8.4(1)]. Ce sont des résultats d'essais dépendant de nombreux facteurs. Aussi de nombreux cas types sont étudiés de manière extensive pour fournir aux projeteurs les données pratiques utilisables pour une justification. Représentée en échelle logarithmique la courbe type de s en fonction de N peut être considérée comme constituée de deux demi-droites de pentes 1/k1 et 1/k2. La position des demi-droites est fixée par l'étendue de contrainte Rsk correspondant à un nombre de cycles particulier N* choisi pour les essais. Quelques courbes utiles pour les projets, correspondant à différents types d'armatures et conditions de mise en oeuvre, ont ainsi été étudiées et ont leurs paramètres définis dans les tableaux [EC2-1-1 Tab.6.3N] et [EC2-1-1 Tab.6.4N], et reproduits ci-dessous.
Fig./Tab. An. IV (4) : Courbe S-N des armatures Exposant de la contrainte k1 5 3 3 k2 9 5 5 Rsk (MPa) pour N* cycles fixé par A.N(1) 58,5 35
Type d'armatures Barres droites Barres soudées et treillis soudés Dispositifs de couplage
(1)
N* 106 107 107
L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 donne les valeurs suivantes : - Rsk = 210MPa pour 16 mm - Rsk = 160MPa pour = 40 mm - interpolation linéaire pour des diamètres 16 mm < < 40 mm Fig./Tab. An. IV (5) : Paramètres des courbes S-N pour les armatures de béton armé Exposant de la contrainte k1 5 k2 9 Rsk (MPa) pour N* cycles 185
Armatures de précontrainte Précontrainte par pré-tension Précontrainte par post-tension : monotorons dans gaine en matière plastique armatures de précontrainte droite ou armatures de précontrainte courbes dans gaine en matière plastique armatures de précontrainte courbes dans gaine en acier dispositif de couplage
N* 106
106 106 106 106
3 3 3 5
9 10 7 5
185 150 120 80
Fig./Tab. An. IV (6) : Paramètres des courbes S-N pour les armatures de précontrainte
OMO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.3. Critère de vérification
Par définition des courbes S-N, la rupture par fatigue se produit pour une valeur si donnée, si le nombre de cycles d'étendues de contrainte appliqué ni atteint la valeur Ni qui lui est associé. L'état de fatigue des armatures peut donc être caractérisé par la notion d'endommagement DEd = n/N qui doit rester inférieur à 1 si on veut éviter leur rupture. Dans l'utilisation des courbes S-N il convient d'appliquer au matériau, et donc à l'étendue de contrainte "limite" Rsk, un coefficient partiel S,fat = 1,15 défini par la clause [EC2-1-1 2.4.2.4]. Dans un cas simple, avec une étendue de contrainte constante s, il s'agit simplement de vérifier : n N, N étant le nombre de cycle à la rupture correspondant à s. Dans un cas plus général, avec des variations de contrainte d'étendues différentes, l'endommagement global est calculé en appliquant la règle de cumul des endommagements de Palmgren-Miner, DEd,i étant l'endommagement produit par les ni cycles de chaque étendue si : DEd,i = ni/Ni . Le critère de vérification dans un cas général s'écrit alors :
D Ed =
D
Ed ,i
=
N
ni
i
1
Il faut donc calculer pour chaque si du spectre d'étendues de contrainte, en tenant compte de S,fat , la valeur Ni correspondante pour calculer l'endommagement causé par ni cycles d'application de si . Les expressions de N en fonction de s s'obtiennent aisément à partir des équations des demi-droites : Rsk si s S ,fat Rsk si s S ,fat log( s ) - log Rsk S ,fat log Rsk S,fat 1 = log N * - log N k1
(
)
)
1 Rsk N=N S ,fat s
*
k1
- log( s ) = 1 log N - log N * k2
(
1 Rsk N=N S ,fat s
*
k2
2.4. Autre formulation du critère de vérification
Dans le cas où toutes les étendues de contrainte sont limitées par s < Rsk / S,fat , ce qui se traduit par un positionnement sur la seule demi-droite de pente 1/k2, seule la deuxième expression de N est à utiliser.
L'endommagement DEd pour des armatures soumises à un spectre d'étendues de contrainte [(si ; ni )i] peut alors se calculer par la relation explicite suivante :
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
×
k2
n ( )
i si i
k2
2.5. Modèle de charge de fatigue
Pour l'application de la méthode générale la clause [EC1-2 4.6] propose les deux modèles de charges de fatigue FLM4 et FLM5. Le modèle FLM5, le plus général, consiste à utiliser des données de trafic réel et nécessite l'emploi de logiciels élaborés appropriés ; il ne sera donc pas abordé ici. Le modèle FLM4, constitué d'un ensemble de 5 camions standards produisant des effets équivalents à ceux d'un trafic typique des routes européennes, est plus accessible pour une vérification standard de projet.
OMP= Annexe IV - Justification à la fatigue
Il est décrit par le tableau [EC1-2 Tab.4.7] :
Camion type n°i Espacement des essieux (m)
4,50 4,20 1,30 3,20 5,20 1,30 1,30 3,40 6,00 1,80 4,80 3,60 4,40 1,30
i
1 2 3 4 5
Charge (en kN) 200 310 490 390 450
Charges d'essieu équivalentes (kN)
70 130 70 120 120 70 150 90 90 90 70 140 90 90 70 130 90 80 80
Proportion des camions pi (en %) en fonction du type de trafic
Longues distances Distances moyennes Trafic local
20 5 50 15 10
40 10 30 15 5
80 5 5 5 5
Fig./Tab. An. IV (7) : Camions du modèle de charges de fatigue FLM4
"Chaque camion standard est supposé parcourir l'ouvrage en l'absence de tout autre véhicule." [EC1-2 4.6.5(3)].
Dans la réalité, en fonction de la géométrie de l'ouvrage, la présence simultanée de plusieurs camions sur l'ouvrage est envisageable. Pour obtenir un spectre complet, il est alors nécessaire de considérer des convois de plusieurs camions. Les étendues de contrainte dues à chaque convoi vont alors dépendre des différents types de camions constituant ce convoi et de la distance entre les véhicules. La clause [EC1-2 4.6 (2) note 2] indique que lorsque la présence simultanée de plusieurs camions sur le pont ne peut être négligée, il convient de n'utiliser le modèle FLM4 que complété par des données supplémentaires, spécifiées dans l'annexe nationale. D'après l'annexe nationale, ces données supplémentaires (distance entre véhicules sur une même voie, densité du trafic sur les différentes voies lentes) sont alors à préciser, pour chaque projet individuel, dans le marché. Dans la pratique, l'hypothèse qui consiste à ne considérer qu'un seul camion est valable sur des ouvrages ou des éléments de dimensions faibles ou moyennes (30 m).
Pour les ouvrages de grandes dimensions, l'accumulation de camions sur une même travée donne des variations de contrainte plus fortes que le passage d'un seul camion. Pour des travées de longueur moyenne (< 30 m), avec des longueur de camions du modèle FLM4 variant de 5,00 à 15,00 m, cette différence est moins marquée. Par ailleurs, la probabilité d'occurrence d'avoir plusieurs camions sur une même travée devient faible.
2.6. Détermination des nombres de cycles
Le passage de chaque camion de type i donne les étendues de contrainte : si,1 , si,2 , ... si,j ,... Le nombre de cycles de chaque étendue si,j est le nombre ni de camions de type i passant sur l'ouvrage, pendant toute sa durée d'utilisation. Ce nombre est obtenu par multiplication des données suivantes : - Nobs : trafic annuel des poids lourds - pi : proportion des camions de type i dans le trafic PL - Nyears : durée d'utilisation de projet Le nombre total de camions de type i et de cycles d'étendue si,j est donc ni = pi × Nobs × Nyears .
OMQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Le spectre de variation de contrainte peut donc s'exprimer sous la forme [[(si,j ; ni )j] i= 1 à 5]. La durée d'utilisation de projet Nyears est définie par le maître d'ouvrage. Elle est couramment prise entre 70 et 120 ans. La proportion pi des différents types de camion peut être déterminée à partir du tableau précédent, conforme au tableau [EC1-2 Tab.4.7], à partir du type de trafic. Le nombre de véhicule par an et par voie lente Nobs peut être déterminé à partir du tableau suivant, conforme au tableau [EC1-2 Tab.4.5], en fonction de la catégorie de trafic.
Catégories de trafic 1 2 3 4 Routes et autoroutes à 2 voies ou plus dans chaque sens, avec un trafic de camions élevé Routes et autoroutes avec un trafic de camions moyen Routes principales avec un faible trafic de camions Routes locales avec un faible trafic de camions Nobs par an et par voie lente 2,0 × 106 0,5 × 106 0,125 × 106 0,05 × 106
Fig./Tab. An. IV (8) : Nombre indicatif de véhicules lourds par an et par voie lente
Le type de trafic (trafic local, distances moyennes, longues distances) et la catégorie de trafic ne sont pas liées. En effet une route principale de type "longues distances" avec un faible trafic de camions est en catégorie 3 de trafic. A l'inverse, une voie urbaine à 2 × 2 voies supportant un fort trafic de poids lourds constitué essentiellement de camions à 2 essieux (20 T) a un trafic de catégorie 1 et de type "trafic local".
La catégorie de trafic ne doit pas non plus être confondue avec la classe de chargement des ponts routiers définie dans la clause [EC1-2 4.2.2]. En effet, indépendamment de la catégorie de trafic, la plupart des ouvrages seront dimensionnés avec un chargement de 2e classe. Les ouvrages supportant un trafic de catégorie 4 pourront éventuellement supporter un chargement de 3e classe.
2.7. Calcul de l'endommagement
Avec l'utilisation du modèle FLM4 et donc un spectre d'étendues de contrainte limité [[(si,j ; ni )j] i = 1 à 5], le calcul de l'endommagement se résume, si les étendues de contrainte sont suffisamment faibles, à l'application de l'expression suivante : (avec ni = pi × Nobs × Nyears) D Ed N obs × N years S ,fat = × N* Rsk ×
k2
p ( )
i si , j i, j
k2
3. Méthode "équivalente" de vérification des armatures
L'Eurocode 2 propose également une méthode "équivalente", à partir du modèle de charge de fatigue FLM3 simplifié constitué d'un seul camion, reproduisant les effets d'un trafic représentatif des routes européennes. La méthode est décrite dans la clause [EC2-1-1 6.8.5] et l'annexe [EC2-2 Anx.NN]. Le modèle de charge de fatigue FLM3 décrit dans la clause [EC1-2 4.6.4] est constitué d'un camion de quatre essieux, chacun d'un poids de 120 kN.
Fig./Tab. An. IV (9) : Modèle de charge de fatigue FLM3
OMR= Annexe IV - Justification à la fatigue
Il s'agit de vérifier directement la résistance des armatures à la fatigue, à partir d'une étendue de contrainte équivalente s ,equ = s × s , EC , avec : - s,EC = s,max - s,min est l'étendue de contrainte maximale due au passage du camion du modèle FLM3 calculée en déterminant les positions défavorable (donnant s,max) et favorable(donnant s,min) du camion sur l'ouvrage ; - s : coefficient d'endommagement équivalent à déterminer à partir de l'annexe [EC2-1-1 Anx.NN]. La détermination de ce coefficient sera illustrée plus simplement dans les applications numériques. Le critère de vérification à la fatigue est alors : s ,equ
Calibrage de la méthode Le paramètre s a été calibré de manière à obtenir une équivalence, vis-à-vis de l'endommagement, entre le nombre N* de cycles d'une étendue de contrainte s ,equ = s × s , EC et un spectre [(i ; ni )i] dû à un trafic routier type. L'expression générale de l'endommagement est donnée par la relation :
Rsk S ,fat
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
×
k2
k2
n ( )
i si i
k2
En remplaçant le spectre [(i ; ni )i] par (s,equ ; N* ), la relation devient :
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
N s,equ
*
(
)
k2
s,equ = S ,fat Rsk
k2
La condition DEd 1 est alors équivalente à :
s ,equ
Rsk S ,fat
Le coefficient d'ajustement s a été calibré, à partir de mesures de trafic et de calcul sur différents types d'ouvrages (flexion longitudinale) ou d'éléments (flexion transversale) et à partir des relations :
s =
s ,equ s ,EC
et
s ,equ = k 2
1 × N*
n ( )
i si i
k2
(équivalence des endommagements)
Le calibrage du coefficient s a été établi à partir de calcul de variation de moment, en admettant l'hypothèse d'une relation linéaire entre les variations de contrainte et les variations de moments. Dans les cas où cette hypothèse n'est pas vérifiée, la méthode s'avère toutefois sécuritaire.
4. Méthode alternative simplifiée pour les armatures passives
La clause [EC2-1-1 6.8.6] propose une règle simplifiée de vérification de la résistance à la fatigue des armatures de béton armé. Il suffit de vérifier que l'étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente associée à la combinaison de base est telle que [EC2-1-1/AN 6.8.6(1)] : - s 100 MPa - s 35 MPa pour les barres d'armatures non soudées pour les barres d'armatures soudées
La combinaison de fatigue utilisée pourra être dans la plupart des cas la combinaison fréquente faisant intervenir le modèle de charge principal LM1 : Cfat = C0 + QLM1,Fréq.
OMS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'enveloppe des moments dus au modèle de charge LM1 fréquent donne les valeurs extrêmes des efforts permettant de calculer l'étendue de contrainte s = s,max(No ; Mo + MLM1,Fréq,déf ) s,min(No ; Mo + MLM1,Fréq,fav )
5. Justification d'un PSIDP en flexion longitudinale
5.1. Données
5.1.a) Projet
En théorie, chaque section du PSIDP est à vérifier à la fatigue. Dans l'exemple suivant, la vérification se limitera aux armatures de béton armé et de précontrainte des sections sur appui et à mi-travée. La précontrainte longitudinale est constituée de 15 câbles 12T15S. Le ferraillage passif est constitué de 23HA20, soit une section de 72,25 cm², en partie supérieure de la section sur appui, et en partie inférieure de la section à mi-travée.
(voir caractéristique de l'exemple en [Annexe I]) Fig./Tab. An. IV (10) : Coupe longitudinale du PSIDP
Fig./Tab. An. IV (11) : Section à mi-travée
Fig./Tab. An. IV (12) : Section sur appui
5.1.b) Hypothèses de trafic Durée d'utilisation
L'hypothèse d'une autoroute à 2 × 2 voies avec un trafic de poids lourds élevé est adoptée. Ce trafic est caractérisé par : - trafic de catégorie 2 : Nobs = 2,0 × 106 camions par an sur la voie lente - trafic de type "longue distance" avec une répartition des différents camions types dans les proportions suivantes : p1 = 20 % ; p2 = 5 % ; p3 = 50 % ; p4 = 15 % ; p5 = 10 % La durée d'utilisation de projet de l'ouvrage est Nyears = 100 ans.
OMT= Annexe IV - Justification à la fatigue
5.1.a) Caractéristiques des matériaux
Les valeurs des paramètres des courbes S-N sont données par les tableaux [EC2-1-1 6.8.4 Tab.6.3N] et [EC2-1-1 6.8.4 Tab.6.4N] : - coefficient partiel pour l'acier : S,fat = 1,15 ; - aciers passifs : - précontrainte : k2 = 9 k2 = 7 N* = 106 N* = 106 Rsk = = 202 MPa Rsk = 120 MPa Pour = 20 mm , RSk = 210 50×( 16)/(40 16) = 202 MPa
5.1.d) Combinaison de base
Cette combinaison s'écrit : C0 = Gmax + Pk,inf + 0,6. Pour la précontrainte par post-tension avec armatures adhérentes Pk,inf = rinf × Pm, , avec rinf = 0,90. Les actions permanentes sont combinées avec la valeur fréquente du gradient thermique, soit 60 % de la valeur caractéristique. Pour la section à mi-travée, c'est le gradient thermique tendant la fibre inférieure qui est défavorable, et pour la section sur appui un gradient thermique tendant la fibre supérieure. Ce qui donne les résultats suivants (les tractions des armatures sont données en valeur absolue) :
Section à mi-travée : Section sur appui :
C 0 = G max + 0,9 Pm , + 0,6 TM ,heat Efforts : N0 M0 c,sup P s = 29,95 MN = 3,54 MN.m = 6,30 MPa = 1109 MPa aciers passifs comprimés Efforts :
C 0 = G max + 0,9 Pm , + 0,6 TM ,Cool N0 M0 c,inf P s = 29,95 MN = -2,90 MN.m = 6,53 MPa = 1109 MPa aciers passifs comprimés
Etat de la section :
Etat de la section :
5.2. Application de la méthode générale
5.2.a) Application des charges de fatigue
Dans le cas de cet ouvrage de dimensions moyennes, il est admis que la présence simultanée de plusieurs camions sur l'ouvrage peut être négligée. Le modèle FLM4 qui suppose que chaque camion parcourt l'ouvrage en absence de tout autre véhicule [EC1-2 4.6.5 (3)] est donc bien adapté pour évaluer les étendues de contrainte. La voie lente est implantée sur la voie conventionnelle accolée à la longrine de la barrière BN4 (BAU), conformément à la figure suivante. La note [EC1-2 4.6.1 Note 1] propose d'ajouter 10 % de Nobs pour chaque voie rapide.
OMU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (13) : Implantation des charges de fatigue sur les voies
Les coefficients de répartition transversale sont les suivants :
Travée 1 ou 3 camion dans l'axe de la voie lente camion sur l'axe de la voie rapide 1 camion sur l'axe de la voie rapide 2 1,42 1,07 1,13 Travée 2 1,24 1,04 1,09
Pour simplifier la suite de l'application numérique, le trafic des poids lourds sur les voies rapides n'est pas pris en compte. Au regard des coefficients transversaux, le moment dû à un camion centré sur les voies rapides représente environ 80 % du moment dû à un camion centré sur la voie lente. Dans le cas présent, la prise en compte du trafic poids lourds sur les voies rapides n'a que très peu d'influence sur la justification à la fatigue. Les figures suivantes montrent la variation du moment fléchissant en fonction de la position longitudinale des différents camions circulant sur la voie lente (coefficient de répartition transversale inclus).
Fig./Tab. An. IV (14) : Section à mi-travée - variation du moment due au passage des camions sur la voie lente
OMV= Annexe IV - Justification à la fatigue
Fig./Tab. An. IV (15) : Section sur appui P1 - variation du moment due au passage des camions sur la voie lente
Les variations des efforts dues au passage des camions sont combinées avec les efforts correspondant à l'état de référence. Les courbes montrant l'évolution du moment global Mfat pendant le passage des camions sont les mêmes que les courbes précédentes, à une translation près (suivant un axe vertical) ; Mfat = M0 + MQfat L'effort normal reste constant : N = N0 = 29,95 MN. Le tableau suivant donne les valeurs extrêmes du moment MQfat dû aux charges de fatigue et du moment global Mfat
MQfat (en MN.m) à mi-travée sur appui Max Min Max Min Camion 1 MQfat 0,910 -0,135 0,117 -0,613 Mfat 4,447 3,402 -2,786 -3,517 Camion 2 MQfat 1,429 -0,210 0,183 -0,953 Mfat 4,966 3,327 -2,721 -3,856 Camion 3 MQfat 1,749 -0,278 0,242 -1,385 Mfat 5,286 3,259 -2,662 -4,289 Camion 4 MQfat 1,345 -0,211 0,184 -1,079 Mfat 4,882 3,326 -2,720 -3,983 Camion 5 MQfat 1,457 -0,221 0,192 -1,195 Mfat 4,994 3,316 -2,711 -4,099
Fig./Tab. An. IV (16) : Valeurs extrêmes des moments MQfat et Mfat
5.2.b) Calcul des contraintes étendues de contrainte
Il s'agit d'évaluer l'évolution des contraintes dans les armatures des sections soumises aux efforts : - N0 - Mfat = M0 + MQfat Le calcul de contrainte est effectué à partir de l'état de référence à vide de l'ouvrage avec une contrainte de départ minimale dans la fibre de béton étudiée. Les variations de contrainte produites par la charge de fatigue sont déterminées ensuite conformément au [Chapitre 3 -3.1.4.b)]. Les diagrammes suivants montrent l'évolution, en fonction du moment fléchissant MQ dû aux surcharges, de la traction dans les aciers passifs, des sur-tensions des armatures de précontrainte et de la contrainte dans le béton en fibre supérieure (mi-travée) et inférieure (appui), pour une section soumise à l'effort normal N0 et au moment fléchissant M0 + MQ.
ONM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (17) : Section à mi-travée
Fig./Tab. An. IV (18) : Section sur appui
Ces diagrammes montrent l'importance de la définition d'un état de base dans la combinaison de fatigue. Les relations entre les contraintes et le moment ne sont pas linéaires. La variation de moment due au passage d'un camion donne une variation de contrainte dépendant de l'état "à vide".
Pour la section sur appui, les contraintes de traction dans les aciers passifs supérieurs apparaissent pour des moments MQ inférieurs à 3,20 MN.m. Le graphique [Fig./Tab. An.IV (15)] montre que le moment MQfat reste supérieur à cette valeur. La section sur appui reste donc entièrement comprimée sous le passage des charges de fatigue du modèle FLM4. Il n'y a aucune fatigue pour les armatures de la section sur appui. Dans le cas de la section à mi-travée, la courbe [Fig./Tab. An.IV (17)] montre l'apparition de traction dans les aciers passifs du lit inférieur pour des moments MQ supérieurs à 0,910 MN.m.
ONN= Annexe IV - Justification à la fatigue
(en MPa) s P* Max Min Max Min
Camion 1 0,281 comprimé 3,779 0,000
Camion 2 3,722 comprimé 6,618 0,000
Camion 3 6,276 comprimé 8,741 0,000
Camion 4 3,113 comprimé 6,114 0,000
Camion 5 3,936 comprimé 6,796 0,000
* sur-tension des armatures de précontrainte Fig./Tab. An. IV (19) : Section à mi-travée Contraintes extrêmes
Ce tableau donne les contraintes extrêmes et donc l'étendue de contrainte maximale max = max - min. Les courbes de la figure [Fig./Tab. An.IV (14)], montrent que le passage de chaque camion engendre une variation de contrainte simple (un seul pic). En effet, la décompression de la zone d'enrobage n'apparaît que pour des moments dépassant 0,910 MN.m. Seules les parties des courbes situées au-dessus de cette valeur, créent de la traction dans les armatures comme le montre la figure suivante.
Fig./Tab. An. IV (20) : MQ > 0,910 MN.m
Le passage de chaque camion de type i ne produira donc qu'une seule étendue de contrainte : - pour les aciers passifs : s,i = s,max,i - pour la précontrainte : (P,i) = (P,max,i ) (variation de la sur-tension)
Pour tenir compte de la différence de comportement vis-à-vis de l'adhérence, entre armatures de béton armé et armatures de précontrainte, un coefficient de majoration est appliqué à la variation de contrainte des aciers passifs, conformément à la clause [EC2-1-1 6.8.2(2)]. Le calcul de est effectué à partir des valeurs suivantes : - As = 72,26 cm² s = 20 mm ; P = 1,6 A P,câble = 67,88 mm ;
- AP = 15×AP,câble = 270 cm²
- = 0,50 (Tableau [EC2-1-1 Tab.6.2] : post-tension, torons, béton C50/60) On obtient ainsi = As + A P =1,95 As +A P (s / P )
ONO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les étendues de contrainte appliquées aux armatures de la section à mi-travée sont déterminées à partir de la relation contrainte-moment correspondante des armatures représentée dans la figure [Fig./Tab. An.IV (17)] :
Type de camion i s,i = ×s,max,i (P,i ) 1 0,546 3,779 2 7,242 6,618 3 12,213 8,741 4 6,058 6,114 5 7,659 6,796
Fig./Tab. An. IV (21) : Etendues de contrainte (en MPa)
5.2.c) Calcul de l'endommagement
Les étendues de contrainte se situent toutes sur la demi-droite de pente 1/k2 de la courbe S-N, l'endommagement peut donc être calculé à partir de l'expression déterminée précédemment : D ed = N obs × N years N
*
S ,fat × Rsk
k2
×
p ( )
i si , j i, j
k2
Type de camion i
1 k2 / pi 9 7 20 % 8,69 × .10-4 2,20 × 103
2 5% 2,74 × 106 2,78 × 104
3 50 % 3,02 × 109 1,95 × 106
4 15 % 1,65 × 106 4,79 × 104
5 10 % 9,07 × 106 6,69 × 104
p ( )
i si
k2
p i ( si )
k2
Aciers passifs Précontrainte
3,04 × 109 2,09 × 106
Fig./Tab. An. IV (22) : Détail des calculs d'endommagement
Les résultats sont les suivants : - aciers passifs : - précontrainte : DEd = 3,82 × 10-9 < 1 DEd = 3,11 × 10-6 < 1
La résistance des armatures à la fatigue est donc vérifiée.
Contrainte moyenne - Contrainte limite Avec des valeurs d'endommagement quasiment nulles, les armatures semblent ne subir aucun préjudice dû à la fatigue. Cependant l'endommagement est une fonction exponentielle des étendues de contrainte i . On conseille donc de calculer le paramètre :
k2
D Ed = k 2
N obs × N years N*
k2
×
S ,fat Rsk
k2
× k2
p ( )
i si , j i, j
k2
L'expression
pi(si, j ) i, j
s'apparente à une étendue de contrainte "moyenne"
La condition DEd < 1 ou
moy < Rsk S ,fat × K
k2
D Ed < 1 revient alors à la vérification
avec
K = k2
Nobs × N years N*
et
moy = k 2 pi si, j
i, j
(
)
k2
Le paramètre k 2 D Ed peut donc être considéré comme le rapport entre une étendue de contrainte moyenne et une étendue de contrainte limite. Ce paramètre est donc plus simple à interpréter que l'endommagement DEd.
ONP= Annexe IV - Justification à la fatigue
Les résultats sont les suivants : Aciers passifs : Précontrainte :
9 7
D Ed = 0,116 < 1 D Ed = 0,163 < 1
k2
Le sécurité vis-à-vis de la résistance à la fatigue reste confortable. Cependant le paramètre donne des valeurs plus perceptibles par le projeteur (15%) que DEd (10-8). Les tableaux suivants montrent la variation de
k2
D Ed
D Ed en fonction de DEd.
Lorsque la vérification à la fatigue sera satisfaisante, les valeurs de DEd seront souvent très faibles. Un endommagement de 1 % des aciers passifs correspond à 9 D Ed = 60% de l'étendue de contrainte admissible. La section est alors plus proche de l'état limite ultime de fatigue que ne le laisse paraître la valeur de l'endommagement.
Figure :
k2
D Ed en fonction de D Ed < 1
Lorsque la vérification n'est pas satisfaisante, l'endommagement prend rapidement des valeurs importantes. Un endommagement de 5,0 des aciers passifs, correspond à 9 D Ed = 1,20. Il suffit alors d'augmenter la section des aciers passifs de l'ordre de 20 %, pour obtenir une diminution des contraintes du même ordre, et des valeurs d'endommagement proche de 1,0.
Figure :
k2
D Ed en fonction de DEd >1
ONQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
5.3. Application de la méthode "équivalente"
5.3.a) Application des charges de fatigue
La charge de fatigue Qfat est dans ce cas le camion du modèle FLM3. Conformément à la clause [EC2-2 Anx.NN.2.1(101)], les charges d'essieu du modèle doivent être pondérées par les coefficients suivants : - 1,75 pour une vérification des sections sur appuis intermédiaires des ponts continus, - 1,40 pour toutes les autres sections.
Il est important que ce coefficient de pondération soit appliqué à la charge, et donc aux efforts sollicitant la section, la relation entre les variations de contrainte et les variations de moments n'étant pas linéaire. Les figures [0] ou [0] montrent que la variation de contrainte s(Q×M) est supérieure à Q×s(M) (Q = 1,40 ou 1,75).
La figure suivante montre la courbe de variation des moments MQfat= Q×MFLM3, au niveau de la section sur appui et à mi-travée, pendant le passage du camion FLM3 dans l'axe de la voie lente (coefficient de répartition inclus) :
Fig./Tab. An. IV (23) : Variation du moment MQfat
5.3.b) Etendue de contrainte EC
Sous combinaison de fatigue, les efforts suivants sont donc appliqués aux sections :
· ·
No = 29,95 MN Mfat = Mo + Q×MFLM3 - Section sur appui : - Section à mi-travée : avec pour Mo = -2,90 MN.m ; Mo = 3,54 MN.m ; s,0 = comprimé s,0 = comprimé Q = 1,75 Q = 1,40
Pour la section sur appui, les contraintes de traction dans les aciers passifs supérieurs apparaissent pour un moments MQfat inférieur à 3,20 MN.m (application de la méthode générale).
ONR= Annexe IV - Justification à la fatigue
La figure précédente montre que le moment MQfat reste supérieur à cette valeur. Comme dans la méthode précédente, la section sur appui reste donc entièrement comprimée sous le passage du camion FLM3. Dans le cas de la section à mi-travée, les contraintes dans les aciers passifs inférieurs apparaissent pour un moment MQfat supérieur à 0,910 MN.m. Les contraintes extrêmes sont calculées avec les sollicitations suivantes : - No = 29,95 MN - MQfat,min = -0,39 MN.m - MQfat,max = 2,40 MN.m Mfat,max = 5,94 MN.m s,min = faible compression ; P,min 0 s,max = 12,72 MPa ; P,max = 14,13 MPa.
Les étendues de contrainte sont les suivantes : - aciers passifs : - précontrainte : s,EC = ×(s,max s,min) = 24,80 MPa ; P,EC = P,max P,min = 14,13 MPa ; (avec = 1,95)
Ici, pour simplifier, la faible contrainte de compression minimale a été prise égale à zéro.
5.3.c) Coefficient d'ajustement s
L'annexe [EC2-2 Anx.NN] permet de calculer la valeur de s à partir de la détermination de 5 coefficients et de l'expression s = s,1× s,2× s,3× s,4× fat . Chacun de ces coefficients permet de corriger l'étendue de contrainte EC pour tenir compte des différents paramètres.
(i) Coefficient s,1
Ce coefficient tient compte du type d'ouvrage ou d'élément et de l'effet préjudiciable du volume de trafic en fonction de la longueur critique de la ligne ou de la surface d'influence. Les valeurs de s,1 sont obtenues à partir des abaques des figures NN.1 et NN.2 de l'annexe NN. Pour la section sur appui, les valeurs doivent être lues sur l'abaque NN.1. Cependant, cette section, comme vu précédemment, ne subit aucun endommagement. Pour la section à mi-travée, l'abaque NN.2 donne les valeurs de s,1. La longueur de la ligne d'influence, en abscisse de l'abaque, doit être considérée comme la longueur de travée, dans le cas d'un tablier continu avec plusieurs travées identiques.
Le coefficient s,1 a été calibré sur plusieurs type de structures, notamment sur des ouvrages continus à 3 travées de longueur l variant entre 10 et 90 m. Cette longueur l est définie comme la "longueur de la ligne d'influence" par l'annexe [EC2-2 Anx.NN]. Dans le cas d'un ouvrage ayant des travées de longueurs différentes, les règles suivantes sont adoptées : - vérification d'une section en travée : longueur de la travée - vérification d'une section sur appui : moyenne des longueurs l = (l i-1 + l i )/2
Pour la vérification de la section à mi-travée, la longueur est donc l = 27,00 m. La lecture des coefficients s,1 s'effectue sur les courbes concernant les poutres continues (indice a) : - 3a) aciers de béton armé (k2 = 9) - 2a) armatures de précontrainte courbes dans gaines en acier (k2 = 7) s,1 = 1,18 s,1 = 1,35
ONS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
(ii) Coefficient s,2
Ce coefficient tient compte du volume de trafic. Dans l'exemple considéré, les hypothèses de trafic correspondent aux hypothèses de base de la méthode "équivalente", c'est-à-dire un trafic de catégorie 2 (Nobs = 2,0.106) et type longue distance (Q = 1,0). On a donc : s,2 =1,00
Dans l'utilisation de l'expression [EC2-2 Anx.NN Expr.(NN.103)], le volume de trafic est exprimé en million de camions. Le calcul est effectué avec Nobs = 2,0 millions.
(iii) Coefficient s,3
Ce coefficient tient compte de la durée d'utilisation de projet du pont. Dans l'exemple considéré, Nyears = 100 ans, est l'hypothèse de base de la méthode "équivalente". s,3 =1,00
(iv) Coefficient s,4
Ce coefficient tient compte de l'influence éventuelle du trafic des poids lourds sur des voies autres que la voie lente principale. Dans l'application de la méthode générale, nous avons négligés l'impact d'un trafic poids lourd sur la première voie rapide, d'un volume 10 % de Nobs, a été négligé. La prise en compte de ce trafic donnerais un coefficient s,4 1,01. On adoptera : s,4 =1,00
(v) Coefficient fat
La clause [EC1-2 4.6.1(6)] indique que "les modèles de charge de fatigue 1 à 4 tiennent compte d'une majoration dynamique correspondant à une bonne qualité de revêtement", c'est-à-dire qu'une valeur de fat égale à 1,20 est supposée déjà incluse (c'est l'hypothèse adoptée pour l'exemple). Pour une rugosité du revêtement de qualité différente une correction doit être introduite au prorata. En conclusion, pour les aciers passifs pour les armatures de précontrainte s =1,18 s =1,35
5.3.d) Critère de vérification
Il s'agit de vérifier la condition s ,equ = s × s ,EC - aciers passifs : - précontrainte : s,equ = 29,26 MPa P,equ = 19,08 MPa Rsk S ,fat 176,00 MPa (Rsk = 202 MPa) 104,30 MPa (Rsk = 120 MPa)
5.4. Comparaison des deux méthodes
Afin de comparer les deux méthodes sur l'exemple du PSIDP, dans les deux cas, l'étendue de contrainte limite Rsk / s,fat peut être prise comme référence. Dans la méthode générale, la vérification peut s'écrire sous la forme : K × moy s ,equ Rsk S ,fat
Pour la "méthode équivalente" :
Rsk S ,fat
ONT= Annexe IV - Justification à la fatigue
On peut ainsi comparer les rapports entre l'étendue de contrainte calculée et l'étendue de contrainte limite. Dans le premier cas, ce rapport est donné par le paramètre k 2 D Ed , tandis que dans le deuxième cas, il est donné par l'expression : s,fat ×s,equ / Rsk
k2
D Ed
S ,fat × s ,equ / Rsk
16,7 % 18,3 %
Acier passifs Précontrainte
11,6 % 16,3 %
Fig./Tab. An. IV (24) : Comparaison des méthodes
Dans ce cas, la "méthode équivalente" est donc sécuritaire. La différence entre les deux méthodes s'explique par le fait que, pour des sections en béton précontraint, sollicitées en flexion composée, l'hypothèse de base de la "méthode équivalente" (la linéarité de la relation entre les variations de contrainte et de moment) n'est pas vérifiée.
5.5. Application de la méthode "simplifiée"
Il s'agit de vérifier s < 100 MPa , sous la combinaison de fatigue Cfat = C0 + QLM1,Fréqu . Pour le calcul des effets du modèle de charge LM1 fréquent, les coefficients sont les suivants : - Charges (2e classe) : Q1 = 0,9 ; Q2 = Q3 = 0,8 ; q1 = 0,7 ; q2 = q3 = qr = 1,0 ; - Combinaison : MLM1,Fréqu = 0,75× MTS + 0,40×MUDL
No (MN) Section sur appui Section à mi-travée déf fav déf fav 29,95 29,95 29,95 29,95 Mo (MN.m) -2,90 3,54 MLM1,Fréqu -3,37 0,53 4,77 -0,72 Mfat -6,27 2,37 8,31 2,82 s (MPa) 0,966 0,000 54,76 0,000 s * 1,88 106,78
s = ×(s,max s,min) avec = 1,95 Fig./Tab. An. IV (25) : Calcul de l'étendue de contrainte
Les armatures passives de la section à mi-travée ne vérifient pas le critère demandé. Les deux autres méthodes montraient pourtant une marge importante par rapport à la limite. Cette méthode simplifiée apparaît donc très sécuritaire.
6. Justification d'un encorbellement en béton armé
6.1. Données
6.1.a) Projet
Dans l'exemple suivant, la section d'encastrement de l'encorbellement de l'ouvrage en béton précontraint construit par encorbellements successifs est considérée. Il s'agit ici d'une section en béton armé pour laquelle les aciers passifs sont vérifiés à la fatigue.
ONU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (26) : Coupe transversale de l'encorbellement
6.1.b) Application du critère de dispense de justification à la fatigue
Il est légitime dans ce cas, de se poser la question si l'application du critère i) [Chapitre 6-5] aurait permis de se dispenser de la justification à la fatigue. Ce critère exige que les contraintes de traction dans les armatures de l'encorbellement ne dépassent pas la limite de 300 MPa sous combinaison caractéristique d'actions. Compte tenu des données du projet, le calcul des moments sollicitants donne : MELS,carac = 138,0 kN.m/m MELU = 187,2 kN.m/m En limitant la contrainte dans les aciers passifs à 300 MPa sous combinaison caractéristique et à 435 MPa à l'ELU de résistance, les sections d'armatures suivantes sont obtenues respectivement : As,ELS = 18,40 cm2/m et As,ELU = 17,20 cm²/m.
Par simplification, le dimensionnement des aciers est obtenu avec :
As, min =
M z × s
avec As section d'acier et z bras de levier du couple élastique
Hauteur, position des aciers : h = 0,32 m et d =0,28 m Bras de levier du couple élastique z = 0,90×d 0,250 m.
6.1.c) Hypothèses de trafic
Dans l'hypothèse d'une autoroute à 2 × 2 voies avec un trafic de poids lourds élevé : - trafic de catégorie 2 : Nobs = 2,0 × 106 camions par an sur la voie lente - trafic de type "longue distance" avec une répartition des camions-types dans les proportions suivantes : p1 = 20 % ; p2 = 5 % ; p3 = 50 % ; p4 = 15 % ; p5 = 10 % La durée d'utilisation de projet de l'ouvrage est Nyears = 100 ans.
ONV= Annexe IV - Justification à la fatigue
6.1.d) Caractéristiques des matériaux
Les paramètres de la courbe S-N des armatures passives sont : - k2 = 9 ; N* = 106 ; Rsk = 202 MPa (dans l'hypothèse d'armatures 20) ; - coefficient partiel pour l'acier : S,fat = 1,15.
6.1.e) Combinaison d'actions calcul des contraintes
Toutes les actions appliquées à l'encorbellement poids propre, poids des superstructures et équipements, charges de fatigue provoquent un moment tendant la fibre supérieure. La combinaison de base pour la vérification à la fatigue M0 et les charges de fatigue MQ,fat, donnent des moments toujours de même signe. La contrainte de traction dans les aciers est égale à s = M/(z×As), avec z constant. Il y a donc une relation linéaire entre les variations de contrainte dans les aciers passifs et les variations du moment dues aux passages des charges de fatigue : s = MQ,fat z × As avec As section d'acier et z bras de levier du couple élastique
Il n'est donc pas nécessaire dans ce cas de connaître l'état de référence de la section d'encastrement. Il suffit d'étudier les variations du moment lors du passage des charges de fatigue. Pour l'application numérique, les hypothèses suivantes sont adoptées : - Coefficient d'équivalence acier-béton : = 15 - Hauteur, position des aciers : h = 0,32 m et d =0,28 m - Bras de levier du couple élastique z = 0,90 × d 0,250 m.
6.2. Application de la méthode générale
6.2.a) Application du modèle de charge de fatigue FLM4
Le graphique suivant représente les variations du moment pendant le passage des différents camions du modèle FLM4. Les moments sont estimés à partir de l'abaque de Pücher (dalle d'épaisseur constante encastrée sur un bord) sur une section d'une longueur de 1,00 m. Ils sont exprimés en kNm/ml.
OOM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (27) : Variation du moment due au passage des camions du modèle FLM4
La relation entre s et |M| est linéaire. On peut donc appliquer la méthode des "réservoirs" au graphique précédent, pour déterminer les étendues de variations de moment; les étendues de contrainte s'en déduisent directement ensuite.
Camions de type i |Mi,1| (en KN.m/m) |Mi,2| (en KN.m/m) 1 23,46 2 32,27 3 30,08 4 25,48 5 24,29
27,37 - 8,69 = 18,68 20,23 - 5,11 = 15,12 21,96 - 8,97 = 12,99 Fig./Tab. An. IV (28) : Etendues des variations des moments
Les étendues M1,2 , M2,2 , M5,3 et M5,4 relativement faibles sont négligées.
6.2.b) Calcul de l'endommagement
Les étendues de contrainte sont données par la relation si, j = L'expression de l'endommagement devient alors : D Ed = N obs × N years N* S ,fat × z × A s × Rsk
k2
Mi, j . z × As
×
p ( M )
i i, j i, j k2 i, j
k2
Le tableau suivant donnent les valeurs de M moy = k 2
p ( M )
i
:
Cette fonction peut être définie comme une étendue moyenne de moment à la fatigue des aciers passifs.
I pi 1 20 %
k2
2 5% 1,90.1012 3,75.104
3 50 % 1,01.1013 1,39.1011
4 15 % 6,80.1011 6,19.109
5 10 % 2,94.1011
k2
p ( M )
i i, j
k2
( ) p ( M )
p i M i ,1
i i, 2
4,30.1011 3,44.106
k2
28,76 kN.m/m 1,05.109 avec M exprimée en kNm/ml pour le calcul Fig./Tab. An. IV (29) : Calcul de la variation moyenne du moment
OON= Annexe IV - Justification à la fatigue
La section d'acier passif, As,fat,lim, donnant une résistance minimale à la fatigue suffisante est obtenue en égalant l'expression représentant l'endommagement à la valeur de 1 : DEd = 1,00 Soit : A s ,fat ,lim = k 2 ou N obs × N years N*
k2
D Ed = 1,00. S ,fat z × Rsk × M moy
×
L'application numérique donne :
As,fat,lim = 11,80 cm²/m
Simplification du calcul Dans l'exemple précédent, le passage de chaque camion de type i donne lieu à plusieurs étendues de contrainte (ou de moment) ; une étendue principale i,1 (Mi,1) et des étendues secondaires i,2 , i,3 ... Soit i,j le rapport
i, j Mi, j = avec j 2 i,1 Mi,1
et
max = Max (i,j)
Dans un premier un calcul ne sont pris en compte que les étendues principales Mi,1. Ensuite les deux premières étendues sont pris en compte, Mi,1 et Mi,2 , en supposant M i, 2 = max × M i ,1 Dans le premier cas : Dans le deuxième cas : Ce qui permet d'écrire M moy, 2 =
k2
M moy,1 = k 2 M moy, 2 = k 2
p × (M )
i i ,1 i i ,1
k2
p × ((M )
k
k2
+ ( max × M i ,1 )
k2
)
1 + ( max )
k2
× M moy,1
k
Le facteur reliant Mmoy,2 et Mmoy,1 est une fonction de , f() = 2 1 + ( ) 2 et peut être représentée sur la figure suivante :
Variation du rapport Mmoy,2 / Mmoy,1 Dans un cas extrême, avec = 1,00, la valeur de f() reste inférieure à 1,10. Pour des valeurs plus faibles ( < 0,70), les valeurs de f() sont très proches de 1,00 (<1,01).
OOO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En conséquence, la prise en compte des étendues principales de contrainte (ou de moment) pour chaque type de camion permettra, dans la plupart des cas, d'obtenir une très bonne approximation de l'étendue moyenne de contrainte (ou de moment). Dans l'exemple précédent :
max = M3,2 / M3,1= 18,68 / 30,08 = 0,62
f(max) = 1,001
Le calcul prenant en compte toutes les étendues Mi,j , donne Mmoy = 28,76 kN.m/m En ne prenant en compte que les étendues principales, le calcul donne Mmoy = 28,74 kN.m/m La différence est inférieure à 0,1 % ! En pratique, dans le cas général, il suffit donc de déterminer, pour chaque camion de type i, les positions défavorable et favorable sur la(les) voie(s) lente(s) donnant les contraintes extrêmes, max,i , min,i , et les étendues de contrainte principale i,1 = max,i - min,i . Le calcul approché de la contrainte moyenne est donné par moy = k 2 pi(i,1 ) 2 .
5 k i =1
6.3. Application de la "méthode équivalente"
6.3.a) Application du modèle FLM3 de la charge de fatigue
Il suffit ici de calculer les variations du moment dues au passage du camion FLM3, en pondérant les charges d'essieux par le coefficient 1,40 [EC2-2 Anx.NN.2.1(101)].
Le coefficient de 1,75 n'est appliqué que pour des vérifications en flexion longitudinale pour des ouvrages continus, sur des sections au niveau des appuis intermédiaires.
Fig./Tab. An. IV (30) : Variation du moment MQfat
L'étendue de contrainte s,EC est simplement obtenue à partir de l'étendue maximale de moment et de la M max MQ,fat,max s,EC = = relation : avec MQfat,max = 46,79 kN.m/ml et MQfat,min = 0 z × As z × As
Dans l'application de la "méthode équivalente", seule l'étendue de contrainte maximale due au camion FLM3 est prise en compte. Dans cet exemple, l'étendue de contrainte secondaire est importante. Il convient de noter que le calibrage de la méthode, avec le coefficient d'ajustement s,1, tient déjà compte de ce phénomène.
OOP= Annexe IV - Justification à la fatigue
6.3.b) Coefficient d'ajustement s
L'abaque NN.2 donne la valeur de s,1. La longueur de la ligne d'influence, en abscisse de l'abaque, est la largeur de l'encorbellement, soit 2,35 m. La lecture du coefficient s,1 s'effectue sur la courbe 3c) (aciers de béton armé dalle sous chaussée). Soit : s,1 = 1,10 La valeur des autres coefficients est de 1,00. Donc au final s = 1,10
6.3.c) Dimensionnement des aciers à la fatigue
La condition s ,equ Rsk S,fat donne A s ,min,fat = S,fat × s × M Q,fat ,max z × Rsk
Soit une section d'acier
As,fat,lim = 11,70 cm²/m
6.4. Application de la méthode "simplifiée"
Pour le calcul de l'étendue de contrainte, la relation directe est utilisée : s = Avec les valeurs z 0,250 m et MLM1,Fréqu,déf = 69,10 kN.m/m,
As,min,fat = 27,60 cm²/m .
M LM1,Fréqu,déf z × As
la condition s 100 MPa conduit à la section minimale
7. Comparaisons des méthodes et de leurs résultats. Conclusions
Les méthodes générale et "équivalente" donnent pratiquement le même résultat : As,fat,lim = 11,80 cm²/m. On est dans le cas d'une flexion simple, ce qui valide l'hypothèse de la "méthode équivalente", la linéarité de la relation entre et M et c'est pourquoi les deux méthodes donnent à peu près le même résultat. Dans le cas d'une flexion composée la "méthode équivalente" s'avèrerait plus sécuritaire. Mais elle a l'avantage d'être un peu plus simple comme le montre le rappel des principales étapes des deux méthodes ci-dessous. Les principales étapes de la méthode générale, avec utilisation du modèle FLM4, sont résumées ici. Il est nécessaire de déterminer :
· · · · ·
les efforts (N0 ; M0) sous la combinaison de base, l'implantation de la voie lente, la variation des efforts en fonction de la position x du camion i sur l'ouvrage : MFLM4,i (x), la variation de la contrainte pendant le passage du camion i : si ( N0 ; M0 + MFLM4,i (x) ), les étendues de contrainte si,j . Rsk , plus représentative du ratio entre S ,fat
La condition DEd 1 revient à vérifier l'expression : K × s ,moy étendues de contrainte observées et admissibles.
OOQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Avec
s,moy = k 2 pi si, j
(
)
k2
étendue de contrainte moyenne et K = k 2
Nobs × N years N*
Une simplification de la méthode consiste à déterminer, pour chaque camion de type i, les positions défavorable et favorable donnant si,max et si,min , et de ne tenir compte que de l'étendue de contrainte maximale si,max = si,max si,min Dans la plupart des cas, le calcul suivant donnera une bonne approximation de l'étendue de contrainte moyenne :
s,moy k 2 p1(s1,max ) 2 + p2(s2,max ) 2 + p3(s3,max ) 2 + p4(s4,max ) 2 + p5(s5,max ) 2
k k k k k
Pour la "méthode équivalente", avec utilisation du modèle FLM3, il est nécessaire de déterminer :
· · · · ·
les efforts (N0 ; M0) sous la combinaison de base, l'implantation de la voie lente, les efforts avec le camion FLM3 en position défavorable et favorable, les contraintes s,max et s,min correspondantes et l'étendue maximale s,EC = s,max s,min , le coefficient d'ajustement s . Rsk S,fat
La condition est : s ,equ
avec
s,equ = s,max ×s,EC.
L'utilisation de la méthode simplifiée conduit, comme dans l'exemple précédent, à un surdimensionnement des armatures passives. Comme son nom l'indique elle est très simple avec l'inconvénient d'être toujours très sécuritaire par rapport aux deux autres. Au final, pour cet exemple, c'est la justification de la résistance aux ELU qui est dimensionnante. On doit noter aussi qu'au prix d'une majoration modérée de la quantité d'armatures donnée par les ELU on aurait pu se dispenser d'une justification à la fatigue pas très utile.
OOR= Annexe IV - Justification à la fatigue
Annexe V Justification vis-à-vis de la rupture fragile
1. Cas du PSIDP
Est considéré dans cette annexe l'exemple du PSIDP commun à l'ensemble des chapitres du présent guide. Seul le calcul réalisé sur la section de la première travée située à 2,50 m de la première pile, notée section n° 7, est détaillé ici. Un tableau récapitulatif des quantités de ferraillage à disposer dans les autres sections est alors fourni, qui permet d'identifier les sections les plus critiques vis-à-vis du critère de rupture fragile. Rappel des caractéristiques mécaniques de la section 7 : - hauteur : - section : - inertie : - distance cdg/fs : - distance cdg/fi : - câblage : h = 0,900 m S = 8,01 m2 I = 0,535 m4 v =0,386 m v' =0,514 m 20 × 12T15S disposés avec une excentricité de1,5 cm sous la fibre moyenne
Rappel des sollicitations obtenues dans la section, avec Pm,infini (cf. remarque sur les combinaisons [Chapitre 6-6.2]) : Pm, infini = 44,75 MN MELS freq, max = 0,81 MNm MELS freq, min = -5,63 MNm Le critère concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte [Chapitre 6-6.1] : MELS cara -P, max = 2,92 MNm et MELS cara -P, min = -7,28 MNm Le critère de rupture fragile dans cette section va donc concerner à la fois la fibre supérieure et la fibre inférieure. Dans le cas de la combinaison obtenue pour M = MELS freq, max, c,f = 4,81 MPa en fibre inférieure (respectivement, c,f = 1,53 MPa en fibre supérieure pour MELS freq, min).
OOS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1. Calcul du nombre de torons rompus entrainant la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a)
Cette première étape consiste à déterminer tel que : e ×y 1 c,f - i × Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
i =
c,f + f ctm 1 e ×y Pm , + 0i I S
=
4,81 + 3,2 = 129 % - 0,015 × (-0,514 ) 1 + 44,75 × 0,535 8,01 (respectivement, i = 92 % pour MELS freq, min)
Ce qui correspond dans le premier cas à supprimer la totalité des 20 câbles 12T15S, et dans le deuxième cas à supprimer l'équivalent de 18,5 câbles 12T15S.
1.2. Vérification de la résistance ultime de la section "à précontrainte réduite" sous l'effet cumulé de la combinaison fréquente et de la diminution de la précontrainte calculée (méthode a) :
Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de la combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supprimée déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, = (1 1,00) × 44,75 = 0 MN (3,38 MN pour MELS freq, min) ( 5,02 MNm pour MELS freq, min) La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Pour N = 0 MN, le moment ELU maximal admissible est de 0 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives à disposer en fibre inférieure de 36 cm2. Respectivement, pour N = 3,38 MN, le moment ELU minimal admissible est de 4,1 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives à disposer en fibre supérieure de 52 cm2.
Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i = 0,81 1,00 × 44,75 × ( 0,015) = 1,48 MNm
1.3. Calcul du ferraillage minimal selon la méthode b) :
Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] : M rep A s , min = z s × f yk où : - f ctm × I - 3,2 × 0,535 = = 3,33 MNm pour une fissuration en fibre inférieure ; - v' - 0,514 (respectivement Mrep = -4,43 MNm pour une fissuration en fibre supérieure) fyk = 500 MPa. M rep =
OOT= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance par rapport au centre de compression, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 0,81 m pour les aciers disposés en fibre inférieure (respectivement zs = 0,80 m pour les aciers disposés en fibre supérieure) 3,33 = 82 cm2 en fibre inférieure. 0,81 × 500 Respectivement As,min = 111 cm2 en fibre supérieure. Les mêmes calculs, réalisés sur les autres sections, conduisent aux résultats indiqués dans le tableau ci-dessous. Dans ce tableau, il est constaté que :
· ·
D'où : As,min =
la méthode (b) constitue systématiquement une enveloppe sécuritaire de la méthode (a) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre supérieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (PSIDP) sont celles situées à proximité des piles, entre les 2/3 de la travée de rive et le 1/10ème de la travée centrale (sections 6 à 9) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre inférieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (PSIDP) sont celles situées en travées de rive, entre la mi-travée et la pile (sections 4 à 7).
Culée Pile 2 2,5 0 82 3 5,0 0 82 4 7,5 46 82 5 10,0 41 82 6 12,5 42 0 111 82 7 15,0 52 36 111 82 8 17,5 85 111 9 20,2 54 0 111 82 10 22,9 0 82 11 25,6 0 82 12 28,3 0 82 Clé 13 31,0 0 82 1 0,0 0 82
·
section n°
Abscisse (m)
Ferraillage requis selon la méthode (a) [en cm²] Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
Ferraillage requis selon la méthode (b) [en cm²]
Fig./Tab. An. V (1) : Récapitulatif du ferraillage minimal de rupture fragile dans le cas du PSIDP
PS : Les quantités de ferraillage indiquées dans le tableau ci-dessus incluent les armatures disposées pour d'autres raisons, notamment la justification vis-à-vis de la flexion longitudinale.
2. Cas du pont caisson construit par encorbellements
Est considéré dans cette annexe l'exemple du pont construit par encorbellements successifs, à hauteur variable, commun à l'ensemble des chapitres du présent guide. Seul le calcul réalisée sur la section correspondant à la fin du premier voussoir courant de la travée centrale, notée section n° 18, est détaillé ici. Un tableau récapitulatif des quantités de ferraillage à disposer dans les autres sections est alors fourni, qui permet d'identifier les sections les plus critiques vis-à-vis du critère de rupture fragile.
OOU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Rappel des caractéristiques mécaniques de la section 18 : - hauteur : - section : - inertie : - distance cdg/fs : - distance cdg/fi : - câblage de fléaux : - câblage éclisse : - câblage extérieur : h = 5,21 m S = 8,86 m2 I = 38,43 m4 v =2,22 m v' =2,99 m 24 × 12T15S disposés à 16 cm de la fibre supérieure 0 × 12T15S disposés à 16 cm de la fibre inférieure 8 × 19T15S disposés à 28 cm de la fibre supérieure
Rappel des sollicitations obtenues dans la section, avec Pm,infini (cf. remarque sur les combinaisons [Chapitre 6-6.2]) : Pm, infini = 83,46 MN MELS freq, max = 31,3 MNm MELS freq, min = 17,3 MNm Le critère concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte [Chapitre 6-6.1] : MELS cara -P, max = 118 MNm et MELS cara -P, min = 185 MNm Ces deux valeurs sont négatives et il n'y a donc lieu de considérer que la fibre supérieure. Dans le cas de la combinaison obtenue pour M = MELS freq, min, c,f = 8,42 MPa (11,23 MPa pour MELS freq, max).
2.1. Calcul du nombre de torons rompus entrainant la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a) :
Cette première étape consiste à déterminer , correspondant aux câbles de fléaux, tel que : e ×y 1 c,f - i × Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
i = c,f +fctm 8,42+4,4 = =66 % 1 e0i×y 83,46× 1 + 2,06×2,22 Pm, + 8,86 38,43 I S (81 % pour MELS freq, max).
Ce qui correspond dans les deux cas, pour obtenir la fissuration, à supprimer la totalité des 24 câbles de fléaux :
24 × (12 × 150) = 65 % . 24 × (12 × 150) + 8 × (19 × 150)
OOV= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
2.2. Vérification de la résistance ultime de la section sous l'effet cumulé de la combinaison fréquente et de la diminution de la précontrainte (méthode a) :
Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de la combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supprimée déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, = (1 0,65) × 83,46 = 29,21 MN Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i = 17,3 0,65 × 83,46 × 2,06 = 129,05 MNm (-80,45 MNm pour MELS freq, max) La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Pour N = 29,21 MN, le calcul de section montre que le moment ELU minimal admissible est de 82,5 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives en fibre supérieure de 197 cm2. (0 cm2 pour MELS freq, max)
2.3. Calcul du ferraillage minimal selon la méthode b) :
Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] : A s , min = où : M rep = M rep z s × f yk
- f ctm × I - 4,4 × 38,43 = = -76,2 MNm ; - v' 2,22
fyk = 500 MPa. Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance par rapport au centre de compression, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 4,98 m - 76,2 = 306 cm2. -4,98 × 500
D'où : As,min =
Les mêmes calculs, réalisés sur les autres sections, conduisent aux résultats indiqués dans le tableau ci-dessous. Il ressort de ce tableau que :
· ·
la méthode (b) constitue systématiquement une enveloppe sécuritaire de la méthode (a) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre supérieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (pont construit par encorbellement de hauteur variable) sont celles situées à proximité des appuis en travée centrale (voussoirs Vd1 et Vd2) et jusqu'au tiers de travée compté depuis la pile en travées de rives (voussoirs Vg1 à Vg5) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre inférieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (hauteur variable) sont celles situées à proximité des culées en travées de rives (voussoirs Vg13 et Vg12).
·
OPM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Culée
voussoir n° VCg Vg13 Vg12 Vg11 Vg10 Vg9 Vg8 Vg7 Vg6 Vg5 Vg4 Vg3 Vg2 Vg1
Pile g
VSPg
section n° Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
1 0 131 Pile
2 113 132 Pile d
VSPd
3 98 132
4 88 132
5 0 53 262 135
6 0 0 252 140
7 54 0 253 146
8 118 0 258 156
9 129 0 284 165
10 195 271 -
11 227 279 -
12 129 284 -
13 181 292 -
14 253 304 -
15 188 309 clé
Ferraillage requis selon méthode (a) [en cm²]
Ferraillage requis selon méthode (b) [en cm²]
voussoir n°
VSP
Vd1
Vd2
Vd3
Vd4
Vd5
Vd6
Vd7
Vd8
Vd9
Vd10
Vd11
Vd12
Vd13
section n° Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
16 0 312 -
17 154 308 -
18 197 306 -
19 136 254 -
20 75 287 -
21 18 281 -
22 0 284 -
23 24 0 266 165
24 0 0 263 156
25 0 0 261 148
26 0 140
27 0 125
28 0 131
29 57 128
30 78 127
Ferraillage requis selon méthode (a) [en cm²]
Ferraillage requis selon méthode (b) [en cm²]
Fig./Tab. An. V (2) : Récapitulatif du ferraillage minimal de rupture fragile dans le cas du pont caisson construit par encorbellements
PS : Les quantités de ferraillage indiquées dans le tableau ci-dessus incluent les armatures disposées pour d'autres raisons, notamment la justification vis-à-vis de la flexion longitudinale.
OPN= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
Annexe VI Vérification de la stabilité de forme Méthodes simplifiées et exemple de deux piles
L'étude porte sur les deux piles du pont construit par encorbellements. Les imperfections géométriques initiales sont déduites d'une inclinaison globale donnée à chaque pile ([EC2-1-1 5.2(7)], [EC2-2 5.2(106)]) ce qui permet de calculer une excentricité en tête de pile.
1. Données initiales
1.1. Données générales
· ·
Fûts de piles de hauteurs L=21,0m et L=32,0m encastrés en pied et libres en tête Inclinaisons globales pour imperfections géométriques i = 0 × h = dérivées en têtes de piles - Pour L = 21,0m i = 0,002 18rad soit e i = 21,0 × 0,00218 = 0,046m - ( > e0 = 0,02m [EC2-1-1 6.1 (4)]) - Pour L = 32,0m i = 0,00177 rad soit e i = 32,0 × 0,00177 = 0,057 m - ( > e0 = 0,02m [EC2-1-1 6.1(4)]) 2 1 min ; 1 et excentricités 200 L
· · · · · · · · ·
Défaut de positionnement des charges verticales en tête de pile pour défaut d'implantation et distorsion des appareils d'appui, soit epos=0,05m Section constante et symétrique (ferraillage compris), soit une section rectangulaire de largeur b=4,60m, de hauteur h=2,30m et de densité dens=0,025MN/m3 Section d'armatures correspondant à un ratio géométrique d'armatures minimal =0,002, soit 44HA25 répartis sur deux faces Résistance caractéristique du béton, fck=30MPa Limite caractéristique d'élasticité des aciers passifs de classe B, fyk=500MPa Charges verticales appliquées en tête de pile résultant du calcul en flexion longitudinale du tablier, soit Nqp = 24,67MN, NELU = 39,22MN Charges horizontales en tête de pile, HELU = 0,90MN Pile chargée à t0 = 20 jours (valeur moyenne simplificatrice retenue pour les deux piles. En pratique, cette valeur devra être plus représentative du phasage réel de réalisation de la structure) Section critique aisément identifiée comme se situant au niveau de l'encastrement.
OPO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. VI (1) : Elévation et coupe transversale des piles - Définition des paramètres
OPP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
1.2. Caractéristiques de la section constante pour l'analyse structurale
Caractéristiques du béton
Hauteur Largeur Centre de gravité Aire Inertie Rayon de giration Diamètre moyen pour le fluage Résistance caractéristique Valeur moyenne en compression h = 2,30m b = 4,60m YG = 1,15m AC = 10,58m² IC = 4,6640m4
i= h0 =
IC 4,664 = = 0,664m AC 10,58
2A C 2 × 10,58 = = 1,533m = 1533mm u 2 × (4,60 + 2,30)
fck = 30MPa
fcm = fck +8 = 30+8 = 38MPa
EC2-1-1
EC2-2
E cd =
Valeur de calcul du module
E cm cE 32837 = 27364MPa 1,2
f E cm = 22000 cm 10 38 E cm = 22000 10
0,3
E cd =
0,3
= 32837 MPa
Valeur de calcul de la résistance en compression
f cd = f cd =
cc f ck C 1 × 30 = 20MPa 1,5
cf = 1,1
S 1,15 = 1,1 × 0,85 C 1,5
cf f ck = 0,85 × 30 = 25,5MPa
k=
Paramètres loi de type Sargin
1,05 E cd c1 f cd
k= k=
1,05 E cm c1 cf f ck
1,05 × 27364 × 0,002162 20 k = 3,1060 k=
1,05 × 32837 × 0,002162 25,5 k = 2,9233
OPQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Caractéristiques des aciers passifs
Diamètre d'un acier Nombre d'aciers réparti sur deux faces Cote entre l'axe des aciers et la paroi de béton Section totale des aciers Inertie des aciers par rapport au centre de gravité du béton Rayon de giration Ø = 25mm Nb = 44 c = 0,07m As = 0,0216m² Is = 0,0252m4
is = d= =
Is 0,0252 = = 1,080m As 0,0216
Hauteur utile Ratio géométrique d'armatures
h 2,30 + is = + 1,08 = 2,23m 2 2
A s 0,0216 = = 0,00204 > minimal = 0,002 Ac 10,58 = A s f yd A c f cd = 0,0216 × 434,78 = 0,044 10,58 × 20
Ratio mécanique d'armatures Acier de classe B Valeur de déformation relative sous charge maximale Valeur minimale de (ft/fy)k Limite d'élasticité caractéristique Valeur de calcul du module d'élasticité
uk = 0,05
k = 1,08 fyk = 500MPa Es = 200000MPa
EC2-1-1 Fin de branche élastique Valeur de déformation relative
EC2-2
yd = f yd =
f yd Es f yk S
= =
434,78 = 0,002174 200000 500 = 434,78MPa 1,15
1,1f yk Es
=
550 = 0,00275 200000
Limite d'élasticité de calcul Fin de branche inclinée Valeur de déformation relative Limite d'élasticité de calcul
1,1f yk = 1,1 × 500 = 550MPa
ud = 0,9 uk = 0,9 × 0,05 = 0,045
uk = 0,05
k × f yd = 1,08 × 434,78 = 469,56MPa 1,1k × f yk = 1,1× 1,08 × 500 = 594 MPa
OPR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
1.3. Efforts normaux
Poids propre des piles
Pile de 21 m Pile de 32 m
N pp = A c × dens × L N pp = 10,58 × 0,025 × 21,00 N pp = 5,555MN
N pp = A c × dens × L N pp = 10,58 × 0,025 × 32,00 N pp = 8,464MN
Efforts normaux sollicitants ultimes en pied de piles
Pile de 21 m Pile de 32 m
N Ed = N ELU + G N pp N Ed = 46,719MN
N Ed = 39,22 + (1,35 × 5,555)
N Ed = N ELU + G N pp N Ed = 50,646MN
N Ed = 39,22 + (1,35 × 8,464 )
1.4. Moments du 1er ordre en pied de piles
Combinaison quasi permanente
Pile de 21 m Pile de 32 m
M 0 Eqp = N qp × (e i + e pos ) + N pp
ei 2
M 0 Eqp = N qp × (e i + e pos ) + N pp
ei 2
0,046 0,057 M 0 Eqp = (24,67 × (0,046 + 0,05) ) + 5,555 × M 0 Eqp = (24,67 × (0,057 + 0,05) ) + 8,464 × 2 2 M 0 Eqp = 2,497 MN.m M 0 Eqp = 2,881MN.m
Combinaison ELU fondamentale
Pile de 21 m
M 0 Ed = N ELU × (e i + e pos )
(
)
Pile de 32 m
M 0 Ed = N ELU × (e i + e pos )
(
)
M 0 Ed
e + G × N pp i + (H ELU × L ) 2 = (39,22 × (0,046 + 0,05) )
e + G × N pp i + (H ELU × L ) 2 M 0 Ed = (39,22 × (0,057 + 0,05) ) 0,057 + 1,35 × 8,464 × + (0,90 × 32,00 ) 2 M 0 Ed = 33,322MN.m
0,046 + 1.35 × 5,555 × + (0,90 × 21,00 ) 2 M 0 Ed = 22,838MN.m
OPS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2. Application des critères simplifiés pour négliger les effets du fluage et du second ordre
2.1. Fluage
La valeur finale du coefficient de fluage peut être calculée à partir de l'équation de base décrite dans l'annexe B de l'Eurocode : (t , t 0 ) = RH × (f cm ) × (t 0 ) × c (t , t 0 ) 1 - RH / 100 16,8 (t , t 0 ) = 1 + × 0,1 3 h 0 f cm 1 × 0 , 20 0,1 + t 0
(
)
(t - t 0 ) × ( H + t - t 0 )
0,3
1 - 70 / 100 16,8 1 (,20) = 1 + × 1 = 1,225 × 2,725 × 0,521 × 1 = 1,739 × × 0 , 20 3 0,1 1533 38 0,1 + 20
(
)
Le coefficient de fluage effectif est déterminé avec les moments maximaux à la base des piles.
Pile de 21 m Pile de 32 m
ef = (,20) ef = 1,739 ×
M 0 Eqp M 0 Ed
ef = (,20) ef = 1,739 ×
M 0 Eqp M 0 Ed
2,497 = 0,190 22,838
2,881 = 0,150 33,322
Trois conditions a), b) et c) à satisfaire pour négliger le fluage
Pile de 21 m Pile de 32 m
a ) (,20) = 1,739 2 condition vérifiée b) = c) e 1 =
a ) (,20) = 1,739 2 condition vérifiée
l 0 2 × 21 l 2 × 32 = = 63,3 75 condition vérifiée b) = 0 = = 96,4 75 condition non vérifiée i 0,664 i 0,664 M 0 Ed 22,838 = = 0,489m h = 2,30m N Ed 46,719 condition non vérifiée c) e 1 = M 0 Ed 33,322 = = 0,658m h = 2,30m N Ed 50,646 condition non vérifiée
L'effet du fluage ne peut être négligé pour les deux piles.
OPT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
2.2. Effets du 2nd ordre
Pile de 21 m Pile de 32 m
lim
20 × A × B × C = n n= A= N Ed 46,719 = = 0,221 A c f cd 10,58 × 20 1 1 = = 0,963 1 + 0,2 ef 1 + 0,2 × 0,190
lim =
20 × A × B × C n N Ed 50,646 = = 0,239 A c f cd 10,58 × 20 1 1 = = 0,971 1 + 0,2 ef 1 + 0,2 × 0,150
n= A=
B = 1 + 2 = 1 + 2 × 0,044 = 1,043 C = 1,7 - rm = 1,7 - 1 = 0,7 lim = 20 × 0,963 × 1,043 × 0,7 0,221 = 29,9
B = 1 + 2 = 1 + 2 × 0,044 = 1,043 C = 1,7 - rm = 1,7 - 1 = 0,7 lim = 20 × 0,971 × 1,043 × 0,7 0,239 = 29,0
= 63,3 > lim
= 96,4 > lim
Les effets du 2nd ordre doivent être pris en compte pour les deux piles.
3. Méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure 1/r
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.8].
3.1. Présentation de la méthode
La méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure convient pour les éléments isolés de section droite constante et symétrique (ferraillage compris) soumis à un effort normal constant. Il s'agit de déterminer le moment total qui s'obtient par la somme des moments du 1er et du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(1)], [EC2-1-1 5.8.8.2(2)].
moment total
M Ed = M 0 Ed + M 2 { 13 { 2
moment 1er ordre
moment 2 nd ordre
La méthode permet de calculer le moment du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(3)] à partir d'une estimation de la courbure de la structure à l'équilibre [EC2-1-1 5.8.8.3(1) à (4)], du choix d'un coefficient c dépendant de la distribution des courbures des moments du 1er et du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(4)] et d'une excentricité e2 créé par le 2nd ordre. Le produit de cette excentricité e2 et de l'effort normal de calcul agissant donne le moment du 2nd ordre.
1 l0 2 M 2 = N Ed { { r c moment effort 4 4 123 normal 2 nd ordre
e2
où : 1 courbure estimée r c = 2 si courbure sinusoïdale, c = 8 si courbure constante
OPU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2. Illustration de la méthode - Exemple de la pile de hauteur 21 m
e2
N comb
L=lo/2
G Npp
M2
R
Fig./Tab. An. VI (2) : Paramètres de calcul de M2 sur une pile de type « mât »
3.2.a) Calcul de la courbure
1 1 = KrK r0 r n -n (1 + ) - n (1 + 0,044) - 0,221 K r = min u n -n ; 1 = min (1 + ) - n ; 1 = min (1 + 0,044) - 0,4 ; 1 = 1 bal u bal
f K = max(1 + ef ; 1) = max1 + 0,35 + ck - ef ; 1 200 150 30 63,3 K = max1 + 0,35 + - × 0,190 ; 1 = 1,015 200 150 yd 1 0,002174 = = = 0,0021664 r0 0,45d 0,45 × 2,230 1 = 1 × 1,015 × 0,0021664 = 0,0021989 r
Kr 1,0
0,4
1+
n
Fig./Tab. An. VI (3) : Paramètre Kr
OPV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
3.2.b) Choix du coefficient c
Dans l'exemple traité, le moment du 1er ordre est linéaire et le moment du 2nd ordre sinusoïdal. c dépend de la courbure totale et les inégalités 8 < c < 2 sont vérifiées. Comme le moment du 2nd ordre est numériquement plus élevé que le moment du 1er ordre (dû aux imperfections et à l'effort horizontal en tête de pile), la courbure totale est essentiellement parabolique (puisque M2>>M0Ed), le coefficient est donc pris égal à c= 2.
3.2.c) Calcul de l'excentricité e2
2 1 l0 e2 = r c
e 2 = 0,0021989 ×
( 2 × 21) 2 = 0,393m 2
3.2.d) Calcul du moment du 2nd ordre
Le poids propre de la pile fait varier l'effort normal le long de la pile de (46,719/39,22)-1=19,1% et en toute rigueur la méthode n'est pas applicable. Cependant, le poids de la pile est faible devant la descente de charge en tête et influe peu sur le résultat final. Le moment du 2nd ordre sera surévalué en appliquant en tête de pile l'effort normal NEd calculé à l'encastrement. M 2 = N Ed × e 2 M 2 = 46,719 × 0,393 = 18,361MN.m
3.2.e) Calcul du moment total
M Ed = M 0 Ed + M 2 M Ed = 22,838 + 18,361 = 41,199MN.m
3.2.f) Vérification de la section constante
M Ed = 41,199MN.m M résis tan t = 49,474MN.m La section critique est validée.
4. Méthode simplifiée basée sur une estimation de la rigidité nominale EI
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.7].
4.1. Présentation de la méthode
La méthode simplifiée basée sur une rigidité nominale peut être utilisée pour les éléments isolés de section droite quelconque. La méthode permet de calculer un facteur d'amplification relatif aux effets du 2nd ordre à partir d'un coefficient et de la charge de flambement nominale NB basée sur la rigidité nominale [EC2-1-1 5.8.7.3(1)]. M Ed = M 0 Ed 1 + { 1 3 2 NB moment moment - 1 er total 1 ordre N Ed
OQM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
=
2 dépend de la distribution des moments du 1er et du 2nd ordre ([EC2-1-1 5.8.7.3(2) à (4)]. c0
Dans le cas d'éléments isolés de section constante soumis à un effort normal constant, il est admis une distribution sinusoïdale du moment du 2nd ordre et c0 prend une valeur qui dépend de la distribution du moment du 1er ordre M0Ed , soit par exemple : Pour une distribution constante de M0Ed , c0 = 8 et = 2 2 = 1,234 c0 8 2 2 = 1,028 c 0 9.6
Pour une distribution parabolique de M0Ed , c0 = 9,6 et = Pour une distribution triangulaire de M0Ed , c0 = 12 et =
2 2 = 0,822 c 0 12
Dans le cas d'éléments isolés pour lesquels soit l'effort normal et/ou la section varient, ou qu'une charge transversale est appliquée, = 1 constitue normalement une simplification raisonnable. est calculée à partir d'une estimation de la rigidité nominale EI obtenue par l'addition de 2 l0 deux termes, l'un relatif au béton, l'autre relatif aux armatures, sous réserve que le ratio géométrique A d'armatures = s 0,002 , [EC2-1-1 5.8.7.2 (1) à (4)]. Ac
EI = K c E cd I c + K s E s I s 1 24 123 4 3
béton armatures
NB =
2 EI
L'ensemble des paramètres est précisé dans l'exemple numérique.
4.2. Illustration de la méthode Exemple de la pile de hauteur 21 m
4.2.a) Calcul de la rigidité nominale EI
EI = K c E cd I c + K s E s I s Kc = K 1K 2 1 + ef f ck 30 = = 1,225 20 20 63,3 K 2 = min n ; 0,20 = min 0,221 × ; 0,20 = 0,082 170 170 K1 = Kc = 1,225 × 0,082 = 0,084 1 + 0,190
Ks =1 EI = (0,084 × 27364 × 4,6640) + (1 × 200000 × 0,0252) = 15760,56MN.m 2
OQN= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
4.2.b) Calcul de la charge de flambement nominale
NB = NB = 2 EI 2 l0 2 × 15760,56
(2 × 21)2
= 88,181MN
4.2.c) Calcul du moment total
M Ed = M 0 Ed 1 + NB - 1 N Ed
Le poids propre de la pile fait varier l'effort normal le long de la pile de (46,719/39,22)-1 = 19,1 %, l'élément est soumis à une charge transversale, = 1. 1 = 48,572MN.m = 22,838 × 1 + 88,181 - 1 46,719
M Ed
4.2.d) Vérification de la section constante
M Ed = 48,572MN.m M résis tan t = 49,474MN.m La section critique est validée.
5. Méthode générale de l'EN1992-1-1
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.6].
5.1. Illustration de la méthode sans logiciel - Exemple de la pile de hauteur 21 m
On rappelle que lorsque le projeteur n'a pas à sa disposition de logiciel permettant de coupler non-linéarité géométrique et non-linéarité matériaux, il est possible de rechercher pour une section jugée a priori critique, l'état d'équilibre en exprimant de deux manières la relation liant le moment de flexion dans la section critique avec la courbure de celle-ci :
·
la loi moment-courbure externe où le moment de flexion sollicitant la section est la somme du moment du 1er ordre M0Ed et du moment du 2nd ordre. Pour simplifier, la répartition des courbures le long de la structure est considérée linéaire, ce qui permet de déterminer l'effet du second ordre en fonction de la courbure de la section critique uniquement ; la loi moment-courbure interne où le moment de flexion résistant résulte de l'état de contrainte de la section soumise à une courbure imposée, à effort normal donné ; l'intersection ou non des deux courbes représentatives de la loi externe et de la loi interne permet de vérifier qu'il existe ou non un état d'équilibre. Dans l'affirmative, l'intersection des deux courbes donne la valeur du moment total MEd à l'équilibre.
· ·
OQO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. VI (4) : Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
5.1.a) Loi externe M externe (1/R)
Dans l'hypothèse d'un flambement plan, d'une déformée sinusoïdale et d'une flèche e2 faible, on peut admettre : f ( x ) = e 2 sin 1 d 2f = R dx 2 x l0 2 x 1 = e 2 sin l l 0 0 R
La valeur e2 se déduit en fonction de la courbure 1/R pour l0/2 et on retrouve le résultat utilisé dans la méthode simplifiée basée sur l'estimation de la courbure. e2 = l0 1 2 R
2
Ncomb
Xi
f (x)
G Pi
l0
R
déformée sinusoïdale
Ncomb
e2
x
Fig./Tab. An. VI (5) : Déformée d'un élément bi articulé
OQP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Le moment total est la somme du moment du 1er ordre et du moment du 2nd ordre déterminé à partir de la valeur l de l'excentricité e2 . Au niveau de la section x = 0 , le moment total est égal à : 2 1 M = R
moment 1er ordre
68 7 M 0 Ed
644444moment 2 4444444 44 ordre 7 8 i=n × xi + N comb e 2 + G Pi e 2 - e 2 sin l0 i =1
nd
i=n 1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi R i =1 Avec
× xi 1 - sin l0
l 0 2 1 2 R
G Pi charge de poids propre à l'abscisse xi Ncomb effort normal de la combinaison considérée appliqué à l'extrémité de l'élément Dans le cas d'une charge Pi constante, l'équation devient :
1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi R
l0 2 0
2 × x l0 1 1 - sin dx 2 l0 R
2 2 l 0 1 l0 1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi 1 - 2 R R 2 2 - 2 l0 1 1 M = M 0 Ed + N comb + G N pp 2 R R 2 G N pp l 0 1 1 M = M 0 Ed + N comb + 2,752 2 R R
1,35 × 5,555 (2 × 21) 1 1 M = 22,838 + 39,220 + × × 2 2,752 R R 1 1 M = 22,838 + 7496,813 × R R
2
La valeur du moment externe pour la courbure correspondant à l'équilibre de la structure (voir ci-après) est égale à : M (0,00030143) = 22,838 + 7496,813 × 0,00030143 = 25,098MN.m
1 = 0,00030143 R
5.1.b) Loi interne Minterne(1/R)
A partir des diagrammes contraintes-déformations relative des matériaux, on détermine la valeur et la position des forces internes de la section béton armé pour une courbure 1/R donnée et l'effort normal de compression sollicitant NEd (étapes 1 à 3), pour obtenir le moment résistant interne (étape 4). Ce calcul est effectué pour plusieurs valeurs de courbure afin de pouvoir tracer la courbe représentative de la loi interne M(1/R). La résistance en traction du béton est négligée et le fluage est pris en compte en multipliant toutes les valeurs de déformation relative par le facteur (1+ef). Dans les calculs, les valeurs , , F sont positives en compression, négatives en traction. L'indice sc correspond aux aciers positionnés au-dessus du centre de gravité de la section de béton (aciers comprimés ou les moins tendus), l'indice st aux aciers positionnés au-dessous du centre de gravité de la section de béton (aciers tendus ou les moins comprimés).
OQQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Le calcul du moment interne est détaillé ci-après pour la courbure de la structure.
SECTION ENTIEREMENT COMPRIMEE
Y X Y
1 = 0,00030143 correspondant à l'équilibre R
b
Déformations relatives
Y Contraintes
Y
Forces internes
A sc
YG Ysc Yi
sc
sc
Fsc Fc
Yc
Arctg(1/R)
Yhc
h
G
ci
Yst
ci(1+ ef) st st
Fst
A st
bi
SECTION PARTIELLEMENT COMPRIMEE
Y X Y
b
Déformations relatives
Y Contraintes
Y
Forces internes
A sc
YG Ysc Yi
sc
sc
Arctg(1/R)
Yhc
Fsc
Fc
h
G
ci(1+ ef)
Yst
ci
A st
bi
st
st
Fst
Fig./Tab. An. VI (6) : Définition des paramètres pour le calcul du moment résistant interne
·
Etape 1 Calcul des déformations relatives
A partir de la relation de base
1 b - st = , (d distance entre b et st), on détermine les déformations R d relatives sur la hauteur h de la section béton armé soumise à une courbure 1/R.
Pour commencer, on se donne une courbure 1/R et une déformation relative b sur la fibre extrême du béton, tel que b c1 (1 + ef ) avec c1 la valeur de la déformation relative au pic de contrainte pour obtenir la hauteur de béton comprimé, soit : Yhc = Pour b h si la section est entièrement comprimée 1 / R < h si la section est partiellement comprimée
1 = 0,00030143 et b = 0,00054841 c1 (1 + ef ) = 0,002162 × (1 + 0,190) = 0,002573 , la hauteur R 0,00054841 comprimée est égale à Yhc = b = = 1,819m h = 2,30m ( section partiellement comprimée). 1 / R 0,00030143
Yc
OQR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Les déformations relatives deviennent : - le long de la section de béton ci = ci = bi (1 + ef )
(1 + ef ) (1,819 + Yi ) × 0,00030143 ci = (1 + 0,190)
sc = b - [( YG - Ysc ) × (1 R )]
( Yhc
- Yi ) × (1 R )
avec - 2,30 Yi 0
- au droit des aciers situés au-dessus du centre de gravité de la section
sc sans limitation si branche supérieure horizontale avec sc ud si branche supérieure inclinée sc = 0,00054841 - (1,150 - 1,080 ) × 0,00030143 sc = 0,00052731 ud = 0,045 condition vérifiée - au droit des aciers situés au-dessous du centre de gravité de la section st = b - [( YG + Yst ) × (1 R )] st sans limitation si branche supérieure horizontale avec st ud si branche supérieure inclinée st = 0,00054841 - (1,150 + 1,08) × 0,00030143 st = -0,00012379 > ud = -0,045 condition vérifiée
·
Etape 2 Calcul des contraintes
- Le long de la section de béton
2 k ci - ci c1 c1 ci = MAX f cd ; 0 1 + (k - 2 ) ci c1 2 ci ci 3,1060 × - 0,002162 0,002162 ; 0 ci = MAX 20 × ci 1 + 1,1060 × 0,002162
OQS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
- au droit des aciers situés au-dessus et au-dessous du centre de gravité de la section s yd s = s f yd yd
branche horizontale = f yd s branche inclinée s > yd - yd s = s × f yd + s × k × f yd - f yd ud - yd yd avec s = sc ou st et s = sc ou st
(
)
soit pour les aciers situés au-dessus du centre gravité de la section sc = 0,00052731 < yd = 0,002174 sc = sc f yd yd = 0,00052731 × 434,78 = 105,457 MPa 0,002174
soit pour les aciers situés au-dessous du centre gravité de la section st = -0,00012379 > yd = -0,002174 st = s
·
f yd yd
= -0,00012379 ×
434,78 = -24,757 MPa 0,002174
Etape 3 Calcul des forces internes
- Force résultante du béton et position par rapport au centre de gravité + i +1 b i + b i +1 Fci = i × ( h i +1 - h i ) × 2 2 Fc =
i =1
i=n
Fci
h + h i +1 Yci = i 2
Yc = YG -
Y
i =1
i=n
ci
× Fci
ci
F
i =1
i=n
OQT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Ces équations peuvent être résolues par une méthode numérique en découpant la hauteur h de la section en n tronçons.
hi (m) 0 -0,058 -0,115 | | -2,128 -2,185 -2,243 -2,3 bi (m) 4,6 4,6 4,6 | | 4,6 4,6 4,6 4,6
bi=ci × (1+fef) ci
ci (MPa) 9,98 9,746 9,507 | | 0 0 0 0 total Fci =
Fci (MN) 2,609 2,546 2,483 | | 0 0 0 45,848
Yci -0,029 -0,086 -0,144 | | -2,156 -2,214 -2,271 total Fci × Yci =
Fci × Yci -0,075 -0,22 -0,357 | | 0 0 0 -29,146 -0,636
0,00054841 0,00053107 0,00051374 | | -0,00009289 -0,00011022 -0,00012756 -0,00014489
0,00046085 0,00044628 0,00043172 | | -0,00007806 -0,00009263 -0,00010719 -0,00012176
Position résultante = -29,146/45,848 =
Fig./Tab. An. VI (7) : Contraintes dans le béton
Fc = 45,848MN Yc = YG - 0,636 = 1,15 - 0,636 = 0,514m - aciers situés au-dessus du centre de gravité de la section Fsc = sc × A sc 0,0216 = 1,139MN Fsc = sc × A sc = 105,457 × 2 - aciers situés au-dessous du centre de gravité de la section Fst = st × A st 0,0216 = -0,268MN Fst = st × A st = -24,757 × 2 - vérification de l'effort normal interne résultant N int = Fc + Fsc + Fst N int = 45,848 + 1,139 - 0,268 = 46,719 = N Ed condition vérifiée Nota : si cette condition n'est pas vérifiée, on réajuste la déformation relative b choisie au départ (ou la courbure 1/R) pour que l'effort normal interne Nint égalise l'effort sollicitant NEd.
OQU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Etape 4 Calcul du moment résistant interne
Après avoir équilibré Nint=NEd, on en déduit le moment interne pour la courbure 1/R donnée : Fc × Yc + Fsc × Ysc - Fst × Yst M (1 / R ) interne = Fc × Yc + Fsc × Ysc + Fst × Yst M(0,00030143)interne = 25,09MN.m section entièrement comprimée section partiellement comprimée
M(0,00030143)interne = (45,848 × 0,514) + (1,139 × 1,08) + (0,268 × 1,08)
Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
1/R 0,00000000 0,00016200 0,00023400 0,00030143 0,00037800 0,00043200 M(1/R)externe 22,838 24,052 24,592 25,098 25,672 26,077 M(1/R)interne 0,000 15,438 21,388 25,098 28,157 29,888 c extrême 4,334 7,708 8,994 9,980 10,925 11,512 sc extrème 39,985 76,198 92,214 105,457 119,070 128,043 st extrême 39,985 6,217 -8,870 -24,757 -44,218 -58,573
Equilibre
L'analyse structurale a été effectuée avec une vérification en simultané de la section critique dans le processus de calcul. La section critique est validée. 25,098 On notera que l'écart avec le calcul PCP ci-après est de - 1 = 2,7% . 24,441
OQV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
5.2. Résultats pour les deux piles avec un logiciel de calcul
Les exemples sont repris avec le logiciel PCP du Sétra qui permet un traitement global avec fluage scientifique et prise en compte simultanée du 2nd ordre géométrique et de la non-linéarité matériaux.
5.2.a) Cas de la pile de 21 m
M Ed = 24,441MN.m e 2 = 0,03846m M Ed 24,441 = = 1,070 M 0 Ed 22,838
5.2.b) Cas de la pile de 32 m
M Ed = 43,220MN.m e 2 = 0,227 m M Ed 43,220 = = 1,297 M 0 Ed 33,322
32 28 24 Abscisses (m) 20 16 12 8 4
M0Ed
0 0 5
MEd
10 15 20 25 30 35 40 45 50 Moments (MN.m)
Fig./Tab. An. VI (8) : Diagrammes des moments sur la pile L = 32m
5.2.c) Vérification de la section constante
Pour les deux piles, l'analyse structurale a été effectuée avec une vérification en simultané des sections dans le processus de calcul. La section constante est validée pour les deux piles.
5.2.d) Commentaires sur les méthodes simplifiées
Les valeurs de courbure 1/R et de rigidité EI déterminées à partir des résultats PCP sont comparées avec les estimations des deux méthodes simplifiées pour la pile de hauteur 21 m 1 2 2 1 1 = 0,00021518 < = 0,0021989 × 10,2 = e 2 × 2 = 0,03846 × 2 R PCP r estimée R PCP l0 (2 × 21) EI PCP = M Ed 24,441 = = 113583,97 MN.m ² > EI estimée = 15760,56 EI PCP / 7,2 1 / R 0,00021518
ainsi que les rapports entre moments incluant les effets du second ordre et moments du premier ordre.
ORM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Rappel résultat PCP :
M Ed 24,441 = = 1,07 M 0 Ed 22,838 M Ed 41,199 = = 1,80 M 0 Ed 22,838 M Ed 48,572 = = 2,13 M 0 Ed 22,838
Résultat méthode basée sur :
Résultat méthode basée sur EI :
Le calcul PCP démontre le caractère très sécuritaire des deux méthodes simplifiées. Pour la pile de hauteur 32 m, les sollicitations obtenues avec les deux méthodes simplifiées dépassent largement le 1 moment résistant de la section critique (MEd = 78,853MN.m avec la méthode basée sur , MEd = 310,482MN.m r avec la méthode basée sur EI).
6. Méthode générale de l'EN1992-2
La méthode est illustrée pour les deux piles avec une vérification utilisant successivement les deux inégalités (5.102 b) et (5.102 a) pour mettre en évidence la faible différence entre les résultats obtenus avec les deux critères. Les sollicitations sont déterminées avec le logiciel PCP du Sétra et le diagramme d'interaction de la section constante calculé avec le logiciel CDS du Sétra.
6.1. Vérification avec le critère (5.102 b)
Le processus d'incrémentation des charges a permis d'atteindre la résistance ultime de la section pour la pile de hauteur 21 m et la rupture globale de la structure pour la pile de hauteur 32 m. N Les résultats sont présentés pour les points de passage obligés (en MN, MN.m). M
6.1.a) Cas de la pile de 21 m
46,719 Charge de projet q ELU = G G + Q Q = [1,35 G + 1,35 Q] point U 24,031
[
]
138,239 Charge de ruine q ud = q ELU = 2,95 q ELU point A 91,948 Charge 108,850 q ud q = ud point D 61,584 O ' 1,27
Le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement, ce qui signifie que la pile est correctement dimensionnée. Le niveau de sécurité atteint est égal à = q ud = 2,95 > O ' = 1,27 . q ELU
6.1.b) Cas de la pile de 32 m
50,646 Charge de projet q ELU = G G + Q Q = [1,35 G + 1,35 Q] point U 39,129
[
]
ORN= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
65,839 Charge de ruine q ud = q ELU = 1,30 q ELU point A 61,156 Charge 51,841 q ud q ud = point D 40,176 O ' 1,27
Le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement, ce qui signifie que la pile est correctement dimensionnée. Le niveau de sécurité atteint est égal à = q ud = 1,30 > O ' = 1,27 . q ELU
Pile L=32m Ruine par instabilité d'ensemble
Pile L=21m Ruine par rupture de section M A (a)
A
D
D U
U
N
Chemin de chargement Points de passage obligés A sous charge de ruine q ud qud D sous 1,27 (a)
U sous charge de projet qELU Diagramme d'interaction de la section
Fig./Tab. An. VI (9) : Mode de ruine des piles et application du format de sécurité avec le couple (effort normal, moment)
ORO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Pile L=21m ME
91,948 D A
MR
61,584
24,031
U
q ELU = q ud 2,95
q ud
1,27
q ud
q
Pile L=32m ME MR
61,156 39,129 D U
A
40,176
q ELU = q ud 1,30
q ud q ud 1,27
q
Fig./Tab. An. VI (10) : Application du format de sécurité avec le couple (charge, Moment)
6.2. Mise en oeuvre de la méthode avec utilisation du critère (5.102 a)
Cette mise en oeuvre pratique est expliquée au travers des deux figures [EC2-2 Fig.PP.3] et [EC2-2 Fig.PP4].
On peut facilement remarquer que le point A est dans les deux cas représentés comme se trouvant sur la courbe (a), ce qui sous-entend qu'on est en présence d'une section critique. Ensuite les figures illustrent bien une vérification par le critère (5.102a) : le facteur partiel Rd est clairement utilisé et Sd ne l'est pas car ne sert que pour le critère (5.102c).
ORP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Fig./Tab. An. VI (11) : Application du format de sécurité pour une combinaison vectorielle (M, N) et un comportement sur-proportionnel
Chaque section transversale fait l'objet d'un graphe (N, M) sur lequel est reportée la courbe (a) du diagramme d'interaction de la section. Les différents points A, B, C, D, U définis par l'Eurocode 2 sont déterminés au cours des différentes séquences de chargement. A partir de la charge de ruine, on procède à la détermination des sollicitations (N, M) des points B et C et d'une courbe (b) obtenue par homothétie de la courbe (a) pour établir le format de sécurité.
6.2.a) Détermination de (NB, MB) représentées par un point B
La charge q ud q ELU = avec O = 1,20 donne des sollicitations notées B (NB, MB). O O
6.2.b) Détermination de (NC, MC) représentées par un point C
Les sollicitations NB et MB sont divisées par Rd , soit N c = On obtient un point C (NC, MC). NB Rd et Mc = MB avec Rd=1,06 Rd
6.2.c) Courbe (b) d'intéraction (N,M) et détermination de (ND, MD) représentées par un point D
On construit conventionnellement un domaine de sécurité réduit défini par une courbe (b) obtenue par homothétie de la courbe (a) par rapport à l'origine O (0, 0) et passant par le point C (NC, MC). Elle coupe le chemin de chargement en un point D (ND, MD).
6.2.d) Contrôle vis-à-vis de la sécurité
Le contrôle vis-à-vis de la sécurité est satisfait si le point U (NU, MU), représentant les sollicitations obtenues par le chargement qELU de la combinaison fondamentale ELU, est situé avant le point D (ND, MD) sur le chemin de chargement, autrement dit s'il se trouve à l'intérieur du domaine de sécurité (b) déduit de (a).
ORQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6.2.e) Résultats des calculs pour la pile de hauteur 21 m
ELU SOLLICITATIONS (N, M) ET RAPPEL DES COEFFICIENTS DE CALCUL
Coefficient G Coefficient Q NU POINT U M U Coefficient N POINT A A M A INEGALITES Coefficient O' Coefficient O N POINT B B M B Coefficient Rd NC POINT C M C (5.102 a)
1,35 1,35 46,719 24,031 2,95 138,239 91,948
Rappel (5.102 b) 1,27
1,20 115,199 66,323 1,06 108,678 62,569 109,943 62,333 OUI 108,850 61,584 OUI
N POINT D D M D Section critique validée 1 ?
1
Rappel : La section est validée si le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement.
Les résultats obtenus avec l'inégalité (5.102 b) sont mis pour comparaison. Les deux inégalités donnent sensiblement les mêmes sollicitations limites (ND, MD).
ORR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
6.2.f) Résultats des calculs pour la pile de hauteur 32 m
ELU SOLLICITATIONS (N, M) ET RAPPEL DES COEFFICIENTS DE CALCUL
Coefficient G Coefficient Q NU POINT U M U Coefficient N POINT A A M A INEGALITES Coefficient O' Coefficient O N POINT B B M B Coefficient Rd NC POINT C M C N POINT D D M D Section critique validée 1 ?
1
1,35 1,35 50,646 39,129 1,30 65,839 61,156
(5.102 a) Rappel (5.102 b) 1,27
1,20 54.866 43,176 1,06 51,760 40,861 52,540 40,976 OUI 51,841 40,176 OUI
Rappel : La section est validée si le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement.
Les résultats obtenus avec l'inégalité (5.102 b) sont mis pour comparaison. Les deux inégalités donnent sensiblement les mêmes sollicitations limites (ND, MD).
Pile L=21m M A (a)
Pile L=32m B D
C A
(b)
C
B D U
(b)
U
N
Fig./Tab. An. VI (12) : Application du format de sécurité selon l'inégalité (5.102 a) avec le couple (effort normal, moment)
ORS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6.3. Justification de l'utilisation de l'expression (5.102b)
On rappelle que les trois critères de vérification proposés par l'Eurocode 2 sont les suivantes :
résistance correspondante eftet des actions
Rd ou
64 744 4 8 E ( G G + Q Q )
678 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 a )
résistance correspondante
64 744 4 8 E ( G G + Q Q ) ou
effet des actions
678 4 4 q R ud O'
Inégalité (5.102 b)
résistance correspondante
Rd Sd
64 744 4 8 E gG + qQ
(
effet des actions
)
678 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 c)
Avec Rd = 1,06 coefficient partiel associé à l'incertitude de modèle de résistance Sd = 1,15 coefficient partiel associé à l'incertitude de modèle, des actions et/ou de leurs effets g coefficient partiel relatif aux actions permanentes G, compte non-tenu des incertitudes de modèle q coefficient partiel relatif aux actions variables, compte non-tenu des incertitudes de modèle G = Sd g coefficient partiel relatif aux actions permanentes G Q = Sd q coefficient partiel relatif aux actions variables Q O = 1,20 coefficient de sécurité global O' = O × Rd = 1,27 L'annexe nationale a réécrit ces trois inégalités sous une forme conforme aux prescriptions de l'Eurocode 0.
eftet 64des actions 4 44 7 8 E( GG + QQ ) résistance symbolique correspondante
1 × Rd 6 78 4 4 q R ud O'
6 78 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 a)
ou
effet 64des actions 4 44 7 8 E( GG + QQ ) résistance symbolique correspondante
Inégalité (5.102 b)
ou Sd 64748 4 4 E gG + qQ
effet des actions résistance symbolique correspondante
(
)
1 × Rd
6 78 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 c)
Il est demandé d'une manière générale que l'une trois inégalités soit satisfaite. Un examen plus détaillé permet cependant de s'apercevoir que les trois inégalités ne sont pas totalement équivalentes et que chacune est valable dans des conditions précises. Pour cela, il est nécessaire de revenir au format général de vérification défini par l'Eurocode 0 et rappelé brièvement au [Chapitre 2-4]. L'inéquation générale à vérifier s'écrit Ed Rd avec comme premier membre les effets des actions et comme second membre le domaine de résistance [EC0 Expr.(6.8)]. Le domaine de résistance est défini par l'ensemble des sollicitations limites atteintes dans une section donnée de la structure.
ORT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
En fait cette inéquation se décline en plusieurs inéquations lorsque chaque membre est exprimé en faisant apparaître de manière explicite les différents facteurs partiels de modèle : Ed = Sd E(f F) ou Ed = E(F F) et Rd = (1/Rd ) R(X/m) ou Rd = R(X/M) [EC0 Expr.(6.2) et (6.2a)]. [EC0 Expr.(6.6) et (6.6a)].
Il y a deux façons d'exprimer le premier et le second membre, donc au total quatre possibilités d'écrire le critère de vérification. L'Eurocode 0 précise, qu'en fait, toutes ces expressions n'expriment pas la justification vis-à-vis du flambement [EC0 6.4.2(3)P]. En effet, le flambement peut se produire avant que les limites de résistance des matériaux ne soient atteintes. Dans ce cas se pose la question du choix du symbole à mettre au second membre pour définir l'état-limite correspondant. Par facilité l'Eurocode 2 partie 2 a conservé le symbole R et a choisi d'utiliser les charges appliquées pour définir les limites ; d'où l'utilisation de R(qud), même si, dans le cas du flambement, ce n'est plus une résistance, au sens strict du terme, qui intervient. En introduisant les symboles utilisés par l'Eurocode 2 partie 2, (GG + QQ) pour les charges correspondant à la combinaison fondamentale d'ELU, et qud pour la charge ultime de ruine de calcul, le critère de vérification de la sécurité est exprimé en écrivant que les valeurs maximales des effets des actions sont limitées par les valeurs minimales des limites de "résistance", soit par l'inégalité : E(GG + QQ) < R(qud /(Rd × o)) Le comportement appelé « sur-proportionnel » se rencontre quand les sollicitations croissent plus rapidement que les actions ; c'est notamment le cas du flambement. L'inégalité de base peut être détaillée par la suite d'inégalités suivante :
inégalité ( 64444 75.102 b )444 4 44 8 q q ud 1 < G+ Q Q < E ( G G + Q Q ) < R × R ud Sd E G Rd Sd Sd O Rd × 4 144444444444444 24444444O 4444444 4 3 inégalité ( 5.102 c )
On reconnaît facilement dans cette suite d'inégalités les trois inégalités a), b) et c) de l'Eurocode 2 partie 2 réécrites correctement. Il est aussi aisé de voir que la seule vérification de l'inégalité b) assure la vérification des deux inégalités a) et c). En revanche, avec le comportement dit « sous-proportionnel » c'est-à-dire quand les sollicitations croissent moins rapidement que les actions (section qui se plastifie par exemple), la suite d'inégalités s'écrit différemment, comme ci-après :
64444444444444inégalité ( 5444444444444444 4 7.102 b ) 4 8 q ud q E ( G G + Q Q ) < Sd E G G+ Q Q < 1 × R ud < R × Rd Sd Sd O O Rd 43 14444444424444444
inégalité ( 5.102 c )
Il est aussi facile de contrôler que les inégalités a) et b) sont satisfaites dès lors que l'inégalité c) est vérifiée. En conclusion, pour le comportement appelé « sur-proportionnel » (exemple flambement), l'inégalité (5.102b) place en sécurité et pour le comportement appelé « sous-proportionnel », c'est l'inégalité (5.102c) qui place en sécurité. L'inégalité (5.102a) qui n'est qu'une variante simplifiée de l'inégalité (5.102c) sans faire apparaître le coefficient partiel du côté des effets des actions du premier membre, n'a qu'un intérêt limité. Le guide préconise l'utilisation de l'inégalité (5.102b) dans tous les cas, car elle est d'utilisation particulièrement simple : elle ne nécessite pas de détermination de diagrammes d'interaction ; elle évite d'avoir à s'interroger si le comportement peut être "sur ou sous" proportionnel. De plus elle place du côté de la sécurité dans le cas important du flambement. Et enfin l'imprécision qu'elle génère vis-à-vis de la sécurité dans le cas de comportement sous-proportionnel est acceptable car le facteur partiel pour incertitude de modèle n'intervient que pour une valeur de 1,06 dans un facteur partiel global de 1,27.
ORU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7. Récapitulatif des résultats des quatre méthodes sur la section à l'encastrement
7.1. Résultats des calculs pour la pile de hauteur 21 m
EC2-1-1 EFFORTS SOUS CHARGE qELU NEd M0Ed MEd MEd/M0Ed 41,199 1,80 48,572 2,13 METHODE BASEE SUR 1/r METHODE BASEE SUR EI 46,719 22,838 24,441 1,07 24,031 1,05 METHODE GENERALE EC2-2 METHODE GENERALE
La pile est correctement dimensionnée vis-à-vis des sollicitations données par les quatre méthodes d'analyse structurales
7.2. Résultats des calculs pour la pile de hauteur 32 m
EC2-1-1 EFFORTS SOUS CHARGE qELU NEd M0Ed MEd MEd/M0Ed 78,853 (*) 2,37 310,482 (*) 9,32 METHODE BASEE SUR 1/r METHODE BASEE SUR EI 50,646 33,322 43,220 1,30 39,129 1,17 METHODE GENERALE EC2-2 METHODE GENERALE
(*) Les sollicitations obtenues par les deux méthodes simplifiées dépassent largement le moment résistant de la section critique.
Par contre, la pile est correctement dimensionnée vis-à-vis des sollicitations données par les deux méthodes générales. Cet exemple confirme que les méthodes simplifiées sont très sécuritaires et qu'il faut préférer les méthodes générales pour obtenir un dimensionnement plus réaliste et plus précis des structures élancées.
ORV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Annexe VII Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
L'Eurocode permet de traiter un grand nombre de cas de figure. Les exemples suivants permettent d'illustrer les différentes méthodes de calcul. Les calculs ne sont pas systématiquement détaillés, mais sont données toutes les hypothèses de calcul qui permettront au lecteur de retrouver les valeurs numériques des résultats. Auparavant, le principe de calcul des contraintes pour les sections en béton précontraint [Chapitre 3-3.1.4] fissurées en service, mérite d'être rappelé et détaillé ici, les sections en béton armé ne présentant pas de difficultés particulières. On a déjà constaté lors d'un premier calcul en section non fissurée, sous combinaison caractéristique, que les contraintes de traction en fibre la plus tendue dépassent fctm en valeur absolue. Les calculs sont donc ensuite faits en section fissurée que ce soit sous combinaison caractéristique ou sous combinaison fréquente.
Sous combinaison quasi-permanente le calcul des contraintes se fera toujours en section non fissurée car la section va rester comprimée conformément à l'hypothèse la plus défavorable adoptée pour le dimensionnement..
Lorsqu'il y a fissuration, il est admis que les armatures de précontrainte adhérentes situées dans la zone tendue contribuent par leurs surtensions à la maîtrise de la fissuration sur une distance 150 mm du centre de l'armature. Les calculs sont faits à partir des coefficients d'équivalence Es/Ecm et Ep/Ecm (autrement dit, pas de prise en compte du fluage, conformément aux recommandations du chapitre 4 de ce guide). La surtension des aciers de précontrainte au-delà de l'état de déformation nulle du béton adjacent est pondérée par 1 = × s , rapport des capacités d'adhérence des armatures de béton précontraint et de béton armé. p Dans le calcul des contraintes, ce terme est compté pour tous les aciers de précontrainte situés dans le béton tendu (tandis que pour les calculs d'ouverture de fissure et pour le ferraillage minimal de maîtrise de la fissuration seule est comptée la surtension des aciers de précontrainte situés dans Ac,eff, voir l'application numérique ci-dessous). La surtension jusqu'au retour à zéro, notée ' p ) est comptée intégralement. Les équations d'équilibre dans la section fissurée sont exprimées comme suit : N = Fc - A s s - A p × ' p + 1 p
(
)
où Fc est l'effort de compression dans le béton et
M = M c - A s × s (d s - ) - A p × ' p + 1 p × d p -
(
) (
)
où Mc est le moment dû aux contraintes de compression dans le béton, exprimé par rapport au centre de gravité de la section. Par ailleurs les équations de compatibilité des déformations sont écrites, et le système obtenu est résolu.
1. PSIDP (flexion longitudinale, en précontrainte partielle)
1.1. Données
Dans cet exemple, la précontrainte longitudinale a été dimensionnée sur la base du critère minimum de l'Eurocode, à savoir la non-décompression sous combinaison quasi-permanente, afin d'obtenir un fonctionnement de la structure en précontrainte partielle.
OSM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Ce dimensionnement aboutit à la précontrainte suivante : 15 câbles 12T15S (Ap = 15 x 1800 mm²), dont le tracé est donné ci-dessous :
0.200 -0.250 -0.380
Fig./Tab. An. VII (1) : Câblage du PSIDP
On traite dans cet exemple le cas de la section située au milieu de la grande travée A mi-travée, les câbles ont pour excentricité e0 et la ligne de précontrainte a pour excentricité e00 = 0,213 m. La distance entre le hourdis supérieur et le centre de gravité des câbles vaut : dp =v+0,380=0,386+0,380=0,766 m La section d'aciers passifs est As = 72 cm² (section dimensionnée aux ELU et à la flexion), à base de HA20. La distance entre le hourdis supérieur et le centre de gravité des aciers vaut ds =0,84 m
Valeurs des sollicitations :
Pm,CT = 34,99 MNm (valeur court terme) Pm,LT = 32,32 MNm (valeur après pertes différées) Mg+g' = 9,39 MNm MGT = 0,85 MNm (moment dû au gradient thermique positif) MLM1,fréq = 4,77 MNm MLM1,carac = 7,40 MNm Les caractéristiques mécaniques de la section sont données en [Annexe I]. Pk,inf,LT = 0,9Pm,LT = 29,09 MN
1.2. Calcul des contraintes aux ELS
Les applications numériques ne sont pas toutes détaillées et donnent les résultats suivants :
·
Sous combinaison quasi-permanente
Par simplification, les calculs de contraintes ont été faits en section brute. La combinaison Q.P. donnant la plus petite compression en fibre inférieure est obtenue pour le moment : M = M g + g ' + 0,5M GT + Pk ,inf,LT × e 00 = 3,62 MNm Les contraintes correspondantes valent : = 6,2 MPa en fibre supérieure ' = 0,2 MPa en fibre inférieure La contrainte au niveau du centre de gravité des câbles de précontrainte vaut cp = 1,0 MPa
·
Sous combinaison caractéristique
D'après le tableau 6.2 de l'Eurocode 2, = 0,5 (précontrainte par post-tension adhérente constituée de torons, fck < 50 MPa)
OSN= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
s = 20 mm, p = 1,6 A p = 1,6 1800 = 68 mm, 1 = 0,5 ×
Par ailleurs, ' p = cp × Ep E cm 6 MPa
20 = 0,34 68
La résolution du système d'équations d'équilibre et de compatibilité des déformations n'est pas détaillée et les résultats suivants sont obtenus :
N = Pk ,inf,LT = 29,09 MN
M = M g + g ' + 0,6M GT + M LM1,carac + Pk ,inf,LT × e 00 = 11,11 MNm
s = 298 MPa p = 86 MPa, p + ' p = 92 MPa c = 21,0 MPa (contrainte de compression en fibre supérieure)
·
Sous combinaison fréquente :
N = Pk ,inf,LT = 29,09 MN
M = M g + g ' + 0,5M GT + M LM1,fréq + Pk ,inf,LT × e 00 = 8,39 MNm
s = 94 MPa p = 26 MPa, p + ' p = 32 MPa c = 13,2 MPa (contrainte de compression en fibre supérieure)
x = 0,299 m (position de l'axe neutre, utile pour le calcul de l'ouverture de fissure)
1.3. Vérification des contraintes aux ELS
Les vérifications sont faites sous combinaison caractéristique :
s = 298 MPa < 0,8fyk = 400 MPa c = 21,0 MPa < 0,6fck = 21 MPa
pm = Pm 32,32 + p + 'p = + 92 = 1289 MPa < 0,80fpk = 0,80×1860 = 1488 MPa Ap 15 1800 10-6
C'est la valeur probable de la contrainte dans les armatures de précontrainte qui doit être limitée sous combinaison caractéristique de charges [EC2-1-1/AN 7.2(5)] et [Chapitre 7-1.2.3]. Dans le calcul précédent, on a utilisé la valeur probable à l'état permanent et ajouté les variations de contrainte déjà obtenues sous la combinaison caractéristique avec Pk,inf . Ce calcul est en principe du côté de la sécurité. Un calcul formellement plus cohérent consisterait à recalculer les variations de contrainte dans les armatures de précontrainte à partir de l'état obtenu avec Pm .
Les limites sont respectées.
OSO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.4. Vérification de l'ouverture de fissure sous combinaison fréquente
Ici le calcul d'ouverture de fissure par la méthode directe [EC2-1-1 7.3.4] est détaillé. La section étant approximativement rectangulaire dans la zone tendue, les formules proposées peuvent être appliquées. Soient : s = 94 MPa hc,ef = min ( 2,5 × (h-ds) ; (h-x)/3 ) = min ( 2,5 × 60 ; (900-299) / 3 ) = 150 mm Ac,ef = 6,20 × 0,150 = 0,93m² A'p = Ap = 15 × 1800 mm² (car toutes les armatures de précontrainte sont situées dans Ac,eff) p,eff = (As + 1² A'p)/ Ac,eff = 1,11 % kt = 0,6 sm - cm = 0,6 s/Es = 282 m/m (le premier terme de l'équation (7.9) de l'Eurocode 2 donne un résultat négatif) sr,max = 3,4 × 30 + 0,425 × 0,8 × 0,5 × 20 / 1,11 % = 408 mm wk = sr,max × (sm - cm) = 282 × 10-6 × 408 = 0,12 mm La valeur obtenue est inférieure à la limite admissible de 0,2 mm.
1.5. Calcul du ferraillage minimum
Le ferraillage minimum n'est pas dimensionnant ici, puisqu'il correspond au ferraillage qui serait nécessaire pour équilibrer le moment de fissuration (c'est-à-dire le moment créant une traction fctm=3,2MPa en fibre inférieure, en présence de l'effort normal Pk,inf,LT), alors que le moment sous combinaison caractéristique est largement supérieur au moment de fissuration. Le calcul est toutefois effectué pour illustrer la démarche. La section étant approximativement rectangulaire dans la zone tendue, la formule (7.1) peut être appliquée. En négligeant la contribution des aciers de précontrainte, cela donne successivement : Mfiss = ( N/S + fct,eff ) I/v' = 7,11 MNm Sous Mfiss et Pk,inf,LT, la hauteur tendue avant fissuration est de 24 cm Act = 0,24 × 6,2 = 1,5 m² c = N/S = Pk,inf,LT / S = 3,6 MPa k1 = 1,5 (section comprimée) h* = h (car h < 1,0m) kc = 0,4 [ 1 3,6/(1,5×3,2)] = 0,1 k = 1,0 (puisqu'on considère des contraintes dues à des efforts extérieurs) As,min = kc×k×fct,eff×Act / fyk = 0,1 × 1,0 × 3,2 × 1,5 / 500 = 9,6 cm², inférieur au ferraillage mis en place. Une alternative consiste à calculer les contraintes en section fissurée sous l'effet du moment de fissuration, et à vérifier que les contraintes dans les aciers passifs restent inférieures à 500 MPa.
OSP= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
2. Encorbellement du PSIDP (flexion transversale, béton armé)
2.1. Données
La section au niveau du gousset côté glissière GS2 (épaisseur 35cm) est vérifiée. MQP = 24 kNm/m Mfréq = 93 kNm/m Mcarac = 119 kNm/m MELU = 161 kNm/m Le dimensionnement du ferraillage en flexion à l'ELU de résistance donne As = 12 cm²/m, soit un ferraillage avec HA14, s = 125 (As = 12,3 cm²/m), et un enrobage c = 30 mm.
2.2. Calcul des contraintes sous combinaison caractéristique :
Le calcul est fait en section fissurée avec un coefficient d'équivalence n = 15 s = 342 MPa < 0,8fyk = 400 MPa pour des aciers B500
2.3. Vérification de l'ouverture de fissure sous combinaison fréquente :
Le calcul est fait avec un coefficient d'équivalence n = 15 et donne successivement : x = 91 mm (hauteur comprimée en section fissurée) h-d = c+/2 = 37 mm s = 267 MPa kt = 0,6 (combinaison d'action correspondant à un chargement essentiellement court terme) hc,ef = min [ 2,5 × (h-d) ; (h x) /3 ] = min [ 2,5 × 37 ; (350 91) /3 ] = 86 mm eff = As / hc,ef = 12,3 × 10-4 / 0,086 = 1,43 % sm - cm = max [ (s - kt×fct,eff/p,eff.(1+e×p,eff)) /Es ; 0,6 s/Es ] Le premier terme de cette expression [EC2-1-1 Expr.(7.9)] donne une valeur inférieure au plancher : sm - cm = 0,6 s/Es = 801 m/m k1 = 0,8 k2 = 0,5 sr,max = k3×c + k1×k2×k4×/eff = 3,40×30 + 0,8 × 0,5 × 0,425 × 14/1,43 % = 269 mm wk = (sm cm)×sr,max = 801 × 10-6 × 269 = 0,22 mm < 0,30 mm
Le dimensionnement du ferraillage sous la combinaison fondamentale aux ELU permet de satisfaire à la limitation de l'ouverture de fissure à 0,3 mm sous combinaison fréquente. Cependant, le taux de travail des armatures passives reste relativement élevé sous combinaison caractéristique, avec risque de fatigue. Dans cet exemple, il conviendrait soit de vérifier à la fatigue des armatures, soit d'augmenter la section d'armatures pour limiter leur taux de travail à 300 MPa sous combinaison caractéristique et bénéficier de la règle de dispense.
OSQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3. Tirant en béton armé et précontraint soumis à des charges extérieures
3.1. Données
Cet exemple permet de traiter la présence simultanée d'aciers de précontrainte et d'aciers passifs. Schéma : - tirant 250 × 250, béton C35/45, - 4HA16 situés aux 4 coins (distance c+/2 = 50 mm), fyk = 500 MPa, - 2 monotorons adhérents T13S, Ep = 200 000 MPa, p0 = 1350 MPa (tension dans les câbles avant relâchement du vérin). Chargement extérieur (hors précontrainte) N = -430 kN (traction) As = 800 mm² Ap = 200 mm², P0 = Ap × p0 = 270 kN Ac = 250² 800 200 = 61 500 mm² (section nette) Diamètre équivalent des torons de précontrainte : les torons T13S sont constitués d'un fil central de 4,40 mm de diamètre et de 6 fils périphériques de 4,25 mm. La formule proposée en 6.8.2(2)P est P = 1,75wire soit P = 1,75 × 4,25 = 7,44 mm Rapport de capacité d'adhérence des torons par rapport aux aciers HA : = 0,6 (torons en pré-tension). Rapport de capacité d'adhérence des torons par rapport aux aciers HA, corrigé de leurs diamètres : 1 = (0,6 × 16 / 7,44) = 1,136 Ce cas particulier donne 1 > 1. Bien que ce ne soit pas dit explicitement, il serait contraire à l'esprit du texte de prendre une valeur supérieure à 1,0 × 1 = 1 sera donc retenu pour le calcul des contraintes (même adhérence).
3.2. Calcul de l'ouverture de fissure
Le calcul des ouvertures de fissures est fait avec l'hypothèse d'un chargement court terme.
·
Calcul de la contrainte dans les aciers au droit des fissures :
Le calcul est fait avec la valeur basse de la fourchette de précontrainte : rinf = 0,90 Next = rinf×Ap×p As×s p = Ep×p s = Es×s p = p0 + s (cas de la prétension) => Next = rinf ×P0 (rinf×Ap + As) ×s s = (0,9 × 270 + 430) / (0,9 × 200 + 800) = 191 MPa p = 0,9 × 1350 + 191 = 1406 MPa
Dans ce calcul, une même adhérence entre les différents aciers a été supposée, conformément aux remarques faites précédemment sur le calcul en section fissurée.
OSR= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
·
Calcul de l'espacement entre fissures : L'Eurocode ne traite pas de façon générale la participation simultanée d'aciers passifs et d'aciers de précontrainte à la maîtrise de la fissuration. Il est nécessaire de faire un certain nombre d'hypothèses dans ce paragraphe afin de pouvoir utiliser les formules proposées.
k1 = (800 × 0,8 + 200 × 1,6) / (800+200) = 0,96
La valeur de 1,6 pour les torons adhérents est certainement sévère, cette valeur s'appliquant plutôt au cas des barres lisses. Le calcul est donc sécuritaire. Par ailleurs, en l'absence de précision dans l'Eurocode 2, on a choisi ici d'utiliser une valeur de k1 intermédiaire déterminée à partir d'une pondération sur les sections d'armatures.
k2 = 1,0 (traction pure) eq = 16 mm
La formule (7.12) de pondération de eq ne s'applique que dans le cas d'aciers passifs de diamètres différents. Ici, il n'y a qu'un seul diamètre d'acier passif de référence, c'est cette valeur qui doit être introduite dans la formule. Il faut noter que dans le cas général il faudrait utiliser la définition 1² = eq / p
Ac,eff = Ac
En effet, l'aire efficace de chaque acier passif est délimitée par un carré de 2,5 (h-d) = 125 mm de côté. Les aires efficaces des 4 aciers passifs suffisent donc à couvrir la section, sans même compter l'armature de précontrainte.
A'p = Ap = 200 mm² p,eff = (800 + 1,136² × 200) / 61500 = 1,72 % eq / p,eff = 16 / 1,72 % = 930 mm sr,max = 3,4 × (50-16/2) + 0,425 × 0,96 × 1,0 × 930 = 522 mm
·
Calcul de sm - cm :
kt = 0,6 (calcul court terme) e = Es / Ecm = 200 000 / 34 077 = 5,87
s - k t
f ct ,eff p ,eff
(1 + )
e p ,eff
Es
·
= 0,33 mm/m
< 0,6 s / Es = 0,57 mm/m
Calcul de wk :
wk = 522 × 0,57 = 0,30 mm
OSS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.3. Calcul du ferraillage minimum
Calcul en section non fissurée sous l'effort appliqué, avec rinf = 0,9 Next = Ac×c rinf×Ap×p As×s p = Ep×p s = Es×s c = Ec×c et c = s p = p0 + s (cas de la prétension)
=> Next = rinf×P0 - (Ac / e + rinf×Ap + As) ×s s = (-0,9 × 240 + 430) / (0,9 × 200 + 800 + 61500 / 5,87 ) = 16,3 MPa c = s / e = -2,8 MPa Le béton est tendu, il faut donc mettre le ferraillage minimum [EC2-1-1 7.3.2(4)] kc = 1,0 (traction pure) k = 1,0 (traction due à des charges extérieures) fct,eff = fctm = 3,2 MPa Act = Ac = 61500 mm² s = fyk = 500 MPa As,min = (1,0 × 1,0 × 3,2 × 61500)/500 = 394 mm² C'est le ferraillage passif nécessaire pour équilibrer un effort de traction de 3,2 MPa dans le béton As,min < As : le ferraillage prévu est suffisant. Nota : il aurait été possible de tenir compte de la participation des torons adhérents pour déterminer le ferraillage minimum, [EC2-1-1 7.3.2(3)] : As,min = 394 1×Ap×p / s (calcul cependant inutile dans ce cas)
4. Dalle en béton armé soumise à du retrait empêché
4.1. Données
Cet exemple correspond à un voile coulé entre deux bétons existants, parfaitement rigides. Ce type de problème est traité de façon générale dans l'Eurocode 2 partie 1-1, et est repris et détaillé dans l'Eurocode 2 partie 3 (silos et réservoirs), où les problèmes de maîtrise de la fissuration sous déformations gênées sont particulièrement sensibles. Il sera donc fait appel à l'Eurocode 2 partie 3 lorsque nécessaire.
·
Description de la dalle :
- dalle 1m × 0,24m, béton C35/45, aciers fyk = 500 MPa, - ferraillage HA12 s=200 en nappe supérieure et HA14 s=200 en nappe inférieure, c = 3cm.
·
Choix de la valeur de fct,eff
S'agissant d'un problème de déformation imposée, il faut déterminer la date à laquelle la fissuration est susceptible de se produire : à 28 jours ou avant ? N = Ec×Ac×cs effort normal hyperstatique dû au retrait empêché du béton c = N / (Ac + e×As ) N / Ac contrainte dans le béton (calcul en section non fissurée)
OST= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
La courbe c(t) peut être tracée et comparée à la résistance en traction du béton :
Fig./Tab. An. VII (2) : Comparaison entre la contrainte de traction due au retrait gêné et fctm(t)
Au vu de ces courbes, on ne peut pas affirmer que la fissuration sous l'effet du retrait empêché se produira avant 28 jours. fct,eff est donc choisi égal à fctm .
4.2. Calcul des contraintes dans les aciers pour le calcul des ouvertures de fissure
L'Eurocode 2 partie 1-1 donne la valeur à prendre en compte dans le cas d'un tirant soumis à des déformations gênées : s = kc × k × fct,eff × Act/As L'Eurocode 2 partie 3 confirme cette valeur : s = kc × k × fct,eff /s Coefficients : kc = 1,0 dans le cas d'un tirant en traction pure k = 0,65 (coefficient de réduction spécifique au calcul des contraintes sous déformation imposée) Ici, les deux nappes ne sont pas symétriques, le coefficient kc n'est donc pas rigoureusement égal à 1,0. Le calcul des contraintes dans les deux nappes peut se faire directement lorsque le tirant est soumis aux sollicitations. N = k × fct,eff × Ac et M=0 Ce qui donne s,sup = 440 MPa et s,inf = 330 MPa (au lieu de s = 0,65 × fct,eff × Act/As = 374 MPa si le ferraillage avait été symétrique). Autrement dit : kc,sup = 440 / 374 = 1,17 pour la nappe supérieure, et kc,inf = 330 / 374 = 0,87 pour la nappe inférieure. [EC2-3 Anx.M Expr.(M.2)] [EC2-1-1 7.3.3(2) note]
OSU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.3. Calcul de l'ouverture de fissure
·
En nappe supérieure :
hc,ef = min ( 2,5×(h-d) ; h/2 ) = min ( 2,5×36 ; 120 ) = 90 mm Ac,ef = 0,09 m² ef = As,sup / Ac,ef = 0,63 % k2 = (440+330)/(2 × 440) = 0,87 (on retrouve le coefficient kc,inf calculé plus haut) sr,max = 3,4 × 30 + 0,425 × 0,8 × 0,87 × 12 / 0,63 % = 670 mm sm - cm = max [ (s kt×fct,eff/p,eff.(1+e×p,eff)) /Es ; 0,6 s/Es ] avec kt = 0,4 = max [ 1,18 mm/m ; 1,32 mm/m ] = 1,32 mm/m
L'Eurocode 2 partie 3 donne une formule légèrement différente pour ce cas spécifique : sm - cm = 0,5 s/Es , au lieu de l'expression (7.9) de l'Eurocode 2 partie 1-1, soit 1,10 mm/m. Cette dernière formule, qui est plus favorable sera utilisée.
[EC2-1-1 Expr.(7.9)]
sm - cm = max [ (440 0,4×3,2/0,63%×(1+5,86×0,63%)) / 200000 ; 0,6×440 / 200000 ]
wk = 1,10.10-3 × 670 = 0,74 mm Cette expression est valable à proximité des aciers. L'espacement de 200mm étant supérieur à 5(c+/2) = 180 mm, l'expression (7.14) est également utilisée, soit : sr,max = 1,3h = 312 mm wk = 1,10×10-3 × 312 = 0,34 mm Ce résultat n'est pas logique, puisqu'il donne un espacement de fissures plus grand au niveau des aciers qu'entre deux aciers (contrairement à la figure 7.2 de l'Eurocode 2 partie 1-1). Cela montre les limites des formules, qui sont manifestement calées pour des poutres en flexion plutôt que pour des dalles en traction. Pour une dalle, les résultats expérimentaux montrent qu'il serait plus juste d'utiliser sr,max = 1,3×max(s ; h), où s est l'espacement des aciers, bien que cela ne change pas le résultat ici.
·
En nappe inférieure
hc,ef = min ( 2,5×(h-d) ; h/2 ) = min ( 2,5×37 ; 120 ) = 92 mm Ac,ef = 0,0925 m² ef = As,inf / Ac,ef = 0,83 % k2 = 0,87 (inchangé) sr,max = 3,4×30 + 0,425×0,8×1,17×14 / 0,83 % = 601 mm sm - cm = 0,82 mm/m
-3
[EC2-3 Anx.M.1]
wk = 0,82×10 × 601 = 0,49 mm Pour mémoire, calcul loin des aciers : sr,max = 1,3h = 312 mm wk = 0,82×10-3 × 312 = 0,26 mm
·
Bilan
Le ferraillage mis en place n'est pas suffisant pour reprendre entièrement les efforts dus aux déformations imposées.
OSV= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
4.4. Ferraillage à mettre en place pour équilibrer les déformations imposées avec wk = 0,3 mm
Le même diamètre d'aciers en fibre supérieure et inférieure est adopté, afin de symétriser le problème. Donc kc = 1,0. Le ferraillage minimum de non-fragilité est donné par : As,min = kc×k×fct,eff×Act / fyk = 1,0 × 0,65 × 3,2 × 0,24 / 500 = 10,0 cm², soit deux nappes de HA12, s = 200. Comme vu précédemment ce ferraillage est nettement insuffisant pour respecter une ouverture de fissure de 0,3mm. Le tableau 7.2N peut être utilisé pour dimensionner le ferraillage (méthode simplifiée) : Par exemple, avec des aciers HA14 : s = 14 mm s* = s × 2,9/fct,eff ×8×(c+/2) / hcr = s × 2,9/3,2 × 8 × 0,037 / 0,24 = 1,12 s = 16 mm D'où s = 240 MPa (tableau 7.2N pour wk = 0,3mm) Connaissant le taux de travail à retenir pour des HA 14, la formule du ferraillage minimal est utilisée pour déterminer un espacement. D'où = kc × k × fct,eff / s = 1,0 × 0,65 × 3,2 / 240 = 0,86 % As = 0,0086 × 24/2,1 = 10,3cm²/ml ou 6,7 HA14/ml D'où s = 150 mm Une vérification par le calcul selon la méthode directe montre que le choix de 2 lits de HA14, s = 150 donne wk = 0,31 mm et dans ce cas les deux méthodes donnent des résultats proches.
5. Voile en béton armé coulé au contact d'un béton plus âgé
5.1. Données
Cet exemple permet de modéliser le comportement d'un hourdis inférieur d'un voussoir en béton coulé en place contre un voussoir précédent déjà durci, ou encore une levée de pile sur la levée précédente. L'exemple précédent a permis de déterminer le ferraillage nécessaire en supposant que le voile est parfaitement encastré latéralement, ce qui n'est pas le cas pour un hourdis de pont caisson ou pour une levée de pile. L'exemple du voile précédent est donc repris, avec un ferraillage inférieur à celui résultant du calcul précédent, soit des HA12 et HA14 avec espacement de s = 200. La largeur de ce voile est de 5m, sa hauteur courante est de 3,30 m et un cycle de réalisation de 7 jours est supposé. Le problème étudié est le suivant : ferraillage transversal pour coudre les effets du retrait différentiel et du retrait thermique lors du bétonnage.
Fig./Tab. An. VII (3) : Illustration du problème traité : fissuration d'un voile restreint sur un seul côté
Ce problème est traité de façon détaillée dans l'Eurocode 2 partie 3, en particulier les annexes L et M.
OTM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
5.2. Calcul de l'ouverture de fissure
L'ouverture de fissure est calculée à partir de l'expression sm cm = R × free, où free est le retrait libre qui se produirait en l'absence de blocage, et R un coefficient réduction lié au type de blocage. Pour la partie centrale d'un voile de rapport L / H = 5,0 / 3,3 = 1,5 la valeur recommandée de R est R = 0,5 à la base du voile, et R = 0 au sommet du voile (tableau L.1) Le ferraillage est dimensionné pour la zone la plus sollicitée, soit R = 0,5 free est la somme de deux termes :
· ·
retrait thermique : par exemple, pour une élévation de température de 40°C, T = .T = 0,4 mm/m, retrait différentiel entre les deux éléments : il est donné par la courbe cd(t+7) - cd(t). Cette courbe est maximale pour t = 0, soit cd < 0,02 mm/m (négligeable).
D'où sm - cm 0,5 × 4.10-4 = 0,20 mm/m . Calcul de l'ouverture de fissure :
· ·
hourdis supérieur : le résultat reste inchangé sr,max = 670 mm, d'où wk = 0,13 mm < 0,3 mm, hourdis inférieur : sr,max = 770 mm, wk = 0,15 mm < 0,3 mm.
Le ferraillage prévu est suffisant.
Fig./Tab. An. VII (4) : Retrait différentiel entre les deux éléments
OTN= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
Annexe VIII Bibliographie
Les EUROCODES :
Eurocode Titre Annexe nationale
NF EN 1990 NF EN 1990/A1 NF EN 1991-1-1 NF EN 1991-1-2 NF EN 1991-1-3 NF EN 1991-1-4 NF EN 1991-1-5 NF EN 1991-1-6 NF EN 1991-1-7 NF EN 1991-2 NF EN 1991-3 NF EN 1992-1-1 NF EN 1992-1-2 NF EN 1992-2
Base de calcul sur les structures Annexe A2 : applications aux ponts Actions générales - Poids volumique, poids propres et charges d'exploitation bâtiments Actions générales - Actions sur les structures exposées au feu Actions générales - Charges de neige Actions générales - Actions du vent Actions générales - Actions thermiques Actions générales - Actions en cours d'exécution Actions générales - Actions accidentelles Actions sur les ponts dues au trafic Actions induites par les grues et les ponts roulants Calcul des structures en béton - Règles générales et règles pour les bâtiments Calcul des structures en béton - Règles générales - Calcul du comportement au feu Calcul des structures en béton - Ponts en béton - Calcul et dispositions constructives
NF P06-100-2 NF EN 1990/A1/NA NF P06-111-2 NF EN 1991-1-2/NA NF EN 1991-1-3/NA NF EN 1991-1-5/NA
NF EN 1991-2/NA NF EN 1992-1-1/NA NF EN 1992-1-2/NA NF EN 1992-2/NA
NF EN 13670 NF EN 206-1 NF EN 206-1/A1 NF EN 206-1/A2
Exécution des structures en béton. Projet de norme (PR NF EN 13670) Béton. Partie 1 : spécification, performances, production et conformité Premier amendement à la norme NF EN 206-1 Deuxième amendement à la norme NF EN 206-1
CEB-FIB, Model Code for Concrete Structures 1990, Thomas Telford Services (1993) Les Eurocodes, Conception des bâtiments et des ouvrages de génie civil, Editions Le Moniteur (2005) Diffusion des efforts concentrés, Guide Méthodologique, Sétra (2006) Résistance à la fatigue-Ponts métalliques et mixtes, Sétra (1996) Toward a consistent design of structural concrete, Jorg Schlaich et al, PCI Journal, May-June 1987 Structures en béton conçues à l'Eurocode 2. Note technique sur les dispositions relatives à l'enrobage pour l'application en France, LCPC, F. Toutlemonde, A. Coin (2005)
OTO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
OTP= Annexe VIII - Bibliographie
OTQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
OTR= Annexe VIII - Bibliographie
OTS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
service d'Études techniques des routes et autoroutes
Sétra
46 avenue Aristide Briand BP 100 92225 Bagneux Cedex France téléphone : 33 (0)1 46 11 31 31 télécopie : 33 (0)1 46 11 31 69 internet : www.setra. developpement-durable. gouv.fr
Ce guide méthodologique aborde la mise en application des prescriptions de l'Eurocode 2 aux ponts en béton. Destiné aux projeteurs, il présente les principes de justification de l'Eurocode 2 et met l'accent sur les différences et les nouveautés par rapport à la pratique française. Riche de nombreux exemples, il ambitionne de servir efficacement la profession des constructeurs de ponts en béton et tout particulièrement les bureaux d'études et les maîtres d'oeuvre. Il contribuera certainement, dans son domaine, à faciliter le passage de nos règlements de calculs actuels aux eurocodes.
Document disponible au bureau de vente du Sétra 46 avenue Aristide Briand - BP 100 - 92225 Bagneux Cedex - France téléphone : 33 (0)1 46 11 31 53 - télécopie : 33 (0)1 46 11 33 55 Référence : 0838 - Prix de vente : 26
Couverture - crédit photos : Sétra (G. Forquet) et D de 49 (subdivision Ouvrages d'Art du SGI) Conception graphique de la couverture: Philippe Masingarbe (Sétra) Impression : Caractère - 2, rue Monge - BP 224 - 15002 Aurillac Cedex L'autorisation du Sétra est indispensable pour la reproduction, même partielle, de ce document © 2008 Sétra - Dépôt légal : 2ème trimestre 2008 - ISBN : 978-2-11-094640-9 Ce document participe à la protection de l'environnement. Il est imprimé avec des encres à base végétale sur du papier écolabélisé PEFC. CTBA/06-00743
PEFC/10-31-945
Le Sétra appartient au Réseau Scientifique et Technique du M eeddat
INVALIDE) (ATTENTION: OPTION - Application aux ponts-routes en béton
Désignation de la classe
Description de l'environnement Béton non armé et sans pièces métalliques noyées : toutes expositions sauf en cas de gel/dégel, d'abrasion et d'attaque chimique Béton armé ou avec des pièces métalliques noyées : très sec
Exemples informatifs illustrant le choix des classes d'exposition
Aucun risque de corrosion ni d'attaque X0
Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est très faible Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est faible Béton submergé en permanence dans de l'eau Surfaces de béton soumises au contact à long terme de l'eau Un grand nombre de fondations Béton à l'intérieur de bâtiments où le taux d'humidité de l'air ambiant est moyen ou élevé Béton extérieur abrité de la pluie Surfaces de béton soumises au contact de l'eau, mais n'entrant pas dans la classe d'exposition XC2 Surfaces de béton exposées à des chlorures transportés par voie aérienne Piscines Eléments en béton exposés à des eaux industrielles contenant des chlorures
Corrosion induite par carbonatation XC1 Sec ou humide en permanence
XC2 XC3
Humide, rarement sec Humidité modérée
XC4
Alternativement humide et sec
Corrosion induite par les chlorures XD1 XD2 Humidité modérée Humide, rarement sec
XD3
Alternativement humide et sec
Eléments de ponts exposés à des projections contenant des chlorures Chaussées Dalles de parcs de stationnement de véhicules
Corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer XS1 XS2 XS3 Attaque gel/dégel XF1 XF2 XF3 XF4 Saturation modérée en eau, sans agent de déverglaçage Saturation modérée en eau, avec agents de déverglaçage Forte saturation en eau, sans agents de déverglaçage Forte saturation en eau, avec agents de déverglaçage ou eau de mer Surfaces verticales de béton exposées à la pluie et au gel Surfaces verticales de béton des ouvrages routiers exposés au gel et à l'air véhiculant des agents de déverglaçage Surfaces horizontales de béton exposées à la pluie et au gel Routes et tabliers de pont exposés aux agents de déverglaçage Surfaces de béton verticales directement exposées aux projections d'agents de déverglaçage et au gel Zones des structures marines soumises aux projections et exposées au gel Attaques chimiques XA1 XA2 XA3 Environnement à faible agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2 Environnement d'agressivité chimique modérée selon l'EN 206-1, Tableau 2 Environnement à forte agressivité chimique selon l'EN 206-1, Tableau 2 Sols naturels et eau dans le sol Sols naturels et eau dans le sol Sols naturels et eau dans le sol Exposé à l'air véhiculant du sel marin, mais pas en contact direct avec l'eau de mer Immergé en permanence Zones de marnage, zones soumises à des projections ou à des embruns Structures sur ou à proximité d'une côte Eléments de structures marines Eléments de structures marines
Fig./Tab.1.(1) : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement, conformément à l'EN 206-1 [EC2-1-1 Tab.4.1]
PT= Chapitre 3 Données principales pour les projets
Les indications complémentaires intéressant explicitement les ponts et apportées par l'annexe nationale [EC2-1-1/AN] sont données dans des notes 3 et 6 du Tableau 4.1. Elles sont rappelées ci-dessous.
Note 3 : sont à classer en XC4 les parties aériennes des ouvrages d'art y compris les retours de ces parties par les cheminements et/ou rejaillissements de l'eau. Le classement en XC4 tient compte d'un environnement extérieur où même les parties abritées de la pluie sont susceptibles d'être soumises à des ruissellements ou projections d'eau, et où la teneur en gaz carbonique dans l'air environnant l'ouvrage est a priori plutôt élevée. Note 6 : en France, les classes d'exposition XF1, XF2, XF3 et XF4 sont indiquées dans la carte donnant les zones de gel [EN 206-1/AN NA4.1 Fig.NA.2 et Note]. Pour ces classes d'exposition XF, et sous réserve du respect des dispositions liées au béton (EN 206-1 et documents normatifs nationaux), l'enrobage sera déterminé par référence à une classe d'exposition XC ou XD, comme indiqué en [EC2-1-1 4.4.1.2(12)].
Les classes de référence à retenir, pour l'enrobage uniquement, sont les suivantes :
Type de salage (cf. Recommandations Gel 2003) Peu fréquent Classes d'exposition XF1 XC4 XF2 Sans objet XD1, XD3 pour éléments très exposés* Sans objet XF3 pour béton formulé sans entraîneur d'air XC4 avec entraîneur d'air XD1 Sans objet Sans objet XF4 Sans objet XD2, XD3 pour éléments très exposés* XD3
Fréquent Très fréquent
Sans objet Sans objet
* pour les ponts : corniches, longrines d'ancrage des dispositifs de retenue, solins des joints de dilatation
La correspondance établie par l'annexe nationale à partir des classes XF vers les classes XC ou XD ne s'impose que si la classe de référence obtenue est plus sévère que la classe XC ou XD concomitante. Dans le cas d'une classe XS concomitante avec une XF il n'y a pas de correspondance et c'est la classe XS d'origine du projet qui sert dans la détermination de l'enrobage. Exemple d'un pont en bord de mer La détermination des classes d'environnement se fait par paroi : · pour les parois extérieures : - XC4 corrosion induite par carbonatation, paroi soumise à un environnement alternativement humide et sec ; - XS1 corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer, paroi exposée à l'air véhiculant du sel marin, mais pas en contact direct avec l'eau de mer. L'exemple choisi est suffisamment éloigné du bord de mer immédiat pour ne pas être classé en XS3 [EC2-1-1/AN Tab.4.1 Note5]. · sous la chape d'étanchéité [EC2-2 4.2(105)] : - XC3 · pour les parois intérieures [EC2-2 4.2(104)] : - XC3 (on a choisi de ne pas classer l'intérieur du caisson en XS1, mais ceci est fonction du projet particulier).
Fig./Tab.1.(2) : Exemple d'un pont situé en bord de mer
PU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2 - Enrobage
Au premier abord, la détermination des valeurs d'enrobage à adopter pour les armatures paraît complexe. En effet il faut passer successivement par :
· ·
la détermination des classes d'exposition (utilisation du tableau 4.1 comme vu ci-dessus), la détermination de la classe structurale [EC2-1-1 4.4.1.2(5)],
La classe structurale est définie de manière conventionnelle pour la détermination de l'enrobage. Elle s'appuie sur la durée d'utilisation de projet qui est caractérisée par une catégorie définie en fonction des divers types de constructions [EC0 2.3 Tab.2.1], mais aussi sur d'autres facteurs comme par exemple la classe de résistance de béton. La classe structurale de référence recommandée est S4 correspond à une durée d'utilisation de projet de 50 ans et des classes de résistance de béton au moins égales à celles données en [EC2-1-1 Anx.E]. Elle est ensuite modulée en fonction de choix particuliers pour le projet (utilisation du tableau 4.3N modifié par l'annexe nationale en 4.3NF ci dessous).
Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Critère Durée d'utilisation de projet X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 / XA1 3) XD2 / XS2 / XA2 3) XD3 / XS3 / XA3 3)
Classe de résistance 1)
100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : 100 ans : majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 majoration de 2 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et 25 ans et moins : moins : moins : moins : moins : moins : moins : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C45/55 C30/37 C40/50 C30/37 C30/37 C35/45 C40/50 et et et et et et et < C70/85 : < C50/60 : < C60/75 : < C50/60 : < C55/67 : < C60/75 : < C60/75 : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C50/60 : C50/60 : minoration de 2 minoration de 2 Béton de classe C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 C55/67 : minoration de 2 Béton de classe C35/45 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 C60/75 : C60/75 : C60/75 : C70/85 : minoration de 2 minoration de 2 minoration de 2 minoration de 2 Béton de classe C40/50 à base de CEM I sans cendres volantes : minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1 minoration de 1
Nature du liant
Enrobage compact 2)
1) Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici le rôle d'un indicateur de durabilité. Il peut être judicieux d'adopter, sur la base d'indicateurs de durabilité plus fondamentaux et des valeurs de seuil associées, une justification spécifique de la classe structurale adoptée, en se référant utilement au guide AFGC « Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages » ou à des documents normatifs reposant sur les mêmes principes. 2)
Ce critère ne s'applique que dans le cas des éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie, à savoir :
Face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées), coulés horizontalement sur coffrages industriels. Éléments préfabriqués industriellement : éléments extrudés ou filés, faces coffrées des éléments coulés dans des coffrages métalliques Sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l'accessibilité du fond de coffrage aux dispositifs de vibration.
3)
Pour les classes d'exposition XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d'une justification de la nature de l'agent agressif.
Fig./Tab.1.(3) : Modulations de la classe structurale recommandée, en vue de la détermination des enrobages minimaux cmin,dur dans les tableaux 4.4N et 4.5NF [EC2-1-1/AN Tab. 4.3NF]
· ·
la détermination de l'enrobage minimal, et enfin, la prise en compte des tolérances d'exécution [EC2-1-1 4.4.1.3] qui permet d'arriver à l'enrobage nominal, valeur finale à spécifier sur les plans.
PV= Chapitre 3 Données principales pour les projets
A l'usage, le projeteur découvre qu'il dispose avec l'Eurocode 2 de règles lui permettant d'orienter plus finement ses choix et que les efforts tendant vers une meilleure qualité sont récompensés en retour. Ceci peut s'avérer payant en économie de matière surtout dans des réalisations industrielles répétitives. D'un autre côté, l'adoption directe sans trop de finesse des valeurs proposées donnent à peu près les résultats des pratiques antérieures. Les exemples fournis par la suite en sont une bonne illustration.
1.2.1 - Détermination des enrobages minimum et nominal
L'enrobage minimum est défini comme étant la plus grande de trois valeurs cmin,b, cmin,dur et 10 mm. cmin = max { cmin,b ; cmin,dur ; 10 mm } Pour les ponts, dans la pratique, la valeur de 10 mm n'intervient pas et ce sont les deux valeurs cmin,b, valeur requise vis-à-vis de l'adhérence et cmin,dur, valeur requise vis-à-vis de la durabilité qui entrent en jeu.
1.2.1.a) Enrobage minimal vis-à-vis de l'adhérence
cmin,b est l'enrobage minimum nécessaire pour garantir une bonne transmission des forces d'adhérence. Il est défini par le tableau [EC2-1-1 4.4.1.2 Tab.4.2] et rappelé dans les deux tableaux suivants pour les aciers passifs et pour les armatures de précontrainte.
cmin,b pour les aciers passifs Plus gros granulat 32 mm Armatures individuelles Paquets * équivalent Plus gros granulat > 32 mm + 5 mm équivalent + 5 mm
* Pour la détermination du diamètre équivalent, dans le cas de paquet de barres, on se reportera au chapitre 8 du présent guide.
cmin,b pour les armatures de précontrainte Câbles dans gaine circulaire Câbles dans gaine plate Armatures pré-tendues min { ; 8 cm}, diamètre de la gaine max {a ; b/2}, (a,b) dimensions de la gaine et b>a max {2 ; diamètre du plus gros granulat} diamètre du toron, du fil lisse ou du fil cranté
Fig./Tab.1.(4) : Valeurs de cmin,b pour les aciers passifs et de précontrainte
QM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2.1.b) Enrobage minimal vis-à-vis de la durabilité
cmin,dur est l'enrobage minimum [EC2-1-1 4.4.1.2] nécessaire pour garantir la protection des armatures en acier contre la corrosion. Il est défini pour les armatures passives par le tableau non-modifié 4.4N de l'Eurocode 2 et pour les armatures de précontrainte par le tableau 4.5N de l'Eurocode 2 modifié par l'annexe nationale; les deux sont reproduits ci-dessous. cmin,dur dépend de la classe structurale " Sn " et des classes d'exposition des parois de la structure.
Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe Structurale S1 S2 S3 S4 S5 S6 Classe d'exposition selon Tableau 4.1 X0 10 10 10 10 15 20 XC1 10 10 10 15 20 25 XC2 / XC3 10 15 20 25 30 35 XC4 15 20 25 30 35 40 XD1 / XS1 20 25 30 35 40 45 XD2 / XS2 25 30 35 40 45 50 XD3 / XS3 30 35 40 45 50 55
Fig./Tab.1.(5) : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conformes à l'EN 10080 [EC2-1-1 Tab.4.4N] Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe Structurale S1 S3 S4 S5 S6 Sans objet S2 Classe d'exposition suivant le Tableau 4.1 X0 XC1 10 15 20 25 30 35 XC2/XC3 15 25 30 35 40 45 XC4 25 30 35 40 45 50 XD1/XS1 30 35 40 45 50 55 XD2/XS2 35 40 45 50 55 60 XD3/XS3 40 45 50 55 60 65
Fig./Tab.1.(6) : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de précontrainte [EC2-1-1/AN Tab.4.5NF]
La lecture de ces tableaux se fait de la manière suivante :
· ·
la classe structurale de référence recommandée S4 sert de point de départ ; elle correspond à une durée d'utilisation de projet de 50 ans et a servi comme base au calibrage des valeurs d'enrobage du tableau ; le tableau 4.3N de l'Eurocode 2 modifié par l'annexe nationale est ensuite utilisé pour effectuer les changements de classe structurale compte tenu des conditions particulières du projet : - sur-classement de 2 classes pour les structures dont la durée d'utilisation de projet escomptée doit être de 100 ans, - sous-classement d'une ou de 2 classes par prise en compte des performances de durabilité du béton par le biais de critères basés sur la classe de résistance du béton, la nature du liant ou la compacité de l'enrobage ; une fois la classe structurale finale obtenue, les valeurs de l'enrobage minimum cmin,dur à considérer se lisent directement dans les deux tableaux 4.4N ou 4.5NF présentés précédemment, en fonction des classes d'exposition attribuées au cas étudié.
·
L'application du tableau 4.4N ou 4.5NF, selon que l'on cherche l'enrobage pour les armatures de béton armé ou l'enrobage pour les armatures de précontrainte, conduit à une valeur cmin,dur qu'il convient de moduler, le cas échéant, en fonction d'autres aspects complémentaires. C'est le cas, quand une marge de sécurité supplémentaire est voulue ou lors de l'utilisation d'acier inoxydable ou en présence de protection
QN= Chapitre 3 Données principales pour les projets
supplémentaire [EC2-1-1 4.4.1.2(3) et (6) à (13)]. Mais, en général, il n'y a pas lieu de modifier cmin,dur [EC2-1-1/AN 4.4.1.2].
1.2.1.c) Enrobage nominal
Une fois cmin obtenu en prenant le maximum des valeurs requises vis-à-vis de l'adhérence cmin,b et vis-à-vis de la durabilité cmin,dur , on lui ajoute une marge appelée écart d'exécution cdev pour tenir compte des tolérances d'exécution [EC2-1-1 4.4.1] et pour obtenir l'enrobage nominal qui doit être spécifié sur les plans : cnom = cmin + cdev L'Eurocode 2 recommande une valeur courante de 10mm pour cdev . L'annexe nationale confirme cette valeur mais fixe des conditions particulières qui peuvent permettre une réduction de cette valeur. Par exemple : - si le système d'assurance qualité inclut une surveillance avec mesure de l'enrobage, la valeur peut baisser jusqu'à 5mm, 5mm < cdev < 10mm - si, dans le cas de préfabrication, il y a la garantie de mesures précises et la possibilité de rejet en cas de non-conformité, elle peut baisser jusqu'à zéro : 0mm < cdev < 10mm
1.2.2 - Exemple d'application
Exemple du pont en bord de mer Rappel des classes d'environnement obtenues précédemment : · Classes d'environnement pour les parois extérieures : - XC4 corrosion induite par carbonatation, paroi soumise à un environnement alternativement humide et sec - XS1 corrosion induite par les chlorures présents dans l'eau de mer, paroi exposée à l'air véhiculant du sel marin mais pas en contact direct avec l'eau de mer · Classes d'environnement pour les parois intérieures et sous la chape d'étanchéité : - XC3 selon [EC2-2 4.2(105)] · Classes structurales : Classe structurale de départ = S4 Modulation de cette classe +2 pour une durée d'utilisation de projet de 100 ans +0 ou -1 selon la classe de résistance du béton utilisée par rapport à la classe de résistance recommandée en fonction de la classe d'exposition +0 ou -1 selon la classe de résistance du béton qui doit être aussi à base de CEM I sans cendres volantes. -1 pour enrobage compact en sous-face de dalle D'où pour les parois extérieures en sous-face 4 + 2 (100 ans) 1 (béton C35/45 MPa pour XC4) 0 (CEM I mais résistance insuffisante) 1 (enrobage compact) S4 4 + 2 (100 ans) 0 (béton C35/45 MPa pour XS1) 0 (CEM I mais sans objet) 1 (enrobage compact) S5. C'est le classement en XS1 qui donne le résultat le plus sévère. (les parois d'âmes ne bénéficient pas de la réduction pour enrobage compact) Pour les parois intérieures autres que la sous-face de hourdis supérieur 4 + 2 (100 ans) 1 (béton C35/45 MPa pour XC3) 1 (CEM I et résistance suffisante) 0 (enrobage compact) S4
QO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Enrobage nominal pour les aciers passifs : Hypothèse d'un cas courant : le plus gros granulat est inférieur ou égal à 32 mm, et acier 25 parois extérieures en sous-face Classes d'environnement Classes structurales Enrobage min/adhérence cmin,b = acier [Fig./Tab.1.(4)] Enrobage min/durabilité cmin,dur [Fig./Tab.1.(5)] cmin = max {cmin,b ; cmin,dur} Tolérances d'exécution cdev (mesure des enrobages) Enrobage nominal cnom = cmin + cdev XC4 / XS1 S5 25 mm 40 mm 40 mm 5 mm 45 mm parois intérieures (sauf sous-face de hourdis supérieur) XC3 S4 25 mm 25 mm 25 mm 5 mm 30 mm
Dans la pratique, on essaiera de limiter le nombre de valeurs d'enrobage.
2
- Données relatives aux actions
A la date de publication du présent document, un guide méthodologique sur les actions sur les ponts est en cours de préparation au Sétra, il conviendra de s'y référer pour plus de détails.
2.1 - Classe de trafic
Il convient de définir la classe de trafic à adopter pour l'ouvrage selon les indications de l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2.
2.2 - Transports exceptionnels
2.2.1 - Généralités
Conformément à l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2, l'annexe A informative de cet Eurocode relative aux véhicules spéciaux n'est pas applicable. Elle est remplacée par :
· ·
la réglementation française sur les transports exceptionnels pour la définition de véhicules spéciaux "types", le "Guide pour la prise en compte des véhicules spéciaux sur les ponts routiers", joint en annexe à l'annexe nationale de l'Eurocode 1 partie 2 pour la définition des règles de calcul à retenir pour les véhicules spéciaux circulant seuls ou mêlés au trafic routier normal.
QP= Chapitre 3 Données principales pour les projets
2.2.2 - Véhicules spéciaux pris en compte
Le projet individuel peut éventuellement définir des véhicules spéciaux à prendre en compte et préciser leurs conditions de circulation. Pour les véhicules spéciaux civils, le projet peut : · soit viser des véhicules spéciaux "types" définis par la réglementation française sur les transports exceptionnels,
·
soit définir des véhicules spéciaux particuliers susceptibles d'emprunter l'ouvrage.
De même, le projet peut indiquer des véhicules spéciaux militaires à prendre en compte, par exemple, le convoi de porte-engins blindés Leclerc, les chars de 72 ou 110 tonnes, etc. Le projet précise les conditions de circulation de ces véhicules : · circulation à faible vitesse (inférieure ou égale à 5 km/h) ou à vitesse normale (de l'ordre de 70 km/h),
· · · · ·
véhicules spéciaux seuls sur l'ouvrage ou mêlés au trafic courant, nombre et espacement des véhicules spéciaux, circulation selon un axe imposé, circulation possible sur les bandes d'arrêt d'urgence ou sur les bandes dérasées (en l'absence d'indication le véhicule est supposé pouvoir circuler sur toute la largeur de la chaussée), fréquence de passage sur l'ouvrage.
Les valeurs caractéristiques des charges associées aux véhicules spéciaux sont les charges nominales de ces véhicules multipliées par 1,1.
2.2.3 - Prise en compte des véhicules spéciaux dans les combinaisons d'actions
Le groupe de charges correspondant aux véhicules spéciaux est appelé groupe 5 et noté gr5. "LM3" désignant la valeur caractéristique du véhicule spécial retenu au projet individuel, "LM3 freinage" désignant les forces de freinage correspondantes et désignant le coefficient de majoration dynamique du véhicule spécial, le groupe 5 est défini comme suit :
· ·
sans trafic routier concomitant : avec trafic routier concomitant :
groupe 5 = gr5 = Q LM3 × + Q "LM3 freinage" groupe 5 = gr5 = Q LM3 × + Q "LM3 freinage" + Q 0,4UDL + 0,75TS
Les combinaisons d'action à considérer pour les véhicules spéciaux sont les suivantes : ELU ELS ELS combinaison fondamentale pour situations de projet durable et transitoire combinaison caractéristique combinaison fréquente
(1,35 G
j1
kj,sup
+ 1,00 G kj,inf ) + P P + 1,35 gr5
(G
j1
kj,sup
+ G kj,inf ) + Pk + gr5 + 0,6Tk + G kj,inf ) + Pk + 1 gr5
(G
j1
kj,sup
(avec 1 = dépendant de la fréquence de passage des véhicules spéciaux susceptibles d'emprunter l'ouvrage [EC0/AN Anx.A2].
QQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.3 - Gradient thermique
Il ne s'agit pas ici d'effectuer une présentation complète de l'Eurocode 1 partie 1-5 consacré aux charges thermiques d'origine climatique, mais d'attirer l'attention du projeteur sur les principaux éléments qui distinguent ce texte des pratiques antérieures et de mettre en relief les règles particulières de prise en compte du gradient thermique propres à l'Eurocode 2.
A défaut d'informations plus précises, le coefficient de dilatation thermique du béton peut être pris égal à 10 ×10-6/°C [EC2-1-1 3.1.3(4)].
2.3.1 - Définition de l'action thermique
L'action thermique Tk donne lieu à une distribution de températures quelconque dans la section T(y), et peut se décomposer en trois composantes : · une composante de variation uniforme de température. Elle conduit à un allongement ou raccourcissement du tablier de l'ouvrage, et éventuellement un effort normal ; cette composante est notée TN ;
·
une composante dite de gradient thermique, qui correspond à une différence de température entre les fibres supérieure et inférieure du tablier. Elle conduit à une courbure du tablier, ainsi qu'éventuellement à un moment fléchissant ; cette composante est notée TM ;
En toute rigueur une composante de gradient linéaire transversal peut exister de manière concomitante avec la précédente ; elle n'est pas explicitée pour simplifier la présentation.
·
une composante dite équilibrée, et notée TE. C'est, le champ de température déduit par soustraction des deux champs précédents : TE (y ) = T(y ) - TN - TM × y h
où h désigne la hauteur de la section, et y est nul au droit de l'axe neutre. Cette composante équilibrée ne conduit à aucune sollicitation dans la structure (même hyperstatique) : seules des auto-contraintes sont créées ; elles ont pour expression (compression comptée positivement) : TE = E cm × T × TE . Par définition, la composante équilibrée TE n'est pas "linéaire" dans la section ; il en va donc de même des auto-contraintes qu'elle crée TE. La plupart des règles de vérification énoncées dans les eurocodes matériaux ne sont alors plus directement applicables. La première composante TN est prise en compte de manière classique et ne présente aucune difficulté particulière. Sa valeur est déterminée au moyen du tableau de l'annexe nationale relatif à la clause [EC1-1-5 6.1.3.2 (1)]. De plus, afin d'éviter au projeteur toute erreur de lecture, les courbes de la figure 6.1 sont remplacées par un tableau (strictement équivalent). En revanche, deux méthodes sont proposées pour la prise en compte des composantes TM et TE qui dépendent du type de structure, et de l'épaisseur du revêtement :
· ·
dans la méthode 1 [EC1-1-5 6.1.4.1], des valeurs forfaitaires de TM sont spécifiées dans l'Eurocode 1 partie 1-5 ; la composante équilibrée est quant à elle simplement ignorée et aucune valeur n'est fournie ; dans la méthode 2 [EC1-1-5 6.1.4.2], les valeurs des composantes TM et TE se déduisent par intégration à partir d'un profil de température T(y) variant dans la hauteur de la section et donné dans des tableaux. Cette seconde méthode est plus laborieuse, mais on obtient, dans la plupart des cas, une composante TM plus faible que celle imposée par la méthode 1.
Il est généralement admis de ne pas tenir compte explicitement de la composante équilibrée dans les calculs de section. Pour les ponts en béton ses effets sont couverts par un ferraillage de peau adapté.
QR= Chapitre 3 Données principales pour les projets
2.3.2 - Signe du gradient thermique
Le gradient thermique TM est conventionnellement compté positivement lorsque la fibre supérieure du tablier est plus chaude que la fibre inférieure du tablier. Ce cas (qui correspond à un échauffement direct par les rayons solaires, en journée) est le seul considéré dans les pratiques antérieures. Les moments hyperstatiques engendrés par un gradient thermique positif tendent à comprimer la fibre supérieure d'une poutre. L'Eurocode1 partie 1-5 demande également de considérer un gradient thermique négatif (de valeur absolue plus faible que le précédent). Dans ce cas, la fibre inférieure du tablier est plus chaude que la fibre supérieure. Ce cas correspond au refroidissement du tablier pendant la nuit (les déperditions de chaleur sont plus élevées sur la face supérieure que sur la face inférieure). Les moments hyperstatiques engendrés par un gradient thermique négatif tendent la fibre supérieure d'une poutre.
2.3.3 - Action thermique : action de courte durée
La distinction entre composantes de variation rapide et lente, introduite dans les pratiques antérieures, n'a pas été reprise dans les eurocodes. L'intégralité de l'action thermique doit être considérée comme une action de courte durée donc calculée avec le module sécant Ecm. Une telle disposition peut être justifiée par un calcul de coefficient de fluage suivant l'annexe B de l'Eurocode 2 partie 1-1.
On considère pour cela la dalle constituée par la traverse supérieure d'un pont cadre, de 16 m de largeur totale, et d'épaisseur 38 cm. Lorsque cet ouvrage est âgé de cinquante ans (la moitié de sa durée de vie de calcul), on lui applique une déformation imposée pendant une durée de quatre mois (variations saisonnières de température). Un calcul simple du coefficient de fluage montre qu'alors : (50 ans + 4 mois, 50 ans) 0,25 Une valeur plus défavorable, calculée au début de la durée d'utilisation, à deux ans par exemple de la mise en service serait : (2 ans + 4 mois, 2 ans) 0,47 En d'autres termes, les déformations de fluage sont faibles, et les sollicitations résultant des actions thermiques peuvent être calculées avec la valeur Ecm du module d'Young.
2.3.4 - Prise en compte dans la combinaison quasi-permanente de charges
Il est bon de souligner que conformément à l'annexe A2 de l'Eurocode 0, l'action thermique intervient dans toutes les combinaisons d'actions aux ELS, donc également dans la combinaison quasi-permanente (contrairement aux spécifications des pratiques antérieures). On pourra toutefois, généralement, négliger l'action thermique aux ELU [EC2-1-1 2.3.1.2].
Il faut noter que dans certains cas, non seulement la température ne doit pas être négligée aux ELU mais peut même intervenir comme action de base (ex. : cas d'un arc surbaissé).
2.3.5 - Calcul des sollicitations dues aux charges thermiques
Seules les composantes TN et TM sont visées ici, puisqu'il a été déjà mentionné que la composante TE éventuellement prise en compte ne créait ni effort normal, ni moment fléchissant (composante équilibrée). En général le calcul des sollicitations peut se faire en admettant un comportement linéaire-élastique de la structure [EC2-1-1 5.4(2)] (les caractéristiques géométriques sont celles des sections brutes).
QS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 offre cependant la possibilité de tenir compte de l'état de fissuration de la section pour le calcul des effets de l'action thermique [EC2-1-1 5.4(3)]. Ceci conduit à une réduction des moments fléchissants dus au gradient thermique par redistribution mais entraine des complications de calcul importantes. On peut se contenter de se mettre du côté de la sécurité en évaluant les sollicitations majorées, obtenues à partir de sections non-fissurées. Dans les ouvrages courants en béton armé en France, jusqu'ici, les effets du gradient thermique étaient traditionnellement négligés sans constat de pathologie particulière. On pourra s'appuyer sur la clause citée ci-dessus pour prendre en compte l'effet favorable de la fissuration afin de minimiser l'impact de la prise en compte de l'action thermique dans ces structures. Dans le cas particulier et simple d'une structure en béton armé fléchie (pas d'effort normal) avec un rapport des inerties fissurée et brute constant, la réduction du moment fléchissant correspond directement à la minoration du gradient thermique ou de la courbure imposée déduite de TM par cette même valeur.
=-
T I fiss × × TM h I brute
(La courbure étant comptée positivement lorsqu'elle conduit à un allongement de la fibre inférieure).
A titre d'exemple, considérons la dalle constituée par la traverse supérieure d'un pont cadre et dans laquelle on néglige la présence de l'effort normal. On adopte les données suivantes : - béton C35/45, Ecm = 34 Gpa - largeur totale b = 16 m - hauteur totale h = 0,38 m - distance de la fibre supérieure au lit inférieur des aciers d = 0,34 m - section transversale des armatures du lit inférieur As = 38,1 cm2/m (220 tous les 0,165 m). Les inerties obtenues sont les suivantes : - section brute de béton (armatures négligées) : Ibrute = 73,16 × 10-3 m4 - section fissurée (béton tendu et armatures comprimées négligés) : Ifiss = 25,96 ×10-3 m4 soit un facteur de 2,8 entre les deux inerties, et une réduction des sollicitations dues aux charges thermiques dans le même rapport.
QT= Chapitre 3 Données principales pour les projets
3 - Données diverses
3.1 - Définition des sections et coefficients d'équivalence
Les différentes sections à utiliser ne sont pas introduites explicitement dans l'Eurocode 2, puisqu'il ne s'agit pas de notions "réglementaires". Elles restent bien sûr valables, pratiques et il est utile de rappeler leur définition précise.
3.1.1 - Section brute / nette
Ces deux premières sections ne font pas intervenir les armatures passives ou de précontrainte.
·
Sections brutes : ce sont les sections du béton seul, telles qu'elles résultent des dessins de coffrage, sans déduction des évidements, encoches et conduits destinés à recevoir les armatures de précontrainte ou leurs ancrages, souvent utilisées pour les analyses structurales comme vu en [Chapitre 2 -6.2.2]. Sections nettes : on les obtient en soustrayant des sections brutes les vides tels que trous, encoches et conduits ménagés pour le passage ou l'ancrage des armatures de précontrainte, et ce, même si ces vides sont ultérieurement remplis.
·
3.1.2 - Section fissurée ou non fissurée
Le choix entre calcul en section fissurée/non fissurée se fait au cas par cas, en fonction de la contrainte de traction maximale dans la section résultant d'un premier calcul en section non fissurée [EC2-1-1 7.1(2)].
· ·
Si min > -fct,eff , les calculs sont faits en section non fissurée le cas échéant*. Sinon, les calculs sont faits en section fissurée, c'est-à-dire en négligeant le béton tendu.
Pour l'application aux ponts, on utilisera systématiquement f ct,eff = f ctm *Il faut évidemment considérer dans le premier calcul la contrainte maximale de traction qu'est susceptible de connaître l'ouvrage sous combinaison caractéristique. En effet, une fois que la section a été fissurée elle ne présente plus de résistance à la traction. Ainsi par exemple pour une vérification sous combinaison fréquente, même si 0 > min > - f ctm il convient de faire le calcul en section fissurée si min < - f ctm sous combinaison caractéristique.
La valeur de fct,eff à utiliser pour le calcul des contraintes peut être prise égale à fctm ou fctm,fl
3.1.3 - Section homogène / homogène réduite
Ces deux dernières sections font intervenir les armatures passives et/ou de précontrainte dans la mesure où ces armatures sont adhérentes au béton par l'intermédiaire des coefficients d'équivalence n qui sont les rapports E E et p . Elles se de leur module de déformation au module de déformation du béton, soit s E cm E cm distinguent selon que l'on est en section fissurée ou en section non-fissurée.
·
Sections homogènes : elles interviennent dans les calculs en section non-fissurée et sont obtenues en ajoutant aux sections nettes la section des armatures de béton armé et/ou de précontrainte multipliée par un coefficient d'équivalence.
Il est rappelé que les sections non-fissurées sont les sections où la contrainte de traction n'est pas inférieure à - f ctm sous combinaison caractéristique.
QU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Sections homogènes réduites : elles interviennent dans les calculs en section fissurée pour lesquels le béton tendu est négligé; ce sont les sections homogènes obtenues avec la seule partie comprimée du béton.
Les sections sont fissurées en service quand elles ne vérifient pas le critère des sections non-fissurées (ce sont généralement les sections en béton armé et dans le cas de section en béton précontraint on parle alors de précontrainte partielle).
3.1.4 - Sections pour le calcul des contraintes aux ELS
Le calcul des contraintes se fait avec les hypothèses fondamentales suivantes :
· · · ·
les sections droites restent planes, le béton tendu, soit résiste à la traction (calcul en section non-fissurée), soit est négligé (calcul en section fissurée), les matériaux ne subissent aucun glissement relatif (les armatures ont la même déformation que le béton situé au même niveau), les armatures et le béton obéissent à la loi de Hooke.
3.1.4.a) Calculs de contrainte des sections en béton armé
Comme en général les sections sont fissurées, ce sont les sections homogènes réduites qui sont utilisées pour le calcul des contraintes. Par ailleurs la façon de prendre en compte le fluage n'est pas explicitée, mais la méthode simplifiée utilisant un module effectif de déformation du béton, Ec,eff [Chapitre 4 -2.1.1], est admise. Les effets du fluage peuvent ainsi être pris en compte d'une manière forfaitaire par l'utilisation d'un coefficient d'équivalence n, intermédiaire E E entre s et s , et dépendant de la proportion entre charges permanentes et charges variables. Un E cm E c,eff pas de plus dans la simplification pourrait consister à revenir aux pratiques antérieures en adoptant une valeur fixe pour n.
On pourra généralement prendre n = 15 pour les bétons ordinaires et n = 9 pour les bétons à hautes performances ( f ck 55MPa ), un calcul plus précis restant toujours possible. Un second calcul "court terme" avec n = peut être nécessaire lorsque la contrainte de E cm compression du béton obtenue par le calcul précédent est proche de la limite admissible. Il convient alors de vérifier que la compression admissible n'est pas dépassée dans le calcul "court terme".
Es
3.1.4.b) Calculs de contrainte des sections en béton précontraint
Pour les sections non-fissurées en service :
·
les contraintes dues aux actions permanentes sont généralement calculées en section nette.
Cette manière de faire peut servir pour un calcul manuel simple et en pré-dimensionnement. En pratique dans le cas de constructions phasées avec utilisation d'un logiciel élaboré et prise en compte du fluage par une méthode scientifique, les sections homogènes interviennent dès qu'il y a injection de certaines armatures de précontrainte qui les rendent adhérentes vis-à-vis des applications de charges permanentes ultérieures.
·
les contraintes dues aux actions variables sont calculées en section homogène, avec un coefficient E E pour les aciers passifs et p d'équivalence s pour les aciers de précontrainte. E cm E cm
QV= Chapitre 3 Données principales pour les projets
Pour les sections fissurées en service, le calcul des contraintes est fait comme précédemment en section non fissurée pour les charges permanentes et en section homogène réduite pour les actions variables. Les tensions dans les aciers passifs et les surtensions dans les câbles de précontrainte à partir de l'état permanent sont E E pour les aciers passifs et p calculées avec un coefficient d'équivalence s pour les aciers de E cm E cm précontrainte.
La pratique antérieure distinguait la part de surtension des aciers de précontrainte accompagnant le retour à zéro de la contrainte du béton adjacent, et la part de surtension ultérieure, en leur affectant des coefficients d'équivalence différents. Cette distinction sur le coefficient d'équivalence n'a pas lieu d'être ; elle n'est donc pas reconduite. Il est par ailleurs rappelé que les différences d'adhérence entre aciers passifs et précontrainte doivent être prises en compte le cas échéant [Chapitre 5 -5].
3.2 - Durée d'utilisation de projet
La durée d'utilisation de projet est la période pendant laquelle une structure doit pouvoir être utilisée avec une maintenance normale et sans réparations majeures. Une valeur de 100 ans est escomptée pour les ponts en béton dont les projets sont établis en utilisant les eurocodes [EC0 2.3 Tab.2.1]. Il faut rappeler que l'enrobage minimum, élément important du projet, a sa valeur qui dépend directement du choix de la durée d'utilisation de projet. Il se détermine avec l'Eurocode 2 comme indiqué au [Chapitre 3 -1.2].
En cas de besoin particulier du maître d'ouvrage pour une durée d'utilisation différente, les eurocodes n'offrent pas de solution complète car ils ne permettent une modification du niveau de fiabilité qu'au travers d'un nombre restreint de variables, comme par exemple la valeur représentative des actions, les coefficients partiels. Il existe néanmoins d'autres mesures, en dehors du cadre des eurocodes, comme la gestion de la qualité, l'assurance d'une maintenance efficace, etc. Enfin, des mesures spécifiques de type préventif ou de protection sont aussi favorables à la longévité des ouvrages.
3.3 - Hygrométrie ambiante moyenne
En l'absence de données plus précises, on peut prendre pour des ouvrages à l'air libre les valeurs suivantes pour l'hygrométrie ambiante moyenne, RH, exprimée en pourcentage d'humidité relative : RH = 55 dans le quart sud-est de la France RH = 70 dans le reste de la France
La méthode simplifiée de détermination du coefficient de fluage dans l'Eurocode 2 [EC2-1 Fig.3.1] est donnée pour les valeurs de RH de 50 % et 80 %. Il est bien entendu qu'il est loisible de faire des interpolations linéaires.
3.4 - Autres données
Les autres données, relatives aux matériaux et nécessaires aux calculs sont les suivantes :
·
pour le béton : la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours fck (compte tenu, le cas échéant, du minimum requis précédemment) et donc tous les autres paramètres qui en découlent fcm, fctm, Ecm etc.(voir tableau 3.1) ;
Il est rappelé que le module E cm dépend notamment du type de granulats. L'Eurocode 2 donne des valeurs indicatives sur les corrections à apporter à E cm [EC2-1-1 3.1.3(2)]. Lorsque la valeur du module a une forte influence sur les résultats des calculs, il est recommandé de procéder à des essais.
RM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
pour les armatures passives : les barres et fils à haute adhérence sont utilisés et l'acier requis est caractérisé par sa limite conventionnelle d'élasticité et sa classe de ductilité. Pour les ponts l'Eurocode 2 recommande de n'utiliser que les classes de grande et très grande ductilité B et C [EC2-2 3.2.4(101)P]. On utilisera donc en principe les aciers B500B en général et l'acier B500C dans le cas de besoin d'une très grande ductilité, par exemple pour une conception vis-à-vis du séisme. Néanmoins l'emploi de la classe A pour les armatures de tranchant et de torsion est admis par l'annexe nationale. Pour plus d'informations on ira utilement consulter la norme EN 10080 ; pour les armatures de précontrainte : il convient d'avoir recours à un acier à haute résistance, caractérisé principalement par sa résistance caractéristique à la traction fpk et sa classe de relaxation (classe 2 de relaxation de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.3.2(4)P]) ; pour le ciment il y a lieu de faire un choix parmi les 3 classes de ciment S, N et R dont dépendent certaines données qui entrent dans le calcul de la montée en résistance du béton au cours des 28 premiers jours (caractérisé par le coefficient cc) [EC2-1-1 3.1.2(6)] ou encore dans le calcul des coefficients de fluage et de retrait [EC2-1-1 Anx.B].
Pour les projets courants on peut adopter la classe de ciment N. Lorsque la conception de l'ouvrage nécessite une mise en tension de la précontrainte sur un béton jeune, il est souvent nécessaire de recourir à un ciment de classe R pour raccourcir la durée d'attente avant mise en tension.
·
·
4 - Critères de dimensionnement
Il convient de rappeler que l'Eurocode 2 est principalement une norme de vérification des structures avec quelques éléments de base pour la conception. Les règles de calcul sont ainsi présentées sous forme de vérification, et pratiquement pas sous forme de dimensionnement. Ce point est particulièrement important en ce qui concerne le dimensionnement de la précontrainte. En effet, plusieurs niveaux de précontrainte sont possibles dans une structure, depuis une précontrainte partielle minimale jusqu'à une précontrainte totale. L'Eurocode 2 se contente de fixer un niveau minimal de précontrainte en fonction des conditions d'environnement, et d'indiquer ensuite comment justifier la quantité d'aciers passifs nécessaire. Il est bien évident que le choix du niveau de précontrainte reste de la responsabilité du concepteur. Il convient donc de définir au niveau de chaque projet le niveau de précontrainte souhaité ; l'optimum économique dépend du type de structure, et il n'est pas possible de donner des règles générales.
Les règles antérieures suivaient la même logique : 3 niveaux de précontrainte étaient définis avec leurs règles de vérification. Le choix du niveau restait de la responsabilité du concepteur, projet par projet.
L'Eurocode 2 n'a pas reconduit la définition de niveaux discontinus : il passe de façon progressive d'une précontrainte partielle à une précontrainte totale, laissant l'entière liberté au concepteur. Afin de ne pas multiplier les choix, le chapitre 7 donne des indications sur les niveaux de précontrainte qui peuvent être adoptés en service. Les mêmes réflexions doivent être menées en phase de construction : il convient de définir les tractions admissibles en fonction du type de charges et des phases considérées. Là aussi, l'Eurocode 2 donne quelques indications qui peuvent être adaptées en fonction des projets. On se réfèrera également au chapitre 7 pour une présentation de ces règles.
RN= Chapitre 3 Données principales pour les projets
RO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
Les déformations différées du béton dues au retrait et au fluage sont à prendre en compte dans les justifications aux ELS et généralement négligées aux ELU, sauf quand leurs effets sont significatifs, comme par exemple pour les vérifications aux ELU de stabilité de forme, pour lesquelles les effets du second ordre ont une importance particulière [EC2-1-1 2.3.2.2].
On peut signaler d'une manière générale que le retrait et le fluage sont des phénomènes très complexes qui encore aujourd'hui ne sont pas complètement maîtrisés ; les modèles codifiés de ces phénomènes qui permettent d'effectuer des calculs, en dépit de leur apparente sophistication, sont encore assez loin de bien pouvoir représenter la réalité. De plus, l'intensité de ces phénomènes dépend fortement de paramètres comme l'humidité ambiante, les dimensions des éléments, la composition du béton. Il faut donc garder une certaine prudence vis-à-vis de la précision des résultats des calculs. Les pratiques antérieures faisaient abstraction des phénomènes de retrait et de fluage pour les calculs des sections en béton armé : le fluage est pris en compte de manière forfaitaire par les coefficients d'équivalence, et le retrait par des joints de dilatation et un ferraillage appropriés. En revanche, les effets du fluage et du retrait sur la précontrainte sont importants et font baisser de manière significative l'effort de précontrainte introduit initialement dans les structures. De plus, pour les structures hyperstatiques précontraintes, les déformations dues au fluage peuvent entraîner d'importantes redistributions d'efforts. Aussi, pour les structures en béton précontraint, il est plus exact de dire que les effets du retrait et du fluage sont pris en compte pour les vérifications aux ELS, comme aux ELU. Plus précisément, de manière conventionnelle, leurs effets, déterminés pour les vérifications aux ELS, pourront être conservés pour la suite des vérifications aux ELU.
1 - Retrait
Le retrait est une diminution de volume du béton non chargé qui commence au cours de son durcissement et se prolonge jusqu'à la maturation définitive du béton. L'Eurocode 2 distingue principalement deux sortes de retrait selon leur origine : le retrait endogène (ou retrait au jeune âge) d'origine chimique, qui commence très tôt pour se terminer assez rapidement au bout de quelques jours et qui est dû à la diminution de volume de la pâte de ciment au cours de son hydratation; le retrait de dessiccation (ou exogène), dû à la variation d'hygrométrie interne, qui ne commence pratiquement qu'au décoffrage et qui constitue un processus lent, de longue haleine. C'est bien la déformation totale de retrait qui doit être prise en compte dans les calculs. Ceci étant, le risque de fissuration suite à des déformations gênées produites par les retraits thermique et endogène dans un béton frais coulé au contact d'un béton durci est particulièrement important pour être souligné par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.1.4(6)].
La prise en compte du retrait dans l'analyse structurale a été rappelée au début de ce chapitre pour la détermination des sollicitations. Pour le calcul des contraintes : l'effet du retrait n'intervient plus directement dans le cas général où d'autres charges que le retrait sont appliquées ; à l'inverse, l'effet du retrait seul et empêché est une cause de la fissuration, et mérite une étude particulière; on se reportera à l'exemple de calcul donné en [0] du présent guide.
2 - Fluage
Le fluage du béton est le phénomène selon lequel la déformation du béton soumis à une charge constante continue de croître dans le temps. Le fluage dépend aussi, en plus des facteurs cités ci-dessus, de la maturité du béton lors du premier chargement ainsi que de la durée et de l'intensité de la charge appliquée. L'hypothèse simplificatrice d'un fluage linéaire du béton est communément admise à la condition de limiter la contrainte de
RQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
compression dans le béton à 0,45 fck (ou 0,45 fck(t0) si le béton est chargé à un âge t0) sous combinaison de charges quasi-permanentes [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 7.2(3)].
2.1 - Prise en compte du fluage par une méthode approchée
Dans le cas où une grande précision ne serait pas requise, l'Eurocode 2 donne dans la figure 3.1 [EC2-1-1 Fig3.1] un moyen rapide d'estimer la valeur finale du coefficient de fluage (,t0) dans des conditions courantes de température ambiante (- 40°C,+ 40°C) et d'humidité relative (40 % < RH < 100 %).
t0 représente l'âge du béton lors de l'application de la charge. Dans ces calculs approchés on sousentend que le béton est suffisamment âgé pour que ses caractéristiques à l'âge de 28 jours soient utilisables. Il est loisible de faire des interpolations à partir des valeurs données.
Une valeur finale un peu plus précise du coefficient de fluage peut aussi s'obtenir à partir des lois de fluage fonction du temps, données dans l'annexe B de l'Eurocode 2 Partie 1-1 ou pour du béton à hautes performances dans l'annexe B dans la partie 2 de l'Eurocode 2. La valeur finale du coefficient de fluage est utilisée pour prendre en compte les effets du fluage dans un calcul approché avec une petite différence selon que l'on est en analyse linéaire ou en analyse non-linéaire.
L'incidence sur le fluage dans le cas d'un béton soumis à une cure thermique est traité au [EC2-1-1 10.3.1.2].
2.1.1 - En analyse linéaire
La prise en compte du fluage se fait par l'utilisation du module effectif du béton [EC2-1-1 7.4.3(5)], un équivalent du module différé qui n'est pas utilisé explicitement dans l'Eurocode 2 pour les calculs de contrainte mais qui est défini pour les calculs de déformations [EC2-1-1 Expr.(7.20)] : E c,eff = E cm 1 + (, t 0 )
E c ,eff
L'Eurocode 2 définit à partir de cela un coefficient d'équivalence effectif par e = E s donne pas d'utilisation dans ses autres prescriptions.
mais n'en
Cette façon de faire est valable aux ELS comme aux ELU. On peut préciser que pour des structures entièrement en béton et construites sans phases cela n'a pas d'incidence sur les sollicitations et affecte uniquement les résultats relatifs aux déformations. A l'inverse pour des structures construites par phases ou pour des structures composites acier-béton les sollicitations sont évidemment aussi modifiées.
Pour les structures construites par phases, un calcul avec fluage scientifique donnera des résultats plus précis (voir plus loin). Pour les structures composites, l'Eurocode 4 donne les valeurs de coefficients d'équivalence à utiliser en fonction du type d'action. La façon de prendre en compte le fluage aux ELS dans le calcul des contraintes en section fissurée n'est pas détaillée par l'Eurocode 2. A défaut de calcul plus précis, on peut reconduire les coefficients d'équivalence, utilisés dans la détermination des sections homogènes réduites [Chapitre 3 -3.1].
RR= Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
2.1.2 - En analyse non-linéaire
Une manière simplifiée de prendre en compte le fluage consiste à utiliser un coefficient de fluage effectif ef [EC2-1-1 5.8.4(2)], [EC2-1-1 Exp.(5.19)]. Elle ne s'applique qu'aux cas simples et quand une grande précision n'est pas requise.
moment QP 1er ordre
fluage effectif
ef = (,t 0 ) { 123 4
fluage final
6 8 7 M 0 Eqp
moment de la combinaison considérée 1er ordre
M 123 4 0 Ed 4
Il est également possible de définir ef à partir des moments fléchissants totaux M Eqp et M Ed mais ceci nécessite une itération et une vérification de la stabilité sous l'état permanent avec ef = (, t 0 ) [EC2-1-1 5.8.4(2) note]. Si le rapport des moments varie dans l'élément ou la structure, on peut calculer le rapport pour la section de moment maximal, soit utiliser une valeur moyenne représentative [EC2-1-1 5.8.4(3)]. On privilégiera plutôt la valeur moyenne représentative si on peut la déterminer facilement, car c'est la déformation de l'ensemble de la structure qui est intéressante.
L'effet du fluage est alors considéré comme pris en compte par l'utilisation du diagramme contraintesdéformations du béton obtenu en multipliant toutes les valeurs des déformations relatives par un facteur (1+ef) [EC2-1-1 5.8.6(4)].
Fig./Tab.2.(1) : Diagrammes contraintes-déformations et facteur de fluage
Une analyse non-linéaire se poursuit généralement jusqu'à une vérification aux ELU, ce qui explique les définitions de M0Eqp qui est un moment fléchissant provenant d'une combinaison quasi-permanente et M0Ed qui est un moment fléchissant de combinaison fondamentale d'ELU. Une adaptation de la méthode aux ELS consisterait à prendre un moment de combinaison caractéristique pour cette dernière valeur.
RS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2 - Prise en compte du fluage par une "méthode scientifique"
Dans le cas de constructions par phases il est nécessaire d'utiliser des logiciels élaborés pour obtenir une bonne précision, la prise en compte du fluage passe par un calcul itératif, prenant en compte les lois d'évolution du fluage [EC2-1-1 et EC2-2 Anx.B] et des propriétés du matériau béton au cours du temps. C'est aussi le cas des études de stabilité de forme impliquant la non-linéarité des matériaux et le second ordre. Les sections doivent être modélisées par un nombre suffisant de fibres et leurs déformations sont reconstituées à chaque instant à partir de celles des fibres en négligeant les fibres tendues; les déformations différées des sections s'obtiennent avec une des méthodes préconisées par l'Eurocode 2, incrémentale, superposition, etc.
Pour les ponts en béton précontraint la méthode scientifique est utilisée dès le niveau d'un projet détaillé car un calcul relativement précis de pertes de précontrainte est nécessaire. Pour la même raison la clause [EC2-1-1 2.3.2.2(2)] doit s'entendre qu'aux ELU les effets du fluage sont significatifs et sont évalués sous l'effet de la précontrainte probable et des charges permanentes (comme pour une vérification aux ELS) et sont conservés [EC2-1-1 2.3.2.2 (3)]. La suite de la vérification aux ELU se poursuit par application des charges variables ad-hoc. La majoration de charge de poids propre (0,35 G) est considérée comme une charge d'ensemble supplémentaire qu'on applique de manière conventionnelle sur le schéma statique de l'ouvrage terminé, sans qu'elle ne crée de fluage supplémentaire.
3 - Eléments pour le calcul des valeurs de retrait et de fluage
3.1 - Rayon moyen
La détermination des valeurs du retrait et du fluage fait appel au "rayon moyen" de la structure, noté h0. h0 = 2Ac/u, où Ac est l'aire de la section transversale du béton et u le périmètre de la partie exposée à la dessiccation. Dans le cas d'une dalle, le "rayon moyen" ainsi défini correspond sensiblement à quatre fois la moyenne des trajets que doit faire l'eau lors de son évaporation pendant le durcissement du béton.
a) Cas d'une dalle ou d'une poutre sans étanchéité : le rayon moyen est sensiblement égal à l'épaisseur e.
e
b) Cas d'une dalle avec étanchéité : en général le hourdis supérieur recouvert par l'étanchéité n'est pas pris en compte dans le calcul de la partie du périmètre exposée à la dessiccation et le rayon moyen est alors sensiblement égal à 2 fois l'épaisseur, soit 2e.
Cependant, ce point est à apprécier au cas par cas en fonction du délai avant mise en place de l'étanchéité. e (en gras la partie non soumise à la dessiccation en général)
RT= Chapitre 4 Déformations différées du béton : retrait et fluage
c) Cas d'un caisson : en général l'intérieur du caisson n'est pas pris en compte dans le calcul de la partie du périmètre exposée à la dessiccation.
Cependant, ce point est à apprécier au cas par cas, notamment dans le cas de voussoirs préfabriqués.
(en gras parties non dessiccation en général)
soumises
à
la
3.2 - Présence d'armatures
La modification des valeurs de déformation de retrait et de fluage due à la présence d'armatures n'est pas explicitement évoquée dans l'Eurocode 2. Quand une grande précision n'est pas requise pour certains calculs, il est loisible de négliger le phénomène ce qui place du côté de la sécurité. A l'inverse, si on veut le prendre en compte, la définition précise des armatures adhérentes présentes dans les sections et l'utilisation de logiciels élaborés est nécessaire. Une option médiane consiste à reconduire une prise en compte forfaitaire en utilisant un coefficient réducteur, ks , à appliquer aux coefficients de retrait et de fluage, défini par :
ks = ks =
1 pour les bétons ordinaires, (1 + 20 s ) 1 pour les BHP (1 + 12 s )
s étant le pourcentage des armatures adhérentes, rapport de la section des armatures adhérentes à la section de béton.
RU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 5 La précontrainte
Avec l'Eurocode 2 la séparation très nette que faisaient les règles françaises entre béton précontraint et béton armé s'estompe pour donner naissance à un texte unique traitant globalement des constructions utilisant le matériau béton renforcé par des armatures en acier, qu'elles soient passives ou actives. On peut dire qu'il y a une sorte de continuité allant du béton armé où la précontrainte est inexistante au béton à précontrainte totale, en passant par du béton à précontrainte partielle. L'Eurocode 2 se borne d'ailleurs à la seule précontrainte apportée par la mise en tension d'armatures (barres, fils et torons) et en définitive l'essentiel du traitement de la précontrainte apparaît dans le texte de l'Eurocode 2 partie 1-1 en [EC2-1-1 5.10] ; d'autres éléments indispensables sont donnés de façon disséminée, là où c'est logique et nécessaire, sous forme de règles spécifiques. C'est de cette manière notamment que les particularités qui caractérisent la précontrainte par pré-tension, post-tension ou extérieure et non-adhérente sont introduites. Ceci étant, rien de fondamental n'a été modifié dans la prise en compte de la précontrainte par l'Eurocode 2. Mais la précontrainte c'est avant tout les systèmes de précontrainte qui sont des produits de construction. Et, là aussi, la logique d'harmonisation européenne joue, avec l'apparition des Agréments techniques européens (ATE), dont il convient de dire quelques mots, puisqu'ils sont indissociables de l'utilisation des eurocodes.
1 - Agrément technique européen des procédés de précontrainte
Les caractéristiques des armatures de précontrainte doivent être conformes à la norme EN 10138 ou, à défaut, définies dans un agrément technique européen (ATE). Les "kits" de précontrainte, dès lors qu'ils ne sont pas mis en oeuvre par leurs producteurs, doivent bénéficier d'un marquage CE et d'un ATE. Les ATE sont délivrés par des organismes d'agrément (ex : Sétra en France, DIBT en Allemagne, OIB en Autriche) sur la base d'un guide d'agrément technique européen (ETAG 013). L'agrément est délivré après un certain nombre d'essais pour vérifier l'aptitude à l'usage du produit. Ces kits font ensuite l'objet d'une "attestation de conformité" pour certifier la concordance du produit mis sur le marché avec celui testé dans le cadre de la délivrance de l'agrément technique européen. Cette deuxième étape aboutit au marquage CE délivré par un organisme de certification (ex : ASQPE en France ...). Doté du marquage CE le produit est présumé conforme aux exigences essentielles et peut être commercialisé et utilisé sans avoir à subir de vérification de conformité à une réglementation nationale.
1.1 - Informations figurant dans l'ATE
Les informations contenues dans l'ATE sont les suivantes :
· · · · · · · · · · · · · ·
usages possibles du système (précontrainte extérieure, câble remplaçable, etc.), gamme d'ancrage (de 3 à 37T15 par exemple), description des composants et dimensions, rayons de courbure minimums autorisés suivant le type de gaine, longueur libre à respecter derrière l'ancrage ou encombrement des vérins, longueur droite à respecter à la sortie de l'ancrage, coefficient de frottement k et , espacement des supports de gaine, rentrée d'ancrage lors de la mise en tension, résistance minimale moyenne du béton à respecter à la mise en tension (fcm,0), entraxe et enrobage des ancrages (dépendant de fcm,0), frettage à placer derrière l'ancrage (dépendant de fcm,0) et adaptation possible, type d'injection, recommandations sur le transport, le stockage et la manutention.
SM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2 - Informations utiles pour l'application de l'Eurocode 2
Les principales informations utilisées dans les calculs sont les suivantes :
1.2.1 - Forces de mise en tension
Les forces de mise en tension sont généralement données à titre indicatif ou de recommandation dans l'ATE (sauf prescription contraire) car les systèmes sont testés pour résister en statique, en fatigue et en transfert de charge sur la base des forces caractéristiques des câbles Fpk et non des forces indiquées dans l'ATE. Celles-ci doivent donc être déduites de la norme sur les armatures de précontrainte (EN 10138) donnant Fpk et Fp0,1k et de l'annexe nationale de l'Eurocode 2 donnant les coefficients k1 et k2 à placer devant Fpk et Fp0,1k. Ces derniers coefficients sont utilisés pour définir les limites maximales des forces de mise en tension [Chapitre 5 -2.1]
1.2.2 - Coefficients de frottement k et
Les valeurs fournies par défaut dans l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.10.5.2(2)], [EC2-1-1 5.10.5.2(3)] sont en général sécuritaires. Dans certains cas, les ATE peuvent proposer des valeurs plus réalistes issues de mesures sur site.
Il est aussi conseillé de prendre des valeurs sécuritaires dans le cas de traversée des câbles au travers de nombreux joints.
1.2.3 - Rentrée d'ancrage
Les valeurs à utiliser dans le projet sont fixées dans les ATE.
1.2.4 - Résistance du béton et transfert de charge
Les ATE fournissent une ou plusieurs valeurs de résistance minimale du béton à respecter à la mise en tension, en fonction du positionnement respectif des ancrages. Cette résistance minimale du béton conditionne les entraxes, les distances aux bords des ancrages ainsi que les frettages associés. Dans le cas où plusieurs valeurs de fcm,0 sont proposées il est loisible d'interpoler sur tous ces paramètres.
1.2.5 - Contraintes géométriques
Le projeteur trouvera en outre, toutes les contraintes géométriques que le projet devra respecter pour que notamment les mises en tension soient aisément réalisables.
2 - Force de précontrainte
L'Eurocode 2 utilise un vocabulaire légèrement différent des anciennes pratiques, dont il est utile de rappeler les principales définitions.
2.1 - Force de précontrainte maximale
Elle est représentée par Pmax : C'est la force appliquée à l'extrémité active lors de la mise en tension (force au vérin). Naturellement elle doit être limitée pour éviter la plastification des armatures [EC2-1-1 5.10.2.1] Pmax = Ap × min (k1 × fpk; k2 × fp0,1k) Ap étant l'aire de la section des armatures de précontrainte
SN= Chapitre 5 La précontrainte
k1 et k2 ayant pour valeurs, respectivement 0,80 et 0,90, soient les valeurs recommandées qui sont reprises par l'annexe nationale, mais aussi pour éviter la compression excessive du béton soumis aux charges lors de l'application de la précontrainte [EC2-1-1 5.10.2.2]
c 0,6 fck(t)
2.2 - Force de précontrainte initiale
Elle est représentée par Pm0(x) : C'est la force de précontrainte appliquée au béton immédiatement après mise en tension (post-tension) ou après transfert (pré-tension), après déduction des pertes instantanées. La variation en fonction de l'abscisse x est due aux frottements pour la précontrainte par post-tension et à l'établissement de la précontrainte par pré-tension dans les zones d'about. L'Eurocode 2 impose aussi une limitation à cette force initiale, ce qui est nouveau : Pm0(x) Ap × min (k7 × fpk; k8 × fp0,1k ) k7 et k8 ayant pour valeurs définies par l'annexe nationale, respectivement 0,77 et 0,87, pour la précontrainte par post-tension et 0,8 et 0,9 pour la précontrainte par pré-tension.
2.3 - Force de précontrainte probable
Elle est représentée par Pm,t(x) : la force de précontrainte variable le long de l'armature et dans le temps, qui résulte de la déduction des pertes instantanées et des pertes différées.
3 - Pertes de précontrainte
Il n'y a aucun changement de principe dans le calcul des pertes de précontrainte. L'adoption de lois différentes pour les déformations différées du béton par l'Eurocode 2 ne devrait conduire qu'à peu d'écart dans les résultats finaux des forces de précontrainte par rapport aux pratiques antérieures. En outre, pour du béton à haute performance (classe de résistance supérieure à C50/60), les lois de perte par relaxation comme celles de perte par fluage et retrait sont restées les mêmes que précédemment.
3.1 - Pertes instantanées
Pour la précontrainte par post-tension les pertes instantanées sont les pertes par blocage des ancrages, les pertes par frottement et les pertes par déformation élastique du béton. A la différence de la post-tension, la mise en oeuvre de la pré-tension peut déjà conduire à des pertes de précontrainte qui se produisent entre la mise en tension de l'armature et la mise en précontrainte de l'élément. Ce sont notamment les pertes dues au retrait du béton, à la relaxation de l'acier et éventuellement à un traitement thermique qu'il convient de prendre en compte en plus des pertes instantanées proprement dites. Il faut noter que les variables et k utilisées dans l'expression de calcul des pertes par frottement [EC2-1-1 Expr.(5.45)] ne sont pas, de façon formelle, exactement celles utilisées jusqu'ici, mais traduisent la prise en compte des mêmes phénomènes physiques. Par ailleurs, leurs valeurs, fournies à défaut de valeurs plus précises qui seraient à rechercher dans les Agréments Techniques Européens (ATE), sont en général sécuritaires [EC2-1-1 5.10.5.2(3)], [EC2-1-1 5.10.5.2(4)].
SO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2 - Pertes différées
Les pertes différées ont deux causes :
· ·
la réduction de l'allongement de l'armature induite par la déformation du béton du fait du retrait et du fluage, la diminution de la contrainte de l'armature due à la relaxation.
Le calcul des pertes différées par relaxation se fait en principe pour les ponts par l'utilisation de la classe 2 de relaxation [EC2-1-1 3.3.2(4)] définie par une valeur de 1000 au plus égale à 2,5 % (c'est l'équivalent de la classe de relaxation TBR des règles antérieures) et par l'utilisation de l'expression (3.29). A l'exception de cas très simples (éléments isostatiques, construits sans phasage) pour lesquels il est envisageable d'estimer de manière approximative les pertes différées et totales à partir de l'expression (5.46) fournie par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 3.3.2(7)], utile pour un pré-dimensionnement, il est nécessaire de faire appel aux lois de déformation de retrait et de fluage pour effectuer le calcul détaillé des pertes différées.
Dans le cas où on n'aurait pas besoin d'une grande précision, par exemple pour l'étude de la flexion transversale d'un hourdis de pont, l'expression (5.46) [EC2-1-1 5.10.6(2)] peut être utile.
L'Eurocode 2 partie 1-1 donne dans son Annexe B les lois correspondantes ; l'Eurocode 2 partie 2 précise dans l'Annexe B modifiée que pour des bétons à haute performance (de classe de résistance supérieure à C50/60) l'utilisation des lois données en B.103 donne de meilleurs résultats. De plus cette Annexe modifiée fournit des méthodes pour déterminer les coefficients à utiliser dans les expressions de B.103 en vue d'une meilleure précision quand on dispose de mesures expérimentales obtenues à partir d'essais de retrait et de fluage appropriés. Les différentes méthodes permettant le passage à l'évaluation des effets structurels induits par le comportement différé du béton sont décrites brièvement dans l'Annexe KK de l'Eurocode 2 partie 2, notamment la méthode du temps équivalent.
4 - Valeurs représentatives de la précontrainte
A partir de limitations apportées à la force de précontrainte avant et après l'opération de mise en tension l'Eurocode 2 définit, comme vu précédemment, une force de précontrainte probable Pm,t(x) déduction faite des pertes au temps t, mais aussi par majoration et minoration de cette force, un couple de deux valeurs caractéristiques Pk,sup et Pk,inf , encore communément appelé fourchette :
· ·
une valeur inférieure : Pk,inf = rinf ×Pm,t une valeur supérieure : Pk,sup = rsup ×Pm,t
Les pourcentages de majoration et minoration sont respectivement de 10 % (rsup = 1,1 ; rinf = 0,9) pour la précontrainte intérieure adhérente par post-tension et de 5% pour la précontrainte extérieure ou la précontrainte par pré-tension (rsup = 1,05 ; rinf = 0,95).
Lorsque des mesures appropriées sont prises comme par exemple la mesure directe de la précontrainte par pré-tension on peut adopter r sup =r inf =1 .
4.1 - Prise en compte de la précontrainte aux ELU
La valeur probable Pm,t est à utiliser pour les justifications aux ELU sauf pour la vérification à la fatigue qui utilise une combinaison d'actions similaire à une combinaison fréquente.
SP= Chapitre 5 La précontrainte
4.2 - Prise en compte de la précontrainte aux ELS
Les valeurs caractéristiques Pk,sup et Pk,inf sont à utiliser pour les justifications aux ELS et donc pour :
· · · ·
les calculs de contrainte dans le béton à vérifier vis-à-vis des limites prescrites, les calculs de contrainte dans les aciers passifs à vérifier vis-à-vis des limites prescrites, la détermination du ferraillage minimal, les calculs de contrainte dans les aciers passifs pour les calculs d'ouvertures de fissure.
On peut noter que la fourchette n'est pas utilisée pour le calcul des contraintes dans les armatures de précontrainte.
4.3 - En construction
Dans les situations en construction les annexes nationales des parties 1-1 et 2 précisent qu'il est possible de prendre rsup = rinf = 1,0 lorsque des précautions particulières sont prises, tant au niveau de la conception qu´au niveau de l´exécution, pour que la précontrainte probable Pm soit réalisée dans l´ouvrage. Dans le cas de la post-tension, ces précautions consistent notamment :
· · ·
à prévoir, dès le niveau de la conception, des conduits vides permettant de mettre en place des câbles complémentaires pour les cas où la tension probable ne serait pas obtenue sur chantier ; à imposer des mesures du coefficient de transmission sur les premiers câbles mis en tension (épreuve de convenance) et sur un nombre suffisant de câbles tendus ultérieurement (épreuve de contrôle) ; à établir un programme de travaux suffisamment échelonné pour permettre de déterminer et d´effectuer les corrections éventuellement nécessaires.
Si la structure est très sensible aux effets de la précontrainte, il convient de maintenir les valeurs rsup = 1,05 et rinf = 0,95.
5 - Adhérence de la précontrainte
Les aciers de précontrainte présentent une moins bonne adhérence au béton que les aciers passifs à haute adhérence. Dans les calculs de contrainte en sections fissurées, les surtensions dans les aciers passifs seraient donc plus importantes que celles calculées en supposant une adhérence parfaite des aciers de précontrainte. Le problème ne se pose que pour les calculs de contrainte dans les structures à précontrainte partielle (c'est-àdire les structures précontraintes susceptibles d'être significativement fissurées aux ELS). Deux méthodes sont possibles pour prendre en compte cette différence de comportement vis-à-vis de l'adhérence :
· ·
faire un calcul en faisant l'hypothèse d'une adhérence parfaite, et corriger ensuite les contraintes obtenues ; faire un calcul de contrainte en réduisant "à la source" la contribution de la surtension des armatures de précontrainte.
Ces deux méthodes sont envisagées dans l'Eurocode 2. La première est recommandée pour les calculs à la fatigue [EC2-1-1 6.8.2(2)P], la seconde est proposée pour le calcul du ferraillage minimum aux ELS [EC2-1-1 7.3.2(3)]. La première méthode a l'avantage de la simplicité mais ne permet pas d'obtenir un état de contrainte qui respecte les conditions d'équilibre général de la section.
SQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les modalités d'application suivantes sont recommandées :
·
pour les calculs à la fatigue des structures à précontrainte partielle, on applique la méthode recommandée par l'Eurocode 2 [EC2-1-1 6.8.2]. Une borne supérieure à la variation de contrainte dans les aciers passifs peut être obtenue en négligeant totalement les surtensions p dans les aciers de précontrainte au-delà de l'état de déformation nulle du béton adjacent ; pour les calculs de contrainte aux ELS dans les structures précontraintes non fissurées, on néglige les surtensions p dans les aciers de précontrainte.
Pour les calculs de contrainte aux ELS dans les structures à précontrainte partielle, l'Eurocode n'indique pas de méthode précise. On peut s'inspirer de la seconde méthode, qui consiste à calculer l'état d'équilibre de la section en pondérant la surtension p par un coefficient 1 (borné supérieurement à 1,0) ou, ce qui est équivalent, à réduire la section de précontrainte Ap par ce même coefficient 1 . Là aussi, une borne supérieure à la variation de contrainte dans les aciers passifs peut être obtenue en négligeant totalement les surtensions p dans les aciers de précontrainte.
·
Des exemples de calcul sont donnés dans les chapitres ELS et ELU de fatigue (application à une dalle de PSIDP calculée en précontrainte partielle).
L'utilisation de modèles de calcul plus complexes, représentant de façon adéquate les différences d'adhérence entre aciers, reste possible. Voir par exemple l'article de F. Toutlemonde et R. Pascu, du Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées n°241 de novembre-décembre 2002.
Pour la précontrainte extérieure la surtension résulte de la valeur moyenne de l'allongement entre deux déviateurs ou sur une plus grande longueur en cas de glissement sur ces déviateurs. La surtension est donc faible et du fait de la possibilité de glissements son estimation est aléatoire. Aux ELS, la surtension est donc totalement négligée. Aux ELU, l'Eurocode autorise une prise en compte forfaitaire de la surtension [Chapitre 6 -1.1].
SR= Chapitre 5 La précontrainte
SS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 6 Justification aux ELU
Ce chapitre traite des justifications aux ELU, en particulier de l'ELU de résistance vis-à-vis de la flexion, de l'effort tranchant, de la torsion, et du poinçonnement. Les justifications pour des ELU plus spécifiques comme la fatigue, la rupture fragile et le flambement sont également présentées. Il faut se reporter par contre au calcul des plaques du Chapitre 10 -4 pour trouver des éléments concernant le cumul des effets de la flexion longitudinale et des effets locaux. Le calcul des sollicitations est généralement effectué sur la base d'une analyse élastique linéaire sans redistribution (sauf pour l'étude de la stabilité de forme), en tenant compte des caractéristiques des sections brutes [Chapitre 2 -6.2.2] et le cas échéant de la largeur participante [EC2-1-1 5.3.2.1], [Chapitre 2 -6.2.1]. La seule différence par rapport aux pratiques antérieures vient de la prise en compte de la précontrainte extérieure. L'Eurocode autorise en effet la prise en compte des surtensions dans les câbles non-adhérents. L'accroissement de contrainte dans les armatures de précontrainte non-adhérente (par exemple pour la précontrainte extérieure) peut être évalué :
· ·
à défaut de calcul précis, en prenant en compte un accroissement forfaitaire de 100 MPa [EC2-1-1/AN 5.10.8(2)], sinon, en tenant compte de la déformation d'ensemble de l'élément [EC2-2 5.10.8(103)], au moyen d'une analyse non-linéaire géométrique (second ordre, [EC2-1-1 5.7(1)]).
Il est en général plus défavorable de négliger l'effet de cet accroissement de tension. Lorsqu'il est utile d'évaluer cet accroissement, on peut considérer un câble totalement glissant (en particulier au droit des déviateurs) au tracé identique au câble réel.
1 - Justification vis-à-vis de la flexion
Ce paragraphe fait référence aux clauses [EC2-1-1 6.1] et [EC2-2 6.1]. La flexion déviée est abordée en [EC2-1-1 5.8.9]. De façon générale, les justifications aux ELU de résistance en flexion dans l'Eurocode 2 sont très proches de la pratique antérieure :
· ·
calcul des sollicitations par un modèle linéaire-élastique ; vérification des sections avec des lois de comportement des matériaux (présentées ci-après) différentes de celles utilisées pour l'analyse structurale (déjà présentées au [Chapitre 2-6.3.1]).
Ce paragraphe met l'accent sur les principales différences entre l'Eurocode 2 et les règles antérieures. Sont présentées successivement les lois matériaux, la prise en compte de la précontrainte dans l'analyse, et la vérification des sections.
1.1 - Lois de comportement des matériaux pour les vérifications des sections
Le calcul des sections est basé sur l'utilisation des diagrammes contraintes-déformations particulières données dans la Section 3 de l'Eurocode 2 partie 1-1 [EC2-1-1 3.1.7], [EC2-1-1 3.2.7] et [EC2-1-1 3.3.6].
SU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1.1 - Béton
Plusieurs lois de comportement peuvent être utilisées.
La loi "parabole-rectangle" [EC2-1-1 Fig.3.3] :
c = f cd 1 - 1 - c c2 c = f cd
n
pour 0 c c 2 pour c 2 < c cu 2
Cette loi n'est pas constituée en fait d'une parabole pour les bétons dont la résistance est supérieure à 50 MPa, dits bétons BHP, puisque l'exposant n est alors compris entre 1,75 pour du C55/67 et 1,4 pour du C90/105.
c
fcd
c
0
c2
cu2
Fig./Tab.1.(1) : Loi de comportement du béton pour le calcul des sections
Deux autres lois appelées simplifiées sont admises et sont considérées comme équivalentes à la loi "parabolerectangle".
La loi "bilinéaire" [EC2-1-1 3.1.7 (3) Fig.3.4] :
c
fcd
c
0
c3
cu3
Fig./Tab.1.(2) : Lois de comportement bilinéaire du béton pour le calcul des sections Le diagramme rectangulaire simplifié [EC2-1-1 3.1.7 (3) Fig.3.5] :
L'hypothèse d'un diagramme rectangulaire de compression dans le béton est possible, tant pour les bétons normaux que les BHP. La hauteur utile de la zone comprimée et la résistance effective sont alors fonction de la résistance caractéristique du béton.
Ces trois lois ont été calibrées pour donner des résultats très proches, voire plus conservateurs pour les diagrammes simplifiés.
SV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Toutes ces lois sont caractérisées par l'utilisation du paramètre fcd, résistance de calcul en compression du béton définie par : f cd = cc × f ck
C
avec cc coefficient tenant compte des effets de la durée d'application de la charge sur la résistance en compression du béton, coefficient dont l'annexe nationale a fixé la valeur à cc = 1,0
C coefficient partiel du béton [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,5 en situations durable et transitoire et 1,2 en situation accidentelle.
Le coefficient cc permet de tenir compte de l'importance des charges permanentes dans les combinaisons. Les annexes nationales de l'Eurocode 2 ont retenu la valeur cc = 1,0 pour toutes les structures en béton.
Les valeurs des paramètres de déformation ci fonction de la classe de résistance du béton sont à rechercher dans [EC2-1-1 Tab.3.1].
1.1.2 - Aciers passifs
Les lois de comportement suivantes peuvent être utilisées [EC2-1-1 Fig.3.8] :
· ·
la loi bilinéaire à palier horizontal, pour laquelle il n'y a pas de limitation des déformations de l'acier, la loi bilinéaire avec raffermissement. f yk
La résistance de calcul des aciers passifs dans le cas d'utilisation de la loi avec palier horizontal est donnée par : f yd =
S
avec S coefficient partiel de l'acier de béton armé [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,15 en situations durable et transitoire et 1,0 en situation accidentelle. Dans le cas d'utilisation de la loi bi-linéaire avec raffermissement la valeur limite de résistance est définie par l'allongement maximal de calcul ud dont la valeur recommandée vaut 0,9 uk . Les valeurs de résistance usuellement utilisées, pour un acier B500B en situation durable, sont fyk = 500 MPa, fyd = 435 MPa. La limite de résistance avec la loi bilinéaire et raffermissement correspond à ud = 4,5% et vaut au moins 466 MPa.
Fig./Tab.1.(3) : Diagrammes contraintes-déformations des aciers de béton armé pour le calcul des sections
TM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1.3 - Aciers de précontrainte
Plusieurs lois de comportement peuvent être utilisées :
· · ·
la loi bilinéaire à palier horizontal [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.10], la loi bilinéaire avec raffermissement [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.10], une loi représentant le diagramme réel des aciers, sous réserve de lui appliquer le coefficient 1/S au delà de fp0,1k [EC2-1-1 3.3.6(7)]. Pour les torons, la loi du règlement antérieur (conforme à la figure [EC2-1-1 3.3.6 Fig.3.9] peut donc être reprise, elle est mentionnée sur la figure suivante.
Fig./Tab.1.(4) : Diagrammes contraintes-déformations des aciers de précontrainte
La résistance de calcul des aciers de précontrainte dans le cas d'utilisation de la loi avec palier horizontal est donnée par : f pd = f p 0,1k
S
S coefficient partiel de l'acier de précontrainte [EC2-1-1/AN 2.4.2.4(2)] de valeur 1,15 en avec situations durable et transitoire et 1,0 en situation accidentelle.
Dans le cas d'utilisation de la loi bi-linéaire avec raffermissement la valeur limite de résistance est définie par l'allongement maximal de calcul ud dont la valeur recommandée vaut 2%. Les valeurs de résistance usuellement fp0,1k = 0,9fpk = 1674 MPa, fpd = 1456 MPa. utilisés en situation durable, sont fpk = 1860 MPa,
TN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
1.2 - Calcul des sections
Le calcul des sections à l'ELU de résistance est basé sur les hypothèses suivantes [EC2-1-1 6.1(2)] :
· · ·
les sections droites restent planes ; la résistance à la traction du béton est négligée ; il n'y a pas de glissement relatif des matériaux, sauf pour la précontrainte non-adhérente.
Le principe des pivots est conservé :
· · ·
pivot A (lorsqu'il existe) : limitation de la déformation des aciers passifs et/ou de précontrainte ; pivot B : limite de déformation du béton pour des pièces fléchies ; pivot C : limite de déformation du béton en compression pure.
A - limite de déformation relative en traction des armatures de béton armé B - limite de déformation relative du béton en compression C - limite de déformation relative du béton en compression pure Fig./Tab.1.(5) : Diagramme des déformations relatives admissibles à l'état limite ultime
Il faut s'assurer que les déformations ultimes admissibles ne sont pas atteintes, le cas échéant. Par ailleurs, pour les membrures comprimées des poutres-caissons (charge relativement centrée vérifiant e < 0,1 ), il faut vérifier que la déformation moyenne en compression dans la membrure est inférieure à c2 h (ou c3 selon le diagramme utilisé) [EC2-1-1 6.1(5)].
Cette clause peut être dimensionnant pour les pièces fortement sollicitées (hourdis inférieur sur appuis). Il peut être nécessaire de limiter la déformation en fibre extrême à une valeur inférieure à cu2(ou 3) pour pouvoir respecter cette condition.
1.3 - Conclusion
Le principe du calcul des sections à l'ELU de résistance est conforme aux habitudes de calcul antérieurement pratiquées en France, avec une légère réduction des quantités pour les raisons suivantes :
· ·
cc = 1,0
possibilité d'utiliser un diagramme bilinéaire incliné pour les aciers, qui permet une réduction de quelques pourcents du ferraillage.
On a l'impression qu'on pourrait gagner 5 à 8 %, mais en réalité le gain est bien moindre à cause de la limitation imposée au béton.
·
possibilité de prendre en compte la surtension des câbles de précontrainte extérieure.
TO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En revanche, la suppression du pivot A, lorsqu'on utilise des diagrammes à palier horizontal pour les armatures de béton armé et de précontrainte, ne permet pas, de façon générale, de réduire les quantités d'aciers, car dans ce cas c'est le pivot B qui impose les limites.
2 - Justification vis-à-vis du tranchant
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2] et [EC2-2 6.2]. Ce paragraphe concerne l'étude de la résistance aux efforts tranchants aux ELU. Il ne traite pas du cumul des efforts de cisaillement et de flexion locale qui est abordé au [Chapitre 10 -4.3]. De même il faut aller au [Chapitre 7 -2.5] pour trouver la vérification des sections vis-à-vis du tranchant aux ELS. Il est aussi complété par le traitement de certains cas particuliers au [Chapitre 10 -1] et des applications numériques en [Annexe III].
2.1 - Effort tranchant de calcul
2.1.1 - Définition de l'effort de tranchant à prendre en compte
L'effort tranchant agissant de calcul VEd, utilisé pour la justification des sections, est la somme :
· · ·
de l'effort tranchant dû aux actions extérieures, de l'effort tranchant dû à la précontrainte, des composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable dues à l'effet Résal [Chapitre 10 -1.1].
2.1.2 - Largeur d'âme de calcul bw
bw est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue ou dans la zone comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée. En présence de gaines de précontrainte métalliques injectées de diamètre > VRd,max doit être calculé en adoptant une largeur nominale de l'âme réduite :
b w,nom = b w - 0,5
bw , l'effort tranchant résistant 8
avec
= encombrement des gaines au niveau le plus défavorable.
Dans le cas de gaines non injectées, de gaines en plastique injectées ou d'armatures de précontrainte non adhérentes : b w,nom = b w - 1,2
L'Eurocode 2-1-1 précise que, dans ce dernier cas, si des armatures transversales adaptées sont prévues pour éviter le fendage des bielles, le coefficient 1,2 peut être réduit à 1,0 [EC2-1-1 6.2.3(6)] ; ceci est confirmé par l'annexe nationale.
Dans la suite les expressions font apparaître uniquement bw ; il faut lire bw,nom le cas échéant.
TP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.1.3 - Principe de la vérification
La procédure générale de vérification comprend [EC2-1-1 6.2.1] :
·
une vérification de la résistance de la section sans armatures d'effort tranchant. Si celle-ci est concluante, seul le ratio minimum d'armatures [EC2-1-1 9.2.2] rappelé en [Chapitre 9 -3.1] est à mettre en oeuvre et la vérification ci-dessous n'est pas à faire ; il peut être cependant être omis dans le cas des dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale des charges est possible [EC2-1-1 6.2.1(4)] ; une vérification de la résistance avec armatures d'effort tranchant qui comprend à la fois la vérification de la résistance des bielles de béton et celle de la résistance des armatures de cisaillement ; la prise en compte de l'effort de traction longitudinal supplémentaire qui doit intervenir dans le dimensionnement des armatures longitudinales.
Les règles générales édictées pour la justification des sections s'appliquent lorsque les charges sont appliquées en partie supérieure des éléments. Lorsque des charges sont appliquées en partie inférieure, il faut ajouter des armatures verticales suffisantes pour transmettre la charge en partie supérieure [EC2-1-1 6.2.1(9)]. Ces conditions peuvent se présenter lors de croisement de poutres. Elles se présentent également dans les ponts caissons : - le poids du hourdis inférieur exerce directement une traction sur le bas des âmes. - pour des caissons de hauteur variable avec hourdis courbe, l'effort normal Ni résultant de l'ensemble des contraintes normales sur celui-ci, induit une poussée au vide Q = Ni / R où R est le rayon de courbure du hourdis. Dans le cas où Ni est une traction, Q exerce une traction sur les âmes. - les câbles de précontrainte, situés dans le hourdis inférieur ou dans le bas des âmes, induisent également une poussée au vide QP = FP / R vers le bas.
· ·
Q=Ni/R
R Ni
Ni
Fig./Tab.2.(1) : Poussée au vide d'un hourdis
2.2 - Vérification des sections courantes
On commence par vérifier que les éléments dépourvus d'armatures de tranchant ont une résistance suffisante. Sont considérés comme dépourvus d'armatures les éléments munis seulement du ferraillage minimal comme indiqué au [Chapitre 9-3.1].
TQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.1 - Eléments pour lesquels aucune armature d'effort tranchant n'est requise
2.2.1.a) Cas général
Il convient de vérifier : VEd VRd,c VEd est l'effort tranchant agissant de calcul. VRd,c est l'effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armature transversale : VRd,c = C Rd,c k (100 1 f ck ) 3 + k 1 cp b w d
1
[
]
[EC2-1-1 6.2.2 Expr.(6.2.a)]
avec une valeur minimale VRd,c v min + k 1 cp b w d où k =1+ 200 2,0 avec d exprimé en mm d
(
)
[EC2-1-1 6.2.2 Expr.(6.2.b)]
1 = A sl /b w d 0,02
Les valeurs adoptées sont les suivantes : - CRd,c = 0,18/C = 0,18/1,5 = 0,12 - k1=0,15 - vmin = 0,34/C fck1/2 pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale sous le cas de charge considéré - vmin = 0,053/C k3/2 fck1/2 pour les poutres et les dalles autres que celles ci-dessus - vmin = 0,35/C fck1/2 pour les voiles Ce sont les valeurs recommandées sauf celles concernant vmin dans le cas des dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale et des voiles, qui sont des valeurs proposées par l'annexe nationale.
L'expression (6.2a) fait intervenir le ratio d'armatures longitudinales l = Asl / bw d dans lequel peuvent être comptées les armatures de précontrainte adhérentes. Ce ratio est surtout prévu pour des sections rectangulaires et n'a pas beaucoup de signification pour les poutres caissons, pour lesquelles il est préférable de le négliger et de ce fait, ne retenir que l'effort résistant donné par l'expression (6.2b). Les expressions (6.2a) et (6.2b) ne diffèrent que par le premier terme de la somme entre parenthèse. La comparaison de ces deux termes montre que pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale, l'expression (6.2b) est toujours prépondérante. Les valeurs de vmin préconisées par l'annexe nationale appellent les commentaires suivants : - le coefficient partiel C est mis en évidence ce qui permet de traiter les cas de situations accidentelles ; - la valeur préconisée pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale donne des efforts résistants beaucoup plus élevés que pour les poutres à dimensions égales.
TR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.2.1.b) Cas particuliers
Le cas particulier des éléments non fissurés aux ELU est examiné en [Chapitre 10 -1.4], celui des éléments précontraints à une seule travée en [Chapitre 10 -1.5].
2.2.2 - Eléments pour lesquels des armatures d'effort tranchant sont requises
Cette vérification est basée sur un modèle de treillis tel que représenté ci-après [EC2-1-1 6.2.3] :
Fig./Tab.2.(2) : Modèle de treillis d'effort tranchant
Elle nécessite :
· ·
la vérification de la résistance des bielles, la vérification ou la détermination des armatures d'effort tranchant.
L'Eurocode 2 présente à la fois le cas des armatures perpendiculaires à la fibre moyenne ( = 90°) pour lesquelles les expressions se simplifient et celui des armatures inclinées d'un angle quelconque. Par la suite, les expressions avec un angle quelconque sont explicitées; leur simplification est facile et immédiate.
Lorsqu'on souhaite minimiser le ferraillage d'effort tranchant, on choisira l'inclinaison des bielles la plus faible compatible avec leur résistance en compression. Cela peut toutefois conduire à majorer de façon importante les aciers longitudinaux. De plus, si la direction des bielles choisie à l'ELU de résistance est trop éloignée de la direction élastique des contraintes principales de compression aux ELS, des fissurations importantes peuvent se produire sous effort tranchant en service, accompagnées de problèmes de fatigue. Dans le cas d'éléments de ponts en béton armé, il est donc recommandé de ne pas trop incliner les bielles à l'ELU de résistance, pour ne pas créer de problème de fissuration excessive aux ELS. On pourra par exemple borner inférieurement l'inclinaison à 34° (cot34° = 1,5), conformément à l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 7.3.1(10)], [EC2-2/AN 6.8.1(102)]. Dans le cas d'éléments en béton précontraint, où les suppléments d'aciers passifs longitudinaux sont faibles, il est généralement intéressant d'incliner les bielles le plus possible. Il faut signaler enfin que le schéma présenté dans la figure ci-dessus n'est valable qu'en partie courante de la poutre. Près des appuis, une étude spéciale de la bielle d'about doit être effectuée. Le choix d'une bielle trop inclinée peut nécessiter d'ancrer des aciers longitudinaux en quantité importante, et on peut avoir intérêt à réduire l'inclinaison des dernières bielles.
TS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.2.a) Vérification de la résistance des bielles
Il y a lieu de commencer par le choix de l'angle d'inclinaison des bielles défini par les conditions suivantes, fixées par l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 6.2.3(2)] :
·
en compression ou flexion simple 1 cot 2,5 (conformes aux valeurs recommandées) soit : 21,8° 45° en traction 1 + ct / f ctm cot 2,5 1 + ct / f ctm
·
où ct est la contrainte de traction au centre de gravité (-fctm < ct < 0)
Le cas d'une section où ct < -fctm n'est pas traité.
Il convient de vérifier : VEd VRd,max VEd est l'effort tranchant agissant de calcul VRd,max est l'effort résistant de la bielle en béton qui est donné par : VRd,max = cw b w z 1 f cd (cot + cot) (1 + cot 2 ) bw est la largeur d'âme
La largeur nette est à prendre en présence des gaines d'armatures de précontrainte. En cas de largeur d'âme variable la plus petite largeur est à prendre.
[EC2-1-1 Expr.(6.14)]
1 est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant. Sa valeur recommandée est prise égale à [EC2-1-1 6.2.2(6)] ; elle est retenue par l'annexe nationale et est donnée par :
1 = = 0,6 (1-fck /250)
[EC2-1-1 Expr.(6.6N)]
On peut noter qu'une résistance fck élevée réduit .
cw est un coefficient prenant en compte l'état de contrainte dans la membrure comprimée. Les valeurs recommandées, validées par l'annexe nationale, sont les suivantes : 1 (1 + cp/fcd) 1,25 pour les structures non précontraintes pour 0 < cp 0,25 fcd pour 0,25 fcd < cp 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.11.aN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.bN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.cN)]
2,5 (1 - cp/fcd) pour 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd
La figure ci-dessous représente cw en fonction de la contrainte normale :
Fig./Tab.2.(3) : Variation de cw , avec la contrainte normale moyenne du béton
TT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
L'annexe nationale complète et précise que pour le cas d'éléments en flexion composée avec un effort de traction, mais dont une membrure reste comprimée, on peut prendre : cw,t = 1+ct/fctm Le cas d'une section entièrement tendue n'est toutefois pas traité.
Pour la détermination de cw , cp est la contrainte de compression moyenne (> 0), ct est la contrainte de traction moyenne (< 0), chacune étant déterminée sous l'effort normal de calcul sur la section de béton, en tenant compte des armatures. Plus précisément, les contraintes normales peuvent être déterminées par un calcul élastique conventionnel bien que le calcul soit mené aux ELU. On a alors cp = N/S (contrainte au centre de gravité de l'ensemble de la section). Pour les sections non précontraintes, on trouve bien cp = 0 et cw = 1. Pour prendre en compte les armatures on utilise les valeurs de coefficient d'équivalence n données au [Chapitre 3 -3.1.4]. Dans le cas de sections très comprimées, il est du côté de la sécurité de négliger la participation des aciers. Dans le cas de sections peu comprimées, une variation de 15 % de la section (obtenue pour un ratio d'armatures longitudinales de 1%), n'entraîne qu'un écart de 3 % environ sur cw. Il est précisé qu'il n'y a pas lieu de calculer la valeur de cp à une distance inférieure à 0,5d×cot du nu de l'appui.
Si l'effort tranchant sollicitant de calcul VEd est supérieur à VRd,max calculé ci-dessus, la bielle n'a pas assez de capacité de résistance. Elle peut être trop inclinée par rapport à la verticale et/ou l'épaisseur des âmes est insuffisante. Il faut commencer par redresser la bielle. Lorsque celle-ci atteint 45°, et si la résistance n'est toujours pas suffisante, il faut alors augmenter l'épaisseur des âmes.
Toutefois dans certains cas, la résistance des bielles peut être augmentée [Chapitre 10 -1.6].
2.2.2.b) Vérification de la résistance des armatures transversales
La résistance due aux armatures est donnée par :
VRd,s = A sw z f ywd (cot + cot ) sin s [EC2-1-1 Expr.(6.13)]
La détermination des armatures se fait en égalant cette capacité de résistance au tranchant sollicitant de calcul VEd :
A sw s =
z f ywd
VEd (cot + cot ) sin
et si les aciers sont perpendiculaires à la fibre moyenne : A sw s = VEd z f ywd cot
La section efficace des armatures est plafonnée à la valeur donnée par l'expression suivante :
A sw, max × f ywd bw × s 1 cw × 1 × f cd / sin 2
[EC2-1-1 Expr.(6.15)]
Cette expression est à utiliser en prenant en compte les valeurs de f cd et f ywd obtenues en situation durable et transitoire. Elle ne s'applique pas en situation accidentelle.
TU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Elle traduit l'égalité de VRd ,max et VRd,s lorsque la résistance des bielles est atteinte pour leur angle d'inclinaison maximum de 45° ou cot = 1 , c'est-à-dire lorsque VEd épuise totalement la résistance du béton de la section. Dans le cas où il n'y a pas de discontinuité de VEd (chargement uniforme par exemple), la détermination des armatures d'effort tranchant sur une longueur élémentaire 1 = z (cot + cot ) peut être effectuée en considérant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur [EC2-1-1 6.2.3(5)]. Cette disposition revient à décaler la courbe enveloppe des sections d'armatures d'effort tranchant vers les appuis.
2.2.2.c) Cas des ouvrages construits par tronçons préfabriqués et sans précontrainte adhérente
Ce cas est traité en [EC2-2 6.2.3(109)]. Dans ce cas, l'ouverture du joint dans les membrures tendues diminue la hauteur du béton comprimé qui permet la transmission des bielles. La section des armatures d'effort tranchant doit tenir compte de cette hauteur réduite.
A - Axes des tirants théoriques B - Axes des bielles de compression théoriques C - Membrure tendue du treillis (armature extérieure) D - Champ A : disposition de cadres ou étriers avec max (cot = 1,0) E - Champ B : disposition de cadres ou étriers avec min (cot = 2,5) Fig./Tab.2.(4) : Champs inclinés de contrainte dans l'âme à travers le joint.
La hauteur réduite hred est la hauteur de béton comprimé, calculée lors de la vérification de la section en flexion aux ELU. Il faut alors vérifier que hred > 0,5h. Sinon ,il faut augmenter la précontrainte pour recomprimer les joints. L'angle d'inclinaison des bielles se déduit de la valeur de hred par l'expression suivante :
h red = VEd (cot + tan ) b w f cd [EC2-2 Expr.(6.103)]
La section des armatures d'effort tranchant est alors donnée par : A sw VEd = s h red f ywd cot [EC2-2 Expr.(6.104)]
On remarque que ces expressions se déduisent de celles du calcul de résistance des sections courantes en remplaçant z par hred .
TV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.2.3 - Effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales
2.2.3.a) Calcul de l'effort
L'inclinaison des bielles du treillis induit un effort de traction supplémentaire dans les membrures : Ftd = 0,5 VEd (cot -cot ) [EC2-1-1 Expr.(6.18)] [EC2-1-1 6.2.3(7)] et
Par ailleurs sa prise en compte doit être telle que (MEd /z +Ftd) MEd,max/z [EC2-2 6.2.3(107)].
Pour des éléments comportant un ferraillage d'effort tranchant, cet effort Ftd peut être obtenu par un décalage de la courbe des moments de : a l = z (cot -cot )/ 2 [EC2-1-1 Expr.(9.2)]
Avec : inclinaison des bielles d'effort tranchant inclinaison des aciers sur l'axe longitudinal de la poutre z bras de levier du couple élastique.
On démontre facilement que l'expression donnant le décalage correspond à l'hypothèse d'un treillis multiple (ce qui est assez vrai pour les structures de ponts dans lesquels les éléments sont de grande hauteur par rapport à l'espacement des armatures transversales). Pour un treillis simple et des armatures non-inclinées le décalage vaut zcot.
Cette disposition est représentée par la figure [EC2-1-1 Fig.9.2] reproduite ci-dessous.
A - Enveloppe de MEd/z + NEd B - Effort de traction agissant Fs C - Effort de traction résistant FRs Fig./Tab.2.(5) : Illustration de la règle du décalage
Cependant, dans le cas où les efforts sollicitants sont tels qu'il n'y a pas besoin d'armatures d'effort tranchant, il convient de prendre : al = d avec d = hauteur utile [EC2-1-1 6.2.2(5)]
UM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.3.b) Reprise de l'effort
Dans la membrure comprimée, il est envisageable de reprendre cet effort par une décompression, dans la mesure où la membrure reste comprimée aux ELU.
Cette possibilité est prévue en [EC2-1-1 6.3.2(3)] pour la torsion, mais est aussi applicable au cas de l'effort tranchant.
Dans la membrure tendue, l'effort de traction est équilibré par les armatures longitudinales (aciers passifs et éventuellement précontrainte adhérente) [EC2-1-1 6.2.3(7)], [EC2-2 6.2.3(107) note]. La contrainte de traction dans les armatures de béton armé doit rester inférieure à la contrainte limite définie par [EC2-1-1 3.2.7] et la tension totale des armatures de précontrainte doit rester inférieure à la contrainte limite définie par [EC2-1-1 3.3.6]. Pour la prise en compte des armatures de précontrainte adhérentes dans le cas où elles sont inclinées, l'Eurocode 2 propose un système de treillis explicité par la figure reproduite ci-dessous [EC2-2 Fig.6.102N].
Fig./Tab.2.(6) : Superposition de modèles de résistance pour l'effort tranchant [EC2-2 Fig.6.102N]
Ce type de schéma est particulièrement utile pour étudier la participation de la précontrainte à l'équilibre de la bielle d'about. Les règles françaises antérieures détaillaient ce point de façon plus complète, en prenant en compte le tracé réel de chaque câble. En partie courante en revanche, les différences angulaires entre aciers passifs longitudinaux et précontrainte étant faibles, on peut généralement se contenter du schéma de bielle classique sans distinguer les tracés des aciers passifs longitudinaux et de la précontrainte. Nota : La résistance des armatures doit également prendre en compte les sollicitations de torsion concomitantes. Les armatures de précontrainte adhérentes peuvent participer à la résistance mais en tout état de cause leur surtension totale est limitée à p = 500 MPa [EC2-2 6.3.2(103)]. Cette limite est rarement atteinte dans la pratique. D'autre part, la surtension doit être déterminée à partir de l'état permanent.
2.3 - Résistance à l'effort tranchant près des appuis
2.3.1 - Cas courant
L'Eurocode [EC2-1-1 6.2.1(7)] indique que pour les éléments soumis principalement à des charges uniformément réparties, les vérifications à l'effort tranchant ne sont pas nécessaires pour les sections situées à une distance inférieure à d (hauteur utile) du nu de l'appui [EC2-1-1 6.2.1(8)]. Les armatures d'effort tranchant requises à cette distance sont cependant maintenues jusqu'à l'appui. Il convient de vérifier que l'effort tranchant sur appui n'excède pas VRd,max [Chapitre 6 -2.2.2].
Pour les ponts en béton, les effets des charges permanentes sont généralement supérieurs à ceux des charges d'exploitation, ils peuvent alors être considérés comme soumis principalement à des charges réparties.
UN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
2.3.2 - Réduction des charges concentrées près des appuis
La prise en compte des charges concentrées près des appuis suit les règles [EC2-1-1 6.2.2(6)] et [EC2-1-1 6.2.3(8)]. Les charges sont celles situées sur la face supérieure de l'élément, à une distance av comprise entre 0,5d et 2d du nu de l'appui, si celui-ci est rigide ou du centre de l'appui si celui-ci est souple. Les appareils d'appui en caoutchouc et les appareils d'appui à pot entrent dans cette seconde catégorie. L'effort sollicitant VEd peut être réduit par un facteur = av / 2d. Si av < 0,5d, il convient d'adopter av = 0,5d. On obtient ainsi un effort VEd réduit (appelé VEd,r par la suite). Toutefois ceci n'est valable que si les armatures longitudinales nécessaires sont totalement ancrées au droit de l'appui.
2.3.2.a) Cas où des armatures d'effort tranchant ne sont pas requises
La valeur VEd,r calculée comme ci-dessus doit être comparée à l'effort tranchant résistant VRd,c donné par les expressions (6.2a) et (6.2b) de l'Eurocode 2 partie 1-1. Si VEd,r est inférieur à VRd,c, des armatures ne sont pas requises. Par ailleurs l'effort tranchant non réduit doit vérifier la condition suivante : VEd 0,5 b w d f cd = 0,6 (1 - fck / 250) [EC2-1-1 Expr.(6.5)]
où est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant donné par [EC2-1-1 Expr.(6.6N)]
2.3.2.b) Cas où des armatures d'effort tranchant sont requises
Si l'effort tranchant réduit VEd,r est supérieur aux valeurs de VRd,c, des armatures d'effort tranchant sont requises.
Fig./Tab.2.(7) : Armatures d'effort tranchant dans le cas de transmission directe aux appuis
UO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Il faut alors vérifier : VEd,r Asw fywd sin [EC2-1-1 Expr.(6.19)] où Asw est la section d'armatures d'effort tranchant situées sur une longueur 0,75av centrée sur av, comme indiqué sur la figure ci-dessus. La résistance des bielles doit être vérifiée selon l'expression générale (6.14) de l'Eurocode 2 partie 1-1 (voir ci-dessus) en prenant en compte l'effort tranchant non réduit. La condition exprimée par l'expression (6.5), rappelée précédemment, doit également être vérifiée pour l'effort tranchant non réduit.
2.3.3 - Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 9.2.1.4], [EC2-1-1 9.2.1.5].
2.3.3.a) Appuis simples d'extrémités
La figure [Fig./Tab.2.(7)] montre que la section d'armatures présente au niveau des appuis doit y être ancrée, la longueur d'ancrage étant mesurée depuis le nu de l'appui. Cette section peut être calculée à partir de la règle du décalage, ou en appliquant l'expression suivante : FE = |VEd| × al / z + NEd où NEd est l'effort normal agissant concomitant Pour les éléments comportant des armatures d'effort tranchant, al = z (cot cot) / 2 et l'expression devient : FE = 0,5 |VEd| (cot cot) + NEd C'est l'expression (6.18) de [EC2-1-1 6.2.3(7)], déjà vue à l'article [Chapitre 6 -2.2.3] à laquelle s'ajoute l'effort normal concomitant. La section ancrée ne doit pas être inférieure à 2 ×Amax , avec Amax section des armatures en travée 2 = 0,25 valeur recommandée, soumise à validation par l'annexe nationale L'annexe nationale donne 2 = 0 sous réserve de vérifier la condition suivante : FE = |VEd| × al / z + NEd + MEd/z où MEd est le moment concomitant (à prendre avec son signe). On obtient ainsi : FE = 0,5 |VEd| (cot cot) + NEd+ MEd/z
On a vu que l'expression donnant le décalage al correspond à l'hypothèse d'un treillis multiple [Chapitre 6-II.2.3] qui risque de ne plus être vérifié en zone d'appui d'extrémité. Une étude spécifique de l'équilibre de la bielle d'about doit être effectuée pour chaque cas ; celle-ci permettra de déterminer plus précisément l'effort longitudinal à ancrer. Un modèle simple à un seul treillis conduit à ancrer une force de VEd cot pour la part apportée par le tranchant. Ceci correspond à la pratique antérieure qui demandait l'ancrage de l'effort VEd pour un angle de bielle = 45°, par simplification, ce qui va dans le sens de la sécurité. L'étude précise de la bielle d'about devrait conduire à un effort intermédiaire entre les valeurs de 0,5VEd×cot et VEd×cot.
[EC2-1-1 Expr.(9.3)]
2.3.3.b) Appuis intermédiaires
Les recommandations concernant les appuis d'extrémités s'appliquent [EC2-1-1 9.2.1.5].
UP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
3 - Justification vis-à-vis de la torsion
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.3].
Dans la suite du texte le symbole t,i de l'Eurocode 2 a été remplacé par T,i (T pour torsion) qui est plus cohérent avec V,i (V pour tranchant).
3.1 - Principe
L'Eurocode 2 ne traite explicitement que de la résistance à une torsion circulaire (ou pure) d'un élément de section pleine ou creuse et énonce que la torsion gênée peut être négligée dans le cas des caissons et des sections pleines [EC2-1-1 6.3.3]. Par ailleurs, l'Eurocode 2 effectue la justification de la résistance en torsion circulaire dans une section fermée à parois minces, à partir de l'équilibre avec le flux de cisaillement exercé ; le cas d'une section pleine est traité, comme dans les règlements antérieurs, en l'assimilant à une section creuse à parois minces équivalentes. Chaque paroi de section est alors vérifiée séparément, selon le principe d'un treillis résistant à l'effort tranchant qui lui est appliqué.
Dans le cas d'ouverture des joints sans armatures adhérentes, il faut se préoccuper de la modification du schéma de résistance et de la distribution des efforts de torsion [EC2-2 6.3(106)]. Ceci concerne les ouvrages en caisson construits par tronçons préfabriqués sans précontrainte adhérente dans la zone tendue. Le schéma de répartition des efforts peut s'apparenter alors à celui d'une section ouverte.
L'étude des tabliers de ponts en béton vis-à-vis de la torsion, dès lors que leur section est complexe comme un multi-poutres ou un multi-caissons, doit être précédée d'une analyse structurale appropriée permettant de déterminer les sollicitations de torsion propres à chaque élément longitudinal. Si ces sections peuvent être considérées comme indéformables, alors elles peuvent être justifiées selon les prescriptions de l'Eurocode 2.
Une section en T, si elle peut être considérée comme indéformable, peut être décomposée en sections élémentaires, modélisées chacune par une section à parois minces équivalentes. La résistance en torsion de l'ensemble est prise égale à la somme des résistances des sections élémentaires. Dans ce cas, la redistribution des moments de torsion dans les sections élémentaires doit être proportionnée à la rigidité de torsion à l'état non fissuré de celles-ci. Chaque section élémentaire peut être calculée séparément.
Dans le cas de sections déformables l'étude doit se faire avec des méthodes appropriées.
La torsion gênée introduit des contraintes normales qui peuvent être non négligeables dans le cas de profils minces ouverts et de sections très élancées. Dans ces cas, elle peut être étudiée à l'aide de modèles de réseaux de poutres ou de modèles aux éléments finis.
UQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.1.1 - Calcul des flux de cisaillement de torsion dans une section creuse ou pleine
A - Feuillet moyen B - Parement extérieur de la section, périmètre u, C - Enrobage Fig./Tab.3.(1) : Torsion - section creuse équivalente
Ce calcul nécessite la connaissance des épaisseurs des parois. Dans le cas de section creuse, tef,i sont les épaisseurs réelles des parois. Dans le cas d'une section pleine la figure ci-dessus représente le principe de détermination de la section creuse qui lui est équivalente. L'épaisseur des parois tef,i est alors supposée constante. tef,i = A/u en général A u tef,i est l'aire totale de la section délimitée par le périmètre extérieur, partie creuse comprise est le périmètre extérieur de la section doit être supérieure à deux fois la distance entre le parement extérieur et l'axe des armatures longitudinales.
Le flux de cisaillement en torsion pure est donné par : T ,i t ef,i = TEd T,i Ak TEd 2A k [EC2-1-1 Expr.(6.26)]
est le moment de torsion agissant de calcul est la contrainte tangente de torsion dans la paroi i est l'aire intérieure au feuillet moyen des parois, partie creuse comprise
La sollicitation tangente VEd,i dans une paroi i du fait de la torsion est donnée par : VEd,i = T ,i t ef,i z i zi [EC2-1-1 Expr.(6.27)]
est la longueur de la paroi i, définie par la distance entre points d'intersection des parois adjacentes.
Il y a ici un risque de confusion car le symbole choisi par l'Eurocode 2 pour la longueur de paroi est similaire à celui utilisé pour le bras de levier du couple élastique.
Les justifications se font ensuite pour chacune des parois, de la même manière que pour l'effort tranchant.
UR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
3.1.2 - Cumul tranchant / torsion
Dans tous les cas, les effets de la torsion et de l'effort tranchant peuvent être cumulés en prenant une même valeur pour l'inclinaison des bielles [EC2-2 6.3.2(102)]. Les valeurs limites sont celles définies pour l'effort tranchant. Dans le cas des caissons, il convient de vérifier chaque paroi séparément en tenant compte du cumul algébrique des cisaillements de tranchant et de torsion.
A Torsion B - Effort tranchant C - Combinaison Fig./Tab.3.(2) : Combinaison des sollicitations au sein des différentes parois d'un caisson [EC2-2 Fig.6.104]
Dans le cas de sections pleines, le cumul tranchant-torsion ne peut plus se faire simplement par cumul des cisaillements correspondants comme présenté ci-dessus. Le cisaillement de tranchant s'exerce en effet sur toute la largeur de l'élément, alors que le cisaillement de torsion s'exerce sur les parois de la section creuse équivalente. Il est alors nécessaire de revenir aux sollicitations de tranchant et de torsion pour effectuer la vérification, comme présenté ci-dessous.
3.2 - Vérification de la résistance à la torsion combinée au tranchant
3.2.1 - Résistance des bielles
La méthode de vérification de la résistance des bielles de béton des éléments soumis aux sollicitations d'effort tranchant et de torsion est définie par la clause [EC2-2 6.3.2(104)]. Elle distingue les sections pleines des sections creuses.
3.2.1.a) Pour les sections pleines
Il convient de vérifier : TEd / TRd,max + VEd / VRd,max 1,0 où : TEd VEd est le moment de torsion agissant de calcul est l'effort tranchant agissant de calcul
[EC2-2 Expr.(6.30)]
[EC2-2 Expr.(6.29)]
TRd,max est le moment de torsion résistant de calcul donné par
TRd, max = 2 cw f cd A k t ef,i sin cos
est donné en [EC2-1-1 6.2.2(6)] et cw par la note 3 de l'expression (6.9) ; ils ont été déjà rappelés en [Chapitre 6 -2.2.2.b)]. VRd,max est la valeur maximale de l'effort tranchant résistant de calcul selon les expressions [EC2-1-1 Expr.(6.9)] et [EC2-1-1 Expr.(6.14)]. On est dans le cas de sections pleines, et la largeur complète de l'âme peut être utilisée pour déterminer VRd,max.
US= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.1.b) Pour les caissons
Il convient de vérifier séparément chaque paroi pour les effets combinés de la torsion et de l'effort tranchant concomitant s'il existe, appliqués à la paroi. Il faut donc que pour chaque paroi la somme des sollicitations tangentes de torsion et de tranchant reste inférieure à l'effort tranchant résistant de calcul de la paroi, soit : VEd,i(T) + VEd,i(V) < VRd,max,i avec : VEd,i ( T ) = T ,i t ef,i z i : sollicitation tangente dans la paroi i due à la torsion [Chapitre 6-3.1.1] VEd,i(V) : part de l'effort tranchant total sollicitant la paroi i VRd,max,i : effort tranchant résistant de la paroi i selon [EC2-1-1 Expr.(6.14)]
3.2.1.c) Formulation du critère de vérification à partir des contraintes de cisaillement
Si on voulait utiliser les contraintes de cisaillement, comme c'était le cas dans les règles antérieures, le critère de vérification prendrait la forme suivante : T ,i + V,i Rd, max,i
où T,i et V,i sont respectivement les contraintes de cisaillement de torsion et de tranchant dans la paroi i et Rd,max,i la contrainte de cisaillement limite admissible. La contrainte de cisaillement de torsion T,i, se déduit aisément de la définition du flux de cisaillement [EC2-1-1 Expr.(6.26)] : T,i = TEd 2Ak t ef,i
La contrainte de cisaillement de tranchant, issue de l'effort tranchant trouvé dans le treillis constitué par chaque paroi est obtenue en divisant cet effort tranchant par la section de la paroi (tef,i × zi) et donc une contrainte de cisaillement moyenne.
Il s'agit ici de la différence majeure par rapport aux pratiques antérieures qui proposaient des vérifications ELU locales basées sur les contraintes tangentes déterminées point par point le long de la paroi avec les formules classiques de l'élasticité linéaire. En certains points (centre de gravité des âmes notamment) la contrainte de cisaillement locale est nettement supérieure à la contrainte moyenne.
Le cisaillement résistant Rd,max,i peut être conventionnellement obtenu à partir de l'expression donnant le tranchant résistant apporté par les bielles de béton [EC2-1-1 Expr.(6.14)]. On obtient ainsi :
Rd,max,i = VRd,max tef ,iz i =cw 1fcd (cot + cos) z / zi (1+ cot2) = cw1fcd 1 - cos2 z sin 2 1+ cot sin 2 zi 2
et dans le cas d'armatures perpendiculaires à la fibre moyenne Rd,max = cw1f cd z sin 2 zi 2
Il faut remarquer que l'expression de VRd,max fait intervenir z (bras de levier du couple élastique de la paroi), et que le cisaillement moyen résistant se calcule avec la longueur de la paroi zi. Dans le cas général, avec des caissons de section transversale complexe, lorsqu'on utilise des logiciels permettant de déterminer les contraintes de cisaillement locales il serait plus simple de les utiliser directement pour la vérification du critère. Ceci devrait mettre du côté de la sécurité. En revanche l'intégration de ces cisaillements sur chaque paroi donnerait les efforts tranchants pour une vérification conforme à l'esprit de l'Eurocode 2 qui serait légèrement plus favorable. On notera enfin
UT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
que pour justifier un hourdis, l'utilisation du cisaillement de tranchant local près du gousset d'angle est largement sécuritaire. En revanche il convient au minimum d'appliquer le critère de l'Eurocode 2 avec les efforts tranchants moyens calculés sur la demi-largeur de hourdis car l'effort tranchant moyen sur toute la largeur est nul.
3.2.2 - Armatures transversales
Selon [EC2-1-1 9.2.3(1)], les armatures de reprise des cisaillement de torsion doivent être perpendiculaires à l'axe de l'élément structural, il est donc conseillé de garder cette disposition dans le cas du cumul de cisaillement de torsion et de tranchant. Les efforts de cisaillement de tranchant et de torsion sont cumulés et on applique les principes de calculs définis pour l'effort tranchant [EC2-2 6.3.2(102)]. L'effort sollicitant cumulé doit être équilibré par l'effort résistant VRd,s apporté par les armatures. La section d'armatures dans la paroi i est ainsi donnée par : Asw,i/s = (VEd,i(V)+ VEd,i(T))/(z fywd cot) [EC2-1-1 Expr.6.13]
L'attention du projeteur est attiré sur le fait que c'est z, bras de levier du couple élastique de la paroi étudiée, qui est utilisé ici.
Dans le cas d'utilisation des contraintes de cisaillement, de la même façon, on divisera les efforts tranchants dans chaque paroi par tef,i × zi pour faire apparaître les cisaillements moyens dans l'expression précédente, soit : Asw,i/s = (V,i + T,i) × tef,i × zi/(z fywd cot)
3.2.3 - Armatures longitudinales
Elles s'obtiennent à partir de l'expression :
A sl f yd
uk où uk fyd
=
TEd cot 2A k est le périmètre de la surface Ak
[EC2-1-1 Expr.(6.28)]
est la limite d'élasticité de calcul des armatures longitudinales Asl est l'angle des bielles de compression
Dans les membrures comprimées, les armatures longitudinales peuvent être réduites en proportion de l'effort de compression présent dans la membrure. Dans les membrures tendues, il convient d'ajouter les armatures longitudinales de torsion aux autres armatures, calculées pour un même cas de charge. Il convient généralement de répartir les armatures longitudinales sur la longueur de paroi zi , mais pour des sections de petite dimension, elles peuvent être concentrées au voisinage des angles.
Les armatures de précontrainte adhérentes peuvent être prises en compte mais l'accroissement total de leur contrainte est plafonné à 500 MPa. Il faut aussi rappeler que cet accroissement s'entend à partir de l'état permanent. Dans ce cas,
A sl f yd
dans l'expression (6.28) est remplacée par
A sl f yd + A p p où
p représente la part d'accroissement de contrainte restant disponible jusqu'au plafond et pouvant reprendre l'effort de torsion.
UU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Nota : Il convient d'ailleurs, pour être cohérent avec la limitation à fyd pour les armatures passives, de limiter l'accroissement de contrainte dans les armatures de précontraintes à fpd . Ceci n'est pas demandé par l'Eurocode 2.
Pour l'application de l'expression [EC2-1-1 Expr.(6.28)], on remarque que chacun de ses membres est équivalent à une force au mètre linéaire de paroi. On peut donc écrire :
Ftd,T =TEd cot /(2×Ak)
Dans un hourdis d'épaisseur e dont la contrainte moyenne de compression est h, on peut écrire : Fh = e h L'effort résiduel à reprendre par les armatures de torsion et par mètre linéaire de hourdis est ainsi :
F =Ftd,T Fh = TEd cot /(2×Ak) - e h
Si F > 0 , il reste une traction résiduelle à reprendre par des armatures. Dans le cas contraire, il n'y a pas lieu de prévoir des armatures longitudinales complémentaires de torsion. Cette vérification concerne en premier lieu les hourdis peu comprimés, mais elle peut également s'étendre au bas des âmes.
Le cumul des armatures longitudinales de torsion et des autres armatures doit normalement être envisagé pour des cas de charges concomitants.
3.2.4 - Cas particulier des sections rectangulaires peu sollicitées
Ce sont les sections pour lesquelles la condition donnée ci-après est vérifiée [EC2-1-1 6.3.2(5)]. Elles ne nécessitent pas alors d'armatures d'effort tranchant et ne requièrent qu'un ferraillage minimal longitudinal : TEd / TR d,c + VEd / VRd,c 1,0 où TRd,c est le moment de fissuration en torsion (plus exactement moment de torsion avant fissuration de l'élément), qui se déduit de l'expression [EC2-1-1 Expr.(6.26)] en posant T,i = fctd soit TRd,c = 2fctd t ef,i A k VRd,c est l'effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures de tranchant donnée par [EC2-1-1 Expr.(6.2)]. [EC2-1-1 Expr.(6.31)]
UV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
4 - Justification vis-à-vis du poinçonnement
4.1 - Principe
La justification au poinçonnement est à faire à l'ELU de résistance. Il s'agit de vérifier que le cisaillement produit par une charge concentrée sur une dalle, reste admissible. Le cas échéant, il faut déterminer la quantité d'acier d'effort tranchant à mettre en place pour assurer la résistance de la dalle. Pour les tabliers de ponts routiers, cette justification est réalisée sous l'effet de la roue LM2, qui représente une charge lourde et localisée. On tiendra compte également du coefficient de majoration dynamique supplémentaire à proximité des joints de chaussée. La roue LM1, qui a une surface d'impact plus réduite mais une charge moins importante, est à priori moins défavorable. Les mêmes principes de calcul peuvent être utilisés pour justifier la résistance au poinçonnement d'une dalle ou d'une semelle de fondation vis-à-vis de la descente de charges venant de la pile.
4.1.1 - Contour de contrôle de référence
La diffusion des efforts dans le béton a pour effet de répartir les effets des charges. Pour tenir compte de cet effet favorable, on définit des contours de contrôle de référence [EC2-1-1 6.4]. Il est alors considéré que le cisaillement se répartit de manière uniforme le long du périmètre u1 :
Fig./Tab.4.(1) : Contours de contrôle de référence types autour d'aires chargées
d est calculé à partir de dy (centre de gravité des aciers longitudinaux) et dz (centre de gravité des aciers transversaux) :
2 Il est important de noter que la diffusion de la charge se produit sur toute la hauteur de béton mais aussi sur l'épaisseur d'enrobé.
d=
dy + dz
4.1.2 - Calcul du cisaillement sur le contour de référence
Le cisaillement se développe sur une surface de béton u1 × h, l'expression du cisaillement est alors la suivante : v Ed = × VEd ,red u1 × d où :
VEd,red est l'effort de poinçonnement est l'excentrement de la charge, on prendra = 1 dans le cas d'une charge centrée.
VM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.1.3 - Calcul du cisaillement résistant vRd,c du béton seul
En l'absence d'armatures de poinçonnement, le cisaillement résistant est donné par [EC2-1-1 6.4.4(1)] : v Rd ,c = Max C Rd ,c k (100 l f ck ) où :
· · · ·
{(
1
3
+ k 1 cp ; v min + k 1 cp
)(
)}
fck est donné en MPa k =1+ 200 2,0 , avec d en mm d
1 = ly lz (plafonné à 2%)
bw est la plus petite largeur de la section droite tendue. Pour une dalle de grande longueur, bw = 1000mm, de façon à calculer un effort VRd,c par ml
· ·
cp =
cy + cz
2
en MPa, avec une valeur minimale de 1,85MPa
[EC4-2 6.2.2.5].
Les valeurs de CRd,c et k1 sont fournies par l'annexe nationale. On appliquera les valeurs suivantes : - si cp 0 : voir l'Eurocode 2 partie 2 C Rd ,c = 0,18 = 0,12 C
k 1 = 0,10 - si cp < 0 : voir l'Eurocode 4 partie 2 C Rd ,c = 0,15 = 0,10 C
k 1 = 0,12
·
vmin = 0,035×k3/2×fck1/2
Le calibrage de la formule de résistance au poinçonnement a été faite avec vmin donnant la résistance à l'effort tranchant des poutres en l'absence d'aciers d'efforts tranchant. Il n'y a pas lieu d'effectuer la correction apportée à vmin par l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 pour les dalles bénéficiant d'un effet de redistribution transversale.
Si la vérification n'est pas satisfaite il faut prévoir des aciers d'effort tranchant. On recherche alors le contour pour lequel cette relation est satisfaite, on dispose des aciers calculés avec l'expression (6.52) jusqu'à une distance de 1,5d de ce contour et on contrôle le poinçonnement au nu du poteau selon l'expression (6.53).
VN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
4.2 - Application numérique
L'application numérique est faite sur une dalle de pont-route de 22 cm d'épaisseur, avec une épaisseur de chaussée de 11 cm. On traite le cas le plus défavorable avec une roue LM2 et une majoration dynamique maximale (à proximité du joint de chaussée).
·
La charge de roue LM2 a pour intensité :
400 = 260 kN 2 2 Sa zone d'impact est un rectangle de 0,35 × 0,6. La surface d'impact en face supérieure de la dalle béton est un rectangle de 0,57 × 0,82 (diffusion à 45° à travers les 11cm de chaussée). fat = 1,30 × Q Q ak
· · · ·
La position moyenne des deux nappes d'aciers transversaux inférieurs est prise égale à d = 0,16m Le périmètre de contrôle de référence est défini à l'aide de la figure 6.13 de l'Eurocode 2 partie 1.1, à partir de la zone d'impact. On obtient u 1 = 2 × (0,57 + 0,82 ) + 4 d = 4,92 m Le long du contour, le cisaillement vaut donc : 0,260 = 0,31MPa v Ed = 1 × 4,92 × d Résistance au poinçonnement de la dalle : -
·
l = ly lz > 0,13% × 0,13% = 0,13% (hypothèse la plus défavorable)
k =Min1+ 200 ;2 =2,0 170
cp = 0 MPa (on néglige l'effet favorable de la compression longitudinale éventuelle)
donc C Rd ,c = 0,12 et k 1 = 0,10
C Rd ,c k (100 l f ck ) v min = 0,035 × 2,0
3 1/ 3
= 0,38MPa
pour un béton C30/37
2
× 30 = 0,54 MPa > 0,38 MPa
v Rd ,c = v min + k 1 cp = 0,54 MPa
·
Justification :
On a : 0,31MPa=vEd vRd,c =0,54MPa Le poinçonnement est donc bien vérifié : il n'y a pas besoin d'aciers verticaux.
5 - Justification à la fatigue
Il convient d'effectuer une justification à la fatigue pour les structures et les éléments de structure soumis à des cycles de chargements répétés. Elle doit être effectuée séparément pour le béton et pour l'acier. La justification à la fatigue du béton comprimé n'est pas traitée dans le présent chapitre. L'annexe nationale permet de dispenser de cette vérification les sections dont la contrainte dans le béton reste limitée à 0,6 × fck , sous combinaison de charges caractéristique sous la forme d'une règle h) ajoutée à la liste donnée ci-dessous. En conséquence, la justification à la fatigue n'est généralement pas nécessaire pour les structures et les éléments suivants [EC2-2 6.8.1(102) a) à g)], [EC2-2/AN 6.8.1(102) h) à k)] :
VO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
a) passerelles, à l'exception des éléments de structures très sensibles à l'action du vent ; b) structures enterrées en voûte ou en cadre avec une couverture minimale de terre de 1,00m et 1,50m respectivement pour les ponts routiers et ferroviaires ; c) fondations ; d) piles et poteaux non rigidement reliés au tablier ; e) murs de soutènement des remblais de chaussées et de voies ferrées ; f) culées des ponts routiers et ferroviaires non rigidement reliés au tablier, à l'exception des dalles des culées creuses ; g) armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente avec Pk, les fibres extrêmes du béton restent comprimées ; h) béton comprimé des ponts routiers lorsque, c < 0,6×fck sous combinaison caractéristique ; i) j) armatures tendues dans les sections de béton armé des ponts routiers, lorsque s < 300MPa sous combinaison caractéristique ; armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente d'actions avec Pm, les fibres extrêmes du béton restent comprimées ;
k) armatures d'effort tranchant pour les structures en béton armé, lorsque ces armatures ont été dimensionnées à l'ELU de résistance avec un schéma de bielles d'inclinaison telle que 1,0 cotan 1,5. Les armatures d'effort tranchant soumises à des variations de contrainte doivent également faire l'objet de vérification à la fatigue. Mais, pour le béton précontraint où on a respecté le critère de l'annexe QQ, il n'y a pas de problème de fatigue car la section n'est pas fissurée aux ELS et pour le béton armé l'application de la limite d'inclinaison de la bielle citée ci-dessus permet la dispense de la vérification. En conséquence, dans les exemples suivants, ne sont traitées que des vérifications d'armatures de flexion longitudinale à la fatigue.
5.1 - Principe et éléments de la justification
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.8] et [EC2-2 6.8]. La justification à la fatigue d'une section en béton armé ou précontraint, consiste essentiellement à préserver de la rupture, les armatures tendues soumises à des variations répétées de contrainte, sous l'effet de charges cycliques pendant la durée d'utilisation de l'ouvrage. Dans le cas des ouvrages routiers en service, les variations de contrainte pouvant engendrer de la fatigue dans les armatures sont principalement dues aux passages des poids lourds (le niveau élevé des charges et donc des variations de contrainte créées, un nombre de cycles élevé jouent un rôle important dans la résistance à la fatigue). Le principe de la justification fait appel aux notions d'étendue de contrainte, de cycles d'application, de courbes de résistance à la fatigue, d'endommagement, de modèles de charge de fatigue, etc., et se synthétise sous la forme de la vérification de la règle de cumul de Palmgren-Miner.
5.1.1 - Modèles de charge de fatigue
L'Eurocode 1 propose cinq modèles de charge de fatigue, FLM1 à FLM5 [EC1-2 4.6]. Le modèle FLM1 est bâti à partir du modèle LM1 dont les intensités de charge ont été réduites. Le modèle FLM2 est constitué de 5 camions "fréquents" qu'il faut utiliser séparément. Le modèle FLM3 est constitué d'un camion unique. Ces trois modèles permettent une justification simple à la fatigue basée sur la détermination d'une seule étendue maximale de contrainte. Les deux premières sont cependant, d'une part très sécuritaires et d'autre part, ne peuvent convenir que dans la mesure où il existe une limite de fatigue à amplitude constante
VP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
définie sur les courbes S-N (c'est généralement le cas pour les assemblages des constructions en acier, pas pour les armatures de béton armé. ou de précontrainte). Les modèles FLM4 et FLM5 sont plus élaborés et prévus pour obtenir un spectre d'étendues de contrainte destiné à permettre un calcul d'endommagement. Le premier est constitué de 5 camions qui permettent d'engendrer des trafics artificiels par ajustement de leur proportion et représenter un trafic global. Le deuxième est directement un trafic réel enregistré. On ne retiendra que les deux modèles FLM3 et FLM4 pour une justification "usuelle" à la fatigue des ponts en béton.
5.1.2 - Combinaison d'actions - Etat de référence
Comme rappelé dans le [Chapitre 2 -4.2.3] du présent guide, la combinaison d'action pour l'étude à la fatigue se décompose en :
· ·
une combinaison de base C0 des charges non-cycliques représentant l'état moyen de l'ouvrage en service, à vide (charges permanentes, effet de la température...) ; à combiner avec la charge cyclique de fatigue Qfat représentée par le modèle de charge de fatigue adéquat. C0 = G + Pk + 0,6. où représente l'effet du gradient thermique.
L'état à vide de l'ouvrage est ainsi représenté et exprimé par la combinaison : C'est par rapport à cet état de référence que le passage de la charge de fatigue Qfat sur l'ouvrage donne lieu à des variations de contrainte répétées et de courte durée.
L'état à vide de l'ouvrage ne reste pas constant et se modifie pendant toute sa durée d'exploitation à cause de l'évolution de la précontrainte, du retrait, du fluage et des fluctuations du gradient thermique. Cependant ces variations lentes de l'état de référence ne doivent pas être cumulées aux variations rapides dues aux passages des camions.
Ceci peut être schématisé dans la figure ci-dessous :
Fig./Tab.5.(1) : Evolution de la contrainte des aciers dans une section du tablier
0 est la contrainte sous charges permanentes et précontrainte, évoluant lentement sous des effets à long terme tels que retrait, fluage, pertes différées de précontrainte ou à moyen terme (gradient thermique). PL sont les variations de contrainte rapides sous l'effet des passages des camions les plus lourds autour de l'état à 0.
VQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 précise ensuite que : "L'action cyclique Qfat doit être combinée avec la combinaison de base défavorable." [EC2-1-1 6.8.3(3)] On recherchera la combinaison qui combinée avec la charge de fatigue produit une variation de contrainte maximale. On retiendra donc la combinaison donnant un maximum de traction dans les aciers passifs, ou une contrainte minimale du béton au niveau de la zone d'enrobage, lorsque celle-ci reste comprimée à l'état de référence à vide. Pour les charges permanentes G, c'est la valeur maximale Gmax qui est retenue. Pour la précontrainte [EC2-1-1 5.10.9] on retiendra la valeur caractéristique inférieure Pk,inf = rinf.Pm,t, Pm,t étant la force de précontrainte probable à l'instant t. Par ailleurs, le fluage et le retrait du béton ont pour effet de réduire la précontrainte et la compression du béton des zones d'enrobage des aciers passifs étudiés. En conséquence la situation de l'ouvrage à long terme est en général plus défavorable. C'est donc par convention la situation à l'infini qui servira comme situation de référence.
Il est assez logique de prendre en compte cet état. En effet les variations de contrainte sont appliquées pendant toute la durée de vie de l'ouvrage. En revanche le fluage et le retrait du béton ne feront évoluer les efforts dans l'ouvrage que grosso-modo pendant les 20 premières années. Pour un ouvrage ayant une durée d'utilisation de projet de 100 ans, l'état "à long terme", qui concerne 80 % de cette durée d'utilisation, sera donc le plus représentatif.
L'état de référence à vide de l'ouvrage est ainsi représenté et exprimé par la combinaison : C0 = Gmax + Pk,inf + 0,6. où représente l'effet du gradient thermique.
5.1.3 - Calculs des contraintes
Une fois l'état de référence choisi les variations de contrainte dans les armatures ne sont plus dues qu'au déplacement de la charge de fatigue qui crée les variations de sollicitations à l'origine des contraintes. Pour une section donnée on peut utiliser le moment fléchissant pour illustrer ceci dans la figure suivante :
Fig./Tab.5.(2) : Variation du moment due au passage de Qfat
Mfat = M0 + MQfat est le moment fléchissant total; il fluctue en fonction de la position de la charge de fatigue, tout comme MQfat le moment fléchissant dû à la charge de fatigue seule, alors que le moment fléchissant de l'état de référence, M0 reste constant. Les étendues de contrainte sont ensuite calculées à partir des sollicitations sous combinaison de fatigue, obtenues suite à une analyse élastique-linéaire.
Bien que la justification à la fatigue soit une justification aux ELU car la rupture des armatures par fatigue est un état limite ultime, l'Eurocode 2 rappelle à juste titre que la combinaison d'actions pour la justification à la fatigue est de type ELS et fait intervenir des charges du niveau de charges fréquentes.
VR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
5.2 - Méthodes de vérification
L'Eurocode 2 propose plusieurs méthodes de vérification de la résistance des armatures à la fatigue :
· ·
une méthode générale avec détermination du spectre d'étendues de contrainte en utilisant les modèles de charge de fatigue FLM4 ou FLM5 et un calcul d'endommagement ; une méthode de l'étendue de contrainte équivalente [EC2-1-1 6.8.5] et [EC2-2 Anx.NN] , appelée par la suite méthode équivalente, avec détermination de l'étendue de contrainte qui donnerait un endommagement équivalent en utilisant le modèle de charge de fatigue FLM3 pour les ponts routes ; une méthode alternative [EC2-1-1 6.8.6] pour une vérification simplifiée des armatures passives avec utilisation d'une charge cyclique fréquente qui, plus précisément, peut se faire avec la combinaison de charge fréquente, en faisant intervenir le modèle principal de charge LM1 pour les ponts routiers.
·
Ces trois méthodes sont appliquées aux deux exemples suivants :
· ·
en flexion longitudinale : vérification des armatures passives et de précontrainte d'un PSIDP, en flexion transversale : vérification des armatures passives de l'encorbellement d'un pont-caisson.
Les différentes étapes des vérifications nécessitent un long développement. Pour plus de clarté elles sont détaillées en annexe [Annexe IV].
6 - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
La justification vis-à-vis de la rupture fragile est très peu développée dans la partie 1-1 de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.10.1(5)P], [EC2-1-1 5.10.1(6)]. Elle se retrouve par contre en deux endroits de l'Eurocode 2 partie 2, aux sections 5 et 6 : la clause [EC2-2 5.10.1(106)] définit l'objectif général ; les clauses [EC2-2 6.1(109)] et [EC2-2 6.1(110)] décrivent plus précisément les méthodes de vérification à appliquer. Dans le présent chapitre, après une présentation du principe et des exigences de base relatifs à la justification vis-à-vis de la rupture fragile, les deux méthodes de vérification proposées par l'Eurocode 2 partie 2 sont tour à tour décrites et détaillées. Une application numérique vient illustrer ces deux méthodes à partir du cas d'une poutre de pont VIPP. L'annexe V développe le détail du calcul pour les exemples du PSIDP et du pont caisson construit par encorbellements successifs.
6.1 - Principe et exigences de base
Le critère de rupture fragile imposé par l'Eurocode 2 partie 2 pour les ponts en béton précontraint a pour objectif d'éviter la rupture fragile des éléments structuraux dès l'apparition de la première fissuration. Le risque visé concerne les conséquences de la rupture d'un certain nombre d'armatures de précontrainte, principalement par corrosion, si cette rupture se produit au voisinage d'une même section d'un élément et reste non observable jusqu'à apparition de la première fissuration de flexion. Lorsque la fissuration finit par se produire, il est nécessaire que des armatures passives puissent prendre le relais de la résistance du béton à la traction, avec une marge suffisante pour qu'une intervention soit possible en temps utile. Ce principe peut être considéré comme satisfait si les exigences définies ci-après sont respectées pour les éléments structuraux linéaires des ouvrages (poutres, caissons, chevêtres,...) précontraints par précontrainte intérieure au béton, mise en oeuvre par post-tension [EC2-2/AN 6.1(109)]. Ces règles sont également applicables aux poutres-dalles lorsque le marché le spécifie. Leur extension à ce type de structure n'est toutefois recommandée que pour les poutres-dalles étroites (par exemple larges de moins de 4 m, encorbellements latéraux non compris). La justification du critère de rupture fragile peut être apportée par l'une quelconque des deux méthodes alternatives suivantes (l'annexe nationale écarte la possibilité d'utiliser la méthode (c) prévue par l'Eurocode 2) :
VS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
· ·
méthode (a) : vérifier qu'en cas de ruptures successives de câbles ou de torons, la fissuration se produirait avant que la résistance ultime ne soit dépassée, sous l'effet des charges fréquentes ; méthode (b) : prévoir un ferraillage minimal adéquat capable de reprendre à lui seul le moment de fissuration en l'absence supposée de toute précontrainte ;
Ces deux méthodes ont pour même objectif de permettre la détection d'éventuelle détérioration de la précontrainte par l'apparition de fissures décelables lors des surveillances normales de l'ouvrage, afin d'alerter le maître d'ouvrage pour une intervention en interrompant le trafic et en remplaçant les câbles corrodés avant l'effondrement de la structure.
Le critère de rupture fragile concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte. L'Eurocode 2 ne le dit explicitement que pour la méthode (b), mais c'est a fortiori vrai avec la méthode (a) : si tous les câbles sont considérés comme inexistants et que la section reste comprimée sous combinaison caractéristique, elle est comprimée sous combinaison fréquente et donc sa résistance ultime n'est pas dépassée. Le critère de rupture fragile ne s'applique qu'à la précontrainte intérieure longitudinale. Les câbles constituant la précontrainte extérieure, protégés par des produits souples (graisses ou cires), peuvent faire l'objet d'une surveillance régulière et leur endommagement est en principe plus facilement détectable. Ils ne sont donc pas visés par ce critère. La corrosion de la précontrainte transversale, généralement injectée à la cire et non-adhérente, ne peut conduire qu'à des désordres locaux et n'est par conséquent pas non plus visée par ce critère. En outre, l'annexe nationale dispense les éléments précontraints par pré-tension de la justification à la rupture fragile, considérant que les câbles de précontrainte pré-tendus, sont protégés de la corrosion par le béton d'enrobage, au même titre que les aciers passifs, et que le risque de corrosion généralisée d'un câble est plus faible qu'en post-tension. Si les clauses [EC2-1-1 5.10.1(5)P] et [EC2-2 5.10.1(106)] sont générales, la clause [EC2-2 6.1(109)] restreint en revanche leur application à la flexion. C'est le parti qui est retenu dans les exemples présentés dans la suite. Cependant, dans l'exemple du VIPP étudié, il serait pertinent de considérer à proximité de l'appui la rupture fragile par effort tranchant. Une indication sur la façon de procéder est donnée à la fin de l'application numérique.
6.2 - Vérification selon la méthode (a)
Lorsque, sous l'effet de la corrosion, l'état des armatures de précontrainte se détériore, la résistance de la section décroît (rupture de fils, torons ou câbles). Le principe de vérification selon la méthode (a) consiste à garantir que le niveau de résistance ultime qui correspond à une fissuration détectable sous charges fréquentes, reste supérieur au niveau des sollicitations imposées par ces mêmes charges fréquentes. Autrement dit, à garantir que sous l'effet des charges fréquentes, il existe une marge de sécurité suffisante entre la fissuration et la ruine de l'élément [Fig./Tab.6.(1)] ci-après.
La résistance ultime de la section s'évalue avec les coefficients partiels des matériaux associés à une situation de projet accidentelle.
VT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Fig./Tab.6.(1) : Principe de vérification selon la méthode (a)
La mise en application pratique de la méthode s'effectue sur la base des contraintes c,f sur les fibres extrêmes tendues, obtenues sous l'effet des sollicitations de la combinaison fréquente et se décline 2 étapes :
·
1ère étape : déterminer, sous l'effet des sollicitations de la combinaison fréquente, le pourcentage d'armatures de précontrainte à considérer rompues pour provoquer la première fissuration de l'élément. Cette quantité est exprimée, pour chaque lit (i) de câbles, en pourcentage i de la force de précontrainte totale Pm,t :
i tel que :
e ×y 1 c,f - i Pm,t + 0i = - f ctm I i S
Dans ce calcul, il convient de considérer en premier une suppression de torons sur le lit le plus proche de la fibre extrême tendue (c'est à dire les plus exposés à la corrosion). Si la suppression de tous les câbles de ce lit ne suffit pas à provoquer la fissuration, le lit suivant sera considéré, et ainsi de suite... En toute rigueur, quatre combinaisons sont à envisager, qui font intervenir successivement Pm,0 ;
Pm , ; M ELS freq,max ; M ELS freq,min . Dans la pratique, il suffira d'étudier uniquement les combinaisons
( Pm , , M ELS freq,max ) et ( Pm , , M ELS freq,min ), plus représentatives du phénomène qui ne peut se produire qu'au bout d'un certain temps. Il est à noter que seul l'effet isostatique de la précontrainte est supprimé, les effets hyperstatiques étant emprisonnés dans la structure pour des câbles intérieurs adhérents.
·
2ème étape : vérifier qu'avec cette précontrainte réduite et une réduction proportionnelle de la section d'acier de précontrainte, la résistance ultime à la flexion reste supérieure au moment donné par les combinaisons fréquentes d'actions. Si la conclusion s'avère négative, ajouter des armatures passives de manière à ce que la condition soit satisfaite. Les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage vis-à-vis de la vérification du critère selon cette méthode (a) sont généralement celles situées là où le moment fléchissant correspondant à la combinaison de charges fréquentes est faible, entre le ¼ et le 1/3 des travées hyperstatiques, et à proximité des appuis dans le cas les travées isostatiques. C'est pourquoi il est recommandé d'affiner au mieux l'analyse au droit de ces sections, par interpolation entre sections d'étude. Pour le calcul, il est conseillé de modéliser la diminution de la précontrainte (rupture des torons) comme un chargement extérieur se cumulant au torseur de la combinaison fréquente :
Ntot = NELS freq × Pm,t Mtot = MELS freq × Pm,t × e0 i
où NELS freq et MELS freq représentent le torseur d'efforts s'appliquant sur la section pour la combinaison fréquente étudiée (y compris les effets de la précontrainte complète) . On vérifie alors que le couple Ntot, Mtot se trouve à l'intérieur du diagramme de résistance, obtenu en appliquant aux matériaux les coefficients partiels correspondant à la situation de projet accidentelle.
VU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'Eurocode 2 partie 2 précise que les effets de la redistribution éventuelle des sollicitations, liée à la fissuration, peuvent être pris en compte. Toutefois cette prise en compte résulte d'une analyse non linéaire qui n'est habituellement pas pratiquée dans le cadre des calculs usuels à l'ELU de résistance, et peut être négligée.
6.3 - Vérification selon la méthode (b)
La méthode (b) de vérification du critère de rupture fragile consiste à disposer un ferraillage minimum As,min défini par l'expression (6.101a) de l'Eurocode 2 partie 2 rappelée ci-dessous : A s, min = Dans cette expression : - M rep représente le moment de fissuration, donné par l'équation : M rep = M rep z s × f yk [EC2-2 Expr.(6.101a)]
- f ctm × I ; y
- zs est le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance ( 0,9 d dans le cas d'une section rectangulaire).
Il est à constater que, concernant les sections d'armatures calculées, la méthode (b) constitue une enveloppe de la méthode (a) lorsque l'on suppose tous les câbles de précontrainte rompus. Il s'agit en réalité du ferraillage de non-fragilité calculé avec N = 0 .
As,min doit être disposé dans toutes les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte. En outre, il convient de comptabiliser dans As,min , tous les aciers passifs longitudinaux disposés pour d'autres raisons (ferraillage de flexion longitudinale, minimum, fatigue, etc.).
L'Eurocode 2 partie 2 prévoit également, et sous certaines conditions, de comptabiliser dans As,min les armatures de précontrainte pré-tendues [EC2-2 6.1(110)ii)]. Il y a lieu de s'y référer le cas échéant.
Dans le cas des poutres hyperstatiques, As,min de la fibre inférieure devra être prolongé sur les appuis intermédiaires, sauf s'il peut être démontré que la plastification des aciers tendus en fibre supérieure de la section sur appui intervient avant la rupture par écrasement du béton comprimé en fibre inférieure. Cette condition est considérée acquise si la relation suivante est vérifiée : A s × f yk + A p × f p 0,1k < t inf × b 0 × cc × f ck Dans cette expression : - As et Ap représentent respectivement les sections d'armatures passives et de précontrainte en fibre tendue_; - tinf et b0 sont respectivement la hauteur et la largeur de la membrure inférieure de la section (tinf = b0 dans le cas des poutres en T, et tinf = 0,2h dans le cas des sections rectangulaires).
En général, dans le cas des ponts, ce critère est vérifié sans trop de problème car les zones de forte compression du béton (sur appui) correspondent également à des zones où la densité de ferraillage est très importante. Dans les joints des voussoirs préfabriqués, où pour des raisons évidentes liées à la méthode de construction, il est impossible de disposer un quelconque ferraillage passif, les formules de l'Eurocode 2 partie 2 conduisent logiquement à une quantité d'armatures de non fragilité nulle.
[EC2-2 Expr.(6.102)], [EC2-2/AN 6.1(110)iii)]
VV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Application numérique : cas d'un VIPP Considérons la poutre d'un VIPP représentée ci-dessous. On se contente dans cet exemple de considérer les sections situées à proximité des appuis : au ¼ de travée et à 1m de l'appui.
Coupe longitudinale
Section au ¼ et à ½ travée Caractéristiques de la section : S = 1,66 m2 I = 0,886 m4 v' = 1,55 m Matériaux : Béton : C35/45 ; fctm = 3,2 MPa Aciers passifs en fibre inférieure : fyk = 400 MPa ; As = 13,84 cm2 ; c' = 5 cm Précontrainte : 6 × 4T15S (Ap = 6 × 600 mm2) fp0,1k = 1660 MPa c0_lit inférieur = 10 cm c0_lit supérieur = 20 cm Dans la section située à un mètre de l'appui, on suppose que le centre de gravité de l'ensemble des câbles est situé au centre de l'âme, à une distance de 1,10m de la fibre inférieure.
NMM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Sollicitations obtenues sous combinaison fréquente : à 1 m de l'appui Pm, MELS Freq 5,02 MN -1,02 MNm 4,81 MPa
au ¼ de travée 5,02 MN 0,48 MNm 2,18 MPa
c,f en fibre inf
· Calcul du nombre de torons à supprimer pour obtenir la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a) : i sur le lit inférieur tel que :
e ×y 1 c,f - i Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
(-1,55 + c 0 ) × (-1,55) 1 5,02 × 1,66 + 0,886 Le nombre de torons à supprimer pour atteindre la fissuration en fibre inférieure est alors obtenu en multipliant i par le nombre total de torons, soit : i = c,f + f ctm 1 e ×y Pm , + 0i I S = c,f + 3,2
ni = i × (6 × 4) à 1 m de l'appui au ¼ de travée 2,18 MPa 0,10 m 34,2% 8,2
c,f en fibre inf
c0
4,81 MPa 1,10 m 114,9% 24
i
ni
Le lit de câbles inférieur contenant uniquement 20 torons, cela revient à supprimer l'équivalent de : 8,2 torons sur le lit inférieur au ¼ de travée ; 24 torons (soit la totalité des câbles) à 1m de l'appui.
· Vérification de la résistance ultime de la section sous l'effet cumulé de la combinaison d'actions fréquentes et de la diminution calculée de la précontrainte (méthode a) : Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations sous combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supposée rompue déterminée à l'étape précédente : Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de l'ELS fréquent, l'effet isostatique de la précontrainte supposée rompue déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i avec : e0_lit inf_1/4 travée = - (1,55 0,10) = - 1,45 m e0_cdg_1m appui = - (1,55 1,10) = - 0,45 m Ntot 0 MN 3,30 MN
Mtot 1,24 MNm 2,97 MNm
NMN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Ce calcul conduit aux résultats suivants : à 1 m de l'appui au ¼ de travée Mmaxi admissible Coeff. de sécurité Ferraillage suppl. nécessaire 1,20 MN 0,97 0,58 cm
2
11,07 MN 3,72 non
Les seules sections nécessitant un léger complément d'armatures passives sont donc celles se trouvant à proximité immédiate de l'appui. Les autres sections sont vérifiées vis-à-vis du critère de rupture fragile (méthode a) avec une sécurité très confortable (coefficient de sécurité de 3 à 4).
Calcul du ferraillage minimal selon la méthode (b) : Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] :
·
A s, min =
où :
M rep =
M rep z s f yk
- f ctm × I - 3,2 × 0,886 = 1,83 MN.m ; = - v' - 1,55
fyk = 400 MPa. Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 2,15 m (à comparer à 0,9 d = 0,9 × (2,22-0,05) = 1,95 m) 1,83 D'où : A s, min = = 21,28 cm2, 2,15 × 400 soit une section complémentaire d'armatures de : 21,28 13,84 = 7,44 cm2, à disposer sur toute la longueur de la poutre. La méthode (b) est donc bien plus contraignante que la méthode (a). On peut vérifier sur cet exemple qu'il n'y a pas de risque de rupture fragile à l'effort tranchant, en extrapolant la méthode (a) au cas de l'effort tranchant. L'application numérique ci-dessous montre comment procéder. On considère la section située à 1m de l'appui. L'effort tranchant ELU dans cette section vaut : V = 1,35Vg + Vp + 1,35Vq = 1,35×0,68 0,63 + 1,35×0,87 = 1,46 MN Supprimons maintenant la totalité de la précontrainte. L'effort tranchant sous charge fréquente vaut alors : V = Vg + Vq,fréq = 0,68 + 0,52 = 1,20 MN. (cette valeur est supérieure à l'effort tranchant sous combinaison caractéristique V = Vg + Vp + Vq = 0,92 MN) La valeur reste inférieure à l'effort tranchant ultime. Les aciers d'effort tranchant sont donc suffisants, il n'y pas de risque de rupture fragile.
Si la valeur avait été dépassée, on aurait pu affiner la vérification en déterminant de façon plus précise quelle quantité de précontrainte il fallait supprimer pour provoquer la fissuration de l'âme (au sens du critère donné dans l'annexe QQ de l'EN1992-2). Il est en effet possible que la fissuration à l'effort tranchant soit déjà visible lorsqu'on supprime la totalité de la précontrainte. On aurait ensuite pu comparer cette valeur à la résistance ultime de la poutre, en situation accidentelle, afin de vérifier si le ferraillage passif d'effort tranchant était suffisant.
NMO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7 - Analyse non-linéaire et au second ordre - stabilité de forme d'une pile
7.1 - Généralités sur l'analyse non-linéaire et au second ordre
Les prescriptions générales concernant l'analyse non-linéaire [Chapitre 2 -6.4.4], la prise en compte du second ordre [Chapitre 2 -6.4.5] et des imperfections géométriques [Chapitre 2 -6.1] sont entièrement applicables. De la même façon la prise en compte du fluage suit les principes rappelés en [Chapitre 4 -2]. Néanmoins l'Eurocode 2 ajoute pour le sujet ici abordé, que l'effet du fluage peut être négligé [EC2-1-1 5.8.4(4)] si les trois conditions particulières suivantes sont satisfaites :
(, t ) 2 0 75 Elancement = 0 si Moment de la combinaison considérée 1er ordre 68 7 M 0 Ed hauteur e = h 1 N Ed section { effort normal sollicitant
ef
La vérification simultanée de ces trois critères est relativement pénalisante et ne devrait se réaliser que pour des cas simples et indiscutables.
Pour traiter aux ELU l'analyse non-linéaire et au second ordre, la partie 1-1 de l'Eurocode 2 [EC2-1-1 5.8.5] propose une méthode générale, suivie de deux méthodes simplifiées pour des cas simples, principalement des éléments isolés ou qui se ramènent à des éléments isolés. Ces méthodes simplifiées sont, strictement parlant, des calculs linéaires avec prise en compte de manière forfaitaire et simple les effets non-linéaires. Pour les ponts, l'Eurocode 2 partie 2 propose une méthode moins classique pour l'analyse non-linéaire, fondée sur le concept d'un format de sécurité global, et dont le niveau de sécurité est déterminé par rapport à la ruine de calcul de la structure. Pour faciliter la lecture du guide, ne seront présentées ci-après que les deux méthodes générales. La méthode générale de la partie 1-1 plutôt classique, sera traitée assez brièvement. L'approche nouvelle de la méthode générale de la partie 2 avec le format de sécurité globale mérite d'être plus détaillée. Quant aux deux méthodes simplifiées elles sont traitées en annexe [Annexe VI], où est donnée en exemple, l'étude complète de la stabilité de deux piles de pont avec utilisation des quatre méthodes offertes par l'Eurocode 2.
7.2 - Méthode générale d'analyse non-linéaire et au second ordre de l'Eurocode 2 partie 1-1
Cette méthode est décrite aux clauses [EC2-1-1 5.8.6].
7.2.1 - Principe
Le principe de la méthode consiste à démontrer, comme avec les règles antérieures, qu'il existe un état de contraintes internes dans la structure qui équilibre les sollicitations externes, y compris celles du second ordre. La vérification des sections s'effectue ensuite avec les sollicitations obtenues à l'équilibre de la structure en les situant par rapport au domaine de résistance, déterminé avec les caractéristiques des matériaux données par les lois contraintes-déformations définies à cet effet et rappelées en [Chapitre 6 -1.1].
NMP= Chapitre 6 - Justification aux ELU
On peut noter au passage que l'analyse et la vérification de section utilisent deux systèmes de lois contraintes-déformations différents.
Lorsque le projeteur n'a pas à sa disposition de logiciel permettant de coupler non-linéarité géométrique et nonlinéarité matériaux, il est possible de rechercher, pour une section jugée a priori critique, l'état d'équilibre, en exprimant de deux manières la relation liant le moment de flexion dans la section critique avec la courbure de celle-ci :
·
la loi moment-courbure externe où le moment de flexion sollicitant la section est la somme du moment du premier ordre M0Ed et du moment du second ordre. Le moment du second ordre dépendant de l'ensemble des courbures le long de la structure, il est assez difficile de déterminer une telle courbe en fonction seulement de la courbure dans la section critique étudiée ;
Pour simplifier, on peut dans un premier temps supposer que la répartition des courbures le long de la structure est linéaire, ce qui permet de déterminer l'effet du second ordre en fonction de la courbure de la section critique uniquement, et vérifier l'hypothèse à posteriori. Il est à noter que cette méthode est plutôt conservatrice puisque l'on surévalue les courbures réelles le long de la structure. Si le résultat du calcul est trop défavorable, il faut prendre en compte la répartition réelle des courbures le long de la structure et procéder alors par itérations.
· ·
la loi moment-courbure interne où le moment de flexion résistant résulte de l'état de contrainte de la section béton armé, soumise à une courbure imposée, à effort normal donné ; l'intersection ou non des deux courbes représentatives de la loi externe et de la loi interne permet de vérifier qu'il existe ou non un état d'équilibre. Dans l'affirmative, l'intersection des deux courbes donne la valeur du moment total MEd à l'équilibre.
Fig./Tab.7.(1) : Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
7.2.2 - Matériaux
La méthode utilise le diagramme contraintes-déformations du béton dédié à une analyse non-linéaire [EC2-1-1 5.8.6(3)] qui a été présenté en [Chapitre 2-6.3.2]. Ceci n'est pas entièrement satisfaisant car ce diagramme fait appel au module de déformation Ecm du béton ; l'analyse pourrait donc sous-estimer les déformations et ne pas donner une sécurité suffisante surtout quand le second ordre est pris en compte.
NMQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
C'est pourquoi l'Eurocode 2 offre une meilleure alternative en suggérant d'utiliser, à la fin de la même clause [EC2-1-1 5.8.6 (3)], des diagrammes déformations-contraintes basés sur les valeurs de calcul. Ces diagrammes utilisent le module de déformation Ecd pour le béton, obtenu en divisant Ecm par cE= 1,2 et fcd à la place de fcm , soit la loi de comportement définie par les paramètres et la figure qui suivent :
2 k c - c c = f cd c1 c1 c 1 + (k - 2 ) c1 où c k= déformation relative en compression du béton 1,05 E cd c1 f cd
c1( 0 / 00 ) = min 0,7 (fck + 8 )
(
0.31
; 2 ,8
)
déformation relative au pic de contrainte
3,5 pour fck < 50MPa 4 cu1( 0 / 00 ) = 98 - (fck + 8 ) 2,8 + 27 pour fck 50MPa 100 f cd = E cd = E cm cc f ck C E cm cE
déformation relative ultime
valeur de calcul de résistance en compression du béton valeur de calcul du module d'élasticité du béton
0,3
f +8 = 22000 ck 10
module d'élasticité sécant du béton
c
Contrainte
loi de type Sargin
fcd
Arctg(1.05 Ecd)
c1
Déformation relative
cu1
c
Fig./Tab.7.(2) : Loi de comportement du béton avec valeurs de calcul
Pour les armatures de béton armé et de précontrainte, les lois prévues pour la vérification de sections [Chapitre 6-1.1.2], [Chapitre 6-1.1.3] et définies par fyd et fpd sont utilisées.
NMR= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Un seul ensemble de diagrammes déformations-contraintes est alors utilisé pour l'analyse structurale comme pour la vérification de sections, ce qui effectivement plus cohérent et rationnel. Les diagrammes particuliers prévus pour le béton (parabole-rectangle, bilinéaire) sont à laisser de côté. Dans ce cas l'analyse structurale peut s'effectuer avec une vérification en simultanée des sections dans le processus de calcul. Ceci a l'avantage de permettre la fusion des deux étapes de la justification et la "charge de ruine" de calcul peut alors être directement obtenue.
7.3 - Méthode générale d'analyse non-linéaire de l'Eurocode 2 partie 2
Cette méthode est décrite aux clauses [EC2-2 5.7(105)] et [EC2-2 Ann.PP]. Utilisable au premier ordre comme au second ordre elle est fondée sur deux points principaux :
· ·
une utilisation de diagrammes déformations-contraintes des matériaux spécifiques, un format de sécurité défini par l'emploi d'un coefficient de sécurité global appliqué à une situation de ruine de calcul constatée.
7.3.1 - Lois de comportement des matériaux
Les coefficients partiels des matériaux sont modifiés, d'une part pour avoir des lois de comportement des matériaux plus proche de leur comportement physique, et d'autre part en les ajustant, pour obtenir une sécurité plus homogène entre le béton et l'acier. Ceci donne des matériaux un peu plus performants que ceux obtenus avec le niveau de sécurité usuellement retenu. Ces lois sont utilisées ensuite pour l'analyse structurale, c'est à dire pour l'obtention des sollicitations et aussi pour la détermination des résistances des sections. Les diagrammes contraintes-déformations pour le béton et pour l'acier sont décrits par les figures suivantes et les valeurs des variables qui les caractérisent données en accompagnement.
On peut noter qu'à la place des contraintes de calcul fcd et fyd ce sont leurs valeurs multipliées par le même facteur 1,1 S qui sont utilisées dans les nouveaux diagrammes.
7.3.1.a) Loi de comportement du béton
C'est une loi de type Sargin, illustrée par la figure suivante :
c
Contrainte
cf
loi de type Sargin
f ck
Arctg(1.05 Ecm)
c1
Déformation relative
cu1
c
Fig./Tab.7.(3) : Loi de comportement du béton avec caractéristiques rehaussées
NMS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
et dont l'équation s'écrit :
2 k c - c c = cf fck c1 c1 c 1 + (k - 2 ) c1 où c k= déformation relative en compression du béton 1,05 E cm c1 cf f ck
c1( 0 / 00 ) = min 0,7 (fck + 8 )
(
0.31
; 2 ,8
)
déformation relative au pic de contrainte
3,5 pour fck < 50MPa 4 cu1( 0 / 00 ) = 98 - (fck + 8 ) 2,8 + 27 pour fck 50MPa 100 cf fck = 1,1 S f 0,85fck C ck
0,3
déformation relative ultime
valeur de calcul de résistance en compression du béton module d'élasticité sécant du béton
f +8 Ecm = 22000 ck 10
7.3.1.b) Lois de comportement des aciers de béton armé
C'est le diagramme bilinéaire avec raffermissement défini par les paramètres 1,1×fyk et 1,1×k×fyk comme illustré dans la figure suivante :
1,1 k f yk 1,1 fyk
Contrainte
loi bilinéaire avec branche inclinée
Arctg(Es)
yd
Déformation relative
uk
Fig./Tab.7.(4) : Lois de comportement des aciers de béton armé
NMT= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Elle est bâtie avec les valeurs limites définissant les deux branches (, ) : 1,1f yk ; 1,1f yk - Branche élastique yd = Es - Branche supérieure inclinée avec uk valeur de déformation relative sous charge maximale k valeur minimale de f t / f y pour la classe B pour la classe C
( )
uk
; 1,1 k f yk
)
(
k
uk 5,0% uk 7,5%
et et
1,08 k 1,15 k < 1,35
7.3.1.c) Lois de comportement des aciers de précontrainte
De façon analogue c'est un diagramme bilinéaire avec raffermissement défini par les paramètres 1,1×fp0,1k et 1,1×fpk qui est à utiliser.
7.3.2 - Principe et format de sécurité
Les calculs à effectuer pour une structure sont faits de manière tout à fait classique. La seule particularité consiste à incrémenter de façon proportionnelle les charges des combinaisons ELU (appelées charges de projet), jusqu'à atteindre la ruine de calcul de la structure. Le nouveau format de sécurité consiste alors à fixer une marge par rapport à ce niveau "ultime" des charges qud par l'intermédiaire d'un coefficient de sécurité global. La structure est considérée comme bien dimensionnée si ce niveau réduit de charges donne bien des sollicitations enveloppes de celles obtenues avec les charges de projet. Le critère de vérification est illustré par les trois inégalités symboliques données dans [EC2-2 5.7(105)], (5.102 aN), (5.102bN) et 5.102cN). Les trois formes d'écriture proviennent simplement de la façon plus ou moins explicite de prendre en compte les divers coefficients partiels liés aux incertitudes de modèle. En pratique, les valeurs des coefficients partiels, utilisées dans la plupart des cas pour les actions et les matériaux, sont fournies sous leur forme (F et M). De ce fait elles contiennent déjà les coefficients partiels qui couvrent les incertitudes de modèle liées aux actions et aux résistances [EC0 6.3(6.2b) et (6.6b)]. Le critère général de vérification E d R d [EC0 6.4.2(6.8)] s'exprime alors sous la forme de l'expression (5.102bN) rappelée ci-dessous :
résistance symbolique correspondante
64 744 4 8 E G G + QQ
effet des actions
(
)
6 74 4 8 q R ud O'
Inégalité (5.102b)
L'attention du projeteur est attirée sur le fait que le critère général de vérification Ed R d ne reflète pas exactement le format de vérification dans le cas d'un flambement. Ceci a d'ailleurs été signalé par l'Eurocode 0 [EC0 6.4.2(3)P]. Il faut prendre, dans ce cas, au sens large, le terme "résistance" et le symbole qui lui est associé R comme représentant les sollicitations qui correspondent à un niveau de chargement donné ; l'Eurocode 2 partie 2 le choisit comme étant égal à celui de la charge de ruine de calcul réduit par un coefficient de 1,27.
Des trois critères de vérification proposés par l'Eurocode 2 partie 2 le présent guide n'en adopte donc qu'un seul, le plus simple et le plus pratique car il ne fait pas intervenir les coefficients partiels pour incertitudes de modèle (c'est d'ailleurs aussi, ce qui est utilisé dans la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1). Pour plus de détails et d'explications concernant le choix de la "bonne" inéquation le projeteur se reportera à l'Annexe VI.
NMU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7.3.3 - Application pratique de la méthode
On commence par déterminer les imperfections géométriques initiales à partir des premiers modes de flambement élastique et par déterminer les cas de charges significatifs dans le plan de flambement considéré (voir l'exemple d'un arc donné en [Annexe II]). Dans le cas d'éléments verticaux, les imperfections géométriques peuvent être représentées par une inclinaison [EC2-2 5.2 (105)]. Dans le cas d'éléments isolés, il peut être pratique d'utiliser une excentricité ou une charge transversale calculée à partir de l'inclinaison précédente [EC2-1-1 5.2(7)]. Le processus de calcul des sollicitations et de vérification de la structure peut ensuite s'effectuer (pour simplifier on présente l'étude à partir de l'état de la structure terminé sous charges permanentes, obtenu de manière classique, tout fluage effectué).
7.3.3.a) Modalités d'incrémentation des charges
L'Eurocode 2 ne donne pas d'indications complètes sur la manière d'incrémenter les charges. Il est seulement dit que le niveau des charges sera augmenté à partir de leurs valeurs de service pour atteindre celui de la combinaison fondamentale ELU de résistance dans un même pas de calcul. Le processus d'incrémentation se poursuivra jusqu'à atteindre la résistance ultime d'une zone ou la rupture globale de la structure [EC2-2 5.7(105) note 1]. Les points de passage obligés sont par contre parfaitement identifiés, à savoir :
· · ·
la situation sous charges permanentes G (représentant Gmin ou Gmax) qui est un état de référence obtenu à la suite d'un calcul détaillé approprié, prenant en compte tous les effets du fluage ; la situation en service G + Q (Q représentant symboliquement l'ensemble des charges variables intervenant dans la combinaison fondamentale ELU de résistance) ; la situation sous combinaison fondamentale ELU G G + Q Q (qu'on a appelé charge de projet pour simplifier) ; et enfin la situation de ruine de calcul obtenue avec la charge de projet majorée par un facteur multiplicateur.
Charges d'exploitation pondérées
Le retour par q'ud ne permet pas de passer sur la trajectoire
[
]
·
0'
Q Q Q Q
R' (q' ud
qud )
R (q ud = q ELU )
U (q ELU = G G+Q Q) S'
Q
S (qSERV =G+Q)
Charges permanentes pondérées
G
G G
G G
NMV= Chapitre 6 - Justification aux ELU
Fig./Tab.7.(5) : Illustration de l'évolution des charges
On s'aperçoit sur un graphique illustrant l'évolution des charges, que dans le cas général, avec des valeurs de G et Q différentes, les points S (pour service), U (pour ultime) et R (pour ruine) ne sont pas alignés et donc que les pas d'incrémentation doivent être différents entre S et U d'une part et entre U et R d'autre part. Un incrément de charge entre S et U peut s'écrire i ( G - 1) G + ( Q - 1) Q , avec
i G Q
[ ] valant 1. Un incrément de charge entre U et R peut s'écrire [( )G + ( ) Q ] , avec 1 + = .
i i
La poursuite de l'incrémentation des charges à partir de la charge de projet peut à priori se faire de différentes façons. On pourrait, par exemple, continuer avec le même pas utilisé pour passer de la situation en service à l'ELU de résistance ou même n'incrémenter que les charges non-permanentes, ce qui constitue une option radicalement différente. Mais ces options différentes ne permettent pas d'exprimer la charge de ruine comme étant proportionnelle à la charge de projet qud = qELU; ce dernier choix a été retenu par l'Eurocode 2 pour exprimer le niveau de sécurité. La ruine est atteinte à partir d'incrément de charge et il est généralement impossible de dépasser le pic de contrainte de la loi de Sargin. Mais si le calcul est fait avec un logiciel permettant de dépasser ce pic, l'état de ruine obtenu peut être différent. Cette distinction a peu d'incidence sur le flambement des structures isostatiques. En revanche, cela peut être important pour les calculs de redistribution d'efforts, où une augmentation de la capacité de rotation des sections augmente les possibilités de redistribuer. Les cas concernés par ces différences sont cependant assez rares. Lorsqu'on ne sait pas a priori si G a un effet favorable ou défavorable vis-à-vis du flambement, deux calculs sont à faire, l'un avec G = 1 et l'autre avec G = 1,35 , associé à Gmin et Gmax respectivement. Les incréments de charges sont alors à adapter en conséquence.
7.3.3.b) Analyse des résultats
Si l'on représente dans un repère à deux dimensions, l'évolution des sollicitations (N, M) d'une section transversale de la structure en fonction de la charge appliquée et si on y rajoute le domaine de résistance (a) de la section d'étude, construite avec les mêmes lois de comportement des matériaux utilisées pour l'analyse structurale, on trouve en général la figure suivante :
Instabilité d'ensemble ou rupture localisée sur une autre section
M M
Rupture de section
(a)
(a) A
A
N chemin de chargement
N
Fig./Tab.7.(6) : Cheminement des sollicitations (N, M) en fonction des chargements successifs jusqu'au point A (NA, MA) obtenu avec la charge de ruine et courbe d'interaction (a) d'une section.
On constate que la courbe (N, M) se termine à l'arrêt des calculs, en un point A, situé en général à l'intérieur du domaine de résistance de la section étudiée. Mais elle peut aussi bien se terminer avec un point A se trouvant sur la courbe (a).
NNM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Entre-temps, cette courbe est passée successivement par les points (NS, MS) de la situation en service et (NELU, MELU) de la situation aux ELU de calcul. Quand le point A se trouve sur la courbe (a), la ruine de calcul de la structure s'est produite par rupture locale dans la section étudiée. Cette section est la section critique et sa résistance limite a été atteinte.
L'identification de la section critique dans laquelle la ruine locale se produit constitue une des difficultés d'application de la méthode.
Quand le point A se situe à l'intérieur du domaine délimité par la courbe (a), il y a alors deux cas de figure :
·
soit c'est encore une rupture localisée mais qui s'est produite dans une autre section que celle étudiée : pour cette section, qui n'est pas la plus sollicitée, les sollicitations obtenues lors de l'arrêt des calculs sont évidemment éloignées de son domaine de résistance ; soit c'est une instabilité d'ensemble de la structure, et dans ce cas, on peut vérifier que tous les points A de toutes les sections qu'on étudie se retrouvent à l'intérieur de toutes les courbes (a) associées. Ce critère sera d'ailleurs le seul moyen pour identifier le mode de rupture de la structure par instabilité d'ensemble.
En fait on peut savoir qu'il y a eu instabilité d'ensemble quand on est certain d'avoir fait l'étude de la section critique et que son point A se trouve à l'intérieur de sa courbe (a).
·
7.3.3.c) Vérification de la sécurité
Avec l'application du critère (5.102b) préconisée par le guide la mise en oeuvre de la vérification de la sécurité est largement simplifiée. La vérification de la sécurité est assurée dès lors que O ' . Ceci est illustré dans la figure ci-dessous où est représentée l'évolution du paramètre déterminant (en général le moment de flexion) en fonction du niveau de chargement. Le chemin de chargement passe par les points S (obtenu avec la charge de service), U (obtenu avec la charge de projet) et se termine en un point A obtenu avec la charge qud , charge maximale atteinte et appelée charge de ruine de calcul. La vérification de la sécurité est satisfaite si le point D obtenu avec le chargement qud /O' est situé sur le chemin de chargement au delà du point U obtenu avec la charge de projet.
M
MA A
MD MU MS S U
D
q SERV
q ELU = q ud
q ud q ud
0'
q
Fig./Tab.7.(7) : Vérification de la sécurité Combinaison (q, M)
7.4 - Synthèse et comparaison des différentes méthodes
Les deux méthodes simplifiées présentées de manière détaillée en [Annexe VI], sont basées sur l'estimation d'une courbure 1/r ou sur l'estimation d'une rigidité nominale EI et donnent des résultats sécuritaires par
NNN= Chapitre 6 - Justification aux ELU
rapport aux deux méthodes générales. Leur champ d'application est restreint, essentiellement les éléments isolés de section et de ferraillage constants. Elles permettent néanmoins de traiter des éléments relativement élancés et sont utiles pour valider rapidement un ferraillage minimum ou une structure en phase de projet. Elles sont cependant très sécuritaires et il est recommandé d'utiliser la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 dans le cas d'une structure très élancée pour obtenir des sollicitations plus réalistes afin de mieux optimiser la matière à mettre en place (sections d'armatures et incidence sur le dimensionnement des fondations d'une pile par exemple). La méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 est d'application tout à fait similaire aux règles antérieures et n'appelle donc pas de remarques particulières. On rappelle qu'elle offre une meilleure alternative en suggérant d'utiliser le même ensemble de diagrammes déformations-contraintes pour l'analyse et pour la vérification des sections. Ceci constitue une vraie simplification par rapport aux règles antérieures. L'Eurocode 2 offre la méthode générale de la partie 2 comme une alternative à la méthode générale de la partie 1-1. Son utilisation présente deux intérêts principaux :
·
le premier intérêt est de mettre en évidence la marge de sécurité qui existe entre la charge de projet (charge de la combinaison fondamentale ELU de résistance) et la charge qui conduit à la ruine de calcul de la structure. En effet la méthode conduit à obtenir un dépassement de la charge de projet pour obtenir la ruine. Le niveau de sécurité voulu est ensuite défini par rapport à cette charge de ruine et est fixé au départ par la méthode ; le second intérêt de la méthode est qu'elle permet de savoir si la structure atteint la ruine de calcul par rupture d'une section ou par instabilité d'ensemble. Cette connaissance peut être utile pour orienter son redimensionnement, localement, s'il s'agit d'une rupture de section (renforcement du ferraillage par exemple) ou de façon plus globale, s'il s'agit d'un problème de flambement (action sur l'élancement de la structure).
·
La méthode générale de l'Eurocode 2 partie 2 est du même niveau de complexité théorique que la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1. Elle nécessite des modalités pratiques d'application peut être un peu plus élaborées. Mais elle permet certainement une analyse plus fine dans les cas d'instabilité d'ensemble. En conclusion on peut a priori utiliser la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 1-1 qui est bien connue et il est proposé qu'on fasse appel à la méthode générale de l'Eurocode 2 partie 2 dans les cas où les informations supplémentaires apportées par cette méthode sont utiles au projeteur. En tout état de cause, il est suggéré que la méthode qui serait appropriée soit précisée dans les clauses techniques des marchés pour tout projet particulier.
NNO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 7 Justification aux ELS
Les justifications aux ELS visent à assurer à toute structure l'aptitude au service requise pendant la durée d'utilisation de projet choisie. Elles contribuent aussi à la protection vis-à-vis des dommages pouvant nuire à la durabilité de la structure. Dans leur principe, les principales règles de justification d'une structure aux états limites de service selon l'Eurocode 2 sont proches de celles utilisées précédemment en France : limitation des contraintes, maîtrise de la fissuration dans les zones tendues et/ou cisaillées et limitation des déformations. La principale nouveauté réside dans l'expression de la maîtrise de la fissuration : au lieu d'une limitation de contrainte des aciers adhérents, elle se fait par un calcul conventionnel d'ouvertures de fissures. Cela permet une approche unifiée entre béton armé et béton précontraint. De plus l'Eurocode 2 partie 2 donne une méthode pour maîtriser la fissuration provoquée par le cisaillement dans les âmes pour les cas où cette vérification est nécessaire. Dans le cas des ponts routiers en béton la limitation des déformations est en général non-dimensionnante. Ne seront donc abordés dans ce guide que les deux aspects limitation des contraintes et maîtrise de la fissuration. On se reportera à l'Annexe VII pour des exemples de calcul détaillés. Enfin, l'application des règles antérieures permettait un dimensionnement de la précontrainte grâce à une définition précise de trois classes de justification. Avec l'Eurocode 2 la situation est plus floue, et il a paru nécessaire de donner quelques indications sur le sujet au projeteur.
L'Eurocode 2 donne des conditions minimales à respecter. Certaines peuvent se traduire par des conditions sur la précontrainte, d'autres non. Mais la définition de la précontrainte est l'affaire du concepteur et une bonne conception n'est pas nécessairement celle qui colle le plus près aux limites fixées par l'Eurocode.
1 - Limitation des contraintes
1.1 - Contrainte de compression dans le béton
1.1.1 - En service
Il est recommandé de limiter la contrainte de compression dans le béton à 0,45 fck sous combinaison quasipermanente des charges pour, principalement, limiter les effets du fluage (flèches excessives, effets hyperstatiques importants...). Ceci permet alors d'utiliser les modèles de fluage linéaire [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 7.2(3)]. Dans le cas contraire, il convient de considérer un fluage non-linéaire. En l'absence de confinement, la contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,6 fck sous combinaison caractéristique dans les parties exposées à des environnements de classe XD, XF et XS [EC2-2 7.2(102)].
En général, on appliquera également cette limitation à l'ensemble des structures d'ouvrages d'art indépendamment de la classe d'environnement. Rappelons que cette limitation permet de se dispenser d'une vérification à la fatigue du béton comprimé [EC2-1-1/AN].
1.1.2 - En construction
Dans le même esprit la contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,45 fck(t) en phase de construction [EC2-1-1 3.1.4(4)], [EC2-1-1 5.10.2.2(5)].
La clause 5.10.2.2(5) précise que le fluage non-linéaire doit être pris en compte si la contrainte de compression dépasse de façon permanente 0,45 f ck (t) . Au moment de la mise en tension d'un câble, on peut donc admettre un dépassement temporaire de cette valeur. La valeur maximale de compression admissible est précisée ci-après.
NNQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La contrainte de compression dans le béton doit être limitée à 0,6 fck(t). Pour la prétension, on peut admettre de monter à 0,7 fck(t) sous réserve de justifications par essais ou par l'expérience que la fissuration longitudinale est évitée [EC2-1-1 5.10.2.2(5)].
Cette limitation doit être appliquée indépendamment de la classe d'environnement.
1.2 - Contrainte de traction dans les armatures
1.2.1 - Cas des armatures de béton armé
Les limitations à respecter sont les suivantes [EC2-2 7.2 (5)] : s < 0,8 fyk sous combinaison caractéristique (sauf si la structure est soumise uniquement à des déformations imposées, par exemple dues au retrait gêné, dans ce cas, la limite est portée à fyk).
La valeur de 0,8 f yk est élevée et cette limitation de contrainte dans les aciers passifs sous combinaison caractéristique n'est en général pas dimensionnante.
1.2.2 - Cas de la précontrainte non adhérente
Lorsque toute la précontrainte est non adhérente, la surtension qui se produit dans les aciers de précontrainte aux ELS sous l'effet des charges d'exploitation est négligeable. Les règles sont donc identiques au cas du béton armé. C'est le cas notamment de la flexion transversale de ponts caissons larges avec précontrainte transversale non adhérente.
1.2.3 - Cas de la précontrainte adhérente
pm < 0,8 fpk sous combinaison caractéristique [EC2-1-1/AN 7.2(5)]
La pratique française précédente consistait à limiter uniquement la surtension des armatures de précontrainte, indépendamment du niveau de précontrainte sous charges permanentes. L'Eurocode adopte plus logiquement un critère de non-plastification des armatures. Plus les armatures sont tendues sous charges permanentes, plus la surtension autorisée sous charges d'exploitation est faible. Avec la valeur 0,75 recommandée par l'Eurocode 2, ce critère pouvait amener à réduire la tension initiale des câbles, notamment pour des câbles avec peu de pertes instantanées. C'est pour éviter cela que la valeur a été portée à 0,8 dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1.
NNR= Chapitre 7 - Justification aux ELS
2 - Maîtrise de la fissuration
2.1 - Principe
Le principe adopté par [EC2-2/AN Tab.7.101NF] :
·
l'Eurocode 2
pour
la
maîtrise
de
la
fissuration
consiste
à
définir
une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures en fonction de la classe d'exposition et de la nature de l'élément considéré (béton armé, béton précontraint à armatures non-adhérentes, ou béton précontraint à armatures adhérentes) ; et/ou un critère de vérification de non-décompression ;
·
qu'il faut ensuite vérifier par le biais d'un calcul d'ouverture de fissures et d'un calcul de contrainte.
2.2 Limites d'ouverture de fissure
Ces limites sont les suivantes :
·
éléments en béton armé et béton précontraint à armatures non-adhérentes soumis à des classes d'exposition XC , XD ou XS wmax < 0,3mm sous combinaison fréquente pour des classes d'exposition XC wmax < 0,2mm sous combinaison fréquente pour des classes d'exposition XD ou XS
Le choix de la combinaison quasi-permanente est bien adaptée au cas des bâtiments, où les charges quasi-permanentes représentent une part importante des charges (les coefficients 2 sont généralement non nuls). En ouvrage d'art, au contraire, les coefficients 2 sont très généralement nuls. La combinaison fréquente apparaît donc comme plus pertinente pour évaluer les ouvertures de fissure, et c'est le choix qui a été fait dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2. Malgré cette correction, la limitation de l'ouverture de fissure sous charge fréquente ne sera généralement pas dimensionnante pour les classes d'exposition XC. C'est le cas notamment de la flexion transversale des hourdis de ponts mixtes ou de ponts caissons. L'application stricte de cette règle peut conduire à des contraintes relativement élevées sous charges de trafic, et la fatigue des aciers passifs peut alors être dimensionnante. L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 dispense de calcul à la fatigue les structures en béton armé pour lesquelles s < 300MPa sous combinaison caractéristique. Cette dernière condition sera généralement dimensionnante pour les ouvrages en classe d'exposition XC, tandis que la limitation d'ouverture de fissure pourra être dimensionnante pour les ouvrages en classe d'exposition XD ou XS.
·
éléments en béton précontraint à armatures adhérentes soumis à des classes d'exposition XC wmax < 0,2mm sous combinaison fréquente
accompagné d'un contrôle de non-décompression c > 0 en zone d'enrobage sous combinaison quasi-permanente
Il est rappelé qu'une vérification à la fatigue des aciers passifs et de précontrainte est nécessaire pour les structures précontraintes qui sont fissurées sous combinaison fréquente.
·
éléments en béton précontraint à armatures adhérentes soumis à des classes d'environnement XD ou XS c > 0 en zone d'enrobage sous combinaison fréquente
La zone d'enrobage est définie par une distance de 100mm à l'armature de précontrainte adhérente ou à sa gaine. Cette condition n'impose pas un enrobage de 100mm pour les armatures de précontrainte : l'Eurocode demande simplement que le béton situé à moins de 100mm de la gaine, lorsqu'il existe, soit comprimé.
NNS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Il est rappelé que la non-décompression du béton sous charges fréquentes permet de se dispenser d'un calcul à la fatigue [EC2-2 6.8.1(102)].
2.3 - Méthodes de calcul des ouvertures de fissure
2.3.1 - Approche selon l'Eurocode 2
Dans l'Eurocode 2, la maîtrise de la fissuration peut se faire de deux façons :
·
méthode "directe" : la maîtrise de la fissuration est considérée comme assurée si la largeur de fissure calculée par la méthode recommandée [EC2-1-1 7.3.4], est inférieure à la valeur limite donnée, et/ou si la règle de non-décompression est vérifiée. Une section minimale d'armatures est par ailleurs exigée [EC2-1-1 Expr.(7.1)] ; méthode "simplifiée" : l'Eurocode 2 partie 1-1 donne une méthode simplifiée pour cette vérification en 7.3.3, moyennant un certain nombre d'hypothèses, notamment la présence d'un ferraillage minimal plus important que le strict minimum requis.
·
Le calcul des contraintes dans les aciers en vue du calcul d'ouverture de fissures est toujours effectué en section fissurée. Les coefficients d'équivalence à utiliser sont donnés au [Chapitre 3 -3.1] de ce guide. Les deux méthodes sont utilisées et présentées en annexe par l'intermédiaire d'exemples de calcul.
Signalons que le domaine d'emploi de la méthode simplifiée de l'Eurocode est plus restreint que celui de la méthode directe : pour utiliser la méthode simplifiée, il faut avoir un ferraillage minimum calculé avec les valeurs de s lues dans des tableaux (et pas avec fyk ), fonction du diamètre ou de l'espacement (distance entre axes) des aciers [EC2-1-1 7.3.3] ; il faut effectuer les corrections données par les formules (7.6N) et (7.7N). Enfin, les tableaux donnent généralement des résultats défavorables par rapport au calcul direct, notamment pour des aciers de gros diamètres pour lesquels les taux de ferraillage effectifs sont bien supérieurs à ceux qui ont été pris en compte dans l'établissement des tableaux. Pour toutes ces raisons, la méthode directe a été privilégiée dans la plupart des exemples de calcul de ce guide, notamment pour les calculs de vérification. L'utilisation des tableaux de la méthode simplifiée de l'Eurocode garde un intérêt en phase de dimensionnement des aciers. La méthode directe de calcul d'ouvertures de fissures présente elle-même un certain nombre de limitations. Elle est adaptée au cas de sections rectangulaires en flexion composée non déviée (c'est sur la base d'essais sur ce type de sections qu'a été fait le calibrage des formules). Par ailleurs, elle n'a pas été calibrée pour la détermination d'ouvertures de fissures dans les pièces épaisses. Se pose alors le problème de la généralisation de ces formules au cas de formes de coffrages plus complexes, au cas de sections en flexion déviée, ou au cas de structures épaisses.
2.3.2 - Approche retenue dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2
Afin de régler les difficultés signalées dans le paragraphe précédent, il a été proposé dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 une autre méthode plus "rustique", mais applicable dans toutes les situations. La méthode proposée est la suivante :
· ·
limitation de l'espacement entre aciers à 5(c+/2), et limitation de la contrainte dans les aciers passifs à 1000 wmax dans le cas de sections fléchies (c'est-à-dire ayant une face comprimée et une face tendue, sans fissures traversantes), ou à 600 wmax dans le cas de sections entièrement tendues.
NNT= Chapitre 7 - Justification aux ELS
Dans ces expressions, wmax est en mm et la limite de contrainte obtenue est en MPa.
Cette méthode "rustique" de l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 2 peut être appliquée dans le cas général. Si on désire optimiser le dimensionnement du ferraillage, on peut appliquer les formules du calcul direct lorsque c'est possible, notamment si les sections sont sensiblement rectangulaires par morceaux, ou en flexion faiblement déviée, avec des gammes d'épaisseurs courantes et des ferraillages relativement réguliers. Pour les structures épaisses, pour les structures en flexion déviée, ou pour les structures de forme ou de ferraillage complexe, il est recommandé d'utiliser la méthode "rustique". Note : Le calcul direct peut conduire à des sections d'acier plus importantes ; néanmoins, la méthode "rustique" reste sécuritaire.
2.4 - Ferraillage minimal de fissuration
2.4.1 - Principe et application à des sections rectangulaires
Indépendamment du calcul d'ouvertures de fissures, il convient de prévoir un ferraillage minimal dans les zones susceptibles d'être tendues sous combinaison caractéristique. La rédaction de la clause 7.3.2(4) est ambiguë, l'annexe nationale a clarifié l'interprétation :
·
pour les ouvrages en béton précontraint par post-tension le ferraillage minimal est requis dans toutes les sections où, sous la combinaison caractéristique de charges et pour la valeur caractéristique de la précontrainte, le béton est tendu (c'est-à-dire < 0) ; pour les ouvrages à fils adhérents, aucun ferraillage minimal n'est requis dans les sections où la valeur absolue de la contrainte de traction du béton est inférieure à 1,5 fct,eff .
·
Dans une poutre en béton armé, il y a toujours lieu d'appliquer le ferraillage minimal. Le principe de calcul du ferraillage minimal est énoncé en [EC2-1-1 7.3.2(1)P] : les armatures adhérentes mises en places doivent être capables de reprendre sans plastifier les efforts de traction enfermés dans le béton au moment de la fissuration. Une modalité d'application est donnée en [EC2-1-1 7.3.2(2)] dans le cas de sections rectangulaires en flexion composée : As,min×fyk = kc×k×fct,eff×Act [EC2-1-1 Expr.(7.1)]
De façon générale, il convient de prendre fct,eff = fctm [EC2-2 7.3.2(102)]. Toutefois, lorsque l'on est certain que la fissuration se produira uniquement au jeune âge (cas d'une poutre soumise uniquement à des déformations gênées par exemple), il est possible de prendre une valeur réduite fct,eff = fctm(t), sans toutefois descendre en-dessous de 2,9 MPa [EC2-2 7.3.2(105)].
La valeur de kc a été calibrée par rapport au principe général énoncé ci-dessus. La valeur est exacte dans le cas de la traction simple et de la flexion simple, et elle est sécuritaire dans les cas de flexion composée. Dans le cas d'une section rectangulaire en flexion simple, kc vaut 0,4. Le ferraillage minimal vaut donc : As,min = 0,4×fctm×0,5×b×h / fyk Soit, avec d = 0,9 h : As,min = 0,23×(fctm / fyk)×b×d
Ce ferraillage est légèrement plus faible que le ferraillage minimum donné pour les poutres en [EC2-1-1 9.2.1.1(1)] (coefficient 0,23 au lieu de 0,26). Il s'agit dans les deux cas d'un ferraillage minimum basé sur les mêmes principes. Pour clarifier cela, l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 a précisé que le ferraillage de la section 9 était applicable pour les éléments en béton armé, et que celui de la section 7 était applicable pour les éléments en béton précontraint.
NNU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La formule donnée dans l'Eurocode 2 contient un terme supplémentaire (coefficient k). Sa valeur doit généralement être prise égale à 1,0, sauf pour les pièces larges ou hautes soumises uniquement à des déformations imposées (voir exemple d'application en annexe). Signalons enfin que l'expression (7.1) est écrite dans l'Eurocode 2 partie 1-1 de façon plus générale avec s au lieu de fyk. Cela est dû au fait que cette expression peut également être lue à l'envers, pour calculer une contrainte : As Ce calcul permet d'estimer la contrainte dans les aciers passifs d'une pièce fissurée soumise à des déformations imposées. Un exemple d'utilisation est donné en annexe.
C'est donc bien la valeur s = fyk qui doit être utilisée pour calculer le ferraillage minimum. Ce point a d'ailleurs été clarifié par l'annexe nationale. Ce n'est que lorsqu'on souhaite utiliser les tableaux de la méthode indirecte (7.3.3) qu'il convient d'adopter une valeur plus faible de s , pour se conformer aux hypothèses selon lesquelles ont été établis ces tableaux.
A s = k c ×k×fct,ef f × ct
2.4.2 - Généralisation à des sections quelconques
L'Eurocode 2 indique comment généraliser le calcul du ferraillage minimum à des sections rectangulaires par morceaux (en pratique : sections en caisson ou en T). Le principe est le suivant :
· ·
on découpe la section en éléments rectangulaires qui sont soit des hourdis, soit des âmes ; les modalités de découpage sont indiquées en [EC2-2 7.3.2 fig.7.101] ; on détermine le moment de fissuration Mfiss, c'est-à-dire le moment créant une contrainte de traction fctm en fibre extrême, en supposant l'effort normal extérieur global N inchangé (dans une poutre précontrainte, on prendra généralement N = Pk,inf) ;
Pour une section où N et M varient tous les deux (cas d'un poteau par exemple), il peut être plus sécuritaire de déterminer les sollicitations de fissuration en considérant un point de passage de la résultante des contraintes normales identique à celui de la sollicitation de service la plus défavorable.
· · ·
on construit le diagramme de contrainte dans la section sous ce couple (N, Mfiss) ; dans un élément de type âme, on calcule le ferraillage minimal selon la formule générale en prenant c égal à la contrainte au centre de gravité de l'âme ; dans un élément de type hourdis, le ferraillage minimal est obtenu par la relation : As,minf yk =max[0,9k Fcr ; 0,5 k fctm A ct ]
La première condition revient à équilibrer 90% de l'effort de traction dans la membrure avant fissuration ; on considère de façon forfaitaire que les 10% restants repassent dans les âmes par changement du bras de levier. La seconde condition assure un ferraillage minimal des membrures permettant d'équilibrer un moment "local" de fissuration (une face tendue à fctm et une face à contrainte nulle). La généralisation du calcul du ferraillage minimum à des sections quelconques peut se faire en revenant au principe énoncé en [EC2-1-1 7.3.2(1)P] : on vérifie que sous les sollicitations de fissuration, les aciers mis en place ne plastifient pas.
2.5 - Maîtrise de la fissuration provoquée par cisaillement
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne prévoit pas de vérifications spécifiques de la résistance au cisaillement aux ELS, elle est supposée assurée par des dispositions constructives [EC2-1-1 7.3.3(5)].
NNV= Chapitre 7 - Justification aux ELS
En revanche, l'Eurocode 2 partie 2 prévoit dans la clause [EC2-2 7.3.1(110)] un renvoi à une annexe QQ (informative, rendue normative par l'annexe nationale) qui donne une méthode permettant, dans le cas où ce serait nécessaire, d'éviter la fissuration provoquée par cisaillement. Elle concerne essentiellement les âmes des ouvrages en béton précontraint et ne s'applique pas en général aux sections en béton armé.
La fissuration des âmes est admise pour les sections en béton armé, mais elle ne doit pas être excessive. Pour cela, il convient soit de faire des vérifications explicites d'ouverture de fissure et de fatigue à l'effort tranchant, soit d'adopter des inclinaisons "raisonnables" des bielles à l'ELU de résistance, ne s'écartant pas trop de l'orientation naturelle des fissures en service (soit 45° dans les cas courants). La réglementation française antérieure imposait des bielles à 45° sans autre vérification. Une limite inférieure correspondant à cot = 1,5 a été proposée dans l'annexe nationale [EC2-2/AN 6.8.1(102)] [Chapitre 6 -2.2.2].
2.5.1 - Principe
Le principe retenu dans l'annexe QQ consiste à déterminer la plus grande contrainte principale de traction dans le béton et de vérifier qu'elle est inférieure en valeur absolue à une résistance à la traction du béton à déterminer en fonction des contraintes appliquées, pour assurer la non-fissuration sous cisaillement.
Il va de soi que la vérification ci-dessus doit se faire avec l'ensemble des contraintes provoquées par les efforts de flexion, tranchants et de torsion concomitants. La vérification est à faire sur toute la hauteur des âmes, soit en général au niveau du centre de gravité et du gousset côté de la membrure tendue. Bien que le texte ne le précise pas, la justification est à faire sous combinaison caractéristique.
2.5.2 - Critère de non-fissuration
Le critère compare la plus grande contrainte principale de traction 1 à fctb , résistance à la traction du béton au niveau des âmes, dans un état de contrainte biaxiale avant fissuration, et donnée par l'expression : f ctb = 1 - 0,8 3 × f ctk ;0, 05 [EC2-2 Expr.(QQ.101)] f ck 3 est la plus grande contrainte principale de compression (valeur positive) fck est la résistance caractéristique à la compression du béton fctk,0.05 est le fractile 5% de la résistance à la traction du béton Dans les cas courants où l'on n'a pas de compression biaxiale (pas de précontrainte verticale dans des âmes par exemple) l'état de contrainte est caractérisé par le tenseur : x 0 Les contraintes principales 1 et 3 se calculent alors par les expressions : 1 = 3 = x - x + 2 2 2 x + x + 2 2 2
2 2
où :
Les expressions ci-dessus sont applicables si x 0. Lorsqu'une vérification est nécessaire en un point où x < 0, il est loisible de calculer 1 et 3 en prenant x = 0 ; la vérification s'écrit alors :
NOM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
fctb, soit
f ctk 0,05 f ctk 0,05 1 + 0,8 f ck
Cela revient à maîtriser la fissuration des âmes sous sollicitations tangentes indépendamment de la traction longitudinale, qui est elle équilibrée directement par les armatures longitudinales. Ce n'est pas dit explicitement dans l'annexe QQ, mais on retrouve ce principe dans d'autres annexes (annexe F notamment), ainsi que dans la pratique française antérieure (BPEL).
Si le critère 1 > -fctb est vérifié (1 plus grande contrainte principale de traction), alors la section n'est pas fissurée sous sollicitation tangente. Aucun ferraillage d'effort tranchant n'est à prévoir aux ELS hormis le ferraillage minimum. Si le critère n'est pas vérifié, l'annexe QQ demande qu'on maîtrise la fissuration des âmes selon les méthodes prévues en [EC2-1-1 7.3.3] ou [EC2-1-1 7.3.4] et [EC2-1-1 7.3.1] en tenant compte de la déviation entre la direction de la contrainte principale et les directions des armatures. Toutefois, la référence à ces clauses ne donne aucune indication pratique pour effectuer le calcul complet d'ouverture de fissure. Il paraît donc très souhaitable de dimensionner les âmes pour qu'elles ne soient pas fissurées aux ELS.
Par ailleurs, le fait d'avoir des âmes trop minces peut poser d'autres problèmes (diminution du bras de levier des aciers passifs vis-à-vis de la flexion transversale, difficultés de bétonnage, réduction de la résistance en torsion, etc.). Il convient de tenir compte de ces phénomènes dans le choix des épaisseurs d'âmes, et ne pas se limiter au seul critère aux ELS de l'annexe QQ de l'Eurocode 2 partie 2.
L'équation (QQ101) peut exprimer la limitation des contraintes de cisaillement d'une autre façon, plus habituelle aux projeteurs :
adm = x × y -
avec
5f ck × f ctk;0,05 × x + y + f ctk;0,05 × 4 x + 4 y - 5f ck (5f ck + 4f ctk;0,05 ) 2
(
) (
)
x = contrainte normale longitudinale y = contrainte normale transversale adm= contrainte tangente admissible.
3 - Règles de dimensionnement de la précontrainte
Les justifications données précédemment doivent être utilisées en vérification de structure, mais ne suffisent pas toujours à elles seules à dimensionner la précontrainte de façon satisfaisante.
3.1 - Cas des ouvrages coulés en place
La question se pose en particulier pour les structures précontraintes en classe d'environnement XC3 ou XC4, pour lesquelles les tractions dans le béton sous charges fréquentes et caractéristiques ne sont pas limitées. Un dimensionnement de la précontrainte sur la base du seul critère de non-décompression en quasi-permanent conduira à de faibles quantités de précontrainte et à des quantités importantes d'aciers passifs, dimensionnement qui peut s'avérer non économique. Le projeteur doit donc en général se donner des règles supplémentaires de dimensionnement, en particulier pour les structures de type "poutre" où la précontrainte partielle est peu économique. Ces règles peuvent être les suivantes : c > 0 sous combinaison fréquente dans toute la section ou c > -fctm sous combinaison caractéristique dans toute la section
NON= Chapitre 7 - Justification aux ELS
On pourra généralement utiliser uniquement la plus favorable des deux règles ci-dessus. Ces deux règles existent déjà dans l'Eurocode 2, la première dispensant le projeteur de la justification à la fatigue, et la seconde lui permettant un calcul des contraintes en section non fissurée. Ces règles sont à prendre comme des recommandations pour le dimensionnement, sauf bien sûr dans le cas où un fonctionnement de structure en précontrainte partielle serait plus économique. Pour l'application de ces règles, ajoutées en vue de faciliter le dimensionnement du projet, on peut choisir d'utiliser la précontrainte probable.
3.2 - Cas des voussoirs préfabriqués
Les règles de justification aux ELS des voussoirs préfabriqués sont données dans la norme [EN15050 G.2.3.1] : sous combinaison caractéristique et valeurs en fourchette de la précontrainte, la section de béton doit rester entièrement comprimée (précontrainte totale).
3.3 - Règles en phases de construction
Les règles données ci-dessus doivent être adaptées pour les phases de construction pour plusieurs raisons : la notion de combinaison fréquente n'existe pas en phases de construction, et les états limites relatifs à la durabilité sont moins pertinents qu'en service, notamment pour les phases de courte durée.
En revanche, il est rappelé que les ELU doivent être vérifiés à toutes les phases de la construction.
Il convient donc de définir des règles spécifiques pour les vérifications aux ELS en phases de construction. Ces règles ne sont pas présentées de manière explicite dans l'Eurocode 2 partie 1-1. Par contre, l'Eurocode 2 partie 2 y consacre une section particulière, la section 113. Le tableau ci-dessous montre comment adapter les règles pour quelques exemples particuliers, en suivant les principes de la section 113 :
Règles aux ELS en service Règles aux ELS en construction
c > 0 c > 0 wk < 0,2mm s < 0,8 fyk c < 0,6 fck
sous comb. fréquente sous comb. Q.P. sous comb. fréquente
c > - fctm (t) c > -fctm(t) wk < 0,2mm
sous comb. Q.P. en situation de construction sous comb. Q.P. en situation de construction sous comb. Q. P. en situation de construction sous comb. caract. en situation de construction sous comb. caract. en situation de construction
sous comb. caractéristique s < 0,8 fyk sous comb. caractéristique c < 0,6 fck(t)
Dans le tableau ci-dessus, les limites de contrainte de traction fixées en construction sont à respecter en zone d'enrobage des câbles. En dehors de cette zone, on peut admettre des tractions plus importantes et se contenter d'une vérification d'ouverture de fissure. Il convient de fixer ces règles lors de l'établissement du projet, car elles peuvent avoir une incidence sur le dimensionnement du coffrage et de la précontrainte. Ces règles devront être indiquées dans les documents du marché. On peut choisir pour ces règles d'utiliser la précontrainte probable.
NOO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 8 Dispositions constructives relatives aux armatures
Le présent chapitre concerne essentiellement la section 8 de l'Eurocode 2 "dispositions constructives relatives aux armatures de béton armé et de béton précontraint généralités" des parties 1-1 et 2. Ce chapitre analyse certaines des dispositions constructives exposées dans cette section 8. Il n'est pas exhaustif et il ne saurait dispenser de la lecture de l'Eurocode. Les paragraphes 1 à 6 sont consacrés aux barres isolées et le paragraphe 7 aux paquets de barres. Certains des sujets traités dans la section 8 de l'Eurocode 2 ne sont pas abordés dans ce chapitre. C'est notamment le cas des points suivants :
· · ·
Treillis soudés, Ancrage d'armatures au moyen de barres soudées, Précontrainte.
D'autres parties de l'Eurocode 2 présentent également des dispositions correspondant à des exigences minimales. Celles-ci sont abordées dans les chapitres correspondants du présent guide. Il est à noter que, conformément à la clause 8.1 de la partie 1-1 de l'Eurocode 2, la section 8 ne traite que des armatures de béton armé à haute adhérence, des treillis soudés et des armatures de précontrainte.
En ce qui concerne les armatures de béton armé de type "rond lisse", et en l'absence de nouveaux textes sur le sujet, il est loisible de conserver les dispositions constructives exposées dans le BAEL 99 et dans la norme NF A35-027 de janvier 2003.
Les armatures de béton armé utilisées doivent être conformes à la norme EN 10080.
1 - Distance libre entre armatures de béton armé
La distance libre minimale entre barres est la même horizontalement et verticalement.
eh, ev : distances libres horizontale et verticale respectivement Fig./Tab.1.(1) : Distances libres entre barres isolées
Ces distances libres doivent vérifier : avec
eh , ev emini = sup { ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
dg dimension du plus gros granulat et diamètre de la barre
NOQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2 - Diamètre admissible des mandrins de cintrage pour les barres pliées
2.1 - Généralités
Conformément à la clause [EC2-1-1 8.4.1(3)], les coudes et crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées. Ce chapitre s'applique à toutes les parties de barres tendues pliées par cintrage, que ce soit celles :
·
des coudes, crochets ou boucles des ancrages des armatures,
coude
crochet Fig./Tab.2.(1) : Ancrages des armatures
boucle
·
des coudes des armatures continues pliées (barres relevées et autres barres cintrées),
Fig./Tab.2.(2) : Coudes des armatures continues (barres relevées et autres barres cintrées)
·
des épingles, des étriers, et des cadres (y compris leurs ancrages).
Fig./Tab.2.(3) : Epingles, étriers et cadres
Le diamètre admissible des mandrins de cintrage dépend de deux critères : le non-endommagement des armatures et la non-rupture du béton.
NOR= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
2.2 - Critère de non-endommagement des armatures
La clause correspondante est en [EC2-1-1 8.3(2)] Dans le cas général des barres pliées par cintrage sans armature soudée, le diamètre minimal du mandrin de cintrage vis-à-vis du critère de non endommagement des armatures est donné par le tableau suivant : : Diamètre de la barre 16 mm > 16 mm m : Diamètre minimal du mandrin 4 7
Fig./Tab.2.(4) : Diamètre minimal de mandrin vis-à-vis du non-endommagement des armatures
2.3 - Critère de non-rupture du béton
La clause correspondante est en [EC2-1-1 8.3(3)]. Conformément à l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1, ce critère ne s'applique pas aux cadres, étriers et épingles.
·
Domaine d'emploi
Pour une barre de diamètre ce critère doit faire l'objet d'une vérification si l'une au moins des 3 conditions suivantes n'est pas remplie : - condition n°1 : L'ancrage nécessaire de la barre ne dépasse pas 5 au-delà de l'extrémité de la partie courbe - condition n°2 : La barre n'est pas disposée près d'une surface et il existe une barre transversale de diamètre supérieur ou égal à à l'intérieur de la partie courbe - condition n°3 : Le diamètre du mandrin est supérieur ou égal aux valeurs recommandées pour le critère de non-endommagement aux armatures.
·
Formule du critère de non-rupture du béton
1 1 1 Le diamètre du mandrin doit vérifier : m Fbt a + 2 × f , cd b avec Fbt l'effort de traction dans une barre dû aux charges ultimes à l'origine de la partie courbe. Fbt = × (fyk / S) × [ ( / 2)²], avec proportion de l'effort restant à ancrer à partir de l'origine de la partie courbe (la proportion (1 - ) de l'effort est déjà ancrée avant l'origine de la courbe) ab moitié de l'entraxe entre les barres (ou groupe) perpendiculairement au plan de courbure (si la barre (ou groupe) est proche des parements prendre l'enrobage majoré de / 2) fcd borné à la classe C 55/67.
L'attention est attiré sur le fait qu'en général pour une barre tendue ancrée par courbure une part de l'effort est déjà ancrée à l'origine de la partie courbe. La prise en compte de cet aspect permet de réduire sensiblement la valeur du rayon de mandrin admissible vis-à-vis du critère de non-rupture du béton.
NOS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.2.(5) : Origine de la partie courbe par rapport au début de l'ancrage pour une barre tendue
·
Application aux ancrages par courbure de barres tendues
Pour les ancrages par courbure de barre tendue, la condition de non-rupture du béton est généralement satisfaite avec un diamètre de mandrin m 10 .
Exemple, cas particulier classique : - entraxe 5 - enrobage 2 - fyk 500 MPa - 25 % des efforts sont déjà ancrés à l'origine de la partie courbe, - fck 35 MPa
1 1 1 m Fbt a + 2 f = {0,75 × (500 / 1,15) × [ (/2)²] } × {[2/(5) + 1/(2 )] × 1,5/35} 10 b cd
Le calcul a été fait dans le cas d'une situation non accidentelle avec C = 1,5 et S = 1,15, le cas accidentel étant ici moins défavorable du fait du rapport C/S qui vaut 1,2 en accidentel et 1,3 sinon. Plus précisément, pour les ancrages par crochet ou coude, le respect des prescriptions suivantes dispense de vérifier la condition de non-rupture du béton :
· · · ·
Enrobage Aciers de classe B500B Diamètre de mandrin : m = 10 Longueur d'ancrage en partie droite (avant l'origine de la courbe) supérieure aux valeurs indiquées dans le tableau ci-après.
Entraxe 2 3 4 5 6 Classe du béton C30/37 31 25 21 18 15 C35/45 25 19 15 11 8 C40/50 20 14 9 6 3 C45/55 16 10 5 0 C50/60 13 6 0 0 C55/67 10 3 0 0 0 C60/75 10 3 0 0 0
Fig./Tab.2.(6) : Longueur d'ancrage minimale nécessaire en partie droite
Cette longueur d'ancrage en partie droite est une longueur minimale à respecter et ne dispense pas du calcul de la longueur d'ancrage lbd qui peut donner une longueur d'ancrage en partie droite supérieure à la longueur minimale indiquée dans le tableau ci-dessus, notamment lorsque le calcul est effectué avec la longueur d'ancrage équivalente.
NOT= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
Exemple, pour un coude normal à 90°, 32 mm, béton de classe C35/45, entraxe = 2 et m = 10 (figure a). Avec 1 = 0,7 et les autres i égaux à 1, le calcul de la longueur d'ancrage lbd [Chapitre 8 -3] donne : lbd = 0,7 × lb,rqd = 0,7 × 46 = 32,2 , soit une longueur d'ancrage en partie droite de : lbd [5 + ( / 2) × (m / 2 + / 2)] = 18,6 . Dans ce cas, c'est la longueur d'ancrage minimale en partie droite 25 indiquée dans le tableau [Fig./Tab.2.(6)], nécessitée par la condition de non rupture du béton et le choix m = 10 , qui prévaut. Au contraire, pour un entraxe de 3 et un béton de classe C40/50 (figure b), le tableau [Fig./Tab.2.(6)] indique une longueur d'ancrage minimale en partie droite de 14 . C'est alors le calcul de la longueur d'ancrage lbd, qui donne une longueur d'ancrage en partie droite de 15,8 , qui prévaut.
Figure a
Figure b
Cependant, suivant les conditions d'entraxe et la classe du béton, des diamètres de mandrin inférieurs à 10 peuvent être obtenus en vérifiant le critère de non-rupture du béton.
·
Application aux coudes des armatures continues
Pour les déviations par coudes d'armatures continues (barres relevées et autres barres cintrées), la condition de non-rupture du béton est le plus souvent satisfaite (pour les bétons de classe C35/45 ou supérieure) avec un diamètre de mandrin m 15 .
Entraxe 2 3 4 5 6 Classe du béton C35/45 22 17 15 13 12 C40/50 19 15 13 12 11 C45/55 17 13 11 10 9 C50/60 15 12 10 9 9 C55/67 14 11 9 8 8 C60/75 13 10 9 8 7
Fig./Tab.2.(7) : Diamètre minimal du mandrin, pour des aciers de classe B500B ou inférieure, en fonction du diamètre de la barre, pour des coudes d'armatures continues
Le calcul est ici effectué comme dans l'exemple précédent mais en considérant 100% de l'effort.
NOU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3 - Ancrage des armatures longitudinales
3.1 - Définitions
La clause [EC2-1-1 8.4] fait intervenir 5 types de longueur d'ancrage.
lb lb,rqd
longueur d'ancrage de référence
C'est la longueur nécessaire pour ancrer un effort donné par scellement droit pour une barre isolée.
longueur d'ancrage de référence requise
C'est la longueur nécessaire pour ancrer l'effort As sd par scellement droit pour une barre isolée en supposant que la contrainte d'adhérence est constante et égale à fbd. (avec sd contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle l'ancrage est mesuré)
lbd lb,min lb,eq
longueur d'ancrage de calcul
C'est la longueur d'ancrage pour une barre en tenant compte de sa forme et de son environnement.
longueur d'ancrage minimale en l'absence de toute autre limitation longueur d'ancrage équivalente
C'est une formule simplifiée pour lbd dans des cas courants. Dans le cas d'ancrages courbes elle permet notamment de calculer la longueur d'ancrage sans prendre en compte le diamètre de mandrin utilisé.
3.2 - Principe
Le principe de la détermination d'une longueur d'ancrage comprend deux étapes :
1 - détermination de lb,rqd la longueur d'ancrage de référence requise (dans l'hypothèse d'un scellement droit) pour ancrer l'effort de calcul. Il est à noter que cet effort de calcul n'est pas forcément égal à l'effort maximal admissible pour la barre pour la situation correspondante. 2 - détermination de lbd la longueur d'ancrage de calcul qui tient compte de la forme et de l'environnement de la barre. Il est à noter que cette longueur de calcul est inférieure à lb,rqd et qu'elle est déduite de celle-ci via l'application de coefficients minorateurs.
·
Cas des barres comprimées : Les coudes et crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées [EC2-1-1 8.4.1(3)]. Il est loisible de mesurer la longueur d'ancrage comme indiqué sur le schéma suivant :
Fig./Tab.3.(1) : Ancrage courbe d'une barre comprimée
NOV= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
·
Cas des barres tendues :
cas d'un ancrage par boucle normale (boucle pour laquelle les efforts de traction sont identiques dans les cas d'un ancrage par coude deux brins, boucle "à plat" par exemple) Les longueurs d'ancrage de référence lb et de calcul lbd sont mesurées le long de l'axe quelle que soit la forme du tracé. Fig./Tab.3.(2) : lb et lbd dans le cas d'un ancrage par courbure
Afin de ne pas multiplier inutilement les calculs de longueurs d'ancrage, il est loisible de retenir le même effort à ancrer pour tous les aciers d'un diamètre et d'une nuance donnés : l'effort donnant la longueur d'ancrage maximale soit As sd = As fyk / S. Il convient alors de faire le calcul dans le cas d'une situation non accidentelle avec C = 1,5 et S = 1,15, le cas accidentel étant moins défavorable du fait du rapport C / S qui vaut 1,2 en accidentel et 1,3 sinon. Cependant un calcul précis prenant en compte la valeur exacte de l'effort de calcul, peut être effectué par exemple pour justifier un acier particulier ou les aciers d'un ouvrage existant.
Une détermination par une approche simplifiée (longueur d'ancrage équivalente) est également possible dans certains cas.
3.3 - Détermination de la longueur d'ancrage de référence "requise"
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.4.3].
3.3.1 - Contrainte ultime d'adhérence
La détermination de la longueur d'ancrage de référence requise nécessite le calcul préalable de la "contrainte ultime d'adhérence" [EC2-1-1 8.4.2]. Celle-ci, notée fbd, doit être suffisante pour éviter une rupture d'adhérence. fbd = 2,25 1 2 fctd , avec : 2 paramètre lié au diamètre de la barre. 2 = (132-) / 100 pour > 32 mm, 1 sinon fctd résistance de calcul en traction du béton fctd = ct fctk,0,05 / C , plafonnée à la valeur correspondant à la classe C60/75. Le coefficient ct est défini au [EC2-1-1 3.1.6] , ct = 1. paramètre dépendant des conditions d'adhérence et de la position des barres au cours du bétonnage. Il 1 prend les valeurs suivantes :
·
1 = 1,0 lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, c'est-à-dire : - pour toutes les barres dont l'inclinaison de l'ancrage avec l'horizontale est comprise entre 45° et 90°, pendant la phase de bétonnage [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(3)] ; - pour les barres dont l'inclinaison de l'ancrage avec l'horizontale est comprise entre 0 et 45° et qui pendant la phase de bétonnage sont situées à une distance inférieure à 250 mm depuis la fibre inférieure de la section ou, pour les dalles d'épaisseur supérieure à 600 mm, à une distance supérieure à 300 mm depuis la fibre supérieure de la section [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(4)] ;
NPM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
1 = 0,7 dans tous les autres cas.
Fig./Tab.3.(3) : Barres inclinées avec l'horizontale d'un angle compris entre 45° et 90°. Bonnes conditions d'adhérence
Fig./Tab.3.(4) : Conditions d'adhérence pour les barres inclinées d'un angle compris entre 0 et 45° avec l'horizontale
fck / fck
cube
25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67 60/75 70/85 2,69 2,48 1,89 1,73 3,04 2,80 2,13 1,96 3,37 3,10 2,36 2,17 3,68 3,39 2,58 2,37 3,99 3,67 2,79 2,57 4,28 3,93 2,99 2,75 4,43 4,07 3,1 2,85 4,57 4,21 3,2 2,94 4,57 4,21 3,2 2,94
Conditions 32mm d'adhérence "bonnes" = 40mm Conditions 32mm d'adhérence "médiocres" =40mm
Fig./Tab.3.(5) : Valeurs de la contrainte ultime d'adhérence (en MPa), en fonction de la résistance du béton (en MPa), du diamètre des barres et des conditions d'adhérence
Comme indiqué ci-avant, le tableau a été établi dans le cas d'une situation non accidentelle avec
C = 1,5 et S = 1,15
(rappel : fctd = ct fctk,0,05 / C)
Exemple : fck = 35 MPa, bonnes conditions d'adhérence, 32 mm, fctk,0,05 = 2,247 MPa fbd = 2,25 1 2 fctd = 2,25 × 1 × 1 × 1 × 2,247 / 1,5 = 3,37 MPa
NPN= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
3.3.2 - Longueur d'ancrage de référence "requise"
La contrainte ultime d'adhérence ayant ainsi été déterminée, la longueur d'ancrage de référence "requise" peut alors être calculée par la formule : l b ,rqd = × sd 4 f bd (avec sd contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle l'ancrage est mesuré). Le tableau ci-dessous donne la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer la totalité de l'effort de calcul que peut reprendre la barre et non plus l'effort particulier auquel elle est soumise. Comme expliqué précédemment, la valeur de contrainte de calcul retenue est sd = fyk / S.
fck / fck cube barre (mm) 32 mm =40 mm
25/30
30/37
35/45
40/50
45/55
50/60
55/67
60/75
70/85
40 44
36 39
32 35
30 32
27 30
25 28
25 27
24 26
24 26
Fig./Tab.3.(6) : Valeurs de la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer fyk / S , exprimée en fonction du diamètre de la barre, pour des aciers B500B et dans des conditions d'adhérence "bonnes"
Exemple : fck = 35 MPa, fyk = 500 MPa, bonnes conditions d'adhérence, = 20 mm, fbd = 3,37 MPa
l b,rqd = × sd 4 f bd
= (500 / 1,15) / (3,37 × 4) = 32,25 = 645 mm
Pour des conditions d'adhérence "médiocres", la valeur du tableau est divisée par 0,7. On obtient alors, en exprimant la longueur d'ancrage de référence nécessaire en fonction du diamètre de la barre :
fck / fck cube barre (mm) 32 mm =40 mm 25/30 58 63 30/37 51 55 35/45 46 50 40/50 42 46 45/55 39 42 50/60 36 39 55/67 35 38 60/75 34 37 70/85 34 37
Fig./Tab.3.(7) : Valeurs de la longueur d'ancrage de référence nécessaire pour ancrer fyk / S, exprimée en fonction du diamètre de la barre, pour des aciers B500B et dans des conditions d'adhérence "médiocres"
3.4 - Longueur d'ancrage de calcul
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.4.4]. La longueur d'ancrage de calcul est définie par : lbd = max { 1 2 3 4 5 lb,rqd ; lb,min } 1 : tient compte de l'effet de forme des barres, l'enrobage étant supposé correct 2 : tient compte de l'effet de l'enrobage minimal 3 : tient compte de l'effet de confinement des armatures transversales 4 : tient compte de l'effet de une ou plusieurs barres transversales soudées le long de lbd 5 : tient compte de l'effet de la pression orthogonale au plan de fendage le long de lbd Le produit 235 est borné inférieurement à 0,7. En l'absence des dispositions constructives définies dans le tableau [EC2-1-1 Tabl.8.2] et qui permettent le cas échéant une réduction de la longueur d'ancrage, les coefficients 3, 4 et 5 doivent évidemment être pris égaux à 1. Pour les barres tendues : Pour les barres comprimées : lb,min > max { 0,3 lb,rqd ; 10 ; 100 mm } lb,min > max { 0,6 lb,rqd ; 10 ; 100 mm }
NPO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En prenant les valeurs minimales 1=4=(235)=0,7, il s'ensuit lbd= 0,34 lb,rqd. Il est donc impossible d'avoir lbd < 0,3 lb,rqd pour les barres tendues. De même pour les barres comprimées, avec 4=0,7 il découle lbd = 0,7 lb,rqd ; il est donc impossible d'avoir lbd < 0,6 lb,rqd.
Tous ces coefficients étant inférieurs ou égaux à 1, il résulte du tableau ci-dessus donnant les longueurs d'ancrage de référence nécessaires pour ancrer fyk / S que :
pour les qualités de béton généralement utilisées pour les ouvrages d'art, la longueur d'ancrage de calcul d'une barre tendue en acier B500B par scellement droit est inférieure ou égale à 50 . Cette valeur de 50 est valable pour des conditions d'adhérence médiocres [Chapitre 8 -Fig./Tab.3.(7)]. Si cette valeur est utilisée comme longueur d'ancrage, il n'est alors pas nécessaire de vérifier dans quelles conditions d'adhérence se trouve la barre.
Pour certaines configurations, une simplification consiste à considérer que l'ancrage des barres tendues est assuré moyennant la prise en compte de longueurs d'ancrage équivalentes. Pour les coudes "normaux", crochets "normaux" et les boucles "normales", les longueurs d'ancrage équivalentes lb,eq sont définies comme indiqué ci-après.
Fig./Tab.3.(8) : Longueurs d'ancrage équivalentes pour les coudes et crochets normaux et les boucles normales
Les dessins définissent également les notions de coude "normal", crochet "normal" et boucle "normale", boucle pour laquelle les efforts sont identiques pour les deux extrémités. lb,eq = 1 lb,rqd
- pour les armatures tendues, avec cd > 3 : - pour les armatures tendues, avec cd 3 :
l b ,eq = 0,7 l b , rqd l b ,eq = l b ,rqd
a cd = c c d = min ; c1 2 pour les coudes ou crochets pour les boucles Fig./Tab.3.(9) : Valeurs de cd en fonction du type d'ancrage
NPP= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
La méthode simplifiée proposée par l'Eurocode 2 partie 1-1 ne présente pas d'intérêt pour les coudes et crochets. Elle augmente la longueur d'acier par rapport à un calcul pessimiste immédiat où l'on retient 1 pour les coefficients 2 à 5 et où l'on a donc : lbd = 1 lb,rqd . Par exemple, pour un HA16 avec R = 5 , le supplément de longueur d'acier vaut : - pour un coude normal à 90° : 0,57 R + 4,8 , soit 12 cm environ, - pour un crochet normal à 180° : 2,14 R + 5,6 , soit 26 cm environ. Pour les boucles normales, l'écart entre les deux méthodes est minime.
Fig./Tab.3.(10) : Comparaison entre formule simplifiée et application pessimiste de la formule générale
3.5 - Cas particulier
Il est possible d'utiliser plusieurs types d'ancrage (rectilignes et par courbure). Cette disposition est par exemple classique dans les semelles de fondation.
Fig./Tab.3.(11) : Cas particulier
NPQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.5]. Les ancrages des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales (cadres, épingles et étriers) sont réalisés au moyen de coudes ou de crochets (ou à l'aide d'armatures transversales soudées) en prévoyant une barre à l'intérieur du crochet ou du coude et en respectant les dispositions de la figure suivante. Il est à noter que ces dispositions sont différentes de celles des crochets ou coudes "normaux" des armatures longitudinales.
cas de l'ancrage par coude (rappel : pour les coudes 90° < 150°)
cas de l'ancrage par crochet
(rappel : pour les crochets 150°) Fig./Tab.4.(1) : Ancrages des armatures transversales par coude ou crochet
5 - Recouvrement
5.1 - Généralités
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.1]. La transmission des efforts d'une barre à une autre peut s'effectuer par :
· · ·
recouvrement ; soudage ; organe mécanique (manchon).
Le présent paragraphe ne concerne que la transmission des efforts par recouvrement.
5.2 - Longueur de recouvrement l0
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.3].
·
Cas des recouvrements rectilignes
si c sup { 4 , 50mm } si c > sup { 4 , 50mm }
l0 = sup {6 lbd ; l0,min } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } + c
c : la distance libre entre les deux barres du recouvrement
NPR= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
Fig./Tab.5.(1) : Distance libre entre barres d'un recouvrement
l0,min = max { 0,3 6 lb,rqd ; 15 ; 200mm }
Il est impossible que 0,3 6 lb,rqd soit supérieur à 6 lbd [Chapitre 8 -3.4].
6 est un coefficient de sécurité qui prend en compte la simultanéité de plusieurs recouvrements concernant une section donnée. 6 = (1/25)0,5 avec 1 proportion de barres avec recouvrement dont l'axe se situe à moins de 0,65 l0 de l'axe du recouvrement considéré. 6 varie de 1 à 1,5.
1 6
·
< 25% 1
33% 1,15
50% 1,4
> 50% 1,5
Cas des recouvrements avec courbures
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne précise pas les dispositions à retenir dans le cas des recouvrements à courbure. A défaut de justifications plus précises, il est loisible de retenir la disposition suivante : la longueur l0 se mesure en partie droite conformément au dessin ci-dessous, et non pas depuis l'origine de la barre.
Pour un recouvrement rectiligne, il y aurait l0 = 6 lb,rqd ; pour un recouvrement avec courbures, la formule simplifiée donne l0 = 6×1×lb,rqd. Fig./Tab.5.(2) : Longueur l0 pour des recouvrements avec courbures
Fig./Tab.5.(3) : Longueur l0 pour un recouvrement avec crochets normaux
Exemple de calcul de longueur de recouvrement - cas d'un crochet normal à 180° avec cd >3, 1=0,7, 2×3×5=0,7 et 6=1,4 (50 % de recouvrements pour la section considérée). Comme précédemment, la contrainte de calcul prise est sd = fyk / S, et la situation durable est considérée. f yk s sd f yk 1,5 f yk l b ,rqd = = = = 0,58 f ctk ;0, 05 4 f ctk ;0, 05 2,25 × 1,15 × 1 × 1 × 1 4 f bd 4 4 f ctk ;0,05 2,251 2 ct c
l 0 = 0,7 × 0,7 × 1,4 × l b,rqd = 0,7 × 0,7 × 1,4 × 0,58
f yk f yk = 0,4 4 f ctk;0,05 4 f ctk;0,05
Les "boucles normales" ne sont pas utilisées pour les recouvrements. En particulier, les boucles d'extrémité d'éléments préfabriqués ne sont pas des "boucles normales".
NPS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Cas des recouvrements de barres comprimées
Dans le cas de recouvrements de barres comprimées, le coefficient 1 étant égal à 1 quelle que soit la forme de l'ancrage des barres se recouvrant, la longueur de recouvrement est égale à celle d'un recouvrement rectiligne. L'utilisation d'ancrages courbes demande donc plus de matière (pour les ancrages [Chapitre 8-Fig./Tab.5.(2)] avec une longueur de recouvrement équivalente à celle d'un recouvrement rectiligne.
La jonction de barres comprimées par barres rectilignes est conseillée. Dans ce cas il est rappelé qu'il convient de prendre des dispositions pour assurer la sécurité du personnel. Dans le cas d'utilisation de barres courbes, pour les barres courbes de diamètre moyen ou important, la poussée au vide en fin de courbe peut être importante, et justifie la non-prise en compte de la partie courbe pour le recouvrement.
5.3 - Espacements longitudinaux des recouvrements
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.2] et [EC2-1-1 8.7.3]. Les dispositions sont représentées ci-après pour les cas les plus courants et résultent de la synthèse des conditions données par les clauses précitées :
a) 33 % de recouvrements dans une section
dans ce cas 6 = 1,15 et les recouvrements voisins doivent être espacés au moins de 0,3 l0, soit 1,3 l0 entre axes.
Fig./Tab.5.(4) Cas avec 33% de recouvrements dans une section
NPT= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
b) 50 % de recouvrements dans une section
dans ce cas 6 = 1,4 et les recouvrements voisins doivent être espacés au moins de 0,3 l0, [EC2-1-1 8.7.2(3)] alinéa 2, soit 1,3 l0 entre axes.
Fig./Tab.5.(5) : Cas avec 50% de recouvrements dans une section
c) 100 % de recouvrements dans une section
Ce cas ne peut s'appliquer que dans les conditions suivantes :
· · ·
barres comprimées, armatures secondaires (de répartition), barres tendues et disposées sur un seul lit.
Ceci est cohérent avec les dispositions du paragraphe 4.7 "armatures longitudinales" du guide du Sétra "Ponts en béton précontraint construits par encorbellements successifs" de juin 2003.
Dans ce cas 6 = 1,5 mais la règle de l'espacement des recouvrements voisins de 0,3 l0, soit 1,3 l0 entre axes, ne peut évidemment pas être respectée.
Le retour à la source des dispositions de l'Eurocode 2 [CEB-FIB Model Code 1990] fait apparaître que la règle en question doit être interprétée comme visant à augmenter l'espacement prévu entre deux recouvrements voisins quand on veut ne pas les considérer comme affectant la même section. Ainsi les deux schémas ci-dessous représentent la même situation d'une section dans laquelle il est prévu 100% de recouvrement. Le premier schéma étant meilleur du point de vue du fonctionnement.
NPU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.5.(6) Cas avec 100% de recouvrements dans une section
5.4 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.4.1]. Trois niveaux d'exigence croissants sont retenus pour les armatures transversales en fonction de l'agressivité des recouvrements considérés.
1er cas < 20 mm ou 1 < 25% Les aciers transversaux nécessaires prévus par ailleurs sont considérés comme suffisants. Ils peuvent ne pas être situés en premier lit. 2ème cas autres configurations 3ème cas 20 mm et 1 > 50% et a 10
A st
As
A st
As
il convient de placer des aciers transversaux en premier lit et perpendiculaires à la direction du recouvrement.
les armatures transversales utilisées doivent être des cadres, étriers ou épingles, et perpendiculaires à la direction du recouvrement.
avec
Ast section des armatures transversales et As section d'une des barres du recouvrement 1 voir définition ci-avant [Chapitre 8 -5.2]
NPV= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
En général le cas 1 > 50% correspond à 1 = 100%, dans ce cas "a" est la distance entre les recouvrements de deux barres voisines comme représenté sur la figure ci-avant [Fig./Tab.5.(6)]. Dans les deux derniers cas, il convient de répartir les armatures conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.5.(7) : Dispositions des armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
Il est également envisageable de répartir les armatures transversales uniformément le long du recouvrement, conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.5.(8) : Autre disposition possible des armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres tendues
5.5 - Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres comprimées
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.7.4.2]. Les mêmes règles que pour les barres tendues s'appliquent, avec une disposition supplémentaire : ajouter de chaque côté du recouvrement une barre transversale placée à une distance inférieure à 4 de l'extrémité du recouvrement.
Fig./Tab.5.(9) : Armatures transversales dans une zone de recouvrement de barres comprimées
Comme pour les barres tendues, il est possible de répartir les armatures transversales uniformément sur la longueur de recouvrement, mais toujours avec les deux barres supplémentaires placées de part et d'autre du recouvrement. Ces deux barres supplémentaires ont pour but de s'opposer à l'éclatement du béton comprimé au contact de la tranche d'extrémité de la barre.
NQM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6 - Barres de gros diamètre
Les règles supplémentaires de la clause [EC2-1-1 8.8] relative aux barres de gros diamètre s'appliquent aux barres de diamètre > large. La valeur à utiliser est celle indiquée dans l'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1, à savoir large = 40 mm.
7 - Paquets de barres
7.1 - Généralités
Les barres peuvent être regroupées par paquets. Les aciers doivent être de même type et de même nuance, éventuellement de diamètres différents sous réserve que le rapport des diamètres n'excède pas 1,7. Sauf indication contraire les règles pour les barres individuelles s'appliquent également aux paquets de barres. Le nombre de barres d'un paquet est limité à 3, sauf pour les cas des barres verticales comprimées et des barres à l'intérieur d'une jonction par recouvrement pour lesquels 4 barres peuvent être groupées au maximum. Les armatures doivent être disposées de façon compacte afin d'opposer le minimum de gêne à la mise en place du béton. Dans le cas particulier d'un paquet de deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, le paquet est traité comme une barre individuelle.
Fig./Tab.7.(1) : Disposition correcte dans le cas d'un paquet de 3 aciers identiques
7.2 - Diamètre équivalent du paquet
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.1]. Soit nb le nombre de barres du paquet, limité à 3 ou 4 selon les cas. Le diamètre équivalent n de la barre fictive (même section et même centre de gravité que le paquet) vaut :
· ·
cas où les barres ont toutes le même diamètre : cas de plusieurs diamètres de barres :
n = n b 55mm n = 1 ² + ... + n b ² 55mm
NQN= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
7.3 - Distance libre entre paquets de barres
La distance libre minimale entre les paquets de barres est mesurée à partir du contour extérieur effectif du paquet.
Fig./Tab.7.(2) : Distances libres entre paquets de barres
Ces distances doivent vérifier : avec
eh , ev emini = sup { n ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
dg dimension du plus gros granulat et n diamètre équivalent du paquet de barres.
Dans le cas particulier d'un paquet de deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, le paquet est traité comme une barre individuelle, d'où les dispositions suivantes :
Fig./Tab.7.(3) : Distance libre entre paquets de deux barres et barres individuelles
Ces distances libres doivent vérifier :
eh , ev emini = sup { ; (dg + 5mm) ; 20mm) }
7.4 - Ancrage des paquets de barres
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.2].
·
Ancrage des paquets de barres tendues
- 1er cas : si les barres présentent des décalages longitudinaux importants comme indiqués sur les schémas suivants (où lb,rqd est calculé avec ), le diamètre d'une barre individuelle est utilisé pour calculer lbd.
Fig./Tab.7.(4) : Ancrage d'un paquet de deux barres tendues avec un décalage important
NQO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.7.(5) : Ancrage d'un paquet de trois barres tendues avec un décalage important
Cas particulier d'un ancrage droit du paquet de barres avec, pour une barre isolée, lbd () = lb,rqd () - paquet de deux barres : la longueur d'ancrage du paquet est : lpaquet 2,3 lbd () - paquet de trois barres : lpaquet 3,6 lbd () - 2ème cas : le diamètre équivalent n est utilisé pour calculer lbd : lbd (n) = n lbd ().
Le paragraphe correspondant de l'Eurocode 2 partie 1-1 est incomplet. Il est loisible de retenir un décalage minimum des barres comme indiqué sur les dessins ci-dessous.
avec 2 diamètre équivalent du paquet de deux barres, 2 =
2
Fig./Tab.7.(6) : Ancrage d'un paquet de deux barres tendues
avec 3 diamètre équivalent du paquet de trois barres, 3 =
3
Fig./Tab.7.(7) : Ancrage d'un paquet de trois barres tendues
Cas particulier d'un ancrage droit du paquet de barres avec, pour une barre isolée, lbd () = lb,rqd - paquet de deux barres : lpaquet = 1,3 lbd (2) = 1,3 × 1,41 × lbd () = 1,83 lbd - paquet de trois barres : lpaquet = 1,6 lbd (3) = 1,6 × 1,73 × lbd () = 2,77 lbd - Cas particulier : n < 32 mm et barres au voisinage d'un appui : pas d'obligation de décaler les barres.
Fig./Tab.7.(8) : Ancrage de paquet de barres tendues au voisinage d'un appui pour n < 32mm
NQP= Chapitre 8 - Dispositions constructives relatives aux armatures
·
Ancrage des paquets de barres comprimées
- le décalage des arrêts des barres n'est pas nécessaire - si n 32 mm, des cours d'armatures transversales sont disposés conformément au dessin ci-après.
Fig./Tab.7.(9) : Ancrage d'un paquet de barres comprimées de diamètre équivalent 32mm
7.5 - Recouvrement des paquets de barres
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 8.9.3]. Soit c la distance libre entre les deux paquets du recouvrement mesurée à partir du contour extérieur effectif du paquet : - si c sup { 4n , 50mm } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } - si c > sup { 4n , 50mm } l0 = sup {6 lbd ; l0,min } + c avec lbd calculé avec le diamètre équivalent n. · Cas des paquets de deux barres, avec n < 32 mm : il n'est pas nécessaire de décaler les barres pour le recouvrement. La longueur de recouvrement l0 est calculée avec le diamètre équivalent n.
Fig./Tab.7.(10) : Recouvrement d'un paquet de 2 barres de diamètre équivalent n < 32mm
On applique les mêmes dispositions d'armatures transversales en zone de recouvrement que celles définies pour les barres individuelles ([Chapitre 8 -5.4], en remplaçant par n).
·
Cas d'un paquet de deux barres avec n 32 mm ou d'un paquet de trois barres : les arrêts de barres doivent être décalés longitudinalement d'au moins 1,3 l0, où l0 est calculé avec . Il est possible d'utiliser une barre supplémentaire de recouvrement, sans toutefois dépasser 4 barres dans une section de recouvrement.
Fig./Tab.7.(11) : Recouvrement d'un paquet de 3 barres tendues, avec une 4ème barre de recouvrement
NQQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 9 Dispositions constructives relatives aux éléments
Les dispositions constructives concernent le ferraillage minimal ainsi que les dispositions à prendre pour les ferraillages [EC2-1-1 Sect.9].
1 - Ferraillage minimal de flexion
La valeur du ferraillage minimal à mettre en place est définie en [EC2-1-1 9.2.1.1] pour les poutres en béton armé et en [EC2-1-1 9.3.1.1] pour les dalles en béton armé. Pour les structures précontraintes, le ferraillage minimal est donné par l'annexe nationale qui demande de disposer le ferraillage minimal requis par le [EC2-1-1 7.3.2]. Un exemple d'application numérique est donné en [Annexe VII-1.5].
2 - Ferraillage de peau
Le ferraillage de peau est traité à deux endroits dans l'Eurocode 2 : [EC2-1-1 7.3.3(3)] et [EC2-2/AN 9.1(103)]. La clause [EC2-1-1 7.3.3(3)] permet de calculer le ferraillage de peau à prévoir sur les joues des poutres de grande hauteur (h > 1,0 m), en zone tendue uniquement, lorsque le ferraillage principal est concentré sur une portion de la hauteur seulement. Pour une poutre rectangulaire en flexion simple, de largeur b et de hauteur tendue ht , la valeur de ce ferraillage est donnée par : As,peau = kc×k×fct,eff×Act/fyk = 0,4×0,5×fctm×b×ht / fyk La clause [EC2-2/AN 9.1(103)] traite de façon plus générale le ferraillage de peau à prévoir sur les joues des poutres, à la fois en zone tendue et comprimée, parallèlement et perpendiculairement à la section transversale.
Ce ferraillage de peau ne se cumule pas aux autres aciers calculés.
Application numérique à une poutre rectangulaire de hauteur supérieure à 1,0 m, de 30 cm d'épaisseur d'âme, avec un béton C30/37 et des aciers passifs fyk = 500 MPa : Selon la clause [EC2-1-1 7.3.3(3)], la quantité d'acier de peau à disposer, sur les joues des poutres, en zone tendue, est égale à : As,peau = 0,4 × 0,5 × 2,9 × 0,30 × 1,0 / 500 = 3,50 cm² Soit une quantité de 1,75 cm²/m de parement. Exprimé en terme de pourcentage de la section tendue, cette valeur est égale à : = kc × k × fct,eff / fyk = 0,4 × 0,5 × 2,9 / 500 = 0,12 % Selon [EC2-2/AN 9.1(103)], le ferraillage de peau à mettre en place sur tout le pourtour de la poutre est égal à 3 cm²/m pour les classes d'expositions courantes (XC4), ou 5cm²/m en environnement agressif (XD, XS).
On constate sur l'application numérique que le calcul selon [EC2-1-1 7.3.3(3)] donne une valeur inférieure au minimum de 3 cm²/m donné en [EC2-2/AN 9.1(103)]. Dans les cas courants, il est possible de se dispenser du calcul de [EC2-1-1 7.3.3(3)] et utiliser directement les valeurs forfaitaires de la section 9.
NQS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3 - Ferraillage d'effort tranchant
3.1 - Section minimale d'armatures de tranchant
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 9.2.2].
3.1.1 - Cas des poutres
Un ferraillage transversal minimal est à prévoir même dans le cas d'éléments ne nécessitant pas d'armature d'effort tranchant. Le taux d'armature d'effort tranchant est donné par les expressions : w = Asw / (s × bw × sin ) w,min = (0,08 f ck ) / f yk
· · · · ·
[EC2-1-1 Expr.(9.4)]
avec une valeur minimale recommandée confirmée par l'annexe nationale : [EC2-1-1 Expr.(9.5N)]
w s bw
est le taux d'armatures d'effort tranchant est l'espacement des armatures d'effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l'élément est la largeur de l'âme de l'élément est l'angle entre les armatures d'effort tranchant et l'axe longitudinal [EC2-1-1 9.2.2(1)].
Par rapport aux pratiques antérieures l'expression (9.5N) [EC2-1-1 9.2.2(5)] conduit à moins d'acier pour des bétons de faibles résistances caractéristiques et à plus d'acier pour des résistances caractéristiques plus élevées.
12.0cm2/m 10.0cm2/m 8.0cm2/m 6.0cm2/m 4.0cm2/m
Asw est l'aire de la section des armatures d'effort tranchant régnant sur la longueur s
EC2 Asw/(s.bw)=0.08*racine(fck)/fyk*10000=
2.0cm2/m
BPEL At/(st.bn)=0.4*gs/fyk*10000=
0.0cm2/m 25 30 35 40 45 50
Fig./Tab.3.(1) : Variation du ratio minimal d'armatures de cisaillement avec la résistance caractéristique du béton
3.1.2 - Cas des dalles
Le taux du ferraillage minimum transversal et sa valeur minimale prévus ci-dessus pour les poutres s'appliquent également pour les dalles. Cependant les dalles qui bénéficient d'une redistribution transversale des charges en sont dispensées. [EC2-1-1 6.2.1(4) et 9.3.2]. Si des armatures de tranchant sont nécessaires la dalle doit avoir au moins 200 mm d'épaisseur. Les dalles de hourdis de pont entrent dans la catégorie des dalles permettant une redistribution transversale des charges. A ce titre, elles peuvent ne pas comporter d'armatures de tranchant, sauf si les efforts qui leur sont appliqués l'imposent [Chapitre 6 -2.2.1].
NQT= Chapitre 9 - Dispositions constructives relatives aux éléments
Toutefois, l'Eurocode 2 [EC2-1-1 9.3.1.4] demande de prévoir des armatures longitudinales et transversales de construction le long des bords libres telles que schématisées sur la figure ci-dessous Pour les dalles d'épaisseur courante (entre 20 et 35cm) et des bétons de fck 50 MPa, une section de 2cm²/m, soit 4 U HA8 permet de couvrir la condition de ferraillage minimal près des bords.
Fig./Tab.3.(2) : Principe d'armatures d'un bord libre de dalle
3.2 - Dispositions pour les armatures de tranchant
Les principales dispositions constructives des armatures d'effort tranchant sont représentées sur la figure ciaprès [EC2-1-1 9.2.2]. L'Eurocode 2 partie 2 recommande de ne pas utiliser les cadres et étriers ouverts. Une combinaison de cadres et de barres relevées est autorisée. L'inclinaison des armatures d'effort tranchant doit respecter la condition suivante : 45° 90°. Cependant au moins 50% des aciers d'effort tranchant doivent être sous forme de cadres et d'étriers (c'est une valeur recommandée reprise par l'annexe nationale).
Fig./Tab.3.(3) : Exemple d'armatures d'effort tranchant
Pour les poutres, de hauteur utile d, les espacements maximaux des cours d'armatures d'effort tranchant sont limités à : Sens longitudinal Sens transversal sl,max= 0,75 d (1+cot) st,max= 0,75 d 600mm [EC2-1-1 Expr.(9.6N)] [EC2-1-1 Expr.(9.8N)]
Pour les dalles, l'espacement maximal dans le sens longitudinal garde la même expression et l'espacement maximal transversal est modifié et limité à : Sens transversal st,max 1,5 d ( = /2) avec = angle d'inclinaison des armatures sur la fibre moyenne
Pour le cas de barres relevées qui sont moins utilisées en pratique, il faut se référer au texte de l'Eurocode 2.
NQU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Ferraillage de torsion
Les dispositions constructives des armatures de torsion sont données en [EC2-1-1 9.2.3] et sont représentées sur la figure ci-après. Les cadres doivent être ancrés au moyen de recouvrements et/ou crochets et être perpendiculaires à l'axe de la poutre. Les espacements maximums des cours d'armatures transversales de torsion sont limités à : Sens longitudinal sl,max = min (0,75 d ; U/8 ; plus petite dimension de la section) Les espacements maximum des armatures longitudinales de torsion sont limités à 350mm avec au moins une barre à chaque angle.
Les règlements antérieurs ne prévoyaient pas de spécifications particulières sauf pour les armatures longitudinales qui devaient être regroupées dans les angles.
a) configurations recommandées b) configuration non recommandée Fig./Tab.4.(1) : Exemples d'armatures de torsion
NQV= Chapitre 9 - Dispositions constructives relatives aux éléments
NRM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Chapitre 10 Prescriptions et justifications particulières
1 - Effort tranchant
1.1 - Effet Résal
Dans les sections de hauteur variable en T ou en caisson comportant des membrures, la variation d'effort tranchant due à l'effet Résal doit être prise en compte. Elle est calculée à partir de :
· ·
Vccd : valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de compression, dans le cas d'une membrure comprimée inclinée ; Vtd : valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de traction dans l'armature tendue, dans le cas d'une membrure tendue inclinée.
La figure ci-dessous précise les conventions de signe [EC2-1-1 Fig.6.2] :
Fig./Tab.1.(1) : Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable
L'effort tranchant à prendre en compte [EC2-1-1 6.2.1(6)], avec prise en compte de la variation due à l'effet Résal est : VEd - Vccd - Vtd .
L'Eurocode 2 place l'effet Résal ici du côté des efforts sollicitants, mais le met aussi du côté des efforts résistants comme dans l'expression suivante :VEd < VRd = VRd,s + Vccd + Vtd [EC2-1-1 6.2.1(2)], [EC2-1-1 6.2.1(5)] Les deux manières sont équivalentes. Les règlements antérieurs privilégiaient la seconde. Une présentation plus habituelle de la règle, appliquée aux caissons est comme suit : A proximité d'un appui intermédiaire, la section est soumise à un moment M et un effort tranchant VEd négatifs. Le hourdis inférieur est fortement comprimée alors que le hourdis supérieur est peu comprimé, voire tendu. Dans le cas où le hourdis supérieur reste comprimé, la variation d'effort tranchant de l'effet Résal peut se calculer comme indiqué sur le schéma suivant.
NRO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab.1.(2) : Effet Résal hourdis supérieur comprimé
Ns est la résultante des contraintes normales du hourdis supérieur (Ns >0 pour une compression). Dans le cas de traction c'est la somme des efforts de traction des aciers du hourdis . s est l'angle d'inclinaison de la fibre moyenne par rapport au hourdis supérieur. Ni et i sont les valeurs correspondantes pour le hourdis inférieur.
La variation due à l'effet Résal est égale à : VRésal = - Vcc,s - Vcc,i = - Ns.sin(s) + Ni.sin(i) Avec Ni > Ns et s i , la variation VRésal est positive. L'effort VEd étant négatif, l'effet Résal est dans ce cas favorable puisqu'il réduit l'effort tranchant (en valeur absolue).
Fig./Tab.1.(3) : Effet Résal - zones de membrures à prendre en compte
La prise en compte de l'effet Résal est a priori favorable car susceptible de réduire l'effort tranchant général, pour les sections près des appuis intermédiaires. Par contre lorsque l'on se rapproche de la mi-travée, le hourdis supérieur devient très comprimé, le hourdis inférieur tendu et l'effet Résal accroît l'effort tranchant général. La seule différence avec les pratiques antérieures vient du fait qu'on ne prenait pas en compte les zones d'âmes communes avec les hourdis. Une autre manière de prendre en compte l'effet Résal est aussi développée dans l'article de D. Le Faucheur, "Cumul des aciers de cisaillement et de flexion", paru dans le bulletin Ouvrages d'art du Sétra n° 41 auquel le projeteur pourra se rapporter pour plus de détails. Elle a le mérite de se baser sur une expression analytique qui se prête plus facilement à une programmation pour logiciel. Elle donne cependant une valeur majorante de l'effet Résal car l'ensemble de la section est prise en compte.
NRP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
1.2 - Cisaillement entre l'âme et les membrures des sections en T
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2.4] . Le modèle bielles-tirants a été adapté à cette configuration pour être utilisé pour la détermination des armatures.
1.2.1 - Ferraillage minimal des membrures
Le ferraillage minimal n'est plus celui prescrit spécifiquement vis-à-vis de l'effort tranchant [EC2-1-1 9.2.2], mais celui relatif aux armatures de flexion des dalles donné par la clause [EC2-1-1 9.3.1]. Il y a donc lieu d'appliquer la relation : A s , min = 0,26 f ctm btd f yk avec As,min 0,0013×bt×d [EC2-1-1 Expr.(9.1N)]
Dans ce cas, d est la hauteur utile de la membrure et bt sa longueur, soit appliqué à la figure ci-dessous d = hf et bt = x .
A - bielles de compression B - barre longitudinale ancrée audelà du point obtenu par construction avec f (voir 6.2.4 (7)) Fig./Tab.1.(4) : Jonction âme-membrure [EC2-1-1 Fig.6.7]
1.2.2 - Efforts sollicitants
La contrainte de cisaillement longitudinale vEd, développée à la jonction entre un côté de la membrure et l'âme, est déterminée par la variation d'effort normal (longitudinal) appliqué à la partie de membrure considérée : v Ed = Fd / ( h f × x) [EC2-1-1 Expr.(6.20)]
Dans le cas de charges réparties, il peut être admis pour x une valeur maximale égale à la moitié de la distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal. Dans une poutre isostatique, il peut ainsi y avoir des tronçons d'un quart de travée sur lesquels le ferraillage transversal de cisaillement est constant. Dans le cas de charges concentrées la valeur x est plafonée à la distance entre charges. Toutefois dans les ponts cette prescription ne vise pas l'action des charges concentrées apportées par les véhicules. Une alternative au calcul de cette contrainte est possible [EC2-2 6.2.4(103)] : "L'effort tranchant transmis entre l'âme et la membrure est égal à VEd x / z et se décompose en trois parties : une partie s'exerçant dans la section de la poutre limitée à la largeur de l'âme et les deux autres régnant dans les ailes des membrures. Généralement la part de l'effort auquel l'âme demeure soumise
NRQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
est la fraction bw / bf de l'effort total. Une force plus grande peut être prise en compte si la largeur totale de membrure efficace n'est pas indispensable pour résister au moment fléchissant. Dans ce cas, il peut être nécessaire de vérifier l'ouverture des fissures à l'état limite de service."
Cette alternative revient aux errements antérieurs qui, appliqués à une longueur x, expriment l'effort de glissement par unité de longueur :
vEd = (VEd /z)(b1/beff ) où b1 est la largeur de la membrure d'un seul côté de l'âme.
De ce fait, il reste comme effort dans l'âme vEd,w = (VEd/z)(bw /beff ) Les expressions ci-dessus sont plus spécifiquement adaptées aux poutres en T en béton armé.
Dans le cas du béton précontraint, et des caissons, en l'absence d'efforts concentrés apportant de brusques variations d'effort normal dans les hourdis, il est plus judicieux de recourir aux expressions classiques de la RDM et de calculer : vEd = VEd×S où S est le moment statique de la partie de membrure concernée. I ×h f
1.2.3 - Vérification de la résistance
Dans le modèle de treillis utilisé, l'inclinaison des bielles dans les membrures est différente de celles des âmes. Les valeurs recommandées sont : 1,0 cotf 2,0 pour les membrures comprimées 1,0 cotf 1,25 pour les membrures tendues. Il faut vérifier la compression des bielles dans la membrure : v Ed f cd sin f cos f avec = 0,6 (1-fck/250) et calculer les armatures (Asf fyd/sf ) vEd hf /cotf [EC2-1-1 Expr.(6.21)] Ces expressions sont une adaptation de celles relatives à la vérification des sections courantes, plus générales. Si vEd k×fctd , aucune armature de cisaillement n'est nécessaire en complément de celles requises pour la flexion. L'Eurocode 2 partie 1-1 recommande k = 0,4. L'annexe nationale prescrit : k = 0,5 en cas de surface verticale de reprise de bétonnage, rugueuse dans la membrure k = 1,0 lorsqu'il n'y a pas de surface verticale de reprise de bétonnage (la verticalité ici évoquée est relative au schéma de principe donné ci-avant)
A titre indicatif, f ctd = 1,50 MPa pour un C35 et 2,03 MPa pour un C60.
[EC2-1-1 Expr.(6.22)]
1.2.4 - Cumul avec la flexion locale
Le cumul flexion/cisaillement est traité au [Chapitre 10 -4.3.3] de ce guide.
NRR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
1.3 - Cisaillement dans les surfaces de reprise
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.2.5]. En complément des exigences énoncées pour résister aux cisaillements exercés entre les âmes et les membrures ou dans les âmes, il faut vérifier dans les surfaces de reprise de bétonnage : vEdi vRdi avec vEdi = VEd/(z×bi) [EC2-1-1 Expr.(6.24)] où est le rapport entre l'effort normal longitudinal dans le béton de reprise et l'effort longitudinal total dans la zone comprimée (ou tendue). Cette expression s'exprime également de la façon suivante, en supposant que l'on reste dans un domaine élastique : vEdi =VEdS/(I× bi) où S est le moment statique au droit de la reprise de bétonnage I est l'inertie de la section. La contrainte limite est donnée par l'expression suivante vRdi = c fctd + n +f yd ( sin + cos ) 0,5fcd n = contrainte normale à l'interface c et coefficients dépendant de la rugosité de l'interface = inclinaison des aciers sur la reprise de bétonnage = As / Ai = ratio des aciers traversant la reprise rapporté à la surface de celle-ci. [EC2-1-1 Expr.(6.25)] [EC2-1-1 Expr.(6.23)]
Fig./Tab.1.(5) : Exemple de surfaces de reprise [EC2-1-1 Fig.6.8]
NRS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
A - béton de reprise B - ancien béton C - ancrage Fig./Tab.1.(6) : Joint de reprise avec indentations [EC2-1-1 Fig.6.9]
Les surfaces de reprises sont classées en très lisses, lisses, rugueuses et avec indentations :
type de reprise coefficients
très lisse : surface coulée au contact de moules en acier, en matière plastique, c = 0,25 et = 0,5 ou en bois traité spécialement : lisse : surface réalisée à l'aide de coffrages glissants ou surface extrudée ou c = 0,35 et = 0,6 surface non coffrée, laissée sans traitement ultérieur après vibration : rugueuse : surface présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, espacées d'environ 40 mm, obtenues par striage, lavage direct ou toute autre méthode c = 0,45 et = 0,7 donnant un comportement équivalent : avec indentation : surface présentant des clés comme sur la Figure 6.9 : c = 0,50 et = 0,9
L'Eurocode 2 partie 2 prescrit de prendre c = 0 pour les vérifications à la fatigue ou dynamiques. Les sollicitations dues aux charges de trafic (UDL et tandem TS par exemple) ne sont pas à considérer comme des actions dynamiques. Les actions de séisme sont, par contre, des actions dynamiques.
L'Eurocode 2 partie 1-1 demande seulement de diviser par deux les valeurs de c dans le cas de vérification à la fatigue ou dynamique.
Lorsque la contrainte normale à la reprise est une contrainte de traction il faut prendre c = 0.
1.4 - Eléments en flexion composée, non fissurés à l'ELU de résistance et ne nécessitant pas d'armatures de tranchant
Pour les éléments ne nécessitant pas d'armatures de tranchant, soumis à une flexion composée et qui ne sont pas fissurés à l'ELU, la clause [EC2-1-1 6.2.2(4)] renvoie à [EC2-1-1 12.6.3], qui traite de la résistance à l'effort tranchant d'éléments en béton non-armé. La clause [EC2-1-1 12.6.3(3)] précise le sens de "non-fissuré à l'ELU" pour un élément : il reste complètement comprimé ou la valeur absolue de la contrainte principale de traction dans le béton est inférieure à fctd.
Cette clause donne des formules de calculs calibrées pour des sections rectangulaires et pour le cas où la contrainte normale transversale est nulle. Le cas de sections complexes n'est pas envisagé car la valeur k = 1,5 [EC2-1-1 Expr.(12.4)] adoptée correspond bien au cisaillement maximal d'une section rectangulaire.
Il est ajouté par la clause [EC2-1-1 12.1(2)] que la section 12 s'applique aux éléments pour lesquels l'effet des actions dynamiques peut être ignoré. Elle ne s'applique pas quand les effets sont ceux engendrés par des machines tournantes et les charges de trafic.
NRT= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Elle ne saurait donc concerner les tabliers de ponts mais peut s'appliquer à d'autres éléments de structures tels que les semelles de fondation et les pieux dont le diamètre est 600 mm et pour lesquels NEd/Ac 0,3fck La justification consiste à vérifier que le cisaillement cp dans une section soumise à un effort tranchant et un effort normal reste inférieure à une résistance de calcul en cisaillement et compression du béton fcvd. Le projeteur est renvoyé au texte de l'Eurocode 2 pour l'utilisation détaillée des expressions (12.5), (12.6), (12.7) [EC2-1-1 12.6.3(2)], [EC2-1-1 12.6.3(3)]. Elles permettent de tracer une courbe des contraintes de cisaillement admissibles aux ELU pour ces pièces peu armées, donnée ci-dessous. Dans la même figure a été ajouté la courbe donnant la contrainte limite donnée par l'annexe QQ pour les ELS, à titre de comparaison.
La contrainte de cisaillement limite ainsi obtenue est inférieure à la contrainte limite calculée selon les prescriptions de l'annexe QQ de l'Eurocode2 partie 2. Ce résultat est logique : le critère de l'annexe QQ traduit la non-fissuration sans coefficient de sécurité, tandis que les expressions (12.5) à (12.7) traduisent la résistance à l'effort tranchant de pièces non armées, avec une sécurité importante puisque la rupture correspondante est fragile. Par contre elle autorise, sans armature, des contraintes de cisaillement plus élevées que les expressions [EC2-1-1 Expr.(6.2a)] et [EC2-1-1 Expr (6.2b)] comme le montre la droite représentant 1,5VRd,c/bwd résultant de ces formules et calculée avec le ratio maximal d'aciers passifs.
6.00
5.00
4.00
tau admissible MPa
3.00
2.00
1.00
contrainte normale sigmaX MPa
0.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
tau adm EC2 pour fck= 35 MPa et sigmaY= 0 1.5 VRd,c/bwd selon 6.2a et 6.2b avec Asl/bwd =0.02
EC2 ELU Cisaillement admissible béton non armé Taucp=1.5VEd/Acc
Fig./Tab.1.(7) : Contrainte de cisaillement admissible aux ELU selon [EC2-1-1 12.6.3] comparé aux contraintes admissibles aux ELS de l'annexe QQ
1.5 - Eléments précontraints à une seule travée ne nécessitant pas d'armatures de tranchant
Ce cas est traité en [EC2-1-1 6.2.2(2)] et permet notamment de justifier les poutres préfabriquées précontraintes par pré-tension utilisées dans les structures de bâtiments. L'application des prescriptions données ne pose pas de difficulté particulière et le projeteur est invité à se reporter au texte de l'eurocode.
NRU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.6 - Cas particuliers permettant une augmentation de la résistance des bielles béton
1.6.1 - Armatures d'effort tranchant sollicitées à moins de 80% de fyk
La note 2 de la clause [EC2-1-1 6.2.3(3)] indique que dans le cas où les armatures d'effort tranchant sont soumises à une contrainte de calcul inférieure à 80% de leur limite d'élasticité fyk les valeurs suivantes de 1 peuvent être adoptées pour le calcul de la résistance des bielles : 1 = 0,6 1 =0,9 - fck /200 >0,5 si fck 60MPa si fck > 60MPa
Ceci revient à permettre une augmentation de la résistance des bielles si les aciers sont moins sollicités. En général la contrainte de calcul utilisée pour le dimensionnement des armatures est fyd = fyk/1,15 = 0,87 fyk. Si les aciers travaillent à s = 0,80 fyk la surconsommation d'aciers est d'environ 10% mais l'augmentation de résistance des bielles se fait dans le rapport de 1 / . Le tableau ci dessous montre que le gain de résistance des bielles peut être largement supérieur à la perte de résistance des aciers.
fck expression (6.6) 1 expression (6.10) rapport 1/ 25 0,540 0,600 1,111 30 0,528 0,600 1,136 35 0,516 0,600 1,163 40 0,504 0,600 1,190 50 0,480 0,600 1,250 60 0,456 0,600 1,316 70 0,432 0,550 1,273 80 0,408 0,500 1,225 90 0,384 0,450 1,172
Il montre également que cette règle est plus favorable pour les bétons de résistance moyennement élevée.
1.6.2 - Armatures de précontrainte droites et niveau de précontrainte élevé
L'Eurocode 2 réduit la valeur du tranchant résistant pour les éléments dont le béton est soumis à une compression moyenne supérieure à 0,5fcd [EC2-2 Expr.(6.11.cN)]. La partie 2 de l'Eurocode 2 prévoit en revanche de ne pas pénaliser les poutres soumises à une précontrainte droite, donnant une compression élevée si certaines conditions sont réunies [EC2-2 6.2.3(103) Note 4] : si les membrures sont capables de supporter la force de précontrainte totale, et si des blochets sont prévus à l'extrémité des poutres, l'effort de précontrainte peut être supposé réparti entre les membrures. Dans ce cas on peut prendre cw=1 au lieu de la valeur réduite prévue pour une compression supérieure à 0,5fcd.
Fig./Tab.1.(8) : Répartition de la précontrainte dans les membrures par les blocs d'about [EC2-2 Fig.6.101]
2 - Méthode bielles et tirants pour zone de discontinuité
Cette méthode a été conçue à l'origine pour adapter et étendre la méthode d'analyse utilisant le modèle du treillis au traitement des régions appelées de type D (D comme "disturbance", discontinuité) qui peuvent
NRV= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
comporter des discontinuités géométriques ou des perturbations dues à l'application de charges concentrées. Développée par l'école allemande et en particulier par Jörg Schlaich, la méthode a été retenue et présentée par le Comité Européen du Béton (CEB) dans son Code Modèle. L'Eurocode 2 n'en présente qu'un résumé au travers de ses clauses "Analyse avec modèle bielles et tirants" [EC2-1-1 5.6.4] et "Dimensionnement à l'aide de modèles bielles-tirants" [EC2-1-1 6.5]. Pour une utilisation correcte de la méthode le projeteur est vivement invité à consulter par exemple l'excellent rapport publié en anglais par le PCI JOURNAL de Mai-Juin 1987 sur le sujet avec pour titre "Toward a Consistent Design of Structural Concrete" et signé de Schlaich et al. Le présent guide ne rappelle que les quelques règles essentielles.
2.1 - Principe
Le principe en est le suivant : · choix d'un schéma de transmission des efforts qui permet de bâtir le modèle bielles-tirants assurant l'acheminement des efforts par des éléments droits (barres) et leur déviation au passage de noeuds ; · détermination des efforts statiquement équilibrés dans les bielles et les tirants ; · et enfin, dimensionnement et vérification des bielles, des tirants et des noeuds.
Fig./Tab.2.(1) : Schéma de principe d'un cas d'application de la méthode des bielles
2.2 - Dimensionnement des bielles, des tirants et des noeuds
2.2.1 - Résistance des bielles
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.2]. Deux cas sont distingués : celui où la bielle est comprimée ou non transversalement et celui où elle est soumise à une traction transversale, ce qui conduit à une réduction de sa résistance.
Fig./Tab.2.(2) : Résistance des bielles soumises et non-soumises à une traction transversale
Dans la figure de droite les flèches verticales représentent une contrainte de compression transversale éventuellement nulle.
NSM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les résistances des bielles à la compression sont ainsi : Rd,max = fcd Rd,max = 0,6 'fcd dans le cas de compression transversale. dans le cas de traction transversale. [EC2-1-1 Expr.(6.55)] [EC2-1-1 Expr.(6.56)] [EC2-1-1 Expr.(6.57N)]
avec ' = 1-fck/250
On peut rapprocher cette valeur de 0,6 ' de celle = 0,6(1-fck/250) où est le coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l'effort tranchant.
2.2.2 - Résistance des tirants
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.3]. Les résistances de calcul des tirants transversaux et des armatures de précontrainte observent les mêmes limites données par les règles générales [EC2-1-1 3.2 et 3.3]. En particulier, pour les armatures de béton armé il convient d'une part de les ancrer selon les principes de la section [EC2-1-1 Sect.8] et d'autre part de limiter leur contrainte à : fyd = fyk/S L'Eurocode 2 partie 1-1 conseille de ne pas concentrer les aciers de tirants dans leur position théorique de modèle mais de les répartir sur la zone d'épanouissement des contraintes [EC2-1-1 6.5.3(3)]. L'Eurocode 2 partie 1-1 rappelle ensuite les expressions des efforts de traction pour deux cas simples : a) pour le cas de régions de discontinuité partielle ( b H/2), [EC2-1-1 Fig.6.25a)], 1 b-a [EC2-1-1 Expr.(6.58)] F 4 b b) pour le cas de régions de discontinuité totale ( b > H/2), [EC2-1-1 Fig.6.25b)], T= T= 1 a 1 - 0,7 F 4 h [EC2-1-1 Expr.(6.59)]
B - Région sans discontinuité
D - Région de discontinuité a) discontinuité partielle b) discontinuité totale
Fig./Tab.2.(3) : Efforts transversaux de traction dans un champ de contrainte de compression avec armatures réparties [EC2 -1-1 Fig.6.25]
NSN= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
2.2.3 - Résistance des noeuds
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 6.5.4].
2.2.3.a) Limite de compression dans les noeuds types
Il est simplement rappelé ici les limites des contraintes de compression à observer pour les trois types de noeuds les plus couramment rencontrés : (1) Les noeuds soumis à compression sans aucun tirant ancré dans le noeud Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k1 'fcd avec k1= 1,0 valeur recommandée par l'Eurocode 2 partie 1-1 et l'annexe nationale ' = 1-fck/250 (rappel) L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k1 jusqu'à k1 = 1/ '
Fig./Tab.2.(4) : Noeud soumis à compression sans tirant [EC2-1-1 Fig.6.26]
(2) Les noeuds soumis à traction et compression avec tirants dans une direction Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k2 'fcd avec k2= 0,85 valeur recommandée par l'Eurocode 2 partie 1-1 et l'annexe nationale L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k2 jusqu'à k2 = 1,0
Fig./Tab.2.(5) : Noeud soumis à compression et à traction avec armatures dans une direction [EC2-1-1 Fig.6.27]
(3) Les noeuds soumis à traction et compression avec tirants dans deux directions Contrainte de compression maximale admissible : Rd,max = k3 'fcd avec k3= 0,75 valeur recommandée par l'EC2-1-1 et l'annexe nationale L'annexe nationale autorise sur justifications spéciales de porter k3 jusqu'à k3 = 0,9
Fig./Tab.2.(6) : Noeud soumis à compression et traction avec armatures dans deux directions [EC2-1-1 Fig.6.28]
NSO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.2.3.b) Majoration de la limite de compression pour conditions particulières
Pour certains noeuds les valeurs admissibles des contraintes de compression peuvent être majorées de 10 % si au moins une des conditions suivantes est vérifiée :
· · · · ·
une compression tri-axiale est assurée, tous les angles entres bielles et tirants sont 55°, les contraintes au droit des appuis ou des charges ponctuelles sont uniformes, et le noeud est confiné par des armatures transversales, les armatures sont disposées selon plusieurs cours, le noeud est confiné de manière fiable par une disposition particulière d'appui ou par frottement.
2.2.3.c) Cas de noeuds soumis à compression tri-axiale
Le cas particulier des noeuds soumis à une compression tri-axiale peut être traité comme celui du béton confiné [EC2 1-1 3.1.9] dont la résistance caractéristique peut être définie par les expressions : fck,c = fck (1,000 + 5,0 2/fck) fck,c = fck (1,125 + 2,50 2/fck) pour 2 0,05fck pour 2 > 0,05fck [EC2-1-1 Expr.(3.24)] [EC2-1-1 Expr.(3.25)]
où 2 est la contrainte de compression latérale due au confinement. La limite de compression est cependant plafonnée à la valeur Rd,max = k4 'fcd,c avec fcd,c=fck,c/C et k4= 3,0 valeur recommandée et acceptée par l'annexe nationale qui, de surcroît, autorise sur justifications spéciales d'augmenter k4 jusqu'à la valeur de k4 = 3/'.
3 - Diffusion de la précontrainte
3.1 - Règles proposées par l'Eurocode 2
Les principales règles concernant les zones d'introduction de la précontrainte se trouvent en [EC2 8.10.2] pour l'ancrage de la précontrainte par pré-tension et en [EC2 8.10.3] pour l'étude des zones d'ancrage de la précontrainte par post-tension. Ces règles sont complétées par d'autres règles disséminées dans différents chapitres ce qui ne facilite pas vraiment leur application. Le présent guide s'intéresse plus particulièrement à la justification des zones d'ancrage de la précontrainte par post-tension. Il rappelle et présente de façon plus ordonnée pour le projeteur les règles essentielles à utiliser pour l'étude de la diffusion de la précontrainte.
3.1.1 - Force de précontrainte
En premier lieu la force de précontrainte à utiliser pour l'étude, force appliquée à l'extrémité active à la mise en tension Pmax, est évoquée en [EC2-2 Anx.J.104.2]. Sa définition est donnée en [EC2-1-1 5.10.2.1(1)P] avec les recommandations d'usage pour éviter l'écrasement ou l'éclatement du béton. Pour l'étude de la diffusion, à traiter comme une vérification d'effets locaux [EC2-1-1 8.10.3(2)], cette force doit être pondérée par un coefficient P,unfav =1,2 [EC2-1-1 2.4.2.2(3)]. L'angle de diffusion de la force de précontrainte, qui prend effet à l'extrémité de l'organe d'ancrage, par simplification, peut être pris égal à 2 , avec = a tan 2 [EC2-1-1 8.10.3(5)]. 3
( )
NSP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
3.1.2 - Méthode de calcul
La méthode à utiliser est suggérée en [EC2-1-1 8.10.3(4)] : utilisation d'un modèle bielles-tirants ou d'autres modes de représentation appropriés pour évaluer les efforts de traction dus à des forces concentrées. Les armatures sont à disposer en les faisant travailler à leur résistance de calcul. Si la contrainte dans les armatures passives est limitée à 300Mpa pour leur dimensionnement, la vérification de l'ouverture des fissures n'est pas nécessaire [EC2-1-1 8.10.3(4)].
L'Eurocode 2 partie 2 propose une valeur de 250 MPa encore plus sécuritaire [EC2-2 8.10.3(104)]. Néanmoins il y a ici un mélange pas très heureux entre la maîtrise de la fissuration qui doit se faire aux ELS et le dimensionnement des armatures à faire aux ELU. Pour ne pas adopter une règle trop pénalisante, il est suggéré de retenir la valeur de 300 Mpa pour le dimensionnement et qu'on peut considérer comme obtenue à partir de la valeur 250 MPa aux ELS et majorée par le coefficient 1,2.
3.1.3 - Règles particulières
On trouve en [EC2-1-1 6.7] une règle fixant la contrainte limite à respecter dans le cas d'une charge uniformément répartie appliquée à la surface du béton. Cette règle n'est manifestement pas prévue pour des efforts concentrés importants comme ceux développés par des ancrages de précontrainte; en revanche elle peut être utilisée pour les zones sous appareils d'appui. La clause [EC2-2 Anx.J.104.2] a pour titre "zones d'ancrage des éléments précontraints par post-tension". C'est là, d'ailleurs, où l'utilisation de Pmax apparaît explicitement. En fait cette clause n'est qu'un complément pour préciser ce qu'il y a lieu de faire, juste derrière l'ancrage dans la zone appelée de première régularisation. Elle n'est pas destinée à traiter le problème de la diffusion dans sa totalité.
3.2 - Application des règles de l'Eurocode 2 au cas simple d'un seul ancrage
C'est l'application de la méthode bielles et tirants dont les principes ont déjà été présentés au paragraphe précédent [Chapitre10-2].
3.2.1 - Données
Soit une poutre en béton de section 0,5m × 1m à laquelle une force de précontrainte de Pmax = 1MN à la mise en tension, est appliquée. Caractéristique du béton à t 0 , date de mise en tension : f ck (t 0 ) = 30MPa Caractéristique du ferraillage passif, f yk = 500MPa soit f yd = f yk S = 500 = 435MPa 1,15
Compte tenu du facteur partiel P ,unfav = 1,2 , il en résulte une force de calcul : Pd = P,unfav × Pmax = 1,2MN
NSQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.2 - Choix d'un modèle bielles-tirants
Dans ce cas simple, le choix du modèle est facile, c'est celui qui est souvent utilisé pour illustrer la méthode. Il est rappelé dans la figure suivante [Fig./Tab.3.(1)] :
Fig./Tab.3.(1) : Méthode bielles et tirants
Les premiers noeuds sont placés directement derrière la plaque d'ancrage. L'effort est conventionnellement divisé en deux derrière l'ancrage et est diffusé grâce à deux bielles inclinées de 33,7° ( a tan 2 ). Une fois la 3 diffusion effectuée, l'effort est bien réparti dans la section avec une contrainte uniforme modélisée par deux bielles horizontales situées au quart inférieur et au quart supérieur de la section. Il est généralement admis que cette diffusion s'effectue de façon complète sur une longueur de l'ordre de la dimension transversale de l'élément. Cette longueur est déterminée par le choix de l'angle de diffusion qui donne, à son tour, la section d'armatures nécessaire.
( )
On peut noter que dans le modèle standard utilisé pour un effort concentré, l'angle de diffusion est aussi souvent adopté comme correspondant à 2 pour 1 (2 :1).
3.2.3 - Vérification des noeuds
3.2.3.a) Noeuds derrière la plaque d'ancrage
En arrière de la plaque d'ancrage la contrainte moyenne de compression vaut : = Pd/(a×a') = 1,2 / (0,150×0,150) = 53 MPa C'est la contrainte qui s'exerce sur les noeuds situés à cet endroit. Ces noeuds sont seulement soumis à des forces de compression. La contrainte maximale à vérifier est donc : f Rd,max = k1 ' fcd avec ' = 1 - ck et k 1 = 1 (valeur recommandée) [EC 2-1-1 6.5.4], soit 17,6 MPa. 250 Il est évident que ce critère ne peut jamais être vérifié. Seul un confinement du béton sous l'ancrage, obtenu au moyen de cadres fermés ou d'armatures adéquatement disposées, peut permettre de rehausser la résistance à la compression du béton pour résister à l'effort appliqué [EC2-1-1 3.1.9(2)]. Dans l'exemple étudié il faudrait rehausser la résistance à la compression à une valeur telle que
NSR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
fck,c/1,5 53 MPa, avec fck,c = fck × (1,125 + 2,5 2 / fck ) [EC2-1-1 Expr.(3.25)] avec toutefois une valeur plafond égale à Rd,max = k 4 ' fcd et k4 = 3 [EC2-1-1 6.5.4(6)] ; pour cela il faudrait donc disposer le frettage nécessaire pour obtenir une valeur de 2 permettant de satisfaire à la condition.
Dans la pratique le ferraillage sous ancrage prévu dans les ATE des différents procédés de précontrainte permet en principe d'atteindre cet objectif. En effet les procédés de précontrainte font l'objet d'un agrément technique européen (ATE). Ils subissent un certain nombre de tests pour démontrer leur capacité à reprendre la force exercée par le câble et à la transférer à la structure en béton (essais de transfert sur bloc d'about notamment). Au final, l'ATE d'un système de précontrainte précise les principales caractéristiques des ancrages, les usages possibles et il donne le ferraillage à disposer derrière l'ancrage ainsi que les entraxes et distances au bord à respecter pour assurer un bon transfert de charge au béton. Il précise également les résistances minimales du béton à atteindre avant la mise en tension. L'Eurocode 2 recommande bien évidemment de respecter les prescriptions de l'agrément technique européen.
L'Eurocode 2 partie 1-1 ne donne pas suffisamment de détails au projeteur pour faire le dimensionnement pratique de ce frettage. C'est pour pallier ce manque de méthode de calcul pratique de ce ferraillage que la clause [EC2-2 Anx.J.104.2] a été rajoutée dans la partie 2. Elle permet de prévoir, dans le volume défini comme étant le prisme de première régularisation, le ferraillage minimum nécessaire qui permet donc de passer de contraintes très élevées à des contraintes de l'ordre de 0,6 f ck (t 0 ) .
Le projeteur pourra aussi trouver une méthode plus détaillée dans le Code Modèle 90 [MC90 3.5] pour la détermination de ce ferraillage.
3.2.3.b) Noeuds après diffusion de l'effort de précontrainte
Dans les noeuds après diffusion de la précontrainte la contrainte moyenne de compression vaut : = Pd / (b×h) = 1,2 / 0,5×1 = 2,4 MPa Ces noeuds étant soumis à deux forces de compression et une force de traction, la contrainte à ne pas dépasser est cette fois-ci : f Rd,max = k 2 ' fcd avec ' = 1 - ck et k 2 = 0,85 (valeur recommandée) 250
Rd,max = k 2 ' fcd = 0,85 × 1 - 30 × 30 = 15 MPa soit une valeur largement supérieure à la contrainte 250 1,5 appliquée.
Les noeuds après diffusion peuvent être appelés "noeuds diffus" (pour "smeared nodes") dans la méthode bielles-tirants; ils sont généralement dispensés de la vérification du critère de compression limite du béton.
(
)
La vérification de tous les noeuds est donc bien assurée.
3.2.4 - Vérification des bielles
La contrainte régnant dans chacune des bielles juste après le prisme de première régularisation est de l'ordre de 0,6 fck( t 0 ) si le nécessaire a été fait pour qu'il en soit ainsi : respect des distances des plaques d'ancrage aux bords libres des pièces, dimensionnement du prisme de première régularisation, dimensionnement et disposition du ferraillage au droit de ce prisme (voir ci-après [Chapitre 10 -3.2.5.a)]). Cette contrainte va même diminuer à mesure qu'on se rapproche de l'autre extrémité de la bielle dont la section se rapproche de la moitié de la section de la poutre dans l'exemple traité.
NSS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
D'après la clause [EC2-1-1 6.5.2], dans le cas de bielles de béton dans une région où ne règnent pas de contraintes de traction transversale, la contrainte admissible est donnée par : Rd,max = fcd( t 0 ) = fck( t 0 ) = 0,66 fck( t 0 ) . Le critère portant sur les bielles est donc bien vérifié. 1,5
3.2.5 - Dimensionnement du ferraillage
3.2.5.a) Ferraillage dans le prisme de première régularisation (i) Prisme de première régularisation
Le prisme de première régularisation est défini par sa section rectangulaire c×c' et sa profondeur = 1,2 max(c ; c' ) [EC2-2 Anx.J.104.2(102)]. Les dimensions c et c' doivent être telles que : c × c' = Pmax , pour respecter, d'une part, une contrainte limite raisonnable 0,6 fck( t 0 )
et d'autre part, des critères de géométrie c 1,25 c × c' a a × a' et c' 1,25 c × c' a' a × a'
où a et a' sont les dimensions du plus petit rectangle comprenant la plaque d'ancrage.
L'idée est de passer de la plaque d'ancrage à un rectangle associé dont l'aire est choisie pour obtenir une contrainte moyenne égale à 0,6f ck ( t 0 ) . Les dimensions du rectangle peuvent être ensuite adaptées, pour des raisons d'encombrement, tout en gardant une aire constante. C'est ce qu'expriment les conditions géométriques vues précédemment. Les formules de l'Eurocode 2 permettent jusqu'à une variation de ±25% des dimensions du rectangle alors que les ATE autorisent seulement une variation de ±15%. Il est donc conseillé de remplacer le facteur 1,25 par 1,15 ou 1/0,85.
On notera que la contrainte moyenne de 0,6fck( t 0 ) conduit la plupart du temps à des dimensions plus sécuritaires que celles proposées dans les ATE. En prenant le cas simple d'un ancrage de précontrainte carré avec a = a ' , en choisissant c = c' et en n'utilisant pas les variations dimensionnelles autorisées, c est alors défini par la seule première condition (les deux dernières inéquations sont automatiquement vérifiées).
Cela donne c =
Pmax , soit dans l'exemple c = 0,236m et = 0,283m . 0,6 fck( t 0 )
(ii) Ferraillage
Comme déjà annoncé ci-dessus, le ferraillage à disposer dans le prisme de première régularisation qu'on vient de déterminer est en principe donné par les ATE des procédés de précontrainte. Sa section minimale peut être déduite du dimensionnement simple donné en [EC2-2 Anx.J.104.2(103)] : As = 0,15 Pmax , soit dans cet exemple A s = 4 cm 2 . f yd P,unfav
Ce ferraillage transversal doit traverser le prisme de première régularisation selon deux directions orthogonales et avoir dans chacune de ces directions la section minimale précédente. Les armatures seront en outre réparties sur toute la longueur du prisme.
NST= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Le ferraillage donné par l'ATE est souvent plus fort en quantité au minimum requis. Il est toutefois défini pour un ancrage isolé. Il convient d'adapter son façonnage aux dimensions réelles des éléments surtout dans le cas de plusieurs ancrages juxtaposés. Il convient aussi d'assurer une bonne couture du prisme au béton environnant de l'élément.
3.2.5.b) Ferraillage correspondant au tirant de la méthode bielles et tirants
P Considérant des bielles inclinées à a tan 2 , ceci donne une force dans le tirant de d × 2 = 0,4MN . 3 2 3 0,4 = 13,3 cm2 à placer en complément des aciers A s 300 précédemment définis sur la longueur du prisme de première régularisation [Fig./Tab.3.(1)]. Cela donne un ferraillage de diffusion A sd =
( )
3.2.5.c) Positionnement du ferraillage précédent
Ces informations ne sont pas données dans l'Eurocode 2. En principe il faut aller voir dans les documents traitant de façon détaillée la méthode bielles et tirants. Le bon sens permet néanmoins de penser que ces armatures devraient être réparties et avoir comme position moyenne celle du tirant du modèle, tout en respectant les règles de bonne construction.
3.2.6 - Conclusions sur les règles de l'Eurocode 2
Manifestement les règles proposées par l'Eurocode 2 pour traiter la diffusion de la précontrainte par posttension ne sont ni assez détaillées, ni complètes. On peut citer le problème important du cumul des armatures transversales de diffusion avec les armatures d'effort tranchant et de torsion qui n'est pas du tout évoqué. De plus la méthode bielles et tirants, si elle présente l'avantage d'obliger le projeteur à réfléchir à la manière dont les efforts se répartissent dans la zone de régularisation, elle met en revanche le projeteur en situation délicate face aux inconvénients ou lacunes qu'elle comporte. Déjà il doit se garder des schémas trop compliqués (un bon modèle de bielles et tirants est celui qui minimise le nombre de tirants), mais de toute façon la méthode peut devenir rapidement inextricable pour les cas plus complexes (3D notamment). Et c'est là son principal inconvénient : les cas un peu plus compliqués que l'exemple présenté demandent beaucoup d'expérience et un niveau d'expertise élevé de la part du projeteur pour être correctement traités. On cite souvent le conseil fait aux projeteurs de faire un modèle aux éléments finis pour obtenir l'inclinaison des bielles et vérifier que le schéma proposé est bien compatible avec les efforts en élastique.
3.3 - Méthode du guide Sétra "Diffusion des efforts concentrés"
Compte tenu des inconvénients soulignés précédemment, il faut signaler une deuxième méthode, encore appelée "méthode analytique", qui est à la base des pratiques antérieures et qui a le grand mérite de traiter le problème de la diffusion à partir d'une approche globale. Le lecteur est utilement renvoyé à la lecture du guide Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et à son erratum 2008 pour l'utilisation de la méthode. On peut juste sommairement rappeler que la diffusion est vérifiée selon deux directions orthogonales, correspondant en général aux axes principaux d'inertie de la section étudiée (bien souvent l'horizontale et la verticale) et que le calcul de diffusion de la précontrainte est réalisé dans deux zones :
· ·
une zone comprenant le voisinage immédiat de l'ancrage appelée prisme local ; une zone dite de régularisation incluant toute la section sur la longueur nécessaire à la régularisation des efforts.
La méthode est ensuite basée sur la vérification des contraintes de cisaillement dans des plans de coupures réalisées dans la pièce considérée.
NSU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4 - Calculs de plaques
Le calcul des plaques (hourdis et des âmes de ponts notamment) pose un certain nombre de questions récurrentes : Quelles valeurs de sollicitations prendre en compte ? Comment les cumuler entre elles ? Comment cumuler les aciers de flexion, d'effort tranchant, de diffusion ? Peut-on trouver un modèle de comportement global des plaques en béton armé fléchies et cisaillées ? Les paragraphes suivants détaillent les réponses qu'apporte l'Eurocode 2 à ces questions, ainsi que des compléments utiles pour celles qui ne sont pas traitées par l'Eurocode 2.
4.1 - Calcul des sollicitations
4.1.1 - Méthode d'analyse
Pour les ponts, le calcul des sollicitations dans les plaques se fait généralement par l'analyse élastique linéaire. L'Eurocode 2 partie 1-1 autorise d'autres méthodes (analyse élastique avec redistributions forfaitaires de moments, analyse plastique, analyse non-linéaire). Ces méthodes sont essentiellement utilisées en bâtiment, où les risques liés à la fissuration sont faibles. En ouvrage d'art, l'utilisation des analyses plastiques est déconseillée, sauf cas particulier. Les analyses avec redistributions forfaitaires sont possibles, sous réserve de bien contrôler la fissuration aux ELS.
4.1.2 - Valeur de calcul retenue pour le dimensionnement
L'Eurocode ne précise pas la valeur de moment à retenir pour le dimensionnement des plaques, notamment en cas d'application de charges concentrées : s'agit-il du moment de pointe résultant de l'analyse, ou peut-on retenir une valeur moyennée ? Conformément à la pratique française antérieure, il est loisible d'utiliser une valeur du moment moyennée sur une largeur égale à 2 fois l'épaisseur de la dalle (moyenne faite transversalement à la direction de l'effort considéré).
En pratique, pour les épaisseurs et les charges couramment utilisées en ouvrages d'art, la différence entre les deux calculs est minime. Les abaques de moment de flexion dans les hourdis de pont publiés par le Sétra ont pris en considération les moments de pointe.
4.1.3 - Cumul des sollicitations
Le modèle LM1 de l'Eurocode 1 partie 2 conduit à cumuler les effets globaux et locaux. Par exemple, dans un hourdis supérieur de pont caisson ou dans une dalle de pont mixte, au droit d'un appui intermédiaire, une traction d'ensemble liée au moment négatif créé par les charges UDL réparties sur la travée, et une flexion locale du hourdis créée par un tandem TS situé à proximité de la section peuvent exister simultanément. Deux solutions sont possibles :
· ·
traiter de façon exacte les concomitances de charges (notamment lorsqu'il n'est pas possible de dissocier effets globaux et effets locaux, par exemple pour les ponts-dalles), ou tenir compte de façon forfaitaire des concomitances, à partir des sollicitations extrêmes.
L'Eurocode 2 ne contient pas d'indications sur le cumul des efforts globaux et locaux. En revanche, l'annexe E de l'Eurocode 3 partie 2 donne un coefficient de combinaison fonction de la portée. Les règles de combinaison proposées dans cette annexe peuvent être utilisées pour traiter les cas de figure cités ci-dessus.
NSV= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Fig./Tab.4.(1) : Coefficient de combinaison dépendant de la portée [EC3-2 Fig.E.2]
4.2 - Problématique générale du calcul des plaques en béton
La figure ci-dessous, extraite de l'annexe LL de l'Eurocode 2 partie 2, représente l'ensemble des sollicitations pouvant agir sur un élément de dalle :
Fig./Tab.4.(2) : Ensemble des sollicitations pouvant agir sur un élément de dalle
· · · · · · · · ·
3 composantes d'effort de plaque nEdx , nEdy , nEdxy = nEdyx 3 composantes de flexion de plaque mEdx , mEdy , mEdxy = mEdyx 2 efforts de cisaillement transversaux vEdx , vEdy un effort nEdx longitudinal, créé par la flexion d'ensemble de la poutre dans le sens longitudinal, un effort nEdy, créé une précontrainte transversale éventuelle, des moments de flexion mEdx et mEdy créés par les charges TS appliquées sur le hourdis, un flux de cisaillement dans le plan de la plaque nEdxy, créé par la torsion d'ensemble de la poutre, des cisaillements transversaux vEdx et vEdy, créés par les charges TS appliquées sur le hourdis. un effort nEdx longitudinal, créé par la précontrainte d'ensemble de la poutre dans le sens longitudinal,
Dans le cas d'un hourdis de pont, il y a typiquement :
Dans le cas d'une âme d'un pont caisson, il y a typiquement :
NTM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
· ·
un moment de flexion mEdy créé par la flexion transversale (effet des charges TS appliquées sur le hourdis), un flux de cisaillement dans le plan de la plaque nEdxy, dû à la combinaison tranchant/torsion de la poutre.
Les autres composantes sont généralement faibles. L'Eurocode 2 permet de dimensionner les ferraillages nécessaires pour chacune de ces sollicitations prises individuellement, selon les règles présentées dans les chapitres précédents de ce guide. Se pose alors la question du cumul des ferraillages obtenus. L'Eurocode 2 traite ce problème de plusieurs façons : · · des règles forfaitaires de cumul pour certains cas particuliers (notamment, cumul des aciers de flexion avec les aciers de cisaillement dans le plan de la plaque), une méthode générale de justification d'une plaque sous un ensemble de sollicitations concomitantes.
Ces règles de cumul sont toutes formulées aux ELU.
4.3 - Règles forfaitaires de cumul de ferraillages
4.3.1 - Cumul aciers d'effort tranchant / torsion / aciers de diffusion
Le cumul des aciers d'effort tranchant et de torsion est traité au [Chapitre 6]. La quantité d'aciers résultant de ce cumul est notée Atranchant/torsion. L'Eurocode 2 ne donne pas de règle concernant le cumul de ces aciers Atranchant/torsion avec les aciers de diffusion. On note Acis la quantité d'aciers résultant de ce cumul. Deux approches sont envisageables :
·
Méthode 1 :
Dans ce cas les aciers de diffusion (notés Adiffusion) sont déterminés sans prendre en compte l'effort tranchant et la torsion.
Nota : ces aciers peuvent par exemple être obtenus en appliquant le guide du Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et son erratum de 2008 en considérant un effort tranchant nul et en retenant une inclinaison de bielle égale à 45°.
Pour cumuler ces aciers de diffusion d'une part aux aciers d'effort tranchant/torsion déterminés selon l'Eurocode 2 d'autre part, on peut par exemple reconduire les pratiques antérieures (voir le guide de conception du Sétra sur les ponts en béton précontraint construits par encorbellements successifs) : A cis A diffusion = max 1,5 A tranchant / torsion min A diffusion + A tranchant / torsion
Il est à noter que ces deux types d'aciers ne sont pas toujours déterminés avec les mêmes inclinaisons de bielles. Le tableau ci-dessous récapitule les inclinaisons de bielles envisageables qui varient selon les zones considérées.
Abouts Atranchant/torsion
(valeurs issues de l'Eurocode 2)
Âmes 21,8° < < 45° = 45°
Hourdis comprimés 26,5° < < 45° = 45°
Hourdis tendus 38,6° < < 45° = 45°
21,8° < < 45° = 45°
Adiffusion
(valeur recommandée)
NTN= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
·
Méthode 2 :
Dans ce cas l'étude de la diffusion est menée conformément au guide du Sétra "Diffusion des efforts concentrés" de novembre 2006 et à son erratum de 2008. Avec cette méthode, le cumul des aciers de diffusion d'une part et d'effort tranchant/torsion d'autre part est directement effectué à la source. On note cette quantité d'aciers Adiffusion-tranchant/torsion. Le guide recommande de prendre en compte le maximum des aciers Adiffusion-tranchant/torsion obtenus selon cette méthode d'une part et des aciers Atranchant/torsion obtenus selon l'Eurocode 2 d'autre part. Acis = max { Adiffusion-tranchant/torsion , Atranchant/torsion } De la même façon ces deux types d'aciers ne sont pas toujours déterminés avec les mêmes inclinaisons de bielles. Le tableau ci-dessous récapitule les angles de bielles envisageables qui varient selon les zones considérées.
Abouts Atranchant/torsion
(valeurs issues de l'Eurocode 2)
Âmes 21,8° < < 45° 26,5° < < 45°
Hourdis comprimés 26,5° < < 45° 26,5° < < 45°
Hourdis tendus 38,6° < < 45° 38,6° < < 45°
21,8° < < 45° = 45°
Adiffusion tranchant/torsion
(valeurs issues du guide Sétra)
4.3.2 - Cumul flexion / cisaillements transversaux
Application : dalle soumise à une combinaison flexion / effort tranchant hors de son plan. Cette règle de cumul a été développée dans le chapitre relatif aux justifications sur l'effort tranchant. Il s'agit de la règle bien connue de décalage des moments, qui consiste à calculer les armatures longitudinales à partir d'un moment décalé d'une longueur al dans la direction défavorable : · · al = d si la dalle ne nécessite pas d'aciers d'effort tranchant al = z × cot / 2 sinon, étant l'inclinaison des bielles d'effort tranchant.
4.3.3 - Cumul flexion / cisaillements dans le plan de la plaque
Ces règles sont données dans l'Eurocode 2 pour la couture d'un hourdis sur une âme en béton. Il est toutefois loisible de les appliquer de façon plus générale en tout point des âmes et des hourdis. Applications : · · couture d'un hourdis sur une âme en béton ou sur une âme métallique âme d'une poutre soumise à une combinaison effort tranchant / flexion transversale.
4.3.3.a) Règle de cumul des armatures
Les règles de cumul correspondantes sont données en [EC2-1-1 6.2.4]. La règle de cumul peut se résumer de la façon suivante : A = Max { Acis ; ½ Acis + Aflexion }, où Acis est la section d'aciers passifs nécessaire pour équilibrer les cisaillements maximaux d'effort tranchant/torsion et de diffusion [Chapitre 10 -4.3.1], Aflexion est la section d'aciers passifs nécessaire pour équilibrer le moment de flexion maximal. Cette formule est écrite pour illustrer le cas de la figure (6.7) de l'Eurocode 2 partie 1-1 (couture d'un hourdis sur une âme en béton), où l'on considère un seul moment de flexion tendant la fibre supérieure.
NTO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Dans le cas plus général où il existe deux moments de flexion de signes contraires, la répartition entre les deux nappes d'armatures doit respecter les règles suivantes : Asup + Ainf Max { Acis ; ½ Acis + Aflexion,sup ; ½ Acis + Aflexion,inf } où Aflexion,sup est la section d'aciers passifs en nappe supérieure nécessaire pour équilibrer le moment de flexion correspondant Aflexion,inf est la section d'aciers passifs en nappe inférieure nécessaire pour équilibrer le moment de flexion correspondant
En proposant cette règle de cumul, l'Eurocode 2 considère qu'il n'y a pas occurrence simultanée de la flexion maximale et du cisaillement maximal. Toutefois, l'Eurocode 2 néglige la participation du béton comprimé à la reprise des cisaillements, ce qui va dans le sens de la sécurité.
L'Eurocode 2 ne précise pas la façon de répartir les aciers de couture entre les deux faces. La répartition suivante peut par exemple être adoptée : Asup Acis / 4 + Aflexion,sup Ainf Acis / 4 + Aflexion,inf Asup + Ainf Acis D'autres répartitions sont toujours possibles, notamment pour l'évaluation d'ouvrages existants. Exemple 1 : Aflexion,sup = 20cm² Aflexion,inf = 0cm² Acis = 12cm² La section totale d'armatures doit dépasser max(12;20+12/2) = 26,0 cm², à ventiler entre les deux nappes. En adoptant la répartition conseillée, 23cm² seront placés en nappe supérieure et 3 cm² en nappe inférieure. Exemple 2 : Aflexion,sup = 5cm² Aflexion,inf = 5cm² Acis = 36cm² La section totale d'armatures doit dépasser max(36;5+36/2) = 36 cm², à ventiler entre les deux nappes en respectant un minimum de 14cm² en nappe supérieure et 14cm² en nappe inférieure. On mettra donc 18cm² par nappe.
4.3.3.b) Cas de dispense de cumul
Lorsque les cisaillements sont faibles, c'est-à-dire lorsque vEd < k × fctd [EC2-1-1 6.2.4(6)], seuls les aciers nécessaires vis-à-vis de la flexion seront à mettre en place. D'après l'annexe nationale [EC2-1-1/AN 6.2.4(6)] la valeur de k à utiliser vaut 0,50 en présence d'une surface verticale de reprise de bétonnage et 1,0 en l'absence de reprise de bétonnage.
4.3.3.c) Règles de cumul vis-à-vis de la compression dans le béton
L'Eurocode 2 partie 2 impose en [EC2-1-1 6.2.4(105)] une règle de cumul pour la compression dans le béton. Selon cette règle, lorsque le béton est mobilisé à sa résistance plastique pour équilibrer la flexion, il ne peut pas participer en plus à la résistance des bielles d'effort tranchant. Il convient donc de vérifier la compression dans les bielles à partir d'une hauteur de béton réduite, notée hf,red , où : hf,réd = hauteur dalle hauteur comprimée en flexion aux ELU
4.4 - Méthode générale de vérification d'une plaque
Les annexes F de l'Eurocode 2 partie 1-1 et LL de l'Eurocode 2 partie 2 présentent une méthode utilisable pour vérifier de façon générale la résistance aux ELU d'une plaque soumise à une combinaison quelconque de sollicitations concomitantes.
NTP= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
La méthode est directement applicable à une plaque munie d'un ferraillage orthogonal, et elle peut être généralisée moyennant quelques adaptations au cas d'une plaque avec ferraillage biais. Le principe général de cette vérification consiste à décomposer la plaque en 3 feuillets :
· ·
2 feuillets extérieurs, qui équilibrent les efforts de flexion et les cisaillements dans le plan de la plaque ; 1 feuillet intermédiaire, qui équilibre les cisaillements transversaux.
Les efforts de plaque sont décomposés sur ces 3 feuillets. Les 2 feuillets extérieurs travaillent alors en membrane, c'est-à-dire qu'ils ne sont soumis qu'à des efforts dans leurs plans, sans moments de flexion. L'articulation des différentes parties du texte de l'Eurocode 2 est la suivante :
· · ·
l'annexe F de l'Eurocode 2 partie 1-1 (modifiée par l'Eurocode 2 partie 2, et complétée par la clause 6.109) présente la justification d'une membrane en béton ; l'annexe LL de l'Eurocode 2 partie 2 présente la façon de décomposer les efforts sur les 3 feuillets, et la façon de justifier la plaque ; l'annexe MM de l'Eurocode 2 partie 2 est une application simplifiée de l'annexe LL au cas des âmes de poutres.
4.4.1 - Principe général de la vérification
La méthode proposée est itérative. Elle est beaucoup plus simple à expliquer et à appliquer pour une vérification, mais elle peut également être utilisée en dimensionnement. L'approche de vérification est présentée ci-dessous. La première étape est de savoir si la plaque est fissurée ou non. Pour cela, les contraintes sont calculées sur toute l'épaisseur de la plaque, en face supérieure, au milieu de la plaque et en face inférieure, en la supposant non fissurée. L'équation (LL.101) donne alors un critère permettant de déterminer si la plaque est fissurée ou non. Il s'agit d'un critère exprimé en fonction des contraintes principales, qui généralise à 3 dimensions les critères de fissuration par cisaillement/traction. Si la plaque n'est fissurée nulle part, il suffit de vérifier simplement que la plus grande contrainte principale de compression reste inférieure à fcd. Par la suite, la plaque sera supposée fissurée par application du critère précédent. On se donne les épaisseurs de feuillets, et le principe de la vérification est le suivant :
· ·
on décompose les efforts de plaque en efforts membranaires, on vérifie que chaque feuillet peut équilibrer les efforts auxquels il est soumis, en appliquant les règles de l'annexe F pour les feuillets externes, et les règles de l'annexe LL pour le feuillet intermédiaire.
S'il existe une combinaison d'épaisseurs de feuillets telle que la vérification de chacun d'eux soit satisfaite, la plaque est capable de résister aux efforts appliqués. Les modèles de justification des différents feuillets sont présentés ci-dessous :
· ·
feuillet intermédiaire (annexe LL), feuillets externes (modèle de membrane de l'annexe F).
L'ordre de cette présentation est dû au fait que les efforts dans les feuillets externes dépendent des choix faits pour justifier le feuillet intermédiaire.
4.4.2 - Vérification du feuillet intermédiaire
Le feuillet intermédiaire est une plaque soumise à deux efforts tranchants transversaux vEdx et vEdy. Ces deux efforts tranchants se combinent vectoriellement en un effort tranchant principal vEd0 de direction 0 [EC2-2 Anx.LL(109) Expr.(LL.121)] et [EC2-2 Anx.LL(109) Expr.(LL.122)].
NTQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
La justification est alors ramenée à celle d'une dalle soumise à un effort tranchant vEd0. Les règles applicables sont celles de la clause 6.2 de l'Eurocode 2, modifiée par l'annexe nationale pour les dalles. En premier la nécessité d'armatures d'effort tranchant est évaluée, en appliquant la formule (6.2a). Cette formule fait intervenir le taux d'armatures longitudinales dans le sens de la dalle. Ici, les armatures principales font un angle 0 avec la direction de l'effort tranchant, il est possible de démontrer que le taux de ferraillage à utiliser est donné par la formule (LL.123) : l = lx×cos²0 + ly×sin²0 = (Aslx/h) ×cos²0 + (Asly/h) ×sin²0 où Aslx est la section d'armatures par mètre linéaire dans la direction x, Asly est la section d'armatures par mètre linéaire dans la direction y. Si la formule (6.2a) est vérifiée, il n'est pas nécessaire de prévoir d'armatures d'effort tranchant. Sinon, le modèle du treillis développé en 6.2.3 pour dimensionner les aciers d'effort tranchant est appliqué et la direction des bielles est notamment choisie.
Dans la formule (6.2a), il convient de prendre en compte les aciers longitudinaux tendus situés dans les feuillets extérieurs.
Il en résulte alors un effort longitudinal complémentaire vEd0×cot dans la plaque, qui sera réparti par moitié sur les deux feuillets extérieurs. Cet effort est orienté suivant la direction 0. Sa projection selon les directions x et y donne les équations (LL.124) à (LL.127). Par exemple, pour l'effort complémentaire dans la direction x : nEdxc = (vEd0×cot)×cos²0 = (vEd0×cot)× (vEdx/vEd0)² = vEdx²/vEd0×cot [EC2-2 Anx.LL Expr.(LL.126)]
4.4.3 - Modèle de membrane
Les feuillets extérieurs sont vérifiés en utilisant le modèle de membrane développé à l'annexe F, complété par la clause [EC2-2 6.8.7 Expr.(6.109)]. L'application de cette annexe ne pose pas de difficulté particulière. Le projeteur est renvoyé au texte. Le principe de la justification consiste à superposer deux modèles de façon indépendante :
· ·
les tractions membranaires sont reprises par les aciers passifs, les cisaillements sont équilibrés par un système de bielles/tirants ; la compression dans les bielles est vérifiée en tenant compte de la compression générale à l'aide d'un critère d'interaction (6.109), et les tractions développées par les bielles sont ajoutées aux efforts dans les armatures.
La figure ci-dessous montre le critère d'interaction (6.109) pour une membrane bi-comprimée, et le compare avec le critère plus simple de l'annexe F de l'Eurocode 2 partie 1-1 ( < fcd).
NTR= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
Fig./Tab.4.(3) : Domaine de résistance pour une membrane bi-comprimée
L'application de ce modèle montre que même une dalle tendue dans les deux directions peut équilibrer des efforts de cisaillement. Autrement dit, il n'y a pas d'interaction entre la résistance au cisaillement dans le plan de la dalle et la traction. Le modèle proposé permet en théorie de choisir une orientation des bielles complètement libre, ce qui supposerait un béton parfaitement plastique. En pratique, l'orientation des bielles est conditionnée par le comportement de la membrane aux ELS. Un grand écart par rapport à ce comportement risque de provoquer des fissures inacceptables. Pour cela, l'annexe F prévoit une limitation donnée à la fin de la clause [EC2-2 Anx.F.1(104)].
4.4.4 - Décomposition des efforts sur les membranes
On a vu dans les paragraphes précédents comment justifier les différents feuillets. Il reste à présenter la façon dont les efforts de plaque sont décomposés en efforts membranaires. Les formules sont données par les équations (LL.137) à (LL.148). Le principe général consiste à exprimer l'équivalence en effort et en moment entre les sollicitations de plaque et les sollicitations de membranes. Par exemple, avec les notations et conventions de signe de l'annexe LL, pour la décomposition des efforts nEdx et mEdx appliqués sur la face de normale x en deux efforts membranaires nEdxs et nEdxi, les équations d'équilibre s'écrivent : nEdxs+nEdxi = nEdx ys×nEdxs - yi×nEdxi = mEdx Les équations (LL.137) et (LL.138) s'en déduisent simplement. Si la plaque est fissurée vis-à-vis des efforts transversaux, il convient d'ajouter aux deux équations précédentes les compléments d'efforts longitudinaux donnés par (LL.126). Les expressions (LL.143) et (LL.144) s'en déduisent. Enfin, un traitement particulier doit être accordé au cas (fréquent) où les nappes d'aciers sont excentrées par rapport aux membranes extérieures. C'est l'objet des équations (LL.149) et (LL.150), qui permettent de corriger les efforts membranaires pour tenir compte de cet excentrement.
NTS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.4.5 - Résumé
En résumé, le processus complet de justification d'une plaque fissurée est le suivant : · choix des épaisseurs de feuillets (2 paramètres), · choix éventuel de si la plaque est fissurée à l'effort tranchant transversal (1 paramètre), · pour chaque membrane, choix de l'inclinaison des bielles d'effort tranchant longitudinal (2 paramètres). S'il existe une combinaison de ces 5 paramètres telle que les contraintes dans le béton et les aciers dans les 3 feuillets soient satisfaites, alors la plaque est justifiée.
4.5 - Conclusion
La méthode proposée par l'Eurocode 2, encore appelée "méthode sandwich", est une méthode générale qui semble satisfaisante d'un point de vue théorique, mais dont la mise en oeuvre est consommatrice en calculs. Dans les cas courants, lorsque c'est possible les règles de cumul forfaitaires telles que présentées plus haut seront à privilégier. Dans les cas plus complexes, pour des plaques soumises à des sollicitations multiples, la méthode de l'annexe LL peut apporter une réponse globale et cohérente à la question du dimensionnement des plaques en béton, et permettre une optimisation des quantités d'aciers passifs.
5 - Fondations
L'Eurocode 2 aborde les fondations dans un certain nombre de ses clauses, de manière dispersée selon le thème traité, mais aussi de manière incomplète car il renvoie naturellement pour tout problème d'interaction des structures avec les terrains, à l'Eurocode 7 "Calcul géotechnique" qui comprend deux parties : la partie 1 "Règles générales" et la partie 2 "Reconnaissance des terrains et essais géotechniques". Il a été admis toutefois, au niveau du CEN, que l'Eurocode 7 soit consacré principalement aux règles fondamentales du calcul géotechnique et nécessite des compléments à apporter par d'autres normes nationales. C'est pourquoi, l'annexe nationale à l'Eurocode 7 partie 1 précise que son application sur le territoire français s'appuie sur des normes nationales complémentaires dont les principales, pour les fondations, sont : · la norme NF P 94 261 pour les "Fondations superficielles", · et la norme NF P 94 262 pour les "Fondations sur pieux". Il s'agit cependant de normes encore en cours d'élaboration, à la date de rédaction du présent guide, et dans l'attente de leur parution, le projeteur pourra utilement se reporter aux dispositions du Fascicule 62 Titre V du CCTG, pour ce qui concerne notamment les conditions de prise en compte de l'interaction sol-structure (utiles notamment pour les justifications de résistance structurale STR et la justification géotechnique des fondations GEO [EC0 6.4.1]). En effet, ces dispositions, compatibles avec l'annexe nationale à l'Eurocode 7 partie 1, seront reprises pour l'essentiel par les normes nationales complémentaires en préparation. Il apparaît ainsi utile de rappeler ce que l'Eurocode 2 apporte au projeteur pour les fondations de ses projets de ponts. Il faut partir du principe général selon lequel la justification d'une structure en béton relève de l'Eurocode 2 (STR) : une semelle de fondation, voire un pieu, se calculera donc normalement avec les méthodes et règles de l'Eurocode 2 une fois que les effets de l'interaction sol-structure auront été bien pris en compte. A l'inverse toutes les informations utiles découlant de l'exécution des ouvrages géotechniques sont à rechercher dans les documents appropriés. Cela est le cas, par exemple, de la valeur limite de compression dans le béton d'un pieu foré, définie par un coefficient partiel spécifique [EC2-1-1 2.4.2.5]. L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 précise alors au projeteur qu'il faut se reporter à la norme NF EN 1536 traitant des pieux forés [EC2-1-1/AN 3.1.2(2)P]. Ce principe est d'application générale concernant les fondations pour éviter tout risque d'incohérence ; d'ailleurs, ce risque est faible, puisqu'en principe, l'élaboration des normes complémentaires spécifiques tient compte de l'existence des eurocodes.
NTT= Chapitre 10 - Prescriptions et justifications particulières
NTU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Annexes
Annexe I Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
Les applications numériques données dans ce guide sont basées sur les calculs de deux exemples d'ouvrage : un pont construit par encorbellements successifs et un PSIDP.
1. Données communes
Les ouvrages proposés sont supposés supporter 2 × 2 voies à trafic normal et sont à tabliers dédoublés. Le profil en travers de chaque tablier a une largeur totale de 12,30 m et se décompose en éléments suivants :
· · · · ·
une glissière de type GS2 de 0,50 m d'encombrement une bande dérasée gauche de 1,00 m d'encombrement deux voies de 3,50 m d'encombrement une bande d'arrêt d'urgence de 3,00 m d'encombrement une barrière de type BN4 de 0,80 m d'encombrement.
2. Exemple du pont construit par encorbellements successifs
Il s'agit d'un ouvrage en béton précontraint construit par encorbellements successifs à 3 travées de 65 m 100 m 65 m, constitué d'un mono-caisson à âmes inclinées de hauteur variable de 2,665 m à 5,90 m (sur 45 m) et de 12,30 m de large.
NUM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. I (1) : Exemple du pont construit par encorbellements successifs - coupe transversale et longitudinale
Le découpage en voussoirs conduit à un VSP de 8,00 m de long, 13 voussoirs courants de 3,46 m de long, un voussoir de clavage de 2,04 m de long en travée centrale et une partie coulée sur cintre de 16,02 m en travées de rive. Les principales caractéristiques des sections sur pile et à la clé sont : - sur pile h = 5,90 m ; Ac = 9,50 m² ; Ic = 52,73 m4 ; v = 2,60 m - à la clé h = 2,665 m ; Ac = 6,299 m² ; Ic = 6,477 m4 ; v = 0,925 m Le béton du tablier est du C60/75 dont les caractéristiques principales sont : - fck = 60 MPa ; fcm = 68 MPa ; fctm = 4,4 MPa - Ecm = 39 GPa Le câblage est constitué :
·
de câbles de fléau 12T15S à raison d'une paire par voussoir courant soit 13 paires de câbles au total : - posés en deux lits (9 + 4 paires de câbles dont les axes sont situés à 0,13 m et 0,22 m de la fibre supérieure) et ancrés sur la tranche des voussoirs à 0,40 m de la fibre supérieure,
NUN= Annexe I - Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
- leurs caractéristiques principales sont : Ep = 195 GPa ; fpk = 1860 MPa ; fp0,1k = 1637 MPa ; gaine = 0,09 m ; 1000 = 2,5 ; recul d'ancrage de 6 mm ; coefficient de frottement = 0,19 ; déviations angulaires parasites k = 0,01,
·
de câbles de continuité intérieure 12T15S à raison de 2 paires en travées de rive et 3 en travée centrale : - posés en un lit (dont l'axe est situé à 0,13 m de la fibre inférieure), de la culée aux voussoirs V8 et V9 pour la travée de rive et entre les voussoirs V7 V8 et V9 pour la travée centrale (ancrés en bossage à 0,43 m de la fibre inférieure) , - leurs caractéristiques principales sont identiques à celles des câbles de fléau, de câbles de continuité extérieure 19T15S régnant sur 2 travées à raison de 2 paires en travées de rive et 4 en travée centrale : - posés en un lit (dont l'axe est situé à 0,32 m de la fibre inférieure à la clé et à 0,28 m de la fibre supérieure sur pile) et ancrés au droit des voussoirs sur pile, - leurs caractéristiques principales sont identiques à celles des câbles de fléau.
·
Les armatures passives sont de type B500B pour tous les aciers. - fyk = 500 MPa - fykw = 500 MPa Les appuis de cet ouvrage sont constitués de deux piles de 32 m et 21 m de hauteur, fondées sur 6 pieux de diamètre 1,60 m. Les fûts de piles sont rectangulaires, de 2,30 m dans le sens longitudinal de l'ouvrage sur 4,60 m dans le sens transversal, et en béton C30/35.
3. Exemple du PSIDP
Il s'agit d'un ouvrage de type PSIDP à 3 travées de 17,50 m 27,00 m 17,50 m, constitué d'une dalle à larges encorbellements de 0,90 m de hauteur et de 12,30m de large. Le béton constitutif du tablier est du C35/45 avec comme caractéristiques : - fck = 35 MPa ; fcm = 43 MPa ; fctm = 3,2 MPa - Ecm = 34 GPa
Fig./Tab. An. I (2) : Exemple du PSIDP coupe transversale et longitudinale
NUO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les caractéristiques mécaniques de la section brute sont : - hauteur : h = 0,900 m - section : S = 8,01 m2 - inertie : I = 0,535 m4 v =0,386 m - distance cdg/fs : v' =0,514 m - distance cdg/fi : Les armatures passives sont de type B500B pour tous les aciers. fyk = 500 MPa La câblage est constitué de 20 câbles 12T15S régnant sur les 3 travées. Ces câbles ont les mêmes caractéristiques que ceux du pont construit par encorbellements. Leur tracé est conforme au schéma suivant :
Fig./Tab. An. I (3) : Exemple du PSIDP : tracé du câblage type
Pour les besoins d'illustration de certains calculs (fatigue, maîtrise de la fissuration en particulier), le même ouvrage est dimensionné avec une précontrainte partielle. Le nombre de câbles est réduit à 15 câbles 12T15S. Leurs excentricités sur pile et en travée de rive sont alors modifiées pour être conformes au schéma suivant :
Fig./Tab. An. I (4) : Exemple du PSIDP à précontrainte partielle : tracé du câblage
NUP= Annexe I - Les ouvrages utilisés pour les applications numériques
Annexe II Imperfections géométriques
1. Exemple de l'arc articulé
Les clauses correspondantes sont en [EC2-2 5.2(105)] et [EC2-2 5.2(106)].
1.1. Données
Caractéristiques principales de l'arc
C = 201,0m F = 33,5m R= Longueur de corde Flèche pour un rapport C =6 F
C2 F 2012 33,5 + = + = 167,5m Rayon de l'arc 8F 2 8 × 33,5 2
F 33,50 = 2 arccos1 - = 2 arccos1 - = 1,287 rd Angle de l'arc R 167,50 A = R × = 167,5 × 1,287 = 215,57 m Longueur de l'arc
Caractéristiques de la section constante
b = 8,00 m Largeur h = 3,00 m Hauteur fck = 30MPa Résistance caractéristique du béton
1.2. Formes des imperfections géométriques
Fig./Tab. An. II (1) : Premiers modes de flambement de l'arc (Résultats du logiciel PCP du Sétra)
NUQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. II (2) : Formes des imperfections géométriques de l'arc dans le plan vertical et dans le plan horizontal
1.3. Valeurs des imperfections géométriques dans le plan vertical
l = 0 × h = 2 1 1 2 = 0,0009632 rd = min 200 min 200 L 215,573 / 2
L a = l = 0,0009632 × 2 s a i = a sin i l 0
215,573 2
2 = 0,0512 m
amplitude maximale du profil sinusoïdal
si = 0,0512 × sin 215,573 2
amplitude des deux ondes à l'abscisse curviligne si
1.4. Valeurs des imperfections géométriques dans le plan horizontal
l = 0 h = a = l 2 1 1 2 = 0,00068109 rd = min 200 min 200 L 215,573
215,573 L = 0,00068109 × = 0,074 m amplitude maximale du profil sinusoïdal 2 2 si = 0,074 × sin amplitude de l'onde à l'abscisse curviligne si 215,573
s a i = a sin i l 0
NUR= Annexe II - Imperfections géométriques
2. Exemple d'une pile
Inclinaisons globales pour imperfections géométriques i = 0 h = en têtes de piles :
·
2 1 min ; 1 et excentricités dérivées 200 L
Pour L=25 m i = 0,00200 rd soit e i = 25,0 × 0,002 = 0,05m (> e 0 = 0,02m ) [EC2-1-1 6.1(4)]
·
Pour L=45 m i = 0,00149 rd soit e i = 45 × 0,00149 = 0,067 m (> e 0 = 0,02m
)
[EC2-1-1 6.1(4)]
NUS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Annexe III Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Les applications numériques présentées ci-après sont relatives à une seule section transversale située pratiquement à la clé de la travée centrale du pont construit par encorbellements successifs, appelée Section S(l/2) et dont la coupe transversale est schématisée ci-dessous :
SECTIONS DE CONTRAINTES GENERALISEES S2 S1
A2 A1 (cdg) A3 I1
Fig./Tab. An. III (1) : Coupe transversale du caisson
Bien entendu dans le cadre d'une étude d'exécution, les justifications vis-à-vis du cisaillement doivent être établies dans de nombreuses sections transversales. Dans chaque section transversale, les deux âmes doivent être étudiées si les efforts ne sont pas symétriques. Différentes coupures locales doivent également être considérées telles que les coupures au droit des goussets (par exemple A2, S1 et S2 de la figure).
Pour l'illustration des applications numériques qui vont suivre les seules coupures considérées sont A1, A3 et I1, justifiées vis-à-vis des cisaillements de tranchant et de torsion dus aux efforts généraux, sans tenir compte des efforts de flexion transversale ou de diffusion éventuels, qui, normalement, doivent être analysés par ailleurs.
NUT= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
1. Données et résultats principaux
1.1. Caractéristiques de la section du caisson à mi-travée
Les caractéristiques géométriques et mécaniques sont données dans le tableau suivant :
Caractéristiques géométriques et mécaniques hauteur caisson largeur du hourdis supérieur largeur extérieure du hourdis inférieur (mi-épaisseur) épaisseur hourdis supérieur épaisseur hourdis inférieur hauteur mi-hourdis supérieur section de la barre Sx section réduite d'axe z Sz inertie de torsion d'axe x Ix inertie d'axe y Iy inertie d'axe z Iz distance cdg bord caisson côté y>0 distance cdg bord caisson côté y<0 distance cdg fibre supérieure distance cdg fibre inférieure rayon de courbure en élévation du hourdis inférieur coefficient de cisaillement pour une âme = S/(I.bw) coefficient de cisaillement vis-à-vis de la torsion Mx aire intérieure au feuillet moyen des parois Ak hauteur utile selon l'inclinaison d'âme (prise égale à 0.9h /cos8,6°) d= longueur d'âme (calcul de sollicitation tangente due à la torsion) = (h - demi-somme des hourdis)/(cos angle inclinaison de l'âme) = zi inclinaison de l'âme par rapport à la verticale largeur droite d'une âme t épaisseur horizontale d'une âme bw Fig./Tab. An. III (2) : Caractéristiques de S(1/2) Section S(l/2) 2,665 12,30 5,564 0,250 0,222 2,540 6,299 1,725 11,82 6,477 60,19 3,132 3,132 0,925 1,739 368,18 0,700 0,115 13,579 2,398/cos8,6° 2,457 8,600 0,320 0,324 Unité m m m m m m m2 m2 m4 m4 m4 m m m m m m-² m-2/m m2 m m degré m m
Ce tableau appelle les commentaires suivants :
· ·
l'aire Ak est approchée en prenant la section du trapèze passant par la mi-épaisseur des hourdis et la miépaisseur des âmes. L'influence des encorbellements dans la résistance à la torsion est ainsi négligée ; la longueur de la paroi de torsion considérée est celle des âmes. Il s'agit de la longueur biaise tenant compte de l'inclinaison des âmes comprise entre les fibres moyennes des hourdis.
NUU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.2. Caractéristiques des matériaux
Elles sont rappelées dans le tableau suivant :
Caractéristiques des matériaux inclinaison aciers de cisaillement par rapport à la fibre moyenne = résistance caractéristique du béton sur cylindre fck= résistance caractéristique des aciers de cisaillement fykw= résistance caractéristique des aciers longitudinaux fyk= coefficient partiel sur la résistance du béton C = coefficient partiel sur la résistance des aciers S = coeff cc valeur recommandée coeff ct valeur recommandée [EC2-1-1 3.1.6 et EC2-1-1/AN 3.1.6] [EC2-1-1 3.1.6 et EC2-1-1/AN 3.1.6] Valeur 90 60 500 500 1,5 1,15 1,0 1,0 40,0 4,35 2,03 435 435 MPa MPa MPa MPa MPa Unité degré MPa MPa MPa
résistance de calcul à la compression du béton fcd= cc×fck/C résistance moyenne à la traction du béton fctm [EC2-1-1 Tab.3.1] contrainte de traction de calcul du béton fctd=ct×fctk 0,05/C= contrainte de traction de calcul de l'acier d'âme fywd= fykw/S contrainte de traction de calcul de l'acier longitudinal fyd=fyk/S Fig./Tab. An. III (3) : Caractéristiques des matériaux
Les aciers de cisaillement sont normaux à la fibre moyenne de l'ouvrage du fait de la nécessité de reprise des efforts de torsion [EC2-1-1 9.2.3].
2. Résultats du calcul de flexion générale
Le calcul d'ensemble de l'ouvrage a été mené en utilisant le logiciel ST1 du Sétra, en tenant compte des phases de construction et des charges de l'Eurocode 1. Les extraits de résultats utiles aux différentes justifications et rappelés ci-après sont issus des enveloppes des efforts aux ELS et aux ELU et correspondent à la situation de l'ouvrage en service, au temps infini après toutes pertes de précontrainte effectuées. Les résultats sont déterminés pour deux cas de concomitance des sollicitations :
· ·
moments de flexion My extrêmes et autres sollicitations concomitantes, contraintes de cisaillement extrêmes au niveau du centre de gravité (section A1) et autres sollicitations concomitantes. l'effet Résal dû à l'inclinaison des hourdis, l'effet de la précontrainte, l'effet de la torsion.
Dans les résultats, les contraintes de cisaillement tiennent compte de :
· · ·
NUV= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
2.1. Résultats sous combinaison caractéristique
Sections Effort extrême considéré Effort normal (MN) Effort tranchant réduit Tz (MN) Effort tranchant réduit avec effet Résal (MN) = VEd Moment de torsion Mx (MN.m) = TEd Moment de flexion My (MN.m) Contrainte normale fibre supérieure (MPa) Contrainte normale fibre inférieure (MPa) Contrainte normale au centre de gravité (MPa) Contrainte de cisaillement au CDG (A1) (MPa) Contrainte de cisaillement au bas de l'âme (A3) (MPa) Contrainte normale au bas de l'âme (MPa) Contrainte de cisaillement en hourdis inf (I1) (MPa) Section S(l/2) Cisaillement maximum 42,701 -2,116 -2,175 -1,306 18,543 9,429 1,800 6,779 -1,672 -1,377 3,007 -1,288 Section S(l/2) Moment maximum 40,200 -1,128 -1,205 0,280 32,443 11,018 -2,330 6,382 -0,811 -0,648 -0,217 -0,547
2.2. Résultats à l'ELU de résistance
Sections Effort extrême considéré Effort normal (MN) Effort tranchant Tz (MN) Effort tranchant avec effet Résal (MN) = VEd Moment de torsion Mx (MN.m) = TEd Moment de flexion My (MN.m) Contrainte normale fibre supérieure (MPa) Contrainte normale fibre inférieure (MPa) Contrainte normale au centre de gravité (MPa) Contrainte de cisaillement au CDG (A1) (MPa) Contrainte de cisaillement au bas de l'âme (A3) (MPa) Contrainte normale au bas de l'âme (MPa) Contrainte de cisaillement en hourdis inf (I1) (MPa) Contrainte normale moyenne hourdis inf (MPa) Section S(l/2) Cisaillement maximum 42,917 -2,856 -2,942 -1,763 36,647 12,050 -3,028 6,813 -2,261 -1,862 -0,641 -1,741 -2,400 Section S(l/2) Moment maximum 42,914 -1,383 -1,493 0,202 53,081 14,397 -7,441 6,813 -1,021 -0,819 -3,985 -0,702 -6,532
On peut noter que l'effet Résal ne réduit pas la valeur de l'effort tranchant dans ce cas. Ceci est dû au fait que le hourdis supérieur de largeur importante est fortement comprimé alors que le hourdis inférieur l'est peu, voire tendu. La prise en compte de l'effet Résal n'est donc pas forcément favorable s'il a été calculé avec soin, en tenant compte de l'inclinaison des deux hourdis sur la fibre neutre.
NVM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3. Justifications vis-à-vis des sollicitations tangentes à l'ELU de résistance
Ces justifications traitées en [Chapitre 6-2] et [Chapitre 6-3] sont illustrées ici par la vérification des âmes de la section S(1/2), complété par l'étude des deux coupures I1 et A3.
Dans l'exemple étudié, on a affaire à un caisson à âmes inclinées. La détermination des efforts tranchants provenant de la torsion et qui sollicitent les âmes s'effectue en prenant en compte les longueurs biaises des âmes. L'effort tranchant résistant des âmes se détermine avec le bras de levier du couple élastique de l'âme selon le biais. La prise en compte de l'effort tranchant, pour être cohérent avec celui provenant de la torsion, doit considérer l'effort tranchant projeté suivant l'âme.
3.1. Résistance des âmes sans armatures d'effort tranchant autres que la section minimale
Il s'agit de vérifier si l'effort tranchant résistant des âmes dépourvues d'armatures transversales est suffisant. On suppose dans ce cas le ratio l nul et l'expression suivante est à vérifier [Chapitre 6-2.2.1] : VRd,c (vmin + k1 cp) bw d vmin étant défini par 0,053/C k3/2 × fck1/2 k1 = 0,15 ( valeur recommandée, adoptée par l'annexe nationale) fck = 60 MPa [EC2-1-1 Expr.(6.2b)].
cp = 6,813 MPa = contrainte normale moyenne compte tenu de la précontrainte
vmin = 0,053/C k3/2 × fck1/2 = 0,053/1,5×1,2893/2 × fck1/2 = 0,4004 (ces valeurs sont celles de l'annexe nationale pour les poutres) VRd,c = (vmin + k1 × cp) bw d = (0,4004+0,15 × 6,813) × 0,32 × 2,398/cos8,6° = 1,10 MN par âme d étant pris selon le biais de l'âme L'effort résistant par âme vaut 1,10 MN pour un effort sollicitant par âme de VEd = 2,942/2/cos8,6° = 1,49 MN. La section S(l/2) ne peut donc être justifiée avec la section minimale d'armatures. Il faut donc prévoir et dimensionner des armatures cisaillement en conséquence.
A titre indicatif si la résistance de la section calculée sans armatures avait été suffisante, la justification de la section se serait terminé par la détermination du minimum d'armatures d'âmes à mettre en place. Cette section minimale est donnée par les expressions [EC2-1-1 Expr.(9.4)] et [EC2-1-1 Expr.(9.5)].
w = Asw / (s × bw × sin ) et w > w,min avec w,min = (0,08 f ck ) / f yk fck = 60 MPa et fyk = 500 MPa, w,min = 0,00124, bw = 0,32 m et sin = 1 (aciers verticaux) Asw / s = 4 cm²/m et par âme
3.2. Vérification des âmes quand des armatures d'effort tranchant sont nécessaires
La Section S(l/2) doit être vérifiée sous la combinaison des efforts de tranchant et de torsion. La vérification se fait en application des expressions [EC2-1-1 Expr.(6.13)], [EC2-1-1 Expr.(6.14)] et [EC2-1-1 Expr.(6.15)] pour l'effort tranchant et [EC2-2 6.3.2(104)] pour la torsion dans le cas d'un caisson.
NVN= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.2.a) Vérification de la compression des bielles (i) Sollicitation de tranchant
VEd,i (V) = 2,942/2/cos8,6° = 1,49 MN
(ii) Sollicitation tangente de torsion
La sollicitation tangente de torsion dans une âme est donnée par : VEd,i (T) = TEd × zi /2Ak avec Ak = 13,579 m², TEd = 1,763 MN.m et zi = 2,457 m (longueur biaise de l'âme) VEd,i (T) = 0,159 MN
(iii) Effort tranchant résistant
VRd,max = cw b w z 1 f cd (cot + cot)/(1 + cot 2 ) [EC2-1-1 Expr.(6.14)]
La valeur recommandée de cw, validée par l'annexe nationale est la suivante : 1 (1 + cp/fcd) 1,25 pour les structures non précontraintes pour 0 < cp 0,25 fcd pour 0,25 fcd < cp 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.11.aN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.bN)] [EC2-1-1 Expr.(6.11.cN)]
2,5 (1 - cp/fcd) pour 0,5 fcd < cp < 1,0 fcd
Avec cp = 6,813 MPa et fcd = 40 MPa, cp/fcd = 0,170 d'où cw =1,170 Une valeur maximale de cot conduit à minimiser la section d'aciers verticaux et à augmenter la contrainte de compression des bielles. cot = 2,5 est choisi comme base de départ de la vérification. Les âmes sont soumises à la fois à du cisaillement et à de la flexion transversale. Dans ce cas la vérification de la condition de non écrasement du béton doit se faire en réduisant l'épaisseur de béton de la zone comprimée en flexion [Chapitre 10 -4.3.3]. Un calcul parallèle de flexion a conduit à évaluer la zone comprimée en flexion (zone strictement nécessaire) à 2 cm, valeur à déduire de la largeur de l'âme. D'où bw= 0,32-0,02 m =0,30 m largeur nette de l'âme z = bras de levier du couple élastique de l'âme, ici pris égal à la longueur biaise = 2,457 m f 1 = = 0,6 1 - ck = 0,6×(1-60/250) = 0,456 250 cot = 1 car les aciers sont inclinés à 90° sur la fibre neutre (en fait les aciers sont verticaux, très légèrement inclinés par rapport à la perpendiculaire à la fibre neutre) d'où VRd,max = 5,42 MN pour une âme.
(iv) Vérification sous sollicitation combinée de tranchant et de torsion
Il faut vérifier : VEd,i(V) + VEd,i(T) VRd,max Il vient : 1,49 + 0,159 = 1,65 < 5,42 La résistance vis-à-vis de la compression des bielles est donc assurée.
NVO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2.b) Calcul de la section d'armatures de cisaillement perpendiculaires à la fibre moyenne (i) Section pour une âme
Selon la clause [EC2-1-1 6.3.2(102)] les efforts de cisaillement de tranchant et de torsion sont cumulés et les principes de calculs définis pour l'effort tranchant sont appliqués. Les sollicitations sont données par le tableau "Résultats à l'ELU" précédent. L'effort tranchant pour une âme vaut : VEd,i(V) = 1,49 MN La sollicitation tangente de torsion dans une âme vaut : VEd,i(T) = 0,159 MN La section d'armatures s'obtient en égalant l'effort total de cisaillement à VRd,s (effort résistant fourni par les armatures) D'où Asw/s = (VEd,i(V) + VEd,i(T))/(z fywd cot) z = bras de levier du couple élastique de l'âme, ici pris égal à la longueur biaise = 2,457 m fywd = 434,78 MPa cot = 2,5 Asw/s = (1,49+0,159)/2,457/434,78/2,5 = 6,2.10-4 m²/m = 6,2 cm²/m
(ii) Section maximale pour une âme
On peut vérifier que la section nécessaire ne dépasse pas la section maximale utile donnée par :
A sw, max f ywd b ws 1 cw 1f cd 2
[EC2-1-1 Expr.(6.15)]
cw =1,17 1= 0,456 Il s'en déduit : Asw,max/s = 0,5cw 1 fcd bw /fywd = 0,5 × 1,17 × 0,456 × 40 × 0,32 / 434,78 =78,5.10-4 m²/m= 78,5 cm²/m
3.3. Efforts longitudinaux induits par l'effort tranchant et la torsion
Le calcul est effectué avec le cas de charge donnant l'effort tranchant maximum. La section S(l/2) a comme caractéristique géométriques largeur du hourdis inférieur aire de torsion l = 5,564 m Ak = 13,579 m² épaisseur du hourdis inférieur e = 0,222 m présente des tractions à mi-épaisseur du hourdis inférieur : = -2,400 MPa et est soumise aux sollicitations suivantes : VEd = 2,94 MN MEd = 36,65 MN.m et TEd = 1,76 MN.m
NVP= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.3.a) Effort longitudinal dû à l'effort tranchant
L'inclinaison des bielles du treillis produit un effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales de la fibre inférieure : Ftd,V = 0,5 VEd (cot - cot ) = 90° et cot = 0 Comme il a été choisi cot = 2,5 pour le dimensionnement des armatures de cisaillement Ftd,V= 1,25 VEd VEd= 2,942 MN d'où Ftd,V = 3,68 MN pour l'ensemble du hourdis inférieur. L'effort longitudinal de traction supplémentaire dû à l'effort tranchant vaut donc au mètre linéaire : Ftd,V= (3,68/5,564 ) = 0,661 MN/ml
Plafonnement de l'effort longitudinal supplémentaire dû au tranchant La section S(l/2) se trouve près de la mi-travée où se produit le moment maximal MEd,max. Le plafonnement de l'effort longitudinal de traction dû au tranchant peut donc intervenir. Il est donné par [EC2-1-1 Expr.(6.18)] :
[EC2-1-1 Expr.(6.18)]
Comme les armatures d'effort tranchant sont perpendiculaires à la fibre moyenne
MEd/z + Ftd,V < MEd,max/z
Avec MEd,max = 53,08 MN.m qui est la valeur du moment maximum dans la travée. Soit Ftd,V < (MEd,max - MEd)/z = (53,08-36,65)/2,234= 7,36 MN soit 7,36/5,564 = 1,32 MN/ml L'effort longitudinal de traction dû au tranchant 0,661 MN/ml est inférieur à son plafonnement et doit être pris en compte dans sa totalité.
3.3.b) Effort longitudinal dû à la torsion
La torsion nécessite des armatures longitudinales dont la section peut être calculée à partir de :
Asl f yd
uk où uk
=
TEd cot 2A k est le périmètre de la surface Ak
[EC2-1-1 Expr.(6.28)]
Chaque membre de cette égalité est équivalent à une force au mètre linéaire de paroi, ce qui permet d'écrire : Ftd,T =TEd cot /2Ak L'effort longitudinal de traction supplémentaire dû à la torsion vaut : Ftd,T = 1,763 × 2,5/2/13,579 = 0,162 MN/ml
3.4. Détermination des sections d'armatures longitudinales
La section d'armatures dans le hourdis inférieur se compose d'armatures permettant de résister à la flexion longitudinale d'ensemble, complétées le cas échéant d'armatures permettant de reprendre les efforts longitudinaux supplémentaires apportés par les sollicitations tangentes [Chapitre 6 -2.2.3].
La participation par surtension des aciers de précontrainte adhérents peut aussi être prise en compte [EC2-2 6.2.3(107)].
Si le dimensionnement des armatures vis-à-vis de la flexion d'une section ne pose pas de difficulté il n'y a pas de méthode permettant de déterminer directement les armatures permettant la reprise de l'effort horizontal
NVQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
supplémentaire. Ceci provient du fait qu'en général ces deux quantités d'armatures sont déterminées de manière indépendante avec deux méthodes et modèles différents. On admettra donc le principe de dimensionnement suivant : Les armatures passives seront dimensionnées vis-à-vis de la flexion, mais en laissant subsister des marges de contraintes telles qu'elles puissent théoriquement absorber les efforts longitudinaux supplémentaires. Le dimensionnement et la vérification se font donc normalement, avec un logiciel de calcul de section soumise à de la flexion, du type CDS du Sétra, complétés par une étape itérative supplémentaire comme il sera détaillé dans l'application présentée ci-dessous.
3.4.a) Données de l'exemple d'application
Une section simplifiée en I est utilisée dans le calcul CDS pour représenter la section S(1/2) ci-avant définie ; les efforts appliqués sont ceux des deux cas de charges étudiés ; ils sont conservés et rappelés ci-dessous :
Section S(l/2) Cisaillement maximal Effort Normal comb. QP (MN) Moment de flexion My comb. QP (MN.m) Effort Normal ELU (MN) Moment de flexion My ELU (MN.m) Effort longitudinal de traction de tranchant (MN) Effort longitudinal de traction dû à la torsion (MN) Effort longitudinal total (MN) 42,9 0,04 42,9 36,6 3,7 0,9 4,6 Moment maximal 42,9 0,04 42,9 53,1 0,0 0,02 0,02
Les 4 câbles éclisses 12T15S, adhérents car injectés au coulis de ciment, présents dans le hourdis inférieur sont des torons de résistance caractéristique à la traction fpk =1860 MPa, fp0,1k = 0,9fpk et donnent un effort de précontrainte de : Fp = 8,54 MN (à l'état permanent).
3.4.b) Utilisation du logiciel CDS du Sétra
Le logiciel CDS du Sétra permet un calcul de vérification d'une section de béton précontraint sous des sollicitations (N, M) et produit des résultats complets concernant les déformations et les contraintes dans les trois matériaux.
Dans la pratique le suivi dans le détail de ces résultats et l'ajustement des sections d'armatures ou/et la correction de la section béton permettent de faire du dimensionnement.
Dans cette application, le diagramme contraintes-déformations de type bi-linéaire avec branche supérieure inclinée est utilisé pour les aciers de précontrainte [EC2-1-1 Fig.3.10] ; celui à palier horizontal est utilisé pour les aciers de béton armé [EC2-1-1 Fig.3.8]. La méthode appliquée est la suivante : On commence par faire le dimensionnement des armatures nécessaires vis-à-vis de la flexion sous sollicitations ultimes (N, M). A la quantité d'armatures passives obtenue on rajoute une section d'armatures passives égale à Ftd,V+T / fyd. Ceci permet d'initier le processus d'itération car on vérifie ensuite sous sollicitations (N, M) que la réserve ainsi dégagée est suffisante. Si ce n'est pas le cas on majore la section d'armatures de la quantité (déficit d'effort longitudinal)/fyd jusqu'à obtenir le résultat cherché.
NVR= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Le contrôle de la réserve d'effort longitudinal se traduit par la vérification de l'inéquation : (ud - p)× Ap + (fyd - s ) × As Ftd,V+T avec p contrainte dans les câbles éclisses intérieurs au béton p allongement dans ces câbles s contrainte dans les aciers passifs du hourdis inférieur s allongement dans ces aciers passifs représentant les résultats d'une étape de calcul CDS et ud la contrainte dans les armatures de précontrainte correspondant à l'allongement maximal de calcul ud
En général, on peut commencer le calcul à partir d'une section d'armatures passives quelconque et l'itération peut se faire en plus ou en moins de la quantité :
As = (Déficit ou excès d'effort) / fyd
En pratique après le premier contrôle de la réserve d'effort, la première correction à faire donne approximativement le résultat final et on peut ne pas reprendre l'itération. Il est conseillé de limiter l'allongement maximal de calcul ud des armatures de précontrainte à 2 %.
Les résultats concernant les armatures passives sont :
Section S(l/2) Cisaillement maximal Aciers BA nécessaires en flexion (cm2) Aciers complémentaires de tranchant et torsion Total aciers dans le hourdis inférieur (cm2) (cm2) 0,00 98,5 98,5 Moment maximal 118,0 0,0 118,0
Nota : Dans le cas de charge donnant le cisaillement maximum la section peut théoriquement résister aux sollicitations de flexion sans besoin d'armatures passives. La section d'armatures passives nécessaire pour reprendre l'effort longitudinal n'est pas négligeable. C'est cependant le cas de charge donnant le moment maximal qui est dimensionnant.
3.5. Vérification d'un cisaillement âme-membrure (exemple de la coupure à la jonction du hourdis inférieur avec le gousset - coupure I1)
La justification se fait conformément à [EC2-1-1 6.2.4] et est traitée par le présent guide au [Chapitre 10-1.2]. Le hourdis inférieur est tendu même avant prise en compte des efforts apportés par l'effort tranchant et la torsion. Dans ce cas l'inclinaison des bielles de compression f peut être choisie telle que cotf = 1,25 d'où f = 38,6°. Le tableau du paragraphe "résultats à l'ELU" ci-avant [Annexe III-2.2] donne vEd = 1,74 MPa. Cette valeur ne tient pas compte de la réduction d'épaisseur liée à un moment de flexion transversale concomitant. Il faut vérifier v Ed f cd sin f cos f . vEd = 1,74 < 0,456 × 40 × sin(38,6) × cos(38,6) = 8,9 MPa.
NVS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'écart entre la contrainte effective et la contrainte admissible montre que la prise en compte d'une éventuelle flexion transversale ne devrait pas remettre en cause la résistance au cisaillement. Pour cette section on peut supposer que la flexion transversale est négligeable. Les aciers de cisaillement sont déterminés par : Asf /sf vEd hf /cotf / fyd Asf /sf 1,74 × 0,222/1,25/434,78 = 0,00071 m²/m = 7,1 cm²/m. Ces aciers sont à répartir sur les deux faces du hourdis.
3.6. Vérification d'une section de reprise de bétonnage (exemple de la coupure au niveau bas de l'âme - coupure A3)
Le choix de cette coupure fait intervenir la détermination au préalable des efforts de suspension induits dans les âmes par le hourdis inférieur. Ces efforts sont à prendre en compte dans l'étude de toute coupure horizontale effectuée dans la hauteur des âmes.
3.6.a) Efforts de suspension du hourdis
Ces efforts sont dus : au poids propre du hourdis qcp, à la poussée au vide engendrée par la courbure du hourdis, à la poussée au vide engendrée par la courbure des câbles éclisses contenus dans le hourdis et au droit des âmes. Si : R est le rayon en élévation de l'intrados du pont, Fh la force développée par les contraintes longitudinales dans le hourdis, Fp la force des câbles de précontrainte, alors : la poussée au vide due à la courbure du hourdis vaut q= Fh/R, (Fh est dirigée vers le haut si c'est une compression et vers le bas si c'est une traction), la poussée au vide due aux câbles vaut Q=Fp/R. Elle est dirigée vers le bas. L'application numérique donne : largeur du hourdis entre âmes l'= 5,564-0,324 × 2 = 4,916 m effort longitudinal de traction du hourdis effort total dans les câbles 12T15S rayon de courbure poids du hourdis poussée au vide de traction poussée au vide des câbles Fh = 6,532 × 0,222 = 1,45 MN/ml Fp = 4 × 0,0018 × 0,8 × 1860= 10,71 MN (pertes non déduites) R= 368,182 m qcp = 0,5 × 4,916 × 0,222 × 0,025 = 0,0136 MN/ml q = 0,5 × 4,916 × 1,45 / 368,182 = 0,0097 MN/ml Q= 10,71 / 2 / 368,182 = 0,0145 MN/ml
le bilan pour une âme est ainsi le suivant (signe moins = vers le haut) :
bilan des efforts de suspension pour une âme F = 0,0136 + 0,0097 + 0,0145 = 0,0378 MN/ml Cet effort nécessite par âme un ajout d'aciers transversaux de : Asw = 0,0378/434,78 = 0,87 × 10-4 m²/ml= 0,87 cm²/ml
NVT= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
3.6.b) Calcul de la contrainte de cisaillement de calcul (coupure A3)
La contrainte de cisaillement aux ELU s'obtient par l'expression vEdi =VEd × S / (Iy × bi) où S est le moment statique au droit de la reprise de bétonnage Iy est l'inertie de la section Elle vaut vEdi = 1,86 MPa
3.6.c) Contrainte limite de cisaillement dans la coupure- calcul de la section d'armatures nécessaire
La contrainte limite de cisaillement le long de la reprise de bétonnage est donnée par : vRdi = c fctd + n + fyd ( sin + cos) 0,5 fcd [EC2-1-1 Expr.(6.25)] avec une valeur plafond de 0,5 fcd = 0,5 × 0,456 × 40 = 9,12 MPa (cette valeur plafond ne peut être atteinte). c= 0,45 et = 0,7 en considérant une reprise rugueuse présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, espacées d'environ 40 mm fctd = 2,03 MPa = contrainte de traction admissible du béton n = contrainte normale à l'interface. Comme l'âme est soumise à une traction verticale dû à la suspension du hourdis de F = 0,0378 MN/ml, il faut prendre c × fctd = 0. n = -0,0378/0,32 = -0,118 Mpa. = 90° = inclinaison des aciers sur la reprise de bétonnage =As/Ai = ratio des aciers traversant la reprise rapportés à la surface de celle-ci Le respect de la contrainte limite de cisaillement permet alors de calculer les ratios d'aciers nécessaires à assurer l'équilibre de la reprise de bétonnage en égalant vEdi et vRdi : vEdi = 1,86 vRdi = 0 - 0,7 × 0,118 + × 434,78 × (0,7+0)= -0,0826 + 304,35 × Il s'en déduit 0,0064, soit As = 0,0064 × 32 × 100 = 20,5 cm²/m. La section d'armatures nécessaire sans reprise de bétonnage serait de : Asw/s= 6,71 + 0,87= 7,58 cm²/m (cumul de la section des aciers de cisaillement et de suspension). La comparaison des deux valeurs montre tout l'intérêt qu'il y a à éviter les reprises de bétonnage.
4. Vérification des âmes sous combinaison caractéristique
La vérification de la résistance au cisaillement aux ELS a été exposée au [Chapitre 7 -2.5.2]. Bien que cela ne soit pas précisé dans les eurocodes, la vérification doit se faire dans toutes les sections des âmes : au centre de gravité, à la jonction avec le hourdis inférieur, à la jonction avec le hourdis supérieur, etc. La vérification porte ici sur la section au centre de gravité où le cisaillement est maximum, et sur la section au bas des âmes où la contrainte normale est minimale. Les résultats de calculs ont été reportés dans la figure [Annexe III-0] ci-dessous qui montre à la fois que :
· ·
les conditions imposées par les eurocodes sont moins contraignantes que celles des pratiques antérieures, car la contrainte de cisaillement admissible est plus élevée, les contraintes de calcul de cet exemple [Annexe III-2.1] sont nettement inférieures aux contraintes admissibles.
NVU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
8.00
7.00
6.00
tau admissible MPa
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
contrainte normale sigmaX MPa
0.00
-10.00
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
tau BPEL91adm pour fcj= 60 MPa et sigmaY= 0 contraintes de calcul au centre de gravité
tau adm EC2 pour fck= 60 MPa et sigmaY= 0 contraintes de calcul en bas des âmes
Fig./Tab. An. III (4) : Contrainte de cisaillement admissible sous combinaison caractéristique
Les sections ne présentent donc pas d'insuffisance.
Pour l'ensemble de l'ouvrage cette vérification ne deviendrait déterminante que si l'épaisseur des âmes descendait en dessous de 0,17 m.
NVV= Annexe III - Justification Tranchant / Torsion Applications numériques
Annexe IV Justification à la fatigue
1. Implantation des charges de fatigue
Les voies et leur implantation sont définies dans l'Eurocode 1 partie 2, notamment par les clauses [EC1-2 4.2.4(2)] et [EC1-2 4.2.4(3)] :
" (2) Pour chaque vérification individuelle, il convient de choisir le nombre de voies devant être considérées comme chargées, leur emplacement sur la chaussée ainsi que la numérotation de manière à ce que les effets des modèles de charge soient les plus défavorables. (3) Pour les valeurs représentatives de fatigue et les modèles associés, il convient de choisir l'emplacement et la numérotation des voies en fonction du trafic normalement prévisible."
Il est précisé ensuite que tous les modèles de charges de fatigue sont centrés sur les voies conventionnelles ainsi définies [EC1-2 4.6.1(4)]. Il faut souligner qu'il appartient au maître d'ouvrage de définir l'implantation des voies lentes, "en fonction du trafic normalement prévisible". Ce choix est à envisager au cas par cas, pour chaque ouvrage, en anticipant un trafic futur éventuellement différent de celui prévu à l'étude du projet, pouvant conduire à une répartition différente des voies dans le temps d'utilisation de l'ouvrage. L'illustration de ce choix au cas d'une coupe transversale classique montre qu'il peut être déterminant pour le dimensionnement, en particulier pour l'étude de la flexion transversale.
1er cas : sur la voie réelle de droite 2e cas : sur la voie conventionnelle accolée au dispositif de sécurité
Fig./Tab. An. IV (1) : Implantation de la voie lente et des charges de fatigue
Dans le premier cas, l'ajout d'une voie de circulation par suppression de la BAU est considéré comme improbable. Le passage des charges de fatigue ne produit donc aucun effort et aucun dommage par fatigue dans la section d'encastrement. A l'inverse, dans le deuxième cas, le choix d'anticiper le passage éventuel de l'autoroute à 3 voies par sens de circulation, crée une voie lente future accolée à la longrine de la barrière BN4. La justification à la fatigue devient dans ce cas un critère de dimensionnement important pour l'encorbellement.
OMM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2. Méthode générale
Cette procédure de vérification des armatures est définie par la clause [EC2-1-1 6.8.4]. Elle consiste à faire un calcul d'endommagement à partir de cycles d'étendues de contrainte et utilise les courbes de résistance à la fatigue S-N des armatures.
2.1. Détermination des cycles et étendues de contrainte
L'étude à la fatigue d'un ouvrage nécessite d'une part la connaissance des caractéristiques du trafic poids-lourds qui l'emprunte et d'autre part les effets de ce trafic sur l'ouvrage, traduits en terme de contrainte de traction dans les armatures susceptibles d'être touchées par la fatigue. Le trafic est connu soit suite à des enregistrements de trafic réel, soit suite à une modélisation de ce trafic, en se basant sur d'autres trafics similaires connus. La détermination des étendues de contrainte est établie à partir des courbes donnant l'évolution de la contrainte de traction dans les armatures étudiées pendant le passage des camions sur l'ouvrage. Le passage de chaque camion sur l'ouvrage donne lieu à des variations de contrainte qui peuvent présenter différentes étendues. Pour chaque camion, les étendues s1 , s2 , ... sj ,... peuvent être obtenues en appliquant la méthode du "réservoir".
Fig./Tab. An. IV (2) : Application de la méthode du "réservoir"
Il faut ensuite analyser, classer les différentes étendues de contraintes par famille de valeurs si et déterminer leur fréquence d'occurence. Le résultat conduit à un spectre des étendues de contrainte [(si ; ni )i], schématisé par le graphique suivant. (ni : nombre d'occurrence dans chaque famille, encore appelé nombre de cycles).
Fig./Tab. An. IV (3) : Spectre des étendues de contrainte
OMN= Annexe IV - Justification à la fatigue
2.2. Nombre de cycles à la rupture - Endommagement
Le nombre de cycles Ni(si) pour une étendue de contrainte si, provoquant la rupture des armatures par fatigue, est donnée par les courbes S-N [EC2-1-1 6.8.4(1)]. Ce sont des résultats d'essais dépendant de nombreux facteurs. Aussi de nombreux cas types sont étudiés de manière extensive pour fournir aux projeteurs les données pratiques utilisables pour une justification. Représentée en échelle logarithmique la courbe type de s en fonction de N peut être considérée comme constituée de deux demi-droites de pentes 1/k1 et 1/k2. La position des demi-droites est fixée par l'étendue de contrainte Rsk correspondant à un nombre de cycles particulier N* choisi pour les essais. Quelques courbes utiles pour les projets, correspondant à différents types d'armatures et conditions de mise en oeuvre, ont ainsi été étudiées et ont leurs paramètres définis dans les tableaux [EC2-1-1 Tab.6.3N] et [EC2-1-1 Tab.6.4N], et reproduits ci-dessous.
Fig./Tab. An. IV (4) : Courbe S-N des armatures Exposant de la contrainte k1 5 3 3 k2 9 5 5 Rsk (MPa) pour N* cycles fixé par A.N(1) 58,5 35
Type d'armatures Barres droites Barres soudées et treillis soudés Dispositifs de couplage
(1)
N* 106 107 107
L'annexe nationale de l'Eurocode 2 partie 1-1 donne les valeurs suivantes : - Rsk = 210MPa pour 16 mm - Rsk = 160MPa pour = 40 mm - interpolation linéaire pour des diamètres 16 mm < < 40 mm Fig./Tab. An. IV (5) : Paramètres des courbes S-N pour les armatures de béton armé Exposant de la contrainte k1 5 k2 9 Rsk (MPa) pour N* cycles 185
Armatures de précontrainte Précontrainte par pré-tension Précontrainte par post-tension : monotorons dans gaine en matière plastique armatures de précontrainte droite ou armatures de précontrainte courbes dans gaine en matière plastique armatures de précontrainte courbes dans gaine en acier dispositif de couplage
N* 106
106 106 106 106
3 3 3 5
9 10 7 5
185 150 120 80
Fig./Tab. An. IV (6) : Paramètres des courbes S-N pour les armatures de précontrainte
OMO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2.3. Critère de vérification
Par définition des courbes S-N, la rupture par fatigue se produit pour une valeur si donnée, si le nombre de cycles d'étendues de contrainte appliqué ni atteint la valeur Ni qui lui est associé. L'état de fatigue des armatures peut donc être caractérisé par la notion d'endommagement DEd = n/N qui doit rester inférieur à 1 si on veut éviter leur rupture. Dans l'utilisation des courbes S-N il convient d'appliquer au matériau, et donc à l'étendue de contrainte "limite" Rsk, un coefficient partiel S,fat = 1,15 défini par la clause [EC2-1-1 2.4.2.4]. Dans un cas simple, avec une étendue de contrainte constante s, il s'agit simplement de vérifier : n N, N étant le nombre de cycle à la rupture correspondant à s. Dans un cas plus général, avec des variations de contrainte d'étendues différentes, l'endommagement global est calculé en appliquant la règle de cumul des endommagements de Palmgren-Miner, DEd,i étant l'endommagement produit par les ni cycles de chaque étendue si : DEd,i = ni/Ni . Le critère de vérification dans un cas général s'écrit alors :
D Ed =
D
Ed ,i
=
N
ni
i
1
Il faut donc calculer pour chaque si du spectre d'étendues de contrainte, en tenant compte de S,fat , la valeur Ni correspondante pour calculer l'endommagement causé par ni cycles d'application de si . Les expressions de N en fonction de s s'obtiennent aisément à partir des équations des demi-droites : Rsk si s S ,fat Rsk si s S ,fat log( s ) - log Rsk S ,fat log Rsk S,fat 1 = log N * - log N k1
(
)
)
1 Rsk N=N S ,fat s
*
k1
- log( s ) = 1 log N - log N * k2
(
1 Rsk N=N S ,fat s
*
k2
2.4. Autre formulation du critère de vérification
Dans le cas où toutes les étendues de contrainte sont limitées par s < Rsk / S,fat , ce qui se traduit par un positionnement sur la seule demi-droite de pente 1/k2, seule la deuxième expression de N est à utiliser.
L'endommagement DEd pour des armatures soumises à un spectre d'étendues de contrainte [(si ; ni )i] peut alors se calculer par la relation explicite suivante :
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
×
k2
n ( )
i si i
k2
2.5. Modèle de charge de fatigue
Pour l'application de la méthode générale la clause [EC1-2 4.6] propose les deux modèles de charges de fatigue FLM4 et FLM5. Le modèle FLM5, le plus général, consiste à utiliser des données de trafic réel et nécessite l'emploi de logiciels élaborés appropriés ; il ne sera donc pas abordé ici. Le modèle FLM4, constitué d'un ensemble de 5 camions standards produisant des effets équivalents à ceux d'un trafic typique des routes européennes, est plus accessible pour une vérification standard de projet.
OMP= Annexe IV - Justification à la fatigue
Il est décrit par le tableau [EC1-2 Tab.4.7] :
Camion type n°i Espacement des essieux (m)
4,50 4,20 1,30 3,20 5,20 1,30 1,30 3,40 6,00 1,80 4,80 3,60 4,40 1,30
i
1 2 3 4 5
Charge (en kN) 200 310 490 390 450
Charges d'essieu équivalentes (kN)
70 130 70 120 120 70 150 90 90 90 70 140 90 90 70 130 90 80 80
Proportion des camions pi (en %) en fonction du type de trafic
Longues distances Distances moyennes Trafic local
20 5 50 15 10
40 10 30 15 5
80 5 5 5 5
Fig./Tab. An. IV (7) : Camions du modèle de charges de fatigue FLM4
"Chaque camion standard est supposé parcourir l'ouvrage en l'absence de tout autre véhicule." [EC1-2 4.6.5(3)].
Dans la réalité, en fonction de la géométrie de l'ouvrage, la présence simultanée de plusieurs camions sur l'ouvrage est envisageable. Pour obtenir un spectre complet, il est alors nécessaire de considérer des convois de plusieurs camions. Les étendues de contrainte dues à chaque convoi vont alors dépendre des différents types de camions constituant ce convoi et de la distance entre les véhicules. La clause [EC1-2 4.6 (2) note 2] indique que lorsque la présence simultanée de plusieurs camions sur le pont ne peut être négligée, il convient de n'utiliser le modèle FLM4 que complété par des données supplémentaires, spécifiées dans l'annexe nationale. D'après l'annexe nationale, ces données supplémentaires (distance entre véhicules sur une même voie, densité du trafic sur les différentes voies lentes) sont alors à préciser, pour chaque projet individuel, dans le marché. Dans la pratique, l'hypothèse qui consiste à ne considérer qu'un seul camion est valable sur des ouvrages ou des éléments de dimensions faibles ou moyennes (30 m).
Pour les ouvrages de grandes dimensions, l'accumulation de camions sur une même travée donne des variations de contrainte plus fortes que le passage d'un seul camion. Pour des travées de longueur moyenne (< 30 m), avec des longueur de camions du modèle FLM4 variant de 5,00 à 15,00 m, cette différence est moins marquée. Par ailleurs, la probabilité d'occurrence d'avoir plusieurs camions sur une même travée devient faible.
2.6. Détermination des nombres de cycles
Le passage de chaque camion de type i donne les étendues de contrainte : si,1 , si,2 , ... si,j ,... Le nombre de cycles de chaque étendue si,j est le nombre ni de camions de type i passant sur l'ouvrage, pendant toute sa durée d'utilisation. Ce nombre est obtenu par multiplication des données suivantes : - Nobs : trafic annuel des poids lourds - pi : proportion des camions de type i dans le trafic PL - Nyears : durée d'utilisation de projet Le nombre total de camions de type i et de cycles d'étendue si,j est donc ni = pi × Nobs × Nyears .
OMQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Le spectre de variation de contrainte peut donc s'exprimer sous la forme [[(si,j ; ni )j] i= 1 à 5]. La durée d'utilisation de projet Nyears est définie par le maître d'ouvrage. Elle est couramment prise entre 70 et 120 ans. La proportion pi des différents types de camion peut être déterminée à partir du tableau précédent, conforme au tableau [EC1-2 Tab.4.7], à partir du type de trafic. Le nombre de véhicule par an et par voie lente Nobs peut être déterminé à partir du tableau suivant, conforme au tableau [EC1-2 Tab.4.5], en fonction de la catégorie de trafic.
Catégories de trafic 1 2 3 4 Routes et autoroutes à 2 voies ou plus dans chaque sens, avec un trafic de camions élevé Routes et autoroutes avec un trafic de camions moyen Routes principales avec un faible trafic de camions Routes locales avec un faible trafic de camions Nobs par an et par voie lente 2,0 × 106 0,5 × 106 0,125 × 106 0,05 × 106
Fig./Tab. An. IV (8) : Nombre indicatif de véhicules lourds par an et par voie lente
Le type de trafic (trafic local, distances moyennes, longues distances) et la catégorie de trafic ne sont pas liées. En effet une route principale de type "longues distances" avec un faible trafic de camions est en catégorie 3 de trafic. A l'inverse, une voie urbaine à 2 × 2 voies supportant un fort trafic de poids lourds constitué essentiellement de camions à 2 essieux (20 T) a un trafic de catégorie 1 et de type "trafic local".
La catégorie de trafic ne doit pas non plus être confondue avec la classe de chargement des ponts routiers définie dans la clause [EC1-2 4.2.2]. En effet, indépendamment de la catégorie de trafic, la plupart des ouvrages seront dimensionnés avec un chargement de 2e classe. Les ouvrages supportant un trafic de catégorie 4 pourront éventuellement supporter un chargement de 3e classe.
2.7. Calcul de l'endommagement
Avec l'utilisation du modèle FLM4 et donc un spectre d'étendues de contrainte limité [[(si,j ; ni )j] i = 1 à 5], le calcul de l'endommagement se résume, si les étendues de contrainte sont suffisamment faibles, à l'application de l'expression suivante : (avec ni = pi × Nobs × Nyears) D Ed N obs × N years S ,fat = × N* Rsk ×
k2
p ( )
i si , j i, j
k2
3. Méthode "équivalente" de vérification des armatures
L'Eurocode 2 propose également une méthode "équivalente", à partir du modèle de charge de fatigue FLM3 simplifié constitué d'un seul camion, reproduisant les effets d'un trafic représentatif des routes européennes. La méthode est décrite dans la clause [EC2-1-1 6.8.5] et l'annexe [EC2-2 Anx.NN]. Le modèle de charge de fatigue FLM3 décrit dans la clause [EC1-2 4.6.4] est constitué d'un camion de quatre essieux, chacun d'un poids de 120 kN.
Fig./Tab. An. IV (9) : Modèle de charge de fatigue FLM3
OMR= Annexe IV - Justification à la fatigue
Il s'agit de vérifier directement la résistance des armatures à la fatigue, à partir d'une étendue de contrainte équivalente s ,equ = s × s , EC , avec : - s,EC = s,max - s,min est l'étendue de contrainte maximale due au passage du camion du modèle FLM3 calculée en déterminant les positions défavorable (donnant s,max) et favorable(donnant s,min) du camion sur l'ouvrage ; - s : coefficient d'endommagement équivalent à déterminer à partir de l'annexe [EC2-1-1 Anx.NN]. La détermination de ce coefficient sera illustrée plus simplement dans les applications numériques. Le critère de vérification à la fatigue est alors : s ,equ
Calibrage de la méthode Le paramètre s a été calibré de manière à obtenir une équivalence, vis-à-vis de l'endommagement, entre le nombre N* de cycles d'une étendue de contrainte s ,equ = s × s , EC et un spectre [(i ; ni )i] dû à un trafic routier type. L'expression générale de l'endommagement est donnée par la relation :
Rsk S ,fat
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
×
k2
k2
n ( )
i si i
k2
En remplaçant le spectre [(i ; ni )i] par (s,equ ; N* ), la relation devient :
D Ed
1 S = * × ,fat N Rsk
N s,equ
*
(
)
k2
s,equ = S ,fat Rsk
k2
La condition DEd 1 est alors équivalente à :
s ,equ
Rsk S ,fat
Le coefficient d'ajustement s a été calibré, à partir de mesures de trafic et de calcul sur différents types d'ouvrages (flexion longitudinale) ou d'éléments (flexion transversale) et à partir des relations :
s =
s ,equ s ,EC
et
s ,equ = k 2
1 × N*
n ( )
i si i
k2
(équivalence des endommagements)
Le calibrage du coefficient s a été établi à partir de calcul de variation de moment, en admettant l'hypothèse d'une relation linéaire entre les variations de contrainte et les variations de moments. Dans les cas où cette hypothèse n'est pas vérifiée, la méthode s'avère toutefois sécuritaire.
4. Méthode alternative simplifiée pour les armatures passives
La clause [EC2-1-1 6.8.6] propose une règle simplifiée de vérification de la résistance à la fatigue des armatures de béton armé. Il suffit de vérifier que l'étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente associée à la combinaison de base est telle que [EC2-1-1/AN 6.8.6(1)] : - s 100 MPa - s 35 MPa pour les barres d'armatures non soudées pour les barres d'armatures soudées
La combinaison de fatigue utilisée pourra être dans la plupart des cas la combinaison fréquente faisant intervenir le modèle de charge principal LM1 : Cfat = C0 + QLM1,Fréq.
OMS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
L'enveloppe des moments dus au modèle de charge LM1 fréquent donne les valeurs extrêmes des efforts permettant de calculer l'étendue de contrainte s = s,max(No ; Mo + MLM1,Fréq,déf ) s,min(No ; Mo + MLM1,Fréq,fav )
5. Justification d'un PSIDP en flexion longitudinale
5.1. Données
5.1.a) Projet
En théorie, chaque section du PSIDP est à vérifier à la fatigue. Dans l'exemple suivant, la vérification se limitera aux armatures de béton armé et de précontrainte des sections sur appui et à mi-travée. La précontrainte longitudinale est constituée de 15 câbles 12T15S. Le ferraillage passif est constitué de 23HA20, soit une section de 72,25 cm², en partie supérieure de la section sur appui, et en partie inférieure de la section à mi-travée.
(voir caractéristique de l'exemple en [Annexe I]) Fig./Tab. An. IV (10) : Coupe longitudinale du PSIDP
Fig./Tab. An. IV (11) : Section à mi-travée
Fig./Tab. An. IV (12) : Section sur appui
5.1.b) Hypothèses de trafic Durée d'utilisation
L'hypothèse d'une autoroute à 2 × 2 voies avec un trafic de poids lourds élevé est adoptée. Ce trafic est caractérisé par : - trafic de catégorie 2 : Nobs = 2,0 × 106 camions par an sur la voie lente - trafic de type "longue distance" avec une répartition des différents camions types dans les proportions suivantes : p1 = 20 % ; p2 = 5 % ; p3 = 50 % ; p4 = 15 % ; p5 = 10 % La durée d'utilisation de projet de l'ouvrage est Nyears = 100 ans.
OMT= Annexe IV - Justification à la fatigue
5.1.a) Caractéristiques des matériaux
Les valeurs des paramètres des courbes S-N sont données par les tableaux [EC2-1-1 6.8.4 Tab.6.3N] et [EC2-1-1 6.8.4 Tab.6.4N] : - coefficient partiel pour l'acier : S,fat = 1,15 ; - aciers passifs : - précontrainte : k2 = 9 k2 = 7 N* = 106 N* = 106 Rsk = = 202 MPa Rsk = 120 MPa Pour = 20 mm , RSk = 210 50×( 16)/(40 16) = 202 MPa
5.1.d) Combinaison de base
Cette combinaison s'écrit : C0 = Gmax + Pk,inf + 0,6. Pour la précontrainte par post-tension avec armatures adhérentes Pk,inf = rinf × Pm, , avec rinf = 0,90. Les actions permanentes sont combinées avec la valeur fréquente du gradient thermique, soit 60 % de la valeur caractéristique. Pour la section à mi-travée, c'est le gradient thermique tendant la fibre inférieure qui est défavorable, et pour la section sur appui un gradient thermique tendant la fibre supérieure. Ce qui donne les résultats suivants (les tractions des armatures sont données en valeur absolue) :
Section à mi-travée : Section sur appui :
C 0 = G max + 0,9 Pm , + 0,6 TM ,heat Efforts : N0 M0 c,sup P s = 29,95 MN = 3,54 MN.m = 6,30 MPa = 1109 MPa aciers passifs comprimés Efforts :
C 0 = G max + 0,9 Pm , + 0,6 TM ,Cool N0 M0 c,inf P s = 29,95 MN = -2,90 MN.m = 6,53 MPa = 1109 MPa aciers passifs comprimés
Etat de la section :
Etat de la section :
5.2. Application de la méthode générale
5.2.a) Application des charges de fatigue
Dans le cas de cet ouvrage de dimensions moyennes, il est admis que la présence simultanée de plusieurs camions sur l'ouvrage peut être négligée. Le modèle FLM4 qui suppose que chaque camion parcourt l'ouvrage en absence de tout autre véhicule [EC1-2 4.6.5 (3)] est donc bien adapté pour évaluer les étendues de contrainte. La voie lente est implantée sur la voie conventionnelle accolée à la longrine de la barrière BN4 (BAU), conformément à la figure suivante. La note [EC1-2 4.6.1 Note 1] propose d'ajouter 10 % de Nobs pour chaque voie rapide.
OMU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (13) : Implantation des charges de fatigue sur les voies
Les coefficients de répartition transversale sont les suivants :
Travée 1 ou 3 camion dans l'axe de la voie lente camion sur l'axe de la voie rapide 1 camion sur l'axe de la voie rapide 2 1,42 1,07 1,13 Travée 2 1,24 1,04 1,09
Pour simplifier la suite de l'application numérique, le trafic des poids lourds sur les voies rapides n'est pas pris en compte. Au regard des coefficients transversaux, le moment dû à un camion centré sur les voies rapides représente environ 80 % du moment dû à un camion centré sur la voie lente. Dans le cas présent, la prise en compte du trafic poids lourds sur les voies rapides n'a que très peu d'influence sur la justification à la fatigue. Les figures suivantes montrent la variation du moment fléchissant en fonction de la position longitudinale des différents camions circulant sur la voie lente (coefficient de répartition transversale inclus).
Fig./Tab. An. IV (14) : Section à mi-travée - variation du moment due au passage des camions sur la voie lente
OMV= Annexe IV - Justification à la fatigue
Fig./Tab. An. IV (15) : Section sur appui P1 - variation du moment due au passage des camions sur la voie lente
Les variations des efforts dues au passage des camions sont combinées avec les efforts correspondant à l'état de référence. Les courbes montrant l'évolution du moment global Mfat pendant le passage des camions sont les mêmes que les courbes précédentes, à une translation près (suivant un axe vertical) ; Mfat = M0 + MQfat L'effort normal reste constant : N = N0 = 29,95 MN. Le tableau suivant donne les valeurs extrêmes du moment MQfat dû aux charges de fatigue et du moment global Mfat
MQfat (en MN.m) à mi-travée sur appui Max Min Max Min Camion 1 MQfat 0,910 -0,135 0,117 -0,613 Mfat 4,447 3,402 -2,786 -3,517 Camion 2 MQfat 1,429 -0,210 0,183 -0,953 Mfat 4,966 3,327 -2,721 -3,856 Camion 3 MQfat 1,749 -0,278 0,242 -1,385 Mfat 5,286 3,259 -2,662 -4,289 Camion 4 MQfat 1,345 -0,211 0,184 -1,079 Mfat 4,882 3,326 -2,720 -3,983 Camion 5 MQfat 1,457 -0,221 0,192 -1,195 Mfat 4,994 3,316 -2,711 -4,099
Fig./Tab. An. IV (16) : Valeurs extrêmes des moments MQfat et Mfat
5.2.b) Calcul des contraintes étendues de contrainte
Il s'agit d'évaluer l'évolution des contraintes dans les armatures des sections soumises aux efforts : - N0 - Mfat = M0 + MQfat Le calcul de contrainte est effectué à partir de l'état de référence à vide de l'ouvrage avec une contrainte de départ minimale dans la fibre de béton étudiée. Les variations de contrainte produites par la charge de fatigue sont déterminées ensuite conformément au [Chapitre 3 -3.1.4.b)]. Les diagrammes suivants montrent l'évolution, en fonction du moment fléchissant MQ dû aux surcharges, de la traction dans les aciers passifs, des sur-tensions des armatures de précontrainte et de la contrainte dans le béton en fibre supérieure (mi-travée) et inférieure (appui), pour une section soumise à l'effort normal N0 et au moment fléchissant M0 + MQ.
ONM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (17) : Section à mi-travée
Fig./Tab. An. IV (18) : Section sur appui
Ces diagrammes montrent l'importance de la définition d'un état de base dans la combinaison de fatigue. Les relations entre les contraintes et le moment ne sont pas linéaires. La variation de moment due au passage d'un camion donne une variation de contrainte dépendant de l'état "à vide".
Pour la section sur appui, les contraintes de traction dans les aciers passifs supérieurs apparaissent pour des moments MQ inférieurs à 3,20 MN.m. Le graphique [Fig./Tab. An.IV (15)] montre que le moment MQfat reste supérieur à cette valeur. La section sur appui reste donc entièrement comprimée sous le passage des charges de fatigue du modèle FLM4. Il n'y a aucune fatigue pour les armatures de la section sur appui. Dans le cas de la section à mi-travée, la courbe [Fig./Tab. An.IV (17)] montre l'apparition de traction dans les aciers passifs du lit inférieur pour des moments MQ supérieurs à 0,910 MN.m.
ONN= Annexe IV - Justification à la fatigue
(en MPa) s P* Max Min Max Min
Camion 1 0,281 comprimé 3,779 0,000
Camion 2 3,722 comprimé 6,618 0,000
Camion 3 6,276 comprimé 8,741 0,000
Camion 4 3,113 comprimé 6,114 0,000
Camion 5 3,936 comprimé 6,796 0,000
* sur-tension des armatures de précontrainte Fig./Tab. An. IV (19) : Section à mi-travée Contraintes extrêmes
Ce tableau donne les contraintes extrêmes et donc l'étendue de contrainte maximale max = max - min. Les courbes de la figure [Fig./Tab. An.IV (14)], montrent que le passage de chaque camion engendre une variation de contrainte simple (un seul pic). En effet, la décompression de la zone d'enrobage n'apparaît que pour des moments dépassant 0,910 MN.m. Seules les parties des courbes situées au-dessus de cette valeur, créent de la traction dans les armatures comme le montre la figure suivante.
Fig./Tab. An. IV (20) : MQ > 0,910 MN.m
Le passage de chaque camion de type i ne produira donc qu'une seule étendue de contrainte : - pour les aciers passifs : s,i = s,max,i - pour la précontrainte : (P,i) = (P,max,i ) (variation de la sur-tension)
Pour tenir compte de la différence de comportement vis-à-vis de l'adhérence, entre armatures de béton armé et armatures de précontrainte, un coefficient de majoration est appliqué à la variation de contrainte des aciers passifs, conformément à la clause [EC2-1-1 6.8.2(2)]. Le calcul de est effectué à partir des valeurs suivantes : - As = 72,26 cm² s = 20 mm ; P = 1,6 A P,câble = 67,88 mm ;
- AP = 15×AP,câble = 270 cm²
- = 0,50 (Tableau [EC2-1-1 Tab.6.2] : post-tension, torons, béton C50/60) On obtient ainsi = As + A P =1,95 As +A P (s / P )
ONO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Les étendues de contrainte appliquées aux armatures de la section à mi-travée sont déterminées à partir de la relation contrainte-moment correspondante des armatures représentée dans la figure [Fig./Tab. An.IV (17)] :
Type de camion i s,i = ×s,max,i (P,i ) 1 0,546 3,779 2 7,242 6,618 3 12,213 8,741 4 6,058 6,114 5 7,659 6,796
Fig./Tab. An. IV (21) : Etendues de contrainte (en MPa)
5.2.c) Calcul de l'endommagement
Les étendues de contrainte se situent toutes sur la demi-droite de pente 1/k2 de la courbe S-N, l'endommagement peut donc être calculé à partir de l'expression déterminée précédemment : D ed = N obs × N years N
*
S ,fat × Rsk
k2
×
p ( )
i si , j i, j
k2
Type de camion i
1 k2 / pi 9 7 20 % 8,69 × .10-4 2,20 × 103
2 5% 2,74 × 106 2,78 × 104
3 50 % 3,02 × 109 1,95 × 106
4 15 % 1,65 × 106 4,79 × 104
5 10 % 9,07 × 106 6,69 × 104
p ( )
i si
k2
p i ( si )
k2
Aciers passifs Précontrainte
3,04 × 109 2,09 × 106
Fig./Tab. An. IV (22) : Détail des calculs d'endommagement
Les résultats sont les suivants : - aciers passifs : - précontrainte : DEd = 3,82 × 10-9 < 1 DEd = 3,11 × 10-6 < 1
La résistance des armatures à la fatigue est donc vérifiée.
Contrainte moyenne - Contrainte limite Avec des valeurs d'endommagement quasiment nulles, les armatures semblent ne subir aucun préjudice dû à la fatigue. Cependant l'endommagement est une fonction exponentielle des étendues de contrainte i . On conseille donc de calculer le paramètre :
k2
D Ed = k 2
N obs × N years N*
k2
×
S ,fat Rsk
k2
× k2
p ( )
i si , j i, j
k2
L'expression
pi(si, j ) i, j
s'apparente à une étendue de contrainte "moyenne"
La condition DEd < 1 ou
moy < Rsk S ,fat × K
k2
D Ed < 1 revient alors à la vérification
avec
K = k2
Nobs × N years N*
et
moy = k 2 pi si, j
i, j
(
)
k2
Le paramètre k 2 D Ed peut donc être considéré comme le rapport entre une étendue de contrainte moyenne et une étendue de contrainte limite. Ce paramètre est donc plus simple à interpréter que l'endommagement DEd.
ONP= Annexe IV - Justification à la fatigue
Les résultats sont les suivants : Aciers passifs : Précontrainte :
9 7
D Ed = 0,116 < 1 D Ed = 0,163 < 1
k2
Le sécurité vis-à-vis de la résistance à la fatigue reste confortable. Cependant le paramètre donne des valeurs plus perceptibles par le projeteur (15%) que DEd (10-8). Les tableaux suivants montrent la variation de
k2
D Ed
D Ed en fonction de DEd.
Lorsque la vérification à la fatigue sera satisfaisante, les valeurs de DEd seront souvent très faibles. Un endommagement de 1 % des aciers passifs correspond à 9 D Ed = 60% de l'étendue de contrainte admissible. La section est alors plus proche de l'état limite ultime de fatigue que ne le laisse paraître la valeur de l'endommagement.
Figure :
k2
D Ed en fonction de D Ed < 1
Lorsque la vérification n'est pas satisfaisante, l'endommagement prend rapidement des valeurs importantes. Un endommagement de 5,0 des aciers passifs, correspond à 9 D Ed = 1,20. Il suffit alors d'augmenter la section des aciers passifs de l'ordre de 20 %, pour obtenir une diminution des contraintes du même ordre, et des valeurs d'endommagement proche de 1,0.
Figure :
k2
D Ed en fonction de DEd >1
ONQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
5.3. Application de la méthode "équivalente"
5.3.a) Application des charges de fatigue
La charge de fatigue Qfat est dans ce cas le camion du modèle FLM3. Conformément à la clause [EC2-2 Anx.NN.2.1(101)], les charges d'essieu du modèle doivent être pondérées par les coefficients suivants : - 1,75 pour une vérification des sections sur appuis intermédiaires des ponts continus, - 1,40 pour toutes les autres sections.
Il est important que ce coefficient de pondération soit appliqué à la charge, et donc aux efforts sollicitant la section, la relation entre les variations de contrainte et les variations de moments n'étant pas linéaire. Les figures [0] ou [0] montrent que la variation de contrainte s(Q×M) est supérieure à Q×s(M) (Q = 1,40 ou 1,75).
La figure suivante montre la courbe de variation des moments MQfat= Q×MFLM3, au niveau de la section sur appui et à mi-travée, pendant le passage du camion FLM3 dans l'axe de la voie lente (coefficient de répartition inclus) :
Fig./Tab. An. IV (23) : Variation du moment MQfat
5.3.b) Etendue de contrainte EC
Sous combinaison de fatigue, les efforts suivants sont donc appliqués aux sections :
· ·
No = 29,95 MN Mfat = Mo + Q×MFLM3 - Section sur appui : - Section à mi-travée : avec pour Mo = -2,90 MN.m ; Mo = 3,54 MN.m ; s,0 = comprimé s,0 = comprimé Q = 1,75 Q = 1,40
Pour la section sur appui, les contraintes de traction dans les aciers passifs supérieurs apparaissent pour un moments MQfat inférieur à 3,20 MN.m (application de la méthode générale).
ONR= Annexe IV - Justification à la fatigue
La figure précédente montre que le moment MQfat reste supérieur à cette valeur. Comme dans la méthode précédente, la section sur appui reste donc entièrement comprimée sous le passage du camion FLM3. Dans le cas de la section à mi-travée, les contraintes dans les aciers passifs inférieurs apparaissent pour un moment MQfat supérieur à 0,910 MN.m. Les contraintes extrêmes sont calculées avec les sollicitations suivantes : - No = 29,95 MN - MQfat,min = -0,39 MN.m - MQfat,max = 2,40 MN.m Mfat,max = 5,94 MN.m s,min = faible compression ; P,min 0 s,max = 12,72 MPa ; P,max = 14,13 MPa.
Les étendues de contrainte sont les suivantes : - aciers passifs : - précontrainte : s,EC = ×(s,max s,min) = 24,80 MPa ; P,EC = P,max P,min = 14,13 MPa ; (avec = 1,95)
Ici, pour simplifier, la faible contrainte de compression minimale a été prise égale à zéro.
5.3.c) Coefficient d'ajustement s
L'annexe [EC2-2 Anx.NN] permet de calculer la valeur de s à partir de la détermination de 5 coefficients et de l'expression s = s,1× s,2× s,3× s,4× fat . Chacun de ces coefficients permet de corriger l'étendue de contrainte EC pour tenir compte des différents paramètres.
(i) Coefficient s,1
Ce coefficient tient compte du type d'ouvrage ou d'élément et de l'effet préjudiciable du volume de trafic en fonction de la longueur critique de la ligne ou de la surface d'influence. Les valeurs de s,1 sont obtenues à partir des abaques des figures NN.1 et NN.2 de l'annexe NN. Pour la section sur appui, les valeurs doivent être lues sur l'abaque NN.1. Cependant, cette section, comme vu précédemment, ne subit aucun endommagement. Pour la section à mi-travée, l'abaque NN.2 donne les valeurs de s,1. La longueur de la ligne d'influence, en abscisse de l'abaque, doit être considérée comme la longueur de travée, dans le cas d'un tablier continu avec plusieurs travées identiques.
Le coefficient s,1 a été calibré sur plusieurs type de structures, notamment sur des ouvrages continus à 3 travées de longueur l variant entre 10 et 90 m. Cette longueur l est définie comme la "longueur de la ligne d'influence" par l'annexe [EC2-2 Anx.NN]. Dans le cas d'un ouvrage ayant des travées de longueurs différentes, les règles suivantes sont adoptées : - vérification d'une section en travée : longueur de la travée - vérification d'une section sur appui : moyenne des longueurs l = (l i-1 + l i )/2
Pour la vérification de la section à mi-travée, la longueur est donc l = 27,00 m. La lecture des coefficients s,1 s'effectue sur les courbes concernant les poutres continues (indice a) : - 3a) aciers de béton armé (k2 = 9) - 2a) armatures de précontrainte courbes dans gaines en acier (k2 = 7) s,1 = 1,18 s,1 = 1,35
ONS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
(ii) Coefficient s,2
Ce coefficient tient compte du volume de trafic. Dans l'exemple considéré, les hypothèses de trafic correspondent aux hypothèses de base de la méthode "équivalente", c'est-à-dire un trafic de catégorie 2 (Nobs = 2,0.106) et type longue distance (Q = 1,0). On a donc : s,2 =1,00
Dans l'utilisation de l'expression [EC2-2 Anx.NN Expr.(NN.103)], le volume de trafic est exprimé en million de camions. Le calcul est effectué avec Nobs = 2,0 millions.
(iii) Coefficient s,3
Ce coefficient tient compte de la durée d'utilisation de projet du pont. Dans l'exemple considéré, Nyears = 100 ans, est l'hypothèse de base de la méthode "équivalente". s,3 =1,00
(iv) Coefficient s,4
Ce coefficient tient compte de l'influence éventuelle du trafic des poids lourds sur des voies autres que la voie lente principale. Dans l'application de la méthode générale, nous avons négligés l'impact d'un trafic poids lourd sur la première voie rapide, d'un volume 10 % de Nobs, a été négligé. La prise en compte de ce trafic donnerais un coefficient s,4 1,01. On adoptera : s,4 =1,00
(v) Coefficient fat
La clause [EC1-2 4.6.1(6)] indique que "les modèles de charge de fatigue 1 à 4 tiennent compte d'une majoration dynamique correspondant à une bonne qualité de revêtement", c'est-à-dire qu'une valeur de fat égale à 1,20 est supposée déjà incluse (c'est l'hypothèse adoptée pour l'exemple). Pour une rugosité du revêtement de qualité différente une correction doit être introduite au prorata. En conclusion, pour les aciers passifs pour les armatures de précontrainte s =1,18 s =1,35
5.3.d) Critère de vérification
Il s'agit de vérifier la condition s ,equ = s × s ,EC - aciers passifs : - précontrainte : s,equ = 29,26 MPa P,equ = 19,08 MPa Rsk S ,fat 176,00 MPa (Rsk = 202 MPa) 104,30 MPa (Rsk = 120 MPa)
5.4. Comparaison des deux méthodes
Afin de comparer les deux méthodes sur l'exemple du PSIDP, dans les deux cas, l'étendue de contrainte limite Rsk / s,fat peut être prise comme référence. Dans la méthode générale, la vérification peut s'écrire sous la forme : K × moy s ,equ Rsk S ,fat
Pour la "méthode équivalente" :
Rsk S ,fat
ONT= Annexe IV - Justification à la fatigue
On peut ainsi comparer les rapports entre l'étendue de contrainte calculée et l'étendue de contrainte limite. Dans le premier cas, ce rapport est donné par le paramètre k 2 D Ed , tandis que dans le deuxième cas, il est donné par l'expression : s,fat ×s,equ / Rsk
k2
D Ed
S ,fat × s ,equ / Rsk
16,7 % 18,3 %
Acier passifs Précontrainte
11,6 % 16,3 %
Fig./Tab. An. IV (24) : Comparaison des méthodes
Dans ce cas, la "méthode équivalente" est donc sécuritaire. La différence entre les deux méthodes s'explique par le fait que, pour des sections en béton précontraint, sollicitées en flexion composée, l'hypothèse de base de la "méthode équivalente" (la linéarité de la relation entre les variations de contrainte et de moment) n'est pas vérifiée.
5.5. Application de la méthode "simplifiée"
Il s'agit de vérifier s < 100 MPa , sous la combinaison de fatigue Cfat = C0 + QLM1,Fréqu . Pour le calcul des effets du modèle de charge LM1 fréquent, les coefficients sont les suivants : - Charges (2e classe) : Q1 = 0,9 ; Q2 = Q3 = 0,8 ; q1 = 0,7 ; q2 = q3 = qr = 1,0 ; - Combinaison : MLM1,Fréqu = 0,75× MTS + 0,40×MUDL
No (MN) Section sur appui Section à mi-travée déf fav déf fav 29,95 29,95 29,95 29,95 Mo (MN.m) -2,90 3,54 MLM1,Fréqu -3,37 0,53 4,77 -0,72 Mfat -6,27 2,37 8,31 2,82 s (MPa) 0,966 0,000 54,76 0,000 s * 1,88 106,78
s = ×(s,max s,min) avec = 1,95 Fig./Tab. An. IV (25) : Calcul de l'étendue de contrainte
Les armatures passives de la section à mi-travée ne vérifient pas le critère demandé. Les deux autres méthodes montraient pourtant une marge importante par rapport à la limite. Cette méthode simplifiée apparaît donc très sécuritaire.
6. Justification d'un encorbellement en béton armé
6.1. Données
6.1.a) Projet
Dans l'exemple suivant, la section d'encastrement de l'encorbellement de l'ouvrage en béton précontraint construit par encorbellements successifs est considérée. Il s'agit ici d'une section en béton armé pour laquelle les aciers passifs sont vérifiés à la fatigue.
ONU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (26) : Coupe transversale de l'encorbellement
6.1.b) Application du critère de dispense de justification à la fatigue
Il est légitime dans ce cas, de se poser la question si l'application du critère i) [Chapitre 6-5] aurait permis de se dispenser de la justification à la fatigue. Ce critère exige que les contraintes de traction dans les armatures de l'encorbellement ne dépassent pas la limite de 300 MPa sous combinaison caractéristique d'actions. Compte tenu des données du projet, le calcul des moments sollicitants donne : MELS,carac = 138,0 kN.m/m MELU = 187,2 kN.m/m En limitant la contrainte dans les aciers passifs à 300 MPa sous combinaison caractéristique et à 435 MPa à l'ELU de résistance, les sections d'armatures suivantes sont obtenues respectivement : As,ELS = 18,40 cm2/m et As,ELU = 17,20 cm²/m.
Par simplification, le dimensionnement des aciers est obtenu avec :
As, min =
M z × s
avec As section d'acier et z bras de levier du couple élastique
Hauteur, position des aciers : h = 0,32 m et d =0,28 m Bras de levier du couple élastique z = 0,90×d 0,250 m.
6.1.c) Hypothèses de trafic
Dans l'hypothèse d'une autoroute à 2 × 2 voies avec un trafic de poids lourds élevé : - trafic de catégorie 2 : Nobs = 2,0 × 106 camions par an sur la voie lente - trafic de type "longue distance" avec une répartition des camions-types dans les proportions suivantes : p1 = 20 % ; p2 = 5 % ; p3 = 50 % ; p4 = 15 % ; p5 = 10 % La durée d'utilisation de projet de l'ouvrage est Nyears = 100 ans.
ONV= Annexe IV - Justification à la fatigue
6.1.d) Caractéristiques des matériaux
Les paramètres de la courbe S-N des armatures passives sont : - k2 = 9 ; N* = 106 ; Rsk = 202 MPa (dans l'hypothèse d'armatures 20) ; - coefficient partiel pour l'acier : S,fat = 1,15.
6.1.e) Combinaison d'actions calcul des contraintes
Toutes les actions appliquées à l'encorbellement poids propre, poids des superstructures et équipements, charges de fatigue provoquent un moment tendant la fibre supérieure. La combinaison de base pour la vérification à la fatigue M0 et les charges de fatigue MQ,fat, donnent des moments toujours de même signe. La contrainte de traction dans les aciers est égale à s = M/(z×As), avec z constant. Il y a donc une relation linéaire entre les variations de contrainte dans les aciers passifs et les variations du moment dues aux passages des charges de fatigue : s = MQ,fat z × As avec As section d'acier et z bras de levier du couple élastique
Il n'est donc pas nécessaire dans ce cas de connaître l'état de référence de la section d'encastrement. Il suffit d'étudier les variations du moment lors du passage des charges de fatigue. Pour l'application numérique, les hypothèses suivantes sont adoptées : - Coefficient d'équivalence acier-béton : = 15 - Hauteur, position des aciers : h = 0,32 m et d =0,28 m - Bras de levier du couple élastique z = 0,90 × d 0,250 m.
6.2. Application de la méthode générale
6.2.a) Application du modèle de charge de fatigue FLM4
Le graphique suivant représente les variations du moment pendant le passage des différents camions du modèle FLM4. Les moments sont estimés à partir de l'abaque de Pücher (dalle d'épaisseur constante encastrée sur un bord) sur une section d'une longueur de 1,00 m. Ils sont exprimés en kNm/ml.
OOM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. IV (27) : Variation du moment due au passage des camions du modèle FLM4
La relation entre s et |M| est linéaire. On peut donc appliquer la méthode des "réservoirs" au graphique précédent, pour déterminer les étendues de variations de moment; les étendues de contrainte s'en déduisent directement ensuite.
Camions de type i |Mi,1| (en KN.m/m) |Mi,2| (en KN.m/m) 1 23,46 2 32,27 3 30,08 4 25,48 5 24,29
27,37 - 8,69 = 18,68 20,23 - 5,11 = 15,12 21,96 - 8,97 = 12,99 Fig./Tab. An. IV (28) : Etendues des variations des moments
Les étendues M1,2 , M2,2 , M5,3 et M5,4 relativement faibles sont négligées.
6.2.b) Calcul de l'endommagement
Les étendues de contrainte sont données par la relation si, j = L'expression de l'endommagement devient alors : D Ed = N obs × N years N* S ,fat × z × A s × Rsk
k2
Mi, j . z × As
×
p ( M )
i i, j i, j k2 i, j
k2
Le tableau suivant donnent les valeurs de M moy = k 2
p ( M )
i
:
Cette fonction peut être définie comme une étendue moyenne de moment à la fatigue des aciers passifs.
I pi 1 20 %
k2
2 5% 1,90.1012 3,75.104
3 50 % 1,01.1013 1,39.1011
4 15 % 6,80.1011 6,19.109
5 10 % 2,94.1011
k2
p ( M )
i i, j
k2
( ) p ( M )
p i M i ,1
i i, 2
4,30.1011 3,44.106
k2
28,76 kN.m/m 1,05.109 avec M exprimée en kNm/ml pour le calcul Fig./Tab. An. IV (29) : Calcul de la variation moyenne du moment
OON= Annexe IV - Justification à la fatigue
La section d'acier passif, As,fat,lim, donnant une résistance minimale à la fatigue suffisante est obtenue en égalant l'expression représentant l'endommagement à la valeur de 1 : DEd = 1,00 Soit : A s ,fat ,lim = k 2 ou N obs × N years N*
k2
D Ed = 1,00. S ,fat z × Rsk × M moy
×
L'application numérique donne :
As,fat,lim = 11,80 cm²/m
Simplification du calcul Dans l'exemple précédent, le passage de chaque camion de type i donne lieu à plusieurs étendues de contrainte (ou de moment) ; une étendue principale i,1 (Mi,1) et des étendues secondaires i,2 , i,3 ... Soit i,j le rapport
i, j Mi, j = avec j 2 i,1 Mi,1
et
max = Max (i,j)
Dans un premier un calcul ne sont pris en compte que les étendues principales Mi,1. Ensuite les deux premières étendues sont pris en compte, Mi,1 et Mi,2 , en supposant M i, 2 = max × M i ,1 Dans le premier cas : Dans le deuxième cas : Ce qui permet d'écrire M moy, 2 =
k2
M moy,1 = k 2 M moy, 2 = k 2
p × (M )
i i ,1 i i ,1
k2
p × ((M )
k
k2
+ ( max × M i ,1 )
k2
)
1 + ( max )
k2
× M moy,1
k
Le facteur reliant Mmoy,2 et Mmoy,1 est une fonction de , f() = 2 1 + ( ) 2 et peut être représentée sur la figure suivante :
Variation du rapport Mmoy,2 / Mmoy,1 Dans un cas extrême, avec = 1,00, la valeur de f() reste inférieure à 1,10. Pour des valeurs plus faibles ( < 0,70), les valeurs de f() sont très proches de 1,00 (<1,01).
OOO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
En conséquence, la prise en compte des étendues principales de contrainte (ou de moment) pour chaque type de camion permettra, dans la plupart des cas, d'obtenir une très bonne approximation de l'étendue moyenne de contrainte (ou de moment). Dans l'exemple précédent :
max = M3,2 / M3,1= 18,68 / 30,08 = 0,62
f(max) = 1,001
Le calcul prenant en compte toutes les étendues Mi,j , donne Mmoy = 28,76 kN.m/m En ne prenant en compte que les étendues principales, le calcul donne Mmoy = 28,74 kN.m/m La différence est inférieure à 0,1 % ! En pratique, dans le cas général, il suffit donc de déterminer, pour chaque camion de type i, les positions défavorable et favorable sur la(les) voie(s) lente(s) donnant les contraintes extrêmes, max,i , min,i , et les étendues de contrainte principale i,1 = max,i - min,i . Le calcul approché de la contrainte moyenne est donné par moy = k 2 pi(i,1 ) 2 .
5 k i =1
6.3. Application de la "méthode équivalente"
6.3.a) Application du modèle FLM3 de la charge de fatigue
Il suffit ici de calculer les variations du moment dues au passage du camion FLM3, en pondérant les charges d'essieux par le coefficient 1,40 [EC2-2 Anx.NN.2.1(101)].
Le coefficient de 1,75 n'est appliqué que pour des vérifications en flexion longitudinale pour des ouvrages continus, sur des sections au niveau des appuis intermédiaires.
Fig./Tab. An. IV (30) : Variation du moment MQfat
L'étendue de contrainte s,EC est simplement obtenue à partir de l'étendue maximale de moment et de la M max MQ,fat,max s,EC = = relation : avec MQfat,max = 46,79 kN.m/ml et MQfat,min = 0 z × As z × As
Dans l'application de la "méthode équivalente", seule l'étendue de contrainte maximale due au camion FLM3 est prise en compte. Dans cet exemple, l'étendue de contrainte secondaire est importante. Il convient de noter que le calibrage de la méthode, avec le coefficient d'ajustement s,1, tient déjà compte de ce phénomène.
OOP= Annexe IV - Justification à la fatigue
6.3.b) Coefficient d'ajustement s
L'abaque NN.2 donne la valeur de s,1. La longueur de la ligne d'influence, en abscisse de l'abaque, est la largeur de l'encorbellement, soit 2,35 m. La lecture du coefficient s,1 s'effectue sur la courbe 3c) (aciers de béton armé dalle sous chaussée). Soit : s,1 = 1,10 La valeur des autres coefficients est de 1,00. Donc au final s = 1,10
6.3.c) Dimensionnement des aciers à la fatigue
La condition s ,equ Rsk S,fat donne A s ,min,fat = S,fat × s × M Q,fat ,max z × Rsk
Soit une section d'acier
As,fat,lim = 11,70 cm²/m
6.4. Application de la méthode "simplifiée"
Pour le calcul de l'étendue de contrainte, la relation directe est utilisée : s = Avec les valeurs z 0,250 m et MLM1,Fréqu,déf = 69,10 kN.m/m,
As,min,fat = 27,60 cm²/m .
M LM1,Fréqu,déf z × As
la condition s 100 MPa conduit à la section minimale
7. Comparaisons des méthodes et de leurs résultats. Conclusions
Les méthodes générale et "équivalente" donnent pratiquement le même résultat : As,fat,lim = 11,80 cm²/m. On est dans le cas d'une flexion simple, ce qui valide l'hypothèse de la "méthode équivalente", la linéarité de la relation entre et M et c'est pourquoi les deux méthodes donnent à peu près le même résultat. Dans le cas d'une flexion composée la "méthode équivalente" s'avèrerait plus sécuritaire. Mais elle a l'avantage d'être un peu plus simple comme le montre le rappel des principales étapes des deux méthodes ci-dessous. Les principales étapes de la méthode générale, avec utilisation du modèle FLM4, sont résumées ici. Il est nécessaire de déterminer :
· · · · ·
les efforts (N0 ; M0) sous la combinaison de base, l'implantation de la voie lente, la variation des efforts en fonction de la position x du camion i sur l'ouvrage : MFLM4,i (x), la variation de la contrainte pendant le passage du camion i : si ( N0 ; M0 + MFLM4,i (x) ), les étendues de contrainte si,j . Rsk , plus représentative du ratio entre S ,fat
La condition DEd 1 revient à vérifier l'expression : K × s ,moy étendues de contrainte observées et admissibles.
OOQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Avec
s,moy = k 2 pi si, j
(
)
k2
étendue de contrainte moyenne et K = k 2
Nobs × N years N*
Une simplification de la méthode consiste à déterminer, pour chaque camion de type i, les positions défavorable et favorable donnant si,max et si,min , et de ne tenir compte que de l'étendue de contrainte maximale si,max = si,max si,min Dans la plupart des cas, le calcul suivant donnera une bonne approximation de l'étendue de contrainte moyenne :
s,moy k 2 p1(s1,max ) 2 + p2(s2,max ) 2 + p3(s3,max ) 2 + p4(s4,max ) 2 + p5(s5,max ) 2
k k k k k
Pour la "méthode équivalente", avec utilisation du modèle FLM3, il est nécessaire de déterminer :
· · · · ·
les efforts (N0 ; M0) sous la combinaison de base, l'implantation de la voie lente, les efforts avec le camion FLM3 en position défavorable et favorable, les contraintes s,max et s,min correspondantes et l'étendue maximale s,EC = s,max s,min , le coefficient d'ajustement s . Rsk S,fat
La condition est : s ,equ
avec
s,equ = s,max ×s,EC.
L'utilisation de la méthode simplifiée conduit, comme dans l'exemple précédent, à un surdimensionnement des armatures passives. Comme son nom l'indique elle est très simple avec l'inconvénient d'être toujours très sécuritaire par rapport aux deux autres. Au final, pour cet exemple, c'est la justification de la résistance aux ELU qui est dimensionnante. On doit noter aussi qu'au prix d'une majoration modérée de la quantité d'armatures donnée par les ELU on aurait pu se dispenser d'une justification à la fatigue pas très utile.
OOR= Annexe IV - Justification à la fatigue
Annexe V Justification vis-à-vis de la rupture fragile
1. Cas du PSIDP
Est considéré dans cette annexe l'exemple du PSIDP commun à l'ensemble des chapitres du présent guide. Seul le calcul réalisé sur la section de la première travée située à 2,50 m de la première pile, notée section n° 7, est détaillé ici. Un tableau récapitulatif des quantités de ferraillage à disposer dans les autres sections est alors fourni, qui permet d'identifier les sections les plus critiques vis-à-vis du critère de rupture fragile. Rappel des caractéristiques mécaniques de la section 7 : - hauteur : - section : - inertie : - distance cdg/fs : - distance cdg/fi : - câblage : h = 0,900 m S = 8,01 m2 I = 0,535 m4 v =0,386 m v' =0,514 m 20 × 12T15S disposés avec une excentricité de1,5 cm sous la fibre moyenne
Rappel des sollicitations obtenues dans la section, avec Pm,infini (cf. remarque sur les combinaisons [Chapitre 6-6.2]) : Pm, infini = 44,75 MN MELS freq, max = 0,81 MNm MELS freq, min = -5,63 MNm Le critère concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte [Chapitre 6-6.1] : MELS cara -P, max = 2,92 MNm et MELS cara -P, min = -7,28 MNm Le critère de rupture fragile dans cette section va donc concerner à la fois la fibre supérieure et la fibre inférieure. Dans le cas de la combinaison obtenue pour M = MELS freq, max, c,f = 4,81 MPa en fibre inférieure (respectivement, c,f = 1,53 MPa en fibre supérieure pour MELS freq, min).
OOS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.1. Calcul du nombre de torons rompus entrainant la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a)
Cette première étape consiste à déterminer tel que : e ×y 1 c,f - i × Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
i =
c,f + f ctm 1 e ×y Pm , + 0i I S
=
4,81 + 3,2 = 129 % - 0,015 × (-0,514 ) 1 + 44,75 × 0,535 8,01 (respectivement, i = 92 % pour MELS freq, min)
Ce qui correspond dans le premier cas à supprimer la totalité des 20 câbles 12T15S, et dans le deuxième cas à supprimer l'équivalent de 18,5 câbles 12T15S.
1.2. Vérification de la résistance ultime de la section "à précontrainte réduite" sous l'effet cumulé de la combinaison fréquente et de la diminution de la précontrainte calculée (méthode a) :
Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de la combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supprimée déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, = (1 1,00) × 44,75 = 0 MN (3,38 MN pour MELS freq, min) ( 5,02 MNm pour MELS freq, min) La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Pour N = 0 MN, le moment ELU maximal admissible est de 0 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives à disposer en fibre inférieure de 36 cm2. Respectivement, pour N = 3,38 MN, le moment ELU minimal admissible est de 4,1 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives à disposer en fibre supérieure de 52 cm2.
Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i = 0,81 1,00 × 44,75 × ( 0,015) = 1,48 MNm
1.3. Calcul du ferraillage minimal selon la méthode b) :
Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] : M rep A s , min = z s × f yk où : - f ctm × I - 3,2 × 0,535 = = 3,33 MNm pour une fissuration en fibre inférieure ; - v' - 0,514 (respectivement Mrep = -4,43 MNm pour une fissuration en fibre supérieure) fyk = 500 MPa. M rep =
OOT= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance par rapport au centre de compression, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 0,81 m pour les aciers disposés en fibre inférieure (respectivement zs = 0,80 m pour les aciers disposés en fibre supérieure) 3,33 = 82 cm2 en fibre inférieure. 0,81 × 500 Respectivement As,min = 111 cm2 en fibre supérieure. Les mêmes calculs, réalisés sur les autres sections, conduisent aux résultats indiqués dans le tableau ci-dessous. Dans ce tableau, il est constaté que :
· ·
D'où : As,min =
la méthode (b) constitue systématiquement une enveloppe sécuritaire de la méthode (a) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre supérieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (PSIDP) sont celles situées à proximité des piles, entre les 2/3 de la travée de rive et le 1/10ème de la travée centrale (sections 6 à 9) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre inférieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (PSIDP) sont celles situées en travées de rive, entre la mi-travée et la pile (sections 4 à 7).
Culée Pile 2 2,5 0 82 3 5,0 0 82 4 7,5 46 82 5 10,0 41 82 6 12,5 42 0 111 82 7 15,0 52 36 111 82 8 17,5 85 111 9 20,2 54 0 111 82 10 22,9 0 82 11 25,6 0 82 12 28,3 0 82 Clé 13 31,0 0 82 1 0,0 0 82
·
section n°
Abscisse (m)
Ferraillage requis selon la méthode (a) [en cm²] Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
Ferraillage requis selon la méthode (b) [en cm²]
Fig./Tab. An. V (1) : Récapitulatif du ferraillage minimal de rupture fragile dans le cas du PSIDP
PS : Les quantités de ferraillage indiquées dans le tableau ci-dessus incluent les armatures disposées pour d'autres raisons, notamment la justification vis-à-vis de la flexion longitudinale.
2. Cas du pont caisson construit par encorbellements
Est considéré dans cette annexe l'exemple du pont construit par encorbellements successifs, à hauteur variable, commun à l'ensemble des chapitres du présent guide. Seul le calcul réalisée sur la section correspondant à la fin du premier voussoir courant de la travée centrale, notée section n° 18, est détaillé ici. Un tableau récapitulatif des quantités de ferraillage à disposer dans les autres sections est alors fourni, qui permet d'identifier les sections les plus critiques vis-à-vis du critère de rupture fragile.
OOU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Rappel des caractéristiques mécaniques de la section 18 : - hauteur : - section : - inertie : - distance cdg/fs : - distance cdg/fi : - câblage de fléaux : - câblage éclisse : - câblage extérieur : h = 5,21 m S = 8,86 m2 I = 38,43 m4 v =2,22 m v' =2,99 m 24 × 12T15S disposés à 16 cm de la fibre supérieure 0 × 12T15S disposés à 16 cm de la fibre inférieure 8 × 19T15S disposés à 28 cm de la fibre supérieure
Rappel des sollicitations obtenues dans la section, avec Pm,infini (cf. remarque sur les combinaisons [Chapitre 6-6.2]) : Pm, infini = 83,46 MN MELS freq, max = 31,3 MNm MELS freq, min = 17,3 MNm Le critère concerne uniquement les zones tendues sous les sollicitations de la combinaison caractéristique, déterminées en négligeant les effets isostatiques de la précontrainte [Chapitre 6-6.1] : MELS cara -P, max = 118 MNm et MELS cara -P, min = 185 MNm Ces deux valeurs sont négatives et il n'y a donc lieu de considérer que la fibre supérieure. Dans le cas de la combinaison obtenue pour M = MELS freq, min, c,f = 8,42 MPa (11,23 MPa pour MELS freq, max).
2.1. Calcul du nombre de torons rompus entrainant la fissuration sous combinaison fréquente (méthode a) :
Cette première étape consiste à déterminer , correspondant aux câbles de fléaux, tel que : e ×y 1 c,f - i × Pm, + 0i = - f ctm I S soit :
i = c,f +fctm 8,42+4,4 = =66 % 1 e0i×y 83,46× 1 + 2,06×2,22 Pm, + 8,86 38,43 I S (81 % pour MELS freq, max).
Ce qui correspond dans les deux cas, pour obtenir la fissuration, à supprimer la totalité des 24 câbles de fléaux :
24 × (12 × 150) = 65 % . 24 × (12 × 150) + 8 × (19 × 150)
OOV= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
2.2. Vérification de la résistance ultime de la section sous l'effet cumulé de la combinaison fréquente et de la diminution de la précontrainte (méthode a) :
Le torseur d'efforts à appliquer à la section est obtenu en retranchant aux sollicitations de la combinaison fréquente, l'effet isostatique de la précontrainte supprimée déterminée à l'étape précédente : Ntot = (1 i) Pm, = (1 0,65) × 83,46 = 29,21 MN Mtot = MELS Freq i × Pm, × e0i = 17,3 0,65 × 83,46 × 2,06 = 129,05 MNm (-80,45 MNm pour MELS freq, max) La dernière étape du calcul consiste alors à vérifier, à partir d'un calcul de section, que les couples de valeurs (Ntot ; Mtot) se trouvent dans le diagramme de résistance de la section, après suppression des câbles supposés corrodés, et le cas échéant à déterminer le complément d'armatures passives à rajouter. Pour N = 29,21 MN, le calcul de section montre que le moment ELU minimal admissible est de 82,5 MNm, ce qui conduit à une section totale d'armatures passives en fibre supérieure de 197 cm2. (0 cm2 pour MELS freq, max)
2.3. Calcul du ferraillage minimal selon la méthode b) :
Le ferraillage minimal à disposer selon la méthode (b) est déterminé à l'aide de l'équation [EC2-2 Expr.(6.101a)] : A s , min = où : M rep = M rep z s × f yk
- f ctm × I - 4,4 × 38,43 = = -76,2 MNm ; - v' 2,22
fyk = 500 MPa. Le bras de levier des aciers passifs à l'ELU de résistance par rapport au centre de compression, zs, est obtenu directement grâce au logiciel de calcul de section : zs = 4,98 m - 76,2 = 306 cm2. -4,98 × 500
D'où : As,min =
Les mêmes calculs, réalisés sur les autres sections, conduisent aux résultats indiqués dans le tableau ci-dessous. Il ressort de ce tableau que :
· ·
la méthode (b) constitue systématiquement une enveloppe sécuritaire de la méthode (a) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre supérieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (pont construit par encorbellement de hauteur variable) sont celles situées à proximité des appuis en travée centrale (voussoirs Vd1 et Vd2) et jusqu'au tiers de travée compté depuis la pile en travées de rives (voussoirs Vg1 à Vg5) ; les sections pouvant nécessiter un complément de ferraillage en fibre inférieure vis-à-vis de la vérification du critère de rupture fragile dans cet exemple (hauteur variable) sont celles situées à proximité des culées en travées de rives (voussoirs Vg13 et Vg12).
·
OPM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Culée
voussoir n° VCg Vg13 Vg12 Vg11 Vg10 Vg9 Vg8 Vg7 Vg6 Vg5 Vg4 Vg3 Vg2 Vg1
Pile g
VSPg
section n° Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
1 0 131 Pile
2 113 132 Pile d
VSPd
3 98 132
4 88 132
5 0 53 262 135
6 0 0 252 140
7 54 0 253 146
8 118 0 258 156
9 129 0 284 165
10 195 271 -
11 227 279 -
12 129 284 -
13 181 292 -
14 253 304 -
15 188 309 clé
Ferraillage requis selon méthode (a) [en cm²]
Ferraillage requis selon méthode (b) [en cm²]
voussoir n°
VSP
Vd1
Vd2
Vd3
Vd4
Vd5
Vd6
Vd7
Vd8
Vd9
Vd10
Vd11
Vd12
Vd13
section n° Fibre sup. Fibre inf. Fibre sup. Fibre inf.
16 0 312 -
17 154 308 -
18 197 306 -
19 136 254 -
20 75 287 -
21 18 281 -
22 0 284 -
23 24 0 266 165
24 0 0 263 156
25 0 0 261 148
26 0 140
27 0 125
28 0 131
29 57 128
30 78 127
Ferraillage requis selon méthode (a) [en cm²]
Ferraillage requis selon méthode (b) [en cm²]
Fig./Tab. An. V (2) : Récapitulatif du ferraillage minimal de rupture fragile dans le cas du pont caisson construit par encorbellements
PS : Les quantités de ferraillage indiquées dans le tableau ci-dessus incluent les armatures disposées pour d'autres raisons, notamment la justification vis-à-vis de la flexion longitudinale.
OPN= Annexe V - Justification vis-à-vis de la rupture fragile
Annexe VI Vérification de la stabilité de forme Méthodes simplifiées et exemple de deux piles
L'étude porte sur les deux piles du pont construit par encorbellements. Les imperfections géométriques initiales sont déduites d'une inclinaison globale donnée à chaque pile ([EC2-1-1 5.2(7)], [EC2-2 5.2(106)]) ce qui permet de calculer une excentricité en tête de pile.
1. Données initiales
1.1. Données générales
· ·
Fûts de piles de hauteurs L=21,0m et L=32,0m encastrés en pied et libres en tête Inclinaisons globales pour imperfections géométriques i = 0 × h = dérivées en têtes de piles - Pour L = 21,0m i = 0,002 18rad soit e i = 21,0 × 0,00218 = 0,046m - ( > e0 = 0,02m [EC2-1-1 6.1 (4)]) - Pour L = 32,0m i = 0,00177 rad soit e i = 32,0 × 0,00177 = 0,057 m - ( > e0 = 0,02m [EC2-1-1 6.1(4)]) 2 1 min ; 1 et excentricités 200 L
· · · · · · · · ·
Défaut de positionnement des charges verticales en tête de pile pour défaut d'implantation et distorsion des appareils d'appui, soit epos=0,05m Section constante et symétrique (ferraillage compris), soit une section rectangulaire de largeur b=4,60m, de hauteur h=2,30m et de densité dens=0,025MN/m3 Section d'armatures correspondant à un ratio géométrique d'armatures minimal =0,002, soit 44HA25 répartis sur deux faces Résistance caractéristique du béton, fck=30MPa Limite caractéristique d'élasticité des aciers passifs de classe B, fyk=500MPa Charges verticales appliquées en tête de pile résultant du calcul en flexion longitudinale du tablier, soit Nqp = 24,67MN, NELU = 39,22MN Charges horizontales en tête de pile, HELU = 0,90MN Pile chargée à t0 = 20 jours (valeur moyenne simplificatrice retenue pour les deux piles. En pratique, cette valeur devra être plus représentative du phasage réel de réalisation de la structure) Section critique aisément identifiée comme se situant au niveau de l'encastrement.
OPO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. VI (1) : Elévation et coupe transversale des piles - Définition des paramètres
OPP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
1.2. Caractéristiques de la section constante pour l'analyse structurale
Caractéristiques du béton
Hauteur Largeur Centre de gravité Aire Inertie Rayon de giration Diamètre moyen pour le fluage Résistance caractéristique Valeur moyenne en compression h = 2,30m b = 4,60m YG = 1,15m AC = 10,58m² IC = 4,6640m4
i= h0 =
IC 4,664 = = 0,664m AC 10,58
2A C 2 × 10,58 = = 1,533m = 1533mm u 2 × (4,60 + 2,30)
fck = 30MPa
fcm = fck +8 = 30+8 = 38MPa
EC2-1-1
EC2-2
E cd =
Valeur de calcul du module
E cm cE 32837 = 27364MPa 1,2
f E cm = 22000 cm 10 38 E cm = 22000 10
0,3
E cd =
0,3
= 32837 MPa
Valeur de calcul de la résistance en compression
f cd = f cd =
cc f ck C 1 × 30 = 20MPa 1,5
cf = 1,1
S 1,15 = 1,1 × 0,85 C 1,5
cf f ck = 0,85 × 30 = 25,5MPa
k=
Paramètres loi de type Sargin
1,05 E cd c1 f cd
k= k=
1,05 E cm c1 cf f ck
1,05 × 27364 × 0,002162 20 k = 3,1060 k=
1,05 × 32837 × 0,002162 25,5 k = 2,9233
OPQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Caractéristiques des aciers passifs
Diamètre d'un acier Nombre d'aciers réparti sur deux faces Cote entre l'axe des aciers et la paroi de béton Section totale des aciers Inertie des aciers par rapport au centre de gravité du béton Rayon de giration Ø = 25mm Nb = 44 c = 0,07m As = 0,0216m² Is = 0,0252m4
is = d= =
Is 0,0252 = = 1,080m As 0,0216
Hauteur utile Ratio géométrique d'armatures
h 2,30 + is = + 1,08 = 2,23m 2 2
A s 0,0216 = = 0,00204 > minimal = 0,002 Ac 10,58 = A s f yd A c f cd = 0,0216 × 434,78 = 0,044 10,58 × 20
Ratio mécanique d'armatures Acier de classe B Valeur de déformation relative sous charge maximale Valeur minimale de (ft/fy)k Limite d'élasticité caractéristique Valeur de calcul du module d'élasticité
uk = 0,05
k = 1,08 fyk = 500MPa Es = 200000MPa
EC2-1-1 Fin de branche élastique Valeur de déformation relative
EC2-2
yd = f yd =
f yd Es f yk S
= =
434,78 = 0,002174 200000 500 = 434,78MPa 1,15
1,1f yk Es
=
550 = 0,00275 200000
Limite d'élasticité de calcul Fin de branche inclinée Valeur de déformation relative Limite d'élasticité de calcul
1,1f yk = 1,1 × 500 = 550MPa
ud = 0,9 uk = 0,9 × 0,05 = 0,045
uk = 0,05
k × f yd = 1,08 × 434,78 = 469,56MPa 1,1k × f yk = 1,1× 1,08 × 500 = 594 MPa
OPR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
1.3. Efforts normaux
Poids propre des piles
Pile de 21 m Pile de 32 m
N pp = A c × dens × L N pp = 10,58 × 0,025 × 21,00 N pp = 5,555MN
N pp = A c × dens × L N pp = 10,58 × 0,025 × 32,00 N pp = 8,464MN
Efforts normaux sollicitants ultimes en pied de piles
Pile de 21 m Pile de 32 m
N Ed = N ELU + G N pp N Ed = 46,719MN
N Ed = 39,22 + (1,35 × 5,555)
N Ed = N ELU + G N pp N Ed = 50,646MN
N Ed = 39,22 + (1,35 × 8,464 )
1.4. Moments du 1er ordre en pied de piles
Combinaison quasi permanente
Pile de 21 m Pile de 32 m
M 0 Eqp = N qp × (e i + e pos ) + N pp
ei 2
M 0 Eqp = N qp × (e i + e pos ) + N pp
ei 2
0,046 0,057 M 0 Eqp = (24,67 × (0,046 + 0,05) ) + 5,555 × M 0 Eqp = (24,67 × (0,057 + 0,05) ) + 8,464 × 2 2 M 0 Eqp = 2,497 MN.m M 0 Eqp = 2,881MN.m
Combinaison ELU fondamentale
Pile de 21 m
M 0 Ed = N ELU × (e i + e pos )
(
)
Pile de 32 m
M 0 Ed = N ELU × (e i + e pos )
(
)
M 0 Ed
e + G × N pp i + (H ELU × L ) 2 = (39,22 × (0,046 + 0,05) )
e + G × N pp i + (H ELU × L ) 2 M 0 Ed = (39,22 × (0,057 + 0,05) ) 0,057 + 1,35 × 8,464 × + (0,90 × 32,00 ) 2 M 0 Ed = 33,322MN.m
0,046 + 1.35 × 5,555 × + (0,90 × 21,00 ) 2 M 0 Ed = 22,838MN.m
OPS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
2. Application des critères simplifiés pour négliger les effets du fluage et du second ordre
2.1. Fluage
La valeur finale du coefficient de fluage peut être calculée à partir de l'équation de base décrite dans l'annexe B de l'Eurocode : (t , t 0 ) = RH × (f cm ) × (t 0 ) × c (t , t 0 ) 1 - RH / 100 16,8 (t , t 0 ) = 1 + × 0,1 3 h 0 f cm 1 × 0 , 20 0,1 + t 0
(
)
(t - t 0 ) × ( H + t - t 0 )
0,3
1 - 70 / 100 16,8 1 (,20) = 1 + × 1 = 1,225 × 2,725 × 0,521 × 1 = 1,739 × × 0 , 20 3 0,1 1533 38 0,1 + 20
(
)
Le coefficient de fluage effectif est déterminé avec les moments maximaux à la base des piles.
Pile de 21 m Pile de 32 m
ef = (,20) ef = 1,739 ×
M 0 Eqp M 0 Ed
ef = (,20) ef = 1,739 ×
M 0 Eqp M 0 Ed
2,497 = 0,190 22,838
2,881 = 0,150 33,322
Trois conditions a), b) et c) à satisfaire pour négliger le fluage
Pile de 21 m Pile de 32 m
a ) (,20) = 1,739 2 condition vérifiée b) = c) e 1 =
a ) (,20) = 1,739 2 condition vérifiée
l 0 2 × 21 l 2 × 32 = = 63,3 75 condition vérifiée b) = 0 = = 96,4 75 condition non vérifiée i 0,664 i 0,664 M 0 Ed 22,838 = = 0,489m h = 2,30m N Ed 46,719 condition non vérifiée c) e 1 = M 0 Ed 33,322 = = 0,658m h = 2,30m N Ed 50,646 condition non vérifiée
L'effet du fluage ne peut être négligé pour les deux piles.
OPT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
2.2. Effets du 2nd ordre
Pile de 21 m Pile de 32 m
lim
20 × A × B × C = n n= A= N Ed 46,719 = = 0,221 A c f cd 10,58 × 20 1 1 = = 0,963 1 + 0,2 ef 1 + 0,2 × 0,190
lim =
20 × A × B × C n N Ed 50,646 = = 0,239 A c f cd 10,58 × 20 1 1 = = 0,971 1 + 0,2 ef 1 + 0,2 × 0,150
n= A=
B = 1 + 2 = 1 + 2 × 0,044 = 1,043 C = 1,7 - rm = 1,7 - 1 = 0,7 lim = 20 × 0,963 × 1,043 × 0,7 0,221 = 29,9
B = 1 + 2 = 1 + 2 × 0,044 = 1,043 C = 1,7 - rm = 1,7 - 1 = 0,7 lim = 20 × 0,971 × 1,043 × 0,7 0,239 = 29,0
= 63,3 > lim
= 96,4 > lim
Les effets du 2nd ordre doivent être pris en compte pour les deux piles.
3. Méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure 1/r
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.8].
3.1. Présentation de la méthode
La méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure convient pour les éléments isolés de section droite constante et symétrique (ferraillage compris) soumis à un effort normal constant. Il s'agit de déterminer le moment total qui s'obtient par la somme des moments du 1er et du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(1)], [EC2-1-1 5.8.8.2(2)].
moment total
M Ed = M 0 Ed + M 2 { 13 { 2
moment 1er ordre
moment 2 nd ordre
La méthode permet de calculer le moment du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(3)] à partir d'une estimation de la courbure de la structure à l'équilibre [EC2-1-1 5.8.8.3(1) à (4)], du choix d'un coefficient c dépendant de la distribution des courbures des moments du 1er et du 2nd ordre [EC2-1-1 5.8.8.2(4)] et d'une excentricité e2 créé par le 2nd ordre. Le produit de cette excentricité e2 et de l'effort normal de calcul agissant donne le moment du 2nd ordre.
1 l0 2 M 2 = N Ed { { r c moment effort 4 4 123 normal 2 nd ordre
e2
où : 1 courbure estimée r c = 2 si courbure sinusoïdale, c = 8 si courbure constante
OPU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.2. Illustration de la méthode - Exemple de la pile de hauteur 21 m
e2
N comb
L=lo/2
G Npp
M2
R
Fig./Tab. An. VI (2) : Paramètres de calcul de M2 sur une pile de type « mât »
3.2.a) Calcul de la courbure
1 1 = KrK r0 r n -n (1 + ) - n (1 + 0,044) - 0,221 K r = min u n -n ; 1 = min (1 + ) - n ; 1 = min (1 + 0,044) - 0,4 ; 1 = 1 bal u bal
f K = max(1 + ef ; 1) = max1 + 0,35 + ck - ef ; 1 200 150 30 63,3 K = max1 + 0,35 + - × 0,190 ; 1 = 1,015 200 150 yd 1 0,002174 = = = 0,0021664 r0 0,45d 0,45 × 2,230 1 = 1 × 1,015 × 0,0021664 = 0,0021989 r
Kr 1,0
0,4
1+
n
Fig./Tab. An. VI (3) : Paramètre Kr
OPV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
3.2.b) Choix du coefficient c
Dans l'exemple traité, le moment du 1er ordre est linéaire et le moment du 2nd ordre sinusoïdal. c dépend de la courbure totale et les inégalités 8 < c < 2 sont vérifiées. Comme le moment du 2nd ordre est numériquement plus élevé que le moment du 1er ordre (dû aux imperfections et à l'effort horizontal en tête de pile), la courbure totale est essentiellement parabolique (puisque M2>>M0Ed), le coefficient est donc pris égal à c= 2.
3.2.c) Calcul de l'excentricité e2
2 1 l0 e2 = r c
e 2 = 0,0021989 ×
( 2 × 21) 2 = 0,393m 2
3.2.d) Calcul du moment du 2nd ordre
Le poids propre de la pile fait varier l'effort normal le long de la pile de (46,719/39,22)-1=19,1% et en toute rigueur la méthode n'est pas applicable. Cependant, le poids de la pile est faible devant la descente de charge en tête et influe peu sur le résultat final. Le moment du 2nd ordre sera surévalué en appliquant en tête de pile l'effort normal NEd calculé à l'encastrement. M 2 = N Ed × e 2 M 2 = 46,719 × 0,393 = 18,361MN.m
3.2.e) Calcul du moment total
M Ed = M 0 Ed + M 2 M Ed = 22,838 + 18,361 = 41,199MN.m
3.2.f) Vérification de la section constante
M Ed = 41,199MN.m M résis tan t = 49,474MN.m La section critique est validée.
4. Méthode simplifiée basée sur une estimation de la rigidité nominale EI
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.7].
4.1. Présentation de la méthode
La méthode simplifiée basée sur une rigidité nominale peut être utilisée pour les éléments isolés de section droite quelconque. La méthode permet de calculer un facteur d'amplification relatif aux effets du 2nd ordre à partir d'un coefficient et de la charge de flambement nominale NB basée sur la rigidité nominale [EC2-1-1 5.8.7.3(1)]. M Ed = M 0 Ed 1 + { 1 3 2 NB moment moment - 1 er total 1 ordre N Ed
OQM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
=
2 dépend de la distribution des moments du 1er et du 2nd ordre ([EC2-1-1 5.8.7.3(2) à (4)]. c0
Dans le cas d'éléments isolés de section constante soumis à un effort normal constant, il est admis une distribution sinusoïdale du moment du 2nd ordre et c0 prend une valeur qui dépend de la distribution du moment du 1er ordre M0Ed , soit par exemple : Pour une distribution constante de M0Ed , c0 = 8 et = 2 2 = 1,234 c0 8 2 2 = 1,028 c 0 9.6
Pour une distribution parabolique de M0Ed , c0 = 9,6 et = Pour une distribution triangulaire de M0Ed , c0 = 12 et =
2 2 = 0,822 c 0 12
Dans le cas d'éléments isolés pour lesquels soit l'effort normal et/ou la section varient, ou qu'une charge transversale est appliquée, = 1 constitue normalement une simplification raisonnable. est calculée à partir d'une estimation de la rigidité nominale EI obtenue par l'addition de 2 l0 deux termes, l'un relatif au béton, l'autre relatif aux armatures, sous réserve que le ratio géométrique A d'armatures = s 0,002 , [EC2-1-1 5.8.7.2 (1) à (4)]. Ac
EI = K c E cd I c + K s E s I s 1 24 123 4 3
béton armatures
NB =
2 EI
L'ensemble des paramètres est précisé dans l'exemple numérique.
4.2. Illustration de la méthode Exemple de la pile de hauteur 21 m
4.2.a) Calcul de la rigidité nominale EI
EI = K c E cd I c + K s E s I s Kc = K 1K 2 1 + ef f ck 30 = = 1,225 20 20 63,3 K 2 = min n ; 0,20 = min 0,221 × ; 0,20 = 0,082 170 170 K1 = Kc = 1,225 × 0,082 = 0,084 1 + 0,190
Ks =1 EI = (0,084 × 27364 × 4,6640) + (1 × 200000 × 0,0252) = 15760,56MN.m 2
OQN= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
4.2.b) Calcul de la charge de flambement nominale
NB = NB = 2 EI 2 l0 2 × 15760,56
(2 × 21)2
= 88,181MN
4.2.c) Calcul du moment total
M Ed = M 0 Ed 1 + NB - 1 N Ed
Le poids propre de la pile fait varier l'effort normal le long de la pile de (46,719/39,22)-1 = 19,1 %, l'élément est soumis à une charge transversale, = 1. 1 = 48,572MN.m = 22,838 × 1 + 88,181 - 1 46,719
M Ed
4.2.d) Vérification de la section constante
M Ed = 48,572MN.m M résis tan t = 49,474MN.m La section critique est validée.
5. Méthode générale de l'EN1992-1-1
Les clauses correspondantes sont en [EC2-1-1 5.8.6].
5.1. Illustration de la méthode sans logiciel - Exemple de la pile de hauteur 21 m
On rappelle que lorsque le projeteur n'a pas à sa disposition de logiciel permettant de coupler non-linéarité géométrique et non-linéarité matériaux, il est possible de rechercher pour une section jugée a priori critique, l'état d'équilibre en exprimant de deux manières la relation liant le moment de flexion dans la section critique avec la courbure de celle-ci :
·
la loi moment-courbure externe où le moment de flexion sollicitant la section est la somme du moment du 1er ordre M0Ed et du moment du 2nd ordre. Pour simplifier, la répartition des courbures le long de la structure est considérée linéaire, ce qui permet de déterminer l'effet du second ordre en fonction de la courbure de la section critique uniquement ; la loi moment-courbure interne où le moment de flexion résistant résulte de l'état de contrainte de la section soumise à une courbure imposée, à effort normal donné ; l'intersection ou non des deux courbes représentatives de la loi externe et de la loi interne permet de vérifier qu'il existe ou non un état d'équilibre. Dans l'affirmative, l'intersection des deux courbes donne la valeur du moment total MEd à l'équilibre.
· ·
OQO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Fig./Tab. An. VI (4) : Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
5.1.a) Loi externe M externe (1/R)
Dans l'hypothèse d'un flambement plan, d'une déformée sinusoïdale et d'une flèche e2 faible, on peut admettre : f ( x ) = e 2 sin 1 d 2f = R dx 2 x l0 2 x 1 = e 2 sin l l 0 0 R
La valeur e2 se déduit en fonction de la courbure 1/R pour l0/2 et on retrouve le résultat utilisé dans la méthode simplifiée basée sur l'estimation de la courbure. e2 = l0 1 2 R
2
Ncomb
Xi
f (x)
G Pi
l0
R
déformée sinusoïdale
Ncomb
e2
x
Fig./Tab. An. VI (5) : Déformée d'un élément bi articulé
OQP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Le moment total est la somme du moment du 1er ordre et du moment du 2nd ordre déterminé à partir de la valeur l de l'excentricité e2 . Au niveau de la section x = 0 , le moment total est égal à : 2 1 M = R
moment 1er ordre
68 7 M 0 Ed
644444moment 2 4444444 44 ordre 7 8 i=n × xi + N comb e 2 + G Pi e 2 - e 2 sin l0 i =1
nd
i=n 1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi R i =1 Avec
× xi 1 - sin l0
l 0 2 1 2 R
G Pi charge de poids propre à l'abscisse xi Ncomb effort normal de la combinaison considérée appliqué à l'extrémité de l'élément Dans le cas d'une charge Pi constante, l'équation devient :
1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi R
l0 2 0
2 × x l0 1 1 - sin dx 2 l0 R
2 2 l 0 1 l0 1 M = M 0 Ed + N comb + G Pi 1 - 2 R R 2 2 - 2 l0 1 1 M = M 0 Ed + N comb + G N pp 2 R R 2 G N pp l 0 1 1 M = M 0 Ed + N comb + 2,752 2 R R
1,35 × 5,555 (2 × 21) 1 1 M = 22,838 + 39,220 + × × 2 2,752 R R 1 1 M = 22,838 + 7496,813 × R R
2
La valeur du moment externe pour la courbure correspondant à l'équilibre de la structure (voir ci-après) est égale à : M (0,00030143) = 22,838 + 7496,813 × 0,00030143 = 25,098MN.m
1 = 0,00030143 R
5.1.b) Loi interne Minterne(1/R)
A partir des diagrammes contraintes-déformations relative des matériaux, on détermine la valeur et la position des forces internes de la section béton armé pour une courbure 1/R donnée et l'effort normal de compression sollicitant NEd (étapes 1 à 3), pour obtenir le moment résistant interne (étape 4). Ce calcul est effectué pour plusieurs valeurs de courbure afin de pouvoir tracer la courbe représentative de la loi interne M(1/R). La résistance en traction du béton est négligée et le fluage est pris en compte en multipliant toutes les valeurs de déformation relative par le facteur (1+ef). Dans les calculs, les valeurs , , F sont positives en compression, négatives en traction. L'indice sc correspond aux aciers positionnés au-dessus du centre de gravité de la section de béton (aciers comprimés ou les moins tendus), l'indice st aux aciers positionnés au-dessous du centre de gravité de la section de béton (aciers tendus ou les moins comprimés).
OQQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Le calcul du moment interne est détaillé ci-après pour la courbure de la structure.
SECTION ENTIEREMENT COMPRIMEE
Y X Y
1 = 0,00030143 correspondant à l'équilibre R
b
Déformations relatives
Y Contraintes
Y
Forces internes
A sc
YG Ysc Yi
sc
sc
Fsc Fc
Yc
Arctg(1/R)
Yhc
h
G
ci
Yst
ci(1+ ef) st st
Fst
A st
bi
SECTION PARTIELLEMENT COMPRIMEE
Y X Y
b
Déformations relatives
Y Contraintes
Y
Forces internes
A sc
YG Ysc Yi
sc
sc
Arctg(1/R)
Yhc
Fsc
Fc
h
G
ci(1+ ef)
Yst
ci
A st
bi
st
st
Fst
Fig./Tab. An. VI (6) : Définition des paramètres pour le calcul du moment résistant interne
·
Etape 1 Calcul des déformations relatives
A partir de la relation de base
1 b - st = , (d distance entre b et st), on détermine les déformations R d relatives sur la hauteur h de la section béton armé soumise à une courbure 1/R.
Pour commencer, on se donne une courbure 1/R et une déformation relative b sur la fibre extrême du béton, tel que b c1 (1 + ef ) avec c1 la valeur de la déformation relative au pic de contrainte pour obtenir la hauteur de béton comprimé, soit : Yhc = Pour b h si la section est entièrement comprimée 1 / R < h si la section est partiellement comprimée
1 = 0,00030143 et b = 0,00054841 c1 (1 + ef ) = 0,002162 × (1 + 0,190) = 0,002573 , la hauteur R 0,00054841 comprimée est égale à Yhc = b = = 1,819m h = 2,30m ( section partiellement comprimée). 1 / R 0,00030143
Yc
OQR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Les déformations relatives deviennent : - le long de la section de béton ci = ci = bi (1 + ef )
(1 + ef ) (1,819 + Yi ) × 0,00030143 ci = (1 + 0,190)
sc = b - [( YG - Ysc ) × (1 R )]
( Yhc
- Yi ) × (1 R )
avec - 2,30 Yi 0
- au droit des aciers situés au-dessus du centre de gravité de la section
sc sans limitation si branche supérieure horizontale avec sc ud si branche supérieure inclinée sc = 0,00054841 - (1,150 - 1,080 ) × 0,00030143 sc = 0,00052731 ud = 0,045 condition vérifiée - au droit des aciers situés au-dessous du centre de gravité de la section st = b - [( YG + Yst ) × (1 R )] st sans limitation si branche supérieure horizontale avec st ud si branche supérieure inclinée st = 0,00054841 - (1,150 + 1,08) × 0,00030143 st = -0,00012379 > ud = -0,045 condition vérifiée
·
Etape 2 Calcul des contraintes
- Le long de la section de béton
2 k ci - ci c1 c1 ci = MAX f cd ; 0 1 + (k - 2 ) ci c1 2 ci ci 3,1060 × - 0,002162 0,002162 ; 0 ci = MAX 20 × ci 1 + 1,1060 × 0,002162
OQS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
- au droit des aciers situés au-dessus et au-dessous du centre de gravité de la section s yd s = s f yd yd
branche horizontale = f yd s branche inclinée s > yd - yd s = s × f yd + s × k × f yd - f yd ud - yd yd avec s = sc ou st et s = sc ou st
(
)
soit pour les aciers situés au-dessus du centre gravité de la section sc = 0,00052731 < yd = 0,002174 sc = sc f yd yd = 0,00052731 × 434,78 = 105,457 MPa 0,002174
soit pour les aciers situés au-dessous du centre gravité de la section st = -0,00012379 > yd = -0,002174 st = s
·
f yd yd
= -0,00012379 ×
434,78 = -24,757 MPa 0,002174
Etape 3 Calcul des forces internes
- Force résultante du béton et position par rapport au centre de gravité + i +1 b i + b i +1 Fci = i × ( h i +1 - h i ) × 2 2 Fc =
i =1
i=n
Fci
h + h i +1 Yci = i 2
Yc = YG -
Y
i =1
i=n
ci
× Fci
ci
F
i =1
i=n
OQT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Ces équations peuvent être résolues par une méthode numérique en découpant la hauteur h de la section en n tronçons.
hi (m) 0 -0,058 -0,115 | | -2,128 -2,185 -2,243 -2,3 bi (m) 4,6 4,6 4,6 | | 4,6 4,6 4,6 4,6
bi=ci × (1+fef) ci
ci (MPa) 9,98 9,746 9,507 | | 0 0 0 0 total Fci =
Fci (MN) 2,609 2,546 2,483 | | 0 0 0 45,848
Yci -0,029 -0,086 -0,144 | | -2,156 -2,214 -2,271 total Fci × Yci =
Fci × Yci -0,075 -0,22 -0,357 | | 0 0 0 -29,146 -0,636
0,00054841 0,00053107 0,00051374 | | -0,00009289 -0,00011022 -0,00012756 -0,00014489
0,00046085 0,00044628 0,00043172 | | -0,00007806 -0,00009263 -0,00010719 -0,00012176
Position résultante = -29,146/45,848 =
Fig./Tab. An. VI (7) : Contraintes dans le béton
Fc = 45,848MN Yc = YG - 0,636 = 1,15 - 0,636 = 0,514m - aciers situés au-dessus du centre de gravité de la section Fsc = sc × A sc 0,0216 = 1,139MN Fsc = sc × A sc = 105,457 × 2 - aciers situés au-dessous du centre de gravité de la section Fst = st × A st 0,0216 = -0,268MN Fst = st × A st = -24,757 × 2 - vérification de l'effort normal interne résultant N int = Fc + Fsc + Fst N int = 45,848 + 1,139 - 0,268 = 46,719 = N Ed condition vérifiée Nota : si cette condition n'est pas vérifiée, on réajuste la déformation relative b choisie au départ (ou la courbure 1/R) pour que l'effort normal interne Nint égalise l'effort sollicitant NEd.
OQU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
·
Etape 4 Calcul du moment résistant interne
Après avoir équilibré Nint=NEd, on en déduit le moment interne pour la courbure 1/R donnée : Fc × Yc + Fsc × Ysc - Fst × Yst M (1 / R ) interne = Fc × Yc + Fsc × Ysc + Fst × Yst M(0,00030143)interne = 25,09MN.m section entièrement comprimée section partiellement comprimée
M(0,00030143)interne = (45,848 × 0,514) + (1,139 × 1,08) + (0,268 × 1,08)
Vérification de l'état d'équilibre et détermination du moment total MEd
1/R 0,00000000 0,00016200 0,00023400 0,00030143 0,00037800 0,00043200 M(1/R)externe 22,838 24,052 24,592 25,098 25,672 26,077 M(1/R)interne 0,000 15,438 21,388 25,098 28,157 29,888 c extrême 4,334 7,708 8,994 9,980 10,925 11,512 sc extrème 39,985 76,198 92,214 105,457 119,070 128,043 st extrême 39,985 6,217 -8,870 -24,757 -44,218 -58,573
Equilibre
L'analyse structurale a été effectuée avec une vérification en simultané de la section critique dans le processus de calcul. La section critique est validée. 25,098 On notera que l'écart avec le calcul PCP ci-après est de - 1 = 2,7% . 24,441
OQV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
5.2. Résultats pour les deux piles avec un logiciel de calcul
Les exemples sont repris avec le logiciel PCP du Sétra qui permet un traitement global avec fluage scientifique et prise en compte simultanée du 2nd ordre géométrique et de la non-linéarité matériaux.
5.2.a) Cas de la pile de 21 m
M Ed = 24,441MN.m e 2 = 0,03846m M Ed 24,441 = = 1,070 M 0 Ed 22,838
5.2.b) Cas de la pile de 32 m
M Ed = 43,220MN.m e 2 = 0,227 m M Ed 43,220 = = 1,297 M 0 Ed 33,322
32 28 24 Abscisses (m) 20 16 12 8 4
M0Ed
0 0 5
MEd
10 15 20 25 30 35 40 45 50 Moments (MN.m)
Fig./Tab. An. VI (8) : Diagrammes des moments sur la pile L = 32m
5.2.c) Vérification de la section constante
Pour les deux piles, l'analyse structurale a été effectuée avec une vérification en simultané des sections dans le processus de calcul. La section constante est validée pour les deux piles.
5.2.d) Commentaires sur les méthodes simplifiées
Les valeurs de courbure 1/R et de rigidité EI déterminées à partir des résultats PCP sont comparées avec les estimations des deux méthodes simplifiées pour la pile de hauteur 21 m 1 2 2 1 1 = 0,00021518 < = 0,0021989 × 10,2 = e 2 × 2 = 0,03846 × 2 R PCP r estimée R PCP l0 (2 × 21) EI PCP = M Ed 24,441 = = 113583,97 MN.m ² > EI estimée = 15760,56 EI PCP / 7,2 1 / R 0,00021518
ainsi que les rapports entre moments incluant les effets du second ordre et moments du premier ordre.
ORM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Rappel résultat PCP :
M Ed 24,441 = = 1,07 M 0 Ed 22,838 M Ed 41,199 = = 1,80 M 0 Ed 22,838 M Ed 48,572 = = 2,13 M 0 Ed 22,838
Résultat méthode basée sur :
Résultat méthode basée sur EI :
Le calcul PCP démontre le caractère très sécuritaire des deux méthodes simplifiées. Pour la pile de hauteur 32 m, les sollicitations obtenues avec les deux méthodes simplifiées dépassent largement le 1 moment résistant de la section critique (MEd = 78,853MN.m avec la méthode basée sur , MEd = 310,482MN.m r avec la méthode basée sur EI).
6. Méthode générale de l'EN1992-2
La méthode est illustrée pour les deux piles avec une vérification utilisant successivement les deux inégalités (5.102 b) et (5.102 a) pour mettre en évidence la faible différence entre les résultats obtenus avec les deux critères. Les sollicitations sont déterminées avec le logiciel PCP du Sétra et le diagramme d'interaction de la section constante calculé avec le logiciel CDS du Sétra.
6.1. Vérification avec le critère (5.102 b)
Le processus d'incrémentation des charges a permis d'atteindre la résistance ultime de la section pour la pile de hauteur 21 m et la rupture globale de la structure pour la pile de hauteur 32 m. N Les résultats sont présentés pour les points de passage obligés (en MN, MN.m). M
6.1.a) Cas de la pile de 21 m
46,719 Charge de projet q ELU = G G + Q Q = [1,35 G + 1,35 Q] point U 24,031
[
]
138,239 Charge de ruine q ud = q ELU = 2,95 q ELU point A 91,948 Charge 108,850 q ud q = ud point D 61,584 O ' 1,27
Le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement, ce qui signifie que la pile est correctement dimensionnée. Le niveau de sécurité atteint est égal à = q ud = 2,95 > O ' = 1,27 . q ELU
6.1.b) Cas de la pile de 32 m
50,646 Charge de projet q ELU = G G + Q Q = [1,35 G + 1,35 Q] point U 39,129
[
]
ORN= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
65,839 Charge de ruine q ud = q ELU = 1,30 q ELU point A 61,156 Charge 51,841 q ud q ud = point D 40,176 O ' 1,27
Le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement, ce qui signifie que la pile est correctement dimensionnée. Le niveau de sécurité atteint est égal à = q ud = 1,30 > O ' = 1,27 . q ELU
Pile L=32m Ruine par instabilité d'ensemble
Pile L=21m Ruine par rupture de section M A (a)
A
D
D U
U
N
Chemin de chargement Points de passage obligés A sous charge de ruine q ud qud D sous 1,27 (a)
U sous charge de projet qELU Diagramme d'interaction de la section
Fig./Tab. An. VI (9) : Mode de ruine des piles et application du format de sécurité avec le couple (effort normal, moment)
ORO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Pile L=21m ME
91,948 D A
MR
61,584
24,031
U
q ELU = q ud 2,95
q ud
1,27
q ud
q
Pile L=32m ME MR
61,156 39,129 D U
A
40,176
q ELU = q ud 1,30
q ud q ud 1,27
q
Fig./Tab. An. VI (10) : Application du format de sécurité avec le couple (charge, Moment)
6.2. Mise en oeuvre de la méthode avec utilisation du critère (5.102 a)
Cette mise en oeuvre pratique est expliquée au travers des deux figures [EC2-2 Fig.PP.3] et [EC2-2 Fig.PP4].
On peut facilement remarquer que le point A est dans les deux cas représentés comme se trouvant sur la courbe (a), ce qui sous-entend qu'on est en présence d'une section critique. Ensuite les figures illustrent bien une vérification par le critère (5.102a) : le facteur partiel Rd est clairement utilisé et Sd ne l'est pas car ne sert que pour le critère (5.102c).
ORP= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Fig./Tab. An. VI (11) : Application du format de sécurité pour une combinaison vectorielle (M, N) et un comportement sur-proportionnel
Chaque section transversale fait l'objet d'un graphe (N, M) sur lequel est reportée la courbe (a) du diagramme d'interaction de la section. Les différents points A, B, C, D, U définis par l'Eurocode 2 sont déterminés au cours des différentes séquences de chargement. A partir de la charge de ruine, on procède à la détermination des sollicitations (N, M) des points B et C et d'une courbe (b) obtenue par homothétie de la courbe (a) pour établir le format de sécurité.
6.2.a) Détermination de (NB, MB) représentées par un point B
La charge q ud q ELU = avec O = 1,20 donne des sollicitations notées B (NB, MB). O O
6.2.b) Détermination de (NC, MC) représentées par un point C
Les sollicitations NB et MB sont divisées par Rd , soit N c = On obtient un point C (NC, MC). NB Rd et Mc = MB avec Rd=1,06 Rd
6.2.c) Courbe (b) d'intéraction (N,M) et détermination de (ND, MD) représentées par un point D
On construit conventionnellement un domaine de sécurité réduit défini par une courbe (b) obtenue par homothétie de la courbe (a) par rapport à l'origine O (0, 0) et passant par le point C (NC, MC). Elle coupe le chemin de chargement en un point D (ND, MD).
6.2.d) Contrôle vis-à-vis de la sécurité
Le contrôle vis-à-vis de la sécurité est satisfait si le point U (NU, MU), représentant les sollicitations obtenues par le chargement qELU de la combinaison fondamentale ELU, est situé avant le point D (ND, MD) sur le chemin de chargement, autrement dit s'il se trouve à l'intérieur du domaine de sécurité (b) déduit de (a).
ORQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6.2.e) Résultats des calculs pour la pile de hauteur 21 m
ELU SOLLICITATIONS (N, M) ET RAPPEL DES COEFFICIENTS DE CALCUL
Coefficient G Coefficient Q NU POINT U M U Coefficient N POINT A A M A INEGALITES Coefficient O' Coefficient O N POINT B B M B Coefficient Rd NC POINT C M C (5.102 a)
1,35 1,35 46,719 24,031 2,95 138,239 91,948
Rappel (5.102 b) 1,27
1,20 115,199 66,323 1,06 108,678 62,569 109,943 62,333 OUI 108,850 61,584 OUI
N POINT D D M D Section critique validée 1 ?
1
Rappel : La section est validée si le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement.
Les résultats obtenus avec l'inégalité (5.102 b) sont mis pour comparaison. Les deux inégalités donnent sensiblement les mêmes sollicitations limites (ND, MD).
ORR= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
6.2.f) Résultats des calculs pour la pile de hauteur 32 m
ELU SOLLICITATIONS (N, M) ET RAPPEL DES COEFFICIENTS DE CALCUL
Coefficient G Coefficient Q NU POINT U M U Coefficient N POINT A A M A INEGALITES Coefficient O' Coefficient O N POINT B B M B Coefficient Rd NC POINT C M C N POINT D D M D Section critique validée 1 ?
1
1,35 1,35 50,646 39,129 1,30 65,839 61,156
(5.102 a) Rappel (5.102 b) 1,27
1,20 54.866 43,176 1,06 51,760 40,861 52,540 40,976 OUI 51,841 40,176 OUI
Rappel : La section est validée si le point U est situé avant le point D sur le chemin de chargement.
Les résultats obtenus avec l'inégalité (5.102 b) sont mis pour comparaison. Les deux inégalités donnent sensiblement les mêmes sollicitations limites (ND, MD).
Pile L=21m M A (a)
Pile L=32m B D
C A
(b)
C
B D U
(b)
U
N
Fig./Tab. An. VI (12) : Application du format de sécurité selon l'inégalité (5.102 a) avec le couple (effort normal, moment)
ORS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
6.3. Justification de l'utilisation de l'expression (5.102b)
On rappelle que les trois critères de vérification proposés par l'Eurocode 2 sont les suivantes :
résistance correspondante eftet des actions
Rd ou
64 744 4 8 E ( G G + Q Q )
678 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 a )
résistance correspondante
64 744 4 8 E ( G G + Q Q ) ou
effet des actions
678 4 4 q R ud O'
Inégalité (5.102 b)
résistance correspondante
Rd Sd
64 744 4 8 E gG + qQ
(
effet des actions
)
678 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 c)
Avec Rd = 1,06 coefficient partiel associé à l'incertitude de modèle de résistance Sd = 1,15 coefficient partiel associé à l'incertitude de modèle, des actions et/ou de leurs effets g coefficient partiel relatif aux actions permanentes G, compte non-tenu des incertitudes de modèle q coefficient partiel relatif aux actions variables, compte non-tenu des incertitudes de modèle G = Sd g coefficient partiel relatif aux actions permanentes G Q = Sd q coefficient partiel relatif aux actions variables Q O = 1,20 coefficient de sécurité global O' = O × Rd = 1,27 L'annexe nationale a réécrit ces trois inégalités sous une forme conforme aux prescriptions de l'Eurocode 0.
eftet 64des actions 4 44 7 8 E( GG + QQ ) résistance symbolique correspondante
1 × Rd 6 78 4 4 q R ud O'
6 78 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 a)
ou
effet 64des actions 4 44 7 8 E( GG + QQ ) résistance symbolique correspondante
Inégalité (5.102 b)
ou Sd 64748 4 4 E gG + qQ
effet des actions résistance symbolique correspondante
(
)
1 × Rd
6 78 4 4 q R ud O
Inégalité (5.102 c)
Il est demandé d'une manière générale que l'une trois inégalités soit satisfaite. Un examen plus détaillé permet cependant de s'apercevoir que les trois inégalités ne sont pas totalement équivalentes et que chacune est valable dans des conditions précises. Pour cela, il est nécessaire de revenir au format général de vérification défini par l'Eurocode 0 et rappelé brièvement au [Chapitre 2-4]. L'inéquation générale à vérifier s'écrit Ed Rd avec comme premier membre les effets des actions et comme second membre le domaine de résistance [EC0 Expr.(6.8)]. Le domaine de résistance est défini par l'ensemble des sollicitations limites atteintes dans une section donnée de la structure.
ORT= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
En fait cette inéquation se décline en plusieurs inéquations lorsque chaque membre est exprimé en faisant apparaître de manière explicite les différents facteurs partiels de modèle : Ed = Sd E(f F) ou Ed = E(F F) et Rd = (1/Rd ) R(X/m) ou Rd = R(X/M) [EC0 Expr.(6.2) et (6.2a)]. [EC0 Expr.(6.6) et (6.6a)].
Il y a deux façons d'exprimer le premier et le second membre, donc au total quatre possibilités d'écrire le critère de vérification. L'Eurocode 0 précise, qu'en fait, toutes ces expressions n'expriment pas la justification vis-à-vis du flambement [EC0 6.4.2(3)P]. En effet, le flambement peut se produire avant que les limites de résistance des matériaux ne soient atteintes. Dans ce cas se pose la question du choix du symbole à mettre au second membre pour définir l'état-limite correspondant. Par facilité l'Eurocode 2 partie 2 a conservé le symbole R et a choisi d'utiliser les charges appliquées pour définir les limites ; d'où l'utilisation de R(qud), même si, dans le cas du flambement, ce n'est plus une résistance, au sens strict du terme, qui intervient. En introduisant les symboles utilisés par l'Eurocode 2 partie 2, (GG + QQ) pour les charges correspondant à la combinaison fondamentale d'ELU, et qud pour la charge ultime de ruine de calcul, le critère de vérification de la sécurité est exprimé en écrivant que les valeurs maximales des effets des actions sont limitées par les valeurs minimales des limites de "résistance", soit par l'inégalité : E(GG + QQ) < R(qud /(Rd × o)) Le comportement appelé « sur-proportionnel » se rencontre quand les sollicitations croissent plus rapidement que les actions ; c'est notamment le cas du flambement. L'inégalité de base peut être détaillée par la suite d'inégalités suivante :
inégalité ( 64444 75.102 b )444 4 44 8 q q ud 1 < G+ Q Q < E ( G G + Q Q ) < R × R ud Sd E G Rd Sd Sd O Rd × 4 144444444444444 24444444O 4444444 4 3 inégalité ( 5.102 c )
On reconnaît facilement dans cette suite d'inégalités les trois inégalités a), b) et c) de l'Eurocode 2 partie 2 réécrites correctement. Il est aussi aisé de voir que la seule vérification de l'inégalité b) assure la vérification des deux inégalités a) et c). En revanche, avec le comportement dit « sous-proportionnel » c'est-à-dire quand les sollicitations croissent moins rapidement que les actions (section qui se plastifie par exemple), la suite d'inégalités s'écrit différemment, comme ci-après :
64444444444444inégalité ( 5444444444444444 4 7.102 b ) 4 8 q ud q E ( G G + Q Q ) < Sd E G G+ Q Q < 1 × R ud < R × Rd Sd Sd O O Rd 43 14444444424444444
inégalité ( 5.102 c )
Il est aussi facile de contrôler que les inégalités a) et b) sont satisfaites dès lors que l'inégalité c) est vérifiée. En conclusion, pour le comportement appelé « sur-proportionnel » (exemple flambement), l'inégalité (5.102b) place en sécurité et pour le comportement appelé « sous-proportionnel », c'est l'inégalité (5.102c) qui place en sécurité. L'inégalité (5.102a) qui n'est qu'une variante simplifiée de l'inégalité (5.102c) sans faire apparaître le coefficient partiel du côté des effets des actions du premier membre, n'a qu'un intérêt limité. Le guide préconise l'utilisation de l'inégalité (5.102b) dans tous les cas, car elle est d'utilisation particulièrement simple : elle ne nécessite pas de détermination de diagrammes d'interaction ; elle évite d'avoir à s'interroger si le comportement peut être "sur ou sous" proportionnel. De plus elle place du côté de la sécurité dans le cas important du flambement. Et enfin l'imprécision qu'elle génère vis-à-vis de la sécurité dans le cas de comportement sous-proportionnel est acceptable car le facteur partiel pour incertitude de modèle n'intervient que pour une valeur de 1,06 dans un facteur partiel global de 1,27.
ORU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
7. Récapitulatif des résultats des quatre méthodes sur la section à l'encastrement
7.1. Résultats des calculs pour la pile de hauteur 21 m
EC2-1-1 EFFORTS SOUS CHARGE qELU NEd M0Ed MEd MEd/M0Ed 41,199 1,80 48,572 2,13 METHODE BASEE SUR 1/r METHODE BASEE SUR EI 46,719 22,838 24,441 1,07 24,031 1,05 METHODE GENERALE EC2-2 METHODE GENERALE
La pile est correctement dimensionnée vis-à-vis des sollicitations données par les quatre méthodes d'analyse structurales
7.2. Résultats des calculs pour la pile de hauteur 32 m
EC2-1-1 EFFORTS SOUS CHARGE qELU NEd M0Ed MEd MEd/M0Ed 78,853 (*) 2,37 310,482 (*) 9,32 METHODE BASEE SUR 1/r METHODE BASEE SUR EI 50,646 33,322 43,220 1,30 39,129 1,17 METHODE GENERALE EC2-2 METHODE GENERALE
(*) Les sollicitations obtenues par les deux méthodes simplifiées dépassent largement le moment résistant de la section critique.
Par contre, la pile est correctement dimensionnée vis-à-vis des sollicitations données par les deux méthodes générales. Cet exemple confirme que les méthodes simplifiées sont très sécuritaires et qu'il faut préférer les méthodes générales pour obtenir un dimensionnement plus réaliste et plus précis des structures élancées.
ORV= Annexe VI - Vérification de la stabilité de forme
Annexe VII Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
L'Eurocode permet de traiter un grand nombre de cas de figure. Les exemples suivants permettent d'illustrer les différentes méthodes de calcul. Les calculs ne sont pas systématiquement détaillés, mais sont données toutes les hypothèses de calcul qui permettront au lecteur de retrouver les valeurs numériques des résultats. Auparavant, le principe de calcul des contraintes pour les sections en béton précontraint [Chapitre 3-3.1.4] fissurées en service, mérite d'être rappelé et détaillé ici, les sections en béton armé ne présentant pas de difficultés particulières. On a déjà constaté lors d'un premier calcul en section non fissurée, sous combinaison caractéristique, que les contraintes de traction en fibre la plus tendue dépassent fctm en valeur absolue. Les calculs sont donc ensuite faits en section fissurée que ce soit sous combinaison caractéristique ou sous combinaison fréquente.
Sous combinaison quasi-permanente le calcul des contraintes se fera toujours en section non fissurée car la section va rester comprimée conformément à l'hypothèse la plus défavorable adoptée pour le dimensionnement..
Lorsqu'il y a fissuration, il est admis que les armatures de précontrainte adhérentes situées dans la zone tendue contribuent par leurs surtensions à la maîtrise de la fissuration sur une distance 150 mm du centre de l'armature. Les calculs sont faits à partir des coefficients d'équivalence Es/Ecm et Ep/Ecm (autrement dit, pas de prise en compte du fluage, conformément aux recommandations du chapitre 4 de ce guide). La surtension des aciers de précontrainte au-delà de l'état de déformation nulle du béton adjacent est pondérée par 1 = × s , rapport des capacités d'adhérence des armatures de béton précontraint et de béton armé. p Dans le calcul des contraintes, ce terme est compté pour tous les aciers de précontrainte situés dans le béton tendu (tandis que pour les calculs d'ouverture de fissure et pour le ferraillage minimal de maîtrise de la fissuration seule est comptée la surtension des aciers de précontrainte situés dans Ac,eff, voir l'application numérique ci-dessous). La surtension jusqu'au retour à zéro, notée ' p ) est comptée intégralement. Les équations d'équilibre dans la section fissurée sont exprimées comme suit : N = Fc - A s s - A p × ' p + 1 p
(
)
où Fc est l'effort de compression dans le béton et
M = M c - A s × s (d s - ) - A p × ' p + 1 p × d p -
(
) (
)
où Mc est le moment dû aux contraintes de compression dans le béton, exprimé par rapport au centre de gravité de la section. Par ailleurs les équations de compatibilité des déformations sont écrites, et le système obtenu est résolu.
1. PSIDP (flexion longitudinale, en précontrainte partielle)
1.1. Données
Dans cet exemple, la précontrainte longitudinale a été dimensionnée sur la base du critère minimum de l'Eurocode, à savoir la non-décompression sous combinaison quasi-permanente, afin d'obtenir un fonctionnement de la structure en précontrainte partielle.
OSM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
Ce dimensionnement aboutit à la précontrainte suivante : 15 câbles 12T15S (Ap = 15 x 1800 mm²), dont le tracé est donné ci-dessous :
0.200 -0.250 -0.380
Fig./Tab. An. VII (1) : Câblage du PSIDP
On traite dans cet exemple le cas de la section située au milieu de la grande travée A mi-travée, les câbles ont pour excentricité e0 et la ligne de précontrainte a pour excentricité e00 = 0,213 m. La distance entre le hourdis supérieur et le centre de gravité des câbles vaut : dp =v+0,380=0,386+0,380=0,766 m La section d'aciers passifs est As = 72 cm² (section dimensionnée aux ELU et à la flexion), à base de HA20. La distance entre le hourdis supérieur et le centre de gravité des aciers vaut ds =0,84 m
Valeurs des sollicitations :
Pm,CT = 34,99 MNm (valeur court terme) Pm,LT = 32,32 MNm (valeur après pertes différées) Mg+g' = 9,39 MNm MGT = 0,85 MNm (moment dû au gradient thermique positif) MLM1,fréq = 4,77 MNm MLM1,carac = 7,40 MNm Les caractéristiques mécaniques de la section sont données en [Annexe I]. Pk,inf,LT = 0,9Pm,LT = 29,09 MN
1.2. Calcul des contraintes aux ELS
Les applications numériques ne sont pas toutes détaillées et donnent les résultats suivants :
·
Sous combinaison quasi-permanente
Par simplification, les calculs de contraintes ont été faits en section brute. La combinaison Q.P. donnant la plus petite compression en fibre inférieure est obtenue pour le moment : M = M g + g ' + 0,5M GT + Pk ,inf,LT × e 00 = 3,62 MNm Les contraintes correspondantes valent : = 6,2 MPa en fibre supérieure ' = 0,2 MPa en fibre inférieure La contrainte au niveau du centre de gravité des câbles de précontrainte vaut cp = 1,0 MPa
·
Sous combinaison caractéristique
D'après le tableau 6.2 de l'Eurocode 2, = 0,5 (précontrainte par post-tension adhérente constituée de torons, fck < 50 MPa)
OSN= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
s = 20 mm, p = 1,6 A p = 1,6 1800 = 68 mm, 1 = 0,5 ×
Par ailleurs, ' p = cp × Ep E cm 6 MPa
20 = 0,34 68
La résolution du système d'équations d'équilibre et de compatibilité des déformations n'est pas détaillée et les résultats suivants sont obtenus :
N = Pk ,inf,LT = 29,09 MN
M = M g + g ' + 0,6M GT + M LM1,carac + Pk ,inf,LT × e 00 = 11,11 MNm
s = 298 MPa p = 86 MPa, p + ' p = 92 MPa c = 21,0 MPa (contrainte de compression en fibre supérieure)
·
Sous combinaison fréquente :
N = Pk ,inf,LT = 29,09 MN
M = M g + g ' + 0,5M GT + M LM1,fréq + Pk ,inf,LT × e 00 = 8,39 MNm
s = 94 MPa p = 26 MPa, p + ' p = 32 MPa c = 13,2 MPa (contrainte de compression en fibre supérieure)
x = 0,299 m (position de l'axe neutre, utile pour le calcul de l'ouverture de fissure)
1.3. Vérification des contraintes aux ELS
Les vérifications sont faites sous combinaison caractéristique :
s = 298 MPa < 0,8fyk = 400 MPa c = 21,0 MPa < 0,6fck = 21 MPa
pm = Pm 32,32 + p + 'p = + 92 = 1289 MPa < 0,80fpk = 0,80×1860 = 1488 MPa Ap 15 1800 10-6
C'est la valeur probable de la contrainte dans les armatures de précontrainte qui doit être limitée sous combinaison caractéristique de charges [EC2-1-1/AN 7.2(5)] et [Chapitre 7-1.2.3]. Dans le calcul précédent, on a utilisé la valeur probable à l'état permanent et ajouté les variations de contrainte déjà obtenues sous la combinaison caractéristique avec Pk,inf . Ce calcul est en principe du côté de la sécurité. Un calcul formellement plus cohérent consisterait à recalculer les variations de contrainte dans les armatures de précontrainte à partir de l'état obtenu avec Pm .
Les limites sont respectées.
OSO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
1.4. Vérification de l'ouverture de fissure sous combinaison fréquente
Ici le calcul d'ouverture de fissure par la méthode directe [EC2-1-1 7.3.4] est détaillé. La section étant approximativement rectangulaire dans la zone tendue, les formules proposées peuvent être appliquées. Soient : s = 94 MPa hc,ef = min ( 2,5 × (h-ds) ; (h-x)/3 ) = min ( 2,5 × 60 ; (900-299) / 3 ) = 150 mm Ac,ef = 6,20 × 0,150 = 0,93m² A'p = Ap = 15 × 1800 mm² (car toutes les armatures de précontrainte sont situées dans Ac,eff) p,eff = (As + 1² A'p)/ Ac,eff = 1,11 % kt = 0,6 sm - cm = 0,6 s/Es = 282 m/m (le premier terme de l'équation (7.9) de l'Eurocode 2 donne un résultat négatif) sr,max = 3,4 × 30 + 0,425 × 0,8 × 0,5 × 20 / 1,11 % = 408 mm wk = sr,max × (sm - cm) = 282 × 10-6 × 408 = 0,12 mm La valeur obtenue est inférieure à la limite admissible de 0,2 mm.
1.5. Calcul du ferraillage minimum
Le ferraillage minimum n'est pas dimensionnant ici, puisqu'il correspond au ferraillage qui serait nécessaire pour équilibrer le moment de fissuration (c'est-à-dire le moment créant une traction fctm=3,2MPa en fibre inférieure, en présence de l'effort normal Pk,inf,LT), alors que le moment sous combinaison caractéristique est largement supérieur au moment de fissuration. Le calcul est toutefois effectué pour illustrer la démarche. La section étant approximativement rectangulaire dans la zone tendue, la formule (7.1) peut être appliquée. En négligeant la contribution des aciers de précontrainte, cela donne successivement : Mfiss = ( N/S + fct,eff ) I/v' = 7,11 MNm Sous Mfiss et Pk,inf,LT, la hauteur tendue avant fissuration est de 24 cm Act = 0,24 × 6,2 = 1,5 m² c = N/S = Pk,inf,LT / S = 3,6 MPa k1 = 1,5 (section comprimée) h* = h (car h < 1,0m) kc = 0,4 [ 1 3,6/(1,5×3,2)] = 0,1 k = 1,0 (puisqu'on considère des contraintes dues à des efforts extérieurs) As,min = kc×k×fct,eff×Act / fyk = 0,1 × 1,0 × 3,2 × 1,5 / 500 = 9,6 cm², inférieur au ferraillage mis en place. Une alternative consiste à calculer les contraintes en section fissurée sous l'effet du moment de fissuration, et à vérifier que les contraintes dans les aciers passifs restent inférieures à 500 MPa.
OSP= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
2. Encorbellement du PSIDP (flexion transversale, béton armé)
2.1. Données
La section au niveau du gousset côté glissière GS2 (épaisseur 35cm) est vérifiée. MQP = 24 kNm/m Mfréq = 93 kNm/m Mcarac = 119 kNm/m MELU = 161 kNm/m Le dimensionnement du ferraillage en flexion à l'ELU de résistance donne As = 12 cm²/m, soit un ferraillage avec HA14, s = 125 (As = 12,3 cm²/m), et un enrobage c = 30 mm.
2.2. Calcul des contraintes sous combinaison caractéristique :
Le calcul est fait en section fissurée avec un coefficient d'équivalence n = 15 s = 342 MPa < 0,8fyk = 400 MPa pour des aciers B500
2.3. Vérification de l'ouverture de fissure sous combinaison fréquente :
Le calcul est fait avec un coefficient d'équivalence n = 15 et donne successivement : x = 91 mm (hauteur comprimée en section fissurée) h-d = c+/2 = 37 mm s = 267 MPa kt = 0,6 (combinaison d'action correspondant à un chargement essentiellement court terme) hc,ef = min [ 2,5 × (h-d) ; (h x) /3 ] = min [ 2,5 × 37 ; (350 91) /3 ] = 86 mm eff = As / hc,ef = 12,3 × 10-4 / 0,086 = 1,43 % sm - cm = max [ (s - kt×fct,eff/p,eff.(1+e×p,eff)) /Es ; 0,6 s/Es ] Le premier terme de cette expression [EC2-1-1 Expr.(7.9)] donne une valeur inférieure au plancher : sm - cm = 0,6 s/Es = 801 m/m k1 = 0,8 k2 = 0,5 sr,max = k3×c + k1×k2×k4×/eff = 3,40×30 + 0,8 × 0,5 × 0,425 × 14/1,43 % = 269 mm wk = (sm cm)×sr,max = 801 × 10-6 × 269 = 0,22 mm < 0,30 mm
Le dimensionnement du ferraillage sous la combinaison fondamentale aux ELU permet de satisfaire à la limitation de l'ouverture de fissure à 0,3 mm sous combinaison fréquente. Cependant, le taux de travail des armatures passives reste relativement élevé sous combinaison caractéristique, avec risque de fatigue. Dans cet exemple, il conviendrait soit de vérifier à la fatigue des armatures, soit d'augmenter la section d'armatures pour limiter leur taux de travail à 300 MPa sous combinaison caractéristique et bénéficier de la règle de dispense.
OSQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3. Tirant en béton armé et précontraint soumis à des charges extérieures
3.1. Données
Cet exemple permet de traiter la présence simultanée d'aciers de précontrainte et d'aciers passifs. Schéma : - tirant 250 × 250, béton C35/45, - 4HA16 situés aux 4 coins (distance c+/2 = 50 mm), fyk = 500 MPa, - 2 monotorons adhérents T13S, Ep = 200 000 MPa, p0 = 1350 MPa (tension dans les câbles avant relâchement du vérin). Chargement extérieur (hors précontrainte) N = -430 kN (traction) As = 800 mm² Ap = 200 mm², P0 = Ap × p0 = 270 kN Ac = 250² 800 200 = 61 500 mm² (section nette) Diamètre équivalent des torons de précontrainte : les torons T13S sont constitués d'un fil central de 4,40 mm de diamètre et de 6 fils périphériques de 4,25 mm. La formule proposée en 6.8.2(2)P est P = 1,75wire soit P = 1,75 × 4,25 = 7,44 mm Rapport de capacité d'adhérence des torons par rapport aux aciers HA : = 0,6 (torons en pré-tension). Rapport de capacité d'adhérence des torons par rapport aux aciers HA, corrigé de leurs diamètres : 1 = (0,6 × 16 / 7,44) = 1,136 Ce cas particulier donne 1 > 1. Bien que ce ne soit pas dit explicitement, il serait contraire à l'esprit du texte de prendre une valeur supérieure à 1,0 × 1 = 1 sera donc retenu pour le calcul des contraintes (même adhérence).
3.2. Calcul de l'ouverture de fissure
Le calcul des ouvertures de fissures est fait avec l'hypothèse d'un chargement court terme.
·
Calcul de la contrainte dans les aciers au droit des fissures :
Le calcul est fait avec la valeur basse de la fourchette de précontrainte : rinf = 0,90 Next = rinf×Ap×p As×s p = Ep×p s = Es×s p = p0 + s (cas de la prétension) => Next = rinf ×P0 (rinf×Ap + As) ×s s = (0,9 × 270 + 430) / (0,9 × 200 + 800) = 191 MPa p = 0,9 × 1350 + 191 = 1406 MPa
Dans ce calcul, une même adhérence entre les différents aciers a été supposée, conformément aux remarques faites précédemment sur le calcul en section fissurée.
OSR= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
·
Calcul de l'espacement entre fissures : L'Eurocode ne traite pas de façon générale la participation simultanée d'aciers passifs et d'aciers de précontrainte à la maîtrise de la fissuration. Il est nécessaire de faire un certain nombre d'hypothèses dans ce paragraphe afin de pouvoir utiliser les formules proposées.
k1 = (800 × 0,8 + 200 × 1,6) / (800+200) = 0,96
La valeur de 1,6 pour les torons adhérents est certainement sévère, cette valeur s'appliquant plutôt au cas des barres lisses. Le calcul est donc sécuritaire. Par ailleurs, en l'absence de précision dans l'Eurocode 2, on a choisi ici d'utiliser une valeur de k1 intermédiaire déterminée à partir d'une pondération sur les sections d'armatures.
k2 = 1,0 (traction pure) eq = 16 mm
La formule (7.12) de pondération de eq ne s'applique que dans le cas d'aciers passifs de diamètres différents. Ici, il n'y a qu'un seul diamètre d'acier passif de référence, c'est cette valeur qui doit être introduite dans la formule. Il faut noter que dans le cas général il faudrait utiliser la définition 1² = eq / p
Ac,eff = Ac
En effet, l'aire efficace de chaque acier passif est délimitée par un carré de 2,5 (h-d) = 125 mm de côté. Les aires efficaces des 4 aciers passifs suffisent donc à couvrir la section, sans même compter l'armature de précontrainte.
A'p = Ap = 200 mm² p,eff = (800 + 1,136² × 200) / 61500 = 1,72 % eq / p,eff = 16 / 1,72 % = 930 mm sr,max = 3,4 × (50-16/2) + 0,425 × 0,96 × 1,0 × 930 = 522 mm
·
Calcul de sm - cm :
kt = 0,6 (calcul court terme) e = Es / Ecm = 200 000 / 34 077 = 5,87
s - k t
f ct ,eff p ,eff
(1 + )
e p ,eff
Es
·
= 0,33 mm/m
< 0,6 s / Es = 0,57 mm/m
Calcul de wk :
wk = 522 × 0,57 = 0,30 mm
OSS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
3.3. Calcul du ferraillage minimum
Calcul en section non fissurée sous l'effort appliqué, avec rinf = 0,9 Next = Ac×c rinf×Ap×p As×s p = Ep×p s = Es×s c = Ec×c et c = s p = p0 + s (cas de la prétension)
=> Next = rinf×P0 - (Ac / e + rinf×Ap + As) ×s s = (-0,9 × 240 + 430) / (0,9 × 200 + 800 + 61500 / 5,87 ) = 16,3 MPa c = s / e = -2,8 MPa Le béton est tendu, il faut donc mettre le ferraillage minimum [EC2-1-1 7.3.2(4)] kc = 1,0 (traction pure) k = 1,0 (traction due à des charges extérieures) fct,eff = fctm = 3,2 MPa Act = Ac = 61500 mm² s = fyk = 500 MPa As,min = (1,0 × 1,0 × 3,2 × 61500)/500 = 394 mm² C'est le ferraillage passif nécessaire pour équilibrer un effort de traction de 3,2 MPa dans le béton As,min < As : le ferraillage prévu est suffisant. Nota : il aurait été possible de tenir compte de la participation des torons adhérents pour déterminer le ferraillage minimum, [EC2-1-1 7.3.2(3)] : As,min = 394 1×Ap×p / s (calcul cependant inutile dans ce cas)
4. Dalle en béton armé soumise à du retrait empêché
4.1. Données
Cet exemple correspond à un voile coulé entre deux bétons existants, parfaitement rigides. Ce type de problème est traité de façon générale dans l'Eurocode 2 partie 1-1, et est repris et détaillé dans l'Eurocode 2 partie 3 (silos et réservoirs), où les problèmes de maîtrise de la fissuration sous déformations gênées sont particulièrement sensibles. Il sera donc fait appel à l'Eurocode 2 partie 3 lorsque nécessaire.
·
Description de la dalle :
- dalle 1m × 0,24m, béton C35/45, aciers fyk = 500 MPa, - ferraillage HA12 s=200 en nappe supérieure et HA14 s=200 en nappe inférieure, c = 3cm.
·
Choix de la valeur de fct,eff
S'agissant d'un problème de déformation imposée, il faut déterminer la date à laquelle la fissuration est susceptible de se produire : à 28 jours ou avant ? N = Ec×Ac×cs effort normal hyperstatique dû au retrait empêché du béton c = N / (Ac + e×As ) N / Ac contrainte dans le béton (calcul en section non fissurée)
OST= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
La courbe c(t) peut être tracée et comparée à la résistance en traction du béton :
Fig./Tab. An. VII (2) : Comparaison entre la contrainte de traction due au retrait gêné et fctm(t)
Au vu de ces courbes, on ne peut pas affirmer que la fissuration sous l'effet du retrait empêché se produira avant 28 jours. fct,eff est donc choisi égal à fctm .
4.2. Calcul des contraintes dans les aciers pour le calcul des ouvertures de fissure
L'Eurocode 2 partie 1-1 donne la valeur à prendre en compte dans le cas d'un tirant soumis à des déformations gênées : s = kc × k × fct,eff × Act/As L'Eurocode 2 partie 3 confirme cette valeur : s = kc × k × fct,eff /s Coefficients : kc = 1,0 dans le cas d'un tirant en traction pure k = 0,65 (coefficient de réduction spécifique au calcul des contraintes sous déformation imposée) Ici, les deux nappes ne sont pas symétriques, le coefficient kc n'est donc pas rigoureusement égal à 1,0. Le calcul des contraintes dans les deux nappes peut se faire directement lorsque le tirant est soumis aux sollicitations. N = k × fct,eff × Ac et M=0 Ce qui donne s,sup = 440 MPa et s,inf = 330 MPa (au lieu de s = 0,65 × fct,eff × Act/As = 374 MPa si le ferraillage avait été symétrique). Autrement dit : kc,sup = 440 / 374 = 1,17 pour la nappe supérieure, et kc,inf = 330 / 374 = 0,87 pour la nappe inférieure. [EC2-3 Anx.M Expr.(M.2)] [EC2-1-1 7.3.3(2) note]
OSU= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
4.3. Calcul de l'ouverture de fissure
·
En nappe supérieure :
hc,ef = min ( 2,5×(h-d) ; h/2 ) = min ( 2,5×36 ; 120 ) = 90 mm Ac,ef = 0,09 m² ef = As,sup / Ac,ef = 0,63 % k2 = (440+330)/(2 × 440) = 0,87 (on retrouve le coefficient kc,inf calculé plus haut) sr,max = 3,4 × 30 + 0,425 × 0,8 × 0,87 × 12 / 0,63 % = 670 mm sm - cm = max [ (s kt×fct,eff/p,eff.(1+e×p,eff)) /Es ; 0,6 s/Es ] avec kt = 0,4 = max [ 1,18 mm/m ; 1,32 mm/m ] = 1,32 mm/m
L'Eurocode 2 partie 3 donne une formule légèrement différente pour ce cas spécifique : sm - cm = 0,5 s/Es , au lieu de l'expression (7.9) de l'Eurocode 2 partie 1-1, soit 1,10 mm/m. Cette dernière formule, qui est plus favorable sera utilisée.
[EC2-1-1 Expr.(7.9)]
sm - cm = max [ (440 0,4×3,2/0,63%×(1+5,86×0,63%)) / 200000 ; 0,6×440 / 200000 ]
wk = 1,10.10-3 × 670 = 0,74 mm Cette expression est valable à proximité des aciers. L'espacement de 200mm étant supérieur à 5(c+/2) = 180 mm, l'expression (7.14) est également utilisée, soit : sr,max = 1,3h = 312 mm wk = 1,10×10-3 × 312 = 0,34 mm Ce résultat n'est pas logique, puisqu'il donne un espacement de fissures plus grand au niveau des aciers qu'entre deux aciers (contrairement à la figure 7.2 de l'Eurocode 2 partie 1-1). Cela montre les limites des formules, qui sont manifestement calées pour des poutres en flexion plutôt que pour des dalles en traction. Pour une dalle, les résultats expérimentaux montrent qu'il serait plus juste d'utiliser sr,max = 1,3×max(s ; h), où s est l'espacement des aciers, bien que cela ne change pas le résultat ici.
·
En nappe inférieure
hc,ef = min ( 2,5×(h-d) ; h/2 ) = min ( 2,5×37 ; 120 ) = 92 mm Ac,ef = 0,0925 m² ef = As,inf / Ac,ef = 0,83 % k2 = 0,87 (inchangé) sr,max = 3,4×30 + 0,425×0,8×1,17×14 / 0,83 % = 601 mm sm - cm = 0,82 mm/m
-3
[EC2-3 Anx.M.1]
wk = 0,82×10 × 601 = 0,49 mm Pour mémoire, calcul loin des aciers : sr,max = 1,3h = 312 mm wk = 0,82×10-3 × 312 = 0,26 mm
·
Bilan
Le ferraillage mis en place n'est pas suffisant pour reprendre entièrement les efforts dus aux déformations imposées.
OSV= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
4.4. Ferraillage à mettre en place pour équilibrer les déformations imposées avec wk = 0,3 mm
Le même diamètre d'aciers en fibre supérieure et inférieure est adopté, afin de symétriser le problème. Donc kc = 1,0. Le ferraillage minimum de non-fragilité est donné par : As,min = kc×k×fct,eff×Act / fyk = 1,0 × 0,65 × 3,2 × 0,24 / 500 = 10,0 cm², soit deux nappes de HA12, s = 200. Comme vu précédemment ce ferraillage est nettement insuffisant pour respecter une ouverture de fissure de 0,3mm. Le tableau 7.2N peut être utilisé pour dimensionner le ferraillage (méthode simplifiée) : Par exemple, avec des aciers HA14 : s = 14 mm s* = s × 2,9/fct,eff ×8×(c+/2) / hcr = s × 2,9/3,2 × 8 × 0,037 / 0,24 = 1,12 s = 16 mm D'où s = 240 MPa (tableau 7.2N pour wk = 0,3mm) Connaissant le taux de travail à retenir pour des HA 14, la formule du ferraillage minimal est utilisée pour déterminer un espacement. D'où = kc × k × fct,eff / s = 1,0 × 0,65 × 3,2 / 240 = 0,86 % As = 0,0086 × 24/2,1 = 10,3cm²/ml ou 6,7 HA14/ml D'où s = 150 mm Une vérification par le calcul selon la méthode directe montre que le choix de 2 lits de HA14, s = 150 donne wk = 0,31 mm et dans ce cas les deux méthodes donnent des résultats proches.
5. Voile en béton armé coulé au contact d'un béton plus âgé
5.1. Données
Cet exemple permet de modéliser le comportement d'un hourdis inférieur d'un voussoir en béton coulé en place contre un voussoir précédent déjà durci, ou encore une levée de pile sur la levée précédente. L'exemple précédent a permis de déterminer le ferraillage nécessaire en supposant que le voile est parfaitement encastré latéralement, ce qui n'est pas le cas pour un hourdis de pont caisson ou pour une levée de pile. L'exemple du voile précédent est donc repris, avec un ferraillage inférieur à celui résultant du calcul précédent, soit des HA12 et HA14 avec espacement de s = 200. La largeur de ce voile est de 5m, sa hauteur courante est de 3,30 m et un cycle de réalisation de 7 jours est supposé. Le problème étudié est le suivant : ferraillage transversal pour coudre les effets du retrait différentiel et du retrait thermique lors du bétonnage.
Fig./Tab. An. VII (3) : Illustration du problème traité : fissuration d'un voile restreint sur un seul côté
Ce problème est traité de façon détaillée dans l'Eurocode 2 partie 3, en particulier les annexes L et M.
OTM= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
5.2. Calcul de l'ouverture de fissure
L'ouverture de fissure est calculée à partir de l'expression sm cm = R × free, où free est le retrait libre qui se produirait en l'absence de blocage, et R un coefficient réduction lié au type de blocage. Pour la partie centrale d'un voile de rapport L / H = 5,0 / 3,3 = 1,5 la valeur recommandée de R est R = 0,5 à la base du voile, et R = 0 au sommet du voile (tableau L.1) Le ferraillage est dimensionné pour la zone la plus sollicitée, soit R = 0,5 free est la somme de deux termes :
· ·
retrait thermique : par exemple, pour une élévation de température de 40°C, T = .T = 0,4 mm/m, retrait différentiel entre les deux éléments : il est donné par la courbe cd(t+7) - cd(t). Cette courbe est maximale pour t = 0, soit cd < 0,02 mm/m (négligeable).
D'où sm - cm 0,5 × 4.10-4 = 0,20 mm/m . Calcul de l'ouverture de fissure :
· ·
hourdis supérieur : le résultat reste inchangé sr,max = 670 mm, d'où wk = 0,13 mm < 0,3 mm, hourdis inférieur : sr,max = 770 mm, wk = 0,15 mm < 0,3 mm.
Le ferraillage prévu est suffisant.
Fig./Tab. An. VII (4) : Retrait différentiel entre les deux éléments
OTN= Annexe VII - Exemples de calcul d'ouvertures de fissures aux ELS
Annexe VIII Bibliographie
Les EUROCODES :
Eurocode Titre Annexe nationale
NF EN 1990 NF EN 1990/A1 NF EN 1991-1-1 NF EN 1991-1-2 NF EN 1991-1-3 NF EN 1991-1-4 NF EN 1991-1-5 NF EN 1991-1-6 NF EN 1991-1-7 NF EN 1991-2 NF EN 1991-3 NF EN 1992-1-1 NF EN 1992-1-2 NF EN 1992-2
Base de calcul sur les structures Annexe A2 : applications aux ponts Actions générales - Poids volumique, poids propres et charges d'exploitation bâtiments Actions générales - Actions sur les structures exposées au feu Actions générales - Charges de neige Actions générales - Actions du vent Actions générales - Actions thermiques Actions générales - Actions en cours d'exécution Actions générales - Actions accidentelles Actions sur les ponts dues au trafic Actions induites par les grues et les ponts roulants Calcul des structures en béton - Règles générales et règles pour les bâtiments Calcul des structures en béton - Règles générales - Calcul du comportement au feu Calcul des structures en béton - Ponts en béton - Calcul et dispositions constructives
NF P06-100-2 NF EN 1990/A1/NA NF P06-111-2 NF EN 1991-1-2/NA NF EN 1991-1-3/NA NF EN 1991-1-5/NA
NF EN 1991-2/NA NF EN 1992-1-1/NA NF EN 1992-1-2/NA NF EN 1992-2/NA
NF EN 13670 NF EN 206-1 NF EN 206-1/A1 NF EN 206-1/A2
Exécution des structures en béton. Projet de norme (PR NF EN 13670) Béton. Partie 1 : spécification, performances, production et conformité Premier amendement à la norme NF EN 206-1 Deuxième amendement à la norme NF EN 206-1
CEB-FIB, Model Code for Concrete Structures 1990, Thomas Telford Services (1993) Les Eurocodes, Conception des bâtiments et des ouvrages de génie civil, Editions Le Moniteur (2005) Diffusion des efforts concentrés, Guide Méthodologique, Sétra (2006) Résistance à la fatigue-Ponts métalliques et mixtes, Sétra (1996) Toward a consistent design of structural concrete, Jorg Schlaich et al, PCI Journal, May-June 1987 Structures en béton conçues à l'Eurocode 2. Note technique sur les dispositions relatives à l'enrobage pour l'application en France, LCPC, F. Toutlemonde, A. Coin (2005)
OTO= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
OTP= Annexe VIII - Bibliographie
OTQ= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
OTR= Annexe VIII - Bibliographie
OTS= Eurocode 2 - Application aux ponts-routes en béton
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Ce guide méthodologique aborde la mise en application des prescriptions de l'Eurocode 2 aux ponts en béton. Destiné aux projeteurs, il présente les principes de justification de l'Eurocode 2 et met l'accent sur les différences et les nouveautés par rapport à la pratique française. Riche de nombreux exemples, il ambitionne de servir efficacement la profession des constructeurs de ponts en béton et tout particulièrement les bureaux d'études et les maîtres d'oeuvre. Il contribuera certainement, dans son domaine, à faciliter le passage de nos règlements de calculs actuels aux eurocodes.
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